Méthode du domaine fréquentiel aux différences finies

La méthode du domaine fréquentiel à différence finie (FDFD) est une méthode de réSolution numérique de problèmes généralement en électromagnétisme et parfois en acoustique , basée sur des approximations aux différences finies des opérateurs dérivés dans l’ équation différentielle en cours de résolution.

Alors que “FDFD” est un terme générique décrivant toutes les méthodes de différences finies dans le domaine fréquentiel, le titre semble décrire principalement la méthode appliquée aux problèmes de diffusion. La méthode partage de nombreuses similitudes avec la méthode du Domaine temporel à différence finie (FDTD), de sorte qu’une grande partie de la littérature sur FDTD peut être directement appliquée. La méthode fonctionne en transformant les équations de Maxwell (ou une autre équation aux dérivées partielles) pour les sources et les champs à une fréquence constante sous forme de matrice UN X = b {displaystyle Axe=b} . La matrice A est dérivée de l’opérateur d’équation d’onde, le vecteur colonne x contient les composantes du champ et le vecteur colonne b décrit la source. La méthode est capable d’incorporer des matériaux anisotropes, mais les composants hors diagonale du tenseur nécessitent un traitement spécial.

Strictement parlant, il existe au moins deux catégories de problèmes du “domaine fréquentiel” en électromagnétisme. ^[1] L’une consiste à trouver la réponse à une densité de courant J de fréquence constante ω, c’est-à-dire de la forme J ( X ) e je ω t {displaystyle mathbf {J} (mathbf {x} )e^{iomega t}} , ou une source harmonique similaire. Ce problème de réponse dans le domaine fréquentiel conduit à un UN X = b {displaystyle Axe=b} système d’équations linéaires tel que décrit ci-dessus. Une première description d’une méthode FDTD de réponse dans le domaine fréquentiel pour résoudre les problèmes de diffusion a été publiée par Christ et Hartnagel (1987). ^[2] Une autre consiste à trouver les modes normaux d’une structure (par exemple un guide d’onde) en l’absence de sources : dans ce cas la fréquence ω est elle-même une variable, et on obtient un Problème propre UN X = λ X {displaystyle Ax=lambda x} (habituellement, la valeur propre λ est ω ² ). Une première description d’une méthode FDTD pour résoudre les problèmes propres électromagnétiques a été publiée par Albani et Bernardi (1974). ^[3]

Mise en oeuvre de la méthode

1. Utilisez une grille de Yee car elle offre les avantages suivants : (1) elle satisfait implicitement les conditions de divergence nulle pour éviter les solutions parasites, (2) elle gère naturellement les conditions aux limites physiques et (3) elle fournit une manière très élégante et compacte d’approximer les équations de curl aux différences finies.
2. Une grande partie de la littérature sur les méthodes de Domaine temporel à différence finie (FDTD) s’applique à FDFD, en particulier des sujets sur la façon de représenter les matériaux et les dispositifs sur une grille Yee.

Comparaison avec FDTD et FEM

La méthode FDFD est très similaire à la méthode FEM, bien qu’il existe quelques différences majeures. Contrairement à la méthode FDTD, il n’y a pas de pas de temps qui doivent être calculés séquentiellement, ce qui facilite la mise en œuvre de FDFD. Cela pourrait également conduire à imaginer que FDFD est moins coûteux en termes de calcul ; Toutefois, ce n’est pas necessairement le cas. La méthode FDFD nécessite la résolution d’un système linéaire creux, qui, même pour des problèmes simples, peut être de 20 000 par 20 000 éléments ou plus, avec plus d’un million d’inconnues. À cet égard, la méthode FDFD est similaire à la méthode des éléments finis, qui est une méthode intégrale finie et est également généralement mise en œuvre dans le domaine fréquentiel. Il existe des solveurs numériques efficaces permettant d’éviter l’inversion de matrice, un processus extrêmement coûteux en termes de calcul. En outre,

FDFD, et FDTD d’ailleurs, ne se prêtent pas bien aux géométries complexes ou aux structures multi-échelles, car la grille de Yee est principalement limitée aux structures rectangulaires. Ceci peut être contourné soit en utilisant un maillage très fin (ce qui augmente le coût de calcul), soit en approximant les effets avec des conditions aux limites de surface. Un maillage non uniforme peut conduire à des charges parasites à la frontière de l’interface, car les conditions de divergence nulle ne sont pas maintenues lorsque la grille n’est pas uniforme le long d’une frontière d’interface. La continuité des champs E et H peut être maintenue pour contourner ce problème en appliquant une faible continuité à travers l’interface à l’aide de fonctions de base, comme cela se fait dans FEM. Les conditions aux limites de la couche parfaitement adaptée (PML) peuvent également être utilisées pour tronquer la grille et éviter le maillage de l’espace vide.

Circuit équivalent d’élément de susceptance

Les équations FDFD peuvent être réarrangées de manière à décrire un circuit équivalent du second ordre, où les tensions nodales représentent les composantes de champ E et les courants de branche représentent les composantes de champ H. Cette représentation de circuit équivalente peut être extrêmement utile, car les techniques de la théorie des circuits peuvent être utilisées pour analyser ou simplifier le problème et peuvent être utilisées comme un outil de type épice pour la simulation électromagnétique tridimensionnelle. Ce modèle de circuit équivalent d’élément de susceptance (SEEC) présente les avantages d’un nombre réduit d’inconnues, n’ayant à résoudre que les composants de champ E, et des techniques de réduction d’ordre de modèle de second ordre peuvent être utilisées.

Applications

La méthode FDFD a été utilisée pour fournir une simulation d’onde complète pour la modélisation des interconnexions pour diverses applications dans les emballages électroniques. FDFD a également été utilisé pour divers problèmes de diffusion à des fréquences optiques.

Voir également

• Méthode du domaine temporel des différences finies
• Méthode des éléments finis

Références

1. ^ JD Joannopoulos; SG Johnson ; JN Winn; RD Meade (2008). Université de Princeton. Presse (éd.). Cristaux photoniques : mouler le flux de lumière, 2e édition . pages 688–696.
2. ^ Andreas Christ; Hans L. Hartnagel (1987). “Méthode de différence finie tridimensionnelle pour l’analyse de l’intégration de dispositifs à micro-ondes”. Transactions IEEE sur la théorie et les techniques des micro-ondes . 35 (8): 688–696. Bibcode : 1987ITMTT..35..688C . doi : 10.1109/TMTT.1987.1133733 .
3. ^ M. Albani; P. Bernardi (1974). “Une méthode numérique basée sur la discrétisation des équations de Maxwell sous forme intégrale”. Transactions IEEE sur la théorie et les techniques des micro-ondes . 22 (4): 446–450. Bibcode : 1974ITMTT..22..446A . doi : 10.1109/TMTT.1974.1128246 .