Propriété commutative

En mathématiques , une opération binaire est commutative si le fait de changer l’ordre des opérandes ne change pas le résultat. C’est une propriété fondamentale de nombreuses opérations binaires, et de nombreuses preuves mathématiques en dépendent. Plus connue sous le nom de la propriété qui dit quelque chose comme “3 + 4 = 4 + 3” ou “2 × 5 = 5 × 2” , la propriété peut également être utilisée dans des paramètres plus avancés. Le nom est nécessaire car certaines opérations, telles que la division et la soustraction , ne l’ont pas (par exemple, “3 − 5 ≠ 5 − 3” ); de telles opérations ne sont pascommutative, et sont donc appelées opérations non commutatives . L’idée que des opérations simples, telles que la multiplication et l’ addition de nombres, sont commutatives a été pendant de nombreuses années implicitement assumée. Ainsi, cette propriété n’a été nommée qu’au XIXe siècle, lorsque les mathématiques ont commencé à se formaliser. ^{[1] [2]} Une propriété correspondante existe pour les relations binaires ; une relation binaire est dite symétrique si la relation s’applique quel que soit l’ordre de ses opérandes ; par exemple, l’égalité est symétrique car deux objets mathématiques égaux sont égaux quel que soit leur ordre. ^[3]

Une opération ∘ {displaystyle circ } circ est commutatif si et seulement si X ∘ y = y ∘ X {displaystyle xcirc y=ycirc x} pour chaque X {style d’affichage x} et y {displaystyle y} . Cette image illustre cette propriété avec le concept d’une opération comme une “machine à calculer”. Peu importe la sortie X ∘ y {displaystyle xcirc y} ou alors y ∘ X {displaystyle ycirc x} respectivement qui ordonnent les arguments X {style d’affichage x} et y {displaystyle y} ont – le résultat final est le même.

Utilisations courantes

La propriété commutative (ou loi commutative ) est une propriété généralement associée aux opérations et fonctions binaires . Si la propriété commutative est valable pour une paire d’éléments sous une certaine opération binaire, on dit que les deux éléments commutent sous cette opération.

Définitions mathématiques

Une opération binaire ∗ {displaystyle *} sur un ensemble S est dit commutatif si ^{[4] [5]}

X ∗ y = y ∗ X pour tous X , y ∈ S . {displaystyle x*y=y*xqquad {mbox{pour tous}}x,yin S.} Une opération qui ne satisfait pas la propriété ci-dessus est dite non commutative .

On dit que x commute avec y ou que x et y commutent sous ∗ {displaystyle *} si

X ∗ y = y ∗ X . {displaystyle x*y=y*x.} En d’autres termes, une opération est commutative si chaque paire d’éléments commute.

Une fonction binaire F : UN × UN → B {displaystyle fdeux points Afois Avers B} fcolon Atimes Ato B est parfois appelé commutatif si

F ( X , y ) = F ( y , X ) pour tous X , y ∈ UN . {displaystyle f(x,y)=f(y,x)qquad {mbox{pour tous}}x,yin A.} Une telle fonction est plus communément appelée fonction symétrique .

Exemples

Opérations commutatives dans la vie quotidienne

Le cumul des pommes, qui peut être vu comme une addition de nombres naturels, est commutatif.

Enfiler des chaussettes ressemble à une opération commutative puisque la chaussette à enfiler en premier n’a pas d’importance. Quoi qu’il en soit, le résultat (avoir les deux chaussettes) est le même. En revanche, mettre des sous-vêtements et des pantalons n’est pas commutatif.
La commutativité de l’addition est observée lors du paiement d’un article en espèces. Quel que soit l’ordre dans lequel les factures sont remises, elles donnent toujours le même total.

Opérations commutatives en mathématiques

L’addition des vecteurs est commutative, car un → + b → = b → + a → {displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}={vec {b}}+{vec {a}}} .

Deux exemples bien connus d’opérations binaires commutatives : ^[4]

L’ addition des Nombres réels est commutative, puisque y + z = z + y for all y , z ∈ R {displaystyle y+z=z+yqquad {mbox{pour tous}}y,zin mathbb {R} } Par exemple 4 + 5 = 5 + 4, puisque les deux expressions égalent 9.
La multiplication des Nombres réels est commutative, puisque y z = z y for all y , z ∈ R {displaystyle yz=zyqquad {mbox{pour tous}}y,zin mathbb {R} } Par exemple, 3 × 5 = 5 × 3, puisque les deux expressions sont égales à 15.En conséquence directe de cela, il est également vrai que les expressions sous la forme y% de z et z% de y sont commutatives pour tous les Nombres réels y et z. ^[6] Par exemple 64 % de 50 = 50 % de 64, puisque les deux expressions égalent 32, et 30 % de 50 % = 50 % de 30 %, puisque ces deux expressions égalent 15 %.
Certaines fonctions de vérité binaires sont également commutatives, puisque les tables de vérité des fonctions sont les mêmes lorsque l’on change l’ordre des opérandes.Par exemple, la fonction biconditionnelle logique p ↔ q est équivalente à q ↔ p. Cette fonction s’écrit aussi p IFF q, ou comme p ≡ q, ou comme E pq .La dernière forme est un exemple de la notation polonaise de la table de vérité , qui énumère les seize fonctions de vérité binaires possibles dont huit sont commutatives : V pq ( tautologie ) = V qp ; A pq (OU) = A qp ; D pq (NAND) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq ( Disjonction exclusive ) = J qp ; K pq (ET) = K qp ; X pq (NI) = X qp ; O pq ( contradiction ) = O qp.
D’autres exemples d’opérations binaires commutatives incluent l’addition et la multiplication de nombres complexes , l’addition et la multiplication scalaire de vecteurs , et l’intersection et l’union d’ ensembles .

Opérations non commutatives dans la vie quotidienne

La concaténation , l’acte de joindre des chaînes de caractères, est une opération non commutative. Par example, EA + T = MANGER ≠ THÉ = T + EA
Laver et sécher les vêtements ressemble à une opération non commutative ; le lavage puis le séchage produisent un résultat nettement différent du séchage puis du lavage.
Faire pivoter un livre de 90° autour d’un axe vertical puis de 90° autour d’un axe horizontal produit une orientation différente que lorsque les rotations sont effectuées dans l’ordre inverse.
Les mouvements de n’importe quel puzzle de combinaison (comme les torsions d’un Rubik’s Cube , par exemple) ne sont pas commutatifs. Ceci peut être étudié en utilisant la théorie des groupes .
Les processus de pensée ne sont pas commutatifs : une personne pose une question (A) puis une question (B) peut donner des réponses différentes à chaque question qu’une personne pose d’abord (B) puis (A), car poser une question peut changer l’état de la personne. d’esprit.
L’acte de s’habiller est commutatif ou non commutatif selon les items. Mettre des sous-vêtements et des vêtements normaux est non commutatif. Mettre des chaussettes gauche et droite est commutatif.
Mélanger un jeu de cartes n’est pas commutatif. Étant donné deux manières, A et B, de mélanger un jeu de cartes, faire A d’abord puis B n’est en général pas la même chose que faire B d’abord puis A.

Opérations non commutatives en mathématiques

Quelques opérations binaires non commutatives : ^[7]

Division, soustraction et exponentiation

La division est non commutative, puisque 1 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 1 {displaystyle 1div 2neq 2div 1} .

La soustraction est non commutative, puisque 0 − 1 ≠ 1 − 0 {displaystyle 0-1neq 1-0} . Cependant il est classé plus précisément comme anti-commutatif , puisque 0 − 1 = − ( 1 − 0 ) {displaystyle 0-1=-(1-0)} .

L’exponentiation est non commutative, puisque 2 3 ≠ 3 2 {displaystyle 2^{3}neq 3^{2}} ${displaystyle 2^{3}neq 3^{2}}$ ${displaystyle 2^{3}neq 3^{2}}$ .

Fonctions de vérité

Certaines fonctions de vérité sont non commutatives, car les tables de vérité des fonctions sont différentes lorsque l’on change l’ordre des opérandes. Par exemple, les tables de vérité pour (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) et (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) sont

UN	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	J	J
F	J	J	F
J	F	F	J
J	J	J	J

Composition fonctionnelle des fonctions linéaires

La composition fonctionnelle des fonctions linéaires des Nombres réels aux Nombres réels est presque toujours non commutative. Par exemple, laissez f ( x ) = 2 x + 1 {displaystyle f(x)=2x+1} et g ( x ) = 3 x + 7 {displaystyle g(x)=3x+7} . Puis

( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = 2 ( 3 x + 7 ) + 1 = 6 x + 15 {displaystyle (fcirc g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}

( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = 3 ( 2 x + 1 ) + 7 = 6 x + 10 {displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}

Cela s’applique également plus généralement aux transformations linéaires et affines d’un espace vectoriel à lui-même (voir ci-dessous pour la représentation matricielle).

Multiplication matricielle

La multiplication matricielle de Matrices carrées est presque toujours non commutative, par exemple :

[ 0 2 0 1 ] = [ 1 1 0 1 ] [ 0 1 0 1 ] ≠ [ 0 1 0 1 ] [ 1 1 0 1 ] = [ 0 1 0 1 ] {displaystyle {begin{bmatrix}0&2\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix }}neq {begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&1\0&1end{ bmatrice}}} ${displaystyle {begin{bmatrix}0&2\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}neq {begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}}$ ${displaystyle {begin{bmatrix}0&2\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}neq {begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}}$ Produit vectoriel

Le produit vectoriel (ou produit croisé ) de deux vecteurs en trois dimensions est anti-commutatif ; c’est-à-dire, b × a = −( a × b ).

Histoire et étymologie

La première utilisation connue du terme était dans un journal français publié en 1814

Learn more.

Isomorphisme

Jul 14, 2022

Premier article sur la théorie des ensembles de Cantor

Jul 12, 2022

Énergie gravitationnelle

Jul 9, 2022

Sphère de Riemann

Jul 8, 2022

Les enregistrements de l’utilisation implicite de la propriété commutative remontent à l’Antiquité. Les Égyptiens utilisaient la propriété commutative de la multiplication pour simplifier les produits informatiques . ^{[8] [9]} Euclid est connu pour avoir assumé la propriété commutative de multiplication dans son livre Elements . ^[10] Les utilisations formelles de la propriété commutative sont apparues à la fin du 18e et au début du 19e siècle, lorsque les mathématiciens ont commencé à travailler sur une théorie des fonctions. Aujourd’hui, la propriété commutative est une propriété bien connue et fondamentale utilisée dans la plupart des branches des mathématiques.

La première utilisation enregistrée du terme commutative était dans un mémoire par François Servois en 1814, ^{[1] [11]} qui a utilisé le mot commutatives en décrivant les fonctions qui ont ce qu’on appelle maintenant la propriété commutative. Le mot est une combinaison du mot français commuter signifiant “substituer ou changer” et du suffixe -ative signifiant “tendre à” donc le mot signifie littéralement “tendre à remplacer ou changer”. Le terme apparaît alors en anglais en 1838. ^[2] dans l’article de Duncan Farquharson Gregory intitulé « On the real nature of Symbolal algebra » publié en 1840 dans laTransactions de la Société royale d’Édimbourg . ^[12]

Logique propositionnelle

Règle de remplacement

Dans la Logique propositionnelle vérifonctionnelle, la commutation , ^{[13] [14]} ou la commutativité ^[15] font référence à deux règles de remplacement valides . Les règles permettent de transposer des variables propositionnelles dans des expressions logiques dans des preuves logiques . Les règles sont :

( P ∨ Q ) ⇔ ( Q ∨ P ) {displaystyle (Plor Q)Leftrightarrow (Qlor P)}

( P ∧ Q ) ⇔ ( Q ∧ P ) {displaystyle (Pland Q)Leftrightarrow (Qland P)}

où ” ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } ” est un symbole métalogique représentant “peut être remplacé dans une preuve par”.

Connecteurs fonctionnels de vérité

La commutativité est une propriété de certains connecteurs logiques de la Logique propositionnelle fonctionnelle de la vérité . Les équivalences logiques suivantes démontrent que la commutativité est une propriété de connecteurs particuliers. Ce qui suit sont des tautologies vérifonctionnelles .

Commutativité de conjonction ( P ∧ Q ) ↔ ( Q ∧ P ) {displaystyle (Pland Q)leftrightarrow (Qland P)} Commutativité de la disjonction ( P ∨ Q ) ↔ ( Q ∨ P ) {displaystyle (Plor Q)leftrightarrow (Qlor P)} Commutativité d’implication (également appelée loi de permutation) ( P → ( Q → R ) ) ↔ ( Q → ( P → R ) ) {displaystyle (Pto (Qto R))leftrightarrow (Qto (Pto R))} Commutativité d’équivalence (également appelée loi commutative complète d’équivalence) ( P ↔ Q ) ↔ ( Q ↔ P ) {displaystyle (Pleftrightarrow Q)leftrightarrow (Qleftrightarrow P)}

Théorie des ensembles

En théorie des groupes et des ensembles , de nombreuses structures algébriques sont dites commutatives lorsque certains opérandes satisfont à la propriété commutative. Dans les branches supérieures des mathématiques, telles que l’analyse et l’algèbre linéaire, la commutativité d’opérations bien connues (telles que l’ addition et la multiplication sur des Nombres réels et complexes) est souvent utilisée (ou supposée implicitement) dans les preuves. ^{[16] [17] [18]}

Structures mathématiques et commutativité

Un semi-groupe commutatif est un ensemble doté d’une opération totale, associative et commutative.
Si l’opération a en plus un élément d’identité , on a un Monoïde commutatif
Un groupe abélien , ou groupe commutatif, est un groupe dont l’opération de groupe est commutative. ^[17]
Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est commutative. (L’addition dans un anneau est toujours commutative.) ^[19]
Dans un corps , l’addition et la multiplication sont commutatives. ^[20]

Propriétés associées

Associativité

La propriété associative est étroitement liée à la propriété commutative. La propriété associative d’une expression contenant deux ou plusieurs occurrences du même opérateur indique que l’ordre des opérations est effectué dans n’affecte pas le résultat final, tant que l’ordre des termes ne change pas. En revanche, la propriété commutative stipule que l’ordre des termes n’affecte pas le résultat final.

La plupart des opérations commutatives rencontrées en pratique sont également associatives. Cependant, la commutativité n’implique pas l’Associativité. Un contre-exemple est la fonction

f ( x , y ) = x + y 2 , {displaystyle f(x,y)={frac {x+y}{2}},} $f(x,y)={frac {x+y}{2}},$ $f(x,y)={frac {x+y}{2}},$

qui est clairement commutatif (interchanger x et y n’affecte pas le résultat), mais qui n’est pas associatif (puisque, par exemple, f ( − 4 , f ( 0 , + 4 ) ) = − 1 {displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1} mais f ( f ( − 4 , 0 ) , + 4 ) = + 1 {displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1} ). D’autres exemples de ce type peuvent être trouvés dans les Magmas commutatifs non associatifs .

DistributifSymétrie

Graphique montrant la symétrie de la fonction d’addition

Certaines formes de symétrie peuvent être directement liées à la commutativité. Quand une opération commutative est écrite comme une fonction binaire z = f ( x , y ) , {displaystyle z=f(x,y),} alors cette fonction est appelée une fonction symétrique et son graphique dans l’espace tridimensionnel est symétrique à travers le plan y = x {displaystyle y=x} y=x . Par exemple, si la fonction f est définie comme f ( x , y ) = x + y {displaystyle f(x,y)=x+y} alors f {displaystyle f} est une fonction symétrique.

Pour les relations, une relation symétrique est analogue à une opération commutative, en ce que si une relation R est symétrique, alors a R b ⇔ b R a {displaystyle aRbLeftrightarrow bRa} .

Opérateurs non commutants en mécanique quantique

En mécanique quantique telle que formulée par Schrödinger , les variables physiques sont représentées par des Opérateurs linéaires tels que x {style d’affichage x} (ce qui signifie multiplier par x {style d’affichage x} ), et d d x {textstyle {frac {d}{dx}}} ${textstyle {frac {d}{dx}}}$ ${textstyle {frac {d}{dx}}}$ . Ces deux opérateurs ne commutent pas comme on peut le voir en considérant l’effet de leurs compositions x d d x {textstyle x{frac {d}{dx}}} ${textstyle x{frac {d}{dx}}}$ ${textstyle x{frac {d}{dx}}}$ et d d x x {textstyle {frac {d}{dx}}x} ${textstyle {frac {d}{dx}}x}$ ${textstyle {frac {d}{dx}}x}$ (également appelés produits d’opérateurs) sur une fonction d’onde unidimensionnelle ψ ( x ) {displaystyle psi (x)} psi (x) :

x ⋅ d d x ψ = x ⋅ ψ ′ ≠ ψ + x ⋅ ψ ′ = d d x ( x ⋅ ψ ) { displaystyle x cdot { mathrm {d} over mathrm {d} x} psi = x cdot psi ‘ neq psi + x cdot psi ‘ = { mathrm {d} over mathrm {d} x}left(xcdot psi right)} {displaystyle xcdot {mathrm {d} over mathrm {d} x}psi =xcdot psi ' neq psi +xcdot psi '={mathrm {d} over mathrm {d} x}left(xcdot psi right)}

Selon le principe d’incertitude de Heisenberg , si les deux opérateurs représentant une paire de variables ne commutent pas, alors cette paire de variables est mutuellement complémentaire , ce qui signifie qu’elles ne peuvent pas être simultanément mesurées ou connues avec précision. Par exemple, la position et la quantité de mouvement linéaire dans le x {style d’affichage x} -la direction d’une particule est représentée par les opérateurs x {style d’affichage x} et − i ħ ∂ ∂ x {displaystyle -ihbar {frac {partial }{partial x}}} $-ihbar {frac {partial }{partial x}}$ $-ihbar {frac {partial }{partial x}}$ , respectivement (où ħ {displaystylehbar} hbar est la constante de Planck réduite ). C’est le même exemple sauf pour la constante − i ħ {displaystyle -ihbar } -ihbar , donc encore une fois les opérateurs ne commutent pas et la signification physique est que la position et la quantité de mouvement linéaire dans une direction donnée sont complémentaires.

Voir également

Recherchez la propriété commutative dans Wiktionary, le dictionnaire gratuit.

Propriété anticommutative
Centralisateur et normalisateur (aussi appelé commutant)
Diagramme commutatif
Commutatif (neurophysiologie)
Commutateur
Loi du parallélogramme
Statistiques de particules (pour la commutativité en physique )
Preuve que les axiomes de Peano impliquent la commutativité de l’addition des nombres naturels
Propriété quasi-commutative
Trace monoïde
Probabilité de navettage

Remarques

^ ^a ^b Cabillón & Miller , commutatif et distributif
^ ^{une inondation} ^b , Raymond; Riz, Adrien ; Wilson, Robin , éd. (2011). Mathématiques en Grande-Bretagne victorienne . Presse universitaire d’Oxford . p. 4. ISBN 9780191627941.
^ Weisstein, Eric W. “Relation symétrique” . MathWorld .
^ ^un ^b Krowne, p.1
^ Weisstein, Commute , p.1
^ “Numéros compatibles pour simplifier les problèmes de pourcentage” . Récupéré le 17 juillet 2020 .
^ Yark , p. 1
^ Lumpkin 1997 , p. 11
^ Gay & Shute 1987
^ Nombres réels O’Conner & Robertson
^ O’Conner & Robertson, Servois
^ Grégory, DF (1840). “Sur la vraie nature de l’algèbre symbolique” . Transactions de la Société royale d’Édimbourg . 14 : 208–216.
^ Moore et Parker
^ Copi & Cohen 2005
^ Hurley et Watson 2016
^ Axler 1997 , p. 2
^ ^un ^b Gallian 2006 , p. 34
^ Gallian 2006 , pp. 26, 87
^ Gallien 2006 , p. 236
^ Gallien 2006 , p. 250

Références

Livres

Axler, Sheldon (1997). Algèbre linéaire bien faite, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2. Théorie de l’algèbre abstraite. Couvre la commutativité dans ce contexte. Utilise la propriété tout au long du livre.
Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction à la logique (12e éd.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
Gallian, Joseph (2006). Algèbre abstraite contemporaine (6e éd.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. Théorie de l’algèbre linéaire. Explique la commutativité au chapitre 1, l’utilise tout au long.
Goodman, Frédéric (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e éd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. Théorie de l’algèbre abstraite. Utilise la propriété de commutativité tout au long du livre.
Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). Une introduction concise à la logique (12e éd.). Cengage Apprentissage. ISBN 978-1-337-51478-1.

Des articles

En ligneLumpkin, B. (1997). “L’héritage mathématique de l’Egypte ancienne – Une réponse à Robert Palter” (PDF) (manuscrit non publié). Archivé de l’original (PDF) le 13 juillet 2007. Article décrivant la capacité mathématique des civilisations anciennes.
Gay, Robins R.; Shute, Charles CD (1987). Le papyrus mathématique Rhind: un texte égyptien ancien . Musée anglais. ISBN 0-7141-0944-4. Traduction et interprétation du papyrus mathématique Rhind .

Ressources en ligne

“Commutativité” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath ., Consulté le 8 août 2007. Définition de la commutativité et exemples d’opérations commutatives
Weisstein, Eric W. “Commute” . MathWorld ., consulté le 8 août 2007. Explication du terme trajet
“Yark” . Exemples d’opérations non commutatives chez PlanetMath ., Consulté le 8 août 2007 Exemples prouvant certaines opérations non commutatives
O’Conner, JJ; Robertson, EF “Histoire des Nombres réels” . Mac Tutor . Récupéré le 8 août 2007 . Article donnant l’historique des Nombres réels
Cabillon, Julio; Miller, Jeff. “Les premières utilisations connues des termes mathématiques” . Récupéré le 22 novembre 2008 . Page couvrant les premières utilisations des termes mathématiques
O’Conner, JJ; Robertson, EF “biographie de François Servois” . Mac Tutor . Récupéré le 8 août 2007 . Biographie de François Servois, qui a utilisé le terme pour la première fois