Opérateur différentiel

En mathématiques , un opérateur différentiel est un opérateur défini en fonction de l’ opérateur de différenciation . Il est utile, en termes de notation d’abord, de considérer la différenciation comme une opération abstraite qui accepte une fonction et renvoie une autre fonction (dans le style d’une fonction d’ordre supérieur en informatique ).

Une fonction harmonique définie sur un anneau . Les fonctions harmoniques sont exactement les fonctions qui se trouvent dans le noyau de l’ opérateur de Laplace , un opérateur différentiel important.

Cet article considère principalement les opérateurs différentiels linéaires , qui sont le type le plus courant. Cependant, des opérateurs différentiels non linéaires existent également, comme la dérivée de Schwarzian .

Définition

Apprendre encore plus Cette section a besoin d’être agrandie . Vous pouvez aider en y ajoutant . ( novembre 2014 )

Supposons qu’il existe une carte UN {displaystyle A} d’un espace fonctionnel F 1 {displaystyle {mathcal {F}}_{1}} ${mathcal {F}}_{1}$ ${mathcal {F}}_{1}$ vers un autre espace fonctionnel F 2 {displaystyle {mathcal {F}}_{2}} ${mathcal {F}}_{2}$ ${mathcal {F}}_{2}$ et une fonction F ∈ F 2 {displaystyle fin {mathcal {F}}_{2}} $fin {mathcal {F}}_{2}$ $fin {mathcal {F}}_{2}$ pour que F {displaystyle f} est l’image de tu ∈ F 1 {displaystyle uin {mathcal {F}}_{1}} $uin {mathcal {F}}_{1}$ $uin {mathcal {F}}_{1}$ c’est à dire, F = UN ( tu ) {displaystyle f=A(u)} . Un opérateur différentiel est représenté comme une combinaison linéaire, de type fini par tu {displaystyle u} et ses dérivés à plus haut degré tels que

P ( X , ré ) = ∑ | α | ≤ m a α ( x ) D α , {displaystyle P(x,D)=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }(x)D^{alpha } ,} ${displaystyle P(x,D)=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }(x)D^{alpha } ,}$ ${displaystyle P(x,D)=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }(x)D^{alpha } ,}$ où la liste α = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) {displaystyle alpha =(alpha _{1},alpha _{2},cdots ,alpha _{n})} ${displaystyle alpha =(alpha _{1},alpha _{2},cdots ,alpha _{n})}$ d’ entiers non négatifs est appelé un multi-index , | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {displaystyle |alpha |=alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}} $|alpha |=alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}$ $|alpha |=alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}$ s’appelle la longueur de α {displaystylealpha} alpha , a α ( x ) {displaystyle a_{alpha}(x)} $a_{alpha }(x)$ $a_{alpha }(x)$ sont des fonctions sur un domaine ouvert dans un espace à n dimensions, et D α = D 1 α 1 D 2 α 2 ⋯ D n α n {displaystyle D^{alpha }=D_{1}^{alpha _{1}}D_{2}^{alpha _{2}}cdots D_{n}^{alpha _{n} }} ${displaystyle D^{alpha }=D_{1}^{alpha _{1}}D_{2}^{alpha _{2}}cdots D_{n}^{alpha _{n}}}$ ${displaystyle D^{alpha }=D_{1}^{alpha _{1}}D_{2}^{alpha _{2}}cdots D_{n}^{alpha _{n}}}$ . La dérivée ci-dessus est une sous forme de fonctions ou, parfois, de distributions ou d’ hyperfonctions et D j = − i ∂ ∂ x j {textstyle D_{j}=-i{frac {partial }{partial x_{j}}}} ${textstyle D_{j}=-i{frac {partial }{partial x_{j}}}}$ ${textstyle D_{j}=-i{frac {partial }{partial x_{j}}}}$ ou parfois, D j = ∂ ∂ x j {textstyle D_{j}={frac {partial }{partial x_{j}}}} ${textstyle D_{j}={frac {partial }{partial x_{j}}}}$ ${textstyle D_{j}={frac {partial }{partial x_{j}}}}$ .

Notes

L’opérateur différentiel le plus courant est l’action de prendre la dérivée . Les notations courantes pour prendre la première dérivée par rapport à une variable x incluent :

d d x { displaystyle {d sur dx}} {displaystyle {d over dx}} , D {displaystyle D} , D x , {displaystyle D_{x},} ${displaystyle D_{x},}$ ${displaystyle D_{x},}$ et ∂ x {displaystyle partial _{x}} $partial _{x}$ $partial _{x}$ .

Lors de la prise de dérivées d’ordre n plus élevées, l’opérateur peut s’écrire :

d n d x n {displaystyle {d^{n} over dx^{n}}} ${displaystyle {d^{n} over dx^{n}}}$ ${displaystyle {d^{n} over dx^{n}}}$ , D n {displaystyle D^{n}} $D^{n}$ $D^{n}$ , D x n {displaystyle D_{x}^{n}} ${displaystyle D_{x}^{n}}$ ${displaystyle D_{x}^{n}}$ , ou alors ∂ x n {displaystyle partiel _{x}^{n}} ${displaystyle partial _{x}^{n}}$ ${displaystyle partial _{x}^{n}}$ .

La dérivée d’une fonction f d’un argument x est parfois donnée comme suit :

[ f ( x ) ] ′ {displaystyle [f(x)]’} {displaystyle [f(x)]'} f ′ ( x ) . {displaystyle f'(x).}

L’ utilisation et la création de la notation D sont attribuées à Oliver Heaviside , qui considérait les opérateurs différentiels de la forme

∑ k = 0 n c k D k {displaystyle sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}} $sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$ $sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

dans son étude des équations différentielles .

L’un des opérateurs différentiels les plus fréquemment rencontrés est l’ opérateur Laplacien , défini par

Δ = ∇ 2 = ∑ k = 1 n ∂ 2 ∂ x k 2 . {displaystyle Delta =nabla ^{2}=sum _{k=1}^{n}{frac {partial ^{2}}{partial x_{k}^{2}}}. } ${displaystyle Delta =nabla ^{2}=sum _{k=1}^{n}{frac {partial ^{2}}{partial x_{k}^{2}}}.}$ ${displaystyle Delta =nabla ^{2}=sum _{k=1}^{n}{frac {partial ^{2}}{partial x_{k}^{2}}}.}$

Un autre opérateur différentiel est l’opérateur Θ, ou opérateur thêta , défini par ^[1]

Θ = z d d z . {displaystyle Theta =z{d over dz}.}

Ceci est parfois aussi appelé l’ opérateur d’homogénéité , car ses Fonctions propres sont les monômes en z :

Θ ( z k ) = k z k , k = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle Theta (z^{k})=kz^{k},quad k=0,1,2,dots } ${displaystyle Theta (z^{k})=kz^{k},quad k=0,1,2,dots }$ ${displaystyle Theta (z^{k})=kz^{k},quad k=0,1,2,dots }$

En n variables, l’opérateur d’homogénéité est donné par

Θ = ∑ k = 1 n x k ∂ ∂ x k . {displaystyle Theta =sum _{k=1}^{n}x_{k}{frac {partial }{partial x_{k}}}.} ${displaystyle Theta =sum _{k=1}^{n}x_{k}{frac {partial }{partial x_{k}}}.}$ ${displaystyle Theta =sum _{k=1}^{n}x_{k}{frac {partial }{partial x_{k}}}.}$

Comme dans une variable, les espaces propres de Θ sont les espaces de polynômes homogènes .

En écriture, suivant la convention mathématique courante, l’argument d’un opérateur différentiel est généralement placé à droite de l’opérateur lui-même. Parfois, une notation alternative est utilisée : le résultat de l’application de l’opérateur à la fonction du côté gauche de l’opérateur et du côté droit de l’opérateur, et la différence obtenue lors de l’application de l’opérateur différentiel aux fonctions des deux côtés, sont notés par des flèches comme suit :

f ∂ x ← g = g ⋅ ∂ x f {displaystyle f{overleftarrow {partial _{x}}}g=gcdot partial _{x}f} $f{overleftarrow {partial _{x}}}g=gcdot partial _{x}f$ $f{overleftarrow {partial _{x}}}g=gcdot partial _{x}f$ f ∂ x → g = f ⋅ ∂ x g {displaystyle f{overrightarrow {partial _{x}}}g=fcdot partial _{x}g} $f{overrightarrow {partial _{x}}}g=fcdot partial _{x}g$ $f{overrightarrow {partial _{x}}}g=fcdot partial _{x}g$ f ∂ x ↔ g = f ⋅ ∂ x g − g ⋅ ∂ x f . {displaystyle f{overleftrightarrow {partial _{x}}}g=fcdot partial _{x}ggcdot partial _{x}f.} $f{overleftrightarrow {partial _{x}}}g=fcdot partial _{x}g-gcdot partial _{x}f.$ $f{overleftrightarrow {partial _{x}}}g=fcdot partial _{x}g-gcdot partial _{x}f.$

Une telle notation à flèche bidirectionnelle est fréquemment utilisée pour décrire le courant de probabilité de la mécanique quantique.

Suppr

L’opérateur différentiel del, également appelé nabla , est un important opérateur différentiel vectoriel . Il apparaît fréquemment en physique dans des endroits comme la forme différentielle des équations de Maxwell . En Coordonnées cartésiennes tridimensionnelles , del est défini comme

∇ = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z . {displaystyle nabla =mathbf {hat {x}} {partial over partial x}+mathbf {hat {y}} {partial over partial y}+mathbf {hat { z}} { partiel sur partiel z}.}

Del définit le gradient et est utilisé pour calculer le curl , la divergence et le Laplacien de divers objets.

Adjoint d’un opérateur

Étant donné un opérateur différentiel linéaire T {displaystyle T}

T u = ∑ k = 0 n a k ( x ) D k u {displaystyle Tu=sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u} ${displaystyle Tu=sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$ ${displaystyle Tu=sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$ l’ adjoint de cet opérateur est défini comme l’opérateur T ∗ {displaystyle T^{*}} $T^{*}$ $T^{*}$ tel que ⟨ T u , v ⟩ = ⟨ u , T ∗ v ⟩ {displaystyle langle Tu,vrangle =langle u,T^{*}vrangle } ${displaystyle langle Tu,vrangle =langle u,T^{*}vrangle }$ ${displaystyle langle Tu,vrangle =langle u,T^{*}vrangle }$ où la notation ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {displaystyle langle cdot ,cdot rangle } est utilisé pour le Produit scalaire ou le produit interne . Cette définition dépend donc de la définition du Produit scalaire.

Adjoint formel à une variable

Dans l’espace fonctionnel des fonctions de carré intégrable sur un intervalle réel ( a , b ) , le Produit scalaire est défini par

⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( x ) ̄ g ( x ) d x , {displaystyle langle f,grangle =int _{a}^{b}{overline {f(x)}},g(x),dx,} ${displaystyle langle f,grangle =int _{a}^{b}{overline {f(x)}},g(x),dx,}$ ${displaystyle langle f,grangle =int _{a}^{b}{overline {f(x)}},g(x),dx,}$

où la ligne sur f ( x ) désigne le conjugué complexe de f ( x ). Si l’on ajoute de plus la condition que f ou g s’annule comme x → a {displaystyle xto a} xto a et x → b {displaystyle xto b} xto b , on peut aussi définir l’adjoint de T par

T ∗ u = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k D k [ a k ( x ) ̄ u ] . {displaystyle T^{*}u=sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}left[{overline {a_{k}(x)} }Tu as raison].} ${displaystyle T^{*}u=sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}left[{overline {a_{k}(x)}}uright].}$ ${displaystyle T^{*}u=sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}left[{overline {a_{k}(x)}}uright].}$

Cette formule ne dépend pas explicitement de la définition du Produit scalaire. Il est donc parfois choisi comme définition de l’opérateur adjoint. Lorsque T ∗ {displaystyle T^{*}} $T^{*}$ $T^{*}$ est défini selon cette formule, il est appelé l’ adjoint formel de T .

Un opérateur (formellement) auto-adjoint est un opérateur égal à son propre adjoint (formel).

Plusieurs variables

Si Ω est un domaine dans R ⁿ , et P un opérateur différentiel sur Ω, alors l’adjoint de P est défini dans L ² (Ω) par dualité de la manière analogue :

⟨ f , P ∗ g ⟩ L 2 ( Ω ) = ⟨ P f , g ⟩ L 2 ( Ω ) {displaystyle langle f,P^{*}grangle _{L^{2}(Omega )}=langle Pf,grangle _{L^{2}(Omega )}} $langle f,P^{*}grangle _{L^{2}(Omega )}=langle Pf,grangle _{L^{2}(Omega )}$ $langle f,P^{*}grangle _{L^{2}(Omega )}=langle Pf,grangle _{L^{2}(Omega )}$

pour toutes les fonctions L ² lisses f , g . Comme les fonctions lisses sont denses dans L ² , cela définit l’ adjoint sur un sous – ensemble dense de L ² : P ^* est un opérateur densément défini .

Exemple

L’ opérateur de Sturm–Liouville est un exemple bien connu d’opérateur formel auto-adjoint. Cet opérateur différentiel linéaire du second ordre L peut être écrit sous la forme

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L u = − ( p u ′ ) ′ + q u = − ( p u ′′ + p ′ u ′ ) + q u = − p u ′′ − p ′ u ′ + q u = ( − p ) D 2 u + ( − p ′ ) D u + ( q ) u . {displaystyle Lu=-(pu’)’+qu=-(pu”+p’u’)+qu=-pu”-p’u’+qu=(-p)D^{2}u+ (-p’)Du+(q)u.} ${displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$ ${displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

Cette propriété peut être prouvée en utilisant la définition adjointe formelle ci-dessus.

L ∗ u = ( − 1 ) 2 D 2 [ ( − p ) u ] + ( − 1 ) 1 D [ ( − p ′ ) u ] + ( − 1 ) 0 ( q u ) = − D 2 ( p u ) + D ( p ′ u ) + q u = − ( p u ) ′′ + ( p ′ u ) ′ + q u = − p ′′ u − 2 p ′ u ′ − p u ′′ + p ′′ u + p ′ u ′ + q u = − p ′ u ′ − p u ′′ + q u = − ( p u ′ ) ′ + q u = L u {displaystyle {begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[( -p’)u]+(-1)^{0}(qu)\&{}=-D^{2}(pu)+D(p’u)+qu\&{}=-( pu)”+(p’u)’+qu\&{}=-p”u-2p’u’-pu”+p”u+p’u’+qu\&{} =-p’u’-pu”+qu\&{}=-(pu’)’+qu\&{}=Luend{aligné}}} ${begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\&{}=-p'u'-pu''+qu\&{}=-(pu')'+qu\&{}=Luend{aligned}}$ ${begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\&{}=-p'u'-pu''+qu\&{}=-(pu')'+qu\&{}=Luend{aligned}}$

Cet opérateur est au cœur de la théorie de Sturm – Liouville où les Fonctions propres (analogues aux Vecteurs propres ) de cet opérateur sont considérées.

Propriétés des opérateurs différentiels

La différenciation est linéaire , c’est – à – dire

D ( f + g ) = ( D f ) + ( D g ) , {displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),} D ( a f ) = a ( D f ) , {displaystyle D(af)=a(Df),}

où f et g sont des fonctions, et a est une constante.

Tout polynôme en D à coefficients de fonction est aussi un opérateur différentiel. On peut aussi composer des opérateurs différentiels par la règle

( D 1 ∘ D 2 ) ( f ) = D 1 ( D 2 ( f ) ) . {displaystyle (D_{1}circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).} ${displaystyle (D_{1}circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$ ${displaystyle (D_{1}circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

Quelques précautions s’imposent alors : tout d’abord les coefficients de fonction de l’opérateur D ₂ doivent être différentiables autant de fois que l’application de D ₁ l’exige. Pour obtenir un anneau de tels opérateurs, nous devons supposer des dérivées de tous les ordres des coefficients utilisés. Deuxièmement, cet anneau ne sera pas commutatif : un opérateur gD n’est en général pas le même que Dg . Par exemple nous avons la relation basique en mécanique quantique :

D x − x D = 1. {displaystyle Dx-xD=1.}

Le sous-anneau des opérateurs qui sont des polynômes dans D à Coefficients constants est, au contraire, commutatif. Il peut être caractérisé d’une autre manière : il est constitué des opérateurs invariants par translation.

Les opérateurs différentiels obéissent également au théorème de décalage .

Plusieurs variables

Les mêmes constructions peuvent être réalisées avec des dérivées partielles , la différenciation par rapport à différentes variables donnant lieu à des opérateurs qui commutent (voir symétrie des dérivées secondes ).

Anneau d’opérateurs différentiels polynomiaux

Anneau d’opérateurs différentiels polynomiaux univariés

Si R est un anneau, soit R ⟨ D , X ⟩ {displaystyle Rlangle D,Xrangle } soit l’ Anneau polynomial non commutatif sur R dans les variables D et X , et I l’ idéal bilatéral engendré par DX − XD − 1. Alors l’anneau des opérateurs différentiels polynomiaux univariés sur R est l’ anneau quotient R ⟨ D , X ⟩ / I {displaystyle Rangle D,Xrangle /I} Rlangle D,Xrangle /I . C’est un anneau simple non commutatif . Chaque élément peut être écrit de manière unique comme une combinaison R -linéaire de monômes de la forme X a D b mod I {displaystyle X^{a}D^{b}{text{ mod }}I} ${displaystyle X^{a}D^{b}{text{ mod }}I}$ ${displaystyle X^{a}D^{b}{text{ mod }}I}$ . Il prend en charge un analogue de la division euclidienne des polynômes .

Modules différentiels ^{[ clarification nécessaire ]} sur R [ X ] {displaystyle R[X]} R[X] (pour la dérivation standard) peut être identifié avec des modules sur R ⟨ D , X ⟩ / I {displaystyle Rangle D,Xrangle /I} Rlangle D,Xrangle /I .

Anneau d’opérateurs différentiels polynomiaux multivariés

Si R est un anneau, soit R ⟨ D 1 , … , D n , X 1 , … , X n ⟩ {displaystyle Rlangle D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}rangle } $Rlangle D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}rangle$ $Rlangle D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}rangle$ soit l’Anneau polynomial non commutatif sur R dans les variables D 1 , … , D n , X 1 , … , X n {displaystyle D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}} $D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}$ $D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}$ , et I l’idéal bilatéral engendré par les éléments

( D i X j − X j D i ) − δ i , j , D i D j − D j D i , X i X j − X j X i {displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-delta _{i,j}, D_{i}D_{j}-D_{j}D_{ je}, X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}} ${displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-delta _{i,j}, D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i}, X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$ ${displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-delta _{i,j}, D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i}, X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

pour tous 1 ≤ i , j ≤ n , {displaystyle 1leq je,jleq n,} {displaystyle 1leq i,jleq n,} où δ {displaystyledelta} delta est le delta de Kronecker . Alors l’anneau des opérateurs différentiels polynomiaux multivariés sur R est l’anneau quotient R ⟨ D 1 , … , D n , X 1 , … , X n ⟩ / I {displaystyle Rlangle D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}rangle /I} $Rlangle D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}rangle /I$ $Rlangle D_{1},ldots ,D_{n},X_{1},ldots ,X_{n}rangle /I$ .

C’est un anneau simple non commutatif . Chaque élément peut être écrit de manière unique comme une combinaison R -linéaire de monômes de la forme X 1 a 1 … X n a n D 1 b 1 … D n b n {displaystyle X_{1}^{a_{1}}ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}ldots D_{n}^{b_{n} }} ${displaystyle X_{1}^{a_{1}}ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}ldots D_{n}^{b_{n}}}$ ${displaystyle X_{1}^{a_{1}}ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}ldots D_{n}^{b_{n}}}$ .

Description indépendante des coordonnées

En géométrie différentielle et en géométrie algébrique, il est souvent pratique d’avoir une description indépendante des coordonnées des opérateurs différentiels entre deux faisceaux vectoriels . Soient E et F deux fibrés vectoriels sur une variété différentiable M . Une application R -linéaire des sections P : Γ( E ) → Γ( F ) est dite un opérateur différentiel linéaire d’ordre k s’il se factorise par le faisceau de jets J ^k ( E). En d’autres termes, il existe une application linéaire de faisceaux vectoriels

i P : J k ( E ) → F {displaystyle i_{P} :J^{k}(E)à F} ${displaystyle i_{P}:J^{k}(E)to F}$ ${displaystyle i_{P}:J^{k}(E)to F}$

tel que

P = je P ∘ j k {displaystyle P=i_{P}circ j^{k}} $P=i_{P}circ j^{k}$ $P=i_{P}circ j^{k}$

où j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E )) est le prolongement qui associe à toute section de E son k -jet .

Cela signifie simplement que pour une section donnée s de E , la valeur de P ( s ) en un point x ∈ M est entièrement déterminée par le comportement infinitésimal d’ordre k de s dans x . En particulier cela implique que P ( s )( x ) est déterminé par le germe de s dans x , ce qui s’exprime en disant que les opérateurs différentiels sont locaux. Un résultat fondamental est le théorème de Peetremontrant que l’inverse est également vrai : tout opérateur local (linéaire) est différentiel.

Relation avec l’algèbre commutative

Une description équivalente, mais purement algébrique, des opérateurs différentiels linéaires est la suivante : une application R -linéaire P est un opérateur différentiel linéaire d’ordre k , si pour toute k + 1 fonctions lisses F 0 , … , F k ∈ C ∞ ( M ) {displaystyle f_{0},ldots ,f_{k}in C^{infty}(M)} $f_{0},ldots ,f_{k}in C^{infty }(M)$ $f_{0},ldots ,f_{k}in C^{infty }(M)$ on a

[ F k , [ F k − 1 , [ ⋯ [ F 0 , P ] ⋯ ] ] = 0. {displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[cdots [f_{0},P]cdots ]]=0.} $[f_{k},[f_{k-1},[cdots [f_{0},P]cdots ]]=0.$ $[f_{k},[f_{k-1},[cdots [f_{0},P]cdots ]]=0.$

Ici le support [ f , P ] : Γ ( E ) → Γ ( F ) {displaystyle [f,P] :Gamma (E)à Gamma (F)} {displaystyle [f,P]:Gamma (E)to Gamma (F)} est défini comme le commutateur

[ f , P ] ( s ) = P ( f ⋅ s ) − f ⋅ P ( s ) . {displaystyle [f,P](s)=P(fcdot s)-fcdot P(s).}

Cette caractérisation des opérateurs différentiels linéaires montre qu’il s’agit d’applications particulières entre modules sur une algèbre commutative , ce qui permet de voir le concept comme faisant partie de l’algèbre commutative .

Exemples

Dans les applications aux sciences physiques, les opérateurs tels que l’ opérateur de Laplace jouent un rôle majeur dans l’établissement et la résolution des équations aux dérivées partielles .
En topologie différentielle , les opérateurs de dérivée extérieure et de dérivée de Lie ont une signification intrinsèque.
En algèbre abstraite , le concept de dérivation permet des généralisations d’opérateurs différentiels, qui ne nécessitent pas l’utilisation du calcul. De telles généralisations sont fréquemment employées en géométrie algébrique et en algèbre commutative . Voir aussi Jet (mathématiques) .
Dans le développement de fonctions holomorphes d’une Variable complexe z = x + i y , parfois une fonction complexe est considérée comme une fonction de deux variables réelles x et y . On utilise les dérivées de Wirtinger , qui sont des opérateurs aux dérivées partielles : ∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂ x − i ∂ ∂ y ) , ∂ ∂ z ̄ = 1 2 ( ∂ ∂ x + i ∂ ∂ y ) . {displaystyle {frac {partial }{partial z}}={frac {1}{2}}left({frac {partial }{partial x}}-i{frac { partial }{partial y}}right) ,quad {frac {partial }{partial {bar {z}}}}={frac {1}{2}}left({ frac {partial }{partial x}}+i{frac {partial }{partial y}}right) .} ${displaystyle {frac {partial }{partial z}}={frac {1}{2}}left({frac {partial }{partial x}}-i{frac {partial }{partial y}}right) ,quad {frac {partial }{partial {bar {z}}}}={frac {1}{2}}left({frac {partial }{partial x}}+i{frac {partial }{partial y}}right) .}$ ${displaystyle {frac {partial }{partial z}}={frac {1}{2}}left({frac {partial }{partial x}}-i{frac {partial }{partial y}}right) ,quad {frac {partial }{partial {bar {z}}}}={frac {1}{2}}left({frac {partial }{partial x}}+i{frac {partial }{partial y}}right) .}$ Cette approche est également utilisée pour étudier les fonctions de Plusieurs variables complexes et les fonctions d’une variable motrice .

Histoire

L’étape conceptuelle d’écriture d’un opérateur différentiel comme quelque chose d’autonome est attribuée à Louis François Antoine Arbogast en 1800. ^[2]

Voir également

Opérateur de différence
Opérateur delta
Opérateur elliptique
Curl (mathématiques)
Calcul fractionnaire
Opérateur différentiel invariant
Calcul différentiel sur les algèbres commutatives
Système lagrangien
Théorie spectrale
Opérateur énergie
Opérateur Momentum
Opérateur DBAR

Références

^ EW Weisstein. “Opérateur thêta” . Récupéré le 12/06/2009 .
^ James Gasser (éditeur), A Boole Anthology: études récentes et classiques dans la logique de George Boole (2000), p. 169 ; Google Livres .

Liens externes

Médias liés aux opérateurs différentiels sur Wikimedia Commons
“Opérateur différentiel” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]