Énergie gravitationnelle

L’énergie gravitationnelle ou l’énergie potentielle gravitationnelle est l’ énergie potentielle qu’un objet massif a par rapport à un autre objet massif en raison de la gravité . C’est l’énergie potentielle associée au champ gravitationnel , qui est libérée (convertie en énergie cinétique ) lorsque les objets tombent l’un vers l’autre. L’énergie potentielle gravitationnelle augmente lorsque deux objets sont éloignés l’un de l’autre.

Image illustrant le champ gravitationnel de la Terre . Les objets accélèrent vers la Terre, perdant ainsi leur énergie gravitationnelle et la transformant en énergie cinétique .

Pour deux particules ponctuelles interagissant par paires, l’énergie potentielle gravitationnelle tu {displaystyle U} est donné par

tu = − g M m R , {displaystyle U=-{frac {GMm}{R}},} ${displaystyle U=-{frac {GMm}{R}},}$ où M {displaystyle M} et m {displaystyle m} sont les masses des deux particules, R {displaystyle R} est la distance qui les sépare, et g {displaystyle G} est la constante gravitationnelle . ^[1]

Près de la surface de la Terre, le champ gravitationnel est approximativement constant et l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet se réduit à

tu = m g h {displaystyle U=mgh} où m {displaystyle m} est la masse de l’objet, g = g M ⊕ / R ⊕ 2 {textstyle g={GM_{oplus }}/{R_{oplus }^{2}}} ${textstyle g={GM_{oplus }}/{R_{oplus }^{2}}}$ est la gravité de la Terre , et h {displaystyle h} est la hauteur du centre de masse de l’objet au- dessus d’un niveau de référence choisi. ^[1]

Mécanique newtonienne

En mécanique classique , deux masses ou plus ont toujours un potentiel gravitationnel . La conservation de l’énergie nécessite que cette énergie du champ gravitationnel soit toujours négative , de sorte qu’elle soit nulle lorsque les objets sont infiniment éloignés. ^[2] L’énergie potentielle gravitationnelle est l’énergie potentielle d’un objet parce qu’il se trouve dans un champ gravitationnel.

La force entre une masse ponctuelle, M {displaystyle M} , et une autre masse ponctuelle, m {displaystyle m} , est donnée par la loi de gravitation de Newton : ^[3]

F = g M m r 2 {displaystyle F={frac {GMm}{r^{2}}}} ${displaystyle F={frac {GMm}{r^{2}}}}$ ${displaystyle F={frac {GMm}{r^{2}}}}$

Pour obtenir le travail total effectué par une force externe pour apporter une masse ponctuelle m {displaystyle m} de l’infini à la distance finale R {displaystyle R} (par exemple le rayon de la Terre) des deux points de masse, la force est intégrée par rapport au déplacement :

O = ∫ ∞ R g M m r 2 ré r = − G M m r | ∞ R {displaystyle W=int _{infty}^{R}{frac {GMm}{r^{2}}}dr=-left.{frac {GMm}{r}}right|_ {infty}^{R}} ${displaystyle W=int _{infty }^{R}{frac {GMm}{r^{2}}}dr=-left.{frac {GMm}{r}}right|_{infty }^{R}}$ ${displaystyle W=int _{infty}^{R}{frac {GMm}{r^{2}}}dr=-left.{frac {GMm}{r}}right|_ {infty}^{R}}$

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Car lim r → ∞ 1 r = 0 {textstyle lim _{rto infty }{frac {1}{r}}=0} ${textstyle lim _{rto infty }{frac {1}{r}}=0}$ ${textstyle lim _{rto infty }{frac {1}{r}}=0}$ , le travail total effectué sur l’objet peut s’écrire : ^[4]

Énergie potentielle gravitationnelle

U = − G M m R {displaystyle U=-{frac {GMm}{R}}} ${displaystyle U=-{frac {GMm}{R}}}$ ${displaystyle U=-{frac {GMm}{R}}}$

Dans la situation courante où une masse beaucoup plus petite m {displaystyle m} se déplace près de la surface d’un objet beaucoup plus grand avec une masse M {displaystyle M} , le champ gravitationnel est presque constant et l’expression de l’énergie gravitationnelle peut donc être considérablement simplifiée. La variation de l’énergie potentielle se déplaçant de la surface (une distance R {displaystyle R} du centre) à une hauteur h {displaystyle h} au-dessus de la surface est

Δ U = G M m R − G M m R + h = G M m R ( 1 − 1 1 + h / R ) . {displaystyle {begin{aligned}Delta U&={frac {GMm}{R}}-{frac {GMm}{R+h}}\&={frac {GMm}{R}} left(1-{frac {1}{1+h/R}}right).end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}Delta U&={frac {GMm}{R}}-{frac {GMm}{R+h}}\&={frac {GMm}{R}}left(1-{frac {1}{1+h/R}}right).end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}Delta U&={frac {GMm}{R}}-{frac {GMm}{R+h}}\&={frac {GMm}{R}} left(1-{frac {1}{1+h/R}}right).end{aligned}}}$ Si h / R {displaystyle h/R} est petit, car il doit être proche de la surface où g {displaystyle g} est constant, alors cette expression peut être simplifiée en utilisant l’ approximation binomiale 1 1 + h / r ≈ 1 − h R {displaystyle {frac {1}{1+h/r}}environ 1-{frac {h}{R}}} ${displaystyle {frac {1}{1+h/r}}approx 1-{frac {h}{R}}}$ ${displaystyle {frac {1}{1+h/r}}environ 1-{frac {h}{R}}}$ pour Δ U ≈ G M m R [ 1 − ( 1 − h R ) ] Δ U ≈ G M m h R 2 Δ U ≈ m ( G M R 2 ) h . {displaystyle {begin{aligned}Delta U&approx {frac {GMm}{R}}left[1-left(1-{frac {h}{R}}right)right] \Delta U&approx {frac {GMmh}{R^{2}}}\Delta U&approx mleft({frac {GM}{R^{2}}}right)h .end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}Delta U&approx {frac {GMm}{R}}left[1-left(1-{frac {h}{R}}right)right]\Delta U&approx {frac {GMmh}{R^{2}}}\Delta U&approx mleft({frac {GM}{R^{2}}}right)h.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}Delta U&approx {frac {GMm}{R}}left[1-left(1-{frac {h}{R}}right)right] \Delta U&approx {frac {GMmh}{R^{2}}}\Delta U&approx mleft({frac {GM}{R^{2}}}right)h .end{aligné}}}$ Comme le champ gravitationnel est g = G M / R 2 {displaystyle g=GM/R^{2}} ${displaystyle g=GM/R^{2}}$ ${displaystyle g=GM/R^{2}}$ , cela se réduit à Δ U ≈ m g h . {displaystyle Delta Uenviron mgh.} {displaystyle Delta Uapprox mgh.} Prise U = 0 {displaystyle U=0} à la surface (au lieu d’à l’infini), l’expression familière de l’énergie potentielle gravitationnelle émerge : ^[5] U = m g h . {displaystyle U=mgh.}

Relativité générale

Une représentation en 2 dimensions de Géodésiques courbes (“lignes du monde”). Selon la relativité générale , la masse déforme l’ espace -temps et la gravité est une conséquence naturelle de la première loi de Newton. La masse indique à l’espace-temps comment se plier, et l’espace-temps indique à la masse comment se déplacer.

Dans la relativité générale, l’énergie gravitationnelle est extrêmement complexe et il n’y a pas de définition unique convenue du concept. Il est parfois modélisé via le pseudotenseur de Landau-Lifshitz ^[6] qui permet de retenir les lois de conservation énergie-impulsion de la mécanique classique . L’ajout du tenseur contrainte-énergie de la matière au pseudotenseur de Landau–Lifshitz donne un pseudotenseur combiné de la matière et de l’énergie gravitationnelle qui a une divergence 4 – nulle dans tous les cadres, garantissant la loi de conservation. Certaines personnes s’opposent à cette dérivation au motif que les pseudotenseurssont inappropriés en relativité générale, mais la divergence de la matière combinée plus le pseudotenseur d’énergie gravitationnelle est un tenseur .

Voir également

Énergie de liaison gravitationnelle
Potentiel gravitationnel
Stockage d’énergie potentiel gravitationnel

Références

^ ^un ^b “l’Énergie Potentielle Gravitationnelle” . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Récupéré le 10 janvier 2017 .
↑ Pour une démonstration de la négativité de l’énergie gravitationnelle, voir Alan Guth , The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (Random House, 1997), ISBN 0-224-04448-6 , Appendice A—Gravitational Energy.
^ MacDougal, Douglas W. (2012). Gravité de Newton: Un guide d’introduction à la mécanique de l’univers (éd. illustré). Springer Science et médias d’affaires. p. 10. ISBN 978-1-4614-5444-1. Extrait de la page 10
^ Tsokos, KA (2010). Physique pour le diplôme IB Full Color (édition révisée). Presse universitaire de Cambridge . p. 143. ISBN 978-0-521-13821-5. Extrait de la page 143
^ Fitzpatrick, Richard (2006-02-02). “L’énergie potentielle gravitationnelle” . farside.ph.utexas.edu . L’Université du Texas à Austin.
^ Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz , La théorie classique des champs , (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7