Équation aux dérivées partielles elliptiques

Les équations aux dérivées partielles (EDP) linéaires du second ordre sont classées comme elliptiques , hyperboliques ou paraboliques . Toute EDP linéaire du second ordre à deux variables peut être écrite sous la forme

UN tu X X + 2 B tu X y + C u y y + D u x + E u y + F u + G = 0 , {displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,,} ${displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,,}$

où A , B , C , D , E , F et G sont des fonctions de x et y et où u x = ∂ u ∂ x {displaystyle u_{x}={frac {partial u}{partial x}}} ${displaystyle u_{x}={frac {partial u}{partial x}}}$ , u x y = ∂ 2 u ∂ x ∂ y {displaystyle u_{xy}={frac {partial ^{2}u}{partial xpartial y}}} ${displaystyle u_{xy}={frac {partial ^{2}u}{partial xpartial y}}}$ et de même pour u x x , u y , u y y {displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}} ${displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}$ . Une EDP écrite sous cette forme est elliptique si

B 2 − A C < 0 , {displaystyle B^{2}-AC<0,} ${displaystyle B^{2}-AC<0,}$

avec cette convention de nommage inspirée de l’équation d’une ellipse plane .

Les exemples non triviaux les plus simples d’EDP elliptiques sont l’ Équation de Laplace , Δ u = u x x + u y y = 0 {displaystyle Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0} ${displaystyle Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$ , et l’ Équation de Poisson , Δ u = u x x + u y y = f ( x , y ) . {displaystyle Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).} ${displaystyle Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$ En un sens, toute autre EDP elliptique à deux variables peut être considérée comme une généralisation de l’une de ces équations, car elle peut toujours être mise sous la forme canonique

tu X X + tu y y + (termes d’ordre inférieur) = 0 {displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{text{ (termes d’ordre inférieur)}}=0} ${displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{text{ (termes d'ordre inférieur)}}=0}$

par un changement de variables. ^{[1] [2]}

Comportement qualitatif

Les équations elliptiques n’ont pas de courbes caractéristiques réelles , courbes le long desquelles il n’est pas possible d’éliminer au moins une dérivée seconde de tu {displaystyle u} à partir des conditions du problème de Cauchy . ^[1] Puisque les courbes caractéristiques sont les seules courbes le long desquelles les solutions aux équations aux dérivées partielles avec des paramètres lisses peuvent avoir des dérivées discontinues, les solutions aux équations elliptiques ne peuvent avoir de dérivées discontinues nulle part. Cela signifie que les équations elliptiques sont bien adaptées pour décrire les états d’équilibre, où toutes les discontinuités ont déjà été lissées. Par exemple, nous pouvons obtenir l’Équation de Laplace à partir de l’équation de la chaleur tu t = Δ tu {displaystyle u_{t}=Delta u} ${displaystyle u_{t}=Delta u}$ ${displaystyle u_{t}=Delta u}$ en réglant tu t = 0 {style d’affichage u_{t}=0} ${displaystyle u_{t}=0}$ ${displaystyle u_{t}=0}$ . Cela signifie que l’Équation de Laplace décrit un état stationnaire de l’équation de la chaleur. ^[2]

Dans les équations paraboliques et hyperboliques, les caractéristiques décrivent des lignes le long desquelles les informations sur les données initiales se déplacent. Étant donné que les équations elliptiques n’ont pas de courbes caractéristiques réelles, il n’y a pas de sens significatif de propagation de l’information pour les équations elliptiques. Cela rend les équations elliptiques mieux adaptées pour décrire des processus statiques plutôt que dynamiques. ^[2]

Dérivation de la forme canonique

Nous dérivons la forme canonique des équations elliptiques à deux variables, tu X X + tu X y + tu y y + (termes d’ordre inférieur) = 0 {displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{text{ (termes d’ordre inférieur)}}=0} ${displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{text{ (lower-order terms)}}=0}$ ${displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{text{ (lower-order terms)}}=0}$ .

ξ = ξ ( x , y ) {displaystyle xi =xi (x,y)} et η = η ( x , y ) {displaystyle eta =eta (x,y)} .

Si u ( ξ , η ) = u [ ξ ( x , y ) , η ( x , y ) ] {displaystyle u(xi ,eta )=u[xi (x,y),eta (x,y)]} , l’application de la règle de la chaîne une fois donne

u x = u ξ ξ x + u η η x {displaystyle u_{x}=u_{xi }xi _{x}+u_{eta }eta _{x}} ${displaystyle u_{x}=u_{xi }xi _{x}+u_{eta }eta _{x}}$ ${displaystyle u_{x}=u_{xi }xi _{x}+u_{eta }eta _{x}}$ et u y = u ξ ξ y + u η η y {displaystyle u_{y}=u_{xi }xi _{y}+u_{eta }eta _{y}} ${displaystyle u_{y}=u_{xi }xi _{y}+u_{eta }eta _{y}}$ ${displaystyle u_{y}=u_{xi }xi _{y}+u_{eta }eta _{y}}$ ,

une deuxième application donne

u x x = u ξ ξ ξ 2 x + u η η η 2 x + 2 u ξ η ξ x η x + u ξ ξ x x + u η η x x , {displaystyle u_{xx}=u_{xi xi }{xi ^{2}}_{x}+u_{eta eta }{eta ^{2}}_{x}+2u_{ xi eta }xi _{x}eta _{x}+u_{xi }xi _{xx}+u_{eta }eta _{xx},} ${displaystyle u_{xx}=u_{xi xi }{xi ^{2}}_{x}+u_{eta eta }{eta ^{2}}_{x}+2u_{xi eta }xi _{x}eta _{x}+u_{xi }xi _{xx}+u_{eta }eta _{xx},}$ ${displaystyle u_{xx}=u_{xi xi }{xi ^{2}}_{x}+u_{eta eta }{eta ^{2}}_{x}+2u_{xi eta }xi _{x}eta _{x}+u_{xi }xi _{xx}+u_{eta }eta _{xx},}$ u y y = u ξ ξ ξ 2 y + u η η η 2 y + 2 u ξ η ξ y η y + u ξ ξ y y + u η η y y , {displaystyle u_{yy}=u_{xi xi }{xi ^{2}}_{y}+u_{eta eta }{eta ^{2}}_{y}+2u_{ xi eta }xi _{y}eta _{y}+u_{xi }xi _{yy}+u_{eta }eta _{yy},} ${displaystyle u_{yy}=u_{xi xi }{xi ^{2}}_{y}+u_{eta eta }{eta ^{2}}_{y}+2u_{xi eta }xi _{y}eta _{y}+u_{xi }xi _{yy}+u_{eta }eta _{yy},}$ ${displaystyle u_{yy}=u_{xi xi }{xi ^{2}}_{y}+u_{eta eta }{eta ^{2}}_{y}+2u_{xi eta }xi _{y}eta _{y}+u_{xi }xi _{yy}+u_{eta }eta _{yy},}$ et u x y = u ξ ξ ξ x ξ y + u η η η x η y + u ξ η ( ξ x η y + ξ y η x ) + u ξ ξ x y + u η η x y . {displaystyle u_{xy}=u_{xi xi }xi _{x}xi _{y}+u_{eta eta }eta _{x}eta _{y}+u_{ xi eta }(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+u_{xi }xi _{xy}+u_{eta } eta _{xy}.} ${displaystyle u_{xy}=u_{xi xi }xi _{x}xi _{y}+u_{eta eta }eta _{x}eta _{y}+u_{xi eta }(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+u_{xi }xi _{xy}+u_{eta }eta _{xy}.}$ ${displaystyle u_{xy}=u_{xi xi }xi _{x}xi _{y}+u_{eta eta }eta _{x}eta _{y}+u_{xi eta }(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+u_{xi }xi _{xy}+u_{eta }eta _{xy}.}$

Nous pouvons remplacer notre PDE en x et y par une équation équivalente en ξ {style d’affichage xi} et η {displaystyle eta } eta

a u ξ ξ + 2 b u ξ η + c u η η + (lower-order terms) = 0 , {displaystyle au_{xi xi }+2bu_{xi eta }+cu_{eta eta }{text{ + (termes d’ordre inférieur)}}=0,,} ${displaystyle au_{xi xi }+2bu_{xi eta }+cu_{eta eta }{text{ + (lower-order terms)}}=0,,}$ ${displaystyle au_{xi xi }+2bu_{xi eta }+cu_{eta eta }{text{ + (lower-order terms)}}=0,,}$

où

a = A ξ x 2 + 2 B ξ x ξ y + C ξ y 2 , {displaystyle a=A{xi _{x}}^{2}+2Bxi _{x}xi _{y}+C{xi _{y}}^{2},} ${displaystyle a=A{xi _{x}}^{2}+2Bxi _{x}xi _{y}+C{xi _{y}}^{2},}$ ${displaystyle a=A{xi _{x}}^{2}+2Bxi _{x}xi _{y}+C{xi _{y}}^{2},}$ b = 2 A ξ x η x + 2 B ( ξ x η y + ξ y η x ) + 2 C ξ y η y , {displaystyle b=2Axi _{x}eta _{x}+2B(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+2C xi _{y}eta _{y},} ${displaystyle b=2Axi _{x}eta _{x}+2B(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+2Cxi _{y}eta _{y},}$ ${displaystyle b=2Axi _{x}eta _{x}+2B(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+2Cxi _{y}eta _{y},}$ et c = A η x 2 + 2 B η x η y + C η y 2 . {displaystyle c=A{eta _{x}}^{2}+2Beta _{x}eta _{y}+C{eta _{y}}^{2}.} ${displaystyle c=A{eta _{x}}^{2}+2Beta _{x}eta _{y}+C{eta _{y}}^{2}.}$ ${displaystyle c=A{eta _{x}}^{2}+2Beta _{x}eta _{y}+C{eta _{y}}^{2}.}$

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Pour transformer notre EDP dans la forme canonique souhaitée, nous cherchons ξ {style d’affichage xi} et η {displaystyle eta } eta tel que a = c {displaystyle a=c} a=c et b = 0 {displaystyle b=0} b=0 . Cela nous donne le système d’équations

a − c = A ( ξ x 2 − η x 2 ) + 2 B ( ξ x ξ y − η x η y ) + C ( ξ y 2 − η y 2 ) = 0 {displaystyle ac=A({xi _{x}}^{2}-{eta _{x}}^{2})+2B(xi _{x}xi _{y}- eta _{x}eta _{y})+C({xi _{y}}^{2}-{eta _{y}}^{2})=0} ${displaystyle a-c=A({xi _{x}}^{2}-{eta _{x}}^{2})+2B(xi _{x}xi _{y}-eta _{x}eta _{y})+C({xi _{y}}^{2}-{eta _{y}}^{2})=0}$ ${displaystyle a-c=A({xi _{x}}^{2}-{eta _{x}}^{2})+2B(xi _{x}xi _{y}-eta _{x}eta _{y})+C({xi _{y}}^{2}-{eta _{y}}^{2})=0}$ b = 0 = 2 A ξ x η x + 2 B ( ξ x η y + ξ y η x ) + 2 C ξ y η y , {displaystyle b=0=2Axi _{x}eta _{x}+2B(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+ 2Cxi _{y}eta _{y},} ${displaystyle b=0=2Axi _{x}eta _{x}+2B(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+2Cxi _{y}eta _{y},}$ ${displaystyle b=0=2Axi _{x}eta _{x}+2B(xi _{x}eta _{y}+xi _{y}eta _{x})+2Cxi _{y}eta _{y},}$

Ajouter i {displaystyle i} fois la deuxième équation à la première et en fixant φ = ξ + i η {displaystyle phi =xi +ieta } donne l’équation quadratique

A φ x 2 + 2 B φ x φ y + C φ y 2 = 0. {displaystyle A{phi _{x}}^{2}+2Bphi _{x}phi _{y}+C{phi _{y}}^{2}=0.} ${displaystyle A{phi _{x}}^{2}+2Bphi _{x}phi _{y}+C{phi _{y}}^{2}=0.}$ ${displaystyle A{phi _{x}}^{2}+2Bphi _{x}phi _{y}+C{phi _{y}}^{2}=0.}$

Puisque le discriminant B 2 − A C < 0 {displaystyle B^{2}-AC<0} ${displaystyle B^{2}-AC<0}$ ${displaystyle B^{2}-AC<0}$ , cette équation a deux solutions distinctes,

φ x , φ y = B ± i A C − B 2 A {displaystyle {phi _{x}},{phi _{y}}={frac {Bpm i{sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}} ${displaystyle {phi _{x}},{phi _{y}}={frac {Bpm i{sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}$ ${displaystyle {phi _{x}},{phi _{y}}={frac {Bpm i{sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}$

qui sont des conjugués complexes. En choisissant l’une ou l’autre solution, nous pouvons résoudre pour φ ( x , y ) { displaystyle phi (x, y)} phi (x,y) , et récupérer ξ {style d’affichage xi} et η {displaystyle eta } eta avec les métamorphoses ξ = Re ⁡ φ {displaystyle xi =operatorname {Re} phi } et η = Im ⁡ φ {displaystyle eta =operatorname {Je} phi } . Depuis η {displaystyle eta } eta et ξ {style d’affichage xi} satisfera a − c = 0 {displaystyle ac=0} {displaystyle a-c=0} et b = 0 {displaystyle b=0} b=0 , donc avec un changement de variables de x et y à η {displaystyle eta } eta et ξ {style d’affichage xi} va transformer le PDE

A u x x + 2 B u x y + C u y y + D u x + E u y + F u + G = 0 , {displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,,} ${displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,,}$ ${displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,,}$

sous la forme canonique

u ξ ξ + u η η + (lower-order terms) = 0 , {displaystyle u_{xi xi }+u_{eta eta }+{text{ (termes d’ordre inférieur)}}=0,} ${displaystyle u_{xi xi }+u_{eta eta }+{text{ (lower-order terms)}}=0,}$ ${displaystyle u_{xi xi }+u_{eta eta }+{text{ (lower-order terms)}}=0,}$

comme voulu.

Dans des dimensions supérieures

Une équation aux dérivées partielles générale du second ordre à n variables prend la forme

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i , j ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + (lower-order terms) = 0. {displaystyle sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{frac {partial ^{2}u}{partial x_{ i}partial x_{j}}};{text{ + (termes d’ordre inférieur)}}=0.} ${displaystyle sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{frac {partial ^{2}u}{partial x_{i}partial x_{j}}};{text{ + (lower-order terms)}}=0.}$ ${displaystyle sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{frac {partial ^{2}u}{partial x_{i}partial x_{j}}};{text{ + (lower-order terms)}}=0.}$

Cette équation est considérée comme elliptique s’il n’y a pas de surfaces caractéristiques, c’est-à-dire des surfaces le long desquelles il n’est pas possible d’éliminer au moins une dérivée seconde de u des conditions du problème de Cauchy . ^[1]

Contrairement au cas bidimensionnel, cette équation ne peut en général pas être réduite à une simple forme canonique. ^[2]

Voir également

Opérateur elliptique
Équation aux dérivées partielles hyperbolique
Équation aux dérivées partielles parabolique
EDP de second ordre (pour une discussion plus complète)

Références

^ ^un ^bc ^Pinchover , Yehuda; Rubinstein, Jacob (2005). Une introduction aux équations aux dérivées partielles . Cambridge : Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84886-2.
^ ^un ^bcd ^{Zauderer ,} ^Erich (1989). Équations aux dérivées partielles des mathématiques appliquées . New York : John Wiley&Sons. ISBN 0-471-61298-7.

Liens externes

“Équation aux dérivées partielles elliptiques” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
“Équation aux dérivées partielles elliptiques, méthodes numériques” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. “Équation différentielle partielle elliptique” . MathWorld .