Glossaire des symboles mathématiques

Un symbole mathématique est une figure ou une combinaison de figures qui est utilisée pour représenter un objet mathématique , une action sur des objets mathématiques, une relation entre des objets mathématiques ou pour structurer les autres symboles qui apparaissent dans une formule . Comme les formules sont entièrement constituées de symboles de divers types, il faut beaucoup de symboles pour exprimer toutes les mathématiques.

Les symboles les plus élémentaires sont les chiffres décimaux (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) et les lettres de l’ alphabet latin . Les chiffres décimaux sont utilisés pour représenter les nombres à travers le système numérique hindou-arabe . Historiquement, les lettres majuscules étaient utilisées pour représenter des points en géométrie, et les lettres minuscules étaient utilisées pour les variables et les constantes . Les lettres sont utilisées pour représenter de nombreux autres types d’ objets mathématiques . Comme le nombre de ces sortes a remarquablement augmenté dans les mathématiques modernes, l’ alphabet grec et certaines lettres hébraïques sont également utilisés. Dans les formules mathématiques, la police de caractères standard est en italique pour les lettres latines et les lettres grecques minuscules, et en caractères droits pour les lettres grecques majuscules. Pour avoir plus de symboles, d’autres polices de caractères sont également utilisées, principalement en gras un , UN , b , B , … {displaystyle mathbf {a,A,b,B} ,ldots } , police de caractères UN , B , … {displaystyle {mathcal {A,B}},ldots} (le caractère de script minuscule est rarement utilisé en raison de la confusion possible avec le caractère standard), allemand fraktur un , UN , b , B , … {displaystyle {mathfrak {a,A,b,B}},ldots} , et tableau noir gras N , Z , Q , R , C , H , F q {displaystyle mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}} (les autres lettres sont rarement utilisées dans ce visage, ou leur utilisation est non conventionnelle).

L’utilisation des lettres latines et grecques comme symboles pour désigner des objets mathématiques n’est pas décrite dans cet article. Pour de telles utilisations, voir Variable (mathématiques) et Liste des constantes mathématiques . Cependant, certains symboles décrits ici ont la même forme que la lettre dont ils sont dérivés, tels que ∏ {displaystyle textstyle prod {}} et ∑ { style d’affichage style de texte somme {}} .

Ces lettres seules ne suffisent pas aux besoins des mathématiciens et de nombreux autres symboles sont utilisés. Certains tirent leur origine des signes de ponctuation et des signes diacritiques traditionnellement utilisés en typographie ; d’autres en déformant la forme des lettres , comme dans les cas de ∈ { style d’affichage dans } et ∀ {displaystyle forall} . D’autres, comme + et = , ont été spécialement conçus pour les mathématiques.

Disposition

Normalement, les entrées d’un glossaire sont structurées par sujets et triées par ordre alphabétique. Ce n’est pas possible ici, car il n’y a pas d’ordre naturel sur les symboles, et de nombreux symboles sont utilisés dans différentes parties des mathématiques avec des significations différentes, souvent complètement indépendantes. Par conséquent, certains choix arbitraires ont dû être faits, qui sont résumés ci-dessous.

L’article est divisé en sections qui sont triées par un niveau de technicité croissant. C’est-à-dire que les premières sections contiennent les symboles que l’on rencontre dans la plupart des textes mathématiques, et qui sont censés être connus même des débutants. D’autre part, les dernières sections contiennent des symboles spécifiques à certains domaines des mathématiques et sont ignorés en dehors de ces domaines. Cependant, la longue section sur les parenthèses a été placée vers la fin, bien que la plupart de ses entrées soient élémentaires : cela facilite la recherche d’une entrée de symbole par défilement.

La plupart des symboles ont des significations multiples qui se distinguent généralement soit par le domaine des mathématiques où ils sont utilisés, soit par leur syntaxe , c’est-à-dire par leur position à l’intérieur d’une formule et la nature des autres parties de la formule qui leur sont proches.

Comme les lecteurs peuvent ne pas être conscients du domaine des mathématiques auquel se rapporte le symbole qu’ils recherchent, les différentes significations d’un symbole sont regroupées dans la section correspondant à leur signification la plus courante.

Lorsque la signification dépend de la syntaxe, un symbole peut avoir des entrées différentes selon la syntaxe. Pour résumer la syntaxe dans le nom de l’entrée, le symbole ◻ {style d’affichage boîte} est utilisé pour représenter les parties voisines d’une formule qui contient le symbole. Voir § Supports pour des exemples d’utilisation.

La plupart des symboles ont deux versions imprimées. Ils peuvent être affichés sous forme de caractères Unicode ou au format LaTeX . Avec la version Unicode, l’utilisation des moteurs de recherche et le copier-coller sont plus faciles. En revanche, le rendu LaTeX est souvent bien meilleur (plus esthétique), et est généralement considéré comme un standard en mathématiques. Par conséquent, dans cet article, la version Unicode des symboles est utilisée (si possible) pour étiqueter leur entrée, et la version LaTeX est utilisée dans leur description. Ainsi, pour trouver comment taper un symbole dans LaTeX, il suffit de regarder la source de l’article.

Pour la plupart des symboles, le nom de l’entrée est le symbole Unicode correspondant. Ainsi, pour rechercher l’entrée d’un symbole, il suffit de taper ou de copier le symbole Unicode dans la zone de texte de recherche. De même, lorsque cela est possible, le nom d’entrée d’un symbole est également une ancre , ce qui permet de se lier facilement à partir d’un autre article de Wikipédia. Lorsqu’un nom d’entrée contient des caractères spéciaux tels que [, ] et |, il y a aussi une ancre, mais il faut regarder la source de l’article pour le savoir.

Enfin, lorsqu’il existe un article sur le symbole lui-même (et non sur sa signification mathématique), il est lié au nom de l’entrée.

Opérateurs arithmétiques

+ 1. Indique l’ addition et se lit comme plus ; par exemple, 3 + 2 . 2. Parfois utilisé à la place de ⊔ {displaystyle sqcup } pour une union disjointe d’ ensembles . – 1. Dénote une soustraction et se lit comme moins ; par exemple, 3 – 2 . 2. Désigne l’ inverse additif et se lit comme négatif ou l’opposé de ; par exemple, –2 . 3. Également utilisé à la place de pour désigner le complément ensembliste ; voir dans § Théorie des ensembles . × 1. En arithmétique élémentaire , désigne la multiplication , et se lit comme des temps ; par exemple, 3 × 2 . 2. En géométrie et en algèbre linéaire , désigne le produit croisé . 3. En théorie des ensembles et en théorie des catégories , désigne le produit cartésien et le produit direct . Voir aussi × dans § Théorie des ensembles . · 1. Désigne la multiplication et se lit comme des temps ; par exemple, 3 ⋅ 2 . 2. En géométrie et en algèbre linéaire , désigne le produit scalaire . 3. Espace réservé utilisé pour remplacer un élément indéterminé. Par exemple, “la valeur absolue est notée | · | ” est plus clair que de dire qu’elle est notée | | . ± 1. Indique soit un signe plus, soit un signe moins. 2. Indique la plage de valeurs que peut avoir une grandeur mesurée ; par exemple, 10 ± 2 désigne une valeur inconnue comprise entre 8 et 12. ∓ Utilisé associé à ± , indique le signe opposé ; c’est-à-dire + si ± est – , et – si ± est + . ÷ Largement utilisé pour désigner la division dans les pays anglophones, il n’est plus d’usage courant en mathématiques et son usage est “déconseillé”. ^[1] Dans certains pays, cela peut indiquer une soustraction. : 1. Désigne le rapport de deux quantités. 2. Dans certains pays, peut désigner la division . 3. Dans la notation set-builder , il est utilisé comme séparateur signifiant “tel que” ; voir {□ : □} . / 1. Indique la division et se lit comme divisé par ou sur . Souvent remplacé par une barre horizontale. Par exemple, 3 / 2 ou 3 2 {displaystyle {frac {3}{2}}} . 2. Désigne une structure de quotient . Par exemple, ensemble de quotient , groupe de quotient , catégorie de quotient , etc. 3. En théorie des nombres et en théorie des champs , F / E {displaystyle F/E} désigne une extension de champ , où F est un champ d’ extension du champ E . 4. En théorie des probabilités , désigne une probabilité conditionnelle . Par example, P ( A / B ) {displaystyle P(A/B)} désigne la probabilité de A , étant donné que B se produit. Aussi noté P ( A ∣ B ) {displaystyle P(Amilieu B)} : voir ” | “. √ Indique la racine carrée et se lit comme la racine carrée de . Rarement utilisé en mathématiques modernes sans barre horizontale délimitant la largeur de son argument (voir l’item suivant). Par exemple, √2 . √ 1. Indique la racine carrée et se lit comme la racine carrée de . Par example, 3 + 2 {displaystyle {sqrt {3+2}}} . 2. Avec un entier supérieur à 2 en exposant à gauche, désigne une racine n ième . Par example, 3 7 {displaystyle {sqrt[{7}]{3}}} . ^ 1. L’exponentiation est normalement indiquée par un exposant . Cependant, x y {displaystyle x^{y}} est souvent noté x ^ y lorsque les exposants ne sont pas facilement disponibles, comme dans les langages de programmation (y compris LaTeX ) ou les e- mails en texte brut . 2. A ne pas confondre avec ∧ .

Égalité, équivalence et similarité

= 1. Indique l’égalité . 2. Utilisé pour nommer un objet mathématique dans une phrase comme “let x = E {displaystyle x=E} “, où E est une expression . Sur un tableau noir et dans certains textes mathématiques, cela peut être abrégé en x = d e f E {displaystyle x,{stackrel {mathrm {def} }{=}},E} ou alors x ≜ E . {displaystyle xtriangleq E.} Ceci est lié au concept d’ affectation en informatique, qui est diversement désigné (selon le langage de programmation utilisé ) = , := , ← , … {displaystyle =,:=,leftarrow ,ldots } ≠ Dénote l’ inégalité et signifie “pas égal”. ≈ Signifie “est approximativement égal à”. Par example, π ≈ 22 7 {displaystyle pi approx {frac {22}{7}}} (pour une approximation plus précise, voir pi ). ~ 1. Entre deux nombres, soit il est utilisé à la place de ≈ pour signifier “approximativement égal”, soit il signifie “a le même ordre de grandeur que”. 2. Désigne l’ équivalence asymptotique de deux fonctions ou séquences. 3. Souvent utilisé pour désigner d’autres types de similarité, par exemple, similarité matricielle ou similarité de formes géométriques . 4. Notation standard pour une relation d’équivalence . 5. En probabilités et statistiques , peut spécifier la distribution de probabilité d’une variable aléatoire . Par example, X ∼ N ( 0 , 1 ) {displaystyle Xsim N(0,1)} signifie que la distribution de la variable aléatoire X est normale standard . ^[2] 6. Notation pour montrer la proportionnalité . Voir aussi ∝ pour un symbole moins ambigu. ≡ 1. Dénote une identité , c’est-à-dire une égalité qui est vraie quelles que soient les valeurs données aux variables qui s’y trouvent. 2. En théorie des nombres , et plus précisément en arithmétique modulaire , désigne la congruence modulo un entier. ≅ {displaystylecong} 1. Peut désigner un isomorphisme entre deux structures mathématiques , et se lit comme “est isomorphe à”. 2. En géométrie , peut désigner la congruence de deux formes géométriques (c’est-à-dire l’égalité à un déplacement près ), et se lit “est congru à”.

Comparaison

< 1. Inégalité stricte entre deux nombres ; signifie et se lit comme « inférieur à ». 2. Couramment utilisé pour désigner tout ordre strict . 3. Entre deux groupes , peut signifier que le premier est un sous- groupe propre du second. > 1. Inégalité stricte entre deux nombres ; signifie et se lit comme ” supérieur à “. 2. Couramment utilisé pour désigner tout ordre strict . 3. Entre deux groupes , peut signifier que le second est un sous- groupe propre du premier. ≤ 1. Signifie “inférieur ou égal à”. Autrement dit, quels que soient A et B , A ≤ B est équivalent à A < B ou A = B . 2. Entre deux groupes , peut signifier que le premier est un sous- groupe du second. ≥ 1. Signifie “supérieur ou égal à”. Autrement dit, quels que soient A et B , A ≥ B est équivalent à A > B ou A = B . 2. Entre deux groupes , peut signifier que le second est un sous- groupe du premier. ≪ , ≫ 1. Signifie « beaucoup moins que » et « beaucoup plus grand que ». Généralement, beaucoup n’est pas formellement défini, mais signifie que la plus petite quantité peut être négligée par rapport à l’autre. C’est généralement le cas lorsque la plus petite quantité est inférieure à l’autre d’un ou plusieurs ordres de grandeur . 2. En théorie de la mesure , μ ≪ ν {displaystyle mu ll nu } signifie que la mesure μ {displaystylemu} est absolument continue par rapport à la mesure ν {displaystylenu } . ≦ 1. Un synonyme rarement utilisé de ≤ . Malgré la confusion facile avec ≤ , certains auteurs l’utilisent avec un sens différent. ≺ , ≻ Souvent utilisé pour désigner une commande ou, plus généralement, une précommande , lorsqu’il serait déroutant ou peu pratique d’utiliser < et > .

Théorie des ensembles

∅ Désigne l’ ensemble vide , et s’écrit plus souvent ∅ {displaystyle emptyset} . En utilisant la notation set-builder , il peut également être noté { } {style d’affichage {}} . # 1. Nombre d’éléments : # S {displaystyle#{}S} peut désigner la cardinalité de l’ ensemble S . Une notation alternative est | S | {displaystyle |S|} ; voir | ◻ | {displaystyle |carré |} . 2. Primorial : n # {displaystyle n{}#} désigne le produit des nombres premiers qui ne sont pas supérieurs à n . 3. En topologie , M # N {displaystyle M#N} désigne la somme connexe de deux variétés ou de deux nœuds . ∈ Indique l’appartenance à un ensemble et se lit “dans” ou “appartient à”. C’est, x ∈ S {displaystyle xin S} signifie que x est un élément de l’ensemble S . ∉ Signifie “pas dans”. C’est, x ∉ S {displaystyle xpas en S} moyens ¬ ( x ∈ S ) {displaystyle neg (xin S)} . ⊂ Indique l’inclusion d’un ensemble . Cependant, deux définitions légèrement différentes sont courantes. 1. A ⊂ B {displaystyle Asous-ensemble B} peut signifier que A est un sous- ensemble de B , et est éventuellement égal à B ; c’est-à-dire que tout élément de A appartient à B ; en formule, ∀ x , x ∈ A ⇒ x ∈ B {displaystyle forall {}x,,xin ARightarrow xin B} . 2. A ⊂ B {displaystyle Asous-ensemble B} peut signifier que A est un sous- ensemble propre de B , c’est-à-dire que les deux ensembles sont différents et que chaque élément de A appartient à B ; en formule, A ≠ B ∧ ∀ x , x ∈ A ⇒ x ∈ B {displaystyle Aneq Bland forall {}x,,xin ARightarrow xin B} . ⊆ A ⊆ B {displaystyle Asubsetq B} signifie que A est un sous- ensemble de B . Utilisé pour souligner que l’égalité est possible, ou lorsque la deuxième définition de A ⊂ B {displaystyle Asous-ensemble B} est utilisé. ⊊ A ⊊ B {displaystyle Asubsetneq B} signifie que A est un sous- ensemble propre de B . Utilisé pour souligner que A ≠ B {displaystyle Aneq B} , ou lorsque la première définition de A ⊂ B {displaystyle Asous-ensemble B} est utilisé. ⊃, ⊇, ⊋ Notons la relation inverse de ⊂ {displaystylesous-ensemble} , ⊆ {displaystylesubseteq} , et ⊊ {displaystyle subsetneq} respectivement. Par example, B ⊃ A {displaystyle Bsupset A} est équivalent à A ⊂ B {displaystyle Asous-ensemble B} . ∪ Dénote l’union théorique des ensembles , c’est-à-dire A ∪ B {displaystyle Atasse B} est l’ensemble formé par les éléments de A et B ensemble. C’est, A ∪ B = { x ∣ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) } {displaystyle Acup B={xmid (xin A)lor (xin B)}} . ∩ Dénote l’intersection de la théorie des ensembles , c’est-à-dire A ∩ B {displaystyle Acasquette B} est l’ensemble formé par les éléments de A et de B . C’est, A ∩ B = { x ∣ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ) } {displaystyle Acap B={xmid (xin A)land (xin B)}} . ∖ Définir la différence ; C’est, A ∖ B {displaystyle Asetmoins B} est l’ensemble formé par les éléments de A qui ne sont pas dans B . Parfois, A − B {displaystyle AB} est utilisé à la place ; voir – au § Opérateurs arithmétiques . ⊖ Différence symétrique : c’est-à-dire A ⊖ B {displaystyle Aominus B} est l’ensemble formé par les éléments qui appartiennent exactement à l’un des deux ensembles A et B . Notation A Δ ⁡ B {displaystyle Anomopérateur {Delta } B} est également utilisé; voir Δ . ∁ 1. Avec un indice, désigne un complément d’ensemble : c’est-à-dire si B ⊆ A {displaystyle Bsubsetq A} , alors ∁ A B = A ∖ B {displaystyle complement _{A}B=Asetminus B} . 2. Sans indice, désigne le complément absolu ; C’est, ∁ A = ∁ U A {displaystyle complement A=complément _{U}A} , où U est un ensemble implicitement défini par le contexte, qui contient tous les ensembles considérés. Cet ensemble U est parfois appelé l’ univers du discours . × Voir aussi × dans § Opérateurs arithmétiques . 1. Désigne le produit cartésien de deux ensembles. C’est, A × B {displaystyle Afois B} est l’ensemble formé par tous les couples d’un élément de A et d’un élément de B . 2. Désigne le produit direct de deux structures mathématiques de même type, qui est le produit cartésien des ensembles sous-jacents, muni d’une structure de même type. Par exemple, produit direct d’anneaux , produit direct d’espaces topologiques . 3. En théorie des catégories , désigne le produit direct (souvent appelé simplement produit ) de deux objets, qui est une généralisation des concepts précédents de produit. ⊔ Désigne l’ union disjointe . Autrement dit, si A et B sont des ensembles alors A ⊔ B = ( A × { i A } ) ∪ ( B × { i B } ) {displaystyle Asqcup B=left(Atimes {i_{A}}right)cup left(Btimes {i_{B}}right)} est un ensemble de couples où i _A et i _B sont des indices distincts discriminant les membres de A et B dans A ⊔ B {displaystyle Asqcup B} . ∐ 1. Une alternative à ⊔ {displaystyle sqcup } . 2. Désigne le coproduit de structures mathématiques ou d’objets dans une catégorie .

Logique de base

Plusieurs symboles logiques sont largement utilisés dans toutes les mathématiques et sont répertoriés ici. Pour les symboles utilisés uniquement en logique mathématique ou rarement utilisés, consultez Liste des symboles logiques .

¬ Dénote une négation logique et se lit comme “non”. Si E est un prédicat logique , ¬ E {displaystylenég E} est le prédicat qui prend la valeur true si et seulement si E prend la valeur false . Pour plus de clarté, il est souvent remplacé par le mot “non”. Dans les langages de programmation et certains textes mathématiques, il est parfois remplacé par ” ~ ” ou ” ! “, qui sont plus faciles à taper sur certains claviers. ∨ 1. Indique le ou logique , et se lit comme “ou”. Si E et F sont des prédicats logiques , E ∨ F {displaystyle Elor F} est vrai si E , F ou les deux sont vrais. Il est souvent remplacé par le mot “ou”. 2. En théorie des treillis , désigne l’ opération de jointure ou de borne supérieure . 3. En topologie , désigne la somme en coin de deux espaces pointus . ∧ 1. Indique le et logique , et se lit comme “et”. Si E et F sont des prédicats logiques , E ∧ F {displaystyle Eland F} est vrai si E et F sont tous les deux vrais. Il est souvent remplacé par le mot « et » ou le symbole « & ». 2. En théorie des treillis , désigne la rencontre ou la plus grande opération de limite inférieure . 3. En algèbre multilinéaire , en géométrie et en calcul multivariable , désigne le produit en coin ou le produit extérieur . ⊻ Ou exclusif : si E et F sont deux variables booléennes ou prédicats , E ⊻ F {displaystyle Eveebar F} désigne le ou exclusif. Notations E XOR F et E ⊕ F {displaystyle Eoplus F} sont également couramment utilisés ; voir ⊕ . ∀ 1. Désigne une quantification universelle et se lit comme “pour tous”. Si E est un prédicat logique , ∀ x E {displaystyle forall xE} signifie que E est vrai pour toutes les valeurs possibles de la variable x . 2. Souvent utilisé à tort ^[3] dans le texte brut comme abréviation de “pour tous” ou “pour tous”. ∃ 1. Désigne la quantification existentielle et se lit “il existe … tel que”. Si E est un prédicat logique , ∃ x E {displaystyle existe xE} signifie qu’il existe au moins une valeur de x pour laquelle E est vraie. 2. Souvent utilisé à tort ^[3] en texte brut comme abréviation de “il existe”. ∃ ! Indique la quantification de l’unicité , c’est-à-dire ∃ ! x P {displaystyle existe !xP} signifie “il existe exactement un x tel que P (est vrai)”. En d’autres termes, ∃ ! x P ( x ) {displaystyle existe !xP(x)} est une abréviation de ∃ x ( P ( x ) ∧ ¬ ∃ y ( P ( y ) ∧ y ≠ x ) ) {displaystyle exists x,(P(x),wedge neg exists y,(P(y)wedge yneq x))} . ⇒ 1. Désigne le conditionnel matériel et se lit comme “implique”. Si P et Q sont des prédicats logiques , P ⇒ Q {displaystyle PRightarrow Q} signifie que si P est vrai, alors Q est également vrai. Ainsi, P ⇒ Q {displaystyle PRightarrow Q} est logiquement équivalent à Q ∨ ¬ P {displaystyle Qlorneg P} . 2. Souvent utilisé à tort ^[3] dans le texte brut comme abréviation de “implique”. ⇔ 1. Indique l’équivalence logique , et se lit “est équivalent à” ou ” si et seulement si “. Si P et Q sont des prédicats logiques , P ⇔ Q {displaystyle PLeftrightarrow Q} est donc une abréviation de ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) {displaystyle (PRightarrow Q)land (QRightarrow P)} , ou de ( P ∧ Q ) ∨ ( ¬ P ∧ ¬ Q ) {displaystyle (Pland Q)lor (neg Pland neg Q)} . 2. Souvent utilisé à tort ^[3] en clair comme abréviation de « si et seulement si ». ⊤ 1. ⊤ {style d’affichage top } désigne le prédicat logique toujours vrai . 2. Désigne également la valeur de vérité true . 3. Désigne parfois l’ élément supérieur d’un réseau borné (les significations précédentes sont des exemples spécifiques). 4. Pour l’utilisation en exposant, voir ^⊤ □ . ⊥ 1. ⊥ {displaystylebot} désigne le prédicat logique toujours faux . 2. Désigne également la valeur de vérité false . 3. Désigne parfois l’ élément inférieur d’un réseau borné (les significations précédentes sont des exemples spécifiques). 4. En tant qu’opérateur binaire , dénote la perpendicularité et l’ orthogonalité . Par exemple, si A, B, C sont trois points dans un espace euclidien , alors A B ⊥ A C {displaystyle ABperp AC} signifie que les segments de droite AB et AC sont perpendiculaires et forment un angle droit . 5. En Cryptographie désigne souvent une erreur à la place d’une valeur normale. 6. Pour l’utilisation en exposant, voir □ ^⊥ .

Tableau noir gras

La police de Caractères gras du tableau noir est largement utilisée pour désigner les systèmes de numération de base . Ces systèmes sont souvent également désignés par la lettre majuscule en gras correspondante. Un avantage clair du tableau noir en gras est que ces symboles ne peuvent être confondus avec rien d’autre. Cela permet de les utiliser dans n’importe quel domaine des mathématiques, sans avoir à rappeler leur définition. Par exemple, si l’on rencontre R {displaystyle mathbb {R} } en combinatoire , il faut tout de suite savoir que cela désigne les nombres réels , bien que la combinatoire n’étudie pas les nombres réels (mais elle les utilise pour de nombreuses preuves).

N {displaystyle mathbb {N} } Désigne l’ensemble des nombres naturels { 1 , 2 , … } {style d’affichage {1,2,ldots }} , ou parfois { 0 , 1 , 2 , … } {style d’affichage {0,1,2,ldots }} . Il est souvent désigné aussi par N {displaystyle mathbf {N} } . Lorsque la distinction est importante et que les lecteurs peuvent supposer l’une ou l’autre des définitions, N 1 {displaystyle mathbb {N} _{1}} et N 0 {displaystyle mathbb {N} _{0}} sont utilisés, respectivement, pour désigner l’un d’eux sans ambiguïté. Z {displaystyle mathbb {Z} } Désigne l’ensemble des nombres entiers { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … } {displaystyle {ldots ,-2,-1,0,1,2,ldots }} . Il est souvent désigné aussi par Z {displaystyle mathbf {Z} } . Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} 1. Désigne l’ensemble des entiers p -adiques , où p est un nombre premier . 2. Parfois, Z n {displaystyle mathbb {Z} _{n}} désigne les entiers modulo n , où n est un entier supérieur à 0. La notation Z / n Z {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } est également utilisé, et est moins ambigu. Q {displaystyle mathbb {Q}} Désigne l’ensemble des nombres rationnels (fractions de deux entiers). Il est souvent désigné aussi par Q {displaystyle mathbf {Q}} . Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} Désigne l’ensemble des nombres p -adiques , où p est un nombre premier . R {displaystyle mathbb {R} } Désigne l’ensemble des nombres réels . Il est souvent désigné aussi par R {displaystyle mathbf {R} } . C {displaystyle mathbb {C} } Désigne l’ensemble des nombres complexes . Il est souvent désigné aussi par C {displaystyle mathbf {C} } . H {displaystyle mathbb {H} } Désigne l’ensemble des quaternions . Il est souvent désigné aussi par H {displaystyle mathbf {H} } . F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} Désigne le corps fini avec q éléments, où q est une puissance première (y compris les nombres premiers ). Il est également noté GF( q ) . O {displaystyle mathbb {O}} Utilisé en de rares occasions pour désigner l’ensemble des octonions . Il est souvent désigné aussi par O {displaystyle mathbf {O}} .

Calcul

□ ‘ Notation de Lagrange pour la dérivée : Si f est une fonction d’une seule variable, f ′ {displaystyle f’} , lu comme “f premier”, est la dérivée de f par rapport à cette variable. La dérivée seconde est la dérivée de f ′ {displaystyle f’} , et est noté f ′′ {displaystyle f”} . ◻ ̇ {displaystyle {dot {Box}}} La notation de Newton , la plus couramment utilisée pour la dérivée par rapport au temps : Si x est une variable dépendant du temps, alors x ̇ {displaystyle {point {x}}} est sa dérivée par rapport au temps. En particulier, si x représente un point mobile, alors x ̇ {displaystyle {point {x}}} est sa vitesse . ◻ ̈ {displaystyle {ddot {Box}}} Notation de Newton , pour la dérivée seconde : Si x est une variable qui représente un point mobile, alors x ̈ {displaystyle {ddot {x}}} est son accélération . j □/j □ La notation de Leibniz pour la dérivée , qui est utilisée de plusieurs manières légèrement différentes. 1. Si y est une variable qui dépend de x , alors d y d x {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}} , lu comme “dy sur d x”, est la dérivée de y par rapport à x . 2. Si f est une fonction d’une seule variable x , alors d f d x {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}} est la dérivée de f , et d f d x ( a ) {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}(a)} est la valeur de la dérivée en a . 3. Dérivée totale : Si f ( x 1 , … , x n ) {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})} est une fonction de plusieurs variables qui dépendent de x , alors d f d x {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}} est la dérivée de f considérée comme une fonction de x . C’est, d f d x = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i d x {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{dx}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x_{i}}} ,{frac {mathrm {d} x_{i}}{mathrm {d} x}}} . ∂ □/∂ □ Dérivée partielle : Si f ( x 1 , … , x n ) {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})} est une fonction de plusieurs variables, ∂ f ∂ x i {displaystyle textstyle {frac {partial f}{partial x_{i}}}} est la dérivée par rapport à la ième variable considérée comme une variable indépendante , les autres variables étant considérées comme des constantes. δ □/δ □ Dérivée fonctionnelle : Si f ( y 1 , … , y n ) {displaystyle f(y_{1},ldots ,y_{n})} est une fonctionnelle de plusieurs fonctions , δ f δ y i {displaystyle textstyle {frac {delta f}{delta y_{i}}}} est la dérivée fonctionnelle par rapport à la n ième fonction considérée comme une variable indépendante , les autres fonctions étant considérées comme constantes. ◻ ̄ {displaystyle {overline {Box}}} 1. Conjugué complexe : Si z est un nombre complexe , alors z ̄ {displaystyle {overline {z}}} est son conjugué complexe. Par example, a + b i ̄ = a − b i {displaystyle {overline {a+bi}}=a-bi} . 2. Clôture topologique : Si S est un sous- ensemble d’un espace topologique T , alors S ̄ {displaystyle {overline {S}}} est sa fermeture topologique, c’est-à-dire le plus petit sous- ensemble fermé de T qui contient S . 3. Clôture algébrique : Si F est un corps , alors F ̄ {displaystyle {overline {F}}} est sa clôture algébrique, c’est-à-dire le plus petit corps algébriquement clos contenant F . Par example, Q ̄ {displaystyle {overline {mathbb {Q}}}} est le corps de tous les nombres algébriques . 4. Valeur moyenne : Si x est une variable qui prend ses valeurs dans une séquence de nombres S , alors x ̄ {displaystyle {overline {x}}} peut désigner la moyenne des éléments de S . → 1. A → B {displaystyle Avers B} désigne une fonction de domaine A et de codomaine B . Pour nommer une telle fonction, on écrit f : A → B {displaystyle f:Avers B} , qui se lit comme ” f de A à B “. 2. Plus généralement, A → B {displaystyle Avers B} désigne un homomorphisme ou un morphisme de A vers B . 3. Peut dénoter une implication logique . Pour l’ implication matérielle largement utilisée dans le raisonnement mathématique, elle est aujourd’hui généralement remplacée par ⇒ . En logique mathématique , il reste utilisé pour désigner l’implication, mais sa signification exacte dépend de la théorie spécifique étudiée. 4. Au-dessus d’un nom de variable , signifie que la variable représente un vecteur , dans un contexte où les variables ordinaires représentent des scalaires ; par exemple, v → {displaystyle {overrightarrow {v}}} . Gras ( v {displaystyle mathbf {v} } ) ou un circonflexe ( v ^ {displaystyle {chapeau {v}}} ) sont souvent utilisés dans le même but. 5. En géométrie euclidienne et plus généralement en géométrie affine , P Q → {displaystyle {overrightarrow {PQ}}} désigne le vecteur défini par les deux points P et Q , qui peut être identifié à la translation qui applique P à Q . Le même vecteur peut être noté aussi Q − P {displaystyle QP} ; voir Espace affine . ↦ Utilisé pour définir une fonction sans avoir à la nommer. Par example, x ↦ x 2 {displaystyle xmapsto x^{2}} est la fonction carrée . ○ ^[4] 1. Composition de fonctions : Si f et g sont deux fonctions, alors g ∘ f {displaystyle gcirc f} est la fonction telle que ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) {displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))} pour chaque valeur de x . 2. Produit de Hadamard de matrices : Si A et B sont deux matrices de même taille, alors A ∘ B {displaystyle Acirc B} est la matrice telle que ( A ∘ B ) i , j = ( A ) i , j ( B ) i , j {displaystyle (Acirc B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}} . Peut-être, ∘ {displaystyle circ } est également utilisé à la place de ⊙ pour le produit Hadamard de série entière . ^{[ citation nécessaire ]} ∂ 1. Frontière d’un sous- espace topologique : Si S est un sous-espace d’un espace topologique, alors sa frontière , notée ∂ S {displaystylepartiel S} , est la différence de consigne entre la fermeture et l’ intérieur de S . 2. Dérivée partielle : voir ∂□/∂□. ∫ 1. Sans indice, désigne une primitive . Par example, ∫ x 2 d x = x 3 3 + C {displaystyle textstyle int x^{2}dx={frac {x^{3}}{3}}+C} . 2. Avec un indice et un exposant, ou des expressions placées au-dessous et au-dessus, désigne une intégrale définie . Par example, ∫ a b x 2 d x = b 3 − a 3 3 {displaystyle textstyle int _{a}^{b}x^{2}dx={frac {b^{3}-a^{3}}{3}}} . 3. Avec un indice qui dénote une courbe, dénote une ligne intégrale . Par example, ∫ C f = ∫ a b f ( r ( t ) ) r ′ ( t ) d ⁡ t {displaystyle textstyle int _{C}f=int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)operatorname {d} t} , si r est une paramétrisation de la courbe C , de a à b . ∮ Souvent utilisé, généralement en physique, au lieu de ∫ {displaystyle textstyle int } pour les intégrales linéaires sur une courbe fermée . ∫∫, ∮∮ Semblable à ∫ {displaystyle textstyle int } et ∮ {displaystyle textstyle point } pour les intégrales de surface . ∇ {displaystyle {boldsymbol {nabla }}} ou alors ∇ → {displaystyle {vec {nabla }}} Nabla , l’ opérateur de gradient ou de dérivée vectorielle ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {displaystyle textstyle left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}} à droite)} , également appelé del ou grad . ◻ {displaystyle {boldsymbol {Box}}} ou alors ◻ → {displaystyle {vec {Box}}} (ici un véritable carré en gras, pas un espace réservé) Quad , le tenseur ou l’ opérateur de gradient à 4 vecteurs , ou quatre gradients , ( ∂ ∂ t , ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {displaystyle textstyle left({frac {partial }{partial t}},{frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}}, {frac {partial }{partial z}}right)} , aussi appelé box ou quabla . Δ ou ∇2 1. Opérateur de Laplace ou Laplacien : ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {displaystyle textstyle {frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{ frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}} . Aussi noté ∇ ² , où le carré représente une sorte de produit scalaire de ∇ et de lui-même. 2. Peut désigner la différence symétrique de deux ensembles, c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui appartiennent exactement à l’un des ensembles. Également noté ⊖ . 3. Également utilisé pour désigner l’opérateur de différence finie . ◻ {style d’affichage boîte} ou alors ◻ 2 {displaystyle {Boîte}^{2}} (ici une vraie boîte, pas un espace réservé) Désigne le d’Alembertian ou quadrigradient au carré , qui est une généralisation du Laplacien aux espaces non euclidiens . Peut signifier soit − ∂ 2 ∂ t 2 + ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {displaystyle ~textstyle -{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}} +{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}~;} ou alors + ∂ 2 ∂ t 2 − ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ 2 ∂ y 2 − ∂ 2 ∂ z 2 ; {displaystyle ;~textstyle +{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2} }}-{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}~;; } la convention de signe doit être précisée.

Algèbre linéaire et multilinéaire

∑ ( notation Sigma ) 1. Désigne la somme d’un nombre fini de termes, qui sont déterminés par des indices et des exposants (qui peuvent également être placés en dessous et au-dessus), comme dans ∑ i = 1 n i 2 {displaystyle textstyle sum _{i=1}^{n}i^{2}} ou alors ∑ 0 < i < j < n j − i {displaystyle textstyle sum _{0<i<j<n}ji} . 2. Désigne une série et, si la série est convergente , la somme de la série . Par example, ∑ i = 0 ∞ x i i ! = e x {displaystyle textstyle sum _{i=0}^{infty }{frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}} . ∏ ( Notation majuscule-pi ) 1. Désigne le produit d’un nombre fini de termes, qui sont déterminés par des indices et des exposants (qui peuvent également être placés en dessous et au-dessus), comme dans ∏ i = 1 n i 2 {displaystyle textstyle prod _{i=1}^{n}i^{2}} ou alors ∏ 0 < i < j < n j − i {displaystyle textstyle prod _{0<i<j<n}ji} . 2. Désigne un produit infini . Par exemple, la formule du produit d’Euler pour la fonction zêta de Riemann est ζ ( z ) = ∏ n = 1 ∞ 1 1 − p n − z {displaystyle textstyle zeta (z)=prod _{n=1}^{infty }{frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}} . 3. Également utilisé pour le produit cartésien d’un nombre quelconque d’ensembles et le produit direct d’un nombre quelconque de structures mathématiques . ⊕ 1. Somme directe interne : si E et F sont des sous- groupes abéliens d’un groupe abélien V , notation V = E ⊕ F {displaystyle V=Eoplus F} signifie que V est la somme directe de E et F ; c’est-à-dire que chaque élément de V peut être écrit d’une manière unique comme la somme d’un élément de E et d’un élément de F . Ceci s’applique également lorsque E et F sont des sous- espaces linéaires ou des sous- modules de l’ espace vectoriel ou du module V . 2. Somme directe : si E et F sont deux groupes abéliens , espaces vectoriels , ou modules , alors leur somme directe, notée E ⊕ F {displaystyle Eoplus F} est un groupe abélien, espace vectoriel ou module (respectivement) muni de deux monomorphismes f : E → E ⊕ F {displaystyle f:Evers Eoplus F} et g : F → E ⊕ F {displaystyle g:Fto Eoplus F} tel que E ⊕ F {displaystyle Eoplus F} est la somme directe interne de f ( E ) {displaystyle f(E)} et g ( F ) {displaystyle g(F)} . Cette définition a du sens car cette somme directe est unique à un isomorphisme unique près . 3. Ou exclusif : si E et F sont deux variables booléennes ou prédicats , E ⊕ F {displaystyle Eoplus F} peut désigner le ou exclusif. Notations E XOR F et E ⊻ F {displaystyle Eveebar F} sont également couramment utilisés ; voir ⊻ . ⊗ Désigne le produit tensoriel . Si E et F sont des groupes abéliens , des espaces vectoriels ou des modules sur un anneau commutatif , alors le produit tensoriel de E et F , noté E ⊗ F {displaystyle Eotimes F} est un groupe abélien, un espace vectoriel ou un module (respectivement), muni d’une application bilinéaire ( e , f ) ↦ e ⊗ f {displaystyle (e,f)mapsto eotimes f} depuis E × F {displaystyle Efois F} pour E ⊗ F {displaystyle Eotimes F} , de sorte que les applications bilinéaires de E × F {displaystyle Efois F} à tout groupe abélien, espace vectoriel ou module G peut être identifié avec les applications linéaires de E ⊗ F {displaystyle Eotimes F} à G. _ Si E et F sont des espaces vectoriels sur un champ R , ou des modules sur un anneau R , le produit tensoriel est souvent noté E ⊗ R F {displaystyle Eotimes _{R}F} pour éviter toute ambiguïté. □ ^⊤ 1. Transposer : si A est une matrice, A ⊤ {displaystyle A^{haut}} désigne la transposée de A , c’est-à-dire la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A . Notation ⊤ A {displaystyle ^{haut}!!A} est également utilisé. Le symbole ⊤ {style d’affichage top } est souvent remplacé par la lettre T ou t . 2. Pour les utilisations en ligne du symbole, voir ⊤ . □ ^⊥ 1. Complément orthogonal : Si W est un sous- espace linéaire d’un espace produit interne V , alors W ⊥ {displaystyle W^{bot }} désigne son complément orthogonal , c’est-à-dire l’espace linéaire des éléments de V dont les produits scalaires avec les éléments de W sont tous nuls. 2. Sous-espace orthogonal dans l’ espace dual : Si W est un sous- espace linéaire (ou un sous- module ) d’un espace vectoriel (ou d’un module ) V , alors W ⊥ {displaystyle W^{bot }} peut désigner le sous- espace orthogonal de W , c’est-à-dire l’ensemble de toutes les formes linéaires qui mappent W à zéro. 3. Pour les utilisations en ligne du symbole, voir ⊥ .

Théorie des groupes avancée

⋉
⋊ 1. Produit semi-direct interne : si N et H sont des sous-groupes d’un groupe G , tel que N est un sous-groupe normal de G , alors G = N ⋊ H {displaystyle G=Nrfois H} et G = H ⋉ N {displaystyle G=Hlfois N} signifient que G est le produit semi-direct de N et H , c’est-à-dire que tout élément de G peut être décomposé de manière unique en produit d’un élément de N et d’un élément de H (contrairement au produit direct des groupes , l’élément de H peut changer si l’ordre des facteurs est modifié). 2. Produit semi -direct extérieur : si N et H sont deux groupes , et φ {displaystylevarphi } est un homomorphisme de groupe de N vers le groupe d’automorphisme de H , alors N ⋊ φ H = H ⋉ φ N {displaystyle Nrtimes _{varphi }H=Hltimes _{varphi }N} désigne un groupe G , unique à un isomorphisme de groupe près , qui est un produit semi-direct de N et H , avec la commutation des éléments de N et H définie par φ {displaystylevarphi } . ≀ En théorie des groupes , G ≀ H {displaystyle Gwr H} désigne le produit en couronne des groupes G et H . Il est également noté comme G wr ⁡ H {displaystyle Gnomopérateur {wr} H} ou alors G Wr ⁡ H {displaystyle Goperatorname {Wr} H} ; voir produit Couronne § Notation et conventions pour plusieurs variantes de notation.

Nombres infinis

∞ 1. Le symbole se lit comme l’ infini . En tant que borne supérieure d’une sommation , un produit infini , une intégrale , etc., signifie que le calcul est illimité. De la même manière, − ∞ {displaystyle -infty} dans une borne inférieure signifie que le calcul n’est pas limité aux valeurs négatives. 2. − ∞ {displaystyle -infty} et + ∞ {displaystyle +infty} sont les nombres généralisés qui sont ajoutés à la ligne réelle pour former la ligne réelle étendue . 3. ∞ {displaystyle infty} est le nombre généralisé qui est ajouté à la droite réelle pour former la droite réelle étendue projectivement . c c {displaystyle {mathfrak {c}}} désigne la cardinalité du continuum , qui est la cardinalité de l’ensemble des nombres réels . א Avec un i ordinal en indice, désigne le i ième nombre aleph , c’est-à-dire le i ième cardinal infini . Par example, א 0 {displaystyle aleph _{0}} est le plus petit cardinal infini, c’est-à-dire le cardinal des nombres naturels. ב Avec un ordinal i en indice, désigne le i ième beth nombre . Par example, ב 0 {displaystyle beth _{0}} est le cardinal des nombres naturels, et ב 1 {displaystyle beth _{1}} est le cardinal du continuum . ω 1. Désigne le premier ordinal limite . Il est également noté ω 0 {displaystyle oméga _{0}} et peut être identifié avec l’ ensemble ordonné des nombres naturels . 2. Avec un ordinal i en indice, désigne le i ième ordinal limite qui a un cardinalité supérieure à celle de tous les ordinaux précédents. 3. En informatique , désigne la plus grande borne inférieure (inconnue) de l’exposant de la complexité de calcul de calcul de la multiplication matricielle . 4. Écrit en fonction d’une autre fonction, il est utilisé pour comparer la croissance asymptotique de deux fonctions. Voir notation Big O § Notations asymptotiques associées . 5. En théorie des nombres , peut désigner la fonction oméga première . C’est, ω ( n ) {displaystyle oméga (n)} est le nombre de facteurs premiers distincts de l’entier n .

Supports

De nombreuses sortes de parenthèses sont utilisées en mathématiques. Leurs significations dépendent non seulement de leurs formes, mais aussi de la nature et de l’agencement de ce qui est délimité par elles, et parfois de ce qui apparaît entre elles ou devant elles. Pour cette raison, dans les titres des entrées, le symbole □ est utilisé pour schématiser la syntaxe qui sous-tend le sens.

Parenthèses

(□) Utilisé dans une expression pour spécifier que la sous-expression entre parenthèses doit être considérée comme une seule entité ; généralement utilisé pour spécifier l’ ordre des opérations . □(□)
□(□, □)
□(□, …, □) 1. Notation fonctionnelle : si le premier ◻ {style d’affichage boîte} est le nom (symbole) d’une fonction , désigne la valeur de la fonction appliquée à l’expression entre parenthèses ; par exemple, f ( x ) {displaystyle f(x)} , sin ⁡ ( x + y ) {displaystyle sin(x+y)} . Dans le cas d’une fonction multivariée , les parenthèses contiennent plusieurs expressions séparées par des virgules, telles que f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} . 2. Peut également désigner un produit, comme dans a ( b + c ) {displaystyle a(b+c)} . Lorsque la confusion est possible, le contexte doit distinguer quels symboles désignent des fonctions et lesquels désignent des variables . (□, □) 1. Désigne une paire ordonnée d’ objets mathématiques , par exemple, ( π , 0 ) {displaystyle (pi ,0)} . 2. Si a et b sont des nombres réels , − ∞ {displaystyle -infty} , ou alors + ∞ {displaystyle +infty} , et a < b , alors ( a , b ) {displaystyle (a,b)} désigne l’ intervalle ouvert délimité par a et b . Voir ]□, □[ pour une notation alternative. 3. Si a et b sont des entiers , ( a , b ) {displaystyle (a,b)} peut désigner le plus grand commun diviseur de a et b . Notation gcd ( a , b ) {displaystyle gcd(a,b)} est souvent utilisé à la place. (□, □, □) Si x , y , z sont des vecteurs dans R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} , alors ( x , y , z ) {displaystyle (x,y,z)} peut désigner le triple produit scalaire . ^{[ citation nécessaire ]} Voir aussi [□,□,□] dans § Crochets . (□, …, □) Désigne un tuple . S’il y a n objets séparés par des virgules, c’est un n -uplet. (□, □, …)
(□, …, □, …) Désigne une suite infinie . ( ◻ ⋯ ◻ ⋮ ⋱ ⋮ ◻ ⋯ ◻ ) {displaystyle {begin{pmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{pmatrix}}} Désigne une matrice . Souvent noté entre crochets . ( ◻ ◻ ) {displaystyle {binom {Box }{Box }}} Désigne un coefficient binomial : Étant donné deux entiers non négatifs , ( n k ) {displaystyle {binom {n}{k}}} se lit comme ” n choisit k “, et est défini comme l’entier n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋯ k = n ! k ! ( n − k ) ! {displaystyle {frac {n(n-1)cdots (n-k+1)}{1cdot 2cdots k}}={frac {n!}{k!,(nk) ! }}} (si k = 0 , sa valeur est classiquement 1 ). En utilisant l’expression de gauche, il désigne un polynôme en n , et est donc défini et utilisé pour toute valeur réelle ou complexe de n . ( □/□) Symbole de Legendre : Si p est un nombre premier impair et a est un entier , la valeur de ( a p ) {displaystyle left({frac {a}{p}}right)} vaut 1 si a est un résidu quadratique modulo p ; il vaut –1 si a est un non-résidu quadratique modulo p ; c’est 0 si p divise a . La même notation est utilisée pour le symbole de Jacobi et le symbole de Kronecker , qui sont des généralisations où p est respectivement tout entier positif impair, ou tout entier.

Crochets

[□] 1. Parfois utilisé comme synonyme de (□) pour éviter les parenthèses imbriquées. 2. Classe d’équivalence : étant donné une relation d’équivalence , [ x ] {style d’affichage [x]} désigne souvent la classe d’équivalence de l’élément x . 3. Partie intégrale : si x est un nombre réel , [ x ] désigne souvent la partie entière ou la troncature de x , c’est-à-dire l’entier obtenu en supprimant tous les chiffres après la virgule . Cette notation a également été utilisée pour d’autres variantes de fonctions de plancher et de plafond . 4. Parenthèse d’ Iverson : si P est un prédicat , [ P ] {style d’affichage [P]} peut désigner la parenthèse d’Iverson, c’est-à-dire la fonction qui prend la valeur 1 pour les valeurs des variables libres dans P pour lesquelles P est vrai, et prend la valeur 0 sinon. Par example, [ x = y ] {displaystyle [x=y]} est la fonction delta de Kronecker , qui vaut un si x = y {displaystyle x=y} , et zéro sinon. □[□] Image d’un sous-ensemble : si S est un sous- ensemble du domaine de la fonction f , alors f [ S ] {displaystyle f[S]} est parfois utilisé pour désigner l’image de S . Lorsqu’aucune confusion n’est possible, la notation f ( S ) est couramment utilisée. [□, □] 1. Intervalle fermé : si a et b sont des nombres réels tels que a ≤ b {displaystyle aleq b} , alors [ a , b ] {displaystyle [a,b]} désigne l’intervalle fermé défini par eux. 2. Commutateur (théorie des groupes) : si a et b appartiennent à un groupe , alors [ a , b ] = a − 1 b − 1 a b {displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab} . 3. Commutateur (théorie des anneaux) : si a et b appartiennent à un anneau , alors [ a , b ] = a b − b a {displaystyle [a,b]=ab-ba} . 4. Désigne la parenthèse de Lie , l’opération d’une algèbre de Lie . [□ : □] 1. Degré d’extension d’un champ : si F est une extension d’un champ E , alors [ F : E ] {style d’affichage [F:E]} désigne le degré d’ extension du champ F / E {displaystyle F/E} . Par example, [ C : R ] = 2 {displaystyle [mathbb {C} :mathbb {R} ]=2} . 2. Indice d’un sous-groupe : si H est un sous- groupe d’un groupe E , alors [ G : H ] {style d’affichage [G:H]} désigne l’indice de H dans G . La notation | G:H | est également utilisé [□, □, □] Si x , y , z sont des vecteurs dans R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} , alors [ x , y , z ] {displaystyle [x, y, z]} peut désigner le triple produit scalaire . ^[5] Voir aussi (□,□,□) dans § Parenthèses . [ ◻ ⋯ ◻ ⋮ ⋱ ⋮ ◻ ⋯ ◻ ] {displaystyle {begin{bmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{bmatrix}}} Désigne une matrice . Souvent noté entre parenthèses .

Un appareil dentaire

{ } Notation de constructeur d’ensemble pour l’ ensemble vide , également noté ∅ {displaystyle emptyset} ou ∅ . {□} 1. Parfois utilisé comme synonyme de (□) et [□] pour éviter les parenthèses imbriquées. 2. Notation set-builder pour un ensemble singleton : { x } {style d’affichage {x}} désigne l’ ensemble qui a x comme élément unique. {□, …, □} Notation constructeur d’ ensemble : désigne l’ ensemble dont les éléments sont listés entre les accolades, séparés par des virgules. {□ : □}
{□ | □} Notation ensembliste : si P ( x ) {displaystyle P(x)} est un prédicat dépendant d’une variable x , alors les deux { x : P ( x ) } {displaystyle {x:P(x)}} et { x ∣ P ( x ) } {displaystyle {xmid P(x)}} désigne l’ ensemble formé par les valeurs de x pour lesquelles P ( x ) {displaystyle P(x)} est vrai. Accolade simple 1. Utilisé pour souligner que plusieurs équations doivent être considérées comme des équations simultanées ; par exemple, { 2 x + y = 1 3 x − y = 1 {displaystyle textstyle {begin{cas}2x+y=1\3x-y=1end{cas}}} . 2. Définition par morceaux ; par exemple, | x | = { x if x ≥ 0 − x if x < 0 {displaystyle textstyle |x|={begin{cases}x&{text{if }}xgeq 0\-x&{text{if }}x<0end{cases}}} . 3. Utilisé pour l’annotation groupée d’éléments dans une formule ; par exemple, ( a , b , … , z ) ⏟ 26 { displaystyle textstyle underbrace {(a, b, ldots, z)} _ {26}} , 1 + 2 + ⋯ + 100 ⏞ = 5050 {displaystyle textstyle overbrace {1+2+cdots +100} ^{=5050}} , [ A B ] } m + n rows {displaystyle textstyle left.{begin{bmatrix}A\Bend{bmatrix}}right}m+n{text{lignes}}}

Autres supports

|□| 1. Valeur absolue : si x est un nombre réel ou complexe , | x | {displaystyle |x|} désigne sa valeur absolue. 2. Nombre d’éléments : Si S est un ensemble , | x | {displaystyle |x|} peut désigner sa cardinalité , c’est-à-dire son nombre d’éléments. # S {displaystyle#S} est aussi souvent utilisé, voir # . 3. Longueur d’un segment de droite : Si P et Q sont deux points dans un espace euclidien , alors | P Q | {displaystyle |PQ|} désigne souvent la longueur du segment de ligne qu’ils définissent, qui est la distance de P à Q , et est souvent noté d ( P , Q ) {displaystyle d(P,Q)} . 4. Pour un opérateur similaire, voir | . | □ :□ | Indice d’un sous-groupe : si H est un sous- groupe d’un groupe G , alors | G : H | {displaystyle |G:H|} désigne l’indice de H dans G . La notation [G:H] est également utilisée | ◻ ⋯ ◻ ⋮ ⋱ ⋮ ◻ ⋯ ◻ | {displaystyle textstyle {begin{vmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{vmatrix}}} | x 1 , 1 ⋯ x 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ x n , 1 ⋯ x n , n | {displaystyle {begin{vmatrix}x_{1,1}&cdots &x_{1,n}\vdots &ddots &vdots \x_{n,1}&cdots &x_{n,n }end{matrice}}} désigne le déterminant de la matrice carrée [ x 1 , 1 ⋯ x 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ x n , 1 ⋯ x n , n ] {displaystyle {begin{bmatrix}x_{1,1}&cdots &x_{1,n}\vdots &ddots &vdots \x_{n,1}&cdots &x_{n,n }end{bmatrice}}} . ||□|| 1. Désigne la norme d’un élément d’un espace vectoriel normé . 2. Pour l’opérateur d’apparence similaire nommé parallel , voir ∥ . ⌊□⌋ Fonction Floor : si x est un nombre réel, ⌊ x ⌋ {displaystyle létage xrétage } est le plus grand entier non supérieur à x . ⌈□⌉ Fonction plafond : si x est un nombre réel, ⌈ x ⌉ {displaystyle lceil xrceil } est le plus petit entier qui n’est pas inférieur à x . ⌊□⌉ Fonction entière la plus proche : si x est un nombre réel, ⌊ x ⌉ {displaystyle lfloor xrceil} est l’ entier le plus proche de x . ]□, □[ Intervalle ouvert : Si a et b sont des nombres réels, − ∞ {displaystyle -infty} , ou alors + ∞ {displaystyle +infty} , et a < b {displaystyle a<b} , alors ] a , b [ {displaystyle ]a,b[} désigne l’intervalle ouvert délimité par a et b. Voir (□, □) pour une notation alternative. (□, □]
]□, □] Les deux notations sont utilisées pour un intervalle laissé ouvert . [□, □)
[□, □[ Les deux notations sont utilisées pour un intervalle ouvert à droite . ⟨□⟩ 1. Objet généré : si S est un ensemble d’éléments d’une structure algébrique, ⟨ S ⟩ {displaystyle langle Srangle } désigne souvent l’objet généré par S . Si S = { s 1 , … , s n } {displaystyle S={s_{1},ldots ,s_{n}}} , on écrit ⟨ s 1 , … , s n ⟩ {displaystyle langle s_{1},ldots ,s_{n}rangle } (c’est-à-dire que les accolades sont omises). En particulier, cela peut signifier

• la durée linéaire dans un espace vectoriel (également souvent notée Span( S ) ),
• le sous- groupe généré dans un groupe ,
• l’ idéal généré dans un anneau ,
• le sous- module généré dans un module .

2. Souvent utilisé, principalement en physique, pour désigner une valeur attendue . En théorie des probabilités , E ( X ) {displaystyle E(X)} est généralement utilisé à la place de ⟨ S ⟩ {displaystyle langle Srangle } . ⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩ Tous les deux ⟨ x , y ⟩ {displaystyle langle x,yrangle } et ⟨ x ∣ y ⟩ {displaystyle langle xmilieu yrangle } sont couramment utilisés pour désigner le produit interne dans un espace de produit interne . ⟨□| et |□⟩ Notation Bra–ket ou notation de Dirac : si x et y sont des éléments d’un espace produit scalaire , | x ⟩ {displaystyle |xrangle } est le vecteur défini par x , et ⟨ y | {displaystyle langle y|} est le covecteur défini par y ; leur produit intérieur est ⟨ y ∣ x ⟩ {displaystyle langle ymilieu xrangle } .

Symboles n’appartenant pas à des formules

Dans cette section, les symboles répertoriés sont utilisés comme des sortes de signes de ponctuation dans le raisonnement mathématique ou comme des abréviations de phrases en anglais. Ils ne sont généralement pas utilisés dans une formule. Certains ont été utilisés dans la logique classique pour indiquer la dépendance logique entre des phrases écrites en anglais simple. À l’exception des deux premiers, ils ne sont normalement pas utilisés dans les textes mathématiques imprimés car, pour des raisons de lisibilité, il est généralement recommandé d’avoir au moins un mot entre deux formules. Cependant, ils sont toujours utilisés sur un tableau noir pour indiquer les relations entre les formules.

■ , □ Utilisé pour marquer la fin d’une preuve et la séparer du texte courant. Le sigle Q.ED ou QED ( latin : quod erat demonstrandum , “comme il fallait le montrer”) est souvent utilisé dans le même but, soit en majuscule, soit en minuscule. ☡ Symbole du virage dangereux de Bourbaki : Parfois utilisé en marge pour prévenir les lecteurs contre les erreurs graves, où ils risquent de tomber, ou pour marquer un passage délicat en première lecture à cause d’un argument particulièrement subtil. ∴ Abréviation de “donc”. Placé entre deux assertions, cela signifie que la première implique la seconde. Par exemple : “Tous les humains sont mortels, et Socrate est un humain. ∴ Socrate est mortel.” ∵ Abréviation de “parce que” ou “depuis”. Placé entre deux assertions, cela signifie que la première est impliquée par la seconde. Par exemple : ” 11 est premier ∵ il n’a pas de facteurs entiers positifs autres que lui-même et un.” ∋ 1. Abréviation de “tel que”. Par example, x ∋ x > 3 {displaystyle xni x>3} est normalement écrit ” x tel que x > 3 {displaystyle x>3} “. 2. Parfois utilisé pour inverser les opérandes de ∈ { style d’affichage dans } ; C’est, S ∋ x {displaystyle Sni x} a le même sens que x ∈ S {displaystyle xin S} . Voir ∈ dans § Théorie des ensembles . ∝ Abréviation de “est proportionnel à”.

Divers

! 1. Factorielle : si n est un entier positif , n ! est le produit des n premiers entiers positifs, et se lit comme “n factoriel”. 2. Sous- factorielle : si n est un entier positif, ! n est le nombre de dérangements d’un ensemble de n éléments, et se lit comme “la sous-factorielle de n”. * De nombreuses utilisations différentes en mathématiques; voir Astérisque § Mathématiques . | 1. Divisibilité : si m et n sont deux entiers, m ∣ n {displaystyle mmid n} signifie que m divise n de manière égale. 2. Dans la notation set-builder , il est utilisé comme séparateur signifiant “tel que” ; voir {□ | □} . 3. Restriction d’une fonction : si f est une fonction , et S est un sous- ensemble de son domaine , alors f | S {displaystyle f|_{S}} est la fonction avec S comme domaine qui vaut f sur S . 4. Probabilité conditionnelle : P ( X ∣ E ) {displaystyle P(Xmid E)} désigne la probabilité de X étant donné que l’événement E se produit. Aussi noté P ( X / E ) {displaystyle P(X/E)} ; voir ” / “. 5. Pour plusieurs utilisations comme supports (par paires ou avec ⟨ et ⟩ ) voir § Autres supports . ∤ Indivisibilité : n ∤ m {displaystyle nnmid m} signifie que n n’est pas un diviseur de m . ∥ 1. Désigne le parallélisme en géométrie élémentaire : si PQ et RS sont deux droites , P Q ∥ R S {displaystyle PQRS parallèle} signifie qu’ils sont parallèles. 2. Parallèle , une opération arithmétique utilisée en électrotechnique pour modéliser des résistances parallèles : x ∥ y = 1 1 x + 1 y {displaystyle xparallel y={frac {1}{{frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}}}} . 3. Utilisé par paires comme parenthèses, désigne une norme ; voir ||□|| . ∦ Parfois utilisé pour indiquer que deux lignes ne sont pas parallèles; par exemple, P Q ∦ R S { displaystyle PQ pas parallèle RS} . ⊙ Produit de Hadamard de série entière : si S = ∑ i = 0 ∞ s i x i {displaystyle textstyle S=sum _{i=0}^{infty}s_{i}x^{i}} et T = ∑ i = 0 ∞ t i x i {displaystyle textstyle T=sum _{i=0}^{infty}t_{i}x^{i}} , alors S ⊙ T = ∑ i = 0 ∞ s i t i x i {displaystyle textstyle Sodot T=sum _{i=0}^{infty}s_{i}t_{i}x^{i}} . Peut-être, ⊙ {displaystyle odot} est également utilisé à la place de ○ pour le produit Hadamard des matrices . ^{[ citation nécessaire ]}

Voir également

• Liste des symboles mathématiques (Unicode et LaTeX)
  • Liste des symboles mathématiques par sujet
  • Liste des symboles logiques
• Symboles mathématiques alphanumériques (bloc Unicode)
  • Constantes et fonctions mathématiques
  • Table of mathematical symbols by introduction date
• List of Unicode characters
  • Blackboard bold#Usage
  • Letterlike Symbols
  • Unicode block
• Lists of Mathematical operators and symbols in Unicode
  • Mathematical Operators and Supplemental Mathematical Operators
  • Miscellaneous Math Symbols: A, B, Technical
  • Arrow (symbol) and Miscellaneous Symbols and Arrows and arrow symbols
  • ISO 31-11 (Mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology)
  • Number Forms
  • Geometric Shapes
• Diacritic
• Language of mathematics
  • Mathematical notation
• Typographical conventions and common meanings of symbols:
  • APL syntax and symbols
  • Greek letters used in mathematics, science, and engineering
  • Latin letters used in mathematics
  • List of common physics notations
  • List of letters used in mathematics and science
  • List of mathematical abbreviations
  • Mathematical notation
  • Notation in probability and statistics
  • Physical constants
  • Typographical conventions in mathematical formulae

References

1. ^ ISO 80000-2, Section 9 “Operations”, 2-9.6
2. ^ “Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate”.
3. ^ ^{a b c d} Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (2017). “AMS style guide” (PDF). American Mathematical Society. p. 99.
4. ^ The LaTeX equivalent to both Unicode symbols ∘ and ○ is circ. The Unicode symbol that has the same size as circ depends on the browser and its implementation. In some cases ∘ is so small that it can be confused with an interpoint, and ○ looks similar as circ. In other cases, ○ is too large for denoting a binary operation, and it is ∘ that looks like circ. As LaTeX is commonly considered as the standard for mathematical typography, and it does not distinguish these two Unicode symbols, they are considered here as having the same mathematical meaning.
5. ^ Rutherford, D. E. (1965). Vector Methods. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh.

External links

• Jeff Miller : premières utilisations de divers symboles mathématiques
• Numericana : symboles et icônes scientifiques
• Images GIF et PNG pour les symboles mathématiques
• Symboles mathématiques en Unicode
• Detexify : outil de reconnaissance d’écriture manuscrite LaTeX

Quelques tableaux Unicode d’opérateurs mathématiques et de symboles :

• Index des symboles Unicode
• Plage 2100–214F : symboles de type lettre Unicode
• Plage 2190–21FF : flèches Unicode
• Plage 2200–22FF : opérateurs mathématiques Unicode
• Plage 27C0–27EF : symboles mathématiques divers Unicode–A
• Plage 2980–29FF : symboles mathématiques divers Unicode–B
• Plage 2A00–2AFF : opérateurs mathématiques supplémentaires Unicode

Quelques références croisées Unicode :

• Liste courte des symboles LaTeX couramment utilisés et liste complète des symboles LaTeX
• Caractères MathML – trie les noms Unicode, HTML et MathML/TeX sur une seule page
• Valeurs Unicode et noms MathML
• Valeurs Unicode et noms Postscript du code source de Ghostscript