Mécanique quantique

La mécanique quantique est une théorie fondamentale de la physique qui fournit une description des propriétés physiques de la nature à l’échelle des atomes et des particules subatomiques . ^{[2] : 1.1} C’est le fondement de toute la physique quantique, y compris la chimie quantique , la théorie quantique des champs , la technologie quantique et la science de l’information quantique .

Fonctions d’onde de l’ électron dans un atome d’hydrogène à différents niveaux d’énergie. La mécanique quantique ne peut pas prédire l’emplacement exact d’une particule dans l’espace, seulement la probabilité de la trouver à différents endroits. ^[1] Les zones les plus lumineuses représentent une probabilité plus élevée de trouver l’électron.

La physique classique , l’ensemble des théories qui existaient avant l’avènement de la mécanique quantique, décrit de nombreux aspects de la nature à une échelle ordinaire ( macroscopique ), mais n’est pas suffisante pour les décrire à petite échelle (atomique et subatomique ). La plupart des théories de la physique classique peuvent être dérivées de la mécanique quantique en tant qu’approximation valable à grande échelle (macroscopique). ^[3]

La mécanique quantique diffère de la physique classique en ce que l’énergie , la quantité de mouvement , le moment cinétique et d’autres quantités d’un système lié sont limités à des valeurs discrètes ( quantification ), les objets ont des caractéristiques à la fois de particules et d’ ondes ( dualité onde-particule ) et il y a des limites à la précision avec laquelle la valeur d’une grandeur physique peut être prédite avant sa mesure, compte tenu d’un ensemble complet de conditions initiales ( principe d’incertitude ).

La mécanique quantique est née progressivement de théories pour expliquer des observations qui ne pouvaient pas être conciliées avec la physique classique, comme la solution de Max Planck en 1900 au problème du rayonnement du corps noir , et la correspondance entre l’énergie et la fréquence dans l’article d’ Albert Einstein de 1905 qui expliqué l’ effet photoélectrique . Ces premières tentatives pour comprendre les phénomènes microscopiques, aujourd’hui connues sous le nom de “l’ ancienne théorie quantique “, ont conduit au plein développement de la mécanique quantique au milieu des années 1920 par Niels Bohr , Erwin Schrödinger , Werner Heisenberg , Max Born ,Paul Dirac et autres. La théorie moderne est formulée dans divers formalismes mathématiques spécialement développés . Dans l’un d’eux, une entité mathématique appelée la fonction d’onde fournit des informations, sous la forme d’ amplitudes de probabilité , sur ce que les mesures de l’énergie, de la quantité de mouvement et d’autres propriétés physiques d’une particule peuvent produire.

Présentation et concepts fondamentaux

La mécanique quantique permet le calcul des propriétés et du comportement des systèmes physiques. Elle s’applique typiquement aux systèmes microscopiques : molécules, atomes et particules subatomiques. Il a été démontré qu’il valait pour des molécules complexes avec des milliers d’atomes, ^[4] mais son application aux êtres humains soulève des problèmes philosophiques, comme l’ami de Wigner , et son application à l’univers dans son ensemble reste spéculative. ^[5] Les prédictions de la mécanique quantique ont été vérifiées expérimentalement avec un degré de précision extrêmement élevé . ^{[note 1]}

Une caractéristique fondamentale de la théorie est qu’elle ne peut généralement pas prédire avec certitude ce qui se passera, mais ne donne que des probabilités. Mathématiquement, une probabilité est trouvée en prenant le carré de la valeur absolue d’un nombre complexe , appelée amplitude de probabilité. C’est ce qu’on appelle la règle de Born , du nom du physicien Max Born . Par exemple, une particule quantique comme un électron peut être décrite par une fonction d’onde , qui associe à chaque point de l’espace une amplitude de probabilité. L’application de la règle de Born à ces amplitudes donne une fonction de densité de probabilitépour la position que l’électron aura lorsqu’une expérience est effectuée pour le mesurer. C’est le mieux que la théorie puisse faire ; il ne peut pas dire avec certitude où se trouvera l’électron. L’ équation de Schrödinger relie la collection d’amplitudes de probabilité qui se rapportent à un moment de temps à la collection d’amplitudes de probabilité qui se rapportent à un autre.

Une conséquence des règles mathématiques de la mécanique quantique est un compromis de prévisibilité entre différentes quantités mesurables. La forme la plus célèbre de ce principe d’incertitude dit que peu importe la façon dont une particule quantique est préparée ou le soin avec lequel les expériences sont organisées, il est impossible d’avoir une prédiction précise pour une mesure de sa position et aussi en même temps pour une mesure de son élan .

Une autre conséquence des règles mathématiques de la mécanique quantique est le phénomène d’ interférence quantique , souvent illustré par l’ expérience de la double fente . Dans la version de base de cette expérience, une source de lumière cohérente , telle qu’un faisceau laser , éclaire une plaque percée de deux fentes parallèles, et la lumière traversant les fentes est observée sur un écran derrière la plaque. ^{[6] : 102–111 [2] : 1.1–1.8} La nature ondulatoire de la lumière fait interférer les ondes lumineuses traversant les deux fentes , produisant des bandes lumineuses et sombres sur l’écran – un résultat qui ne serait pas attendu si la lumière consistait de particules classiques. ^[6]Cependant, la lumière se trouve toujours absorbée à l’écran en des points discrets, sous forme de particules individuelles plutôt que d’ondes; le motif d’interférence apparaît via la densité variable de ces impacts de particules sur l’écran. De plus, les versions de l’expérience qui incluent des détecteurs au niveau des fentes constatent que chaque photon détecté passe par une fente (comme le ferait une particule classique), et non par les deux fentes (comme le ferait une onde). ^{[6] : 109 [7] [8]} Cependant, de telles expériences démontrent que les particules ne forment pas le motif d’interférence si l’on détecte par quelle fente elles passent. D’autres entités à l’échelle atomique, telles que les électrons , présentent le même comportement lorsqu’elles sont tirées vers une double fente.^[2] Ce comportement est connu sous le nom de dualité onde-particule .

Un autre phénomène contre-intuitif prédit par la mécanique quantique est l’effet tunnel quantique : une particule qui heurte une barrière de potentiel peut la franchir, même si son énergie cinétique est inférieure au maximum du potentiel. ^[9] En mécanique classique cette particule serait piégée. L’effet tunnel quantique a plusieurs conséquences importantes, permettant la désintégration radioactive , la fusion nucléaire dans les étoiles et des applications telles que la microscopie à effet tunnel et la diode tunnel . ^[dix]

Lorsque des systèmes quantiques interagissent, le résultat peut être la création d’ un enchevêtrement quantique : leurs propriétés deviennent si étroitement liées qu’une description de l’ensemble uniquement en termes de parties individuelles n’est plus possible. Erwin Schrödinger a appelé l’intrication “… le trait caractéristique de la mécanique quantique, celui qui impose son écart total avec les lignes de pensée classiques”. ^[11] L’intrication quantique permet les propriétés contre-intuitives de la pseudo-télépathie quantique et peut être une ressource précieuse dans les protocoles de communication, tels que la distribution de clé quantique et le codage superdense . ^[12]Contrairement aux idées reçues, l’intrication ne permet pas d’envoyer des signaux plus rapidement que la lumière , comme le démontre le théorème de non-communication . ^[12]

Une autre possibilité ouverte par l’intrication est de tester des ” variables cachées “, des propriétés hypothétiques plus fondamentales que les quantités abordées dans la théorie quantique elle-même, dont la connaissance permettrait des prédictions plus exactes que la théorie quantique ne peut fournir. Une collection de résultats, le plus important étant le théorème de Bell , a démontré que de larges classes de ces théories à variables cachées sont en fait incompatibles avec la physique quantique. Selon le théorème de Bell, si la nature fonctionne réellement en accord avec une théorie des variables cachées locales , alors les résultats d’un test de Bellseront contraints d’une manière particulière et quantifiable. De nombreux tests de Bell ont été réalisés, utilisant des particules intriquées, et ils ont montré des résultats incompatibles avec les contraintes imposées par les variables cachées locales. ^{[13] [14]}

Il n’est pas possible de présenter ces concepts de manière plus que superficielle sans introduire les mathématiques réelles impliquées ; comprendre la mécanique quantique nécessite non seulement de manipuler les nombres complexes, mais aussi l’algèbre linéaire , les équations différentielles , la théorie des groupes et d’autres sujets plus avancés. ^{[note 2]} En conséquence, cet article présentera une formulation mathématique de la mécanique quantique et passera en revue son application à quelques exemples utiles et souvent étudiés.

Formulation mathématique

Dans la formulation mathématiquement rigoureuse de la mécanique quantique, l’état d’un système mécanique quantique est un vecteur ψ {displaystylepsi} psi appartenant à un espace de Hilbert complexe ( séparable ) H {displaystyle {mathcal{H}}} {mathcal {H}} . Ce vecteur est postulé pour être normalisé sous le produit interne de l’espace de Hilbert, c’est-à-dire qu’il obéit ⟨ ψ , ψ ⟩ = 1 {displaystyle langle psi ,psi rangle =1} , et il est bien défini jusqu’à un nombre complexe de module 1 (la phase globale), c’est-à-dire ψ {displaystylepsi} psi et e je α ψ {displaystyle e^{ialpha}psi} ${displaystyle e^{ialpha }psi }$ ${displaystyle e^{ialpha }psi }$ représentent le même système physique. En d’autres termes, les états possibles sont des points dans l’ espace projectif d’un espace de Hilbert, généralement appelé l’ espace projectif complexe . La nature exacte de cet espace de Hilbert dépend du système – par exemple, pour décrire la position et la quantité de mouvement, l’espace de Hilbert est l’espace des fonctions complexes carrées intégrables L 2 ( C ) {displaystyle L^{2}(mathbb {C} )} ${displaystyle L^{2}(mathbb {C} )}$ ${displaystyle L^{2}(mathbb {C} )}$ , tandis que l’espace de Hilbert pour le spin d’un seul proton est simplement l’espace des vecteurs complexes bidimensionnels C 2 {displaystyle mathbb {C} ^{2}} ${mathbb C}^{2}$ ${mathbb C}^{2}$ avec le produit intérieur habituel.

Les grandeurs physiques d’intérêt – position, quantité de mouvement, énergie, spin – sont représentées par des observables, qui sont des opérateurs linéaires hermitiens (plus précisément, auto-adjoints ) agissant sur l’espace de Hilbert. Un état quantique peut être un vecteur propre d’un observable, auquel cas il est appelé un état propre , et la valeur propre associée correspond à la valeur de l’observable dans cet état propre. Plus généralement, un état quantique sera une combinaison linéaire des états propres, appelée superposition quantique . Lorsqu’une observable est mesurée, le résultat sera l’une de ses valeurs propres avec une probabilité donnée par la règle de Born: dans le cas le plus simple la valeur propre λ {displaystylelambda} lambda est non dégénéré et la probabilité est donnée par | ⟨ λ → , ψ ⟩ | 2 {displaystyle |langle {vec {lambda }},psi rangle |^{2}} ${displaystyle |langle {vec {lambda }},psi rangle |^{2}}$ ${displaystyle |langle {vec {lambda }},psi rangle |^{2}}$ , où λ → {displaystyle {vec {lambda}}} {displaystyle {vec {lambda }}} est son vecteur propre associé. Plus généralement, la valeur propre est dégénérée et la probabilité est donnée par ⟨ ψ , P λ ψ ⟩ {displaystyle langle psi ,P_{lambda }psi rangle } ${displaystyle langle psi ,P_{lambda }psi rangle }$ ${displaystyle langle psi ,P_{lambda }psi rangle }$ , où P λ {displaystyle P_{lambda}} $P_{lambda }$ $P_{lambda }$ est le projecteur sur son espace propre associé. Dans le cas continu, ces formules donnent plutôt la densité de probabilité .

Après la mesure, si le résultat λ {displaystylelambda} lambda a été obtenu, l’état quantique est postulé pour s’effondrer à λ → {displaystyle {vec {lambda}}} {displaystyle {vec {lambda }}} , dans le cas non dégénéré, ou à P λ ψ / ⟨ ψ , P λ ψ ⟩ {displaystyle P_{lambda }psi /{sqrt {langle psi ,P_{lambda }psi rangle }}} ${displaystyle P_{lambda }psi /{sqrt {langle psi ,P_{lambda }psi rangle }}}$ ${displaystyle P_{lambda }psi /{sqrt {langle psi ,P_{lambda }psi rangle }}}$ , dans le cas général. Le caractère probabiliste de la mécanique quantique découle donc de l’acte de mesure. C’est l’un des aspects les plus difficiles à comprendre des systèmes quantiques. C’était le sujet central des célèbres débats Bohr-Einstein , au cours desquels les deux scientifiques ont tenté de clarifier ces principes fondamentaux au moyen d’ expériences de pensée . Dans les décennies qui ont suivi la formulation de la mécanique quantique, la question de savoir ce qui constitue une “mesure” a été largement étudiée. De nouvelles interprétations de la mécanique quantique ont été formulées qui suppriment le concept de « effondrement de la fonction d’onde » (voir, par exemple, l’ interprétation à plusieurs mondes). L’idée de base est que lorsqu’un système quantique interagit avec un appareil de mesure, leurs fonctions d’onde respectives s’enchevêtrent de sorte que le système quantique d’origine cesse d’exister en tant qu’entité indépendante. Pour plus de détails, voir l’article sur la mesure en mécanique quantique . ^[17]

L’évolution temporelle d’un état quantique est décrite par l’ équation de Schrödinger :

i ħ d d t ψ ( t ) = H ψ ( t ) . {displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}psi (t)=Hpsi (t).} ${displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}psi (t)=Hpsi (t).}$ ${displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}psi (t)=Hpsi (t).}$

Ici H {displaystyle H} désigne l’ hamiltonien , l’observable correspondant à l’ énergie totale du système, et ħ {displaystylehbar} hbar est la constante de Planck réduite . La constante i ħ {displaystyle ihbar } ihbar est introduit de manière à ce que l’hamiltonien soit réduit à l’ hamiltonien classique dans les cas où le système quantique peut être approximé par un système classique ; la capacité de faire une telle approximation dans certaines limites s’appelle le principe de correspondance .

La solution de cette équation différentielle est donnée par

ψ ( t ) = e − i H t / ħ ψ ( 0 ) . {displaystyle psi (t)=e^{-iHt/hbar }psi (0).} ${displaystyle psi (t)=e^{-iHt/hbar }psi (0).}$ ${displaystyle psi (t)=e^{-iHt/hbar }psi (0).}$

L’opérateur U ( t ) = e − i H t / ħ {displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }} ${displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }}$ ${displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }}$ est connu sous le nom d’opérateur d’évolution dans le temps et possède la propriété cruciale d’être unitaire . Cette évolution temporelle est déterministe en ce sens que – étant donné un état quantique initial ψ ( 0 ) {displaystylepsi (0)} psi (0) – il fait une prédiction précise de ce que l’état quantique ψ ( t ) {displaystyle psi (t)} psi(t) sera à tout moment ultérieur. ^[18]

Fig. 1 : Densités de probabilité correspondant aux fonctions d’onde d’un électron dans un atome d’hydrogène possédant des niveaux d’énergie définis (croissant du haut de l’image vers le bas : n = 1, 2, 3, …) et des moments cinétiques ( croissant de gauche à droite : s , p , d , …). Les zones plus denses correspondent à une densité de probabilité plus élevée dans une mesure de position. De telles fonctions d’onde sont directement comparables aux figures de Chladni des modes acoustiques de vibration en physique classiqueet sont également des modes d’oscillation, possédant une forte énergie et donc une fréquence définie . Le moment cinétique et l’énergie sont quantifiés et ne prennent que des valeurs discrètes comme celles présentées (comme c’est le cas pour les fréquences de résonance en acoustique)

Certaines fonctions d’onde produisent des distributions de probabilité indépendantes du temps, comme les états propres de l’hamiltonien . De nombreux systèmes traités dynamiquement en mécanique classique sont décrits par de telles fonctions d’onde “statiques”. Par exemple, un seul électron dans un atome non excité est représenté classiquement comme une particule se déplaçant sur une trajectoire circulaire autour du noyau atomique , alors qu’en mécanique quantique, il est décrit par une fonction d’onde statique entourant le noyau. Par exemple, la fonction d’onde électronique pour un atome d’hydrogène non excité est une fonction à symétrie sphérique connue sous le nom d’ orbitale s ( Fig. 1 ).

Les solutions analytiques de l’équation de Schrödinger sont connues pour très peu d’hamiltoniens modèles relativement simples, y compris l’ oscillateur harmonique quantique , la particule dans une boîte , le cation dihydrogène et l’ atome d’hydrogène . Même l’ atome d’hélium – qui ne contient que deux électrons – a défié toutes les tentatives de traitement entièrement analytique.

Cependant, il existe des techniques pour trouver des solutions approximatives. Une méthode, appelée théorie des perturbations , utilise le résultat analytique d’un modèle de mécanique quantique simple pour créer un résultat pour un modèle connexe mais plus compliqué par (par exemple) l’ajout d’une faible énergie potentielle . Une autre méthode est appelée “équation semi-classique du mouvement”, qui s’applique aux systèmes pour lesquels la mécanique quantique ne produit que de faibles écarts par rapport au comportement classique. Ces déviations peuvent ensuite être calculées sur la base du mouvement classique. Cette approche est particulièrement importante dans le domaine du chaos quantique .

Principe incertain

Une conséquence du formalisme quantique de base est le principe d’incertitude . Dans sa forme la plus familière, cela stipule qu’aucune préparation d’une particule quantique ne peut impliquer simultanément des prédictions précises à la fois pour une mesure de sa position et pour une mesure de sa quantité de mouvement. ^{[19] [20]} Tant la position que l’élan sont des observables, ce qui signifie qu’ils sont représentés par des opérateurs hermitiens. L’opérateur de poste X ^ {displaystyle {chapeau {X}}} {hat {X}} et opérateur de quantité de mouvement P ^ {displaystyle {chapeau {P}}} hat{P} ne commutent pas, mais satisfont plutôt la relation de commutation canonique :

[ X ^ , P ^ ] = i ħ . {displaystyle [{hat {X}},{hat {P}}]=ihbar .}

Étant donné un état quantique, la règle de Born nous permet de calculer les valeurs d’espérance pour les deux X {displaystyle X} et P {displaystyle P} , et de plus pour leurs pouvoirs. En définissant l’incertitude d’une observable par un écart-type , on a

σ X = ⟨ X 2 ⟩ − ⟨ X ⟩ 2 , {displaystyle sigma _{X}={sqrt {langle {X}^{2}rangle -langle {X}rangle ^{2}}},} ${displaystyle sigma _{X}={sqrt {langle {X}^{2}rangle -langle {X}rangle ^{2}}},}$ ${displaystyle sigma _{X}={sqrt {langle {X}^{2}rangle -langle {X}rangle ^{2}}},}$

et de même pour l’élan :

σ P = ⟨ P 2 ⟩ − ⟨ P ⟩ 2 . {displaystyle sigma _{P}={sqrt {langle {P}^{2}rangle -langle {P}rangle ^{2}}}.} ${displaystyle sigma _{P}={sqrt {langle {P}^{2}rangle -langle {P}rangle ^{2}}}.}$ ${displaystyle sigma _{P}={sqrt {langle {P}^{2}rangle -langle {P}rangle ^{2}}}.}$

Le principe d’incertitude stipule que

σ X σ P ≥ ħ 2 . {displaystyle sigma _{X}sigma _{P}geq {frac {hbar }{2}}.} ${displaystyle sigma _{X}sigma _{P}geq {frac {hbar }{2}}.}$ ${displaystyle sigma _{X}sigma _{P}geq {frac {hbar }{2}}.}$

L’un ou l’autre écart type peut en principe être rendu arbitrairement petit, mais pas les deux simultanément. ^[21] Cette inégalité se généralise à des paires arbitraires d’opérateurs auto-adjoints A {displaystyle A} et B {displaystyle B} . Le commutateur de ces deux opérateurs est

[ A , B ] = A B − B A , {displaystyle [A,B]=AB-BA,}

et cela fournit la borne inférieure du produit des écarts-types :

σ A σ B ≥ 1 2 | ⟨ [ A , B ] ⟩ | . {displaystyle sigma _{A}sigma _{B}geq {frac {1}{2}}left|langle [A,B]rangle right|.} ${displaystyle sigma _{A}sigma _{B}geq {frac {1}{2}}left|langle [A,B]rangle right|.}$ ${displaystyle sigma _{A}sigma _{B}geq {frac {1}{2}}left|langle [A,B]rangle right|.}$

Une autre conséquence de la relation de commutation canonique est que les opérateurs de position et de moment sont des transformées de Fourier l’un de l’autre, de sorte qu’une description d’un objet selon son moment est la transformée de Fourier de sa description selon sa position. Le fait que la dépendance en quantité de mouvement soit la transformée de Fourier de la dépendance en position signifie que l’opérateur de quantité de mouvement est équivalent (jusqu’à un i / ħ {displaystyle i/hbar } facteur) à prendre la dérivée selon la position, puisque dans l’analyse de Fourier la différenciation correspond à la multiplication dans l’espace dual . C’est pourquoi dans les équations quantiques dans l’espace des positions, la quantité de mouvement p i {displaystyle p_{i}} $p_{i}$ $p_{i}$ est remplacé par − i ħ ∂ ∂ x {displaystyle -ihbar {frac {partial }{partial x}}} ${displaystyle -ihbar {frac {partial }{partial x}}}$ , et en particulier dans l’ équation de Schrödinger non relativiste dans l’espace des positions, le terme d’impulsion au carré est remplacé par un temps laplacien − ħ 2 {displaystyle -hbar ^{2}} $-hbar ^{2}$ $-hbar ^{2}$ . ^[19]

Systèmes composites et enchevêtrement

Lorsque deux systèmes quantiques différents sont considérés ensemble, l’espace de Hilbert du système combiné est le produit tensoriel des espaces de Hilbert des deux composants. Par exemple, soit A et B deux systèmes quantiques, avec des espaces de Hilbert H A {displaystyle {mathcal{H}}_{A}} ${displaystyle {mathcal {H}}_{A}}$ ${displaystyle {mathcal {H}}_{A}}$ et H B {displaystyle {mathcal{H}}_{B}} ${displaystyle {mathcal {H}}_{B}}$ ${displaystyle {mathcal {H}}_{B}}$ , respectivement. L’espace de Hilbert du système composite est alors

H A B = H A ⊗ H B . {displaystyle {mathcal {H}}_{AB}={mathcal {H}}_{A}otimes {mathcal {H}}_{B}.} ${displaystyle {mathcal {H}}_{AB}={mathcal {H}}_{A}otimes {mathcal {H}}_{B}.}$ ${displaystyle {mathcal {H}}_{AB}={mathcal {H}}_{A}otimes {mathcal {H}}_{B}.}$

Si l’état du premier système est le vecteur ψ A {displaystyle psi _{A}} ${displaystyle psi _{A}}$ ${displaystyle psi _{A}}$ et l’état du deuxième système est ψ B {displaystyle psi _{B}} ${displaystyle psi _{B}}$ ${displaystyle psi _{B}}$ , alors l’état du système composite est

ψ A ⊗ ψ B . {displaystyle psi _{A}otimes psi _{B}.} ${displaystyle psi _{A}otimes psi _{B}.}$ ${displaystyle psi _{A}otimes psi _{B}.}$

Pas tous les états dans l’espace de Hilbert commun H A B {displaystyle {mathcal {H}}_{AB}} ${displaystyle {mathcal {H}}_{AB}}$ ${displaystyle {mathcal {H}}_{AB}}$ peut être écrit sous cette forme, cependant, parce que le principe de superposition implique que les combinaisons linéaires de ces états “séparables” ou “produits” sont également valides. Par exemple, si ψ A {displaystyle psi _{A}} ${displaystyle psi _{A}}$ ${displaystyle psi _{A}}$ et φ A {displaystyle phi _{A}} $phi _{A}$ $phi _{A}$ sont les deux états possibles pour le système A {displaystyle A} , et également ψ B {displaystyle psi _{B}} ${displaystyle psi _{B}}$ ${displaystyle psi _{B}}$ et φ B {displaystyle phi _{B}} $phi _{B}$ $phi _{B}$ sont les deux états possibles pour le système B {displaystyle B} , alors

1 2 ( ψ A ⊗ ψ B + φ A ⊗ φ B ) {displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2}}}left(psi _{A}otimes psi _{B}+phi _{A}otimes phi _{B} à droite)} ${displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2}}}left(psi _{A}otimes psi _{B}+phi _{A}otimes phi _{B}right)}$ ${displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2}}}left(psi _{A}otimes psi _{B}+phi _{A}otimes phi _{B}right)}$

est un état conjoint valide qui n’est pas séparable. Les états qui ne sont pas séparables sont dits intriqués . ^{[22] [23]}

Si l’état d’un système composite est intriqué, il est impossible de décrire le système composant A ou le système B par un vecteur d’état. On peut à la place définir des matrices de densité réduite qui décrivent les statistiques qui peuvent être obtenues en effectuant des mesures sur l’un ou l’autre des systèmes de composants seuls. Cela entraîne cependant nécessairement une perte d’information : connaître les matrices de densité réduites des systèmes individuels ne suffit pas pour reconstruire l’état du système composite. ^{[22] [23]} Tout comme les matrices de densité spécifient l’état d’un sous-système d’un système plus vaste, de manière analogue, les mesures positives à valeur d’opérateur(POVM) décrivent l’effet sur un sous-système d’une mesure effectuée sur un système plus vaste. Les POVM sont largement utilisés dans la théorie de l’information quantique. ^{[22] [24]}

Comme décrit ci-dessus, l’enchevêtrement est une caractéristique clé des modèles de processus de mesure dans lesquels un appareil s’enchevêtre avec le système mesuré. Les systèmes interagissant avec l’environnement dans lequel ils résident s’enchevêtrent généralement avec cet environnement, un phénomène connu sous le nom de décohérence quantique . Cela peut expliquer pourquoi, en pratique, les effets quantiques sont difficiles à observer dans des systèmes plus grands que microscopiques. ^[25]

Équivalence entre formulations

Il existe de nombreuses formulations mathématiquement équivalentes de la mécanique quantique. L’une des plus anciennes et des plus courantes est la ” théorie de la transformation ” proposée par Paul Dirac , qui unifie et généralise les deux premières formulations de la mécanique quantique – la mécanique matricielle (inventée par Werner Heisenberg ) et la mécanique ondulatoire (inventée par Erwin Schrödinger ). ^[26] Une formulation alternative de la mécanique quantique est la formulation intégrale de chemin de Feynman, dans laquelle une amplitude de mécanique quantique est considérée comme une somme sur tous les chemins classiques et non classiques possibles entre les états initial et final. C’est l’équivalent en mécanique quantique du principe d’action en mécanique classique.

Symétries et lois de conservation

L’Hamiltonien H {displaystyle H} est connu comme le générateur d’évolution temporelle, car il définit un opérateur d’évolution temporelle unitaire U ( t ) = e − i H t / ħ {displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }} ${displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }}$ ${displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }}$ pour chaque valeur de t {displaystyle t} . De cette relation entre U ( t ) {displaystyle U(t)} U(t) et H {displaystyle H} , il s’ensuit que toute observable A {displaystyle A} qui fait la navette avec H {displaystyle H} sera conservée : sa valeur moyenne ne changera pas dans le temps. Cette déclaration généralise, comme mathématiquement, tout opérateur hermitien A {displaystyle A} peut générer une famille d’opérateurs unitaires paramétrés par une variable t {displaystyle t} . Sous l’évolution engendrée par A {displaystyle A} , tout observable B {displaystyle B} qui fait la navette avec A {displaystyle A} seront conservés. De plus, si B {displaystyle B} est conservé par évolution sous A {displaystyle A} , alors A {displaystyle A} est conservée sous l’évolution engendrée par B {displaystyle B} . Ceci implique une version quantique du résultat prouvé par Emmy Noether en mécanique classique ( lagrangienne ) : pour toute symétrie différentiable d’un hamiltonien, il existe une loi de conservation correspondante .

Exemples

Particule libre

Densité de probabilité dans l’espace de position d’un paquet d’ondes gaussiennes se déplaçant dans une dimension dans l’espace libre.

L’exemple le plus simple de système quantique avec un degré de liberté de position est une particule libre dans une seule dimension spatiale. Une particule libre est une particule qui n’est pas soumise aux influences extérieures, de sorte que son hamiltonien se compose uniquement de son énergie cinétique :

H = 1 2 m P 2 = − ħ 2 2 m d 2 d x 2 . {displaystyle H={frac {1}{2m}}P^{2}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}}{dx^ {2}}}.} ${displaystyle H={frac {1}{2m}}P^{2}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$ ${displaystyle H={frac {1}{2m}}P^{2}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$

La solution générale de l’équation de Schrödinger est donnée par

ψ ( x , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ψ ^ ( k , 0 ) e i ( k x − ħ k 2 2 m t ) d k , {displaystyle psi (x,t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }{hat {psi }}(k ,0)e^{i(kx-{frac {hbar k^{2}}{2m}}t)}mathrm {d} k,} ${displaystyle psi (x,t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }{hat {psi }}(k,0)e^{i(kx-{frac {hbar k^{2}}{2m}}t)}mathrm {d} k,}$ ${displaystyle psi (x,t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }{hat {psi }}(k,0)e^{i(kx-{frac {hbar k^{2}}{2m}}t)}mathrm {d} k,}$

qui est une superposition de toutes les ondes planes possibles e i ( k x − ħ k 2 2 m t ) {displaystyle e^{i(kx-{frac {hbar k^{2}}{2m}}t)}} ${displaystyle e^{i(kx-{frac {hbar k^{2}}{2m}}t)}}$ ${displaystyle e^{i(kx-{frac {hbar k^{2}}{2m}}t)}}$ , qui sont les états propres de l’opérateur moment avec moment p = ħ k {displaystyle p=hbar k} . Les coefficients de superposition sont ψ ^ ( k , 0 ) {displaystyle {chapeau {psi}}(k,0)} {displaystyle {hat {psi }}(k,0)} , qui est la transformée de Fourier de l’état quantique initial ψ ( x , 0 ) {displaystylepsi (x,0)} {displaystyle psi (x,0)} .

Il n’est pas possible que la solution soit un état propre d’impulsion unique ou un état propre de position unique, car ce ne sont pas des états quantiques normalisables. ^{[note 3]} A la place, on peut considérer un paquet d’ondes gaussiennes :

ψ ( x , 0 ) = 1 π a 4 e − x 2 2 a {displaystyle psi (x,0)={frac {1}{sqrt[{4}]{pi a}}}e^{-{frac {x^{2}}{2a}} }} ${displaystyle psi (x,0)={frac {1}{sqrt[{4}]{pi a}}}e^{-{frac {x^{2}}{2a}}}}$ ${displaystyle psi (x,0)={frac {1}{sqrt[{4}]{pi a}}}e^{-{frac {x^{2}}{2a}}}}$

qui a une transformée de Fourier, et donc une distribution de quantité de mouvement

ψ ^ ( k , 0 ) = a π 4 e − a k 2 2 . {displaystyle {hat {psi }}(k,0)={sqrt[{4}]{frac {a}{pi }}}e^{-{frac {ak^{2} }{2}}}.} ${displaystyle {hat {psi }}(k,0)={sqrt[{4}]{frac {a}{pi }}}e^{-{frac {ak^{2}}{2}}}.}$ ${displaystyle {hat {psi }}(k,0)={sqrt[{4}]{frac {a}{pi }}}e^{-{frac {ak^{2}}{2}}}.}$

Nous le voyons au fur et à mesure que nous faisons a {displaystyle a} plus petit, l’écart de position devient plus petit, mais l’écart de momentum devient plus grand. A l’inverse, en faisant a {displaystyle a} plus nous réduisons la propagation de l’élan, mais la propagation de la position devient plus grande. Ceci illustre le principe d’incertitude.

En laissant le paquet d’ondes gaussiennes évoluer dans le temps, nous voyons que son centre se déplace dans l’espace à une vitesse constante (comme une particule classique sans forces agissant dessus). Cependant, le paquet d’ondes s’étalera également au fil du temps, ce qui signifie que la position devient de plus en plus incertaine. L’incertitude de l’élan, cependant, reste constante. ^[27]

Particule dans une boîte

Boîte d’énergie potentielle unidimensionnelle (ou puits de potentiel infini)

La particule dans une boîte d’énergie potentielle unidimensionnelle est l’exemple le plus simple mathématiquement où les contraintes conduisent à la quantification des niveaux d’énergie. La boîte est définie comme ayant une énergie potentielle nulle partout à l’ intérieur d’une certaine région, et donc une énergie potentielle infinie partout en dehors de cette région. ^{[19] : 77–78} Pour le cas unidimensionnel dans x {style d’affichage x} direction, l’équation de Schrödinger indépendante du temps peut s’écrire

− ħ 2 2 m d 2 ψ d x 2 = E ψ . {displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=Epsi .} $-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=Epsi .$ $-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=Epsi .$

Avec l’opérateur différentiel défini par

p ^ x = − i ħ d d x {displaystyle {hat {p}}_{x}=-ihbar {frac {d}{dx}}} ${hat {p}}_{x}=-ihbar {frac {d}{dx}}$ ${hat {p}}_{x}=-ihbar {frac {d}{dx}}$

l’équation précédente est évocatrice de l’ analogue classique de l’énergie cinétique ,

1 2 m p ^ x 2 = E , {displaystyle {frac {1}{2m}}{hat {p}}_{x}^{2}=E,} ${frac {1}{2m}}{hat {p}}_{x}^{2}=E,$ ${frac {1}{2m}}{hat {p}}_{x}^{2}=E,$

avec état ψ {displaystylepsi} psi dans ce cas ayant de l’énergie E {displaystyle E} coïncide avec l’énergie cinétique de la particule.

Les solutions générales de l’équation de Schrödinger pour la particule dans une boîte sont

ψ ( x ) = A e i k x + B e − i k x E = ħ 2 k 2 2 m {displaystyle psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}qquad qquad E={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} ${displaystyle psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}qquad qquad E={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$ ${displaystyle psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}qquad qquad E={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

ou, à partir de la formule d’Euler ,

ψ ( x ) = C sin ⁡ ( k x ) + D cos ⁡ ( k x ) . {displaystyle psi (x)=Csin(kx)+Dcos(kx).!}

Les parois de potentiel infinies de la boîte déterminent les valeurs de C , D , { style d’affichage C, D,} {displaystyle C,D,} et k {displaystyle k} à x = 0 {displaystyle x=0} x=0 et x = L {displaystyle x=L} x=L où ψ {displaystylepsi} psi doit être nul. Ainsi, à x = 0 {displaystyle x=0} x=0 ,

ψ ( 0 ) = 0 = C sin ⁡ ( 0 ) + D cos ⁡ ( 0 ) = D {displaystyle psi (0)=0=Csin(0)+Dcos(0)=D}

et D = 0 {displaystyle D=0} D=0 . À x = L {displaystyle x=L} x=L ,

ψ ( L ) = 0 = C sin ⁡ ( k L ) , {displaystyle psi (L)=0=Csin(kL),}

dans lequel C {displaystyle C} ne peut pas être nul car cela serait en contradiction avec le postulat selon lequel ψ {displaystylepsi} psi a la norme 1. Par conséquent, puisque sin ⁡ ( k L ) = 0 {displaystylesin(kL)=0} {displaystyle sin(kL)=0} , k L {displaystyle kL} doit être un multiple entier de π {style d’affichage pi} ,

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k = n π L n = 1 , 2 , 3 , … . {displaystyle k={frac {npi }{L}}qquad qquad n=1,2,3,ldots .} $k={frac {npi }{L}}qquad qquad n=1,2,3,ldots .$ $k={frac {npi }{L}}qquad qquad n=1,2,3,ldots .$

Cette contrainte sur k {displaystyle k} implique une contrainte sur les niveaux d’énergie, ce qui donne

E n = ħ 2 π 2 n 2 2 m L 2 = n 2 h 2 8 m L 2 . {displaystyle E_{n}={frac {hbar ^{2}pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={frac {n^{2}h^ {2}}{8 ml^{2}}}.} ${displaystyle E_{n}={frac {hbar ^{2}pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$ ${displaystyle E_{n}={frac {hbar ^{2}pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$

Un puits de potentiel fini est la généralisation du problème du puits de potentiel infini aux puits de potentiel ayant une profondeur finie. Le problème du puits de potentiel fini est mathématiquement plus compliqué que le problème des particules infinies dans une boîte car la fonction d’onde n’est pas épinglée à zéro sur les parois du puits. Au lieu de cela, la fonction d’onde doit satisfaire des conditions aux limites mathématiques plus compliquées car elle est non nulle dans les régions à l’extérieur du puits. Un autre problème connexe est celui de la barrière de potentiel rectangulaire , qui fournit un modèle pour l’ effet tunnel quantique qui joue un rôle important dans les performances des technologies modernes telles que la mémoire flash et la microscopie à effet tunnel .

Oscillateur harmonique

Quelques trajectoires d’un oscillateur harmonique (ie une bille attachée à un ressort ) en mécanique classique (AB) et mécanique quantique (CH). En mécanique quantique, la position de la boule est représentée par une onde (appelée fonction d’onde ), avec la partie réelle en bleu et la partie imaginaire en rouge. Certaines des trajectoires (telles que C, D, E et F) sont des ondes stationnaires (ou ” états stationnaires “). Chaque fréquence d’onde stationnaire est proportionnelle à une éventuelle niveau d’énergie de l’oscillateur. Cette “quantification d’énergie” ne se produit pas en physique classique, où l’oscillateur peut avoir n’importe quelle énergie.

Comme dans le cas classique, le potentiel de l’oscillateur harmonique quantique est donné par

V ( x ) = 1 2 m ω 2 x 2 . {displaystyle V(x)={frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}.} ${displaystyle V(x)={frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}.}$ ${displaystyle V(x)={frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}.}$

Ce problème peut être traité soit en résolvant directement l’équation de Schrödinger, qui n’est pas triviale, soit en utilisant la “méthode de l’échelle” plus élégante proposée pour la première fois par Paul Dirac. Les états propres sont donnés par

ψ n ( x ) = 1 2 n n ! ⋅ ( m ω π ħ ) 1 / 4 ⋅ e − m ω x 2 2 ħ ⋅ H n ( m ω ħ x ) , {displaystyle psi _{n}(x)={sqrt {frac {1}{2^{n},n!}}}cdot left({frac {momega }{ pi hbar }}right)^{1/4}cdot e^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}}cdot H_{n}left({ sqrt {frac {momega }{hbar }}}xright),qquad } ${displaystyle psi _{n}(x)={sqrt {frac {1}{2^{n},n!}}}cdot left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}cdot e^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}}cdot H_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}xright),qquad }$ ${displaystyle psi _{n}(x)={sqrt {frac {1}{2^{n},n!}}}cdot left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}cdot e^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}}cdot H_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}xright),qquad }$ n = 0 , 1 , 2 , … . {displaystyle n=0,1,2,ldots .}

où H _n sont les polynômes d’Hermite

H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n ( e − x 2 ) , {displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}left(e ^{-x^{2}}droit),} ${displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}left(e^{-x^{2}}right),}$ ${displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}left(e^{-x^{2}}right),}$

et les niveaux d’énergie correspondants sont

E n = ħ ω ( n + 1 2 ) . {displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+{1 over 2}right).} ${displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+{1 over 2}right).}$ ${displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+{1 over 2}right).}$

Ceci est un autre exemple illustrant la discrétisation de l’énergie pour des états liés .

Interféromètre Mach – Zehnder

Schéma d’un interféromètre Mach-Zehnder.

L ‘ interféromètre Mach – Zehnder (MZI) illustre les concepts de superposition et d’interférence avec l’algèbre linéaire en dimension 2, plutôt qu’avec les équations différentielles. Il peut être considéré comme une version simplifiée de l’expérience à double fente, mais il présente un intérêt en soi, par exemple dans la gomme quantique à choix retardé , le testeur de bombe Elitzur-Vaidman et dans les études d’intrication quantique. ^{[28] [29]}

On peut modéliser un photon traversant l’interféromètre en considérant qu’en chaque point il ne peut se trouver dans une superposition que de deux trajets : le trajet “inférieur” qui part de la gauche, passe droit par les deux lames séparatrices, et se termine en haut, et le chemin “supérieur” qui part du bas, passe directement à travers les deux séparateurs de faisceau et se termine à droite. L’état quantique du photon est donc un vecteur ψ ∈ C 2 {displaystyle psi in mathbb {C} ^{2}} ${displaystyle psi in mathbb {C} ^{2}}$ ${displaystyle psi in mathbb {C} ^{2}}$ c’est une superposition du chemin “inférieur” ψ l = ( 1 0 ) {displaystyle psi _{l}={begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}}} ${displaystyle psi _{l}={begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}}}$ ${displaystyle psi _{l}={begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}}}$ et le chemin “supérieur” ψ u = ( 0 1 ) {displaystyle psi _{u}={begin{pmatrix}0\1end{pmatrix}}} ${displaystyle psi _{u}={begin{pmatrix}0\1end{pmatrix}}}$ ${displaystyle psi _{u}={begin{pmatrix}0\1end{pmatrix}}}$ , C’est, ψ = α ψ l + β ψ u {displaystyle psi =alpha psi _{l}+beta psi _{u}} ${displaystyle psi =alpha psi _{l}+beta psi _{u}}$ ${displaystyle psi =alpha psi _{l}+beta psi _{u}}$ pour complexe α , β {displaystyle alpha ,beta } . Afin de respecter le postulat selon lequel ⟨ ψ , ψ ⟩ = 1 {displaystyle langle psi ,psi rangle =1} nous exigeons que | α | 2 + | β | 2 = 1 {displaystyle |alpha |^{2}+|beta |^{2}=1} ${displaystyle |alpha |^{2}+|beta |^{2}=1}$ ${displaystyle |alpha |^{2}+|beta |^{2}=1}$ .

Les deux séparateurs de faisceau sont modélisés comme la matrice unitaire B = 1 2 ( 1 i i 1 ) {displaystyle B={frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1&i\i&1end{pmatrix}}} ${displaystyle B={frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1&i\i&1end{pmatrix}}}$ ${displaystyle B={frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1&i\i&1end{pmatrix}}}$ , ce qui signifie que lorsqu’un photon rencontre le séparateur de faisceau, il restera soit sur le même chemin avec une amplitude de probabilité de 1 / 2 {displaystyle 1/{sqrt {2}}} , ou être réfléchi sur l’autre trajet avec une amplitude de probabilité de i / 2 {displaystyle i/{sqrt {2}}} . Le déphaseur sur le bras supérieur est modélisé comme la matrice unitaire P = ( 1 0 0 e i Δ Φ ) {displaystyle P={begin{pmatrix}1&0\0&e^{iDelta Phi}end{pmatrix}}} ${displaystyle P={begin{pmatrix}1&0\0&e^{iDelta Phi }end{pmatrix}}}$ ${displaystyle P={begin{pmatrix}1&0\0&e^{iDelta Phi }end{pmatrix}}}$ , ce qui signifie que si le photon est sur le chemin “supérieur”, il gagnera une phase relative de Δ Φ {displaystyle DeltaPhi } {displaystyle Delta Phi } , et il restera inchangé s’il se trouve dans le chemin inférieur.

Un photon qui entre dans l’interféromètre par la gauche sera alors traité avec un séparateur de faisceau B {displaystyle B} , un déphaseur P {displaystyle P} , et un autre séparateur de faisceau B {displaystyle B} , et ainsi finir dans l’état

B P B ψ l = i e i Δ Φ / 2 ( − sin ⁡ ( Δ Φ / 2 ) cos ⁡ ( Δ Φ / 2 ) ) , {displaystyle BPBpsi _{l}=ie^{iDelta Phi /2}{begin{pmatrix}-sin(Delta Phi /2)\cos(Delta Phi /2 )end{pmatrice}},} ${displaystyle BPBpsi _{l}=ie^{iDelta Phi /2}{begin{pmatrix}-sin(Delta Phi /2)\cos(Delta Phi /2)end{pmatrix}},}$

et les probabilités qu’il soit détecté à droite ou en haut sont donnés respectivement par

p ( u ) = | ⟨ ψ u , B P B ψ l ⟩ | 2 = cos 2 ⁡ Δ Φ 2 , {displaystyle p(u)=|langle psi _{u},BPBpsi _{l}rangle |^{2}=cos ^{2}{frac {Delta Phi }{2 }},} ${displaystyle p(u)=|langle psi _{u},BPBpsi _{l}rangle |^{2}=cos ^{2}{frac {Delta Phi }{2}},}$ ${displaystyle p(u)=|langle psi _{u},BPBpsi _{l}rangle |^{2}=cos ^{2}{frac {Delta Phi }{2}},}$ p ( l ) = | ⟨ ψ l , B P B ψ l ⟩ | 2 = sin 2 ⁡ Δ Φ 2 . {displaystyle p(l)=|langle psi _{l},BPBpsi _{l}rangle |^{2}=sin ^{2}{frac {Delta Phi }{2 }}.} ${displaystyle p(l)=|langle psi _{l},BPBpsi _{l}rangle |^{2}=sin ^{2}{frac {Delta Phi }{2}}.}$ ${displaystyle p(l)=|langle psi _{l},BPBpsi _{l}rangle |^{2}=sin ^{2}{frac {Delta Phi }{2}}.}$

On peut donc utiliser l’interféromètre de Mach-Zehnder pour estimer le déphasage en estimant ces probabilités.

Il est intéressant de considérer ce qui se passerait si le photon se trouvait définitivement dans les chemins “inférieur” ou “supérieur” entre les séparateurs de faisceau. Cela peut être accompli en bloquant l’un des chemins, ou de manière équivalente en supprimant le premier séparateur de faisceau (et en alimentant le photon par la gauche ou le bas, au choix). Dans les deux cas, il n’y aura plus d’interférence entre les chemins, et les probabilités sont données par p ( u ) = p ( l ) = 1 / 2 {displaystyle p(u)=p(l)=1/2} , indépendamment de la phase Δ Φ {displaystyle DeltaPhi } {displaystyle Delta Phi } . On peut en conclure que le photon n’emprunte pas un chemin ou un autre après le premier séparateur de faisceau, mais plutôt qu’il se trouve dans une véritable superposition quantique des deux chemins. ^[30]

Applications

La mécanique quantique a eu un énorme succès dans l’explication de nombreuses caractéristiques de notre univers, en ce qui concerne les quantités et les interactions à petite échelle et discrètes qui ne peuvent pas être expliquées par les méthodes classiques . ^{[note 4]} La mécanique quantique est souvent la seule théorie capable de révéler les comportements individuels des particules subatomiques qui composent toutes les formes de matière ( électrons , protons , neutrons , photons et autres). La physique du solide et la science des matériaux dépendent de la mécanique quantique. ^[31]

À bien des égards, la technologie moderne fonctionne à une échelle où les effets quantiques sont importants. Les applications importantes de la théorie quantique comprennent la chimie quantique , l ‘ optique quantique , l’informatique quantique , les aimants supraconducteurs , les diodes électroluminescentes , l’ amplificateur optique et le laser , le transistor et les semi- conducteurs tels que le microprocesseur , l’imagerie médicale et de recherche telle que l’imagerie par résonance magnétique et l’électron . microscopie . ^[32]Les explications de nombreux phénomènes biologiques et physiques sont enracinées dans la nature de la liaison chimique, notamment la macromolécule d’ ADN .

Relation avec d’autres théories scientifiques

Mécanique classique

Les règles de la mécanique quantique affirment que l’espace d’états d’un système est un espace de Hilbert et que les observables du système sont des opérateurs hermitiens agissant sur des vecteurs dans cet espace – bien qu’ils ne nous disent pas quel espace de Hilbert ou quels opérateurs. Ceux-ci peuvent être choisis de manière appropriée afin d’obtenir une description quantitative d’un système quantique, une étape nécessaire pour faire des prédictions physiques. Un guide important pour faire ces choix est le principe de correspondance , une heuristique qui stipule que les prédictions de la mécanique quantique se réduisent à celles de la mécanique classique dans le régime des grands nombres quantiques . ^[33]On peut également partir d’un modèle classique établi d’un système particulier, puis essayer de deviner le modèle quantique sous-jacent qui donnerait naissance au modèle classique dans la limite de correspondance. Cette approche est connue sous le nom de quantification .

Lorsque la mécanique quantique a été formulée à l’origine, elle était appliquée à des modèles dont la limite de correspondance était la mécanique classique non relativiste . Par exemple, le modèle bien connu de l’ oscillateur harmonique quantique utilise une expression explicitement non relativiste pour l’ énergie cinétique de l’oscillateur, et est donc une version quantique de l’ oscillateur harmonique classique .

Des complications surviennent avec les systèmes chaotiques , qui n’ont pas de bons nombres quantiques, et le chaos quantique étudie la relation entre les descriptions classiques et quantiques dans ces systèmes.

La décohérence quantique est un mécanisme par lequel les systèmes quantiques perdent leur cohérence et deviennent ainsi incapables d’afficher de nombreux effets typiquement quantiques : les superpositions quantiques deviennent simplement des mélanges probabilistes, et l’intrication quantique devient simplement des corrélations classiques. La cohérence quantique n’est généralement pas évidente aux échelles macroscopiques, sauf peut-être à des températures proches du zéro absolu auxquelles le comportement quantique peut se manifester macroscopiquement. ^{[note 5]}

De nombreuses propriétés macroscopiques d’un système classique sont une conséquence directe du comportement quantique de ses parties. Par exemple, la stabilité de la matière en vrac (constituée d’atomes et de molécules qui s’effondreraient rapidement sous les seules forces électriques), la rigidité des solides et les propriétés mécaniques, thermiques, chimiques, optiques et magnétiques de la matière sont toutes des résultats de l’interaction de charges électriques selon les règles de la mécanique quantique. ^[34]

Relativité restreinte et électrodynamique

Les premières tentatives de fusion de la mécanique quantique avec la relativité restreinte impliquaient le remplacement de l’équation de Schrödinger par une équation covariante telle que l’ équation de Klein-Gordon ou l’ équation de Dirac . Bien que ces théories aient réussi à expliquer de nombreux résultats expérimentaux, elles présentaient certaines qualités insatisfaisantes découlant de leur négligence de la création et de l’annihilation relativistes des particules. Une théorie quantique entièrement relativiste a nécessité le développement de la théorie quantique des champs , qui applique la quantification à un champ (plutôt qu’à un ensemble fixe de particules). La première théorie quantique complète des champs, l’électrodynamique quantique , fournit une description entièrement quantique de lainteraction électromagnétique . L’électrodynamique quantique est, avec la relativité générale , l’une des théories physiques les plus précises jamais conçues. ^{[35] [36]}

L’appareil complet de la théorie quantique des champs est souvent inutile pour décrire les systèmes électrodynamiques. Une approche plus simple, celle qui a été utilisée depuis le début de la mécanique quantique, consiste à traiter les particules chargées comme des objets mécaniques quantiques sur lesquels agit un champ électromagnétique classique . Par exemple, le modèle quantique élémentaire de l’ atome d’hydrogène décrit le champ électrique de l’atome d’hydrogène à l’aide d’un modèle classique − e 2 / ( 4 π ε 0 r ) {displaystyle textstyle -e^{2}/(4pi epsilon _{_{0}}r)} ${displaystyle textstyle -e^{2}/(4pi epsilon _{_{0}}r)}$ ${displaystyle textstyle -e^{2}/(4pi epsilon _{_{0}}r)}$ Potentiel coulombien . Cette approche “semi-classique” échoue si les fluctuations quantiques du champ électromagnétique jouent un rôle important, comme dans l’émission de photons par des particules chargées .

Des théories quantiques des champs pour la force nucléaire forte et la force nucléaire faible ont également été développées. La théorie quantique du champ de la force nucléaire forte est appelée chromodynamique quantique et décrit les interactions des particules subnucléaires telles que les quarks et les gluons . La force nucléaire faible et la force électromagnétique ont été unifiées, sous leurs formes quantifiées, en une seule théorie quantique des champs (appelée théorie électrofaible ), par les physiciens Abdus Salam , Sheldon Glashow et Steven Weinberg . ^[37]

Relation à la relativité générale

Même si les prédictions de la théorie quantique et de la relativité générale ont été étayées par des preuves empiriques rigoureuses et répétées , leurs formalismes abstraits se contredisent et ils se sont avérés extrêmement difficiles à intégrer dans un modèle cohérent et cohérent. La gravité est négligeable dans de nombreux domaines de la physique des particules, de sorte que l’unification entre la relativité générale et la mécanique quantique n’est pas un problème urgent dans ces applications particulières. Cependant, l’absence d’une théorie correcte de la gravité quantique est un problème important dans la cosmologie physique et la recherche par les physiciens d’une élégante ” Théorie du Tout” (TOE). Par conséquent, la résolution des incohérences entre les deux théories a été un objectif majeur de la physique des 20e et 21e siècles. Cette TOE combinerait non seulement les modèles de la physique subatomique, mais dériverait également les quatre forces fondamentales de la nature à partir d’une seule force ou phénomène.

Une proposition pour ce faire est la théorie des cordes , qui postule que les particules ponctuelles de la physique des particules sont remplacées par des objets unidimensionnels appelés cordes . La théorie des cordes décrit comment ces cordes se propagent dans l’espace et interagissent les unes avec les autres. Sur des échelles de distance plus grandes que l’échelle des cordes, une corde ressemble à une particule ordinaire, avec sa masse , sa charge et d’autres propriétés déterminées par l’ état vibratoire de la corde. Dans la théorie des cordes, l’un des nombreux états vibrationnels de la corde correspond au graviton , une particule mécanique quantique qui porte la force gravitationnelle.^{[38] [39]}

Une autre théorie populaire est la gravitation quantique en boucle (LQG), qui décrit les propriétés quantiques de la gravité et est donc une théorie de l’espace-temps quantique . LQG est une tentative de fusion et d’adaptation de la mécanique quantique standard et de la relativité générale standard. Cette théorie décrit l’espace comme un tissu extrêmement fin “tissé” de boucles finies appelées réseaux de spin . L’évolution d’un réseau de spin dans le temps s’appelle une mousse de spin . L’échelle de longueur caractéristique d’une mousse de spin est la longueur de Planck , environ 1,616 × 10 ⁻³⁵ m, et donc les longueurs plus courtes que la longueur de Planck ne sont pas physiquement significatives dans LQG. ^[40]

Implications philosophiques

Problème non résolu en physique :

Existe-t-il une interprétation préférée de la mécanique quantique ? Comment la description quantique de la réalité, qui comprend des éléments tels que la « superposition d’états » et « l’effondrement de la fonction d’onde », donne-t-elle lieu à la réalité que nous percevons ?

(plus de problèmes non résolus en physique)

Depuis sa création, les nombreux aspects et résultats contre-intuitifs de la mécanique quantique ont provoqué de vifs débats philosophiques et de nombreuses interprétations . Les arguments se concentrent sur la nature probabiliste de la mécanique quantique, les difficultés avec l’ effondrement de la fonction d’onde et le problème de mesure connexe , et la non- localité quantique . Peut-être que le seul consensus qui existe sur ces questions est qu’il n’y a pas de consensus. Richard Feynman a dit un jour : “Je pense que je peux affirmer que personne ne comprend la mécanique quantique.” ^[41] Selon Steven Weinberg, “Il n’y a maintenant à mon avis aucune interprétation entièrement satisfaisante de la mécanique quantique.” ^[42]

Les points de vue de Niels Bohr , Werner Heisenberg et d’autres physiciens sont souvent regroupés sous le nom d’« interprétation de Copenhague ». ^{[43] [44]} Selon ces vues, la nature probabiliste de la mécanique quantique n’est pas une caractéristique temporaire qui sera éventuellement remplacée par une théorie déterministe, mais plutôt un renoncement définitif à l’idée classique de “causalité”. Bohr en particulier a souligné que toute application bien définie du formalisme de la mécanique quantique doit toujours faire référence au dispositif expérimental, en raison de la complémentariténature des preuves obtenues dans différentes situations expérimentales. Les interprétations de type Copenhague restent populaires au 21e siècle. ^[45]

Albert Einstein , lui-même l’un des fondateurs de la théorie quantique , était troublé par son manque apparent à respecter certains principes métaphysiques chers, tels que le déterminisme et la localité . Les échanges de longue date d’Einstein avec Bohr sur la signification et le statut de la mécanique quantique sont maintenant connus sous le nom de débats Bohr-Einstein . Einstein pensait que la mécanique quantique sous-jacente devait être une théorie interdisant explicitement l’ action à distance . Il a fait valoir que la mécanique quantique était incomplète, une théorie valide mais pas fondamentale, analogue à la façon dont la thermodynamique est valide, mais la théorie fondamentale qui la sous-tend est la mécanique statistique .. En 1935, Einstein et ses collaborateurs Boris Podolsky et Nathan Rosen ont publié un argument selon lequel le principe de localité implique l’incomplétude de la mécanique quantique, une expérience de pensée appelée plus tard le paradoxe Einstein-Podolsky-Rosen . ^{[note 6]} En 1964, John Bell a montré que le principe de localité d’EPR, ainsi que le déterminisme, étaient en fait incompatibles avec la mécanique quantique : ils impliquaient des contraintes sur les corrélations produites par les systèmes de distance, maintenant connus sous le nom d’ inégalités de Bell , qui peuvent être violées par des particules. ^[50] Depuis, plusieurs expériencesont été effectuées pour obtenir ces corrélations, de sorte qu’elles violent en fait les inégalités de Bell, et faussent ainsi la conjonction de la localité avec le déterminisme. ^{[13] [14]}

La mécanique bohmienne montre qu’il est possible de reformuler la mécanique quantique pour la rendre déterministe, au prix de la rendre explicitement non locale. Il attribue non seulement une fonction d’onde à un système physique, mais en plus une position réelle, qui évolue de manière déterministe sous une équation directrice non locale. L’évolution d’un système physique est donnée à tout moment par l’ équation de Schrödinger avec l’équation directrice ; il n’y a jamais d’effondrement de la fonction d’onde. Cela résout le problème de mesure. ^[51]

L’ interprétation des mondes multiples d’Everett , formulée en 1956, soutient que toutes les possibilités décrites par la théorie quantique se produisent simultanément dans un multivers composé d’univers parallèles pour la plupart indépendants. ^[52] C’est une conséquence de la suppression de l’axiome de l’effondrement du paquet d’ondes. Tous les états possibles du système mesuré et de l’appareil de mesure, ainsi que l’observateur, sont présents dans une véritable superposition quantique physique. Alors que le multivers est déterministe, nous percevons un comportement non déterministe régi par des probabilités, car nous n’observons pas le multivers dans son ensemble, mais un seul univers parallèle à la fois. La façon exacte dont cela est censé fonctionner a fait l’objet de nombreux débats. Plusieurs tentatives ont été faites pour donner un sens à cela et dériver la règle de Born, ^{[53] [54]} sans consensus sur leur succès. ^{[55] [56] [57]}

La mécanique quantique relationnelle est apparue à la fin des années 1990 comme un dérivé moderne des idées de type Copenhague ^[58] et le QBisme a été développé quelques années plus tard. ^[59]

Histoire

Max Planck est considéré comme le père de la théorie quantique.

La mécanique quantique s’est développée au cours des premières décennies du XXe siècle, motivée par la nécessité d’expliquer des phénomènes qui, dans certains cas, avaient été observés à une époque antérieure. La recherche scientifique sur la nature ondulatoire de la lumière a commencé aux XVIIe et XVIIIe siècles, lorsque des scientifiques tels que Robert Hooke , Christiaan Huygens et Leonhard Euler ont proposé une théorie ondulatoire de la lumière basée sur des observations expérimentales. ^[60] En 1803, le mathématicien anglais Thomas Young a décrit la célèbre expérience de la double fente . ^[61] Cette expérience a joué un rôle majeur dans l’acceptation générale de la théorie ondulatoire de la lumière .

Au début du XIXe siècle, les recherches chimiques de John Dalton et Amedeo Avogadro ont donné du poids à la théorie atomique de la matière, une idée sur laquelle James Clerk Maxwell , Ludwig Boltzmann et d’autres se sont appuyés pour établir la théorie cinétique des gaz . Les succès de la théorie cinétique ont donné plus de crédit à l’idée que la matière est composée d’atomes, mais la théorie avait aussi des lacunes qui ne seraient résolues que par le développement de la mécanique quantique. ^[62]Alors que la première conception des atomes de la philosophie grecque avait été qu’ils étaient des unités indivisibles – le mot «atome» dérivant du grec pour «indécoupable» – le 19ème siècle a vu la formulation d’hypothèses sur la structure subatomique. Une découverte importante à cet égard fut l’observation par Michael Faraday en 1838 d’une lueur causée par une décharge électrique à l’intérieur d’un tube de verre contenant du gaz à basse pression. Julius Plücker , Johann Wilhelm Hittorf et Eugen Goldstein ont poursuivi et amélioré les travaux de Faraday, conduisant à l’identification des rayons cathodiques , que JJ Thomson a découvert comme étant constitués de particules subatomiques appelées électrons.

Le problème du rayonnement du corps noir a été découvert par Gustav Kirchhoff en 1859. En 1900, Max Planck a proposé l’hypothèse que l’énergie est rayonnée et absorbée dans des “quanta” discrets (ou paquets d’énergie), donnant un calcul qui correspondait précisément aux modèles observés de noir. -rayonnement corporel. ^[65] Le mot quantum dérive du latin , signifiant “comment grand” ou “combien”. ^[66] Selon Planck, les quantités d’énergie pourraient être considérées comme divisées en « éléments » dont la taille ( E ) serait proportionnelle à leur fréquence ( ν ) :

E = h ν {displaystyle E=hnu } E=hnu ,

où h est la constante de Planck . Planck a prudemment insisté sur le fait qu’il ne s’agissait que d’un aspect des processus d’absorption et d’émission de rayonnement et non de la réalité physique du rayonnement. ^[67] En fait, il considérait son hypothèse quantique comme une astuce mathématique pour obtenir la bonne réponse plutôt qu’une découverte importante. ^[68] Cependant, en 1905, Albert Einstein a interprété l’hypothèse quantique de Planck de manière réaliste et l’a utilisée pour expliquer l’ effet photoélectrique , dans lequel la lumière brillante sur certains matériaux peut éjecter des électrons du matériau. Niels Bohr a ensuite développé les idées de Planck sur le rayonnement en unmodèle de l’atome d’hydrogène qui a réussi à prédire les raies spectrales de l’hydrogène. ^[69] Einstein a ensuite développé cette idée pour montrer qu’une onde électromagnétique telle que la lumière pouvait également être décrite comme une particule (appelée plus tard le photon ), avec une quantité discrète d’énergie qui dépend de sa fréquence. ^[70] Dans son article “Sur la théorie quantique du rayonnement”, Einstein a développé l’interaction entre l’énergie et la matière pour expliquer l’absorption et l’émission d’énergie par les atomes. Bien qu’éclipsé à l’époque par sa théorie générale de la relativité, cet article a articulé le mécanisme sous-jacent à l’émission stimulée de rayonnement, ^[71] qui est devenu la base de lalaser .

La conférence Solvay de 1927 à Bruxelles était la cinquième conférence mondiale de physique.

Cette phase est connue sous le nom d’ ancienne théorie quantique . Jamais complète ni auto-cohérente, l’ancienne théorie quantique était plutôt un ensemble de corrections heuristiques à la mécanique classique . ^[72] La théorie est maintenant comprise comme une approximation semi-classique ^[73] de la mécanique quantique moderne. ^[74] Les résultats notables de cette période incluent, outre les travaux de Planck, Einstein et Bohr mentionnés ci-dessus, les travaux d’Einstein et Peter Debye sur la chaleur spécifique des solides, la preuve de Bohr et Hendrika Johanna van Leeuwen que la physique classique ne peut expliquer le diamagnétisme, et l’extension d’ Arnold Sommerfeld du modèle de Bohr pour inclure les effets relativistes spéciaux.

Au milieu des années 1920, la mécanique quantique a été développée pour devenir la formulation standard de la physique atomique. En 1923, le physicien français Louis de Broglie a présenté sa théorie des ondes de matière en déclarant que les particules peuvent présenter des caractéristiques ondulatoires et vice versa. S’appuyant sur l’approche de de Broglie, la mécanique quantique moderne est née en 1925, lorsque les physiciens allemands Werner Heisenberg , Max Born et Pascual Jordan ^{[75] [76]} ont développé la mécanique matricielle et que le physicien autrichien Erwin Schrödinger a inventé la mécanique ondulatoire . Born a introduit l’interprétation probabiliste de la fonction d’onde de Schrödinger en juillet 1926. ^[77]Ainsi, l’ensemble du domaine de la physique quantique a émergé, conduisant à son acceptation plus large lors de la cinquième conférence Solvay en 1927. ^[78]

En 1930, la mécanique quantique avait été davantage unifiée et formalisée par David Hilbert , Paul Dirac et John von Neumann ^[79] en mettant davantage l’accent sur la mesure , la nature statistique de notre connaissance de la réalité et la spéculation philosophique sur «l’observateur» . Il a depuis imprégné de nombreuses disciplines, notamment la chimie quantique, l’électronique quantique , l’optique quantique et la science de l’information quantique . Il fournit également un cadre utile pour de nombreuses caractéristiques du tableau périodique des éléments moderne et décrit les comportements des atomes lors de la liaison chimique .et le flux d’ électrons dans les semi- conducteurs informatiques , et joue donc un rôle crucial dans de nombreuses technologies modernes. Si la mécanique quantique a été construite pour décrire le monde de l’infiniment petit, elle est aussi nécessaire pour expliquer certains phénomènes macroscopiques comme les supraconducteurs ^[80] et les superfluides . ^[81]

Voir également

Notation bra–ket
Les expériences de pensée d’Einstein
Liste des manuels de mécanique classique et quantique
Phénomènes quantiques macroscopiques
Formulation de l’espace des phases
Régularisation (physique)
Système quantique à deux états

Notes d’explication

^ Voir, par exemple, les tests de précision de QED . Il a été démontré que le raffinement relativiste de la mécanique quantique connue sous le nom d’ électrodynamique quantique (QED) est en accord avec l’expérience à 1 partie sur 10⁸ près pour certaines propriétés atomiques.
^ Le physicien John C. Baez met en garde, “il n’y a aucun moyen de comprendre l’interprétation de la mécanique quantique sans être également capable de résoudre des problèmes de mécanique quantique – pour comprendre la théorie, vous devez pouvoir l’utiliser (et vice versa)”. ^[15] Carl Sagan a décrit le “soutien mathématique” de la mécanique quantique et a écrit : “Pour la plupart des étudiants en physique, cela pourrait les occuper, disons, de la troisième année au début des études supérieures – environ 15 ans. […] Le travail de le vulgarisateur de la science, essayant de faire passer une idée de la mécanique quantique à un public général qui n’est pas passé par ces rites d’initiation, est intimidant.^[16]
^ Un état propre de quantité de mouvement serait une onde parfaitement monochromatique d’étendue infinie, qui n’est pas intégrable au carré. De même, un état propre de position serait une distribution delta de Dirac , non intégrable au carré et techniquement pas une fonction du tout. Par conséquent, aucun ne peut appartenir à l’espace de Hilbert de la particule. Les physiciens introduisent parfois des “bases” fictives pour un espace de Hilbert comprenant des éléments extérieurs à cet espace. Ceux-ci sont inventés pour la commodité des calculs et ne représentent pas des états physiques. ^{[19] : 100–105}
^ Voir, par exemple, les conférences Feynman sur la physique pour certaines des applications technologiques qui utilisent la mécanique quantique, par exemple, les transistors (vol III , pp. 14-11 ff), les circuits intégrés , qui sont une technologie de suivi à l’état solide physique (vol II , pp. 8–6) et lasers (vol III , pp. 9–13).
^ voir les phénomènes quantiques macroscopiques , le condensat de Bose-Einstein et la machine quantique
↑ La forme publiée de l’argument EPR était due à Podolsky, et Einstein lui-même n’en était pas satisfait. Dans ses propres publications et correspondances, Einstein a utilisé un argument différent pour insister sur le fait que la mécanique quantique est une théorie incomplète. ^{[46] [47] [48] [49]}

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Lectures complémentaires

Les titres suivants, tous écrits par des physiciens en activité, tentent de communiquer la théorie quantique aux profanes, en utilisant un minimum d’appareils techniques.

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Cox, Brian ; Forshaw, Jeff (2011). L’univers quantique : tout ce qui peut arriver arrive . Allan Lane. ISBN 978-1-84614-432-5.
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Ghirardi, GianCarlo , 2004. Coup d’œil furtif sur les cartes de Dieu , Gerald Malsbary, trans. Université de Princeton. Presse. Le plus technique des ouvrages cités ici. Les passages utilisant l’ algèbre , la trigonométrie et la notation bra–ket peuvent être ignorés lors d’une première lecture.
N. David Mermin , 1990, “Actions fantasmagoriques à distance : les mystères du QT” dans son Boojums All the Way Through . Presse universitaire de Cambridge : 110–76.
Victor Stenger , 2000. Réalité intemporelle : symétrie, simplicité et univers multiples . Buffalo, NY : Livres Prometheus. Chpts. 5–8. Comprend des considérations cosmologiques et philosophiques .

Plus technique :

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Bohm, David (1989). Théorie quantique . Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-65969-5.
Eisberg, Robert; Resnick, Robert (1985). Physique quantique des atomes, des molécules, des solides, des noyaux et des particules (2e éd.). Wiley. ISBN 978-0-471-87373-0.
Bryce DeWitt , R. Neill Graham, éds., 1973. L’interprétation de plusieurs mondes de la mécanique quantique , Princeton Series in Physics, Princeton University Press. ISBN 0-691-08131-X
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En ligneShankar, R. (1994). Principes de la mécanique quantique . Springer. ISBN 978-0-306-44790-7.
Pierre, A. Douglas (2013). Einstein et le quantique . Presse universitaire de Princeton. ISBN 978-0-691-13968-5.
Collège transnational de Lex (1996). Qu’est-ce que la mécanique quantique ? Une aventure physique . Fondation de recherche linguistique, Boston. ISBN 978-0-9643504-1-0. OCLC 34661512 .
Veltman, Martinus JG (2003), Faits et mystères de la physique des particules élémentaires .

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Liens externes

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J. O’Connor et EF Robertson : Une histoire de la mécanique quantique.
Introduction à la théorie quantique à Quantiki.
Quantum Physics Made Relatively Simple : trois conférences vidéo par Hans Bethe

Matériel de cours

Quantum Cook Book and PHYS 201: Fundamentals of Physics II par Ramamurti Shankar , Yale OpenCourseware
La révolution moderne en physique – un manuel en ligne.
MIT OpenCourseWare : Chimie et Physique . Voir 8.04 , 8.05 et 8.06
51⁄2 exemples en mécanique quantique
Cours de mécanique quantique de l’Imperial College.

Philosophie

Ismaël, Jenann. “Mécanique Quantique” . À Zalta, Edward N. (éd.). Encyclopédie de philosophie de Stanford .
Krips, Henri. “Mesure dans la théorie quantique” . À Zalta, Edward N. (éd.). Encyclopédie de philosophie de Stanford .

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