Mathématiques indiennes

Les mathématiques indiennes ont émergé dans le sous-continent indien ^[1] à partir de 1200 avant notre ère ^[2] jusqu’à la fin du 18ème siècle. Dans la période classique des mathématiques indiennes (400 CE à 1200 CE), des contributions importantes ont été apportées par des érudits comme Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II et Varāhamihira . Le système de numération décimale utilisé aujourd’hui ^[3] a été enregistré pour la première fois dans les mathématiques indiennes. ^[4] Les mathématiciens indiens ont apporté leurs premières contributions à l’étude du concept de zéro en tant que nombre, ^[5] les Nombres négatifs , ^[6] arithmétique et algèbre . ^[7] De plus, la trigonométrie ^[8] a été plus avancée en Inde et, en particulier, les définitions modernes du Sinus et du Cosinus y ont été développées. ^[9] Ces concepts mathématiques ont été transmis au Moyen-Orient, en Chine et en Europe ^[7] et ont conduit à d’autres développements qui forment maintenant les fondements de nombreux domaines des mathématiques.

Les œuvres mathématiques indiennes anciennes et médiévales, toutes composées en sanskrit , consistaient généralement en une section de sutras dans laquelle un ensemble de règles ou de problèmes étaient énoncés avec une grande économie en vers afin d’aider à la mémorisation par un étudiant. Cela a été suivi d’une deuxième section consistant en un commentaire en prose (parfois plusieurs commentaires de différents chercheurs) qui expliquait le problème plus en détail et fournissait une justification de la solution. Dans la section de prose, la forme (et donc sa mémorisation) n’était pas considérée comme aussi importante que les idées impliquées. ^{[1] [10]} Tous les travaux mathématiques ont été transmis oralement jusqu’à environ 500 avant notre ère; par la suite, ils ont été transmis à la fois oralement et sous forme manuscrite. La plus ancienne mathématique existantedocument produit sur le sous-continent indien est le manuscrit de Bakhshali en écorce de bouleau , découvert en 1881 dans le village de Bakhshali , près de Peshawar (aujourd’hui le Pakistan ) et date probablement du 7ème siècle de notre ère. ^{[11] [12]}

Un point de repère ultérieur dans les mathématiques indiennes a été le développement des développements en série pour les fonctions trigonométriques (Sinus, Cosinus et Arc tangente ) par des mathématiciens de l’ école du Kerala au 15ème siècle de notre ère. Leur travail remarquable, achevé deux siècles avant l’invention du calcul en Europe, a fourni ce qui est aujourd’hui considéré comme le premier exemple de série entière (en dehors des séries géométriques). ^[13] Cependant, ils n’ont pas formulé de théorie systématique de la différenciation et de l’intégration , et il n’y a aucune preuve directe de la transmission de leurs résultats en dehors du Kerala .. ^{[14] [15] [16] [17]}

Préhistoire

Des fouilles à Harappa , Mohenjo-daro et d’autres sites de la civilisation de la vallée de l’Indus ont mis au jour des preuves de l’utilisation des “mathématiques pratiques”. Les habitants de la civilisation de la vallée de l’Indus fabriquaient des briques dont les dimensions étaient dans la proportion 4:2:1, considérée comme favorable à la stabilité d’une structure en brique. Ils ont utilisé un système standardisé de poids basé sur les ratios : 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 et 500, avec l’unité poids égal à environ 28 grammes (et approximativement égal à l’once anglaise ou à l’uncia grecque). Ils ont produit en masse des poids aux formes géométriques régulières, qui comprenaient des hexaèdres , des barils , des cônes, et cylindres , démontrant ainsi la connaissance de la géométrie de base . ^[18]

Les habitants de la civilisation de l’Indus ont également essayé de normaliser la mesure de la longueur avec un degré élevé de précision. Ils ont conçu une règle – la règle Mohenjo-daro – dont l’unité de longueur (environ 1,32 pouces ou 3,4 centimètres) était divisée en dix parties égales. Les briques fabriquées dans l’ancien Mohenjo-daro avaient souvent des dimensions qui étaient des multiples entiers de cette unité de longueur. ^{[19] [20]}

Il a été démontré que des objets cylindriques creux en coquille et trouvés à Lothal (2200 avant notre ère) et à Dholavira ont la capacité de mesurer des angles dans un plan, ainsi que de déterminer la position des étoiles pour la navigation. ^[21]

Période védique

Samhitas et Brahmanes

Les textes religieux de la Période védique fournissent des preuves de l’utilisation de grands nombres . Au moment du Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 avant notre ère), des nombres aussi élevés que 10 ¹² étaient inclus dans les textes. ^[2] Par exemple, le mantra (récitation sacrée) à la fin de l’ annahoma (“rite d’oblation de la nourriture”) exécuté pendant l’ aśvamedha , et prononcé juste avant, pendant et juste après le lever du soleil, invoque les puissances de dix de cent à mille milliards : ^[2]

Salut à śata (« cent », 10 ² ), salut à sahasra (« mille », 10 ³ ), salut à ayuta (« dix mille », 10 ⁴ ), salut à niyuta (« cent mille », 10 ⁵ ), grêle à prayuta (“million”, 10 ⁶ ), grêle à arbuda (“dix millions”, 10 ⁷ ), grêle à nyarbuda (“cent millions”, 10 ⁸ ), grêle à samudra (“milliard”, 10 ⁹ ,littéralement “océan”), salut àmadhya (« dix milliards », 10 ¹⁰ , littéralement « milieu »), grêle à anta (« cent milliards », 10 ¹¹ , lit., « fin »), grêle à parārdha (« mille milliards », 10 ¹² lit., “au-delà des parties”), salut à l’ uṣas (aube), salut au vyuṣṭi (crépuscule), salut à udeṣyat (celui qui va se lever), salut à udyat (celui qui se lève), salut à udita (à celui qui vient de se lever), salut à svarga (le ciel), salut à martya (le monde), salut à tous. ^[2]

La solution à la fraction partielle était connue du peuple rigvédique sous forme d’états dans le purush Sukta (RV 10.90.4) :

Avec les trois quarts, Puruṣa monta : un quart de lui encore était ici.

Le Satapatha Brahmana ( vers le 7ème siècle avant notre ère) contient des règles pour les constructions géométriques rituelles similaires aux Sulba Sutras. ^[22]

Śulba Sūtras

Les Śulba Sūtras (littéralement, “Aphorismes des accords” en sanskrit védique ) (vers 700–400 avant notre ère) énumèrent les règles pour la construction d’autels de feu sacrificiels. ^[23] La plupart des problèmes mathématiques considérés dans les Śulba Sūtras découlent « d’une seule exigence théologique » ^[24] celle de construire des autels du feu qui ont des formes différentes mais occupent la même surface. Les autels devaient être construits de cinq couches de briques cuites, avec la condition supplémentaire que chaque couche se compose de 200 briques et qu’aucune couche adjacente n’ait des arrangements congruents de briques. ^[24]

Selon ( Hayashi 2005 , p. 363), les Śulba Sūtras contiennent “la plus ancienne expression verbale existante du Théorème de Pythagore dans le monde, bien qu’elle ait déjà été connue des anciens babyloniens “.

La corde diagonale ( akṣṇayā-rajju ) d’un oblong (rectangle) produit les deux que le flanc ( pārśvamāni ) et les <cordes> horizontales ( tiryaṇmānī ) produisent séparément.” ^[25]

Puisque l’énoncé est un sūtra , il est nécessairement compressé et ce que produisent les cordes n’est pas développé, mais le contexte implique clairement les zones carrées construites sur leurs longueurs, et aurait été expliqué ainsi par le professeur à l’élève. ^[25]

Ils contiennent des listes de triplets de Pythagore , ^[26] qui sont des cas particuliers d’ Équations diophantiennes . ^[27] Ils contiennent également des déclarations (qui, avec le recul, nous savons qu’elles sont approximatives) sur la quadrature du cercle et “encercler le carré”. ^[28]

Baudhayana (vers le 8ème siècle avant notre ère) a composé le Baudhayana Sulba Sutra , le Sulba Sutra le plus connu , qui contient des exemples de triplets pythagoriciens simples, tels que: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) , et (12, 35, 37) , ^[29] ainsi qu’un énoncé du Théorème de Pythagore pour les côtés d’un carré : “La corde qui est tendue à travers le diagonale d’un carré produit une aire double de la taille du carré d’origine.” ^[29]Il contient également l’énoncé général du Théorème de Pythagore (pour les côtés d’un rectangle) : “La corde tendue le long de la longueur de la diagonale d’un rectangle forme une aire que les côtés verticaux et horizontaux forment ensemble.” ^[29] Baudhayana donne une expression pour la Racine carrée de deux : ^[30]

2 ≈ 1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 1.4142156 … {displaystyle {sqrt {2}}approx 1+{frac {1}{3}}+{frac {1}{3cdot 4}}-{frac {1}{3cdot 4 cdot 34}}=1.4142156ldots } $sqrt{2} approx 1 + frac{1}{3} + frac{1}{3cdot4} - frac{1}{3cdot 4cdot 34} = 1.4142156 ldots$ $sqrt{2} approx 1 + frac{1}{3} + frac{1}{3cdot4} - frac{1}{3cdot 4cdot 34} = 1.4142156 ldots$

L’expression est précise jusqu’à cinq décimales, la vraie valeur étant 1,41421356… ^[31][31] Cette expression est similaire dans sa structure à l’expression trouvée sur une tablette mésopotamienne ^[32] de la période paléo-babylonienne (1900-1600 av. J.-C. ) : ^[30]

2 ≈ 1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 1.41421297 … {displaystyle {sqrt {2}}environ 1+{frac {24}{60}}+{frac {51}{60^{2}}}+{frac {10}{60^{ 3}}}=1.41421297ldots } $sqrt{2} approx 1 + frac{24}{60} + frac{51}{60^2} + frac{10}{60^3} = 1.41421297 ldots$ $sqrt{2} approx 1 + frac{24}{60} + frac{51}{60^2} + frac{10}{60^3} = 1.41421297 ldots$

qui exprime √ 2 dans le système sexagésimal, et qui est également précis jusqu’à 5 décimales.

Selon le mathématicien SG Dani, la tablette cunéiforme babylonienne Plimpton 322 écrite c. 1850 BCE ^[33] “contient quinze triplets de Pythagore avec des entrées assez grandes, y compris (13500, 12709, 18541) qui est un triplet primitif, ^[34] indiquant, en particulier, qu’il y avait une compréhension sophistiquée sur le sujet” en Mésopotamie en 1850 avant notre ère. “Étant donné que ces tablettes sont antérieures de plusieurs siècles à la période Sulbasutras, compte tenu de l’apparence contextuelle de certains des triplets, il est raisonnable de s’attendre à ce qu’une compréhension similaire ait existé en Inde.” ^[35] Dani poursuit en disant :

Comme l’objectif principal des Sulvasutras était de décrire les constructions d’autels et les principes géométriques qui y sont impliqués, le sujet des triplets pythagoriciens, même s’il avait été bien compris, n’a peut-être pas encore figuré dans les Sulvasutras . L’occurrence des triplets dans les Sulvasutras est comparable aux mathématiques que l’on peut rencontrer dans un livre d’introduction à l’architecture ou à un autre domaine appliqué similaire, et ne correspondrait pas directement à la connaissance globale sur le sujet à cette époque. Comme, malheureusement, aucune autre source contemporaine n’a été trouvée, il ne sera peut-être jamais possible de régler cette question de manière satisfaisante. ^[35]

En tout, trois Sulba Sutras ont été composés. Les deux autres, le Manava Sulba Sutra composé par Manava (fl. 750–650 avant notre ère) et l ‘ Apastamba Sulba Sutra , composé par Apastamba (vers 600 avant notre ère), contenaient des résultats similaires au Baudhayana Sulba Sutra .

Vyakarana

Un jalon important de la Période védique était le travail du grammairien sanskrit , Pāṇini (vers 520–460 avant notre ère). Sa grammaire comprend l’utilisation précoce de la logique booléenne , de l’ opérateur nul et des grammaires sans contexte , et comprend un précurseur de la forme Backus-Naur (utilisée dans les langages de programmation de description ). ^{[36] [37]}

Pingala (300 avant notre ère – 200 avant notre ère)

Parmi les érudits de la période post-védique qui ont contribué aux mathématiques, le plus notable est Pingala ( piṅgalá ) ( fl. 300–200 avant notre ère), un théoricien de la musique qui est l’auteur du Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , également Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra ), un traité sanskrit sur la prosodie . Il est prouvé que dans son travail sur l’énumération des combinaisons syllabiques, Pingala est tombé à la fois sur le triangle de Pascal et sur les coefficients binomiaux , bien qu’il n’ait pas eu connaissance du théorème binomial lui-même. ^{[38] [39]}Le travail de Pingala contient également les idées de base des nombres de Fibonacci (appelés maatraameru ). Bien que le sutra Chandah n’ait pas survécu dans son intégralité, un commentaire du Xe siècle par Halāyudha l’a fait. Halāyudha, qui se réfère au triangle pascal comme Meru -prastāra (littéralement “l’escalier vers le mont Meru”), a ceci à dire :

Dessinez un carré. En commençant à la moitié du carré, dessinez deux autres carrés similaires en dessous; en dessous de ces deux, trois autres carrés, et ainsi de suite. Le marquage doit commencer en mettant 1 dans la première case. Mettez 1 dans chacun des deux carrés de la deuxième ligne. Dans la troisième ligne, mettez 1 dans les deux carrés aux extrémités et, dans le carré du milieu, la somme des chiffres dans les deux carrés situés au-dessus. Dans la quatrième ligne mettre 1 dans les deux carrés aux extrémités. Dans ceux du milieu, mettez la somme des chiffres dans les deux carrés au-dessus de chacun. Procédez ainsi. Parmi ces vers, le second donne les combinaisons à une syllabe, le troisième les combinaisons à deux syllabes, … ^[38]

Le texte indique également que Pingala était au courant de l’ identité combinatoire : ^[39]

( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n − 1 ) + ( n n ) = 2 n {displaystyle {n choose 0}+{n choose 1}+{n choose 2}+cdots +{n choose n-1}+{n choose n}=2^{n}} ${n choose 0} + {n choose 1} + {n choose 2} + cdots + {n choose n-1} + {n choose n} = 2^n$ ${n choose 0} + {n choose 1} + {n choose 2} + cdots + {n choose n-1} + {n choose n} = 2^n$ Kātyāyana

Kātyāyana (vers le 3ème siècle avant notre ère) est remarquable pour être le dernier des mathématiciens védiques. Il a écrit le Katyayana Sulba Sutra , qui a présenté beaucoup de géométrie , y compris le théorème général de Pythagore et un calcul de la racine carrée de 2 correctes à cinq décimales.

Mathématiques jaïns (400 avant notre ère – 200 CE)

Bien que le jaïnisme en tant que religion et philosophie soit antérieur à son représentant le plus célèbre, le grand Mahaviraswami (6e siècle avant notre ère), la plupart des textes jaïns sur des sujets mathématiques ont été composés après le 6e siècle avant notre ère. Les mathématiciens jaïns sont importants historiquement en tant que liens cruciaux entre les mathématiques de la Période védique et celles de la «période classique».

Une contribution historique significative des mathématiciens jaïns réside dans leur libération des mathématiques indiennes de leurs contraintes religieuses et rituelles. En particulier, leur fascination pour l’énumération des très grands nombres et des infinis les a amenés à classer les nombres en trois classes : dénombrables, innombrables et infinis . Non content d’une simple notion d’infini, leurs textes définissent cinq types différents d’infini : l’infini dans une direction, l’infini dans deux directions, l’infini en surface, l’infini partout et l’infini perpétuel. De plus, les mathématiciens jaïns ont conçu des notations pour les puissances simples (et les exposants) de nombres comme les carrés et les cubes, ce qui leur a permis de définir des équations algébriques simples (beejganita samikaran ). Les mathématiciens jaïns ont apparemment aussi été les premiers à utiliser le mot shunya (littéralement vide en sanskrit ) pour désigner zéro. Plus d’un millénaire plus tard, leur appellation est devenue le mot anglais “zéro” après un parcours tortueux de traductions et de translittérations de l’Inde à l’Europe. (Voir Zéro : Etymologie .)

En plus de Surya Prajnapti , d’importants travaux jaïns sur les mathématiques comprenaient le Sthananga Sutra (vers 300 avant notre ère – 200 de notre ère); l ‘ Anuyogadwara Sutra (vers 200 avant notre ère – 100 de notre ère), qui comprend la première description connue des factorielles en mathématiques indiennes ; ^[40] et le Satkhandagama (vers le IIe siècle de notre ère). Parmi les mathématiciens jaïns importants figuraient Bhadrabahu (décédé en 298 avant notre ère), l’auteur de deux ouvrages astronomiques, le Bhadrabahavi-Samhita et un commentaire sur le Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (vers 176 avant notre ère), qui est l’auteur d’un texte mathématique appelé Tiloyapannati ; et Umasvati(vers 150 avant notre ère), qui, bien que mieux connu pour ses écrits influents sur la philosophie et la métaphysique jaïns , composa un ouvrage mathématique appelé Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya .

Tradition orale

Les mathématiciens de l’Inde ancienne et du début du Moyen Âge étaient presque tous des pandits sanskrits ( paṇḍita “homme savant”), ^[41] qui avaient été formés à la langue et à la littérature sanskrites, et possédaient “un fonds commun de connaissances en grammaire ( vyākaraṇa ), exégèse ( mīmāṃsā ) et la logique ( nyāya ).” ^[41] Mémorisation de “ce qu’on entend” ( śrutien sanskrit) par la récitation a joué un rôle majeur dans la transmission des textes sacrés dans l’Inde ancienne. La mémorisation et la récitation étaient également utilisées pour transmettre des œuvres philosophiques et littéraires, ainsi que des traités de rituel et de grammaire. Les érudits modernes de l’Inde ancienne ont noté les «réalisations vraiment remarquables des pandits indiens qui ont conservé oralement des textes extrêmement volumineux pendant des millénaires». ^[42]

Styles de mémorisation

Une énergie prodigieuse a été déployée par la culture indienne ancienne pour faire en sorte que ces textes soient transmis de génération en génération avec une fidélité démesurée. ^{[43] Par exemple, la mémorisation des}Védas sacrés comprenait jusqu’à onze formes de récitation du même texte. Les textes ont ensuite été “relus” en comparant les différentes versions récitées. Les formes de récitation comprenaient le jaṭā-pāṭha (littéralement “récitation en maille”) dans lequel deux mots adjacents dans le texte étaient d’abord récités dans leur ordre d’origine, puis répétés dans l’ordre inverse, et enfin répétés dans l’ordre d’origine. ^[44] La récitation s’est donc déroulée comme suit :

mot1mot2, mot2mot1, mot1mot2 ; mot2mot3, mot3mot2, mot2mot3 ; …

Dans une autre forme de récitation, dhvaja-pāṭha^[44] (littéralement « récitation du drapeau »), une séquence de N mots a été récitée (et mémorisée) en associant les deux premiers et les deux derniers mots, puis en procédant comme suit :

mot ₁ mot ₂ , mot _{N − 1} mot _N ; mot ₂ mot ₃ , mot _{N − 2} mot _{N − 1} ; ..; mot _{N − 1} mot _N , mot ₁ mot ₂ ;

La forme de récitation la plus complexe, ghana-pāṭha (littéralement « récitation dense »), selon ( Filliozat 2004 , p. 139), prenait la forme :

mot1mot2, mot2mot1, mot1mot2mot3, mot3mot2mot1, mot1mot2mot3 ; mot2mot3, mot3mot2, mot2mot3mot4, mot4mot3mot2, mot2mot3mot4 ; …

L’efficacité de ces méthodes est attestée par la préservation du plus ancien texte religieux indien, le Ṛgveda (vers 1500 avant notre ère), en un seul texte, sans aucune variante de lecture. ^[44] Des méthodes similaires ont été utilisées pour mémoriser des textes mathématiques, dont la transmission est restée exclusivement orale jusqu’à la fin de la Période védique (vers 500 avant notre ère).

Le genre Sutra

L’activité mathématique dans l’Inde ancienne a commencé dans le cadre d’une «réflexion méthodologique» sur les Védas sacrés , qui a pris la forme d’ouvrages appelés Vedāṇgas , ou «Ancillaires du Veda» (VIIe-IVe siècles avant notre ère). ^[45] La nécessité de conserver le son du texte sacré en utilisant śikṣā ( phonétique ) et chhandas ( métrique ) ; conserver son sens en utilisant vyākaraṇa ( grammaire ) et nirukta ( étymologie ); et d’accomplir correctement les rites au bon moment en utilisant le kalpa ( rituel ) et le jyotiṣa( astrologie ), a donné naissance aux six disciplines des Vedāṇgas . ^[45] Les mathématiques sont apparues dans le cadre des deux dernières disciplines, le rituel et l’astronomie (qui comprenait également l’astrologie). Comme les Vedāṇga ont immédiatement précédé l’usage de l’écriture dans l’Inde ancienne, ils ont formé la dernière de la littérature exclusivement orale. Ils étaient exprimés sous une forme mnémonique très compressée, le sūtra (littéralement, « fil ») :

Les connaisseurs du sūtra le connaissent comme ayant peu de phonèmes, étant dépourvu d’ambiguïté, contenant l’essence, faisant face à tout, étant sans pause et irréprochable. ^[45]

Une brièveté extrême a été obtenue par de multiples moyens, notamment l’utilisation d’ ellipses “au-delà de la tolérance du langage naturel” ^[45] en utilisant des noms techniques au lieu de noms descriptifs plus longs, en abrégeant les listes en ne mentionnant que les première et dernière entrées et en utilisant des marqueurs et des variables. ^[45] Les sūtras créent l’impression que la communication à travers le texte n’était “qu’une partie de l’ensemble de l’instruction. Le reste de l’instruction doit avoir été transmis par le soi-disant Guru-shishya parampara , ‘la succession ininterrompue de l’enseignant ( gourou ) à l’étudiant ( śisya ),’ et il n’était pas ouvert au grand public” et peut-être même gardé secret. ^[46]La brièveté obtenue dans un sūtra est démontrée dans l’exemple suivant du Baudhāyana Śulba Sūtra (700 avant notre ère).

La conception de l’autel du feu domestique dans le Śulba Sūtra

L’autel du feu domestique de la Période védique devait, par rituel, avoir une base carrée et être constitué de cinq couches de briques avec 21 briques dans chaque couche. Une méthode de construction de l’autel consistait à diviser un côté du carré en trois parties égales à l’aide d’une corde ou d’une corde, pour ensuite diviser le côté transversal (ou perpendiculaire) en sept parties égales, et ainsi subdiviser le carré en 21 rectangles congruents . Les briques ont ensuite été conçues pour avoir la forme du rectangle constitutif et la couche a été créée. Pour former la couche suivante, la même formule a été utilisée, mais les briques ont été disposées transversalement. ^[47] Le processus a ensuite été répété trois fois de plus (avec des directions alternées) afin de terminer la construction. Dans le Baudhāyana Śulba Sūtra, cette procédure est décrite dans les termes suivants :

II.64. Après avoir divisé le quadrilatère en sept, on divise la transversale [corde] en trois.
II.65. Dans une autre couche on place les [briques] pointant vers le nord. ^[47]

Selon ( Filliozat 2004 , p. 144), l’officiant construisant l’autel ne dispose que de peu d’outils et de matériaux : une corde (sanskrit, rajju , f.), deux chevilles (sanskrit, śanku , m.) et argile pour fabriquer les briques (sanskrit, iṣṭakā , f.). La concision est obtenue dans le sūtra, en ne mentionnant pas explicitement ce que qualifie l’adjectif « transversal » ; cependant, à partir de la forme féminine de l’adjectif (sanskrit) utilisé, il est facile de déduire qu’il qualifie « cordon ». De même, dans la deuxième strophe, les «briques» ne sont pas explicitement mentionnées, mais déduites à nouveau par la forme plurielle féminine de «pointant vers le nord». Enfin, la première strophe ne dit jamais explicitement que la première couche de briques est orientée dans la direction est-ouest, mais cela aussi est impliqué par la mention explicite de «pointant vers le nord» dans la deuxième strophe; car, si l’orientation était censée être la même dans les deux couches, soit elle ne serait pas mentionnée du tout, soit elle ne serait mentionnée que dans la première strophe. Toutes ces déductions sont faites par l’officiant lorsqu’il rappelle la formule de sa mémoire.

La tradition écrite : commentaire en prose

Avec la complexité croissante des mathématiques et d’autres sciences exactes, l’écriture et le calcul étaient nécessaires. Par conséquent, de nombreux travaux mathématiques ont commencé à être écrits dans des manuscrits qui ont ensuite été copiés et recopiés de génération en génération.

On estime aujourd’hui que l’Inde compte environ trente millions de manuscrits, le plus grand nombre de documents de lecture manuscrits au monde. La culture littéraire de la science indienne remonte au moins au cinquième siècle avant JC … comme le montrent les éléments de la littérature et de l’astronomie mésopotamiennes qui sont entrés en Inde à cette époque et (n’étaient) certainement pas … conservés oralement. ^[48]

Le premier commentaire mathématique en prose était celui sur l’ouvrage, Āryabhaṭīya (écrit en 499 CE), un ouvrage sur l’astronomie et les mathématiques. La partie mathématique de l’ Āryabhaṭīya était composée de 33 sūtras (sous forme de vers) constitués d’énoncés ou de règles mathématiques, mais sans aucune preuve. ^[49] Cependant, selon ( Hayashi 2003 , p. 123), « cela ne signifie pas nécessairement que leurs auteurs ne les ont pas prouvés. C’était probablement une question de style d’exposition ». À partir de l’époque de Bhaskara I (à partir de 600 CE), les commentaires en prose ont de plus en plus commencé à inclure certaines dérivations ( upapatti ). Commentaire de Bhaskara I sur l’ Āryabhaṭīya, avait la structure suivante : ^[49]

Règle (‘sūtra’) en vers par Āryabhaṭa
Commentaire de Bhāskara I, composé de:
- Élucidation de la règle (les dérivations étaient encore rares à l’époque, mais sont devenues plus courantes plus tard)
- Exemple ( uddeśaka ) généralement en vers.
- Mise ( nyāsa/sthāpanā ) des données numériques.
- Travail ( karana ) de la solution.
- Vérification ( pratyayakaraṇa , littéralement « faire conviction ») de la réponse. Celles-ci sont devenues rares au XIIIe siècle, les dérivations ou les preuves étant alors privilégiées. ^[49]

En règle générale, pour tout sujet mathématique, les étudiants de l’Inde ancienne mémorisaient d’abord les sūtras , qui, comme expliqué précédemment, étaient “délibérément inadéquats” ^[48] dans les détails explicatifs (afin de transmettre de manière concise les règles mathématiques simples). Les élèves ont ensuite travaillé sur les sujets du commentaire en prose en écrivant (et en dessinant des diagrammes) sur des tableaux à craie et à poussière (c’est- à- dire des tableaux recouverts de poussière). Cette dernière activité, un élément essentiel du travail mathématique, devait plus tard inciter le mathématicien-astronome Brahmagupta ( fl. 7e siècle de notre ère), à caractériser les calculs astronomiques comme un «travail de poussière» ( sanskrit : dhulikarman ). ^[50]

Les chiffres et le système décimal

Il est bien connu que le système de valeur de position décimale en usage aujourd’hui a d’abord été enregistré en Inde, puis transmis au monde islamique, et finalement à l’Europe. ^[51] L’évêque syrien Severus Sebokht a écrit au milieu du VIIe siècle de notre ère sur les “neuf signes” des Indiens pour exprimer les nombres. ^[51] Cependant, comment, quand et où le premier système de valeur de position décimale a été inventé n’est pas si clair. ^[52]

Le premier script existant utilisé en Inde était le script Kharoṣṭhī utilisé dans la culture Gandhara du nord-ouest. On pense qu’il est d’ origine araméenne et il a été utilisé du 4ème siècle avant notre ère au 4ème siècle de notre ère. Presque simultanément, une autre écriture, l’ écriture Brāhmī , apparaît sur une grande partie du sous-continent, et deviendra plus tard le fondement de nombreuses écritures d’Asie du Sud et d’Asie du Sud-Est. Les deux scripts avaient des symboles numériques et des systèmes numériques, qui n’étaient initialement pas basés sur un système de valeur de position. ^[53]

La première preuve survivante de chiffres décimaux de valeur de position en Inde et en Asie du Sud-Est date du milieu du premier millénaire de notre ère. ^[54] Une plaque de cuivre du Gujarat, en Inde, mentionne la date 595 CE, écrite dans une notation décimale de valeur de position, bien qu’il y ait un doute quant à l’authenticité de la plaque. ^[54] Les nombres décimaux enregistrant les années 683 CE ont été aussi trouvés dans les inscriptions en pierre en Indonésie et au Cambodge, où l’influence culturelle indienne était substantielle. ^[54]

Il existe des sources textuelles plus anciennes, bien que les copies manuscrites existantes de ces textes datent de beaucoup plus tard. ^[55] Probablement la plus ancienne de ces sources est l’œuvre du philosophe bouddhiste Vasumitra datée probablement du 1er siècle de notre ère. ^[55] Discutant des fosses de comptage des marchands, Vasumitra remarque: “Quand [le même] morceau de comptage d’argile est à la place des unités, il est noté un, lorsqu’il est en centaines, cent.” ^[55] Bien que de telles références semblent impliquer que ses lecteurs aient eu connaissance d’une représentation décimale de la valeur de position, la “brièveté de leurs allusions et l’ambiguïté de leurs dates n’établissent cependant pas solidement la chronologie du développement de ce concept.” ^[55]

Une troisième représentation décimale a été employée dans une technique de composition de vers, appelée plus tard Bhuta-sankhya (littéralement, «numéros d’objets») utilisée par les premiers auteurs sanskrits de livres techniques. ^[56] Étant donné que de nombreux premiers ouvrages techniques étaient composés en vers, les nombres étaient souvent représentés par des objets du monde naturel ou religieux qui leur correspondaient; cela a permis une correspondance plusieurs à un pour chaque numéro et a facilité la composition des vers. ^[56] Selon ( Plofker 2009 ), le chiffre 4, par exemple, pourrait être représenté par le mot « Veda” (puisqu’il y avait quatre de ces textes religieux), le nombre 32 par le mot “dents” (puisqu’un ensemble complet se compose de 32), et le chiffre 1 par “lune” (puisqu’il n’y a qu’une seule lune). ^{[56 ]} Ainsi, Veda/dents/lune correspondrait au chiffre décimal 1324, car la convention pour les nombres était d’énumérer leurs chiffres de droite à gauche ^[56] La première référence employant des nombres d’objets est un texte sanskrit d’environ 269 CE, Yavanajātaka (littéralement “horoscopie grecque”) de Sphujidhvaja, une versification d’une adaptation en prose indienne antérieure (vers 150 CE) d’un ouvrage perdu d’astrologie hellénistique ^[57].Une telle utilisation semble prouver qu’au milieu du IIIe siècle de notre ère, le système de valeur de position décimale était familier, du moins aux lecteurs de textes astronomiques et astrologiques en Inde. ^[56]

On a émis l’hypothèse que le système indien de valeur de position décimale était basé sur les symboles utilisés sur les tableaux de comptage chinois dès le milieu du premier millénaire avant notre ère. ^[58] Selon ( Plofker 2009 ),

Ces tableaux de comptage, comme les fosses de comptage indiennes, …, avaient une structure de valeur de position décimale … Les Indiens ont peut-être appris l’existence de ces “chiffres de tige” de valeur de position décimale des pèlerins bouddhistes chinois ou d’autres voyageurs, ou ils peuvent avoir développé le concept indépendamment de leur système antérieur de non-valeur de position ; aucune preuve documentaire ne survit pour confirmer l’une ou l’autre conclusion.” ^[58]

Manuscrit Bakhshali

Le plus ancien manuscrit mathématique existant en Inde est le manuscrit de Bakhshali , un manuscrit en écorce de bouleau écrit en “sanskrit hybride bouddhiste” ^[12] dans l’ écriture Śāradā , qui était utilisée dans la région nord-ouest du sous-continent indien entre le 8ème et le 12ème siècle de notre ère. ^[59] Le manuscrit a été découvert en 1881 par un fermier alors qu’il creusait dans un enclos de pierre dans le village de Bakhshali, près de Peshawar (alors en Inde britannique et maintenant au Pakistan ). D’auteur inconnu et maintenant conservé à la Bodleian Library de l’Université d’Oxford , le manuscrit a été daté récemment de 224 à 383 après JC. ^[60]

Le manuscrit survivant a soixante-dix feuilles, dont certaines sont en fragments. Son contenu mathématique se compose de règles et d’exemples, écrits en vers, ainsi que de commentaires en prose, qui incluent des solutions aux exemples. ^[59] Les sujets traités comprennent l’arithmétique (fractions, racines carrées, profits et pertes, intérêt simple, règle de trois et regula falsi ) et l’algèbre (équations linéaires et équations quadratiques simultanées ) et les progressions arithmétiques. De plus, il existe une poignée de problèmes géométriques (y compris des problèmes de volumes de solides irréguliers). Le Manuscrit Bakhshali “utilise également un système de valeur de position décimale avec un point pour zéro”. ^[59]Beaucoup de ses problèmes sont d’une catégorie connue sous le nom de «problèmes d’égalisation» qui conduisent à des systèmes d’équations linéaires. Un exemple du fragment III-5-3v est le suivant :

Un marchand possède sept chevaux asava , un deuxième neuf chevaux haya et un troisième dix chameaux. Ils sont également aisés dans la valeur de leurs bêtes si chacun donne deux bêtes, une à chacun des autres. Trouvez le prix de chaque animal et la valeur totale des animaux possédés par chaque marchand. ^[61]

Le commentaire en prose accompagnant l’exemple résout le problème en le convertissant en trois équations (sous-déterminées) à quatre inconnues et en supposant que les prix sont tous des entiers. ^[61]

En 2017, la datation au radiocarbone a montré que trois échantillons du manuscrit provenaient de trois siècles différents : de 224 à 383 après JC, 680-779 après JC et 885-993 après JC. On ne sait pas comment des fragments de siècles différents ont pu être emballés ensemble. ^{[62] [63] [64]}

Période classique (400–1600)

Cette période est souvent connue comme l’âge d’or des mathématiques indiennes. Cette période a vu des mathématiciens tels qu’Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava de Sangamagrama et Nilakantha Somayaji donner une forme plus large et plus claire à de nombreuses branches des mathématiques. Leurs contributions se répandraient en Asie, au Moyen-Orient et finalement en Europe. Contrairement aux mathématiques védiques, leurs travaux comprenaient à la fois des contributions astronomiques et mathématiques. En fait, les mathématiques de cette période étaient incluses dans la « science astrale » ( jyotiḥśāstra) et comprenait trois sous-disciplines : les sciences mathématiques ( gaṇita ou tantra ), l’horoscope astrologique ( horā ou jātaka ) et la divination ( saṃhitā ). ^[50] Cette division tripartite est vue dans la compilation du 6ème siècle de Varāhamihira – Pancasiddhantika ^[65] (littéralement panca , “cinq”, siddhānta , “conclusion de la délibération”, datée de 575 CE ) – de cinq œuvres antérieures, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta et Paitamaha Siddhanta, qui étaient des adaptations d’ouvrages encore plus anciens d’astronomie mésopotamienne, grecque, égyptienne, romaine et indienne. Comme expliqué précédemment, les principaux textes ont été composés en vers sanskrits et ont été suivis de commentaires en prose. ^[50]

Ve et VIe siècles

Surya Siddhanta

Bien que sa paternité soit inconnue, le Surya Siddhanta (vers 400) contient les racines de la trigonométrie moderne . ^{[ citation nécessaire ]} Parce qu’il contient de nombreux mots d’origine étrangère, certains auteurs considèrent qu’il a été écrit sous l’influence de la Mésopotamie et de la Grèce. ^{[66] [ meilleure source nécessaire ]}

Ce texte ancien utilise pour la première fois les éléments suivants comme fonctions trigonométriques : ^{[ citation nécessaire ]}

Sinus ( Jya ).
Cosinus ( Kojya ).
Sinus inverse ( Otkram jya ).

Il contient également les premières utilisations de : ^{[ citation nécessaire ]}

Tangente .
Sécante .

Plus tard, des mathématiciens indiens tels qu’Aryabhata ont fait référence à ce texte, tandis que les traductions arabes et latines ultérieures ont été très influentes en Europe et au Moyen-Orient.

Calendrier Chhedi

Ce calendrier Chhedi (594) contient une utilisation précoce du système de numération hindou-arabe moderne à valeur de position maintenant utilisé universellement.

Aryabhata I

Aryabhata (476–550) a écrit l’ Aryabhatiya. Il a décrit les principes fondamentaux importants des mathématiques dans 332 shlokas . Le traité contenait :

Équations du second degré
Trigonométrie
La valeur de π , corrigée à 4 décimales près.

Aryabhata a également écrit l’ Arya Siddhanta , aujourd’hui perdu. Les contributions d’Aryabhata incluent :

Trigonométrie:

(Voir aussi : table des Sinus d’Aryabhata )

Présentation des fonctions trigonométriques .
Définit le Sinus ( jya ) comme la relation moderne entre un demi-angle et un demi-accord.
Défini le Cosinus ( kojya ).
Défini le verset ( utkrama -jya ).
Défini le Sinus inverse ( otkram jya ).
A donné des méthodes de calcul de leurs valeurs numériques approximatives.
Contient les premières tables de valeurs de Sinus, Cosinus et versinus, dans des intervalles de 3,75° de 0° à 90°, à 4 décimales de précision.
Contient la formule trigonométrique sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nx .
Trigonométrie sphérique .

Arithmétique:

Fractions continues .

Algèbre:

Solutions d’équations quadratiques simultanées.
Solutions en nombres entiers d’ équations linéaires par une méthode équivalente à la méthode moderne.
Solution générale de l’équation linéaire indéterminée .

Astronomie mathématique :

Calculs précis pour les constantes astronomiques, telles que :
- Éclipse solaire .
- Éclipse lunaire .
- La formule de la somme des cubes , qui fut une étape importante dans le développement du calcul intégral. ^[67]

Varahamihira

Varahamihira (505–587) a produit le Pancha Siddhanta ( Les cinq canons astronomiques ). Il a apporté d’importantes contributions à la trigonométrie, y compris les tables Sinus et Cosinus à 4 décimales de précision et les formules suivantes reliant les fonctions Sinus et Cosinus :

sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1 {displaystyle sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x)=1}
sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( π 2 − x ) {displaystyle sin(x)=cos left({frac {pi }{2}}-xright)} $sin(x)=cosleft(frac{pi}{2}-xright)$ $sin(x)=cosleft(frac{pi}{2}-xright)$
1 − cos ⁡ ( 2 x ) 2 = sin 2 ⁡ ( x ) {displaystyle {frac {1-cos(2x)}{2}}=sin ^{2}(x)} $frac{1-cos(2x)}{2}=sin^2(x)$ $frac{1-cos(2x)}{2}=sin^2(x)$

VIIe et VIIIe siècles

Le théorème de Brahmagupta stipule que AF = FD .

Au 7ème siècle, deux domaines distincts, l’arithmétique (qui comprenait la mesure ) et l’algèbre , ont commencé à émerger dans les mathématiques indiennes. Les deux domaines seraient plus tard appelés pāṭī-gaṇita (littéralement “mathématiques des algorithmes”) et bīja-gaṇita (lit. “mathématiques des graines”, avec des “graines” – comme les graines de plantes – représentant des inconnues avec le potentiel de générer, dans ce cas, les solutions des équations). ^[68] Brahmagupta , dans son ouvrage astronomique Brāhma Sphuṭa Siddhānta(628 CE), comprenait deux chapitres (12 et 18) consacrés à ces domaines. Le chapitre 12, contenant 66 versets sanskrits, était divisé en deux sections : “opérations de base” (y compris les racines cubiques, les fractions, le rapport et la proportion, et le troc) et “mathématiques pratiques” (y compris le mélange, les séries mathématiques, les figures planes, l’empilement de briques, sciage du bois et empilage du grain). ^[69] Dans cette dernière section, il énonce son fameux théorème sur les diagonales d’un quadrilatère cyclique : ^[69]

Théorème de Brahmagupta : Si un quadrilatère cyclique a des diagonales perpendiculaires les unes aux autres, alors la ligne perpendiculaire tracée du point d’intersection des diagonales à n’importe quel côté du quadrilatère coupe toujours le côté opposé.

Le chapitre 12 comprenait également une formule pour l’aire d’un quadrilatère cyclique (une généralisation de la formule de Heron ), ainsi qu’une description complète des triangles rationnels ( c’est-à- dire des triangles avec des côtés rationnels et des aires rationnelles).

Formule de Brahmagupta : L’aire, A , d’un quadrilatère cyclique avec des côtés de longueurs a , b , c , d , respectivement, est donnée par

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A = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {displaystyle A={sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}},} A = sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} ,

où s , le demi- périmètre , donné par s = a + b + c + d 2 . {displaystyle s={frac {a+b+c+d}{2}}.} $s=frac{a+b+c+d}{2}.$ $s=frac{a+b+c+d}{2}.$

Théorème de Brahmagupta sur les triangles rationnels : un triangle à côtés rationnels a , b , c {displaystyle a,b,c} a, b, c et l’aire rationnelle est de la forme :

a = u 2 v + v , b = u 2 w + w , c = u 2 v + u 2 w − ( v + w ) {displaystyle a={frac {u^{2}}{v}}+v, b={frac {u^{2}}{w}}+w, c={frac {u^{2}}{v}}+{frac {u^{2}}{w}}-(v+w)} $a = frac{u^2}{v}+v, b=frac{u^2}{w}+w, c=frac{u^2}{v}+frac{u^2}{w} - (v+w)$ $a = frac{u^2}{v}+v, b=frac{u^2}{w}+w, c=frac{u^2}{v}+frac{u^2}{w} - (v+w)$

pour certains nombres rationnels u , v , {displaystyle u,v,} u, v, et w {displaystyle w} . ^[70]

Le chapitre 18 contenait 103 versets sanskrits qui commençaient par des règles pour les opérations arithmétiques impliquant des nombres zéro et négatifs ^[69] et est considéré comme le premier traitement systématique du sujet. Les règles (qui comprenaient a + 0 = a {displaystyle a+0= a} a + 0 = a et a × 0 = 0 {displaystyle atimes 0=0} a times 0 = 0 ) étaient tous corrects, à une exception près : 0 0 = 0 {displaystyle {frac{0}{0}}=0} $frac{0}{0} = 0$ $frac{0}{0} = 0$ . ^[69] Plus loin dans le chapitre, il donne la première solution explicite (bien qu’encore pas complètement générale) de l’ équation quadratique :

a x 2 + b x = c {displaystyle ax^{2}+bx=c} ax^2+bx=c

Au nombre absolu multiplié par quatre fois le [coefficient du] carré, ajouter le carré du [coefficient du] moyen terme ; la racine carrée de la même chose, moins le [coefficient du] moyen terme, étant divisée par deux fois le [coefficient du] carré est la valeur. ^[71]

Cela équivaut à :

x = 4 a c + b 2 − b 2 a {displaystyle x={frac {{sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}} $x={frac {{sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$ $x={frac {{sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$

Toujours au chapitre 18, Brahmagupta a pu progresser dans la recherche de solutions (intégrales) de l’équation de Pell , ^[72]

x 2 − N y 2 = 1 , {displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1,} x^2-Ny^2=1,

où N {displaystyle N} est un entier non carré. Il l’a fait en découvrant l’identité suivante : ^[72]

Identité de Brahmagupta : ( x 2 − N y 2 ) ( x ′ 2 − N y ′ 2 ) = ( x x ′ + N y y ′ ) 2 − N ( x y ′ + x ′ y ) 2 {displaystyle (x^{2}-Ny^{2})(x’^{2}-Ny’^{2})=(xx’+Nyy’)^{2}-N(xy’+ x’y)^{2}} (x^2-Ny^2)(x'^2-Ny'^2) = (xx'+Nyy')^2 - N(xy'+x'y)^2 qui était une généralisation d’une identité antérieure de Diophante : ^[72] Brahmagupta a utilisé son identité pour prouver le lemme suivant : ^[72]

Lemme (Brahmagupta) : Si x = x 1 , y = y 1 {displaystyle x=x_{1}, y=y_{1} } x=x_1, y=y_1 est une solution de x 2 − N y 2 = k 1 , {displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k_{1},} x^2 - Ny^2 = k_1, et, x = x 2 , y = y 2 {displaystyle x=x_{2}, y=y_{2} } x=x_2, y=y_2 est une solution de x 2 − N y 2 = k 2 , {displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k_{2},} x^2 - Ny^2 = k_2, , alors:

x = x 1 x 2 + N y 1 y 2 , y = x 1 y 2 + x 2 y 1 {displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}, y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1} } x=x_1x_2+Ny_1y_2, y=x_1y_2+x_2y_1 est une solution de x 2 − N y 2 = k 1 k 2 {displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}} x^2-Ny^2=k_1k_2

Il a ensuite utilisé ce lemme pour à la fois générer une infinité de solutions (intégrales) de l’équation de Pell, étant donné une solution, et énoncer le théorème suivant :

Théorème (Brahmagupta) : Si l’équation x 2 − N y 2 = k {displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k} x^2 - Ny^2 =k a une solution entière pour l’un quelconque de k = ± 4 , ± 2 , − 1 {displaystyle k=pm 4,pm 2,-1} k=pm 4, pm 2, -1 puis l’équation de Pell :

x 2 − N y 2 = 1 {displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1} x^2 -Ny^2 = 1

a aussi une solution entière. ^[73]

Brahmagupta n’a pas réellement prouvé le théorème, mais a plutôt élaboré des exemples en utilisant sa méthode. Le premier exemple qu’il a présenté était : ^[72]

Exemple (Brahmagupta) : Trouver des entiers x , y {displaystyle x, y } x, y tel que:

x 2 − 92 y 2 = 1 {displaystylex^{2}-92y^{2}=1} x^2 - 92y^2=1

Dans son commentaire, Brahmagupta a ajouté, “une personne résolvant ce problème en un an est un mathématicien”. ^[72] La solution qu’il a proposée était la suivante :

x = 1151 , y = 120 {displaystyle x=1151, y=120} Bhaskara I

Bhaskara I (vers 600–680) a élargi le travail d’Aryabhata dans ses livres intitulés Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya et Laghu-bhaskariya . Il a produit:

Solutions d’équations indéterminées.
Une approximation rationnelle de la fonction Sinus .
Une formule pour calculer le Sinus d’un angle aigu sans l’utilisation d’une table, correcte à deux décimales.

IXe-XIIe siècles

Virasena

Virasena (8e siècle) était un mathématicien jaïn à la cour du roi Rashtrakuta Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka. Il a écrit le Dhavala , un commentaire sur les mathématiques jaïns, qui :

Traite du concept d ‘ ardhaccheda , le nombre de fois qu’un nombre peut être divisé par deux, et énumère diverses règles impliquant cette opération. Cela coïncide avec le logarithme binaire lorsqu’il est appliqué à des puissances de deux , ^{[74] [75]} mais diffère sur d’autres nombres, ressemblant plus étroitement à l’ ordre 2-adique .
Même concept pour la base 3 ( trakacheda ) et la base 4 ( caturthacheda ).

Virasena a également donné :

La dérivation du volume d’un tronc de cône par une sorte de procédure infinie.

On pense qu’une grande partie du matériel mathématique du Dhavala peut être attribuée aux écrivains précédents, en particulier Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra et Bappadeva et date qui a écrit entre 200 et 600 CE. ^[75]

Mahavira

Mahavira Acharya (vers 800–870) du Karnataka , le dernier des mathématiciens jaïns notables, a vécu au IXe siècle et était patronné par le roi Rashtrakuta Amoghavarsha. Il a écrit un livre intitulé Ganit Saar Sangraha sur les mathématiques numériques, et a également écrit des traités sur un large éventail de sujets mathématiques. Ceux-ci incluent les mathématiques de:

Zéro
Carrés
Cubes
les racines carrées , les racines cubiques et les séries s’étendant au-delà de celles-ci
Géométrie plane
Géométrie solide
Problèmes liés à la projection des ombres
Formules dérivées pour calculer l’aire d’une ellipse et d’un quadrilatère à l’intérieur d’un cercle .

Mahavira aussi :

Affirmé que la racine carrée d’un nombre négatif n’existait pas
A donné la somme d’une série dont les termes sont les carrés d’une progression arithmétique et a donné des règles empiriques pour l’aire et le périmètre d’une ellipse.
Équations cubiques résolues.
Équations quartiques résolues.
Résolution de quelques équations quintiques et de polynômes d’ordre supérieur .
A donné les solutions générales des équations polynomiales d’ordre supérieur :
- a x n = q {displaystyle ax^{n}=q}
- a x n − 1 x − 1 = p {displaystyle a{frac {x^{n}-1}{x-1}}=p} $a frac{x^n - 1}{x - 1} = p$ $a frac{x^n - 1}{x - 1} = p$
Équations quadratiques indéterminées résolues.
Équations cubiques indéterminées résolues.
Équations indéterminées d’ordre supérieur résolues.

Shridhara

Shridhara (vers 870–930), qui vivait au Bengale , a écrit les livres intitulés Nav Shatika , Tri Shatika et Pati Ganita . Il a donné:

Une bonne règle pour trouver le volume d’une sphère .
La formule pour résoudre les équations quadratiques .

Le Pati Ganita est un ouvrage sur l’arithmétique et la mesure . Il s’occupe de diverses opérations, notamment :

Opérations élémentaires
Extraction des racines carrées et cubiques.
Fractions.
Huit règles données pour les opérations impliquant zéro.
Méthodes de sommation de différentes séries arithmétiques et géométriques, qui deviendront des références standard dans des travaux ultérieurs.

Manjula

Les équations différentielles d’Aryabhata ont été élaborées au 10ème siècle par Manjula (également Munjala ), qui s’est rendu compte que l’expression ^[76]

sin ⁡ w ′ − sin ⁡ w { displaystyle sin w’- sin w} sin w' - sin w

pourrait être exprimé approximativement comme

( w ′ − w ) cos ⁡ w {displaystyle (w’-w)cos w} (w' - w)cos w

Il a compris le concept de différenciation après avoir résolu l’équation différentielle résultant de la substitution de cette expression dans l’équation différentielle d’Aryabhata. ^[76]

Aryabhata II

Aryabhata II (vers 920-1000) a écrit un commentaire sur Shridhara et un traité astronomique Maha-Siddhanta . Le Maha-Siddhanta comporte 18 chapitres et traite de :

Mathématiques numériques ( Ank Ganit ).
Algèbre.
Solutions d’équations indéterminées ( kuttaka ).

Shripati

Shripati Mishra (1019-1066) a écrit les livres Siddhanta Shekhara , un ouvrage majeur sur l’astronomie en 19 chapitres, et Ganit Tilaka , un traité arithmétique incomplet en 125 versets basé sur un ouvrage de Shridhara. Il a travaillé principalement sur :

Permutations et combinaisons .
Solution générale de l’équation linéaire indéterminée simultanée.

Il était aussi l’auteur de Dhikotidakarana , un ouvrage de vingt vers sur :

Éclipse solaire .
Éclipse lunaire .

Le Dhruvamanasa est un ouvrage de 105 versets sur :

Calcul des longitudes planétaires
éclipses .
transits planétaires .

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (vers 1100) est l’auteur d’un traité mathématique intitulé Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II (1114-1185) était un mathématicien-astronome qui a écrit un certain nombre de traités importants, à savoir le Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam et Karan Kautoohal . Un certain nombre de ses contributions ont ensuite été transmises au Moyen-Orient et en Europe. Ses contributions incluent :

Arithmétique:

Calcul des intérêts
Progressions arithmétiques et géométriques
Géométrie plane
Géométrie solide
L’ombre du gnomon
Solutions de combinaisons
A donné une preuve que la division par zéro est l’ infini .

Algèbre:

La reconnaissance d’un nombre positif ayant deux racines carrées.
Surdes .
Opérations avec des produits de plusieurs inconnues.
Les solutions de :
- Équations du second degré.
- Équations cubiques.
- Équations quartiques.
- Équations à plus d’une inconnue.
- Équations quadratiques à plus d’une inconnue.
- La forme générale de l’équation de Pell en utilisant la méthode chakravala .
- L’équation quadratique générale indéterminée utilisant la méthode chakravala .
- Équations cubiques indéterminées.
- Équations quartiques indéterminées.
- Équations polynomiales indéterminées d’ordre supérieur.

Géométrie:

A donné une preuve du Théorème de Pythagore .

Calcul:

Conçu du calcul différentiel .
Découverte de la dérivée .
Découvert le coefficient différentiel .
Différenciation développée.
Énoncé du théorème de Rolle , un cas particulier du théorème de la valeur moyenne (l’un des théorèmes les plus importants du calcul et de l’analyse).
Dérivé de la différentielle de la fonction Sinus.
π calculé , corrigé à cinq décimales près.
Calculé la longueur de la révolution de la Terre autour du Soleil à 9 décimales.

Trigonométrie:

Développements de la trigonométrie sphérique
Les formules trigonométriques :
- sin ⁡ ( a + b ) = sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) + sin ⁡ ( b ) cos ⁡ ( a ) {displaystyle sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)}
- sin ⁡ ( a − b ) = sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) − sin ⁡ ( b ) cos ⁡ ( a ) {displaystyle sin(ab)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)}

Mathématiques du Kerala (1300–1600)

L’ école d’astronomie et de mathématiques du Kerala a été fondée par Madhava de Sangamagrama au Kerala, dans le sud de l’Inde et comprenait parmi ses membres : Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri et Achyuta Panikkar. Il a prospéré entre les XIVe et XVIe siècles et les découvertes originales de l’école semblent avoir pris fin avec Narayana Bhattathiri (1559-1632). En tentant de résoudre des problèmes astronomiques, les astronomes de l’école du Kerala ont créé indépendamment un certain nombre de concepts mathématiques importants. Les résultats les plus importants, le développement en série pourfonctions trigonométriques , ont été données en vers sanskrit dans un livre de Neelakanta appelé Tantrasangraha et un commentaire sur cet ouvrage appelé Tantrasangraha-vakhya d’auteur inconnu. Les théorèmes ont été énoncés sans preuve, mais des preuves de la série pour le Sinus , le Cosinus et la tangente inverse ont été fournies un siècle plus tard dans l’ouvrage Yuktibhāṣā (vers 1500–vers 1610), écrit en malayalam , par Jyesthadeva . ^[77]

Leur découverte de ces trois importantes séries d’extensions du calcul — plusieurs siècles avant que le calcul ne soit développé en Europe par Isaac Newton et Gottfried Leibniz — était un exploit. Cependant, l’école du Kerala n’a pas inventé le calcul , ^[78] car, bien qu’ils aient pu développer des développements en série de Taylor pour les fonctions trigonométriques importantes , la différenciation , l’ intégration terme à terme , les tests de convergence , les méthodes itérativespour les solutions d’équations non linéaires et la théorie selon laquelle l’aire sous une courbe est son intégrale, ils n’ont développé ni une théorie de différenciation ou d’ intégration , ni le théorème fondamental du calcul . ^[67] Les résultats obtenus par l’école du Kerala comprennent :

La suite Géométrique (infinie) : 1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for | x | < 1 {displaystyle {frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+cdots {text{ for }}|x| <1} $frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4+ cdotstext{ for }|x|<1$ $frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4+ cdotstext{ for }|x|<1$ ^[79]
Une preuve semi-rigoureuse (voir remarque “induction” ci-dessous) du résultat : 1 p + 2 p + ⋯ + n p ≈ n p + 1 p + 1 {displaystyle 1^{p}+2^{p}+cdots +n^{p}approx {frac {n^{p+1}}{p+1}}} $1^p+ 2^p + cdots + n^p approx frac{n^{p+1}}{p+1}$ $1^p+ 2^p + cdots + n^p approx frac{n^{p+1}}{p+1}$ pour grand n . ^[77]
Utilisation intuitive de l’induction mathématique , cependant, l’ hypothèse inductive n’a pas été formulée ou employée dans les preuves. ^[77]
Applications des idées de (ce qui allait devenir) calcul différentiel et intégral pour obtenir (Taylor-Maclaurin) des séries infinies pour sin x, cos x et arctan x. ^[78] Le Tantrasangraha-vakhya donne la série en vers, qui, une fois traduite en notation mathématique, peut être écrite comme suit : ^[77]

r arctan ⁡ ( y x ) = 1 1 ⋅ r y x − 1 3 ⋅ r y 3 x 3 + 1 5 ⋅ r y 5 x 5 − ⋯ , where y / x ≤ 1. {displaystyle rarctan left({frac {y}{x}}right)={frac {1}{1}}cdot {frac {ry}{x}}-{frac { 1}{3}}cdot {frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{frac {1}{5}}cdot {frac {ry^{5}}{ x^{5}}}-cdots ,{text{ où }}y/xleq 1.} $rarctanleft(frac{y}{x}right) = frac{1}{1}cdotfrac{ry}{x} -frac{1}{3}cdotfrac{ry^3}{x^3} + frac{1}{5}cdotfrac{ry^5}{x^5} - cdots ,text{ where }y/x leq 1.$ $rarctanleft(frac{y}{x}right) = frac{1}{1}cdotfrac{ry}{x} -frac{1}{3}cdotfrac{ry^3}{x^3} + frac{1}{5}cdotfrac{ry^5}{x^5} - cdots ,text{ where }y/x leq 1.$ r sin ⁡ x = x − x x 2 ( 2 2 + 2 ) r 2 + x x 2 ( 2 2 + 2 ) r 2 ⋅ x 2 ( 4 2 + 4 ) r 2 − ⋯ {displaystyle rsin x=xx{frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{frac {x^{2}}{( 2^{2}+2)r^{2}}}cdot {frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-cdots } ${displaystyle rsin x=x-x{frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}cdot {frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-cdots }$ ${displaystyle rsin x=x-x{frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}cdot {frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-cdots }$ r − cos ⁡ x = r x 2 ( 2 2 − 2 ) r 2 − r x 2 ( 2 2 − 2 ) r 2 x 2 ( 4 2 − 4 ) r 2 + ⋯ , {displaystyle r-cos x=r{frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{frac {x^{2}}{ (2^{2}-2)r^{2}}}{frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+cdots ,} ${displaystyle r-cos x=r{frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+cdots ,}$ ${displaystyle r-cos x=r{frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+cdots ,}$ où, pour r = 1, la série se réduit à la série puissance standard pour ces fonctions trigonométriques, par exemple : sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7} }{7!}}+cdots } $sin x = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!} + cdots$ $sin x = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!} + cdots$ et cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ {displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6} }{6!}}+cdots } $cos x = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - frac{x^6}{6!} + cdots$ $cos x = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - frac{x^6}{6!} + cdots$

Utilisation de la rectification (calcul de longueur) de l’arc de cercle pour donner une preuve de ces résultats. (La dernière méthode de Leibniz, utilisant la quadrature, c’est-à- dire le calcul de l’ aire sous l’arc de cercle, n’a pas été utilisée.) ^[77]
Utilisation du développement en série de arctan ⁡ x {displaystylearctan x} pour obtenir la formule de Leibniz pour π : ^[77]

π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ {displaystyle {frac {pi }{4}}=1-{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}-{frac {1}{7}}+ cdots } $frac{pi}{4} = 1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$ $frac{pi}{4} = 1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$

Une approximation rationnelle de l’ erreur pour la somme finie de leur série d’intérêt. Par exemple, l’erreur, f i ( n + 1 ) {displaystyle f_{i}(n+1)} , (pour n impair, et i = 1, 2, 3) pour la série :

π 4 ≈ 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ + ( − 1 ) ( n − 1 ) / 2 1 n + ( − 1 ) ( n + 1 ) / 2 f i ( n + 1 ) {displaystyle {frac {pi }{4}}approx 1-{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}-cdots +(-1)^{( n-1)/2}{frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)} $frac{pi}{4} approx 1 - frac{1}{3}+ frac{1}{5} - cdots + (-1)^{(n-1)/2}frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)$ $frac{pi}{4} approx 1 - frac{1}{3}+ frac{1}{5} - cdots + (-1)^{(n-1)/2}frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)$ where f 1 ( n ) = 1 2 n , f 2 ( n ) = n / 2 n 2 + 1 , f 3 ( n ) = ( n / 2 ) 2 + 1 ( n 2 + 5 ) n / 2 . {displaystyle {text{où }}f_{1}(n)={frac {1}{2n}}, f_{2}(n)={frac {n/2}{n^{ 2}+1}}, f_{3}(n)={frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.} $text{where }f_1(n) = frac{1}{2n}, f_2(n) = frac{n/2}{n^2+1}, f_3(n) = frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}.$ $text{where }f_1(n) = frac{1}{2n}, f_2(n) = frac{n/2}{n^2+1}, f_3(n) = frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}.$

Manipulation du terme d’erreur pour dériver une série convergente plus rapide pour π { style d’affichage pi } : ^[77]

π 4 = 3 4 + 1 3 3 − 3 − 1 5 3 − 5 + 1 7 3 − 7 − ⋯ {displaystyle {frac {pi }{4}}={frac {3}{4}}+{frac {1}{3^{3}-3}}-{frac {1}{ 5^{3}-5}}+{frac {1}{7^{3}-7}}-cdots } $frac{pi}{4} = frac{3}{4} + frac{1}{3^3-3} - frac{1}{5^3-5} + frac{1}{7^3-7} - cdots$ $frac{pi}{4} = frac{3}{4} + frac{1}{3^3-3} - frac{1}{5^3-5} + frac{1}{7^3-7} - cdots$

En utilisant la série améliorée pour dériver une expression rationnelle, ^[77] 104348/33215 pour π corriger jusqu’à neuf décimales, c’est-à- dire 3,141592653.
Utilisation d’une notion intuitive de limite pour calculer ces résultats. ^[77]
Une méthode semi-rigoureuse (voir remarque sur les limites ci-dessus) de différenciation de certaines fonctions trigonométriques. ^[67] Cependant, ils n’ont pas formulé la notion de fonction , ni n’ont connaissance des fonctions exponentielles ou logarithmiques.

Les travaux de l’école du Kerala ont été rédigés pour la première fois pour le monde occidental par l’Anglais CM Whish en 1835. Selon Whish, les mathématiciens du Kerala avaient ” jeté les bases d’un système complet de fluxions ” et ces travaux regorgeaient ” de formes et de séries fluxionnelles. ne se trouve dans aucun ouvrage de pays étranger. ” ^[80]

Cependant, les résultats de Whish ont été presque complètement négligés, jusqu’à plus d’un siècle plus tard, lorsque les découvertes de l’école du Kerala ont été à nouveau étudiées par C. Rajagopal et ses associés. Leur travail comprend des commentaires sur les preuves de la série arctan dans Yuktibhāṣā donnés dans deux articles, ^{[81] [82]} un commentaire sur la preuve de Yuktibhāṣā de la série Sinus et Cosinus ^[83] et deux articles qui fournissent les versets sanskrits de le Tantrasangrahavakhya pour la série pour arctan, sin et Cosinus (avec traduction et commentaire en anglais). ^{[84] [85]}

Narayana Pandit est un mathématicien du XIVe siècle qui a composé deux ouvrages mathématiques importants, un traité arithmétique, Ganita Kaumudi , et un traité algébrique, Bijganita Vatamsa . On pense également que Narayana est l’auteur d’un commentaire élaboré du Lilavati de Bhaskara II , intitulé Karmapradipika (ou Karma-Paddhati ). Madhava de Sangamagrama (vers 1340–1425) fut le fondateur de l’école du Kerala. Bien qu’il soit possible qu’il ait écrit Karana Paddhati une œuvre écrite entre 1375 et 1475, tout ce que nous savons vraiment de son travail provient des travaux d’érudits ultérieurs.

Parameshvara (vers 1370–1460) a écrit des commentaires sur les œuvres de Bhaskara I , Aryabhata et Bhaskara II. Son Lilavati Bhasya , un commentaire sur le Lilavati de Bhaskara II , contient une de ses découvertes importantes : une version du théorème de la valeur moyenne . Nilakantha Somayaji (1444–1544) a composé le Tantra Samgraha (qui a « engendré » un commentaire anonyme ultérieur Tantrasangraha-vyakhya et un autre commentaire du nom de Yuktidipaika , écrit en 1501). Il a élaboré et étendu les contributions de Madhava.

Citrabhanu (vers 1530) était un mathématicien du Kerala du XVIe siècle qui a donné des solutions entières à 21 types de systèmes de deux équations algébriques simultanées à deux inconnues. Ces types sont toutes les paires possibles d’équations des sept formes suivantes :

x + y = a , x − y = b , x y = c , x 2 + y 2 = d , x 2 − y 2 = e , x 3 + y 3 = f , x 3 − y 3 = g {displaystyle {begin{aligned}&x+y=a, xy=b, xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\[8pt]&x^{2}- y^{2}=e, x^{3}+y^{3}=f, x^{3}-y^{3}=gend{aligné}}} $begin{align} & x + y = a, x - y = b, xy = c, x^2 + y^2 = d, \[8pt] & x^2 - y^2 = e, x^3 + y^3 = f, x^3 - y^3 = g end{align}$ $begin{align} & x + y = a, x - y = b, xy = c, x^2 + y^2 = d, \[8pt] & x^2 - y^2 = e, x^3 + y^3 = f, x^3 - y^3 = g end{align}$

Pour chaque cas, Citrabhanu a donné une explication et une justification de sa règle ainsi qu’un exemple. Certaines de ses explications sont algébriques, tandis que d’autres sont géométriques. Jyesthadeva (vers 1500-1575) était un autre membre de l’école du Kerala. Son œuvre clé était le Yukti-bhāṣā (écrit en malayalam, une langue régionale du Kerala). Jyesthadeva a présenté des preuves de la plupart des théorèmes mathématiques et des séries infinies découvertes plus tôt par Madhava et d’autres mathématiciens de l’école du Kerala.

Accusations d’eurocentrisme

Il a été suggéré que les contributions indiennes aux mathématiques n’ont pas été dûment reconnues dans l’histoire moderne et que de nombreuses découvertes et inventions de mathématiciens indiens sont actuellement culturellement attribuées à leurs homologues occidentaux , en raison de l’ eurocentrisme . Selon le point de vue de GG Joseph sur ” Ethnomathematics “:

[Leur travail] prend en compte certaines des objections soulevées à propos de la trajectoire eurocentrique classique. La prise de conscience [des mathématiques indiennes et arabes] est trop susceptible d’être tempérée par des rejets dédaigneux de leur importance par rapport aux mathématiques grecques. Les contributions d’autres civilisations, notamment la Chine et l’Inde, sont perçues soit comme des emprunteurs de sources grecques, soit comme n’ayant apporté que des contributions mineures au développement mathématique traditionnel. Une ouverture aux résultats de recherche plus récents, en particulier dans le cas des mathématiques indiennes et chinoises, fait malheureusement défaut” ^[86]

L’historien des mathématiques, Florian Cajori , a suggéré que lui et d’autres “soupçonnent que Diophante a eu son premier aperçu des connaissances algébriques de l’Inde”. ^[87] Cependant, il a écrit aussi que “il est certain que les parties de mathématiques hindoues sont d’origine grecque”. ^[88]

Plus récemment, comme discuté dans la section ci-dessus, les séries infinies de calcul pour les fonctions trigonométriques (redécouvertes par Gregory, Taylor et Maclaurin à la fin du XVIIe siècle) ont été décrites en Inde, par des mathématiciens de l’ école du Kerala , remarquablement environ deux siècles plus tôt. . Certains chercheurs ont récemment suggéré que la connaissance de ces résultats aurait pu être transmise en Europe par la route commerciale du Kerala par des commerçants et des missionnaires jésuites . ^[89] Le Kerala était en contact permanent avec la Chine et l’Arabie, et, à partir de 1500 environ, avec l’Europe. L’existence de voies de communication et une chronologie adaptée rendent certainement une telle transmission possible. Cependant, il n’existe aucune preuve directe au moyen de manuscrits pertinents qu’une telle transmission ait réellement eu lieu. ^[89] Selon David Bressoud , « il n’y a aucune preuve que l’œuvre de série indienne ait été connue au-delà de l’Inde, ou même en dehors du Kerala, jusqu’au XIXe siècle ». ^{[78] [90]}

Les érudits arabes et indiens ont fait des découvertes avant le 17ème siècle qui sont maintenant considérées comme faisant partie du calcul. ^[67] Cependant, ils n’ont pas, comme Newton et Leibniz l’ont fait, “combiné de nombreuses idées différentes sous les deux thèmes unificateurs de la dérivée et de l’ intégrale , montré le lien entre les deux, et transformé le calcul infinitésimal en le grand outil de résolution de problèmes que nous avoir aujourd’hui.” ^[67] Les carrières intellectuelles de Newton et de Leibniz sont bien documentées et rien n’indique que leur travail ne soit pas le leur ; ^[67] cependant, on ne sait pas avec certitude si les prédécesseurs immédiatsde Newton et Leibniz, “y compris, en particulier, Fermat et Roberval, ont appris certaines des idées des mathématiciens islamiques et indiens par des sources que nous ne connaissons pas actuellement”. ^[67] Il s’agit d’un domaine actif de recherches actuelles, notamment dans les collections de manuscrits d’Espagne et du Maghreb . Ces recherches se poursuivent, entre autres, au CNRS . ^[67]

Voir également

Shulba Sutras
École d’astronomie et de mathématiques du Kerala
Surya Siddhanta
Brahmagupta
Srinivasa Ramanujan
Manuscrit Bakhshali
Liste des mathématiciens indiens
Science et technologie indiennes
Logique indienne
Astronomie indienne
Histoire des mathématiques
Liste des nombres dans les écritures hindoues

Remarques

^ ^un ^b ( Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007 , p. 1) harv error: no target: CITEREFEncyclopædia_Britannica_(Kim_Plofker)2007 (help)
^ ^un ^bcd ⁽ ^Hayashi 2005 , pp. 360–361)
↑ ( Ifrah 2000 , p. 346): « La mesure du génie de la civilisation indienne, à laquelle nous devons notre système (des nombres) moderne, est d’autant plus grande qu’elle fut la seule de toute l’histoire à avoir réalisé ce triomphe Certaines cultures ont réussi, plus tôt que l’indienne, à découvrir une ou au mieux deux des caractéristiques de cette prouesse intellectuelle, mais aucune d’entre elles n’est parvenue à réunir en un système complet et cohérent les conditions nécessaires et suffisantes d’un système numérique avec le même potentiel que le nôtre.” harv error: no target: CITEREFIfrah2000 (help)
^ ( Plofker 2009 , p. 44-47)
↑ ( Bourbaki 1998 , p. 46) : “…notre système décimal, qui (par l’intermédiaire des Arabes) est dérivé des mathématiques hindoues, où son usage est déjà attesté dès les premiers siècles de notre ère. Il doit être notons d’ailleurs que la conception du zéro comme un nombre et non comme un simple symbole de séparation) et son introduction dans les calculs comptent également parmi les apports originaux des Hindous.”
^ ( Bourbaki 1998 , p. 49): L’arithmétique moderne était connue à l’époque médiévale sous le nom de “Modus Indorum” ou méthode des Indiens. Léonard de Pise a écrit que par rapport à la méthode des Indiens, toutes les autres méthodes sont une erreur. Cette méthode des Indiens n’est autre que notre arithmétique très simple d’addition, de soustraction, de multiplication et de division. Les règles de ces quatre procédures simples ont été écrites pour la première fois par Brahmaguptaau cours du 7ème siècle après JC. “Sur ce point, les Hindous sont déjà conscients de l’interprétation que doivent avoir les Nombres négatifs dans certains cas (une dette dans un problème commercial, par exemple). Dans les siècles suivants, comme il y a une diffusion en Occident (par l’intermédiaire de les Arabes) des méthodes et des résultats des mathématiques grecques et hindoues, on s’habitue davantage au maniement de ces nombres, et on commence à en avoir d’autres “représentations” géométriques ou dynamiques.”
^ ^un ^b “l’algèbre” 2007. Encyclopédie Concise de Britannica . Encyclopædia Britannica Online. 16 mai 2007. Citation : “Un système décimal et positionnel à part entière existait certainement en Inde au 9ème siècle (AD), mais bon nombre de ses idées centrales avaient été transmises bien avant cette époque à la Chine et au monde islamique. L’arithmétique indienne, de plus, développé des règles cohérentes et correctes pour opérer avec des nombres positifs et négatifs et pour traiter le zéro comme n’importe quel autre nombre, même dans des contextes problématiques tels que la division. Plusieurs centaines d’années se sont écoulées avant que les mathématiciens européens n’intègrent pleinement ces idées dans la discipline en développement de l’algèbre.
^ ( Pingree 2003 , p. 45) Citation : “La géométrie et sa branche trigonométrie étaient les mathématiques les plus fréquemment utilisées par les astronomes indiens. Les mathématiciens grecs utilisaient l’accord complet et n’imaginaient jamais le demi-accord que nous utilisons aujourd’hui. Le demi-accord a été utilisé pour la première fois. par Aryabhata qui a rendu la trigonométrie beaucoup plus simple. En fait, les astronomes indiens du IIIe ou IVe siècle, utilisant une table d’accords grecque pré-ptolémaïque, ont produit des tables de Sinus et de versins, à partir desquelles il était trivial de dériver des Cosinus. système de trigonométrie, produit en Inde, a été transmis aux Arabes à la fin du VIIIe siècle et par eux, sous une forme élargie, à l’Occident latin et à l’Orient byzantin au XIIe siècle.”
↑ ( Bourbaki 1998 , p. 126) : « Quant à la trigonométrie, elle est dédaignée par les géomètres et abandonnée aux géomètres et aux astronomes ; ce sont ces derniers ( Aristarque , Hipparque , Ptolémée ) qui établissent les relations fondamentales entre les côtés et les angles d’un triangle rectangle (plan ou sphérique) et dresser les premiers tableaux (il s’agit de tableaux donnant la corde de l’arc découpé par un angle θ < π {displaystyle thêta <pi } sur un cercle de rayon r , autrement dit le nombre 2 r sin ⁡ ( θ / 2 ) {displaystyle 2rsin left(theta /2right)} ; l’introduction du Sinus, plus facile à manier, est due aux mathématiciens hindous du Moyen Age).”
^ ( Filliozat 2004 , p. 140-143)
^ ( Hayashi 1995 )
^ ^un ^b ( Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007 , p. 6) harv error: no target: CITEREFEncyclopædia_Britannica_(Kim_Plofker)2007 (help)
^ ( Stillwell 2004 , p. 173)
↑ ( Bressoud 2002 , p. 12) Citation : « Il n’y a aucune preuve que le travail indien sur les séries ait été connu au-delà de l’Inde, ou même en dehors du Kerala, jusqu’au XIXe siècle. Gold et Pingree affirment [4] qu’au moment où ces séries ont été redécouvertes en Europe, elles avaient, à toutes fins pratiques, été perdues pour l’Inde. Les développements du Sinus, du Cosinus et de l’Arc tangente avaient été transmis à travers plusieurs générations de disciples, mais ils restaient des observations stériles pour lesquelles personne ne pouvait trouver beaucoup d’utilité.”
^ ( Plofker 2001, p. 293) Citation : “Il n’est pas rare de rencontrer dans les discussions sur les mathématiques indiennes des affirmations telles que “le concept de différenciation a été compris [en Inde] depuis l’époque de Manjula (… au 10ème siècle)” [Joseph 1991, 300], ou que “on peut considérer que Madhava a été le fondateur de l’analyse mathématique” (Joseph 1991, 293), ou que Bhaskara II peut prétendre être “le précurseur de Newton et de Leibniz dans la découverte du principe de l’analyse différentielle”. calculus” (Bag 1979, 294). … Les points de ressemblance, en particulier entre les premiers calculs européens et les travaux keralais sur les séries entières, ont même inspiré des suggestions d’une éventuelle transmission d’idées mathématiques de la côte de Malabar dans ou après le 15ème siècle au monde savant latin (par exemple, dans (Bag 1979, 285)). … Il convient de garder à l’esprit, cependant, qu’un tel accent sur la similitude du sanskrit (ou du malayalam) et des mathématiques latines risque de diminuer notre capacité à voir et à comprendre pleinement les premiers. Parler de la « découverte du principe du calcul différentiel » indien masque quelque peu le fait que les techniques indiennes pour exprimer les changements du Sinus au moyen du Cosinus ou vice versa, comme dans les exemples que nous avons vus, restaient dans cette spécificité trigonométrique. le contexte. Le “principe” différentiel n’a pas été généralisé aux fonctions arbitraires – en fait, la notion explicite d’une fonction arbitraire, sans parler de celle de sa dérivée ou d’un algorithme pour prendre la dérivée, n’est pas pertinente ici ” qu’une telle insistance sur la similarité du sanskrit (ou du malayalam) et des mathématiques latines risque de diminuer notre capacité à voir et à comprendre pleinement le premier. Parler de la « découverte du principe du calcul différentiel » indien masque quelque peu le fait que les techniques indiennes pour exprimer les changements du Sinus au moyen du Cosinus ou vice versa, comme dans les exemples que nous avons vus, restaient dans cette spécificité trigonométrique. le contexte. Le “principe” différentiel n’a pas été généralisé aux fonctions arbitraires – en fait, la notion explicite d’une fonction arbitraire, sans parler de celle de sa dérivée ou d’un algorithme pour prendre la dérivée, n’est pas pertinente ici ” qu’une telle insistance sur la similarité du sanskrit (ou du malayalam) et des mathématiques latines risque de diminuer notre capacité à voir et à comprendre pleinement le premier. Parler de la « découverte du principe du calcul différentiel » indien masque quelque peu le fait que les techniques indiennes pour exprimer les changements du Sinus au moyen du Cosinus ou vice versa, comme dans les exemples que nous avons vus, restaient dans cette spécificité trigonométrique. le contexte. Le “principe” différentiel n’a pas été généralisé aux fonctions arbitraires – en fait, la notion explicite d’une fonction arbitraire, sans parler de celle de sa dérivée ou d’un algorithme pour prendre la dérivée, n’est pas pertinente ici ” occulte quelque peu le fait que les techniques indiennes pour exprimer les changements du Sinus au moyen du Cosinus ou vice versa, comme dans les exemples que nous avons vus, restaient dans ce contexte trigonométrique spécifique. Le “principe” différentiel n’a pas été généralisé aux fonctions arbitraires – en fait, la notion explicite d’une fonction arbitraire, sans parler de celle de sa dérivée ou d’un algorithme pour prendre la dérivée, n’est pas pertinente ici ” occulte quelque peu le fait que les techniques indiennes pour exprimer les changements du Sinus au moyen du Cosinus ou vice versa, comme dans les exemples que nous avons vus, restaient dans ce contexte trigonométrique spécifique. Le “principe” différentiel n’a pas été généralisé aux fonctions arbitraires – en fait, la notion explicite d’une fonction arbitraire, sans parler de celle de sa dérivée ou d’un algorithme pour prendre la dérivée, n’est pas pertinente ici ”
^ ( Pingree 1992 , p. 562) Citation : ” Un exemple que je peux vous donner concerne la démonstration par l’Indien Mādhava, vers 1400 après JC, de la série de puissance infinie de fonctions trigonométriques utilisant des arguments géométriques et algébriques. Lorsque cela a été décrit pour la première fois dans Anglais par Charles Matthew Whish , dans les années 1830, il a été annoncé comme la découverte du calcul par les Indiens. Cette affirmation et les réalisations de Mādhava ont été ignorées par les historiens occidentaux, probablement au début parce qu’ils ne pouvaient pas admettre qu’un Indien ait découvert le calcul, mais plus tard car plus personne ne lit les Transactions de la Royal Asiatic Society, dans lequel l’article de Whish a été publié. La question a refait surface dans les années 1950, et maintenant nous avons les textes sanskrits correctement édités, et nous comprenons la manière intelligente dont Mādhava a dérivé la série sans le calcul ; mais de nombreux historiens trouvent encore impossible de concevoir le problème et sa solution en termes de quoi que ce soit d’autre que le calcul et proclament que le calcul est ce que Mādhava a trouvé. Dans ce cas, l’élégance et la brillance des mathématiques de Mādhava sont déformées car elles sont enfouies sous la solution mathématique actuelle à un problème auquel il a découvert une solution alternative et puissante.”
^ ( Katz 1995que les mathématiciens islamiques ou indiens ont vu la nécessité de relier certaines des idées disparates que nous incluons sous le nom de calcul. Ils n’étaient apparemment intéressés que par des cas spécifiques dans lesquels ces idées étaient nécessaires. … Il n’y a donc aucun danger que nous devions réécrire les textes d’histoire pour supprimer l’affirmation selon laquelle Newton et Leibniz ont inventé le calcul. Ce sont certainement eux qui ont pu combiner de nombreuses idées différentes sous les deux thèmes unificateurs de la dérivée et de l’intégrale, montrer le lien entre elles et faire du calcul infinitésimal le grand outil de résolution de problèmes dont nous disposons aujourd’hui.” Ils n’étaient apparemment intéressés que par des cas spécifiques dans lesquels ces idées étaient nécessaires. … Il n’y a donc aucun danger que nous devions réécrire les textes d’histoire pour supprimer l’affirmation selon laquelle Newton et Leibniz ont inventé le calcul. Ce sont certainement eux qui ont pu combiner de nombreuses idées différentes sous les deux thèmes unificateurs de la dérivée et de l’intégrale, montrer le lien entre elles et faire du calcul infinitésimal le grand outil de résolution de problèmes dont nous disposons aujourd’hui.” Ils n’étaient apparemment intéressés que par des cas spécifiques dans lesquels ces idées étaient nécessaires. … Il n’y a donc aucun danger que nous devions réécrire les textes d’histoire pour supprimer l’affirmation selon laquelle Newton et Leibniz ont inventé le calcul. Ce sont certainement eux qui ont pu combiner de nombreuses idées différentes sous les deux thèmes unificateurs de la dérivée et de l’intégrale, montrer le lien entre elles et faire du calcul infinitésimal le grand outil de résolution de problèmes dont nous disposons aujourd’hui.”
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Livres sources en sanskrit

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Keller, Agathe (2006), Exposant la graine mathématique. Vol. 2: The Supplements: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya , Bâle, Boston et Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pages, ISBN 978-3-7643-7292-7.
Sarma, KV , éd. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa avec le commentaire de Sūryadeva Yajvan , édité de manière critique avec introduction et annexes, New Delhi: Indian National Science Academy.
Sen, SN ; Sac, AK, éd. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava , avec texte, traduction en anglais et commentaire, New Delhi: Indian National Science Academy.
Shukla, KS, éd. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa avec le commentaire de Bhāskara I et Someśvara , édité de manière critique avec introduction, traduction anglaise, notes, commentaires et index, New Delhi: Indian National Science Academy.
Shukla, KS, éd. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , édité de manière critique avec introduction, traduction anglaise, notes, commentaires et index, en collaboration avec KV Sarma , New Delhi: Indian National Science Academy.

Liens externes

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Sciences et mathématiques en Inde
Un aperçu des mathématiques indiennes , MacTutor History of Mathematics Archive , St Andrews University , 2000.
Mathématiciens indiens
Index des mathématiques indiennes anciennes , MacTutor History of Mathematics Archive , Université de St Andrews, 2004.
Mathématiques indiennes : rétablir l’équilibre , Projets étudiants en histoire des mathématiques . Ian Pearce. MacTutor History of Mathematics Archive , Université de St Andrews, 2002.
Mathématiques indiennes sur In Our Time à la BBC
InSIGHT 2009 , un atelier sur les sciences indiennes traditionnelles pour les écoliers organisé par le département d’informatique de l’Université Anna, Chennai, Inde.
Mathématiques dans l’Inde ancienne par R. Sridharan
Méthodes combinatoires dans l’Inde ancienne
Mathématiques avant S. Ramanujan