Triangle équilatéral

En géométrie , un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Dans la géométrie euclidienne familière , un triangle équilatéral est également équiangulaire ; c’est-à-dire que les trois angles internes sont également congrus les uns aux autres et sont chacun de 60 °. C’est aussi un polygone régulier , il est donc aussi appelé triangle régulier .

Triangle équilatéral

Taper	Polygone régulier
Arêtes et sommets	3
Symbole Schläfli	{3}
Diagrammes de Coxeter – Dynkin
Groupe Symétrie	D ₃
Région	3 4 un 2 {displaystyle {tfrac {sqrt {3}}{4}}a^{2}} $tfrac{sqrt{3}}{4} a^2$
Angle interne ( degrés )	60°

Propriétés principales

Un triangle équilatéral. Il a des côtés égaux ( un = b = c {displaystyle a=b=c} a=b=c ), angles égaux ( α = β = γ {displaystyle alpha =beta =gamma} alpha = beta =gamma ), et des altitudes égales ( h un = h b = h c {displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}} ${displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$ ${displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$ ).

Désignant la longueur commune des côtés du triangle équilatéral comme a {displaystyle a} , on peut déterminer à l’aide du théorème de Pythagore que :

La zone est A = 3 4 a 2 {displaystyle A={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}} $A=frac{sqrt{3}}{4} a^2$ $A=frac{sqrt{3}}{4} a^2$ ,
Le périmètre est p = 3 a {displaystyle p=3a,!}
Le rayon du cercle circonscrit est R = a 3 {displaystyle R={frac {a}{sqrt {3}}}} $R = frac{a}{sqrt{3}}$ $R = frac{a}{sqrt{3}}$
Le rayon du cercle Inscrit est r = 3 6 a {displaystyle r={frac {sqrt {3}}{6}}a} $r=frac{sqrt{3}}{6} a$ $r=frac{sqrt{3}}{6} une$ ou alors r = R 2 {displaystyle r={frac {R}{2}}} $r=frac{R}{2}$ $r=frac{R}{2}$
Le centre géométrique du triangle est le centre des cercles circonscrits et inscrits
L’ altitude (hauteur) de n’importe quel côté est h = 3 2 a {displaystyle h={frac {sqrt {3}}{2}}a} $h=frac{sqrt{3}}{2} a$ $h=frac{sqrt{3}}{2} une$

En désignant le rayon du cercle circonscrit par R , nous pouvons déterminer à l’aide de la trigonométrie que :

L’aire du triangle est A = 3 3 4 R 2 {displaystyle mathrm {A} ={frac {3{sqrt {3}}}{4}}R^{2}} ${displaystyle mathrm {A} ={frac {3{sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$ ${displaystyle mathrm {A} ={frac {3{sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Beaucoup de ces quantités ont des relations simples avec l’altitude (“h”) de chaque sommet du côté opposé :

La zone est A = h 2 3 {displaystyle A={frac {h^{2}}{sqrt {3}}}} $A=frac{h^2}{sqrt{3}}$ $A=frac{h^2}{sqrt{3}}$
La hauteur du centre de chaque côté, ou apothème , est h 3 {displaystyle {frac {h}{3}}} $frac{h}{3}$ $frac{h}{3}$
Le rayon du cercle circonscrit aux trois sommets est R = 2 h 3 {displaystyle R={frac {2h}{3}}} $R=frac{2h}{3}$ $R=frac{2h}{3}$
Le rayon du cercle Inscrit est r = h 3 {displaystyle r={frac {h}{3}}} $r=frac{h}{3}$ $r=frac{h}{3}$

Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, les bissectrices des angles, les bissectrices perpendiculaires et les médianes de chaque côté coïncident.

Caractérisations

Un triangle ABC qui a pour côtés a , b , c , demi -périmètre s , aire T , exradii r _a , r _b , r _c (tangent à a , b , c respectivement), et où R et r sont les rayons du cercle circonscrit et incercle respectivement, est équilatéral si et seulement sin’importe laquelle des affirmations des neuf catégories suivantes est vraie. Ce sont donc des propriétés uniques aux triangles équilatéraux, et savoir que l’une d’entre elles est vraie implique directement que nous avons un triangle équilatéral.

Côtés

a = b = c {displaystyle displaystyle a=b=c}
1 a + 1 b + 1 c = 25 R r − 2 r 2 4 R r {displaystyle displaystyle {frac {1}{a}}+{frac {1}{b}}+{frac {1}{c}}={frac {sqrt {25Rr-2r^{ 2}}}{4Rr}}} $displaystyle frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}=frac{sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}$ $displaystyle frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}=frac{sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}$ ^[1]

Semipérimètre

s = 2 R + ( 3 3 − 4 ) r {displaystyle displaystyle s=2R+left(3{sqrt {3}}-4right)r} ^[2] (Blundon)
s 2 = 3 r 2 + 12 R r {displaystyle displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr} ^[3]
s 2 = 3 3 T {displaystyle displaystyle s^{2}=3{sqrt {3}}T} $displaystyle s^2=3sqrt{3}T$ $displaystyle s^2=3sqrt{3}T$ ^[4]
s = 3 3 r {displaystyle displaystyle s=3{sqrt {3}}r}
s = 3 3 2 R {displaystyle displaystyle s={frac {3{sqrt {3}}}{2}}R} $displaystyle s=frac{3sqrt{3}}{2}R$ $displaystyle s=frac{3sqrt{3}}{2}R$

Angles

A = B = C = 60 ∘ {displaystyle displaystyle A=B=C=60^{circ }}
cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C = 3 2 {displaystyle displaystyle cos {A}+cos {B}+cos {C}={frac {3}{2}}} $displaystyle cos{A}+cos{B}+cos{C}=frac{3}{2}$ $displaystyle cos{A}+cos{B}+cos{C}=frac{3}{2}$
sin ⁡ A 2 sin ⁡ B 2 sin ⁡ C 2 = 1 8 {displaystyle displaystyle sin {frac {A}{2}}sin {frac {B}{2}}sin {frac {C}{2}}={frac {1}{8 }}} $displaystyle sin{frac{A}{2}}sin{frac{B}{2}}sin{frac{C}{2}}=frac{1}{8}$ $displaystyle sin{frac{A}{2}}sin{frac{B}{2}}sin{frac{C}{2}}=frac{1}{8}$ ^[5]

Région

T = a 2 + b 2 + c 2 4 3 {displaystyle displaystyle T={frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{sqrt {3}}}}quad } ${displaystyle displaystyle T={frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{sqrt {3}}}}quad }$ ${displaystyle displaystyle T={frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{sqrt {3}}}}quad }$ ( Weitzenböck ) ^[6]
T = 3 4 ( a b c ) 2 3 {displaystyle displaystyle T={frac {sqrt {3}}{4}}(abc)^{frac {2}{3}}} ${displaystyle displaystyle T={frac {sqrt {3}}{4}}(abc)^{frac {2}{3}}}$ ^[4]

Circumradius, inradius et exradii

R = 2 r {displaystyle displaystyle R=2r} ^[7] (Chapple-Euler)
9 R 2 = a 2 + b 2 + c 2 {displaystyle displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}} ^[7]
r = r a + r b + r c 9 {displaystyle displaystyle r={frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}} $displaystyle r=frac{r_a+r_b+r_c}{9}$ $displaystyle r=frac{r_a+r_b+r_c}{9}$ ^[5]
r a = r b = r c {displaystyle displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}

Cevians égaux

Trois types de cevians coïncident et sont égaux pour (et seulement pour) les triangles équilatéraux : ^[8]

Les trois hauteurs ont des longueurs égales.
Les trois médianes ont des longueurs égales.
Les trois bissectrices ont des longueurs égales.

Centres des triangles coïncidents

Chaque centre de triangle d’un triangle équilatéral coïncide avec son centre de gravité , ce qui implique que le triangle équilatéral est le seul triangle sans ligne d’Euler reliant certains des centres. Pour certaines paires de centres de triangle, le fait qu’ils coïncident suffit à assurer que le triangle est équilatéral. En particulier:

Un triangle est équilatéral si deux des cercles circonscrit, incentaire , centroïde ou orthocentre coïncident. ^{[9] : p.37}
Il est également équilatéral si son centre circonscrit coïncide avec le point de Nagel , ou si son centre coïncide avec son centre à neuf points . ^[7]

Six triangles formés par partitionnement par les médianes

Pour tout triangle, les trois médianes divisent le triangle en six triangles plus petits.

Un triangle est équilatéral si et seulement si trois des plus petits triangles ont soit le même périmètre, soit le même rayon intérieur. ^{[10] : Théorème 1}
Un triangle est équilatéral si et seulement si les centres circonscrits de trois des plus petits triangles ont la même distance du centre de gravité. ^{[10] : Corollaire 7}

Points dans le plan

Un triangle est équilatéral si et seulement si, pour tout point P du plan, avec des distances p , q et r aux côtés du triangle et des distances x , y et z à ses sommets, ^{[11] : p.178, # 235.4} 4 ( p 2 + q 2 + r 2 ) ≥ x 2 + y 2 + z 2 . {displaystyle 4left(p^{2}+q^{2}+r^{2}right)geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.} ${displaystyle 4left(p^{2}+q^{2}+r^{2}right)geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$ ${displaystyle 4left(p^{2}+q^{2}+r^{2}right)geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Théorèmes notables

Preuve visuelle du théorème de Viviani

1.	Les distances les plus proches du point P aux côtés du triangle équilatéral ABC sont indiquées.
2.	Les droites DE, FG et HI parallèles respectivement à AB, BC et CA définissent des triangles plus petits PHE, PFI et PDG.
3.	Comme ces triangles sont équilatéraux, leurs altitudes peuvent être tournées pour être verticales.
4.	Comme PGCH est un parallélogramme, le triangle PHE peut être glissé vers le haut pour montrer que la somme des altitudes correspond à celle du triangle ABC.

Le théorème de la trisectrice de Morley stipule que, dans tout triangle, les trois points d’intersection des trisectrices d’angle adjacentes forment un triangle équilatéral.

Le théorème de Napoléon stipule que, si des triangles équilatéraux sont construits sur les côtés d’un triangle, soit tous vers l’extérieur, soit tous vers l’intérieur, les centres de ces triangles équilatéraux forment eux-mêmes un triangle équilatéral.

Une version de l’ inégalité isopérimétrique pour les triangles stipule que le triangle de plus grande aire parmi tous ceux ayant un périmètre donné est équilatéral. ^[12]

Le théorème de Viviani stipule que, pour tout point intérieur P dans un triangle équilatéral avec des distances d , e et f des côtés et une altitude h ,

d + e + f = h , {displaystyle d+e+f=h,}

indépendamment de la localisation de P . ^[13]

Le théorème de Pompeiu stipule que, si P est un point arbitraire dans le plan d’un triangle équilatéral ABC mais pas sur son cercle circonscrit , alors il existe un triangle avec des côtés de longueurs PA , PB et PC . Autrement dit, PA , PB et PC satisfont l’ inégalité triangulaire selon laquelle la somme de deux d’entre eux est supérieure à la troisième. Si P est sur le cercle circonscrit, alors la somme des deux plus petits est égale au plus long et le triangle a dégénéré en une ligne, ce cas est connu sous le nom de théorème de Van Schooten .

Autres propriétés

Par l’inégalité d’Euler , le triangle équilatéral a le plus petit rapport R / r du rayon circonscrit à l’inradius de tout triangle : plus précisément, R / r = 2. ^{[14] : p.198}

Le triangle de plus grande aire de tous ceux inscrits dans un cercle donné est équilatéral ; et le triangle de plus petite aire de tous ceux circonscrits à un cercle donné est équilatéral. ^[15]

Le rapport de l’aire du cercle Inscrit à l’aire d’un triangle équilatéral, π 3 3 {displaystyle {frac {pi }{3{sqrt {3}}}}} ${frac {pi }{3{sqrt {3}}}}$ ${frac {pi }{3{sqrt {3}}}}$ , est plus grande que celle de tout triangle non équilatéral. ^{[16] : Théorème 4.1}

Le rapport de l’aire au carré du périmètre d’un triangle équilatéral, 1 12 3 , {displaystyle {frac {1}{12{sqrt {3}}}},} $frac{1}{12sqrt{3}},$ $frac{1}{12sqrt{3}},$ est plus grand que celui de tout autre triangle. ^[12]

Si un segment partage un triangle équilatéral en deux régions de périmètres égaux et d’aires A ₁ et A ₂ , alors ^{[11] : p.151, #J26}

7 9 ≤ A 1 A 2 ≤ 9 7 . {displaystyle {frac {7}{9}}leq {frac {A_{1}}{A_{2}}}leq {frac {9}{7}}.} $frac{7}{9} leq frac{A_1}{A_2} leq frac{9}{7}.$ $frac{7}{9} leq frac{A_1}{A_2} leq frac{9}{7}.$

Si un triangle est placé dans le plan complexe avec des sommets complexes z ₁ , z ₂ et z ₃ , alors pour l’une ou l’autre racine cubique non réelle ω {displaystyle oméga} omega de 1 le triangle est équilatéral si et seulement si ^{[17] : Lemme 2}

z 1 + ω z 2 + ω 2 z 3 = 0. {displaystyle z_{1}+omega z_{2}+omega ^{2}z_{3}=0.} $z_{1}+omega z_{2}+omega ^{2}z_{3}=0.$ $z_{1}+omega z_{2}+omega ^{2}z_{3}=0.$

Étant donné un point P à l’intérieur d’un triangle équilatéral, le rapport de la somme de ses distances aux sommets à la somme de ses distances aux côtés est supérieur ou égal à 2, l’égalité étant maintenue lorsque P est le centre de gravité. Dans aucun autre triangle il n’y a un point pour lequel ce rapport est aussi petit que 2. ^[18] C’est l’ inégalité d’Erdős-Mordell ; une variante plus forte est l’inégalité de Barrow , qui remplace les distances perpendiculaires aux côtés par les distances de P aux points où les bissectrices d’angle de ∠ APB , ∠ BPC et ∠ CPA croisent les côtés ( A, B et C étant les sommets).

Pour tout point P dans le plan, avec des distances p , q , et t des sommets A , B , et C respectivement, ^[19]

3 ( p 4 + q 4 + t 4 + a 4 ) = ( p 2 + q 2 + t 2 + a 2 ) 2 . {displaystyle displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2} +a^{2})^{2}.} $displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}.$ $displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}.$

Pour tout point P dans le plan, avec des distances p , q et t des sommets, ^[20]

p 2 + q 2 + t 2 = 3 ( R 2 + L 2 ) {displaystyle displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3(R^{2}+L^{2})} ${displaystyle displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3(R^{2}+L^{2})}$ ${displaystyle displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3(R^{2}+L^{2})}$

p 4 + q 4 + t 4 = 3 [ ( R 2 + L 2 ) 2 + 2 R 2 L 2 ] , {displaystyle displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3[(R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^ {2}],} ${displaystyle displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3[(R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}],}$ ${displaystyle displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3[(R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}],}$

où R est le rayon circonscrit et L est la distance entre le point P et le centre de gravité du triangle équilatéral.

Learn more.

Isomorphisme

Jul 14, 2022

Premier article sur la théorie des ensembles de Cantor

Jul 12, 2022

Énergie gravitationnelle

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Sphère de Riemann

Jul 8, 2022

Pour tout point P sur le cercle Inscrit d’un triangle équilatéral, avec des distances p , q , et t des sommets, ^[21]

4 ( p 2 + q 2 + t 2 ) = 5 a 2 {displaystyle displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}} $displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}$

16 ( p 4 + q 4 + t 4 ) = 11 a 4 . {displaystyle displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}.} $displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}.$ $displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}.$

Pour tout point P sur l’arc mineur BC du cercle circonscrit, avec des distances p , q et t de A, B et C respectivement, ^[13]

p = q + t {displaystyle displaystyle p=q+t}

q 2 + q t + t 2 = a 2 ; {displaystyle displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2};} $displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2} ;$ $displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2} ;$

de plus, si le point D du côté BC divise PA en segments PD et DA avec DA de longueur z et PD de longueur y , alors ^{[13] : 172}

z = t 2 + t q + q 2 t + q , {displaystyle z={frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},} $z= frac{t^{2}+tq+q^2}{t+q},$ $z= frac{t^{2}+tq+q^2}{t+q},$

qui égale aussi t 3 − q 3 t 2 − q 2 {displaystyle {tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}} $tfrac{t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}$ $tfrac{t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}$ si t ≠ q ; et

1 q + 1 t = 1 y , {displaystyle {frac {1}{q}}+{frac {1}{t}}={frac {1}{y}},} ${frac {1}{q}}+{frac {1}{t}}={frac {1}{y}},$ ${frac {1}{q}}+{frac {1}{t}}={frac {1}{y}},$

qui est l’ équation optique .

Il existe de nombreuses inégalités triangulaires qui tiennent avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral.

Un triangle équilatéral est le triangle le plus symétrique, ayant 3 lignes de réflexion et une symétrie de rotation d’ordre 3 autour de son centre. Son groupe de symétrie est le groupe dièdre d’ordre 6 D ₃ .

Les triangles équilatéraux sont les seuls triangles dont l’ ellipse de Steiner est un cercle (plus précisément, c’est le cercle Inscrit).

Le pavage en triangle équilatéral remplit le plan.

Le triangle équilatéral à côtés entiers est le seul triangle avec des côtés entiers et trois angles rationnels mesurés en degrés. ^[22]

Le triangle équilatéral est le seul triangle aigu semblable à son Triangle orthique (avec des sommets aux pieds des hauteurs ) (le triangle heptagonal étant le seul obtus). ^{[23] : p. 19}

Le triangle équilatéral peut être Inscrit à l’intérieur de n’importe quel autre polygone régulier, y compris lui-même, le carré étant le seul autre polygone régulier possédant cette propriété.

Le triangle équilatéral recouvre un espace à deux dimensions, avec six triangles se rencontrant en un sommet. Il a une double tessellation régulière, le pavage hexagonal . 3.12 ² , 3.4.6.4 , (3.6) ² , 3 ² .4.3.4 et 3 ⁴ .6 sont tous des pavages semi-réguliers construits avec des triangles équilatéraux.

Un tétraèdre régulier est composé de quatre triangles équilatéraux.

Les triangles équilatéraux se retrouvent dans de nombreuses autres constructions géométriques. L’intersection de cercles dont les centres sont distants d’un rayon est une paire d’arcs équilatéraux, chacun pouvant être Inscrit avec un triangle équilatéral. En trois dimensions, ils forment des faces de Polyèdres réguliers et uniformes . Trois des cinq solides de Platon sont composés de triangles équilatéraux : le tétraèdre , l’ octaèdre et l’ icosaèdre . En particulier, le tétraèdre, qui a quatre triangles équilatéraux pour les faces, peut être considéré comme l’analogue tridimensionnel du triangle. Tous les solides platoniques peuvent inscrire des tétraèdres, ainsi que s’inscrire à l’intérieur de tétraèdres.

Toujours dans la troisième dimension, les triangles équilatéraux forment des antiprismes uniformes ainsi que des antiprismes étoilés uniformes . Pour les antiprismes, deux copies parallèles (non réfléchies) de polygones réguliers sont reliées par des bandes alternées de 2 n triangles. Spécifiquement pour les antiprismes d’étoiles, il existe des solutions progrades et rétrogrades (croisées) qui joignent des polygones d’étoiles parallèles miroirs et non miroirs .

Le triangle équilatéral appartient à la famille infinie des n – simplexes , avec n =2.

Conception géométrique

Construction d’un triangle équilatéral avec compas et règle

Un triangle équilatéral se construit facilement à l’aide d’une règle et d’un compas , car 3 est un nombre premier de Fermat . Tracez une ligne droite et placez la pointe de la boussole à une extrémité de la ligne et faites pivoter un arc de ce point à l’autre point du segment de ligne. Répétez avec l’autre côté de la ligne. Enfin, connectez le point où les deux arcs se croisent avec chaque extrémité du segment de ligne

Une autre méthode consiste à dessiner un cercle de rayon r , à placer la pointe de la boussole sur le cercle et à tracer un autre cercle de même rayon. Les deux cercles se croiseront en deux points. Un triangle équilatéral peut être construit en prenant les deux centres des cercles et l’un des points d’intersection.

Dans les deux méthodes, un sous-produit est la formation de vesica piscis .

La preuve que la figure résultante est un triangle équilatéral est la première proposition du Livre I des Éléments d’ Euclide .

Equilateral Triangle Inscribed in a Circle.gif

Dérivation de la formule de surface

La formule de la zone A = 3 4 a 2 {displaystyle A={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}} $A = frac{sqrt{3}}{4}a^2$ $A = frac{sqrt{3}}{4}a^2$ en termes de longueur de côté a peut être dérivé directement en utilisant le théorème de Pythagore ou en utilisant la trigonométrie.

Utilisation du théorème de Pythagore

L’aire d’un triangle est la moitié d’un côté a fois la hauteur h de ce côté :

A = 1 2 a h . {displaystyle A={frac {1}{2}}ah.} $A = frac{1}{2} ah.$ $A = frac{1}{2}ah.$ Un triangle équilatéral de côté 2 a une hauteur de √ 3 , car le Sinus de 60° est √ 3 /2 .

Les jambes de l’un ou l’autre des triangles rectangles formés par une hauteur du triangle équilatéral sont la moitié de la base a , et l’hypoténuse est le côté a du triangle équilatéral. La hauteur d’un triangle équilatéral peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore

( a 2 ) 2 + h 2 = a 2 {displaystyle left({frac {a}{2}}right)^{2}+h^{2}=a^{2}} $left(frac{a}{2}right)^2 + h^2 = a^2$ $left(frac{a}{2}right)^2 + h^2 = a^2$

pour que

h = 3 2 a . {displaystyle h={frac {sqrt {3}}{2}}a.} $h = frac{sqrt{3}}{2}a.$ $h = frac{sqrt{3}}{2}a.$

La substitution de h dans la formule d’aire (1/2) ah donne la formule d’aire pour le triangle équilatéral :

A = 3 4 a 2 . {displaystyle A={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}.} $A = frac{sqrt{3}}{4}a^2.$ $A = frac{sqrt{3}}{4}a^2.$

Utiliser la trigonométrie

En utilisant la trigonométrie , l’aire d’un triangle avec deux côtés a et b , et un angle C entre eux est

A = 1 2 a b sin ⁡ C . {displaystyle A={frac {1}{2}}absin C.} $A = frac{1}{2} ab sin C.$ $A = frac{1}{2} ab sin C.$

Chaque angle d’un triangle équilatéral mesure 60°, donc

A = 1 2 a b sin ⁡ 60 ∘ . {displaystyle A={frac {1}{2}}absin 60^{circ }.} $A = frac{1}{2} ab sin 60^circ.$ $A = frac{1}{2} ab sin 60^circ.$

Le Sinus de 60° est 3 2 {displaystyle {tfrac {sqrt {3}}{2}}} ${tfrac {sqrt {3}}{2}}$ ${tfrac {sqrt {3}}{2}}$ . Ainsi

A = 1 2 a b × 3 2 = 3 4 a b = 3 4 a 2 {displaystyle A={frac {1}{2}}abtimes {frac {sqrt {3}}{2}}={frac {sqrt {3}}{4}}ab={ frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}} $A = frac{1}{2} ab times frac{sqrt{3}}{2} = frac{sqrt{3}}{4}ab = frac{sqrt{3}}{4}a^2$ $A = frac{1}{2} ab times frac{sqrt{3}}{2} = frac{sqrt{3}}{4}ab = frac{sqrt{3}}{ 4}a^2$

puisque tous les côtés d’un triangle équilatéral sont égaux.

Dans la culture et la société

Les triangles équilatéraux sont fréquemment apparus dans les constructions artificielles :

La forme se produit dans l’architecture moderne telle que la section transversale de la Gateway Arch . ^[24]
Ses applications dans les drapeaux et l’héraldique incluent le drapeau du Nicaragua ^[25] et le drapeau des Philippines . ^[26]
Il s’agit d’une forme d’une variété de panneaux de signalisation , y compris le signe de cession . ^[27]

Voir également

Triangle héronien presque équilatéral
Triangle isocèle
Parcelle ternaire
Coordonnées trilinéaires

Références

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Liens externes

Weisstein, Eric W. “Triangle équilatéral” . MathWorld .

v t e Polytopes convexes fondamentaux réguliers et uniformes dans les dimensions 2–10
Famille	Un _n	B _n	Je ₂ (p) / D _n	Mi ₆ / Mi ₇ / Mi ₈ / Fa ₄ / Sol ₂	H _n
Polygone régulier	Triangle	Carré	p-gon	Hexagone	Pentagone
Polyèdre uniforme	Tétraèdre	Octaèdre • Cube	Demicube	Dodécaèdre • Icosaèdre
Polychore uniforme	Pentachoron	16 cellules • Tesseract	Demitesseract	24 cellules	120 cellules • 600 cellules
5-polytopes uniformes	5-simplex	5-orthoplex • 5-cubes	5 demi-cubes
6-polytopes uniformes	6-simplex	6-orthoplex • 6-cubes	6 demi-cubes	1 ₂₂ • 2 ₂₁
7-polytopes uniformes	7-simplex	7-orthoplex • 7-cubes	7-demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Uniforme 8-polytopes	8-simplex	8-orthoplex • 8-cubes	8 demi-cubes	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Uniforme 9-polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
Uniforme 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cubes	10 demi-cubes
Uniforme n – polytope	n – simplexe	n – orthoplex • n – cube	n – demicube	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n – polytope pentagonal
Sujets : Familles de polytopes • Polytope régulier • Liste des polytopes et composés réguliers
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