Sphère de Riemann

En mathématiques , la sphère de Riemann , du nom de Bernhard Riemann , ^[1] est un modèle du plan complexe étendu : le plan complexe plus un point à l’infini . Ce plan étendu représente les nombres complexes étendus , c’est-à-dire les nombres complexes plus une valeur ∞ {displaystyle infty} infty pour l’ infini . Avec le modèle de Riemann, le point ∞ {displaystyle infty} infty est proche des très grands nombres, tout comme le point 0 {displaystyle 0} est proche de très petits nombres.

La sphère de Riemann peut être visualisée comme le plan des nombres complexes enroulé autour d’une sphère (par une forme de projection stéréographique – les détails sont donnés ci-dessous).

Les nombres complexes étendus sont utiles dans l’analyse complexe car ils permettent une division par zéro dans certaines circonstances, d’une manière qui rend des expressions telles que 1 / 0 = ∞ {displaystyle 1/0=infty} Bien élevé . Par exemple, toute fonction rationnelle sur le plan complexe peut être étendue à une fonction holomorphe sur la sphère de Riemann, les pôles de la fonction rationnelle étant cartographiés à l’infini. Plus généralement, toute fonction méromorphe peut être considérée comme une fonction holomorphe dont le codomaine est la sphère de Riemann.

En géométrie , la sphère de Riemann est l’ exemple prototypique d’ une surface de Riemann , et est l’ une des variétés complexes les plus simples . En géométrie projective , la sphère peut être considérée comme la ligne projective complexe P 1 ( C ) {displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbf {C} )} ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbf {C} )}$ , l’ espace projectif de toutes les lignes complexes dans C 2 {displaystyle mathbf {C} ^{2}} $mathbf{C}^2$ . Comme pour toute surface de Riemann compacte , la sphère peut également être considérée comme une courbe algébrique projective , ce qui en fait un exemple fondamental en géométrie algébrique . Il trouve également une utilité dans d’autres disciplines qui dépendent de l’analyse et de la géométrie, telles que la sphère de Bloch de la mécanique quantique et dans d’autres branches de la physique .

Le plan complexe étendu est aussi appelé plan complexe fermé .

Nombres complexes étendus

Les nombres complexes étendus sont constitués des nombres complexes C {displaystyle mathbf {C} } ensemble avec ∞ {displaystyle infty} infty . L’ensemble des nombres complexes étendus peut être écrit comme C ∪ { ∞ } {displaystyle mathbf {C} cup {infty }} , et est souvent indiqué en ajoutant une décoration à la lettre C {displaystyle mathbf {C} } , comme

C ^ , C ̄ , or C ∞ . {displaystyle {widehat {mathbf {C} }},quad {overline {mathbf {C} }},quad {text{or}}quad mathbf {C} _{infty} .} ${displaystyle {widehat {mathbf {C} }},quad {overline {mathbf {C} }},quad {text{or}}quad mathbf {C} _{infty }.}$ ${displaystyle {widehat {mathbf {C} }},quad {overline {mathbf {C} }},quad {text{or}}quad mathbf {C} _{infty }.}$

La notation C ∗ {displaystyle mathbf {C} ^{*}} ${displaystyle mathbf {C} ^{*}}$ ${displaystyle mathbf {C} ^{*}}$ a également été utilisé, mais comme cette notation est également utilisée pour le plan perforé C ∖ { 0 } {displaystyle mathbf {C} setminus {0}} , cela peut conduire à l’ambiguïté. ^[2]

Géométriquement, l’ensemble des nombres complexes étendus est appelé sphère de Riemann (ou plan complexe étendu ).

Opérations arithmétiques

L’addition de nombres complexes peut être étendue en définissant, par z ∈ C {displaystyle zin mathbf {C}} {displaystyle zin mathbf {C} } ,

z + ∞ = ∞ {displaystyle z+infty =infty} {displaystyle z+infty =infty }

pour tout nombre complexe z {displaystyle z} , et la multiplication peut être définie par

z × ∞ = ∞ {displaystyle ztimes infty =infty}

pour tous les nombres complexes non nuls z {displaystyle z} , avec ∞ × ∞ = ∞ {displaystyle infty times infty =infty } . Noter que ∞ − ∞ {displaystyle infty -infty } et 0 × ∞ {displaystyle 0times infty} {displaystyle 0times infty } sont laissés indéfinis . Contrairement aux nombres complexes, les nombres complexes étendus ne forment pas un corps , puisque ∞ {displaystyle infty} infty n’a pas d’ inverse additif ni multiplicatif . Néanmoins, il est d’usage de définir la division sur C ∪ { ∞ } {displaystyle mathbf {C} cup {infty }} par

z 0 = ∞ and z ∞ = 0 {displaystyle {frac {z}{0}}=infty quad {text{and}}quad {frac {z}{infty }}=0} ${displaystyle {frac {z}{0}}=infty quad {text{and}}quad {frac {z}{infty }}=0}$ ${displaystyle {frac {z}{0}}=infty quad {text{and}}quad {frac {z}{infty }}=0}$

pour tous les nombres complexes non nuls z {displaystyle z} avec ∞ / 0 = ∞ {displaystyle infty /0=infty} {displaystyle infty /0=infty } et 0 / ∞ = 0 {displaystyle 0/infty =0} . Les quotients 0 / 0 {displaystyle 0/0} 0/0 et ∞ / ∞ {displaystyle infty /infty } sont laissés indéfinis.

Fonctions rationnelles

Toute fonction rationnelle f ( z ) = g ( z ) / h ( z ) {displaystyle f(z)=g(z)/h(z)} (en d’autres termes, f ( z ) {displaystyle f(z)} f(z) est le rapport des fonctions polynomiales g ( z ) {displaystyle g(z)} g(z) et h ( z ) {displaystyle h(z)} h(z) de z {displaystyle z} avec des coefficients complexes, tels que g ( z ) {displaystyle g(z)} g(z) et h ( z ) {displaystyle h(z)} h(z) n’ont pas de facteur commun) peut être étendue à une fonction continue sur la sphère de Riemann. Concrètement, si z 0 {style d’affichage z_{0}} $z_{0}$ $z_{0}$ est un nombre complexe tel que le dénominateur h ( z 0 ) {displaystyle h(z_{0})} h(z_0) est nul mais le numérateur g ( z 0 ) {displaystyle g(z_{0})} g(z_0) est non nul, alors f ( z 0 ) {displaystyle f(z_{0})} f(z_0) peut être défini comme ∞ {displaystyle infty} infty . En outre, f ( ∞ ) {displaystyle f(infty )} peut être défini comme la limite de f ( z ) {displaystyle f(z)} f(z) comme z → ∞ {displaystyle zto infty} {displaystyle zto infty } , qui peut être fini ou infini.

L’ensemble des fonctions rationnelles complexes, dont le symbole mathématique est C ( z ) {displaystyle mathbf {C} (z)} —former toutes les fonctions holomorphes possibles de la sphère de Riemann à elle-même, lorsqu’elle est considérée comme une surface de Riemann , à l’exception de la fonction constante prenant la valeur ∞ {displaystyle infty} infty partout. Les fonctions de C ( z ) {displaystyle mathbf {C} (z)} forment un corps algébrique, dit champ des fonctions rationnelles sur la sphère .

Par exemple, étant donné la fonction

f ( z ) = 6 z 2 + 1 2 z 2 − 50 {displaystyle f(z)={frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}} $f(z) = frac{6z^2 + 1}{2z^2 - 50}$ $f(z) = frac{6z^2 + 1}{2z^2 - 50}$

nous pouvons définir f ( ± 5 ) = ∞ {displaystyle f(pm 5)=infty} {displaystyle f(pm 5)=infty } , puisque le dénominateur est nul à ± 5 {style d’affichage pm 5} {displaystyle pm 5} , et f ( ∞ ) = 3 {displaystyle f(infty)=3} {displaystyle f(infty )=3} puisque f ( z ) → 3 {displaystyle f(z)to 3} comme z → ∞ {displaystyle zto infty} {displaystyle zto infty } . En utilisant ces définitions, f {displaystyle f} devient une fonction continue de la sphère de Riemann à elle-même.

En tant que variété complexe

En tant que variété complexe unidimensionnelle, la sphère de Riemann peut être décrite par deux cartes, toutes deux avec un domaine égal au plan des nombres complexes C {displaystyle mathbf {C} } . Laisser ζ {displaystyle zeta} zeta être un nombre complexe en un seul exemplaire de C {displaystyle mathbf {C} } mathbf{C} , et laissez ξ {style d’affichage xi} être un nombre complexe dans une autre copie de C {displaystyle mathbf {C} } . Identifier chaque nombre complexe non nul ζ {displaystyle zeta} zeta du premier C {displaystyle mathbf {C} } mathbf{C} avec le nombre complexe non nul 1 / ξ {displaystyle 1/xi} {displaystyle 1/xi } de la seconde C {displaystyle mathbf {C} } . Puis la carte

f ( z ) = 1 z {displaystyle f(z)={frac {1}{z}}} ${displaystyle f(z)={frac {1}{z}}}$ ${displaystyle f(z)={frac {1}{z}}}$

est appelée la Carte de transition entre les deux copies de C {displaystyle mathbf {C} } -les soi-disant graphiques -en les collant ensemble. Puisque les cartes de transition sont holomorphes , elles définissent une variété complexe, appelée la sphère de Riemann . En tant que variété complexe à 1 dimension complexe (c’est-à-dire 2 dimensions réelles), on l’appelle aussi surface de Riemann .

Intuitivement, les cartes de transition indiquent comment coller deux plans ensemble pour former la sphère de Riemann. Les plans sont collés de manière “à l’envers”, de sorte qu’ils se chevauchent presque partout, chaque plan ne contribuant qu’à un point (son origine) manquant de l’autre plan. En d’autres termes, (presque) chaque point de la sphère de Riemann a à la fois un ζ {displaystyle zeta} zeta valeur et une ξ {style d’affichage xi} {displaystyle xi } valeur, et les deux valeurs sont liées par ζ = 1 / ξ {displaystyle zeta =1/xi} {displaystyle zeta =1/xi } . Le point où ξ = 0 {displaystylexi =0} {displaystyle xi =0} devrait alors avoir ζ {displaystyle zeta} zeta -valeur ” 1 / 0 {displaystyle 1/0} “; en ce sens, l’origine de la ξ {style d’affichage xi} -le graphique joue le rôle de ∞ {displaystyle infty} infty dans le ζ {displaystyle zeta} zeta -graphique. Symétriquement, l’origine de la ζ {displaystyle zeta} zeta -le graphique joue le rôle de ∞ {displaystyle infty} infty dans le ξ {style d’affichage xi} -graphique.

Topologiquement , l’espace résultant est la compactification en un point d’un plan dans la sphère. Cependant, la sphère de Riemann n’est pas simplement une sphère topologique. C’est une sphère avec une structure complexe bien définie , de sorte qu’autour de chaque point de la sphère il y a un voisinage qui peut être identifié biholomorphiquement avec C {displaystyle mathbf {C} } .

D’autre part, le théorème d’uniformisation , un résultat central dans la classification des surfaces de Riemann, stipule que toute surface de Riemann simplement connexe est biholomorphe au plan complexe, au plan hyperbolique ou à la sphère de Riemann. Parmi celles-ci, la sphère de Riemann est la seule qui soit une surface fermée (une surface compacte sans frontière ). Par conséquent, la sphère bidimensionnelle admet une structure complexe unique la transformant en une variété complexe unidimensionnelle.

Comme la ligne projective complexe

La sphère de Riemann peut également être définie comme la droite projective complexe . Les points de la droite projective complexe sont des classes d’équivalence établies par la relation suivante sur les points de C 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } {displaystyle mathbf {C} ^{2}setminus {(0,0)}} ${displaystyle mathbf {C} ^{2}setminus {(0,0)}}$ ${displaystyle mathbf {C} ^{2}setminus {(0,0)}}$ : Si pour certains λ ≠ 0 {displaystyle lambdaneq 0} {displaystyle lambda neq 0} , w = λ u {displaystyle w=lambda u} et z = λ v {displaystyle z=lambda v} , alors ( w , z ) ∼ ( u , v ) {displaystyle (w,z)thicksim (u,v)} .

Dans ce cas, la classe d’équivalence s’écrit [ w , z ] {style d’affichage [w, z]} {displaystyle [w,z]} en utilisant les Coordonnées projectives . Étant donné n’importe quel point [ w , z ] {style d’affichage [w, z]} dans la ligne projective complexe, l’un des w {displaystyle w} et z {displaystyle z} doit être différent de zéro, disons w ≠ 0 {displaystyle wneq 0} . Alors par la relation d’équivalence, [ w , z ] ∼ [ 1 , z / w ] {displaystyle [w,z]thicksim left[1,z/wright]} , qui est dans un graphique pour la variété sphérique de Riemann. ^[3]

Ce traitement de la sphère de Riemann se connecte le plus facilement à la géométrie projective. Par exemple, toute ligne (ou conique lisse) dans le plan projectif complexe est biholomorphe à la ligne projective complexe. C’est aussi pratique pour étudier les automorphismes de la sphère , plus loin dans cet article.

Comme une sphère

Projection stéréographique d’un nombre complexe A sur un point α de la sphère de Riemann

La sphère de Riemann peut être visualisée comme la sphère unité x 2 + y 2 + z 2 = 1 {displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} ${displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ ${displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ dans l’espace réel tridimensionnel R 3 {displaystyle mathbf {R} ^{3}} ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ . À cette fin, considérons la projection stéréographique de la sphère unitaire moins le point ( 0 , 0 , 1 ) {displaystyle (0,0,1)} dans l’avion z = 0 {style d’affichage z=0} {displaystyle z=0} , que nous identifions au plan complexe par ζ = x + i y {displaystyle zeta =x+iy} . En Coordonnées cartésiennes ( x , y , z ) {displaystyle (x,y,z)} (x,y,z) et Coordonnées sphériques ( θ , φ ) {displaystyle (thêta ,phi )} {displaystyle (theta ,phi )} sur la sphère (avec θ {displaystyle thêta} theta le zénith et φ {displaystylephi } phi l’ azimut ), la projection est

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ζ = x + i y 1 − z = cot ⁡ ( 1 2 θ ) e i φ . {displaystyle zeta ={frac {x+iy}{1-z}}=cot left({frac {1}{2}}theta right);e^{iphi } .} ${displaystyle zeta ={frac {x+iy}{1-z}}=cot left({frac {1}{2}}theta right);e^{iphi }.}$ ${displaystyle zeta ={frac {x+iy}{1-z}}=cot left({frac {1}{2}}theta right);e^{iphi }.}$

De même, la projection stéréographique de ( 0 , 0 , − 1 ) {displaystyle (0,0,-1)} dans l’avion z = 0 {style d’affichage z=0} {displaystyle z=0} , identifié avec une autre copie du plan complexe par ξ = x − i y {displaystyle xi =x-iy} , est écrit

ξ = x − i y 1 + z = tan ⁡ ( 1 2 θ ) e − i φ . {displaystyle xi ={frac {x-iy}{1+z}}=tan left({frac {1}{2}}theta right);e^{-iphi }.} ${displaystyle xi ={frac {x-iy}{1+z}}=tan left({frac {1}{2}}theta right);e^{-iphi }.}$ ${displaystyle xi ={frac {x-iy}{1+z}}=tan left({frac {1}{2}}theta right);e^{-iphi }.}$

Pour couvrir la sphère unité, il faut les deux projections stéréographiques : la première couvrira toute la sphère sauf le point ( 0 , 0 , 1 ) {displaystyle (0,0,1)} et le second sauf le point ( 0 , 0 , − 1 ) {displaystyle (0,0,-1)} . Par conséquent, il faut deux plans complexes, un pour chaque projection, qui peuvent être vus intuitivement comme collés dos à dos à z = 0 {style d’affichage z=0} {displaystyle z=0} . Notez que les deux plans complexes sont identifiés différemment avec le plan z = 0 {style d’affichage z=0} . Une inversion d’ orientation est nécessaire pour maintenir une orientation cohérente sur la sphère, et en particulier une conjugaison complexe rend les cartes de transition holomorphes.

Les cartes de transition entre ζ {displaystyle zeta} zeta -coordonne et ξ {style d’affichage xi} -les coordonnées sont obtenues en composant une projection avec l’inverse de l’autre. Ils s’avèrent être ζ = 1 / ξ {displaystyle zeta =1/xi} {displaystyle zeta =1/xi } et ξ = 1 / ζ {displaystyle xi =1/zeta} {displaystyle xi =1/zeta } , comme décrit ci-dessus. Ainsi la sphère unitaire est difféomorphe de la sphère de Riemann.

Sous ce difféomorphisme, le cercle unitaire dans le ζ {displaystyle zeta} zeta -chart, le cercle unité dans le ξ {style d’affichage xi} -chart, et l’équateur de la sphère unitaire sont tous identifiés. Le disque unitaire | ζ | < 1 {displaystyle |zeta |<1} est identifié à l’hémisphère sud z < 0 {style d’affichage z<0} {displaystyle z<0} , tandis que le disque unitaire | ξ | < 1 {style d’affichage |xi |<1} {displaystyle |xi |<1} est identifié à l’hémisphère nord z > 0 {displaystyle z>0} .

Métrique

Une surface de Riemann n’est pas équipée d’une Métrique riemannienne particulière . La structure conforme de la surface de Riemann détermine cependant une classe de métriques : toutes celles dont la structure conforme subordonnée est celle donnée. Plus en détail : La structure complexe de la surface de Riemann détermine de manière unique une métrique jusqu’à l’ Équivalence conforme . (Deux métriques sont dites équivalentes de manière conforme si elles diffèrent par multiplication par une Fonction lisse positive .) Inversement, toute métrique sur une surface orientéedétermine de manière unique une structure complexe, qui ne dépend de la métrique que jusqu’à l’Équivalence conforme. Les structures complexes sur une surface orientée sont donc en correspondance biunivoque avec les classes conformes de métriques sur cette surface.

Dans une classe conforme donnée, on peut utiliser la symétrie conforme pour trouver une métrique représentative avec des propriétés pratiques. En particulier, il existe toujours une métrique complète avec une courbure constante dans une classe conforme donnée.

Dans le cas de la sphère de Riemann, le théorème de Gauss-Bonnet implique qu’une métrique à courbure constante doit avoir une courbure positive K {displaystyle K} . Il s’ensuit que la métrique doit être isométrique à la sphère de rayon 1 / K {displaystyle 1/{sqrt {K}}} dans R 3 {displaystyle mathbf {R} ^{3}} ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ par projection stéréographique. Dans le ζ {displaystyle zeta} {displaystyle zeta } -graphique sur la sphère de Riemann, la métrique avec K = 1 {displaystyle K=1} est donné par

d s 2 = ( 2 1 + | ζ | 2 ) 2 | d ζ | 2 = 4 ( 1 + ζ ζ ̄ ) 2 d ζ d ζ ̄ . {displaystyle ds^{2}=left({frac {2}{1+|zeta |^{2}}}right)^{2},|dzeta |^{2}= {frac {4}{left(1+zeta {overline {zeta }}right)^{2}}},dzeta ,d{overline {zeta }}.} ${displaystyle ds^{2}=left({frac {2}{1+|zeta |^{2}}}right)^{2},|dzeta |^{2}={frac {4}{left(1+zeta {overline {zeta }}right)^{2}}},dzeta ,d{overline {zeta }}.}$ ${displaystyle ds^{2}=left({frac {2}{1+|zeta |^{2}}}right)^{2},|dzeta |^{2}={frac {4}{left(1+zeta {overline {zeta }}right)^{2}}},dzeta ,d{overline {zeta }}.}$

En coordonnées réelles ζ = u + i v {displaystyle zeta =u+iv} , la formule est

d s 2 = 4 ( 1 + u 2 + v 2 ) 2 ( d u 2 + d v 2 ) . {displaystyle ds^{2}={frac {4}{left(1+u^{2}+v^{2}right)^{2}}}left(du^{2}+ dv^{2}droite).} $ds^2 = frac{4}{left(1 + u^2 + v^2right)^2} left(du^2 + dv^2right).$ $ds^2 = frac{4}{left(1 + u^2 + v^2right)^2} left(du^2 + dv^2right).$

Jusqu’à un facteur constant, cette métrique est en accord avec la métrique standard de Fubini – Study sur l’espace projectif complexe (dont la sphère de Riemann est un exemple).

Jusqu’à la mise à l’échelle, c’est la seule métrique sur la sphère dont le groupe d’isométries préservant l’orientation est tridimensionnel (et aucun n’est plus que tridimensionnel); ce groupe s’appelle SO ( 3 ) {displaystyle {mbox{SO}}(3)} . En ce sens, c’est de loin la métrique la plus symétrique de la sphère. (Le groupe de toutes les isométries, appelé O ( 3 ) {displaystyle {mbox{O}}(3)} , est également en 3 dimensions, mais contrairement à SO ( 3 ) {displaystyle {mbox{SO}}(3)} n’est pas un espace connecté.)

Inversement, laissez S {displaystyle S} désignent la sphère (en tant que variété abstraite lisse ou topologique ). D’après le théorème d’uniformisation, il existe une structure complexe unique sur S {displaystyle S} jusqu’à l’Équivalence conforme. Il s’ensuit que toute métrique sur S {displaystyle S} est conforme à la métrique ronde . Toutes ces métriques déterminent la même géométrie conforme. La métrique ronde n’est donc pas intrinsèque à la sphère de Riemann, puisque la “rondeur” n’est pas un invariant de la géométrie conforme. La sphère de Riemann n’est qu’une variété conforme , pas une variété riemannienne . Cependant, si l’on a besoin de faire de la géométrie riemannienne sur la sphère de Riemann, la métrique ronde est un choix naturel (avec n’importe quel rayon fixe, bien que le rayon 1 {displaystyle 1} est le choix le plus simple et le plus courant). En effet, seule une métrique ronde sur la sphère de Riemann a son groupe d’isométrie être un groupe tridimensionnel. (À savoir, le groupe connu sous le nom de SO ( 3 ) {displaystyle {mbox{SO}}(3)} , un groupe continu (“Lie”) qui est topologiquement l’ espace projectif tridimensionnel P 3 {displaystyle mathbf {P} ^{3}} ${displaystyle mathbf {P} ^{3}}$ ${displaystyle mathbf {P} ^{3}}$ .)

Automorphismes

Une transformation de Möbius agissant sur la sphère, et sur le plan par projection stéréographique

L’étude de tout objet mathématique est facilitée par la compréhension de son groupe d’automorphismes, c’est-à-dire les cartes de l’objet à lui-même qui préservent la structure essentielle de l’objet. Dans le cas de la sphère de Riemann, un automorphisme est une application conforme inversible (c’est-à-dire une application biholomorphe) de la sphère de Riemann à elle-même. Il s’avère que les seules cartes de ce type sont les transformations de Möbius . Ce sont des fonctions de la forme

f ( ζ ) = a ζ + b c ζ + d , {displaystyle f(zeta )={frac {azeta +b}{czeta +d}},} $f(zeta) = frac{a zeta + b}{c zeta + d},$ $f(zeta) = frac{a zeta + b}{c zeta + d},$

où a {displaystyle a} , b {displaystyle b} , c {displaystyle c} , et d {displaystyle d} sont des nombres complexes tels que a d − b c ≠ 0 {displaystyle ad-bcneq 0} . Des exemples de transformations de Möbius incluent des dilatations , des rotations , des translations et des inversions complexes. En fait, toute transformation de Möbius peut être écrite comme une composition de celles-ci.

Les transformations de Möbius sont des homographies sur la droite projective complexe. En Coordonnées projectives , la transformation f s’écrit

[ ζ , 1 ] ( a c b d ) = [ a ζ + b , c ζ + d ] = [ a ζ + b c ζ + d , 1 ] = [ f ( ζ ) , 1 ] . {displaystyle [zeta , 1]{begin{pmatrix}a&c\b&dend{pmatrix}} = [azeta +b, czeta +d] = left[{ tfrac {azeta +b}{czeta +d}}, 1right] = [f(zeta ), 1].} ${displaystyle [zeta , 1]{begin{pmatrix}a&c\b&dend{pmatrix}} = [azeta +b, czeta +d] = left[{tfrac {azeta +b}{czeta +d}}, 1right] = [f(zeta ), 1].}$ ${displaystyle [zeta , 1]{begin{pmatrix}a&c\b&dend{pmatrix}} = [azeta +b, czeta +d] = left[{tfrac {azeta +b}{czeta +d}}, 1right] = [f(zeta ), 1].}$

Ainsi, les transformations de Möbius peuvent être décrites comme des matrices complexes deux par deux avec un déterminant non nul . Puisqu’elles agissent sur des Coordonnées projectives, deux matrices donnent la même transformation de Möbius si et seulement si elles diffèrent d’un facteur non nul. Le groupe des transformations de Möbius est le groupe linéaire projectif PGL ( 2 , C ) {displaystyle {mbox{PGL}}(2,mathbf {C} )} .

Si l’on dote la sphère de Riemann de la métrique de Fubini–Study , alors toutes les transformations de Möbius ne sont pas des isométries ; par exemple, les dilatations et les translations ne le sont pas. Les isométries forment un sous-groupe approprié de PGL ( 2 , C ) {displaystyle {mbox{PGL}}(2,mathbf {C} )} , à savoir PSU ( 2 ) {displaystyle {mbox{PSU}}(2)} . Ce sous-groupe est isomorphe au groupe de rotation SO ( 3 ) {displaystyle {mbox{SO}}(3)} , qui est le groupe de symétries de la sphère unitaire dans R 3 {displaystyle mathbf {R} ^{3}} ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ (qui, restreintes à la sphère, deviennent les isométries de la sphère).

Applications

En analyse complexe, une fonction méromorphe sur le plan complexe (ou sur n’importe quelle surface de Riemann, d’ailleurs) est un rapport f / g {displaystyle f/g} de deux fonctions holomorphes f {displaystyle f} et g {displaystyle g} . En tant que carte des nombres complexes, elle est indéfinie partout où g {displaystyle g} est zéro. Cependant, il induit une carte holomorphe ( f , g ) {displaystyle (f, g)} {displaystyle (f,g)} à la ligne projective complexe qui est bien définie même là où g = 0 {displaystyle g=0} . Cette construction est utile dans l’étude des fonctions holomorphes et méromorphes. Par exemple, sur une surface de Riemann compacte, il n’y a pas de cartes holomorphes non constantes aux nombres complexes, mais les cartes holomorphes à la ligne projective complexe sont abondantes.

La sphère de Riemann a de nombreuses utilisations en physique. En mécanique quantique, les points sur la ligne projective complexe sont des valeurs naturelles pour les états de polarisation des photons , les états de spin des particules massives de spin 1 / 2 {displaystyle 1/2} , et les particules à 2 états en général (voir aussi Quantum bit et Bloch sphere ). La sphère de Riemann a été suggérée comme modèle relativiste de la sphère céleste . ^[4] Dans la théorie des cordes , les feuilles d’univers des cordes sont des surfaces de Riemann, et la sphère de Riemann, étant la surface de Riemann la plus simple, joue un rôle important. Il est également important dans la théorie des twisteurs .

Voir également

Géométrie conforme
Cross-ratio
Dessin d’enfant
Infini dirigé
Théorie du fer à cheval
Pack Hopf
Avion de Moebius
Ligne réelle étendue projectivement

Références

Apprendre encore plus Cet article cite ses sources mais ne fournit pas de références de pages . ( Septembre 2010 ) You can help to improve it by introducing citations that are more precise. (Learn how and when to remove this template message)

^ B. Riemann: Theorie der Abel’sche Funktionen, J. Math. (Crelle) 1857; Werke 88-144. Le nom est dû à Neumann C :Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelsche Integrale, Leipzig 1865 (Teubner)
^ “C^*” . Archivé de l’original le 8 octobre 2021 . Consulté le 12 décembre 2021 .
^ William Mark Goldman (1999) Géométrie hyperbolique complexe , page 1, Clarendon Press ISBN 0-19-853793-X
^ R. Penrose (2007). La route vers la réalité . Livres anciens. pp. 428–430 (§18.5). ISBN 0-679-77631-1.

Brown, James et Churchill, Ruel (1989). Variables complexes et applications . New York : McGraw Hill. ISBN 0-07-010905-2.
Griffiths, Phillip & Harris, Joseph (1978). Principes de géométrie algébrique . John Wiley et fils. ISBN 0-471-32792-1.
Penrose, Roger (2005). La route vers la réalité . New York : Knopf. ISBN 0-679-45443-8.
Rudin, Walter (1987). Analyse réelle et complexe . New York : McGraw–Hill. ISBN 0-07-100276-6.

Liens externes

Wikimedia Commons a des médias liés à la sphère de Riemann .

“Sphère de Riemann” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Moebius Transformations Revealed , par Douglas N. Arnold et Jonathan Rogness (une vidéo de deux professeurs de l’Université du Minnesota expliquant et illustrant les transformations de Möbius à l’aide d’une projection stéréographique à partir d’une sphère)