Racine carrée moyenne

En mathématiques et ses applications, la racine carrée moyenne ( RMS ou RMS ou rms ) est définie comme la racine carrée du carré moyen (la moyenne arithmétique des carrés d’un ensemble de nombres). ^[1] Le RMS est également connu sous le nom de Moyenne quadratique ^{[2] [3]} et est un cas particulier de la moyenne généralisée avec exposant 2. Le RMS peut également être défini pour une fonction à variation continue en termes d’ intégraledes carrés des valeurs instantanées au cours d’un cycle.

Pour le courant électrique alternatif , RMS est égal à la valeur du courant continu constant qui produirait la même dissipation de puissance dans une charge résistive . ^[1]

Dans la théorie de l’estimation , l’ écart quadratique moyen d’un estimateur est une mesure de l’imperfection de l’ajustement de l’estimateur aux données.

Définition

La valeur RMS d’un ensemble de valeurs (ou d’une forme d’ onde en Temps continu ) est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des valeurs, ou le carré de la fonction qui définit la forme d’onde continue. En physique, la valeur du courant RMS peut également être définie comme la “valeur du courant continu qui dissipe la même puissance dans une résistance”.

Dans le cas d’un ensemble de n valeurs { X 1 , X 2 , … , X n } {displaystyle {x_{1},x_{2},dots ,x_{n}}} ${x_{1},x_{2},dots ,x_{n}}$ ${x_{1},x_{2},dots ,x_{n}}$ , la valeur efficace est

X RMS = 1 n ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ) . {displaystyle x_{text{RMS}}={sqrt {{frac {1}{n}}left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots + x_{n}^{2}right)}}.} ${displaystyle x_{text{RMS}}={sqrt {{frac {1}{n}}left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}right)}}.}$ ${displaystyle x_{text{RMS}}={sqrt {{frac {1}{n}}left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}right)}}.}$

La formule correspondante pour une fonction continue (ou forme d’onde) f ( t ) définie sur l’intervalle T 1 ≤ t ≤ T 2 {displaystyle T_{1}leq tleq T_{2}} $T_{1}leq tleq T_{2}$ $T_{1}leq tleq T_{2}$ est

f RMS = 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 [ f ( t ) ] 2 d t , {displaystyle f_{text{RMS}}={sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}}^{T_{2}}{ [f(t)]}^{2},{rm {d}}t}}},} ${displaystyle f_{text{RMS}}={sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2},{rm {d}}t}}},}$ ${displaystyle f_{text{RMS}}={sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2},{rm {d}}t}}},}$

et le RMS pour une fonction sur tout le temps est

f RMS = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T T [ f ( t ) ] 2 d t . {displaystyle f_{text{RMS}}=lim _{Trightarrow infty }{sqrt {{1 over {2T}}{int _{-T}^{T}{[f( t)]}^{2},{rm {d}}t}}}.} ${displaystyle f_{text{RMS}}=lim _{Trightarrow infty }{sqrt {{1 over {2T}}{int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2},{rm {d}}t}}}.}$ ${displaystyle f_{text{RMS}}=lim _{Trightarrow infty }{sqrt {{1 over {2T}}{int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2},{rm {d}}t}}}.}$

Le RMS sur tout le temps d’une fonction périodique est égal au RMS d’une période de la fonction. La valeur RMS d’une fonction ou d’un signal continu peut être approximée en prenant la valeur RMS d’un échantillon composé d’observations équidistantes. De plus, la valeur RMS de diverses formes d’onde peut également être déterminée sans calcul , comme le montre Cartwright. ^[4]

Dans le cas de la statistique RMS d’un Processus aléatoire , la valeur attendue est utilisée à la place de la moyenne.

Dans les formes d’onde courantes

Formes d’onde sinusoïdales , carrées , triangulaires et en dents de scie . Dans chacun, la ligne médiane est à 0, le pic positif est à y = A 1 {displaystyle y=A_{1}} ${displaystyle y=A_{1}}$ ${displaystyle y=A_{1}}$ et le pic négatif est à y = − A 1 {displaystyle y=-A_{1}} ${displaystyle y=-A_{1}}$ ${displaystyle y=-A_{1}}$ Une onde d’impulsion rectangulaire de rapport cyclique D, le rapport entre la durée d’impulsion ( τ {displaystyletau} tau ) et la période (T); illustré ici avec a = 1. Graphique de la tension d’une onde sinusoïdale en fonction du temps (en degrés), montrant les tensions RMS, crête (PK) et crête à crête (PP).

Si la forme d’onde est une onde sinusoïdale pure , les relations entre les amplitudes (crête à crête, crête) et RMS sont fixes et connues, comme elles le sont pour toute onde périodique continue. Cependant, cela n’est pas vrai pour une forme d’onde arbitraire, qui peut ne pas être périodique ou continue. Pour une onde sinusoïdale à moyenne nulle, la relation entre la valeur efficace et l’amplitude crête à crête est :

Crête à crête = 2 2 × RMS ≈ 2.8 × RMS . {displaystyle =2{sqrt {2}}times {text{RMS}}environ 2,8times {text{RMS}}.}

Pour les autres formes d’onde, les relations ne sont pas les mêmes que pour les ondes sinusoïdales. Par exemple, pour une onde triangulaire ou en dents de scie

Crête à crête = 2 3 × RMS ≈ 3.5 × RMS . {displaystyle =2{sqrt {3}}times {text{RMS}}environ 3,5times {text{RMS}}.}

Forme d’onde	Variables et opérateurs	RMS
CC	y = A 0 {displaystyle y=A_{0},} ${displaystyle y=A_{0},}$ ${displaystyle y=A_{0},}$	A 0 {displaystyle A_{0},} ${displaystyle A_{0},}$ ${displaystyle A_{0},}$
Onde sinusoïdale	y = A 1 sin ⁡ ( 2 π f t ) {displaystyle y=A_{1}sin(2pi pi),} ${displaystyle y=A_{1}sin(2pi ft),}$ ${displaystyle y=A_{1}sin(2pi ft),}$	A 1 2 {displaystyle {frac {A_{1}}{sqrt {2}}}} ${displaystyle {frac {A_{1}}{sqrt {2}}}}$ ${displaystyle {frac {A_{1}}{sqrt {2}}}}$
Vague carrée	y = { A 1 frac ⁡ ( f t ) < 0.5 − A 1 frac ⁡ ( f t ) > 0.5 {displaystyle y={begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<0.5\-A_{1}&operatorname {frac} (ft)>0.5end{cases}} } ${displaystyle y={begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<0.5\-A_{1}&operatorname {frac} (ft)>0.5end{cases}}}$ ${displaystyle y={begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<0.5\-A_{1}&operatorname {frac} (ft)>0.5end{cases}}}$	A 1 {displaystyle A_{1},} ${displaystyle A_{1},}$ ${displaystyle A_{1},}$
Onde carrée décalée en courant continu	y = A 0 + { A 1 frac ⁡ ( f t ) < 0.5 − A 1 frac ⁡ ( f t ) > 0.5 {displaystyle y=A_{0}+{begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<0.5\-A_{1}&operatorname {frac} (ft)>0.5 fin{cas}}} ${displaystyle y=A_{0}+{begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<0.5\-A_{1}&operatorname {frac} (ft)>0.5end{cases}}}$ ${displaystyle y=A_{0}+{begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<0.5\-A_{1}&operatorname {frac} (ft)>0.5end{cases}}}$	A 0 2 + A 1 2 {displaystyle {sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}},} ${displaystyle {sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}},}$ ${displaystyle {sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}},}$
Onde sinusoïdale modifiée	y = { 0 frac ⁡ ( f t ) < 0.25 A 1 0.25 < frac ⁡ ( f t ) < 0.5 0 0.5 < frac ⁡ ( f t ) < 0.75 − A 1 frac ⁡ ( f t ) > 0.75 {displaystyle y={begin{cases}0&operatorname {frac} (ft)<0.25\A_{1}&0.25<operatorname {frac} (ft)<0.5\0&0.5<operatorname {frac} (ft)<0.75\-A_{1}&nomopérateur {frac} (ft)>0.75end{cases}}} ${displaystyle y={begin{cases}0&operatorname {frac} (ft)<0.25\A_{1}&0.25<operatorname {frac} (ft)<0.5\0&0.5<operatorname {frac} (ft)<0.75\-A_{1}&operatorname {frac} (ft)>0.75end{cases}}}$ ${displaystyle y={begin{cases}0&operatorname {frac} (ft)<0.25\A_{1}&0.25<operatorname {frac} (ft)<0.5\0&0.5<operatorname {frac} (ft)<0.75\-A_{1}&operatorname {frac} (ft)>0.75end{cases}}}$	A 1 2 {displaystyle {frac {A_{1}}{sqrt {2}}}} ${displaystyle {frac {A_{1}}{sqrt {2}}}}$
Vague triangulaire	y = \| 2 A 1 frac ⁡ ( f t ) − A 1 \| {displaystyle y=left\|2A_{1}operatorname {frac} (ft)-A_{1}right\|} ${displaystyle y=left\|2A_{1}operatorname {frac} (ft)-A_{1}right\|}$ ${displaystyle y=left\|2A_{1}operatorname {frac} (ft)-A_{1}right\|}$	A 1 3 {displaystyle A_{1} over {sqrt {3}}} ${displaystyle A_{1} over {sqrt {3}}}$ ${displaystyle A_{1} over {sqrt {3}}}$
Vague en dents de scie	y = 2 A 1 frac ⁡ ( f t ) − A 1 {displaystyle y=2A_{1}operatorname {frac} (ft)-A_{1},} ${displaystyle y=2A_{1}operatorname {frac} (ft)-A_{1},}$ ${displaystyle y=2A_{1}operatorname {frac} (ft)-A_{1},}$	A 1 3 {displaystyle A_{1} over {sqrt {3}}} ${displaystyle A_{1} over {sqrt {3}}}$ ${displaystyle A_{1} over {sqrt {3}}}$
Onde de pouls	y = { A 1 frac ⁡ ( f t ) < D 0 frac ⁡ ( f t ) > D {displaystyle y={begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<D\0&operatorname {frac} (ft)>Dend{cases}}} ${displaystyle y={begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<D\0&operatorname {frac} (ft)>Dend{cases}}}$ ${displaystyle y={begin{cases}A_{1}&operatorname {frac} (ft)<D\0&operatorname {frac} (ft)>Dend{cases}}}$	A 1 D {displaystyle A_{1}{sqrt {D}}} ${displaystyle A_{1}{sqrt {D}}}$ ${displaystyle A_{1}{sqrt {D}}}$
Tension composée	y = A 1 sin ⁡ ( t ) − A 1 sin ⁡ ( t − 2 π 3 ) {displaystyle y=A_{1}sin(t)-A_{1}sin left(t-{frac {2pi }{3}}right),} ${displaystyle y=A_{1}sin(t)-A_{1}sin left(t-{frac {2pi }{3}}right),}$ ${displaystyle y=A_{1}sin(t)-A_{1}sin left(t-{frac {2pi }{3}}right),}$	A 1 3 2 {displaystyle A_{1}{sqrt {frac {3}{2}}}} ${displaystyle A_{1}{sqrt {frac {3}{2}}}}$ ${displaystyle A_{1}{sqrt {frac {3}{2}}}}$
où: y est le déplacement, il est temps, f est la fréquence, A _i est l’amplitude (valeur de crête), D est le rapport cyclique ou la proportion de la période de temps (1/ f ) passé haut, frac( r ) est la partie fractionnaire de r .

Dans les combinaisons de formes d’onde

Les formes d’onde créées en additionnant des formes d’onde simples connues ont une valeur RMS qui est la racine de la somme des carrés des valeurs RMS des composants, si les formes d’onde des composants sont orthogonales (c’est-à-dire si la moyenne du produit d’une forme d’onde simple avec une autre est nulle pour toutes les paires autres qu’une forme d’onde multipliée par elle-même). ^[5]

RMS Total = RMS 1 2 + RMS 2 2 + ⋯ + RMS n 2 {displaystyle {text{RMS}}_{text{Total}}={sqrt {{text{RMS}}_{1}^{2}+{text{RMS}}_{2} ^{2}+cdots +{text{RMS}}_{n}^{2}}}} ${displaystyle {text{RMS}}_{text{Total}}={sqrt {{text{RMS}}_{1}^{2}+{text{RMS}}_{2}^{2}+cdots +{text{RMS}}_{n}^{2}}}}$ ${displaystyle {text{RMS}}_{text{Total}}={sqrt {{text{RMS}}_{1}^{2}+{text{RMS}}_{2}^{2}+cdots +{text{RMS}}_{n}^{2}}}}$

Alternativement, pour les formes d’onde qui sont parfaitement corrélées positivement, ou “en phase” les unes avec les autres, leurs valeurs RMS s’additionnent directement.

Les usages

En génie électrique

Tension

Un cas particulier de RMS de combinaisons de formes d’onde est : ^[6]

RMS AC+DC = RMS DC 2 + RMS AC 2 {displaystyle {text{RMS}}_{text{AC+DC}}={sqrt {{text{RMS}}_{text{DC}}^{2}+{text{RMS }}_{text{AC}}^{2}}}} ${displaystyle {text{RMS}}_{text{AC+DC}}={sqrt {{text{RMS}}_{text{DC}}^{2}+{text{RMS}}_{text{AC}}^{2}}}}$ ${displaystyle {text{RMS}}_{text{AC+DC}}={sqrt {{text{RMS}}_{text{DC}}^{2}+{text{RMS}}_{text{AC}}^{2}}}}$

où RMS DC {displaystyle {text{RMS}}_{text{DC}}} ${displaystyle {text{RMS}}_{text{DC}}}$ ${displaystyle {text{RMS}}_{text{DC}}}$ fait référence à la composante de courant continu (ou moyenne) du signal, et RMS AC {displaystyle {text{RMS}}_{text{AC}}} ${displaystyle {text{RMS}}_{text{AC}}}$ ${displaystyle {text{RMS}}_{text{AC}}}$ est la composante de courant alternatif du signal.

Puissance électrique moyenne

Les ingénieurs électriciens ont souvent besoin de connaître la puissance , P , dissipée par une résistance électrique , R . Il est facile de faire le calcul lorsqu’il y a un courant constant , I , à travers la résistance. Pour une charge de R ohms, la puissance est définie simplement comme :

P = I 2 R . {displaystyle P=I^{2}R.} $P=I^{2}R.$ $P=I^{2}R.$

Cependant, si le courant est une fonction variant dans le temps, I ( t ), cette formule doit être étendue pour refléter le fait que le courant (et donc la puissance instantanée) varie dans le temps. Si la fonction est périodique (telle que l’alimentation CA domestique), il est toujours utile de discuter de la puissance moyenne dissipée dans le temps, qui est calculée en prenant la dissipation de puissance moyenne :

P a v = ( I ( t ) 2 R ) a v where ( ⋯ ) a v denotes the temporal mean of a function = ( I ( t ) 2 ) a v R (as R does not vary over time, it can be factored out) = I RMS 2 R by definition of root-mean-square {displaystyle {begin{aligned}P_{av}&=left(I(t)^{2}Rright)_{av}&&{text{where }}left(cdots right) _{av}{text{ désigne la moyenne temporelle d’une fonction}}\[3pt]&=left(I(t)^{2}right)_{av}R&&{text{(as } }R{text{ ne varie pas dans le temps, il peut être factorisé)}}\[3pt]&=I_{text{RMS}}^{2}R&&{text{par définition de la moyenne racine -carré}}end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}P_{av}&=left(I(t)^{2}Rright)_{av}&&{text{where }}left(cdots right)_{av}{text{ denotes the temporal mean of a function}}\[3pt]&=left(I(t)^{2}right)_{av}R&&{text{(as }}R{text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\[3pt]&=I_{text{RMS}}^{2}R&&{text{by definition of root-mean-square}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}P_{av}&=left(I(t)^{2}Rright)_{av}&&{text{where }}left(cdots right)_{av}{text{ denotes the temporal mean of a function}}\[3pt]&=left(I(t)^{2}right)_{av}R&&{text{(as }}R{text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\[3pt]&=I_{text{RMS}}^{2}R&&{text{by definition of root-mean-square}}end{aligned}}}$

Ainsi, la valeur efficace, I _RMS , de la fonction I ( t ) est le courant constant qui produit la même dissipation de puissance que la dissipation de puissance moyenne dans le temps du courant I ( t ).

La puissance moyenne peut également être trouvée en utilisant la même méthode que dans le cas d’une tension variant dans le temps , V ( t ), avec une valeur RMS V _RMS ,

P Avg = V RMS 2 R . {displaystyle P_{text{Avg}}={V_{text{RMS}}^{2} over R}.} ${displaystyle P_{text{Avg}}={V_{text{RMS}}^{2} over R}.}$ ${displaystyle P_{text{Avg}}={V_{text{RMS}}^{2} over R}.}$

Cette équation peut être utilisée pour n’importe quelle forme d’ onde périodique , telle qu’une forme d’onde sinusoïdale ou en dents de scie , nous permettant de calculer la puissance moyenne délivrée dans une charge spécifiée.

En prenant la racine carrée de ces deux équations et en les multipliant ensemble, on trouve que la puissance est :

P Avg = V RMS I RMS . {displaystyle P_{text{Moyenne}}=V_{text{RMS}}I_{text{RMS}}.} ${displaystyle P_{text{Avg}}=V_{text{RMS}}I_{text{RMS}}.}$ ${displaystyle P_{text{Avg}}=V_{text{RMS}}I_{text{RMS}}.}$

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Les deux dérivations dépendent de la proportionnalité de la tension et du courant (c’est-à-dire que la charge, R , est purement résistive). Les charges réactives (c’est-à-dire les charges capables non seulement de dissiper l’énergie mais aussi de la stocker) sont abordées sous le thème de l’alimentation CA .

Dans le cas courant du courant alternatif lorsque I ( t ) est un courant sinusoïdal , comme c’est approximativement le cas pour l’alimentation secteur, la valeur RMS est facile à calculer à partir de l’équation du cas continu ci-dessus. Si I _p est défini comme étant le courant de crête, alors :

I RMS = 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 [ I p sin ⁡ ( ω t ) ] 2 d t , {displaystyle I_{text{RMS}}={sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}int _{T_{1}}^{T_{2}}left [I_{text{p}}sin(omega t)right]^{2}dt}},} ${displaystyle I_{text{RMS}}={sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}int _{T_{1}}^{T_{2}}left[I_{text{p}}sin(omega t)right]^{2}dt}},}$ ${displaystyle I_{text{RMS}}={sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}int _{T_{1}}^{T_{2}}left[I_{text{p}}sin(omega t)right]^{2}dt}},}$

où t est le temps et ω est la fréquence angulaire ( ω = 2 π / T , où T est la période de l’onde).

Puisque I _p est une constante positive :

I RMS = I p 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 sin 2 ⁡ ( ω t ) d t . {displaystyle I_{text{RMS}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}} ^{T_{2}}{sin ^{2}(omega t)},dt}}}.} ${displaystyle I_{text{RMS}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}}^{T_{2}}{sin ^{2}(omega t)},dt}}}.}$ ${displaystyle I_{text{RMS}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}}^{T_{2}}{sin ^{2}(omega t)},dt}}}.}$

Utilisation d’une identité trigonométrique pour éliminer la quadrature de la fonction trigonométrique :

I RMS = I p 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 1 − cos ⁡ ( 2 ω t ) 2 d t = I p 1 T 2 − T 1 [ t 2 − sin ⁡ ( 2 ω t ) 4 ω ] T 1 T 2 {displaystyle {begin{aligned}I_{text{RMS}}&=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-cos(2omega t) over 2},dt}}}\[3pt]&=I_{text{p}} {sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}left[{t over 2}-{sin(2omega t) over 4omega }right]_{ T_{1}}^{T_{2}}}}end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}I_{text{RMS}}&=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-cos(2omega t) over 2},dt}}}\[3pt]&=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}left[{t over 2}-{sin(2omega t) over 4omega }right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}I_{text{RMS}}&=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-cos(2omega t) over 2},dt}}}\[3pt]&=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}left[{t over 2}-{sin(2omega t) over 4omega }right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}end{aligned}}}$

mais puisque l’intervalle est un nombre entier de cycles complets (par définition de RMS), les termes sinus s’annuleront, laissant :

I RMS = I p 1 T 2 − T 1 [ t 2 ] T 1 T 2 = I p 1 T 2 − T 1 T 2 − T 1 2 = I p 2 . {displaystyle I_{text{RMS}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}left[{t over 2} droite]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{{T_ {2}-T_{1}} over 2}}}={I_{text{p}} over {sqrt {2}}}.} ${displaystyle I_{text{RMS}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}left[{t over 2}right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} over 2}}}={I_{text{p}} over {sqrt {2}}}.}$ ${displaystyle I_{text{RMS}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}left[{t over 2}right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{text{p}}{sqrt {{1 over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} over 2}}}={I_{text{p}} over {sqrt {2}}}.}$

Une analyse similaire conduit à l’équation analogue pour la tension sinusoïdale :

V RMS = V p 2 , {displaystyle V_{text{RMS}}={V_{text{p}} over {sqrt {2}}},} ${displaystyle V_{text{RMS}}={V_{text{p}} over {sqrt {2}}},}$ ${displaystyle V_{text{RMS}}={V_{text{p}} over {sqrt {2}}},}$

où I _P représente le courant de crête et V _P représente la tension de crête.

En raison de leur utilité pour effectuer des calculs de puissance, les tensions répertoriées pour les prises de courant (par exemple, 120 V aux États-Unis ou 230 V en Europe) sont presque toujours indiquées en valeurs RMS et non en valeurs de crête. Les valeurs de crête peuvent être calculées à partir des valeurs RMS de la formule ci-dessus, ce qui implique V _P = V _RMS × √ 2 , en supposant que la source est une onde sinusoïdale pure. Ainsi, la valeur de crête de la tension secteur aux États-Unis est d’environ 120 × √ 2, soit environ 170 volts. La tension crête à crête, étant le double, est d’environ 340 volts. Un calcul similaire indique que la tension secteur crête en Europe est d’environ 325 volts et la tension secteur crête à crête, d’environ 650 volts.

Les grandeurs efficaces telles que le courant électrique sont généralement calculées sur un cycle. Cependant, à certaines fins, le courant RMS sur une période plus longue est requis lors du calcul des pertes de puissance de transmission. Le même principe s’applique, et (par exemple) un courant de 10 ampères utilisé pendant 12 heures chaque jour de 24 heures représente un courant moyen de 5 ampères, mais un courant RMS de 7,07 ampères, à long terme.

Le terme puissance RMS est parfois utilisé à tort dans l’industrie audio comme synonyme de puissance moyenne ou de puissance moyenne (elle est proportionnelle au carré de la tension RMS ou du courant RMS dans une charge résistive). Pour une discussion sur les mesures de puissance audio et leurs défauts, voir Puissance audio .

La vitesse

Dans la physique des molécules de gaz , la vitesse quadratique moyenne est définie comme la racine carrée de la Vitesse quadratique moyenne. La vitesse RMS d’un gaz parfait est calculée à l’aide de l’équation suivante :

v RMS = 3 R T M {displaystyle v_{text{RMS}}={sqrt {3RT over M}}} ${displaystyle v_{text{RMS}}={sqrt {3RT over M}}}$ ${displaystyle v_{text{RMS}}={sqrt {3RT over M}}}$

où R représente la constante du gaz , 8,314 J/(mol·K), T est la température du gaz en kelvins et M est la masse molaire du gaz en kilogrammes par mole. En physique, la vitesse est définie comme la grandeur scalaire de la vitesse. Pour un gaz stationnaire, la vitesse moyenne de ses molécules peut être de l’ordre de milliers de km/h, même si la vitesse moyenne de ses molécules est nulle.

Erreur

Lorsque deux ensembles de données – un ensemble de prédiction théorique et l’autre de la mesure réelle d’une variable physique, par exemple – sont comparés, la valeur efficace des différences par paires des deux ensembles de données peut servir de mesure de l’ampleur moyenne de l’erreur. de 0. La moyenne des valeurs absolues des différences par paires pourrait être une mesure utile de la variabilité des différences. Cependant, le RMS des différences est généralement la mesure préférée, probablement en raison de la convention mathématique et de la compatibilité avec d’autres formules.

Dans le domaine fréquentiel

Le RMS peut être calculé dans le domaine fréquentiel, en utilisant le théorème de Parseval . Pour un signal échantillonné x [ n ] = x ( t = n T ) {displaystyle x[n]=x(t=nT)} , où T {displaystyle T} est la période d’échantillonnage,

∑ n = 1 N x 2 [ n ] = 1 N ∑ m = 1 N | X [ m ] | 2 , {displaystyle sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={frac {1}{N}}sum _{m=1}^{N}left |X[m]droite|^{2},} ${displaystyle sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={frac {1}{N}}sum _{m=1}^{N}left|X[m]right|^{2},}$ ${displaystyle sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={frac {1}{N}}sum _{m=1}^{N}left|X[m]right|^{2},}$

où X [ m ] = FFT ⁡ { x [ n ] } {displaystyle X[m]=operatorname {FFT} {x[n]}} et N est la taille de l’échantillon, c’est-à-dire le nombre d’observations dans l’échantillon et les coefficients FFT.

Dans ce cas, la RMS calculée dans le domaine temporel est la même que dans le domaine fréquentiel :

RMS { x [ n ] } = 1 N ∑ n x 2 [ n ] = 1 N 2 ∑ m | X [ m ] | 2 = ∑ m | X [ m ] N | 2 . {displaystyle {text{RMS}}{x[n]}={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{n}{x^{2}[n]}} }={sqrt {{frac {1}{N^{2}}}sum _{m}{{bigl |}X[m]{bigr |}}^{2}}}={ sqrt {sum _{m}{left|{frac {X[m]}{N}}right|^{2}}}}.} ${displaystyle {text{RMS}}{x[n]}={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{n}{x^{2}[n]}}}={sqrt {{frac {1}{N^{2}}}sum _{m}{{bigl |}X[m]{bigr |}}^{2}}}={sqrt {sum _{m}{left|{frac {X[m]}{N}}right|^{2}}}}.}$ ${displaystyle {text{RMS}}{x[n]}={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{n}{x^{2}[n]}}}={sqrt {{frac {1}{N^{2}}}sum _{m}{{bigl |}X[m]{bigr |}}^{2}}}={sqrt {sum _{m}{left|{frac {X[m]}{N}}right|^{2}}}}.}$

Relation avec d’autres statistiques

Preuve géométrique sans mots que max ( a , b ) > racine carrée moyenne ( RMS ) ou Moyenne quadratique ( QM ) > moyenne arithmétique ( AM ) > moyenne géométrique ( GM ) > moyenne harmonique ( HM ) > min ( a , b )de deux nombres positifs distincts a et b ^[7]

Si x ̄ {displaystyle {bar {x}}} est la moyenne arithmétique et σ x {displaystyle sigma _{x}} $sigma _{x}$ $sigma _{x}$ est l’ écart type d’une population ou d’une forme d’ onde , alors : ^[8]

x rms 2 = x ̄ 2 + σ x 2 = x 2 ̄ . {displaystyle x_{text{rms}}^{2}={overline {x}}^{2}+sigma _{x}^{2}={overline {x^{2}}} .} ${displaystyle x_{text{rms}}^{2}={overline {x}}^{2}+sigma _{x}^{2}={overline {x^{2}}}.}$ ${displaystyle x_{text{rms}}^{2}={overline {x}}^{2}+sigma _{x}^{2}={overline {x^{2}}}.}$

Il en ressort clairement que la valeur RMS est toujours supérieure ou égale à la moyenne, en ce sens que la RMS inclut également “l’erreur” / l’écart carré.

Les physiciens utilisent souvent le terme racine carrée moyenne comme synonyme d’ écart type lorsqu’on peut supposer que le signal d’entrée a une moyenne nulle, c’est-à-dire se référant à la racine carrée de l’écart quadratique moyen d’un signal par rapport à une ligne de base ou à un ajustement donné. ^{[9] [10]} Ceci est utile pour les ingénieurs électriciens dans le calcul de la valeur efficace “CA uniquement” d’un signal. L’écart type étant la valeur efficace de la variation d’un signal autour de la moyenne, plutôt qu’environ 0, la Composante CC est supprimée (c’est-à-dire, RMS(signal) = stdev(signal) si le signal moyen est 0).

Voir également

Valeur rectifiée moyenne (ARV)
Moment central
Moyenne géométrique
Norme L2
Moindres carrés
Liste des symboles mathématiques
Déplacement carré moyen
Véritable convertisseur RMS

Références

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^ Si AC = a et BC = b . OC = AM de a et b , et rayon r = QO = OG.
En utilisant le Théorème de Pythagore , QC2 = QO2 + OC2 ∴ QC = √ QO2 + OC2 = QM .
En utilisant le Théorème de Pythagore, OC2 = OG2 + GC2 ∴ GC = √ OC2 − OG2 = GM .
En utilisant des triangles semblables ,SC/CG= CG/CO∴ HC = GC2/CO= HM .
^ Chris C. Bissell; David A. Chapman (1992). Transmission de signal numérique (2e éd.). La presse de l’Universite de Cambridge. p. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.
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^ “RACINE, TH1:GetRMS” . Archivé de l’original le 2017-06-30 . Récupéré le 18/07/2013 .

Liens externes

Un cas expliquant pourquoi RMS est un terme impropre lorsqu’il est appliqué à la puissance audio
Une applet Java sur l’apprentissage de RMS