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Del , ou nabla , est un opérateur utilisé en mathématiques (en particulier dans le calcul vectoriel ) comme opérateur différentiel vectoriel , généralement représenté par le symbole nabla ∇ . Lorsqu’il est appliqué à une fonction définie sur un domaine unidimensionnel , il désigne la dérivée standard de la fonction telle que définie dans le calcul . Lorsqu’il est appliqué à un champ (une fonction définie sur un domaine multidimensionnel), il peut désigner l’un des trois opérateurs selon la manière dont il est appliqué : le gradient ou (localement) la pente la plus raide d’un champ scalaire (ou parfois d’un champ vectoriel , comme dans les Équations de Navier–Stokes ) ; la divergence d’un champ vectoriel ; ou la boucle (rotation) d’un champ vectoriel.

Opérateur Del,
représenté par
le symbole nabla

À proprement parler, del n’est pas un opérateur spécifique, mais plutôt une notation mathématique pratique pour ces trois opérateurs qui facilite l’écriture et la mémorisation de nombreuses Équations . Le symbole del (ou nabla) peut être interprété comme un vecteur d’ opérateurs de dérivées partielles ; et ses trois significations possibles – gradient, divergence et boucle – peuvent être formellement considérées comme le produit avec un scalaire, un produit scalaire et un produit croisé , respectivement, de «l’opérateur del» avec le champ. Ces produits formels ne font pas nécessairement la navette avec d’autres opérateurs ou produits. Ces trois usages, détaillés ci-dessous, se résument ainsi :

Pente: diplômé ⁡ F = ∇ F {displaystyle operatorname {grad} f=nabla f}
Divergence: div ⁡ v → = ∇ ⋅ v → {displaystyle operatorname {div} {vec {v}}=nabla cdot {vec {v}}}
Boucle: boucle ⁡ v → = ∇ × v → {displaystyle operatorname {curl} {vec {v}}=nabla times {vec {v}}}

Définition

Dans le repère cartésien R ⁿ de coordonnées ( X 1 , … , X n ) {displaystyle (x_{1},dots ,x_{n})} $(x_{1},dots ,x_{n})$ $(x_{1},points ,x_{n})$ et base standard { e → 1 , … , e → n } {displaystyle {{vec {e}}_{1},points,{vec {e}}_{n}}} ${{vec e}_{1},dots ,{vec e}_{n}}$ ${{vec e}_{1},dots ,{vec e}_{n}}$ , del est défini en termes d’ opérateurs de dérivée partielle comme

∇ = ∑ i = 1 n e → i ∂ ∂ x i = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) {displaystyle nabla =sum _{i=1}^{n}{vec {e}}_{i}{partial over partial x_{i}}=left({partial over partial x_{1}},ldots ,{partial over partial x_{n}}right)} ${displaystyle nabla =sum _{i=1}^{n}{vec {e}}_{i}{partial over partial x_{i}}=left({partial over partial x_{1}},ldots ,{partial over partial x_{n}}right)}$ ${displaystyle nabla =sum _{i=1}^{n}{vec {e}}_{i}{partial over partial x_{i}}=left({partial over partial x_{1}},ldots ,{partial over partial x_{n}}right)}$

Où l’expression entre parenthèses est un vecteur ligne. Dans le système de coordonnées cartésien Tridimensionnel R ³ de coordonnées ( x , y , z ) {displaystyle (x,y,z)} (x,y,z) et base standard ou vecteurs unitaires d’axes { e → x , e → y , e → z } {displaystyle {{vec {e}}_{x},{vec {e}}_{y},{vec {e}}_{z}}} ${{vec e}_{x},{vec e}_{y},{vec e}_{z}}$ ${{vec e}_{x},{vec e}_{y},{vec e}_{z}}$ , del s’écrit

∇ = e → x ∂ ∂ x + e → y ∂ ∂ y + e → z ∂ ∂ z = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {displaystyle nabla ={vec {e}}_{x}{partial over partial x}+{vec {e}}_{y}{partial over partial y}+{ vec {e}}_{z}{partial over partial z}=left({partial over partial x},{partial over partial y},{partial over partial z }à droite)} ${displaystyle nabla ={vec {e}}_{x}{partial over partial x}+{vec {e}}_{y}{partial over partial y}+{vec {e}}_{z}{partial over partial z}=left({partial over partial x},{partial over partial y},{partial over partial z}right)}$ ${displaystyle nabla ={vec {e}}_{x}{partial over partial x}+{vec {e}}_{y}{partial over partial y}+{ vec {e}}_{z}{partial over partial z}=left({partial over partial x},{partial over partial y},{partial over partial z }à droite)}$ Exemple: f ( x , y , z ) = x + y + z {displaystyle f(x,y,z)=x+y+z} ∇ f = e → x ∂ f ∂ x + e → y ∂ f ∂ y + e → z ∂ f ∂ z = ( 1 , 1 , 1 ) {displaystyle nabla f={vec {e}}_{x}{partial f over partial x}+{vec {e}}_{y}{partial f over partial y} +{vec {e}}_{z}{partial f over partial z}=left(1,1,1right)} ${displaystyle nabla f={vec {e}}_{x}{partial f over partial x}+{vec {e}}_{y}{partial f over partial y}+{vec {e}}_{z}{partial f over partial z}=left(1,1,1right)}$ ${displaystyle nabla f={vec {e}}_{x}{partial f over partial x}+{vec {e}}_{y}{partial f over partial y}+{vec {e}}_{z}{partial f over partial z}=left(1,1,1right)}$

Del peut également être exprimé dans d’autres systèmes de coordonnées, voir par exemple del en coordonnées cylindriques et sphériques .

Utilisations de notation

Del est utilisé comme forme abrégée pour simplifier de nombreuses expressions mathématiques longues. Il est le plus souvent utilisé pour simplifier les expressions du gradient , de la divergence , de la boucle , de la dérivée directionnelle et du Laplacien .

Pente

La dérivée vectorielle d’un champ scalaire f {displaystyle f} s’appelle le gradient , et il peut être représenté par :

grad ⁡ f = ∂ f ∂ x e → x + ∂ f ∂ y e → y + ∂ f ∂ z e → z = ∇ f {displaystyle operatorname {grad} f={partial f over partial x}{vec {e}}_{x}+{partial f over partial y}{vec {e}}_ {y}+{partial f over partial z}{vec {e}}_{z}=nabla f} $operatorname {grad}f={partial f over partial x}{vec e}_{x}+{partial f over partial y}{vec e}_{y}+{partial f over partial z}{vec e}_{z}=nabla f$ $operatorname {grad}f={partial f over partial x}{vec e}_{x}+{partial f over partial y}{vec e}_{y}+{partial f over partial z}{vec e}_{z}=nabla f$

Il pointe toujours dans la direction de la plus grande augmentation de f {displaystyle f} , et il a une amplitude égale au taux d’augmentation maximal au point, tout comme une dérivée standard. En particulier, si une colline est définie comme une fonction de hauteur sur un plan h ( x , y ) {displaystyle h(x,y)} h(x,y) , le gradient à un emplacement donné sera un vecteur dans le plan xy (visualisable sous forme de flèche sur une carte) pointant le long de la direction la plus raide. L’amplitude du gradient est la valeur de cette pente la plus raide.

En particulier, cette notation est puissante car la règle du produit de gradient ressemble beaucoup au cas de la dérivée 1d :

∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f {displaystyle nabla (fg)=fnabla g+gnabla f} nabla(f g) = f nabla g + g nabla f

Cependant, les règles pour les produits scalaires ne s’avèrent pas simples, comme l’illustrent :

∇ ( u → ⋅ v → ) = ( u → ⋅ ∇ ) v → + ( v → ⋅ ∇ ) u → + u → × ( ∇ × v → ) + v → × ( ∇ × u → ) {displaystyle nabla ({vec {u}}cdot {vec {v}})=({vec {u}}cdot nabla ){vec {v}}+({vec { v}}cdot nabla ){vec {u}}+{vec {u}}times (nabla times {vec {v}})+{vec {v}}times ( nabla times {vec {u}})} nabla (vec u cdot vec v) = (vec u cdot nabla) vec v + (vec v cdot nabla) vec u + vec u times (nabla times vec v) + vec v times (nabla times vec u)

Divergence

La divergence d’un champ vectoriel v → ( x , y , z ) = v x e → x + v y e → y + v z e → z {displaystyle {vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{vec {e}}_{x}+v_{y}{vec {e}}_{y}+ v_{z}{vec {e}}_{z}} ${vec v}(x,y,z)=v_{x}{vec e}_{x}+v_{y}{vec e}_{y}+v_{z}{vec e}_{z}$ ${vec v}(x,y,z)=v_{x}{vec e}_{x}+v_{y}{vec e}_{y}+v_{z}{vec e}_{z}$ est un champ scalaire qui peut être représenté par :

div ⁡ v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = ∇ ⋅ v → {displaystyle operatorname {div} {vec {v}}={partial v_{x} over partial x}+{partial v_{y} over partial y}+{partial v_{z } over partial z}=nabla cdot {vec {v}}} $operatorname {div}{vec v}={partial v_{x} over partial x}+{partial v_{y} over partial y}+{partial v_{z} over partial z}=nabla cdot {vec v}$ $operatorname {div}{vec v}={partial v_{x} over partial x}+{partial v_{y} over partial y}+{partial v_{z} over partial z}=nabla cdot {vec v}$

La divergence est à peu près une mesure de l’augmentation d’un champ vectoriel dans la direction vers laquelle il pointe; mais plus précisément, c’est une mesure de la tendance de ce champ à converger vers ou à diverger d’un point.

La puissance de la notation del est indiquée par la règle de produit suivante :

∇ ⋅ ( f v → ) = ( ∇ f ) ⋅ v → + f ( ∇ ⋅ v → ) {displaystyle nabla cdot (f{vec {v}})=(nabla f)cdot {vec {v}}+f(nabla cdot {vec {v}})}

La formule du Produit vectoriel est un peu moins intuitive, car ce produit n’est pas commutatif :

∇ ⋅ ( u → × v → ) = ( ∇ × u → ) ⋅ v → − u → ⋅ ( ∇ × v → ) {displaystyle nabla cdot ({vec {u}}times {vec {v}})=(nabla times {vec {u}})cdot {vec {v}}-{ vec {u}}cdot (nabla times {vec {v}})}

Boucle

La courbure d’un champ vectoriel v → ( x , y , z ) = v x e → x + v y e → y + v z e → z {displaystyle {vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{vec {e}}_{x}+v_{y}{vec {e}}_{y}+ v_{z}{vec {e}}_{z}} ${vec v}(x,y,z)=v_{x}{vec e}_{x}+v_{y}{vec e}_{y}+v_{z}{vec e}_{z}$ ${vec v}(x,y,z)=v_{x}{vec e}_{x}+v_{y}{vec e}_{y}+v_{z}{vec e}_{z}$ est une fonction vectorielle qui peut être représentée par :

curl ⁡ v → = ( ∂ v z ∂ y − ∂ v y ∂ z ) e → x + ( ∂ v x ∂ z − ∂ v z ∂ x ) e → y + ( ∂ v y ∂ x − ∂ v x ∂ y ) e → z = ∇ × v → {displaystyle operatorname {curl} {vec {v}}=left({partial v_{z} over partial y}-{partial v_{y} over partial z}right){ vec {e}}_{x}+left({partial v_{x} over partial z}-{partial v_{z} over partial x}right){vec {e} }_{y}+left({partial v_{y} over partial x}-{partial v_{x} over partial y}right){vec {e}}_{z} =nabla times {vec {v}}} ${displaystyle operatorname {curl} {vec {v}}=left({partial v_{z} over partial y}-{partial v_{y} over partial z}right){vec {e}}_{x}+left({partial v_{x} over partial z}-{partial v_{z} over partial x}right){vec {e}}_{y}+left({partial v_{y} over partial x}-{partial v_{x} over partial y}right){vec {e}}_{z}=nabla times {vec {v}}}$ ${displaystyle operatorname {curl} {vec {v}}=left({partial v_{z} over partial y}-{partial v_{y} over partial z}right){vec {e}}_{x}+left({partial v_{x} over partial z}-{partial v_{z} over partial x}right){vec {e}}_{y}+left({partial v_{y} over partial x}-{partial v_{x} over partial y}right){vec {e}}_{z}=nabla times {vec {v}}}$

La courbure en un point est proportionnelle au couple sur l’axe auquel un petit moulinet serait soumis s’il était centré en ce point.

L’opération de Produit vectoriel peut être visualisée comme un pseudo- déterminant :

∇ × v → = | e → x e → y e → z ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z v x v y v z | {displaystyle nabla times {vec {v}}=left|{begin{matrice}{vec {e}}_{x}&{vec {e}}_{y}&{ vec {e}}_{z}\[2pt]{frac {partial }{partial x}}&{frac {partial }{partial y}}&{frac {partial }{ partial z}}\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}end{matrice}}right|} $nabla times {vec v}=left|{begin{matrix}{vec e}_{x}&{vec e}_{y}&{vec e}_{z}\[2pt]{{frac {partial }{partial x}}}&{{frac {partial }{partial y}}}&{{frac {partial }{partial z}}}\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}end{matrix}}right|$ $nabla times {vec v}=left|{begin{matrix}{vec e}_{x}&{vec e}_{y}&{vec e}_{z}\[2pt]{{frac {partial }{partial x}}}&{{frac {partial }{partial y}}}&{{frac {partial }{partial z}}}\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}end{matrix}}right|$

Encore une fois, la puissance de la notation est indiquée par la règle du produit :

∇ × ( f v → ) = ( ∇ f ) × v → + f ( ∇ × v → ) {displaystyle nabla times (f{vec {v}})=(nabla f)times {vec {v}}+f(nabla times {vec {v}})} nabla times (f{vec v})=(nabla f)times {vec v}+f(nabla times {vec v})

Malheureusement la règle pour le Produit vectoriel ne s’avère pas simple :

∇ × ( u → × v → ) = u → ( ∇ ⋅ v → ) − v → ( ∇ ⋅ u → ) + ( v → ⋅ ∇ ) u → − ( u → ⋅ ∇ ) v → {displaystyle nabla times ({vec {u}}times {vec {v}})={vec {u}},(nabla cdot {vec {v}})-{ vec {v}},(nabla cdot {vec {u}})+({vec {v}}cdot nabla ),{vec {u}}-({vec { u}}cdot nabla ),{vec {v}}} nabla times (vec u times vec v) = vec u , (nabla cdot vec v) - vec v , (nabla cdot vec u) + (vec v cdot nabla) , vec u - (vec u cdot nabla) , vec v

Dérivée directionnelle

La dérivée directionnelle d’un champ scalaire f ( x , y , z ) {displaystyle f(x,y,z)} dans la direction a → ( x , y , z ) = a x e → x + a y e → y + a z e → z {displaystyle {vec {a}}(x,y,z)=a_{x}{vec {e}}_{x}+a_{y}{vec {e}}_{y}+ a_{z}{vec {e}}_{z}} ${vec a}(x,y,z)=a_{x}{vec e}_{x}+a_{y}{vec e}_{y}+a_{z}{vec e}_{z}$ ${vec a}(x,y,z)=a_{x}{vec e}_{x}+a_{y}{vec e}_{y}+a_{z}{vec e}_{z}$ est défini comme:

a → ⋅ grad ⁡ f = a x ∂ f ∂ x + a y ∂ f ∂ y + a z ∂ f ∂ z = a → ⋅ ( ∇ f ) {displaystyle {vec {a}}cdot operatorname {grad} f=a_{x}{partial f over partial x}+a_{y}{partial f over partial y}+a_ {z}{partial f over partial z}={vec {a}}cdot (nabla f)} ${displaystyle {vec {a}}cdot operatorname {grad} f=a_{x}{partial f over partial x}+a_{y}{partial f over partial y}+a_{z}{partial f over partial z}={vec {a}}cdot (nabla f)}$ ${displaystyle {vec {a}}cdot operatorname {grad} f=a_{x}{partial f over partial x}+a_{y}{partial f over partial y}+a_{z}{partial f over partial z}={vec {a}}cdot (nabla f)}$

Cela donne le taux de changement d’un champ f {displaystyle f} en direction de a → {displaystyle {vec {a}}} , mis à l’échelle par la grandeur de a → {displaystyle {vec {a}}} . En notation opérateur, l’élément entre parenthèses peut être considéré comme une seule unité cohérente ; la dynamique des fluides utilise largement cette convention, l’appelant la Dérivée convective – la dérivée « mobile » du fluide.

Noter que ( a → ⋅ ∇ ) {displaystyle ({vec {a}}cdot nabla )} ({vec a}cdot nabla ) est un opérateur qui transforme scalaire en scalaire. Il peut être étendu pour opérer sur un vecteur, en agissant séparément sur chacune de ses composantes.

Laplacien

L’ opérateur de Laplace est un opérateur scalaire qui peut être appliqué à des champs vectoriels ou scalaires ; pour les systèmes de coordonnées cartésiennes, il est défini comme suit :

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Sphère de Riemann

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Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 {displaystyle Delta ={partial ^{2} over partial x^{2}}+{partial ^{2} over partial y^{2}}+{partial ^{2} sur partial z^{2}}=nabla cdot nabla =nabla ^{2}} $Delta = {partial^2 over partial x^2} + {partial^2 over partial y^2} + {partial^2 over partial z^2} = nabla cdot nabla = nabla^2$ $Delta = {partial^2 over partial x^2} + {partial^2 over partial y^2} + {partial^2 over partial z^2} = nabla cdot nabla = nabla^2$

et la définition des systèmes de coordonnées plus généraux est donnée en vecteur Laplacien .

Le Laplacien est omniprésent dans toute la physique mathématique moderne , apparaissant par exemple dans l’équation de Laplace, l’équation de Poisson , l’équation de la chaleur , l’ équation des ondes et l’ équation de Schrödinger .

Matrice de Hesse

Tandis que ∇ 2 {displaystyle nabla ^{2}} $nabla ^{2}$ $nabla ^{2}$ représente généralement le Laplacien , parfois ∇ 2 {displaystyle nabla ^{2}} $nabla ^{2}$ $nabla ^{2}$ représente également la matrice de Hesse . Le premier fait référence au produit interne de ∇ {displaystylenabla } nabla , tandis que ce dernier fait référence au Produit dyadique de ∇ {displaystylenabla } nabla :

∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ T {displaystyle nabla ^{2}=nabla cdot nabla ^{T}} ${displaystyle nabla ^{2}=nabla cdot nabla ^{T}}$ ${displaystyle nabla ^{2}=nabla cdot nabla ^{T}}$ .

Alors que ce soit ∇ 2 {displaystyle nabla ^{2}} $nabla ^{2}$ $nabla ^{2}$ fait référence à une matrice laplacienne ou hessienne dépend du contexte.

Dérivée du tenseur

Del peut également être appliqué à un champ vectoriel avec le résultat étant un tenseur . La dérivée tensorielle d’un champ vectoriel v → {displaystyle {vec {v}}} (en trois dimensions) est un tenseur de second rang à 9 termes – c’est-à-dire une matrice 3 × 3 – mais peut être noté simplement comme ∇ ⊗ v → {displaystyle nabla otimes {vec {v}}} nabla otimes vec{v} , où ⊗ {displaystyle otimes} otimes représente le Produit dyadique . Cette quantité est équivalente à la transposée de la Matrice jacobienne du champ vectoriel par rapport à l’espace. La divergence du champ vectoriel peut alors s’exprimer comme la trace de cette matrice.

Pour un petit déplacement δ r → {displaystyle delta {vec {r}}} delta vec{r} , la variation du champ vectoriel est donnée par :

δ v → = ( ∇ ⊗ v → ) T ⋅ δ r → {displaystyle delta {vec {v}}=(nabla otimes {vec {v}})^{T}cdot delta {vec {r}}} ${displaystyle delta {vec {v}}=(nabla otimes {vec {v}})^{T}cdot delta {vec {r}}}$ ${displaystyle delta {vec {v}}=(nabla otimes {vec {v}})^{T}cdot delta {vec {r}}}$

Règles du produit

Pour le calcul vectoriel :

∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f ∇ ( u → ⋅ v → ) = u → × ( ∇ × v → ) + v → × ( ∇ × u → ) + ( u → ⋅ ∇ ) v → + ( v → ⋅ ∇ ) u → ∇ ⋅ ( f v → ) = f ( ∇ ⋅ v → ) + v → ⋅ ( ∇ f ) ∇ ⋅ ( u → × v → ) = v → ⋅ ( ∇ × u → ) − u → ⋅ ( ∇ × v → ) ∇ × ( f v → ) = ( ∇ f ) × v → + f ( ∇ × v → ) ∇ × ( u → × v → ) = u → ( ∇ ⋅ v → ) − v → ( ∇ ⋅ u → ) + ( v → ⋅ ∇ ) u → − ( u → ⋅ ∇ ) v → {displaystyle {begin{aligned}nabla (fg)&=fnabla g+gnabla f\nabla ({vec {u}}cdot {vec {v}})&={vec {u}}times (nabla times {vec {v}})+{vec {v}}times (nabla times {vec {u}})+({vec {u}}cdot nabla ){vec {v}}+({vec {v}}cdot nabla ){vec {u}}\nabla cdot (f{vec {v}})&=f(nabla cdot {vec {v}})+{vec {v}}cdot (nabla f)\nabla cdot ({vec {u}}times {vec {v}})&={vec {v}}cdot (nabla times {vec {u}})-{vec {u}}cdot (nabla times {vec {v}})\nabla times (f{vec {v}})&=(nabla f)times {vec {v}}+f(nabla times {vec {v}})\nabla times ({vec {u}}times {vec {v}})&={vec {u}},(nabla cdot {vec {v}})-{vec {v}},(nabla cdot {vec {u}})+({vec {v}}cdot nabla ),{vec {u}}-({vec {u}}cdot nabla ),{vec {v}}end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}nabla (fg)&=fnabla g+gnabla f\nabla ({vec {u}}cdot {vec {v}})&={vec {u}}times (nabla times {vec {v}})+{vec {v}}times (nabla times {vec {u}})+({vec {u}}cdot nabla ){vec {v}}+({vec {v}}cdot nabla ){vec {u}}\nabla cdot (f{vec {v}})&=f(nabla cdot {vec {v}})+{vec {v}}cdot (nabla f)\nabla cdot ({vec {u}}times {vec {v}})&={vec {v}}cdot (nabla times {vec {u}})-{vec {u}}cdot (nabla times {vec {v}})\nabla times (f{vec {v}})&=(nabla f)times {vec {v}}+f(nabla times {vec {v}})\nabla times ({vec {u}}times {vec {v}})&={vec {u}},(nabla cdot {vec {v}})-{vec {v}},(nabla cdot {vec {u}})+({vec {v}}cdot nabla ),{vec {u}}-({vec {u}}cdot nabla ),{vec {v}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}nabla (fg)&=fnabla g+gnabla f\nabla ({vec {u}}cdot {vec {v}})&={vec {u}}times (nabla times {vec {v}})+{vec {v}}times (nabla times {vec {u}})+({vec {u}}cdot nabla ){vec {v}}+({vec {v}}cdot nabla ){vec {u}}\nabla cdot (f{vec {v}})&=f(nabla cdot {vec {v}})+{vec {v}}cdot (nabla f)\nabla cdot ({vec {u}}times {vec {v}})&={vec {v}}cdot (nabla times {vec {u}})-{vec {u}}cdot (nabla times {vec {v}})\nabla times (f{vec {v}})&=(nabla f)times {vec {v}}+f(nabla times {vec {v}})\nabla times ({vec {u}}times {vec {v}})&={vec {u}},(nabla cdot {vec {v}})-{vec {v}},(nabla cdot {vec {u}})+({vec {v}}cdot nabla ),{vec {u}}-({vec {u}}cdot nabla ),{vec {v}}end{aligned}}}$

Pour le calcul matriciel (pour lequel u → ⋅ v → {displaystyle {vec {u}}cdot {vec {v}}} peut être écrit u → T v → {displaystyle {vec {u}}^{text{T}}{vec {v}}} ${displaystyle {vec {u}}^{text{T}}{vec {v}}}$ ${displaystyle {vec {u}}^{text{T}}{vec {v}}}$ ):

( A ∇ ) T u → = ∇ T ( A T u → ) − ( ∇ T A T ) u → {displaystyle {begin{aligned}left(mathbf {A} nabla right)^{text{T}}{vec {u}}&=nabla ^{text{T}} left(mathbf {A} ^{text{T}}{vec {u}}right)-left(nabla ^{text{T}}mathbf {A} ^{text{T }}right){vec {u}}end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}left(mathbf {A} nabla right)^{text{T}}{vec {u}}&=nabla ^{text{T}}left(mathbf {A} ^{text{T}}{vec {u}}right)-left(nabla ^{text{T}}mathbf {A} ^{text{T}}right){vec {u}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}left(mathbf {A} nabla right)^{text{T}}{vec {u}}&=nabla ^{text{T}}left(mathbf {A} ^{text{T}}{vec {u}}right)-left(nabla ^{text{T}}mathbf {A} ^{text{T}}right){vec {u}}end{aligned}}}$

Une autre relation d’intérêt (voir par exemple les Équations d’Euler ) est la suivante, où u → ⊗ v → {displaystyle {vec {u}}otimes {vec {v}}} est le tenseur produit extérieur :

∇ ⋅ ( u → ⊗ v → ) = ( ∇ ⋅ u → ) v → + ( u → ⋅ ∇ ) v → {displaystyle {begin{aligned}nabla cdot ({vec {u}}otimes {vec {v}})=(nabla cdot {vec {u}}){vec {v }}+({vec {u}}cdot nabla ){vec {v}}end{aligned}}}

Dérivées secondes

Graphique DCG : un graphique simple illustrant toutes les règles relatives aux dérivées secondes. D, C, G, L et CC représentent respectivement la divergence, la courbure, le gradient, le Laplacien et la courbure de la courbure. Les flèches indiquent l’existence de dérivées secondes. Le cercle bleu au milieu représente la boucle de la boucle, tandis que les deux autres cercles rouges (en pointillés) signifient que DD et GG n’existent pas.

Lorsque del opère sur un scalaire ou un vecteur, un scalaire ou un vecteur est renvoyé. En raison de la diversité des produits vectoriels (scalaire, point, croix), une application de del donne déjà lieu à trois dérivés majeurs : le gradient (produit scalaire), la divergence (produit scalaire) et la boucle (produit croisé). En appliquant à nouveau ces trois sortes de dérivées les unes aux autres, on obtient cinq dérivées secondes possibles, pour un champ scalaire f ou un champ vectoriel v ; l’utilisation du Laplacien scalaire et du Laplacien vectoriel en donne deux autres :

div ⁡ ( grad ⁡ f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) curl ⁡ ( grad ⁡ f ) = ∇ × ( ∇ f ) Δ f = ∇ 2 f grad ⁡ ( div ⁡ v → ) = ∇ ( ∇ ⋅ v → ) div ⁡ ( curl ⁡ v → ) = ∇ ⋅ ( ∇ × v → ) curl ⁡ ( curl ⁡ v → ) = ∇ × ( ∇ × v → ) Δ v → = ∇ 2 v → {displaystyle {begin{aligned}operatorname {div} (operatorname {grad} f)&=nabla cdot (nabla f)\operatorname {curl} (operatorname {grad} f)&= nabla times (nabla f)\Delta f&=nabla ^{2}f\operatorname {grad} (operatorname {div} {vec {v}})&=nabla (nabla cdot {vec {v}})\operatorname {div} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla cdot (nabla times {vec {v}}) \operatorname {curl} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla times (nabla times {vec {v}})\Delta {vec {v} }&=nabla ^{2}{vec {v}}end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}operatorname {div} (operatorname {grad} f)&=nabla cdot (nabla f)\operatorname {curl} (operatorname {grad} f)&=nabla times (nabla f)\Delta f&=nabla ^{2}f\operatorname {grad} (operatorname {div} {vec {v}})&=nabla (nabla cdot {vec {v}})\operatorname {div} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla cdot (nabla times {vec {v}})\operatorname {curl} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla times (nabla times {vec {v}})\Delta {vec {v}}&=nabla ^{2}{vec {v}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}operatorname {div} (operatorname {grad} f)&=nabla cdot (nabla f)\operatorname {curl} (operatorname {grad} f)&=nabla times (nabla f)\Delta f&=nabla ^{2}f\operatorname {grad} (operatorname {div} {vec {v}})&=nabla (nabla cdot {vec {v}})\operatorname {div} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla cdot (nabla times {vec {v}})\operatorname {curl} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla times (nabla times {vec {v}})\Delta {vec {v}}&=nabla ^{2}{vec {v}}end{aligned}}}$

Ceux-ci sont intéressants principalement parce qu’ils ne sont pas toujours uniques ou indépendants les uns des autres. Tant que les fonctions se comportent bien ( C ∞ {displaystyle C^{infty}} ${displaystyle C^{infty }}$ ${displaystyle C^{infty }}$ dans la plupart des cas), deux d’entre eux sont toujours nuls :

curl ⁡ ( grad ⁡ f ) = ∇ × ( ∇ f ) = 0 div ⁡ ( curl ⁡ v → ) = ∇ ⋅ ( ∇ × v → ) = 0 {displaystyle {begin{aligned}operatorname {curl} (operatorname {grad} f)&=nabla times (nabla f)=0\operatorname {div} (operatorname {curl} { vec {v}})&=nabla cdot (nabla times {vec {v}})=0end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}operatorname {curl} (operatorname {grad} f)&=nabla times (nabla f)=0\operatorname {div} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla cdot (nabla times {vec {v}})=0end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}operatorname {curl} (operatorname {grad} f)&=nabla times (nabla f)=0\operatorname {div} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla cdot (nabla times {vec {v}})=0end{aligned}}}$

Deux d’entre eux sont toujours égaux :

div ⁡ ( grad ⁡ f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) = ∇ 2 f = Δ f {displaystyle operatorname {div} (operatorname {grad} f)=nabla cdot (nabla f)=nabla ^{2}f=Delta f} ${displaystyle operatorname {div} (operatorname {grad} f)=nabla cdot (nabla f)=nabla ^{2}f=Delta f}$ ${displaystyle operatorname {div} (operatorname {grad} f)=nabla cdot (nabla f)=nabla ^{2}f=Delta f}$

Les 3 dérivées vectorielles restantes sont liées par l’équation :

∇ × ( ∇ × v → ) = ∇ ( ∇ ⋅ v → ) − ∇ 2 v → {displaystyle nabla times left(nabla times {vec {v}}right)=nabla (nabla cdot {vec {v}})-nabla ^{2}{vec {v}}} ${displaystyle nabla times left(nabla times {vec {v}}right)=nabla (nabla cdot {vec {v}})-nabla ^{2}{vec {v}}}$ ${displaystyle nabla times left(nabla times {vec {v}}right)=nabla (nabla cdot {vec {v}})-nabla ^{2}{vec {v}}}$

Et l’une d’elles peut même s’exprimer avec le produit tensoriel, si les fonctions se comportent bien :

∇ ( ∇ ⋅ v → ) = ∇ ⋅ ( v → ⊗ ∇ ) {displaystyle nabla (nabla cdot {vec {v}})=nabla cdot ({vec {v}}otimes nabla )}

Précautions

La plupart des propriétés vectorielles ci-dessus (à l’exception de celles qui reposent explicitement sur les propriétés différentielles de del – par exemple, la règle du produit) ne reposent que sur le réarrangement des symboles et doivent nécessairement tenir si le symbole del est remplacé par un autre vecteur. Cela fait partie de la valeur à gagner en représentant notationnellement cet opérateur comme un vecteur.

Bien que l’on puisse souvent remplacer del par un vecteur et obtenir une identité vectorielle, rendant ces identités mnémoniques, l’inverse n’est pas nécessairement fiable, car del ne commute pas en général.

Un contre-exemple qui repose sur l’échec de del à faire la navette :

( u → ⋅ v → ) f ≡ ( v → ⋅ u → ) f ( ∇ ⋅ v → ) f = ( ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z ) f = ∂ v x ∂ x f + ∂ v y ∂ y f + ∂ v z ∂ z f ( v → ⋅ ∇ ) f = ( v x ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ z ) f = v x ∂ f ∂ x + v y ∂ f ∂ y + v z ∂ f ∂ z ⇒ ( ∇ ⋅ v → ) f ≠ ( v → ⋅ ∇ ) f {displaystyle {begin{aligned}({vec {u}}cdot {vec {v}})f&equiv ({vec {v}}cdot {vec {u}})f (nabla cdot {vec {v}})f&=left({frac {partial v_{x}}{partial x}}+{frac {partial v_{y}}{ y partiel}}+{frac {partial v_{z}}{partial z}}right)f={frac {partial v_{x}}{partial x}}f+{frac { partiel v_{y}}{partial y}}f+{frac {partial v_{z}}{partial z}}f\({vec {v}}cdot nabla )f&=left (v_{x}{frac {partial }{partial x}}+v_{y}{frac {partial }{partial y}}+v_{z}{frac {partial }{ partiel z}}right)f=v_{x}{frac {partial f}{partial x}}+v_{y}{frac {partial f}{partial y}}+v_{z }{frac {partial f}{partial z}}\Rightarrow (nabla cdot {vec {v}})f&neq ({vec {v}}cdot nabla )f \end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}({vec {u}}cdot {vec {v}})f&equiv ({vec {v}}cdot {vec {u}})f\(nabla cdot {vec {v}})f&=left({frac {partial v_{x}}{partial x}}+{frac {partial v_{y}}{partial y}}+{frac {partial v_{z}}{partial z}}right)f={frac {partial v_{x}}{partial x}}f+{frac {partial v_{y}}{partial y}}f+{frac {partial v_{z}}{partial z}}f\({vec {v}}cdot nabla )f&=left(v_{x}{frac {partial }{partial x}}+v_{y}{frac {partial }{partial y}}+v_{z}{frac {partial }{partial z}}right)f=v_{x}{frac {partial f}{partial x}}+v_{y}{frac {partial f}{partial y}}+v_{z}{frac {partial f}{partial z}}\Rightarrow (nabla cdot {vec {v}})f&neq ({vec {v}}cdot nabla )f\end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}({vec {u}}cdot {vec {v}})f&equiv ({vec {v}}cdot {vec {u}})f\(nabla cdot {vec {v}})f&=left({frac {partial v_{x}}{partial x}}+{frac {partial v_{y}}{partial y}}+{frac {partial v_{z}}{partial z}}right)f={frac {partial v_{x}}{partial x}}f+{frac {partial v_{y}}{partial y}}f+{frac {partial v_{z}}{partial z}}f\({vec {v}}cdot nabla )f&=left(v_{x}{frac {partial }{partial x}}+v_{y}{frac {partial }{partial y}}+v_{z}{frac {partial }{partial z}}right)f=v_{x}{frac {partial f}{partial x}}+v_{y}{frac {partial f}{partial y}}+v_{z}{frac {partial f}{partial z}}\Rightarrow (nabla cdot {vec {v}})f&neq ({vec {v}}cdot nabla )f\end{aligned}}}$

Un contre-exemple qui s’appuie sur les propriétés différentielles de del :

( ∇ x ) × ( ∇ y ) = ( e → x ∂ x ∂ x + e → y ∂ x ∂ y + e → z ∂ x ∂ z ) × ( e → x ∂ y ∂ x + e → y ∂ y ∂ y + e → z ∂ y ∂ z ) = ( e → x ⋅ 1 + e → y ⋅ 0 + e → z ⋅ 0 ) × ( e → x ⋅ 0 + e → y ⋅ 1 + e → z ⋅ 0 ) = e → x × e → y = e → z ( u → x ) × ( u → y ) = x y ( u → × u → ) = x y 0 → = 0 → {displaystyle {begin{aligned}(nabla x)times (nabla y)&=left({vec {e}}_{x}{frac {partial x}{partial x}}+{vec {e}}_{y}{frac {partial x}{partial y}}+{vec {e}}_{z}{frac {partial x}{partial z}}right)times left({vec {e}}_{x}{frac {partial y}{partial x}}+{vec {e}}_{y}{frac {partial y}{partial y}}+{vec {e}}_{z}{frac {partial y}{partial z}}right)\&=({vec {e}}_{x}cdot 1+{vec {e}}_{y}cdot 0+{vec {e}}_{z}cdot 0)times ({vec {e}}_{x}cdot 0+{vec {e}}_{y}cdot 1+{vec {e}}_{z}cdot 0)\&={vec {e}}_{x}times {vec {e}}_{y}\&={vec {e}}_{z}\({vec {u}}x)times ({vec {u}}y)&=xy({vec {u}}times {vec {u}})\&=xy{vec {0}}\&={vec {0}}end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}(nabla x)times (nabla y)&=left({vec {e}}_{x}{frac {partial x}{partial x}}+{vec {e}}_{y}{frac {partial x}{partial y}}+{vec {e}}_{z}{frac {partial x}{partial z}}right)times left({vec {e}}_{x}{frac {partial y}{partial x}}+{vec {e}}_{y}{frac {partial y}{partial y}}+{vec {e}}_{z}{frac {partial y}{partial z}}right)\&=({vec {e}}_{x}cdot 1+{vec {e}}_{y}cdot 0+{vec {e}}_{z}cdot 0)times ({vec {e}}_{x}cdot 0+{vec {e}}_{y}cdot 1+{vec {e}}_{z}cdot 0)\&={vec {e}}_{x}times {vec {e}}_{y}\&={vec {e}}_{z}\({vec {u}}x)times ({vec {u}}y)&=xy({vec {u}}times {vec {u}})\&=xy{vec {0}}\&={vec {0}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}(nabla x)times (nabla y)&=left({vec {e}}_{x}{frac {partial x}{partial x} }+{vec {e}}_{y}{frac {partial x}{partial y}}+{vec {e}}_{z}{frac {partial x}{partial z}}right)times left({vec {e}}_{x}{frac {partial y}{partial x}}+{vec {e}}_{y}{ frac {partial y}{partial y}}+{vec {e}}_{z}{frac {partial y}{partial z}}right)\&=({vec { e}}_{x}cdot 1+{vec {e}}_{y}cdot 0+{vec {e}}_{z}cdot 0)times ({vec {e} }_{x}cdot 0+{vec {e}}_{y}cdot 1+{vec {e}}_{z}cdot 0)\&={vec {e}} _{x}times {vec {e}}_{y}\&={vec {e}}_{z}\({vec {u}}x)times ({vec {u}}y)&=xy({vec {u}}times {vec {u}})\&=xy{vec {0}}\&={vec {0}} end{aligné}}}$

Au centre de ces distinctions se trouve le fait que del n’est pas simplement un vecteur ; c’est un opérateur vectoriel . Alors qu’un vecteur est un objet avec à la fois une amplitude et une direction, del n’a ni amplitude ni direction jusqu’à ce qu’il opère sur une fonction.

Pour cette raison, les identités impliquant del doivent être dérivées avec précaution, en utilisant à la fois des identités vectorielles et des identités de différenciation telles que la règle du produit.

Voir également

Del en coordonnées cylindriques et sphériques
Notation pour la différenciation
Identités de calcul vectoriel
Les Équations de Maxwell
Équations de Navier – Stokes
Tableau des symboles mathématiques
Opérateur Quabla

Références

Willard Gibbs et Edwin Bidwell Wilson (1901) Analyse vectorielle , Yale University Press , 1960 : Dover Publications .
Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl et tout ça : un texte informel sur le calcul vectoriel . New York : Norton. ISBN 0-393-96997-5.
Miller, Jeff. “Les premières utilisations des symboles de calcul” .
Arnold Neumaier (26 janvier 1998). Cleve Moler (éd.). “Histoire de Nabla” . NA Digest, volume 98, numéro 03. netlib.org.

Liens externes

Une enquête sur l’utilisation inappropriée de ∇ dans l’analyse vectorielle (1994) Tai, Chen