Fraction

Une fraction (du latin fractus , “cassé”) représente une partie d’un tout ou, plus généralement, un nombre quelconque de parties égales. Lorsqu’elle est parlée dans l’anglais de tous les jours, une fraction décrit le nombre de parties d’une certaine taille, par exemple, un demi, huit cinquièmes, trois quarts. Une fraction courante , vulgaire ou simple (exemples : 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} et 17 3 {displaystyle {tfrac {17}{3}}} ) se compose d’un numérateur, affiché au-dessus d’une ligne (ou avant une Barre oblique comme 1 ⁄ 2 ), et d’un dénominateur non nul , affiché en dessous (ou après) cette ligne. Les numérateurs et les dénominateurs sont également utilisés dans les fractions qui ne sont pas courantes , y compris les fractions composées, les fractions complexes et les nombres mixtes.

Un gâteau avec un quart (un quart) enlevé. Les trois quarts restants sont représentés par des lignes pointillées et étiquetés par la fraction 1/4.

Dans les fractions communes positives, le numérateur et le dénominateur sont des nombres naturels . Le numérateur représente un nombre de parties égales et le dénominateur indique combien de ces parties constituent une unité ou un tout. Le dénominateur ne peut pas être zéro, car zéro partie ne peut jamais constituer un tout. Par exemple, dans la fraction 3/4, le numérateur 3 indique que la fraction représente 3 parties égales et le dénominateur 4 indique que 4 parties forment un tout. La photo de droite illustre 3/4d’un gâteau.

Une fraction commune est un nombre qui représente un nombre rationnel . Ce même nombre peut également être représenté sous la forme d’un nombre décimal , d’un pourcentage ou d’un exposant négatif. Par exemple, 0,01, 1 % et 10 ⁻² sont tous égaux à la fraction 1/100. Un entier peut être considéré comme ayant un dénominateur implicite de un (par exemple, 7 est égal à 7/1).

Les autres utilisations des fractions sont de représenter des rapports et des divisions . ^[1] Ainsi la fraction 3/4peut également être utilisé pour représenter le rapport 3: 4 (le rapport de la partie au tout) et la division 3 ÷ 4 (trois divisé par quatre). La règle du dénominateur non nul, qui s’applique lors de la représentation d’une division sous forme de fraction, est un exemple de la règle selon laquelle la division par zéro n’est pas définie.

On peut aussi écrire des fractions négatives, qui représentent l’opposé d’une fraction positive. Par exemple, si 1/2représente un bénéfice d’un demi-dollar, alors − 1/2représente une perte d’un demi-dollar. En raison des règles de division des nombres signés (qui stipulent en partie que négatif divisé par positif est négatif), − 1/2, −1/2et 1/−2représentent tous la même fraction – moins la moitié. Et parce qu’un négatif divisé par un négatif produit un positif, −1/−2représente la moitié positive.

En mathématiques, ensemble de tous les nombres pouvant être exprimés sous la forme un/b, où a et b sont des Entiers et b n’est pas nul, est appelé l’ensemble des nombres rationnels et est représenté par le symbole Q , qui signifie quotient . Un nombre est un nombre rationnel Précisément lorsqu’il peut être écrit sous cette forme (c’est-à-dire comme une fraction commune). Cependant, le mot fraction peut également être utilisé pour décrire des expressions mathématiques qui ne sont pas des nombres rationnels. Des exemples de ces utilisations incluent les fractions algébriques (quotients d’expressions algébriques) et les expressions contenant des nombres irrationnels , telles que 2 2 {textstyle {frac {sqrt {2}}{2}}} (voir racine carrée de 2 ) et π/4(voir preuve que π est irrationnel ).

Vocabulaire

Dans une fraction, le nombre de parties égales décrites est le numérateur (du latin numerātor , “compteur” ou “numéroteur”), et le type ou la variété des parties est le dénominateur (du latin dēnōminātor , “chose qui nomme ou désigne “). ^{[2] [3]} A titre d’exemple, la fraction 8/5s’élève à huit parties, dont chacune est du type nommé “cinquième”. En termes de division , le numérateur correspond au dividende , et le dénominateur correspond au diviseur .

De manière informelle, le numérateur et le dénominateur peuvent être distingués uniquement par leur placement, mais dans des contextes formels, ils sont généralement séparés par une barre de fraction . La barre de fraction peut être horizontale (comme dans 1/3), oblique (comme en 2/5) ou diagonale (comme en 4 ⁄ 9 ). ^[4] Ces marques sont respectivement appelées la barre horizontale ; le virgule, slash ( US ) ou stroke ( UK ) ; et la barre de fraction, solidus, ^[5] ou Barre oblique de fraction . ^{[n 1]} En typographie , les fractions empilées verticalement sont également appelées « en » ou « fractions de noix », et les fractions diagonales comme « em » ou « fractions de mouton », selon qu’une fraction avec un numérateur et un dénominateur à un chiffre occupe la proportion d’un étroit encarré, ou un carré em plus large . ^[4] Dans la typographie traditionnelle , un morceau de caractères portant une fraction complète (par exemple 1/2) était connue sous le nom de “fraction de cas”, tandis que celles qui ne représentaient qu’une partie de la fraction étaient appelées “fractions de pièces”.

Les dénominateurs des fractions anglaises sont généralement exprimés sous forme de nombres ordinaux , au pluriel si le numérateur n’est pas 1. (Par exemple, 2/5et 3/5sont tous deux lus comme un nombre de “cinquièmes”.) Les exceptions incluent le dénominateur 2, qui est toujours lu “moitié” ou “moitiés”, le dénominateur 4, qui peut être alternativement exprimé comme “quart”/”quarts” ou comme ” quart”/”quart”, et le dénominateur 100, qui peut être exprimé en variante par “centième”/”centièmes” ou ” pourcentage “.

Lorsque le dénominateur est 1, il peut être exprimé en termes de “touts” mais est plus souvent ignoré, le numérateur étant lu comme un nombre entier. Par example, 3/1peut être décrit comme “trois ensembles”, ou simplement comme “trois”. Lorsque le numérateur est 1, il peut être omis (comme dans “un dixième” ou “chaque quart”).

La fraction entière peut être exprimée sous la forme d’une composition unique, auquel cas elle comporte un trait d’union, ou sous la forme d’un nombre de fractions avec un numérateur égal à un, auquel cas elles ne le sont pas. (Par exemple, “deux cinquièmes” est la fraction 2/5et “deux cinquièmes” est la même fraction comprise comme 2 instances de 1/5.) Les fractions doivent toujours être précédées d’un trait d’union lorsqu’elles sont utilisées comme adjectifs. Alternativement, une fraction peut être décrite en la lisant comme le numérateur “sur” le dénominateur, avec le dénominateur exprimé comme un nombre cardinal . (Par example, 3/1peut également être exprimé par “trois sur un”.) Le terme “plus” est utilisé même dans le cas de fractions de solidus, où les nombres sont placés à gauche et à droite d’une Barre oblique . (Par exemple, 1/2 peut être lu “la moitié”, “la moitié” ou “un sur deux”.) Les fractions avec de grands dénominateurs qui ne sont pas des puissances de dix sont souvent rendues de cette façon (par exemple, 1/117comme “un sur cent dix-sept”), tandis que ceux avec des dénominateurs divisibles par dix sont généralement lus de la manière ordinale normale (par exemple, 6/1000000comme “six millionièmes”, “six millionièmes” ou “six un millionièmes”).

Formes de fractions

Fractions simples, courantes ou vulgaires

Une fraction simple (également connue sous le nom de fraction commune ou fraction vulgaire , où vulgaire est le latin pour “commun”) est un nombre rationnel écrit comme a / b ou a b {displaystyle {tfrac {a}{b}}} , où a et b sont tous deux des Entiers . ^[9] Comme pour les autres fractions, le dénominateur ( b ) ne peut pas être zéro. Les exemples comprennent 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} , − 8 5 {displaystyle -{tfrac {8}{5}}} , − 8 5 {displaystyle {tfrac {-8}{5}}} , et 8 − 5 {displaystyle {tfrac {8}{-5}}} . Le terme était à l’origine utilisé pour distinguer ce type de fraction de la fraction sexagésimale utilisée en astronomie. ^[dix]

Les fractions communes peuvent être positives ou négatives, et elles peuvent être correctes ou incorrectes (voir ci-dessous). Les fractions composées, les fractions complexes, les nombres mixtes et les décimales (voir ci-dessous) ne sont pas des fractions courantes ; cependant, à moins qu’ils ne soient irrationnels, ils peuvent être évalués à une fraction commune.

• Une fraction unitaire est une fraction commune avec un numérateur de 1 (par exemple, 1 7 {displaystyle {tfrac {1}{7}}} ). Les fractions unitaires peuvent également être exprimées en utilisant des exposants négatifs, comme dans 2 ⁻¹ , qui représente 1/2, et 2 ⁻² , qui représente 1/(2 ² ) ou 1/4.
• Une fraction dyadique est une fraction commune dont le dénominateur est une puissance de deux , par exemple 1 8 = 1 2 3 {displaystyle {tfrac {1}{8}}={tfrac {1}{2^{3}}}} .

En Unicode, les caractères de fraction précomposés se trouvent dans le bloc Number Forms .

Fractions propres et impropres

Les fractions communes peuvent être classées comme appropriées ou impropres. Lorsque le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs, la fraction est dite propre si le numérateur est inférieur au dénominateur, et impropre sinon. ^{[11] [12]} Le concept de “Fraction impropre” est un développement tardif, la terminologie dérivant du fait que “fraction” signifie “un morceau”, donc une fraction propre doit être inférieure à 1. ^[10] Cette a été expliqué dans le manuel du XVIIe siècle The Ground of Arts . ^{[13] [14]}

En général, une fraction commune est dite une fraction propre , si la valeur absolue de la fraction est strictement inférieure à un, c’est -à-dire si la fraction est supérieure à −1 et inférieure à 1. ^{[15] [16]} est dite une Fraction impropre , ou parfois une fraction supérieure lourde , ^[17] si la valeur absolue de la fraction est supérieure ou égale à 1. Des exemples de fractions propres sont 2/3, −3/4 et 4/ 9, alors que des exemples de fractions impropres sont 9/4, −4/3 et 3/3.

Réciproques et le “dénominateur invisible”

L’ inverse d’une fraction est une autre fraction dont le numérateur et le dénominateur sont échangés. L’inverse de 3 7 {displaystyle {tfrac {3}{7}}} , par exemple, est 7 3 {displaystyle {tfrac {7}{3}}} . Le produit d’une fraction et de son inverse est 1, donc l’inverse est l’ inverse multiplicatif d’une fraction. L’inverse d’une fraction propre est impropre, et l’inverse d’une Fraction impropre non égale à 1 (c’est-à-dire que le numérateur et le dénominateur ne sont pas égaux) est une fraction propre.

Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont égaux (par exemple, 7 7 {displaystyle {tfrac {7}{7}}} ), sa valeur est 1, et la fraction est donc impropre. Son inverse est identique donc également égal à 1 et impropre.

Tout nombre entier peut être écrit sous forme de fraction avec le nombre un comme dénominateur. Par exemple, 17 peut s’écrire 17 1 {displaystyle {tfrac {17}{1}}} , où 1 est parfois appelé le dénominateur invisible . Par conséquent, chaque fraction ou nombre entier, à l’exception de zéro, a une réciproque. Par example. l’inverse de 17 est 1 17 {displaystyle {tfrac {1}{17}}} .

Rapports

Un rapport est une relation entre deux nombres ou plus qui peut parfois être exprimée sous forme de fraction. En règle générale, un certain nombre d’éléments sont regroupés et comparés dans un rapport, spécifiant numériquement la relation entre chaque groupe. Les ratios sont exprimés sous la forme “groupe 1 à groupe 2 … à groupe n “. Par exemple, si un lot de voitures comptait 12 véhicules, dont

• 2 sont blancs,
• 6 sont rouges, et
• 4 sont jaunes,

alors le rapport des voitures rouges aux voitures blanches aux voitures jaunes est de 6 à 2 à 4. Le rapport des voitures jaunes aux voitures blanches est de 4 à 2 et peut être exprimé en 4: 2 ou 2: 1.

Un rapport est souvent converti en fraction lorsqu’il est exprimé comme un rapport au tout. Dans l’exemple ci-dessus, le rapport entre les voitures jaunes et toutes les voitures du lot est de 4:12 ou 1:3. Nous pouvons convertir ces rapports en une fraction et dire que 4/12des voitures ou 1/3des voitures du lot sont jaunes. Par conséquent, si une personne choisit au hasard une voiture sur le terrain, il y a une chance ou une probabilité sur trois qu’elle soit jaune.

Fractions décimales et pourcentages

Une Fraction décimale est une fraction dont le dénominateur n’est pas donné explicitement, mais s’entend comme une puissance entière de dix. Les fractions décimales sont généralement exprimées à l’aide de la notation décimale dans laquelle le dénominateur implicite est déterminé par le nombre de chiffres à droite d’un séparateur décimal , dont l’apparence (par exemple, un point, un point en relief (•), une virgule) dépend de les paramètres régionaux (pour des exemples, voir séparateur décimal ). Ainsi, pour 0,75, le numérateur est 75 et le dénominateur implicite est 10 à la deuxième puissance, à savoir. 100, car il y a deux chiffres à droite du séparateur décimal. Dans les nombres décimaux supérieurs à 1 (comme 3,75), la partie fractionnairedu nombre est exprimé par les chiffres à droite de la décimale (avec une valeur de 0,75 dans ce cas). 3,75 peut être écrit soit comme une Fraction impropre, 375/100, soit comme un nombre fractionnaire, 3 75 100 {displaystyle 3{tfrac {75}{100}}} .

Les fractions décimales peuvent également être exprimées en utilisant la notation scientifique avec des exposants négatifs, tels que6,023 × 10 ⁻⁷ , ce qui représente 0,0000006023. Le10 ⁻⁷ représente un dénominateur de10 ⁷ . Diviser par10 ⁷ déplace la virgule décimale de 7 positions vers la gauche.

Les fractions décimales avec une infinité de chiffres à droite du séparateur décimal représentent une Série infinie . Par example, 1/3= 0,333… représente la Série infinie 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … .

Un autre type de fraction est le pourcentage ( pourcentage latin signifiant “Pour cent“, représenté par le symbole %), dans lequel le dénominateur implicite est toujours 100. Ainsi, 51% signifie 51/100. Les pourcentages supérieurs à 100 ou inférieurs à zéro sont traités de la même manière, par exemple 311 % est égal à 311/100 et −27 % est égal à −27/100.

Le concept connexe de pourmille ou parties pour mille (ppt) a un dénominateur implicite de 1000, tandis que la notation plus générale parties par , comme dans 75 parties par million (ppm), signifie que la proportion est de 75/1 000 000.

L’utilisation de fractions communes ou de fractions décimales est souvent une question de goût et de contexte. Les fractions communes sont utilisées le plus souvent lorsque le dénominateur est relativement petit. Par calcul mental , il est plus facile de Multiplier 16 par 3/16 que de faire le même calcul en utilisant l’équivalent décimal de la fraction (0,1875). Et c’est plus précismultiplier 15 par 1/3, par exemple, que de Multiplier 15 par n’importe quelle approximation décimale d’un tiers. Les valeurs monétaires sont généralement exprimées sous forme de fractions décimales avec le dénominateur 100, c’est-à-dire avec deux décimales, par exemple 3,75 $. Cependant, comme indiqué ci-dessus, dans la monnaie britannique pré-décimale, les shillings et les pence avaient souvent la forme (mais pas la signification) d’une fraction, comme, par exemple, 3/6 (lire “trois et six”) signifiant 3 shillings et 6 pence, et n’ayant aucun rapport avec la fraction 3/6.

Nombres mixtes

Un nombre mixte (également appelé fraction mixte ou nombre mixte ) est une dénotation traditionnelle de la somme d’un entier non nul et d’une fraction propre (ayant le même signe). Il est principalement utilisé dans la mesure : 2 3 16 {displaystyle 2{tfrac {3}{16}}} pouces, par exemple. Les mesures scientifiques utilisent presque invariablement la notation décimale plutôt que des nombres mixtes. La somme peut être implicite sans l’utilisation d’un opérateur visible tel que le “+” approprié. Par exemple, en se référant à deux gâteaux Entiers et aux trois quarts d’un autre gâteau, les chiffres indiquant la partie entière et la partie fractionnaire des gâteaux peuvent être écrits l’un à côté de l’autre comme 2 3 4 {displaystyle 2{tfrac {3}{4}}} au lieu de la notation sans ambiguïté 2 + 3 4 . {displaystyle 2+{tfrac {3}{4}}.} Chiffres mixtes négatifs, comme dans − 2 3 4 {displaystyle -2{tfrac {3}{4}}} , sont traités comme − ( 2 + 3 4 ) . {displaystyle scriptstyle -left(2+{frac {3}{4}}right).} Une telle somme d’un tout plus une partie peut être convertie en une Fraction impropre en appliquant les règles d’ addition de quantités différentes .

Cette tradition est, formellement, en conflit avec la notation en algèbre où les symboles adjacents, sans opérateur infixe explicite , désignent un produit. Dans l’expression 2 x {displaystyle 2x} , l’opération “comprise” est la multiplication. Si x est remplacé par, par exemple, la fraction 3 4 {displaystyle {tfrac {3}{4}}} , la multiplication “comprise” doit être remplacée par une multiplication explicite, pour éviter l’apparition d’un nombre fractionnaire.

Lorsque la multiplication est prévue, 2 b c {displaystyle 2{tfrac {b}{c}}} peut s’écrire comme

2 ⋅ b c , {displaystyle 2cdot {frac {b}{c}},quad } ou alors 2 × b c , {displaystyle quad 2times {frac {b}{c}},quad } ou alors 2 ( b c ) , … {displaystyle quad 2left({frac {b}{c}}right),;ldots }

Une Fraction impropre peut être convertie en nombre fractionnaire comme suit :

1. En utilisant la division euclidienne (division avec reste), divisez le numérateur par le dénominateur. Dans l’exemple, 11 4 {displaystyle {tfrac {11}{4}}} , divisez 11 par 4. 11 ÷ 4 = 2 reste 3.
2. Le quotient (sans le reste) devient la partie entière du nombre fractionnaire. Le reste devient le numérateur de la partie fractionnaire. Dans l’exemple, 2 est la partie entière et 3 est le numérateur de la partie fractionnaire.
3. Le nouveau dénominateur est le même que le dénominateur de la Fraction impropre. Dans l’exemple, c’est 4. Ainsi, 11 4 = 2 3 4 {displaystyle {tfrac {11}{4}}=2{tfrac {3}{4}}} .

Notions historiques

Fraction égyptienne

Une fraction égyptienne est la somme de fractions unitaires positives distinctes, par exemple 1 2 + 1 3 {displaystyle {tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{3}}} . Cette définition découle du fait que les anciens Égyptiens exprimaient toutes les fractions sauf 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} , 2 3 {displaystyle {tfrac {2}{3}}} et 3 4 {displaystyle {tfrac {3}{4}}} de cette façon. Chaque nombre rationnel positif peut être développé comme une fraction égyptienne. Par example, 5 7 {displaystyle {tfrac {5}{7}}} peut être écrit comme 1 2 + 1 6 + 1 21 . {displaystyle {tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{6}}+{tfrac {1}{21}}.} Tout nombre rationnel positif peut être écrit comme une somme de fractions unitaires d’une infinité de façons. Deux façons d’écrire 13 17 {displaystyle {tfrac {13}{17}}} sont 1 2 + 1 4 + 1 68 {displaystyle {tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{4}}+{tfrac {1}{68}}} et 1 3 + 1 4 + 1 6 + 1 68 {displaystyle {tfrac {1}{3}}+{tfrac {1}{4}}+{tfrac {1}{6}}+{tfrac {1}{68}}} .

Fractions complexes et composées

Dans une fraction complexe , soit le numérateur, soit le dénominateur, soit les deux, est une fraction ou un nombre fractionnaire, ^{[18] [19]} correspondant à la division de fractions. Par example, 1 2 1 3 {displaystyle {frac {tfrac {1}{2}}{tfrac {1}{3}}}} et 12 3 4 26 {displaystyle {frac {12{tfrac {3}{4}}}{26}}} sont des fractions complexes. Pour réduire une fraction complexe en une fraction simple, traitez la ligne de fraction la plus longue comme représentant la division. Par example:

1 2 1 3 = 1 2 × 3 1 = 3 2 {displaystyle {frac {tfrac {1}{2}}{tfrac {1}{3}}}={tfrac {1}{2}}times {tfrac {3}{1}} ={tfrac {3}{2}}} 12 3 4 26 = 12 3 4 ⋅ 1 26 = 12 ⋅ 4 + 3 4 ⋅ 1 26 = 51 4 ⋅ 1 26 = 51 104 {displaystyle {frac {12{tfrac {3}{4}}}{26}}=12{tfrac {3}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={ tfrac {12cdot 4+3}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={tfrac {51}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={ tfrac {51}{104}}} 3 2 5 = 3 2 × 1 5 = 3 10 {displaystyle {frac {tfrac {3}{2}}{5}}={tfrac {3}{2}}times {tfrac {1}{5}}={tfrac {3} {dix}}} 8 1 3 = 8 × 3 1 = 24. {displaystyle {frac {8}{tfrac {1}{3}}}=8times {tfrac {3}{1}}=24.}

Si, dans une fraction complexe, il n’y a pas de moyen unique de dire quelles lignes de fraction ont la priorité, alors cette expression est mal formée, en raison de l’ambiguïté. Donc 5/10/20/40 n’est pas une expression mathématique valide, en raison de multiples interprétations possibles, par exemple comme

5 / ( 10 / ( 20 / 40 ) ) = 5 10 / 20 40 = 1 4 {displaystyle 5/(10/(20/40))={frac {5}{10/{tfrac {20}{40}}}}={frac {1}{4}}quad } ou comme ( 5 / 10 ) / ( 20 / 40 ) = 5 10 20 40 = 1 {displaystyle quad (5/10)/(20/40)={frac {tfrac {5}{10}}{tfrac {20}{40}}}=1}

Une fraction composée est une fraction d’une fraction, ou tout nombre de fractions liées au mot de , ^{[18] [19]} correspondant à la multiplication de fractions. Pour réduire une fraction composée en une fraction simple, il suffit d’effectuer la multiplication (voir la section sur la multiplication ). Par example, 3 4 {displaystyle {tfrac {3}{4}}} de 5 7 {displaystyle {tfrac {5}{7}}} est une fraction composée, correspondant à 3 4 × 5 7 = 15 28 {displaystyle {tfrac {3}{4}}times {tfrac {5}{7}}={tfrac {15}{28}}} . Les termes fraction composée et fraction complexe sont étroitement liés et parfois l’un est utilisé comme synonyme de l’autre. (Par exemple, la fraction composée 3 4 × 5 7 {displaystyle {tfrac {3}{4}}times {tfrac {5}{7}}} est équivalent à la fraction complexe 3 / 4 7 / 5 {displaystyle {tfrac {3/4}{7/5}}} .)

Néanmoins, “fraction complexe” et “fraction composée” peuvent toutes deux être considérées comme obsolètes ^[20] et désormais utilisées de manière mal définie, en partie même prises comme synonymes l’une de l’autre ^[21] ou pour des nombres mixtes. ^[22] Ils ont perdu leur signification en tant que termes techniques et les attributs « complexe » et « composé » ont tendance à être utilisés dans leur sens courant de « constitué de parties ».

Arithmétique avec fractions

Comme les nombres Entiers, les fractions obéissent aux lois commutatives , associatives et distributives , et à la règle interdisant la division par zéro .

Fractions équivalentes

La multiplication du numérateur et du dénominateur d’une fraction par le même nombre (non nul) donne une fraction équivalente à la fraction d’origine. Ceci est vrai car pour tout nombre non nul n {displaystyle n} , la fraction n n {displaystyle {tfrac {n}{n}}} équivaut à 1 {displaystyle 1} . Donc, en multipliant par n n {displaystyle {tfrac {n}{n}}} revient à Multiplier par un, et tout nombre multiplié par un a la même valeur que le nombre d’origine. A titre d’exemple, commencez par la fraction 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} . Lorsque le numérateur et le dénominateur sont multipliés par 2, le résultat est 2 4 {displaystyle {tfrac {2}{4}}} , qui a la même valeur (0,5) que 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} . Pour imaginer cela visuellement, imaginez couper un gâteau en quatre morceaux; deux des pièces ensemble ( 2 4 {displaystyle {tfrac {2}{4}}} ) composent la moitié du gâteau ( 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} ).

Simplifier (réduire) des fractions

La division du numérateur et du dénominateur d’une fraction par le même nombre non nul donne une fraction équivalente : si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont tous deux divisibles par un nombre (appelé facteur) supérieur à 1, alors la fraction peut être réduite à une fraction équivalente avec un numérateur plus petit et un dénominateur plus petit. Par exemple, si le numérateur et le dénominateur de la fraction a b {displaystyle {tfrac {a}{b}}} sont divisibles par c , {displaystyle c,} alors ils peuvent être écrits comme a = c d {displaystyle a=cd} et b = c e , {displaystyle b=ce,} et la fraction devient c d c e {displaystyle {tfrac {cd}{ce}}} , qui peut être réduit en divisant le numérateur et le dénominateur par c {displaystyle c} donner la fraction réduite d e . {displaystyle {tfrac {d}{e}}.}

Si l’on prend pour c le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur, on obtient la fraction équivalente dont le numérateur et le dénominateur ont les valeurs absolues les plus faibles . On dit que la fraction a été réduite à ses termes les plus bas .

Si le numérateur et le dénominateur ne partagent aucun facteur supérieur à 1, la fraction est déjà réduite à ses termes les plus bas et elle est dite irréductible , réduite ou en termes les plus simples . Par example, 3 9 {displaystyle {tfrac {3}{9}}} n’est pas dans les termes les plus bas car 3 et 9 peuvent être exactement divisés par 3. En revanche, 3 8 {displaystyle {tfrac {3}{8}}} est dans les termes les plus bas – le seul entier positif qui entre à la fois dans 3 et 8 est 1.

En utilisant ces règles, nous pouvons montrer que 5 10 = 1 2 = 10 20 = 50 100 {displaystyle {tfrac {5}{10}}={tfrac {1}{2}}={tfrac {10}{20}}={tfrac {50}{100}}} , par exemple.

Comme autre exemple, puisque le plus grand commun diviseur de 63 et 462 est 21, la fraction 63 462 {displaystyle {tfrac {63}{462}}} peut être réduit aux termes les plus bas en divisant le numérateur et le dénominateur par 21 :

63 462 = 63 ÷ 21 462 ÷ 21 = 3 22 {displaystyle {tfrac {63}{462}}={tfrac {63,div ,21}{462,div ,21}}={tfrac {3}{22}}}

L’ algorithme euclidien donne une méthode pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres Entiers.

Comparer des fractions

La comparaison de fractions avec le même dénominateur positif donne le même résultat que la comparaison des numérateurs :

3 4 > 2 4 {displaystyle {tfrac {3}{4}}>{tfrac {2}{4}}} car 3 > 2 , et les dénominateurs égaux 4 {displaystyle 4} sont positifs.

Si les dénominateurs égaux sont négatifs, alors le résultat opposé de la comparaison des numérateurs est valable pour les fractions :

3 − 4 < 2 − 4 because a − b = − a b and − 3 < − 2. {displaystyle {tfrac {3}{-4}}<{tfrac {2}{-4}}{text{ parce que }}{tfrac {a}{-b}}={tfrac {- a}{b}}{text{ et }}-3<-2.}

Si deux fractions positives ont le même numérateur, alors la fraction avec le plus petit dénominateur est le plus grand nombre. Lorsqu’un tout est divisé en morceaux égaux, s’il faut moins de morceaux égaux pour constituer le tout, alors chaque morceau doit être plus grand. Lorsque deux fractions positives ont le même numérateur, elles représentent le même nombre de parties, mais dans la fraction avec le plus petit dénominateur, les parties sont plus grandes.

Une façon de comparer des fractions avec différents numérateurs et dénominateurs est de trouver un dénominateur commun. Comparer a b {displaystyle {tfrac {a}{b}}} et c d {displaystyle {tfrac {c}{d}}} , ceux-ci sont convertis en a ⋅ d b ⋅ d {displaystyle {tfrac {acdot d}{bcdot d}}} et b ⋅ c b ⋅ d {displaystyle {tfrac {bcdot c}{bcdot d}}} (où le point signifie la multiplication et est un symbole alternatif à ×). Alors bd est un dénominateur commun et les numérateurs ad et bc peuvent être comparés. Il n’est pas nécessaire de déterminer la valeur du dénominateur commun pour comparer des fractions – on peut simplement comparer ad et bc , sans évaluer bd , par exemple, en comparant 2 3 {displaystyle {tfrac {2}{3}}} ? 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} donne 4 6 > 3 6 {displaystyle {tfrac {4}{6}}>{tfrac {3}{6}}} .

Pour la question plus laborieuse 5 18 {displaystyle {tfrac {5}{18}}} ? 4 17 , {displaystyle {tfrac {4}{17}},} Multiplier le haut et le bas de chaque fraction par le dénominateur de l’autre fraction, pour obtenir un dénominateur commun, ce qui donne 5 × 17 18 × 17 {displaystyle {tfrac {5fois 17}{18fois 17}}} ? 18 × 4 18 × 17 {displaystyle {tfrac {18fois 4}{18fois 17}}} . Il n’est pas nécessaire de calculer 18 × 17 {displaystyle 18fois 17} – seuls les numérateurs doivent être comparés. Puisque 5 × 17 (= 85) est supérieur à 4 × 18 (= 72), le résultat de la comparaison est 5 18 > 4 17 {displaystyle {tfrac {5}{18}}>{tfrac {4}{17}}} .

Étant donné que chaque nombre négatif, y compris les fractions négatives, est inférieur à zéro et que chaque nombre positif, y compris les fractions positives, est supérieur à zéro, il s’ensuit que toute fraction négative est inférieure à toute fraction positive. Cela permet, avec les règles ci-dessus, de comparer toutes les fractions possibles.

Une addition

La première règle d’addition est que seules des quantités identiques peuvent être ajoutées ; par exemple, diverses quantités de quartiers. Les quantités différentes, telles que l’ajout de tiers aux quarts, doivent d’abord être converties en quantités similaires comme décrit ci-dessous : Imaginez une poche contenant deux quarts et une autre poche contenant trois quarts ; au total, il y a cinq trimestres. Étant donné que quatre trimestres équivaut à un (dollar), cela peut être représenté comme suit :

2 4 + 3 4 = 5 4 = 1 1 4 {displaystyle {tfrac {2}{4}}+{tfrac {3}{4}}={tfrac {5}{4}}=1{tfrac {1}{4}}} . Si 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} d’un gâteau est à ajouter à 1 4 {displaystyle {tfrac {1}{4}}} d’un gâteau, les morceaux doivent être convertis en quantités comparables, telles que des huitièmes de gâteau ou des quarts de gâteau. Ajouter des quantités différentes

Pour ajouter des fractions contenant des quantités différentes (par exemple des quarts et des tiers), il est nécessaire de convertir toutes les quantités en quantités similaires. Il est facile de déterminer le type de fraction choisi pour la conversion ; multipliez simplement ensemble les deux dénominateurs (nombre du bas) de chaque fraction. Dans le cas d’un nombre entier appliquer le dénominateur invisible 1. {displaystyle 1.}

Pour ajouter des quarts aux tiers, les deux types de fraction sont convertis en douzièmes, ainsi :

1 4 + 1 3 = 1 × 3 4 × 3 + 1 × 4 3 × 4 = 3 12 + 4 12 = 7 12 . {displaystyle {frac {1}{4}} +{frac {1}{3}}={frac {1fois 3}{4fois 3}} +{frac {1 fois 4}{3fois 4}}={frac {3}{12}} +{frac {4}{12}}={frac {7}{12}}.}

Envisagez d’ajouter les deux quantités suivantes :

3 5 + 2 3 {displaystyle {frac {3}{5}}+{frac {2}{3}}}

Tout d’abord, convertissez 3 5 {displaystyle {tfrac {3}{5}}} en quinzièmes en multipliant le numérateur et le dénominateur par trois : 3 5 × 3 3 = 9 15 {displaystyle {tfrac {3}{5}}times {tfrac {3}{3}}={tfrac {9}{15}}} . Depuis 3 3 {displaystyle {tfrac {3}{3}}} égal à 1, multiplication par 3 3 {displaystyle {tfrac {3}{3}}} ne change pas la valeur de la fraction.

Deuxièmement, convertir 2 3 {displaystyle {tfrac {2}{3}}} en quinzièmes en multipliant le numérateur et le dénominateur par cinq : 2 3 × 5 5 = 10 15 {displaystyle {tfrac {2}{3}}times {tfrac {5}{5}}={tfrac {10}{15}}} .

Maintenant on peut voir que :

3 5 + 2 3 {displaystyle {frac {3}{5}}+{frac {2}{3}}}

est équivalent à:

9 15 + 10 15 = 19 15 = 1 4 15 {displaystyle {frac {9}{15}}+{frac {10}{15}}={frac {19}{15}}=1{frac {4}{15}}}

Cette méthode peut être exprimée algébriquement :

a b + c d = a d + c b b d {displaystyle {frac {a}{b}}+{frac {c}{d}}={frac {ad+cb}{bd}}}

Cette méthode algébrique fonctionne toujours, garantissant ainsi que la somme de fractions simples est toujours à nouveau une fraction simple. Cependant, si les dénominateurs simples contiennent un facteur commun, un dénominateur plus petit que le produit de ceux-ci peut être utilisé. Par exemple, lors de l’ajout 3 4 {displaystyle {tfrac {3}{4}}} et 5 6 {displaystyle {tfrac {5}{6}}} les dénominateurs simples ont un facteur commun 2 , {displaystyle 2,} et par conséquent, au lieu du dénominateur 24 (4 × 6), le dénominateur réduit de moitié 12 peut être utilisé, réduisant non seulement le dénominateur dans le résultat, mais également les facteurs dans le numérateur.

3 4 + 5 6 = 3 ⋅ 6 4 ⋅ 6 + 4 ⋅ 5 4 ⋅ 6 = 18 24 + 20 24 = 19 12 = 3 ⋅ 3 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 2 ⋅ 6 = 9 12 + 10 12 = 19 12 {displaystyle {begin{aligned}{frac {3}{4}}+{frac {5}{6}}&={frac {3cdot 6}{4cdot 6}}+{ frac {4cdot 5}{4cdot 6}}={frac {18}{24}}+{frac {20}{24}}&={frac {19}{12}} &={frac {3cdot 3}{4cdot 3}}+{frac {2cdot 5}{2cdot 6}}={frac {9}{12}}+{ frac {10}{12}}&={frac {19}{12}}end{aligned}}}

Le plus petit dénominateur possible est donné par le plus petit commun multiple des dénominateurs simples, qui résulte de la division du multiple par cœur par tous les facteurs communs des dénominateurs simples. C’est ce qu’on appelle le plus petit dénominateur commun.

Soustraction

Le processus de soustraction de fractions est essentiellement le même que celui de leur addition : trouvez un dénominateur commun et changez chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun choisi. La fraction résultante aura ce dénominateur et son numérateur sera le résultat de la soustraction des numérateurs des fractions d’origine. Par exemple,

2 3 − 1 2 = 4 6 − 3 6 = 1 6 {displaystyle {tfrac {2}{3}}-{tfrac {1}{2}}={tfrac {4}{6}}-{tfrac {3}{6}}={tfrac {1}{6}}}

Multiplication

Multiplier une fraction par une autre fraction

Pour Multiplier des fractions, multipliez les numérateurs et multipliez les dénominateurs. Ainsi:

2 3 × 3 4 = 6 12 {displaystyle {frac {2}{3}}times {frac {3}{4}}={frac {6}{12}}}

Pour expliquer le processus, considérons un tiers d’un quart. En prenant l’exemple d’un gâteau, si trois petites tranches de taille égale forment un quart et que quatre quarts forment un tout, douze de ces petites tranches égales forment un tout. Par conséquent, un tiers de quart est un douzième. Considérons maintenant les numérateurs. La première fraction, deux tiers, est deux fois plus grande qu’un tiers. Comme un tiers d’un quart est un douzième, deux tiers d’un quart sont deux douzièmes. La deuxième fraction, trois quarts, est trois fois plus grande qu’un quart, donc deux tiers de trois quarts sont trois fois plus grands que deux tiers d’un quart. Ainsi deux tiers fois trois quarts font six douzièmes.

Un raccourci pour Multiplier les fractions est appelé “annulation”. En effet, la réponse est réduite aux termes les plus bas lors de la multiplication. Par example:

2 3 × 3 4 = 2 1 3 1 × 3 1 4 2 = 1 1 × 1 2 = 1 2 {displaystyle {frac {2}{3}}times {frac {3}{4}}={frac {{annuler {2}}^{~1}}{{annuler {3} }^{~1}}}times {frac {{annuler {3}}^{~1}}{{annuler {4}}^{~2}}}={frac {1}{ 1}}times {frac {1}{2}}={frac {1}{2}}}

Un deux est un facteur commun au numérateur de la fraction de gauche et au dénominateur de droite et est divisé entre les deux. Trois est un facteur commun du dénominateur gauche et du numérateur droit et est divisé entre les deux.

Multiplier une fraction par un nombre entier

Puisqu’un nombre entier peut être réécrit comme lui-même divisé par 1, les règles normales de multiplication de fractions peuvent toujours s’appliquer.

6 × 3 4 = 6 1 × 3 4 = 18 4 {displaystyle 6times {tfrac {3}{4}}={tfrac {6}{1}}times {tfrac {3}{4}}={tfrac {18}{4}} }

Cette méthode fonctionne parce que la fraction 6/1 signifie six parties égales, dont chacune est un tout.

Multiplier des nombres mixtes

Lors de la multiplication de nombres fractionnaires, il est préférable de convertir le nombre fractionnaire en une Fraction impropre. ^[23] Par exemple :

3 × 2 3 4 = 3 × ( 8 4 + 3 4 ) = 3 × 11 4 = 33 4 = 8 1 4 {displaystyle 3times 2{frac {3}{4}}=3times left({frac {8}{4}}+{frac {3}{4}}right)=3 times {frac {11}{4}}={frac {33}{4}}=8{frac {1}{4}}}

En d’autres termes, 2 3 4 {displaystyle 2{tfrac {3}{4}}} est le même que 8 4 + 3 4 {displaystyle {tfrac {8}{4}}+{tfrac {3}{4}}} , ce qui fait 11 quarts au total (car 2 gâteaux, chacun divisé en quarts fait 8 quarts au total) et 33 quarts est 8 1 4 {displaystyle 8{tfrac {1}{4}}} , puisque 8 gâteaux, composés chacun de quartiers, font 32 quartiers au total.

Division

Pour diviser une fraction par un nombre entier, vous pouvez soit diviser le numérateur par le nombre, s’il va uniformément dans le numérateur, soit Multiplier le dénominateur par le nombre. Par example, 10 3 ÷ 5 {displaystyle {tfrac {10}{3}}div 5} équivaut à 2 3 {displaystyle {tfrac {2}{3}}} et égale aussi 10 3 ⋅ 5 = 10 15 {displaystyle {tfrac {10}{3cdot 5}}={tfrac {10}{15}}} , ce qui se réduit à 2 3 {displaystyle {tfrac {2}{3}}} . Pour diviser un nombre par une fraction, multipliez ce nombre par l’ inverse de cette fraction. Ainsi, 1 2 ÷ 3 4 = 1 2 × 4 3 = 1 ⋅ 4 2 ⋅ 3 = 2 3 {displaystyle {tfrac {1}{2}}div {tfrac {3}{4}}={tfrac {1}{2}}times {tfrac {4}{3}}={ tfrac {1cdot 4}{2cdot 3}}={tfrac {2}{3}}} .

Conversion entre décimales et fractions

Pour changer une fraction commune en nombre décimal, faites une longue division des représentations décimales du numérateur par le dénominateur (ceci est également exprimé idiomatiquement comme “diviser le dénominateur en numérateur”), et arrondissez la réponse à la précision souhaitée. Par exemple, pour changer 1/4à un nombre décimal, diviser1,00 par4 (“4 dans1.00 “), pour obtenir0,25 . Changer 1/3à un nombre décimal, diviser1.000… par3 (“3 dans1.000… “), et s’arrêter lorsque la précision souhaitée est obtenue, par exemple à4 décimales avec0,3333 . La fraction 1/4peut être écrit exactement avec deux chiffres décimaux, tandis que la fraction 1/3ne peut pas être écrit exactement comme un nombre décimal avec un nombre fini de chiffres. Pour changer un nombre décimal en fraction, écrivez au dénominateur un1 suivi d’autant de zéros qu’il y a de chiffres à droite de la virgule, et écrivez au numérateur tous les chiffres de la décimale d’origine, en omettant juste la virgule. Ainsi 12.3456 = 123456 10000 . {displaystyle 12.3456={tfrac {123456}{10000}}.}

Conversion de nombres décimaux répétés en fractions

Les nombres décimaux, bien que sans doute plus utiles pour travailler lors de l’exécution de calculs, manquent parfois de la précision des fractions courantes. Parfois, une décimale répétitive infinie est nécessaire pour atteindre la même précision. Ainsi, il est souvent utile de convertir des nombres décimaux répétés en fractions.

Une manière conventionnelle d’indiquer une décimale répétitive consiste à placer une barre (connue sous le nom de vinculum ) sur les chiffres qui se répètent, par exemple 0. 789 = 0,789789789… Pour les motifs répétitifs qui commencent immédiatement après la virgule, le résultat de la la conversion est la fraction avec le motif comme numérateur et le même nombre de neufs comme dénominateur. Par example:

0,5 = 5/9 0. 62 = 62/99 0. 264 = 264/999 0. 6291 = 6291/9999

Si des zéros de tête précèdent le motif, les neufs sont suffixés par le même nombre de zéros de fin :

0,0 5 = 5/90 0,000 392 = 392/999000 0,00 12 = 12/9900

Si un ensemble non répétitif de décimales précède le modèle (comme 0,1523 987 ), on peut écrire le nombre comme la somme des parties non répétitives et répétitives, respectivement :

0,1523 + 0,0000 987

Ensuite, convertissez les deux parties en fractions et additionnez-les en utilisant les méthodes décrites ci-dessus :

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

Alternativement, l’algèbre peut être utilisée, comme ci-dessous :

1. Soit x = la décimale répétitive : x = 0,1523 987
2. Multipliez les deux côtés par la puissance de 10 juste assez grande (dans ce cas 10 ⁴ ) pour déplacer la virgule juste avant la partie répétitive du nombre décimal : 10 000 x = 1 523. 987
3. Multipliez les deux côtés par la puissance de 10 (dans ce cas 10 ³ ) qui est le même que le nombre de places qui se répètent : 10 000 000 x = 1 523 987. 987
4. Soustraire les deux équations l’une de l’autre (si a = b et c = d , alors a − c = b − d ) : 10 000 000 x – 10 000 x = 1 523 987. 987 – 1 523. 987
5. Continuez l’opération de soustraction pour effacer la décimale répétitive : 9 990 000 x = 1 523 987 − 1 523 9 990 000 x = 1 522 464
6. Diviser les deux côtés par 9 990 000 pour représenter x sous forme de fraction x = 1522464/9990000

Fractions en mathématiques abstraites

En plus d’être d’une grande importance pratique, les fractions sont également étudiées par les mathématiciens, qui vérifient que les règles pour les fractions données ci-dessus sont cohérentes et fiables . Les mathématiciens définissent une fraction comme une paire ordonnée ( a , b ) {displaystyle (a,b)} d’ Entiers a {displaystyle a} et b ≠ 0 , {displaystyle bneq 0,} pour laquelle les opérations addition , soustraction , multiplication et division sont définies comme suit : ^[24]

( a , b ) + ( c , d ) = ( a d + b c , b d ) {displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),} ( a , b ) − ( c , d ) = ( a d − b c , b d ) {displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd),} ( a , b ) ⋅ ( c , d ) = ( a c , b d ) {displaystyle (a,b)cdot (c,d)=(ac,bd)} ( a , b ) ÷ ( c , d ) = ( a d , b c ) ( with, additionally, c ≠ 0 ) {displaystyle (a,b)div (c,d)=(ad,bc)quad ({text{avec, en plus, }}cneq 0)}

Ces définitions concordent dans tous les cas avec les définitions données ci-dessus ; seule la notation est différente. Alternativement, au lieu de définir la soustraction et la division comme des opérations, les fractions “inverses” par rapport à l’addition et à la multiplication pourraient être définies comme :

− ( a , b ) = ( − a , b ) additive inverse fractions, with ( 0 , b ) as additive unities, and ( a , b ) − 1 = ( b , a ) multiplicative inverse fractions, for a ≠ 0 , with ( b , b ) as multiplicative unities . {displaystyle {begin{aligné}-(a,b)&=(-a,b)&&{text{fractions inverses additives,}}\&&&{text{with}}(0,b){ text{ comme unités additives, et}}\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{text{fractions inverses multiplicatives, pour }}aneq 0,\&&&{ text{avec }}(b,b){text{ comme unités multiplicatives}}.end{aligned}}}

De plus, la relation , spécifiée comme

( a , b ) ∼ ( c , d ) ⟺ a d = b c , {displaystyle (a,b)sim (c,d)quad iff quad ad=bc,}

est une relation d’équivalence de fractions. Chaque fraction d’une classe d’équivalence peut être considérée comme un représentant de la classe entière, et chaque classe entière peut être considérée comme une fraction abstraite. Cette équivalence est préservée par les opérations définies ci-dessus, c’est-à-dire que les résultats des opérations sur les fractions sont indépendants de la sélection des représentants de leur classe d’équivalence. Formellement, pour l’addition de fractions

( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) {displaystyle (a,b)sim (a’,b’)quad } et ( c , d ) ∼ ( c ′ , d ′ ) {displaystyle quad (c,d)sim (c’,d’)quad } impliquer ( ( a , b ) + ( c , d ) ) ∼ ( ( a ′ , b ′ ) + ( c ′ , d ′ ) ) {displaystyle ((a,b)+(c,d))sim ((a’,b’)+(c’,d’))}

et de même pour les autres opérations.

Dans le cas des fractions d’Entiers, les fractions un/bavec a et b premiers entre eux et b > 0 sont souvent considérés comme des représentants déterminés de manière unique pour leurs fractions équivalentes , qui sont considérées comme le même nombre rationnel. De cette façon, les fractions d’Entiers constituent le corps des nombres rationnels.

Plus généralement, a et b peuvent être des éléments de tout domaine intègre R , auquel cas une fraction est un élément du corps des fractions de R . Par exemple, les polynômes dans une indéterminée, avec des coefficients d’un domaine intégral D , sont eux-mêmes un domaine intégral, appelez-le P . Ainsi, pour les éléments a et b de P , le champ de fractions généré est le champ de fractions rationnelles (également appelé champ de fonctions rationnelles ).

Fractions algébriques

Une fraction algébrique est le quotient indiqué de deux expressions algébriques . Comme pour les fractions d’Entiers, le dénominateur d’une fraction algébrique ne peut pas être zéro. Deux exemples de fractions algébriques sont 3 x x 2 + 2 x − 3 {displaystyle {frac {3x}{x^{2}+2x-3}}} et x + 2 x 2 − 3 {displaystyle {frac {sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}} . Les fractions algébriques sont soumises aux mêmes propriétés de champ que les fractions arithmétiques.

Si le numérateur et le dénominateur sont des polynômes , comme dans 3 x x 2 + 2 x − 3 {displaystyle {frac {3x}{x^{2}+2x-3}}} , la fraction algébrique est appelée fraction rationnelle (ou expression rationnelle ). Une fraction irrationnelle est une fraction qui n’est pas rationnelle, comme, par exemple, celle qui contient la variable sous un exposant fractionnaire ou une racine, comme dans x + 2 x 2 − 3 {displaystyle {frac {sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}} .

La terminologie utilisée pour décrire les fractions algébriques est similaire à celle utilisée pour les fractions ordinaires. Par exemple, une fraction algébrique est dans les termes les plus bas si les seuls facteurs communs au numérateur et au dénominateur sont 1 et -1. Une fraction algébrique dont le numérateur ou le dénominateur, ou les deux, contiennent une fraction, telle que 1 + 1 x 1 − 1 x {displaystyle {frac {1+{tfrac {1}{x}}}{1-{tfrac {1}{x}}}}} , est appelée une fraction complexe .

Le champ des nombres rationnels est le champ des fractions des Entiers, tandis que les Entiers eux-mêmes ne sont pas un champ mais plutôt un domaine intégral . De même, les fractions rationnelles à coefficients dans un champ forment le champ des fractions de polynômes à coefficient dans ce champ. Considérant les fractions rationnelles à coefficients réels, les expressions radicales représentant des nombres, telles que 2 / 2 , {displaystyle textstyle {sqrt {2}}/2,} sont aussi des fractions rationnelles, de même que des nombres transcendantaux tels que π / 2 , {textstyle pi /2,} depuis tout 2 , π , {displaystyle {sqrt {2}},pi ,} et 2 {displaystyle 2} sont des nombres réels , et donc considérés comme des coefficients. Ces mêmes nombres, cependant, ne sont pas des fractions rationnelles à coefficients Entiers .

Le terme fraction partielle est utilisé lors de la décomposition de fractions rationnelles en sommes de fractions plus simples. Par exemple, la fraction rationnelle 2 x x 2 − 1 {displaystyle {frac {2x}{x^{2}-1}}} peut être décomposé comme la somme de deux fractions : 1 x + 1 + 1 x − 1 . {displaystyle {frac {1}{x+1}}+{frac {1}{x-1}}.} Ceci est utile pour le calcul des primitives de fonctions rationnelles (voir décomposition en fractions partielles pour plus d’informations).

Expressions radicales

Une fraction peut également contenir des radicaux au numérateur ou au dénominateur. Si le dénominateur contient des radicaux, il peut être utile de le rationaliser (comparer Forme simplifiée d’une expression radicale ), surtout si d’autres opérations, telles que l’addition ou la comparaison de cette fraction à une autre, doivent être effectuées. Il est également plus pratique si la division doit être effectuée manuellement. Lorsque le dénominateur est une racine carrée monôme , il peut être rationalisé en multipliant à la fois le haut et le bas de la fraction par le dénominateur :

3 7 = 3 7 ⋅ 7 7 = 3 7 7 {displaystyle {frac {3}{sqrt {7}}}={frac {3}{sqrt {7}}}cdot {frac {sqrt {7}}{sqrt {7} }}={frac {3{sqrt {7}}}{7}}}

Le processus de rationalisation des dénominateurs binomiaux consiste à Multiplier le haut et le bas d’une fraction par le conjugué du dénominateur afin que le dénominateur devienne un nombre rationnel. Par example:

3 3 − 2 5 = 3 3 − 2 5 ⋅ 3 + 2 5 3 + 2 5 = 3 ( 3 + 2 5 ) 3 2 − ( 2 5 ) 2 = 3 ( 3 + 2 5 ) 9 − 20 = − 9 + 6 5 11 {displaystyle {frac {3}{3-2{sqrt {5}}}}={frac {3}{3-2{sqrt {5}}}}cdot {frac {3+ 2{sqrt {5}}}{3+2{sqrt {5}}}}={frac {3(3+2{sqrt {5}})}{{3}^{2}- (2{sqrt {5}})^{2}}}={frac {3(3+2{sqrt {5}})}{9-20}}=-{frac {9+6 {sqrt {5}}}{11}}} 3 3 + 2 5 = 3 3 + 2 5 ⋅ 3 − 2 5 3 − 2 5 = 3 ( 3 − 2 5 ) 3 2 − ( 2 5 ) 2 = 3 ( 3 − 2 5 ) 9 − 20 = − 9 − 6 5 11 {displaystyle {frac {3}{3+2{sqrt {5}}}}={frac {3}{3+2{sqrt {5}}}}cdot {frac {3- 2{sqrt {5}}}{3-2{sqrt {5}}}}={frac {3(3-2{sqrt {5}})}{{3}^{2}- (2{sqrt {5}})^{2}}}={frac {3(3-2{sqrt {5}})}{9-20}}=-{frac {9-6 {sqrt {5}}}{11}}}

Même si ce processus a pour résultat que le numérateur est irrationnel, comme dans les exemples ci-dessus, le processus peut encore faciliter les manipulations ultérieures en réduisant le nombre d’irrationnels avec lesquels il faut travailler dans le dénominateur.

Variations typographiques

Dans les écrans d’ordinateur et la typographie , les fractions simples sont parfois imprimées sous la forme d’un seul caractère, par exemple 1⁄2 ( une moitié ). Voir l’article sur Number Forms pour plus d’informations sur la façon de procéder en Unicode .

L’édition scientifique distingue quatre façons de définir des fractions, ainsi que des directives d’utilisation : ^[25]

• fractions spéciales : fractions présentées sous la forme d’un seul caractère avec une barre inclinée, avec à peu près la même hauteur et la même largeur que les autres caractères du texte. Généralement utilisé pour les fractions simples, telles que : 1⁄2, 1⁄3, 2⁄3, 1⁄4 et 3⁄4. Étant donné que les chiffres sont plus petits, la lisibilité peut être un problème, en particulier pour les polices de petite taille. Ceux-ci ne sont pas utilisés dans la notation mathématique moderne, mais dans d’autres contextes.
• fractions de cas : similaires aux fractions spéciales, elles sont rendues par un seul caractère typographique, mais avec une barre horizontale, les rendant ainsi droites . Un exemple serait 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} , mais rendu avec la même hauteur que les autres caractères. Certaines sources incluent tous les rendus de fractions sous forme de fractions de cas s’ils ne prennent qu’un seul espace typographique, quelle que soit la direction de la barre. ^[26]
• fractions de shilling ou de solidus : 1/2, ainsi appelée parce que cette notation était utilisée pour la monnaie britannique pré-décimale ( £sd ), comme dans 2/6 pour une demi-couronne , ce qui signifie deux shillings et six pence. Alors que la notation “deux shillings et six pence” ne représentait pas une fraction, la Barre oblique est maintenant utilisée dans les fractions, en particulier pour les fractions en ligne avec la prose (plutôt qu’affichées), pour éviter les lignes inégales. Il est également utilisé pour les fractions à l’intérieur des fractions ( fractions complexes ) ou à l’intérieur des exposants pour augmenter la lisibilité. Les fractions écrites de cette façon, également connues sous le nom de fractions de morceaux , ^[27] sont toutes écrites sur une ligne typographique, mais prennent 3 espaces typographiques ou plus.
• fractions constituées : 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} . Cette notation utilise deux ou plusieurs lignes de texte ordinaire et entraîne une variation de l’espacement entre les lignes lorsqu’elles sont incluses dans un autre texte. Bien qu’ils soient grands et lisibles, ils peuvent être perturbateurs, en particulier pour les fractions simples ou au sein de fractions complexes.

Histoire

Les premières fractions étaient des inverses d’ Entiers : anciens symboles représentant une partie de deux, une partie de trois, une partie de quatre, etc. ^[28] Les Égyptiens utilisaient des fractions égyptiennes c. 1000 av. Il y a environ 4000 ans, les Égyptiens ont divisé avec des fractions en utilisant des méthodes légèrement différentes. Ils ont utilisé les plus petits multiples communs avec des fractions unitaires . Leurs méthodes donnaient la même réponse que les méthodes modernes. ^[29] Les Égyptiens avaient également une notation différente pour les fractions dyadiques dans la tablette en bois d’Akhmim et plusieurs problèmes de papyrus mathématique de Rhind .

Les Grecs utilisaient des fractions unitaires et (plus tard) des fractions continues . Les disciples du philosophe grec Pythagore ( vers 530 av. J.-C.) ont découvert que la racine carrée de deux ne peut pas être exprimée comme une fraction de nombres Entiers . (Ceci est généralement bien que probablement attribué à tort à Hippasus de Metapontum , qui aurait été exécuté pour avoir révélé ce fait.) En 150 avant JC , des mathématiciens jaïns en Inde ont écrit le ” Sthananga Sutra “, qui contient des travaux sur la théorie des nombres, les opérations arithmétiques et les opérations avec des fractions.

Une expression moderne de fractions connue sous le nom de bhinnarasi semble avoir pris naissance en Inde dans les travaux d’ Aryabhatta ( vers 500 après JC ), ^{[ la citation nécessaire ]} Brahmagupta ( vers 628 ) et de Bhaskara ( vers 1150 ). ^[30] Leurs œuvres forment des fractions en plaçant les numérateurs ( sanskrit : amsa ) sur les dénominateurs ( cheda ), mais sans barre entre eux. ^[30] Dans la littérature sanskrite, les fractions étaient toujours exprimées comme une addition ou une soustraction d’un nombre entier. ^{[ citation nécessaire ]} L’entier était écrit sur une ligne et la fraction dans ses deux parties sur la ligne suivante. Si la fraction était marquée par un petit cercle ⟨०⟩ ou une croix ⟨+⟩, elle est soustraite de l’entier ; si aucun signe de ce type n’apparaît, il est entendu qu’il est ajouté. Par exemple, Bhaskara I écrit : ^[31]

६ १ २ १ १ १ _० ४ ५ ९

qui est l’équivalent de

6 1 2 1 1 −1 4 5 9

et serait écrit en notation moderne comme 6 1/4, 1 1/5, et 2 − 1/9(c’est-à-dire 1 8/9).

La barre de fraction horizontale est attestée pour la première fois dans les travaux d’ Al-Hassār ( fl. 1200 ), ^[30] un mathématicien musulman de Fès , au Maroc , spécialisé dans la jurisprudence islamique en matière d’héritage . Dans sa discussion, il écrit: “… par exemple, si on vous dit d’écrire trois cinquièmes et un tiers de cinquième, écrivez ainsi, 3 1 5 3 {displaystyle {frac {3quad 1}{5quad 3}}} .” ^[32] La même notation fractionnaire – avec la fraction donnée avant l’entier ^{[30] –} apparaît peu après dans l’œuvre de Leonardo Fibonacci au XIIIe siècle. ^[33]

En discutant des origines des fractions décimales , Dirk Jan Struik déclare : ^[34]

“L’introduction des fractions décimales en tant que pratique informatique courante remonte au pamphlet flamand De Thiende , publié à Leyde en 1585, accompagné d’une traduction française, La Disme , par le mathématicien flamand Simon Stevin (1548-1620), puis Il est vrai que les fractions décimales étaient utilisées par les Chinois plusieurs siècles avant Stevin et que l’astronome persan Al-Kāshī utilisait avec une grande facilité les fractions décimales et sexagésimales dans sa Clé de l’arithmétique ( Samarcande , début du XVe siècle) .”^[35]

Alors que le mathématicien persan Jamshīd al-Kāshī affirmait avoir lui-même découvert les fractions décimales au XVe siècle, J. Lennart Berggren note qu’il s’est trompé, car les fractions décimales ont été utilisées pour la première fois cinq siècles avant lui par le mathématicien baghdadi Abu’l-Hasan al -Uqlidisi dès le 10ème siècle. ^{[36] [n 2]}

Dans l’enseignement formel

Outils pédagogiques

Dans les écoles primaires , les fractions ont été démontrées à l’aide de réglettes de Cuisenaire , de barres de fraction, de bandes de fraction, de cercles de fraction, de papier (à plier ou à découper), de blocs -formes, de pièces en forme de tarte, de rectangles en plastique, de papier quadrillé, de papier à points , de géoplans , de compteurs et logiciel.

Documents pour les enseignants

Plusieurs États des États-Unis ont adopté des trajectoires d’apprentissage issues des lignes directrices de la Common Core State Standards Initiative pour l’enseignement des mathématiques. Outre le séquençage de l’apprentissage des fractions et des opérations sur les fractions, le document donne la définition suivante d’une fraction : « Un nombre exprimable sous la forme a {displaystyle a} / b {displaystyle b} où a {displaystyle a} est un nombre entier et b {displaystyle b} est un nombre entier positif. (Le mot fraction dans ces normes fait toujours référence à un nombre non négatif.)” ^[38] Le document lui-même fait également référence à des fractions négatives.

Voir également

• Multiplication croisée
• 0,999…
• Plusieurs
• FRACTRAN

Systèmes de numération Complexe : C {displaystyle :;mathbb {C} } Réel : R {displaystyle :;mathbb {R} } Rationnel : Q {displaystyle :;mathbb {Q}} Entier : Z {displaystyle :;mathbb {Z} } Naturel : N {displaystyle :;mathbb {N} } Zéro : 0 Un : 1 nombres premiers Nombres composés Entiers négatifs Fraction Décimal fini Dyadique (binaire fini) Décimal répétitif Irrationnel Algébrique irrationnel Transcendantal Imaginaire

Remarques

1. ^ Certains typographes tels que Bringhurst distinguent à tort la Barre oblique ⟨ / ⟩ comme le virgule et la fraction oblique ⟨ ⁄ ⟩ comme le solidus , ^[6] bien qu’en fait les deux soient synonymes de la Barre oblique standard. ^{[7] [8]}
2. ^ Bien qu’il y ait un certain désaccord parmi les spécialistes de l’histoire des mathématiques quant à la primauté de la contribution d’al-Uqlidisi, il n’y a aucun doute quant à sa contribution majeure au concept de fractions décimales. ^[37]

Références

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Liens externes

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• “Fraction, arithmétique” . L’Encyclopédie en ligne des mathématiques .
• “Fraction” . Encyclopædia Britannica .
• “Fraction (mathématiques)” . Citizendium .
• “Fraction” . PlanèteMath . Archivé de l’original le 25 octobre 2019 . Récupéré le 29 septembre 2019 .