Isomorphisme

En mathématiques , un isomorphisme est une application préservant la structure entre deux structures de même type qui peut être inversée par une application inverse . Deux structures mathématiques sont isomorphes si un isomorphisme existe entre elles. Le mot isomorphisme est dérivé du grec ancien : ἴσος isos “égal”, et μορφή morphe “forme” ou “forme”.

Cinquième racine de l'unité Rotations d'un pentagone Le groupe des racines cinquièmes de l’unité sous multiplication est isomorphe au groupe des rotations du pentagone régulier sous composition.

L’intérêt des isomorphismes réside dans le fait que deux objets isomorphes ont les mêmes propriétés (à l’exclusion d’autres informations telles que structure supplémentaire ou noms d’objets). Ainsi, les structures isomorphes ne peuvent pas être distinguées du seul point de vue de la structure et peuvent être identifiées. Dans le jargon mathématique, on dit que deux objets sont identiques à un isomorphisme près . ^{[ citation nécessaire ]}

Un automorphisme est un isomorphisme d’une structure à elle-même. Un isomorphisme entre deux structures est un isomorphisme canonique (une application canonique qui est un isomorphisme) s’il n’y a qu’un seul isomorphisme entre les deux structures (comme c’est le cas pour les solutions d’une propriété universelle ), ou si l’isomorphisme est beaucoup plus naturel (dans un certain sens) que les autres isomorphismes. Par exemple, pour tout nombre premier p , tous les champs avec p éléments sont canoniquement isomorphes, avec un isomorphisme unique. Les théorèmes d’isomorphisme fournissent des isomorphismes canoniques qui ne sont pas uniques.

Le terme isomorphisme est principalement utilisé pour les structures algébriques . Dans ce cas, les applications sont appelées homomorphismes , et un homomorphisme est un isomorphisme si et seulement s’il est Bijectif .

Dans divers domaines des mathématiques, les isomorphismes ont reçu des noms spécialisés, selon le type de structure considéré. Par example:

Une isométrie est un isomorphisme d’ espaces métriques .
Un homéomorphisme est un isomorphisme d’ espaces topologiques .
Un difféomorphisme est un isomorphisme d’espaces munis d’une structure différentielle , typiquement des variétés différentiables .
Une permutation est un automorphisme d’un ensemble .
En géométrie , les isomorphismes et les automorphismes sont souvent appelés transformations , par exemple transformations rigides , transformations affines , transformations projectives .

La théorie des catégories , qui peut être considérée comme une formalisation du concept de correspondance entre structures, fournit un langage qui peut être utilisé pour unifier l’approche de ces différents aspects de l’idée de base.

Exemples

Logarithme et exponentielle

Laisser R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} $mathbb{R} ^{+}$ $mathbb{R} ^{+}$ Soit le groupe multiplicatif des nombres réels positifs , et soit R {displaystyle mathbb {R} } Soit le groupe additif des nombres réels.

La Fonction logarithme log : R + → R {displaystyle log :mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} } ${displaystyle log :mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} }$ satisfait log ⁡ ( x y ) = log ⁡ x + log ⁡ y {displaystyle log(xy)=log x+log y} pour tous x , y ∈ R + , {displaystyle x,yin mathbb {R} ^{+},} ${displaystyle x,yin mathbb {R} ^{+},}$ ${displaystyle x,yin mathbb {R} ^{+},}$ c’est donc un homomorphisme de groupe . La fonction exponentielle exp : R → R + {displaystyle exp :mathbb {R} to mathbb {R} ^{+}} ${displaystyle exp :mathbb {R} to mathbb {R} ^{+}}$ ${displaystyle exp :mathbb {R} to mathbb {R} ^{+}}$ satisfait exp ⁡ ( x + y ) = ( exp ⁡ x ) ( exp ⁡ y ) {displaystyle exp(x+y)=(exp x)(exp y)} pour tous x , y ∈ R , {displaystyle x,yin mathbb {R} ,} donc c’est aussi un homomorphisme.

Les identités log ⁡ exp ⁡ x = x {displaystyle log exp x=x} et exp ⁡ log ⁡ y = y {displaystyle exp log y=y} montre CA log {style d’affichage journal} log et exp {style d’affichage exp} exp sont inverses l’un de l’autre. Depuis log {style d’affichage journal} log est un homomorphisme qui a un inverse qui est aussi un homomorphisme, log {style d’affichage journal} log est un isomorphisme de groupes.

Le log {style d’affichage journal} log fonction est un isomorphisme qui traduit la multiplication de nombres réels positifs en addition de nombres réels. Cette facilité permet de multiplier des nombres réels à l’aide d’une règle et d’un tableau de logarithmes , ou à l’aide d’une règle à calcul avec une échelle logarithmique.

Entiers modulo 6

Considérez le groupe ( Z 6 , + ) , {displaystyle (mathbb {Z} _{6},+),} ${displaystyle (mathbb {Z} _{6},+),}$ ${displaystyle (mathbb {Z} _{6},+),}$ les entiers de 0 à 5 avec addition modulo 6. Considérons également le groupe ( Z 2 × Z 3 , + ) , {displaystyle left(mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{3},+right),} ${displaystyle left(mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{3},+right),}$ ${displaystyle left(mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{3},+right),}$ les paires ordonnées où les coordonnées x peuvent être 0 ou 1, et les coordonnées y peuvent être 0, 1 ou 2, où l’addition dans la coordonnée x est modulo 2 et l’addition dans la coordonnée y est modulo 3.

Ces structures sont isomorphes par addition, selon le schéma suivant :

( 0 , 0 ) ↦ 0 ( 1 , 1 ) ↦ 1 ( 0 , 2 ) ↦ 2 ( 1 , 0 ) ↦ 3 ( 0 , 1 ) ↦ 4 ( 1 , 2 ) ↦ 5 {displaystyle {begin{alignedat}{4}(0,0)&mapsto 0\(1,1)&mapsto 1\(0,2)&mapsto 2\(1,0) &mapsto 3\(0,1)&mapsto 4\(1,2)&mapsto 5\end{alignedat}}} ${displaystyle {begin{alignedat}{4}(0,0)&mapsto 0\(1,1)&mapsto 1\(0,2)&mapsto 2\(1,0)&mapsto 3\(0,1)&mapsto 4\(1,2)&mapsto 5\end{alignedat}}}$ ${displaystyle {begin{alignedat}{4}(0,0)&mapsto 0\(1,1)&mapsto 1\(0,2)&mapsto 2\(1,0)&mapsto 3\(0,1)&mapsto 4\(1,2)&mapsto 5\end{alignedat}}}$ ou en général ( a , b ) ↦ ( 3 a + 4 b ) mod 6. {displaystyle (a,b)mapsto (3a+4b)mod 6.}

Par example, ( 1 , 1 ) + ( 1 , 0 ) = ( 0 , 1 ) , {displaystyle (1,1)+(1,0)=(0,1),} qui se traduit dans l’autre système par 1 + 3 = 4. {displaystyle 1+3=4.}

Même si ces deux groupes “semblent” différents en ce sens que les ensembles contiennent des éléments différents, ils sont en effet isomorphes : leurs structures sont exactement les mêmes. Plus généralement, le produit direct de deux groupes cycliques Z m {displaystyle mathbb {Z} _{m}} ${displaystyle mathbb {Z} _{m}}$ ${displaystyle mathbb {Z} _{m}}$ et Z n {displaystyle mathbb {Z} _{n}} ${displaystyle mathbb {Z} _{n}}$ ${displaystyle mathbb {Z} _{n}}$ est isomorphe à ( Z m n , + ) {displaystyle (mathbb {Z} _{mn},+)} ${displaystyle (mathbb {Z} _{mn},+)}$ ${displaystyle (mathbb {Z} _{mn},+)}$ si et seulement si m et n sont premiers entre eux , selon le théorème des restes chinois .

Isomorphisme préservant la relation

Si un objet est constitué d’un ensemble X avec une relation binaire R et l’autre objet est constitué d’un ensemble Y avec une relation binaire S alors un isomorphisme de X à Y est une fonction bijective f : X → Y {displaystyle f:Xà Y} f:Xto Y tel que : ^[1]

S ⁡ ( f ( u ) , f ( v ) ) if and only if R ⁡ ( u , v ) {displaystyle operatorname {S} (f(u),f(v))quad {text{si et seulement si}}quad operatorname {R} (u,v)}

S est réflexif , irréflexif , symétrique , antisymétrique , asymétrique , transitif , total , trichotomique , un ordre partiel , un ordre total , un bon ordre , un Ordre faible strict , un préordre total (ordre faible), une relation d’équivalence ou une relation avec tout autre propriétés spéciales, si et seulement si R est.

Par exemple, R est un ordre ≤ et S un ordre ⊑ , {displaystyle scriptstyle sqsubseteq ,} alors un isomorphisme de X vers Y est une fonction bijective f : X → Y {displaystyle f:Xà Y} f:Xto Y tel que

f ( u ) ⊑ f ( v ) if and only if u ≤ v . {displaystyle f(u)sqsubseteq f(v)quad {text{si et seulement si}}quad uleq v.} Un tel isomorphisme est appelé un isomorphisme d’ordre ou (moins communément) un isomorphisme d’isotone .

Si X = Y , {displaystyle X=Y,} alors c’est un automorphisme préservant la relation .

Applications

En algèbre , les isomorphismes sont définis pour toutes les structures algébriques . Certains sont plus spécifiquement étudiés ; par exemple:

Isomorphismes linéaires entre espaces vectoriels ; elles sont spécifiées par des Matrices inversibles .
Isomorphismes de groupes entre groupes ; la classification des classes d’ isomorphismes des groupes finis est un problème ouvert.
Isomorphisme d’ anneaux entre anneaux .
Les isomorphismes de champ sont les mêmes que l’isomorphisme d’anneau entre les champs ; leur étude, et plus précisément l’étude des automorphismes de champ est une partie importante de la théorie de Galois .

De même que les automorphismes d’une structure algébrique forment un groupe , les isomorphismes entre deux algèbres partageant une structure commune forment un tas . Laisser un isomorphisme particulier identifier les deux structures transforme ce tas en un groupe.

En analyse mathématique , la transformée de Laplace est un isomorphisme mappant des Équations différentielles dures en équations algébriques plus faciles .

En théorie des graphes , un isomorphisme entre deux graphes G et H est une application bijective f des sommets de G aux sommets de H qui préserve la “structure des arêtes” dans le sens où il existe une arête du sommet u au sommet v dans G si et seulement s’il y a une arête de f ( u ) {displaystyle f(u)} f(u) pour f ( v ) {displaystyle f(v)} f(v) en H. _ Voir isomorphisme de graphe .

En analyse mathématique, un isomorphisme entre deux espaces de Hilbert est une bijection préservant l’addition, la multiplication scalaire et le produit interne.

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Dans les premières théories de l’atomisme logique , la relation formelle entre les faits et les propositions vraies a été théorisée par Bertrand Russell et Ludwig Wittgenstein comme étant isomorphe. Un exemple de cette ligne de pensée peut être trouvé dans l’ introduction à la philosophie mathématique de Russell .

En cybernétique , le bon régulateur ou théorème de Conant-Ashby est énoncé “Chaque bon régulateur d’un système doit être un modèle de ce système”. Qu’ils soient régulés ou autorégulés, un isomorphisme est nécessaire entre le régulateur et les parties de traitement du système.

Vue théorique des catégories

En théorie des catégories , étant donné une catégorie C , un isomorphisme est un morphisme f : a → b {displaystyle f:aà b} {displaystyle f:ato b} qui a un morphisme inverse g : b → a , {displaystyle g:bto a,} C’est, f g = 1 b {displaystyle fg=1_{b}} ${displaystyle fg=1_{b}}$ ${displaystyle fg=1_{b}}$ et g f = 1 a . {displaystyle gf=1_{a}.} ${displaystyle gf=1_{a}.}$ ${displaystyle gf=1_{a}.}$ Par exemple, une application linéaire bijective est un isomorphisme entre espaces vectoriels , et une fonction continue bijective dont l’inverse est également continue est un isomorphisme entre espaces topologiques , appelé homéomorphisme .

Deux catégories C et D sont isomorphes s’il existe des foncteurs F : C → D {displaystyle F:Cà D} F:Cto D et G : D → C {displaystyle G:Dà C} {displaystyle G:Dto C} qui sont mutuellement inverses, c’est-à-dire F G = 1 D {displaystyle FG=1_{D}} ${displaystyle FG=1_{D}}$ ${displaystyle FG=1_{D}}$ (le foncteur identité sur D ) et G F = 1 C {displaystyle GF=1_{C}} ${displaystyle GF=1_{C}}$ ${displaystyle GF=1_{C}}$ (le foncteur identité sur C ).

Isomorphisme vs morphisme Bijectif

Dans une catégorie concrète (en gros, une catégorie dont les objets sont des ensembles (peut-être avec une structure supplémentaire) et dont les morphismes sont des fonctions préservant la structure), comme la catégorie des espaces topologiques ou des catégories d’objets algébriques (comme la catégorie des groupes , la catégorie des anneaux , et la catégorie des modules ), un isomorphisme doit être Bijectif sur les ensembles sous-jacents . Dans les catégories algébriques (en particulier, les catégories de variétés au sens de l’algèbre universelle), un isomorphisme est identique à un homomorphisme qui est Bijectif sur des ensembles sous-jacents. Cependant, il existe des catégories concrètes dans lesquelles les morphismes bijectifs ne sont pas nécessairement des isomorphismes (comme la catégorie des espaces topologiques).

Relation avec l’égalité

Dans certains domaines des mathématiques, notamment la théorie des catégories, il est utile de distinguer l’égalité d’une part et l’ isomorphisme d’autre part. ^[2] L’égalité, c’est quand deux objets sont exactement identiques, et tout ce qui est vrai sur un objet est vrai sur l’autre, tandis qu’un isomorphisme implique que tout ce qui est vrai sur une partie désignée de la structure d’un objet est vrai sur l’autre. Par exemple, les ensembles

A = { x ∈ Z ∣ x 2 < 2 } and B = { − 1 , 0 , 1 } {displaystyle A=left{xin mathbb {Z} mid x^{2}<2right}quad {text{ et }}quad B={-1,0, 1}} ${displaystyle A=left{xin mathbb {Z} mid x^{2}<2right}quad {text{ and }}quad B={-1,0,1}}$ ${displaystyle A=left{xin mathbb {Z} mid x^{2}<2right}quad {text{ and }}quad B={-1,0,1}}$ sont égaux ; ce sont simplement des représentations différentes – la première intensionnelle (en notation de constructeur d’ensemble ) et la seconde extensionnelle (par énumération explicite) – du même sous-ensemble d’entiers. En revanche, les ensembles { A , B , C } {displaystyle {A,B,C}} {A, B, C} et { 1 , 2 , 3 } {displaystyle{1,2,3}} {displaystyle {1,2,3}} ne sont pas égaux – le premier a des éléments qui sont des lettres, tandis que le second a des éléments qui sont des nombres. Ceux-ci sont isomorphes en tant qu’ensembles, puisque les ensembles finis sont déterminés Jusqu’à l’isomorphisme par leur cardinalité (nombre d’éléments) et que ces deux éléments ont trois éléments, mais il existe de nombreux choix d’isomorphisme – un isomorphisme est A ↦ 1 , B ↦ 2 , C ↦ 3 , {displaystyle {text{A}}mapsto 1,{text{B}}mapsto 2,{text{C}}mapsto 3,} text{A} mapsto 1, text{B} mapsto 2, text{C} mapsto 3, tandis qu’un autre est A ↦ 3 , B ↦ 2 , C ↦ 1 , {displaystyle {text{A}}mapsto 3,{text{B}}mapsto 2,{text{C}}mapsto 1,} text{A} mapsto 3, text{B} mapsto 2, text{C} mapsto 1,

et aucun isomorphisme n’est intrinsèquement meilleur qu’un autre. ^{[note 1] [note 2]} De ce point de vue et en ce sens, ces deux ensembles ne sont pas égaux car on ne peut pas les considérer comme identiques : on peut choisir un isomorphisme entre eux, mais c’est une prétention plus faible que l’identité – et valable uniquement dans le contexte de l’isomorphisme choisi.

Parfois, les isomorphismes peuvent sembler évidents et convaincants, mais ne sont toujours pas des égalités. À titre d’exemple simple, les relations généalogiques entre Joe , John et Bobby Kennedy sont, dans un sens réel, les mêmes que celles entre les quarterbacks du football américain de la famille Manning : Archie , Peyton et Eli . Les couples père-fils et les couples aîné-frère-jeune-frère correspondent parfaitement. Cette similitude entre les deux structures familiales illustre l’origine du mot isomorphisme (grec iso -, “même”, et – morph, “forme” ou “forme”). Mais parce que les Kennedy ne sont pas les mêmes personnes que les Manning, les deux structures généalogiques sont simplement isomorphes et non égales.

Un autre exemple est plus formel et illustre plus directement la motivation pour distinguer l’égalité de l’isomorphisme : la distinction entre un espace vectoriel de dimension finie V et son espace dual V ∗ = { φ : V → K } {displaystyle V^{*}=left{varphi :Vto mathbf {K} right}} ${displaystyle V^{*}=left{varphi :Vto mathbf {K} right}}$ ${displaystyle V^{*}=left{varphi :Vto mathbf {K} right}}$ d’applications linéaires de V à son champ de scalaires K . {displaystyle mathbf {K} .} Ces espaces ont la même dimension, et sont donc isomorphes en tant qu’espaces vectoriels abstraits (puisque algébriquement, les espaces vectoriels sont classés par dimension, tout comme les ensembles sont classés par cardinalité), mais il n’y a pas de choix “naturel” d’isomorphisme V → ∼ V ∗ . {displaystyle scriptstyle Vmathrel {overset {sim }{to }} V^{*}.} ${displaystyle scriptstyle Vmathrel {overset {sim }{to }} V^{*}.}$ ${displaystyle scriptstyle Vmathrel {overset {sim }{to }} V^{*}.}$ Si l’on choisit une base pour V , cela donne un isomorphisme : Pour tout u , v ∈ V , {displaystyle u,vdans V,} {displaystyle u,vin V,}

v ↦ ∼ φ v ∈ V ∗ such that φ v ( u ) = v T u . {displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} phi _{v}in V^{*}quad {text{tel que }}quad phi _{v}( u)=v^{mathrm {T} }u.} ${displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} phi _{v}in V^{*}quad {text{ such that }}quad phi _{v}(u)=v^{mathrm {T} }u.}$ ${displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} phi _{v}in V^{*}quad {text{ such that }}quad phi _{v}(u)=v^{mathrm {T} }u.}$

Cela correspond à transformer un vecteur colonne (élément de V ) en un vecteur ligne (élément de V *) par transpose , mais un choix de base différent donne un isomorphisme différent : l’isomorphisme « dépend du choix de la base ». Plus subtilement, il existe une application d’un espace vectoriel V à son double dual V ∗ ∗ = { x : V ∗ → K } {displaystyle V^{**}=left{x:V^{*}to mathbf {K} right}} ${displaystyle V^{**}=left{x:V^{*}to mathbf {K} right}}$ ${displaystyle V^{**}=left{x:V^{*}to mathbf {K} right}}$ qui ne dépend pas du choix de la base : Pour tout v ∈ V and φ ∈ V ∗ , {displaystyle vin V{text{ et }}varphi in V^{*},} ${displaystyle vin V{text{ and }}varphi in V^{*},}$ ${displaystyle vin V{text{ and }}varphi in V^{*},}$

v ↦ ∼ x v ∈ V ∗ ∗ such that x v ( φ ) = φ ( v ) . {displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} x_{v}in V^{**}quad {text{ tel que }}quad x_{v}(phi ) =phi (v).} ${displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} x_{v}in V^{**}quad {text{ such that }}quad x_{v}(phi )=phi (v).}$ ${displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} x_{v}in V^{**}quad {text{ such that }}quad x_{v}(phi )=phi (v).}$

Ceci conduit à une troisième notion, celle d’un isomorphisme naturel : alors que V {displaystyle V} et V ∗ ∗ {displaystyle V^{**}} $V^{{**}}$ $V^{{**}}$ sont des ensembles différents, il y a un choix “naturel” d’isomorphisme entre eux. Cette notion intuitive d'”un isomorphisme qui ne dépend pas d’un choix arbitraire” est formalisée dans la notion de transformation naturelle ; brièvement, que l’on peut identifier de manière cohérente , ou plus généralement mapper à partir d’un espace vectoriel de dimension finie vers son double dual, V → ∼ V ∗ ∗ , {displaystyle scriptstyle Vmathrel {overset {sim }{to }} V^{**},} ${displaystyle scriptstyle Vmathrel {overset {sim }{to }} V^{**},}$ ${displaystyle scriptstyle Vmathrel {overset {sim }{to }} V^{**},}$ pour tout espace vectoriel de manière cohérente. La formalisation de cette intuition est une motivation pour le développement de la théorie des catégories.

Cependant, il existe un cas où la distinction entre isomorphisme naturel et égalité n’est généralement pas faite. C’est pour les objets qui peuvent être caractérisés par une propriété universelle . En fait, il existe un isomorphisme unique, nécessairement naturel, entre deux objets partageant la même propriété universelle. Un exemple typique est l’ensemble des nombres réels , qui peut être défini par un développement décimal infini, un développement binaire infini, des séquences de Cauchy , des coupes de Dedekind .et bien d’autres façons. Formellement, ces constructions définissent différents objets qui sont tous des solutions avec la même propriété universelle. Comme ces objets ont exactement les mêmes propriétés, on peut oublier le mode de construction et les considérer comme égaux. C’est ce que tout le monde fait en se référant à ” l’ ensemble des nombres réels”. La même chose se produit avec les espaces quotients : ils sont généralement construits comme des ensembles de classes d’équivalence . Cependant, se référer à un ensemble d’ensembles peut être contre-intuitif, et donc les espaces quotients sont généralement considérés comme une paire d’un ensemble d’objets indéterminés, souvent appelés «points», et une carte surjective sur cet ensemble.

Si l’on souhaite faire la distinction entre un isomorphisme arbitraire (celui qui dépend d’un choix) et un isomorphisme naturel (celui qui peut être fait de manière cohérente), on peut écrire ≈ {displaystyle ,environ ,} {displaystyle ,approx ,} pour un isomorphisme non naturel et ≅ pour un isomorphisme naturel, comme dans V ≈ V ∗ {displaystyle Venviron V^{*}} ${displaystyle Vapprox V^{*}}$ ${displaystyle Vapprox V^{*}}$ et V ≅ V ∗ ∗ . {displaystyle Vcong V^{**}.} ${displaystyle Vcong V^{**}.}$ ${displaystyle Vcong V^{**}.}$ Cette convention n’est pas universellement suivie, et les auteurs qui souhaitent faire la distinction entre les isomorphismes non naturels et les isomorphismes naturels indiqueront généralement explicitement la distinction.

Généralement, dire que deux objets sont égaux est réservé lorsqu’il existe une notion d’espace (ambiant) plus grand dans lequel ces objets vivent. Le plus souvent, on parle d’égalité de deux sous-ensembles d’un ensemble donné (comme dans l’exemple d’ensemble d’entiers ci-dessus), mais pas de deux objets présentés abstraitement. Par exemple, la sphère unitaire à 2 dimensions dans un espace à 3 dimensions

S 2 := { ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ x 2 + y 2 + z 2 = 1 } {displaystyle S^{2} :=left{(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}+z^{2 }=1droite}} ${displaystyle S^{2}:=left{(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1right}}$ ${displaystyle S^{2}:=left{(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1right}}$ et la sphère de Riemann C ^ {displaystyle {widehat {mathbb {C} }}} qui peut être présenté comme la compactification en un point du plan complexe C ∪ { ∞ } {displaystyle mathbb {C} cup {infty }} ou comme la ligne projective complexe (un espace quotient) P C 1 := ( C 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ) / ( C ∗ ) {displaystyle mathbf {P} _{mathbb {C} }^{1} :=left(mathbb {C} ^{2}setminus {(0,0)}right)/ gauche(mathbb {C} ^{*}droite)} ${displaystyle mathbf {P} _{mathbb {C} }^{1}:=left(mathbb {C} ^{2}setminus {(0,0)}right)/left(mathbb {C} ^{*}right)}$ ${displaystyle mathbf {P} _{mathbb {C} }^{1}:=left(mathbb {C} ^{2}setminus {(0,0)}right)/left(mathbb {C} ^{*}right)}$ sont trois descriptions différentes pour un objet mathématique, qui sont toutes isomorphes, mais pas égales car elles ne sont pas toutes des sous-ensembles d’un même espace : la première est un sous-ensemble de R 3 , { displaystyle mathbb {R} ^ {3},} ${displaystyle mathbb {R} ^{3},}$ ${displaystyle mathbb {R} ^{3},}$ la seconde est C ≅ R 2 {displaystyle mathbb {C} cong mathbb {R} ^{2}} ${displaystyle mathbb {C} cong mathbb {R} ^{2}}$ ${displaystyle mathbb {C} cong mathbb {R} ^{2}}$ ^{[note 3]} plus un point supplémentaire, et le troisième est un sous- quotient de C 2 . {displaystyle mathbb{C} ^{2}.} ${displaystyle mathbb {C} ^{2}.}$ ${displaystyle mathbb {C} ^{2}.}$

Dans le contexte de la théorie des catégories, les objets sont généralement au plus isomorphes – en effet, une motivation pour le développement de la théorie des catégories a été de montrer que différentes constructions dans la théorie de l’homologie produisaient des groupes équivalents (isomorphes). Étant donné les applications entre deux objets X et Y , cependant, on se demande s’ils sont égaux ou non (ils sont tous deux des éléments de l’ensemble hom ⁡ ( X , Y ) , {displaystyle hom(X,Y),} donc l’égalité est la relation appropriée), en particulier dans les diagrammes commutatifs .

Voir également

Portail des mathématiques

Bisimulation
Relation d’équivalence
Tas (mathématiques)
Isométrie
Classe d’isomorphisme
Théorème d’isomorphisme
Propriété universelle
Isomorphisme cohérent

Remarques

^ A , B , C { style d’affichage A, B, C} ont un ordre conventionnel, à savoir l’ordre alphabétique, et de même 1, 2, 3 ont l’ordre des nombres entiers, et donc un isomorphisme particulier est “naturel”, à savoir A ↦ 1 , B ↦ 2 , C ↦ 3. {displaystyle {text{A}}mapsto 1,{text{B}}mapsto 2,{text{C}}mapsto 3.} Plus formellement, en tant qu’ensembles , ils sont isomorphes, mais pas naturellement isomorphes (il existe plusieurs choix d’isomorphisme), tandis qu’en tant qu’ensembles ordonnés, ils sont naturellement isomorphes (il existe un isomorphisme unique, donné ci-dessus), puisque les ordres totaux finis sont déterminés de manière unique jusqu’à isomorphisme unique par cardinalité . Cette intuition peut être formalisée en disant que deux ensembles finis totalement ordonnés de même cardinalité ont un isomorphisme naturel, celui qui envoie le moins d’élémentdu premier au moindre élément du second, du moindre élément de ce qui reste dans le premier au moindre élément de ce qui reste dans le second, et ainsi de suite, mais en général, les paires d’ensembles d’une cardinalité finie donnée ne sont pas naturellement isomorphe car il y a plus d’un choix de carte – sauf si la cardinalité est 0 ou 1, où il y a un choix unique.
^ En fait, il y a précisément 3 ! = 6 {displaystyle 3!=6} isomorphismes différents entre deux ensembles à trois éléments. Ceci est égal au nombre d’ automorphismes d’un ensemble de trois éléments donné (qui à son tour est égal à l’ordre du groupe symétrique sur trois lettres), et plus généralement on a que l’ensemble des isomorphismes entre deux objets, noté Iso ⁡ ( A , B ) , {displaystyle operatorname {Iso} (A,B),} est un torseur pour le groupe d’automorphismes de A, Aut ⁡ ( A ) {displaystyle operatorname {Aut} (A)} et aussi un torseur pour le groupe d’automorphismes de B. En fait, les automorphismes d’un objet sont une raison clé de se préoccuper de la distinction entre isomorphisme et égalité, comme le démontre l’effet du changement de base sur l’identification d’un espace vectoriel avec son dual ou avec son double dual, tel qu’élaboré dans la suite.
↑ Étant précis, l’identification des nombres complexes avec le plan réel, C ≅ R ⋅ 1 ⊕ R ⋅ i = R 2 {displaystyle mathbb {C} cong mathbb {R} cdot 1oplus mathbb {R} cdot i=mathbb {R} ^{2}} ${displaystyle mathbb {C} cong mathbb {R} cdot 1oplus mathbb {R} cdot i=mathbb {R} ^{2}}$ ${displaystyle mathbb {C} cong mathbb {R} cdot 1oplus mathbb {R} cdot i=mathbb {R} ^{2}}$ dépend d’un choix de i ; {displaystyle i;} on peut tout aussi bien choisir ( − i ) , {displaystyle (-i),} ce qui donne une identification différente – formellement, la conjugaison complexe est un automorphisme – mais en pratique on suppose souvent que l’on a fait une telle identification.