Fonction quintique

En algèbre , une fonction quintique est une fonction de la forme

Représentation graphique d’un polynôme de degré 5, avec 3 zéros réels (racines) et 4 points critiques . g ( x ) = a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f , {displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,,}

où a , b , c , d , e et f sont membres d’un champ , typiquement les nombres rationnels , les nombres réels ou les nombres complexes , et a est différent de zéro. En d’autres termes, une fonction quintique est définie par un polynôme de degré cinq.

Parce qu’elles ont un degré impair, les fonctions quintiques normales apparaissent similaires aux fonctions cubiques normales lorsqu’elles sont représentées graphiquement, sauf qu’elles peuvent posséder un maximum local supplémentaire et un minimum local supplémentaire. La dérivée d’une fonction quintique est une fonction quartique .

Poser g ( x ) = 0 et supposer a ≠ 0 produit une équation quintique de la forme :

a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0. {displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.,}

Résoudre des équations quintiques en termes de radicaux était un problème majeur en algèbre du XVIe siècle, lorsque les équations cubiques et quartiques étaient résolues, jusqu’à la première moitié du XIXe siècle, lorsque l’impossibilité d’une telle solution générale a été prouvée avec le Abel-Ruffini théorème .

Trouver les racines d’une équation quintique

Trouver les racines d’un polynôme donné a été un problème mathématique important.

Résoudre des équations linéaires , quadratiques , cubiques et quartiques par factorisation en radicaux peut toujours se faire, peu importe que les racines soient rationnelles ou irrationnelles, réelles ou complexes ; il existe des formules qui donnent les solutions requises. Cependant, il n’y a pas d’ expression algébrique (c’est-à-dire en termes de radicaux) pour les solutions des équations quintiques générales sur les rationnels; cette affirmation est connue sous le nom de théorème d’ Abel-Ruffini , affirmé pour la première fois en 1799 et complètement prouvé en 1824. Ce résultat est également valable pour les équations de degrés supérieurs. Un exemple de quintique dont les racines ne peuvent pas être exprimées en termes de radicaux est x ⁵ – X + 1 = 0 .

Certaines quintiques peuvent être résolues en termes de radicaux. Cependant, la solution est généralement trop compliquée pour être utilisée en pratique. Au lieu de cela, les approximations numériques sont calculées à l’aide d’un Algorithme de recherche de racine pour les polynômes .

Quintique résoluble

Certaines équations quintiques peuvent être résolues en termes de radicaux. Celles-ci incluent les équations quintiques définies par un polynôme réductible , tel que x ⁵ − x ⁴ − x + 1 = ( x ² + 1)( x + 1)( x − 1) ² . Par exemple, il a été montré ^[1] que

X 5 − X − r = 0 {displaystyle x^{5}-xr=0}

a des solutions dans les radicaux si et seulement s’il a une solution entière ou r est l’un de ±15, ±22440 ou ±2759640, auquel cas le polynôme est réductible.

Comme la résolution d’équations quintiques réductibles se réduit immédiatement à la résolution de polynômes de degré inférieur, seules les équations quintiques irréductibles sont considérées dans la suite de cette section, et le terme « quintique » ne désignera que les quintiques irréductibles. Une quintique résoluble est donc un polynôme quintique irréductible dont les racines peuvent être exprimées en termes de radicaux.

Pour caractériser les quintiques résolubles, et plus généralement les polynômes résolubles de degré supérieur, Évariste Galois a développé des techniques qui ont donné naissance à la théorie des groupes et à la théorie de Galois . En appliquant ces techniques, Arthur Cayley a trouvé un critère général pour déterminer si une quintique donnée est résoluble. ^[2] Ce critère est le suivant. ^[3]

Étant donné l’équation

un X 5 + b X 4 + c X 3 + ré X 2 + e x + f = 0 , { displaystyle ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + dx ^ {2} + ex + f = 0,}

la transformation de Tschirnhaus x = y −b/5 un, qui déprime la quintique (c’est-à-dire supprime le terme de degré quatre), donne l’équation

y 5 + p y 3 + q y 2 + r y + s = 0 {displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0} ,

où

p = 5 a c − 2 b 2 5 a 2 q = 25 a 2 d − 15 a b c + 4 b 3 25 a 3 r = 125 a 3 e − 50 a 2 b d + 15 a b 2 c − 3 b 4 125 a 4 s = 3125 a 4 f − 625 a 3 b e + 125 a 2 b 2 d − 25 a b 3 c + 4 b 5 3125 a 5 {displaystyle {begin{aligned}p&={frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\q&={frac {25a^{2}d-15abc+4b^ {3}}{25a^{3}}}\r&={frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^ {4}}}\s&={frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5 }}{3125a^{5}}}end{aligné}}}

Les deux quintiques sont résolubles par radicaux si et seulement si soit elles sont factorisables dans des équations de degrés inférieurs à coefficients rationnels soit le polynôme P ² − 1024 z Δ , nomméla résolvante de Cayley , a une racine rationnelle enz, où

P = z 3 − z 2 ( 20 r + 3 p 2 ) − z ( 8 p 2 r − 16 p q 2 − 240 r 2 + 400 s q − 3 p 4 ) − p 6 + 28 p 4 r − 16 p 3 q 2 − 176 p 2 r 2 − 80 p 2 s q + 224 p r q 2 − 64 q 4 + 4000 p s 2 + 320 r 3 − 1600 r s q {displaystyle {begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r ^{2}+400sq-3p^{4})\&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2 }-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsqend{aligné}}}

et

Δ = − 128 p 2 r 4 + 3125 s 4 − 72 p 4 q r s + 560 p 2 q r 2 s + 16 p 4 r 3 + 256 r 5 + 108 p 5 s 2 − 1600 q r 3 s + 144 p q 2 r 3 − 900 p 3 r s 2 + 2000 p r 2 s 2 − 3750 p q s 3 + 825 p 2 q 2 s 2 + 2250 q 2 r s 2 + 108 q 5 s − 27 q 4 r 2 − 630 p q 3 r s + 16 p 3 q 3 s − 4 p 3 q 2 r 2 . {displaystyle {begin{aligned}Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2} s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3} -900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\&+2250q^ {2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3 }q^{2}r^{2}.end{aligné}}}

Le résultat de Cayley nous permet de tester si une quintique est résoluble. Si c’est le cas, trouver ses racines est un problème plus difficile, qui consiste à exprimer les racines en termes de radicaux faisant intervenir les coefficients de la quintique et la racine rationnelle de la résolvante de Cayley.

En 1888, George Paxton Young a décrit comment résoudre une équation quintique résoluble, sans fournir de formule explicite; ^[4] en 2004, Daniel Lazard a rédigé une formule de trois pages. ^[5]

Quintics sous forme Bring – Jerrard

Il existe plusieurs représentations paramétriques de quintiques résolubles de la forme x ⁵ + ax + b = 0 , appelée forme Bring–Jerrard .

Au cours de la seconde moitié du XIXe siècle, John Stuart Glashan , George Paxton Young et Carl Runge ont donné une telle paramétrisation: une quintique irréductible à coefficients rationnels sous la forme Bring – Jerrard est résoluble si et seulement si a = 0 ou il peut être écrit

x 5 + 5 μ 4 ( 4 v + 3 ) v 2 + 1 X + 4 μ 5 ( 2 v + 1 ) ( 4 v + 3 ) v 2 + 1 = 0 {displaystyle x^{5}+{frac {5mu ^{4}(4nu +3)}{nu ^{2}+1}}x+{frac {4mu ^{5 }(2nu +1)(4nu +3)}{nu ^{2}+1}}=0}

où μ et ν sont rationnels.

En 1994, Blair Spearman et Kenneth S. Williams ont donné une alternative,

X 5 + 5 e 4 ( 4 c + 3 ) c 2 + 1 x + − 4 e 5 ( 2 c − 11 ) c 2 + 1 = 0. {displaystyle x^{5}+{frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{frac {-4e^{5}(2c-11) }{c^{2}+1}}=0.}

La relation entre les paramétrisations de 1885 et 1994 peut être vue en définissant l’expression

b = 4 5 ( a + 20 ± 2 ( 20 − a ) ( 5 + a ) ) {displaystyle b={frac {4}{5}}left(a+20pm 2{sqrt {(20-a)(5+a)}}right)}

où un = 5(4 ν + 3)/v ² + 1. L’utilisation du cas négatif de la racine carrée donne, après les variables d’échelle, la première paramétrisation tandis que le cas positif donne la seconde.

La substitution c = − m/l ⁵, e = 1/jedans la paramétrisation de Spearman-Williams permet de ne pas exclure le cas particulier a = 0 , donnant le résultat suivant :

Si a et b sont des nombres rationnels, l’équation x ⁵ + ax + b = 0 est résoluble par radicaux si soit son membre de gauche est un produit de polynômes de degré inférieur à 5 à coefficients rationnels, soit il existe deux nombres rationnels l et je suis tel que

a = 5 l ( 3 l 5 − 4 m ) m 2 + l 10 b = 4 ( 11 l 5 + 2 m ) m 2 + l 10 . {displaystyle a={frac {5l(3l^{5}-4m)}{m^{2}+l^{10}}}qquad b={frac {4(11l^{5}+ 2m)}{m^{2}+l^{10}}}.}

Racines d’une quintique résoluble

Une équation polynomiale est résoluble par radicaux si son groupe de Galois est un groupe résoluble . Dans le cas des quintiques irréductibles, le groupe de Galois est un sous-groupe du groupe symétrique S ₅ de toutes les permutations d’un ensemble de cinq éléments, qui est résoluble si et seulement si c’est un sous-groupe du groupe F ₅ , d’ordre 20 , généré par les permutations cycliques (1 2 3 4 5) et (1 2 4 3) .

Si la quintique est résoluble, l’une des solutions peut être représentée par une expression algébrique comportant une racine cinquième et au plus deux racines carrées, généralement imbriquées . Les autres solutions peuvent alors être obtenues soit en changeant la racine cinquième, soit en multipliant toutes les occurrences de la racine cinquième par la même puissance d’une racine 5e primitive de l’unité , telle que

− 10 − 2 5 + 5 − 1 4 . {displaystyle {frac {{sqrt {-10-2{sqrt {5}}}}+{sqrt {5}}-1}{4}}.}

En fait, les quatre racines cinquièmes primitives de l’unité peuvent être obtenues en changeant les signes des racines carrées de manière appropriée; à savoir l’expression

α − 10 − 2 β 5 + β 5 − 1 4 , {displaystyle {frac {alpha {sqrt {-10-2beta {sqrt {5}}}}+beta {sqrt {5}}-1}{4}},}

où α , β ∈ { − 1 , 1 } {displaystyle alpha ,beta in {-1,1}} , donne les quatre cinquièmes racines primitives distinctes de l’unité.

Il s’ensuit que l’on peut avoir besoin de quatre racines carrées différentes pour écrire toutes les racines d’une quintique résoluble. Même pour la première racine qui implique au plus deux racines carrées, l’expression des solutions en termes de radicaux est généralement très compliquée. Cependant, lorsqu’aucune racine carrée n’est nécessaire, la forme de la première solution peut être assez simple, comme pour l’équation x ⁵ − 5 x ⁴ + 30 x ³ − 50 x ² + 55 x − 21 = 0 , pour laquelle le seul la vraie solution est

x = 1 + 2 5 − ( 2 5 ) 2 + ( 2 5 ) 3 − ( 2 5 ) 4 . {displaystyle x=1+{sqrt[{5}]{2}}-left({sqrt[{5}]{2}}right)^{2}+left({sqrt[ {5}]{2}}droite)^{3}-gauche({sqrt[{5}]{2}}droite)^{4}.}

Un exemple de solution plus compliquée (bien qu’assez petite pour être écrite ici) est l’unique racine réelle de x ⁵ − 5 x + 12 = 0 . Soit a = √ 2 φ ⁻¹ , b = √ 2 φ , et c = ⁴ √ 5 , où φ = 1+ √ 5/2est le nombre d’or . Alors la seule vraie solution x = −1.84208… est donnée par

− c x = ( a + c ) 2 ( b − c ) 5 + ( − a + c ) ( b − c ) 2 5 + ( a + c ) ( b + c ) 2 5 − ( − a + c ) 2 ( b + c ) 5 , {displaystyle -cx={sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(bc)}}+{sqrt[{5}]{(-a+c)(bc)^{ 2}}}+{sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{sqrt[{5}]{(-a+c)^{2} (b+c)}},,}

ou, de manière équivalente, par

x = y 1 5 + y 2 5 + y 3 5 + y 4 5 , {displaystyle x={sqrt[{5}]{y_{1}}}+{sqrt[{5}]{y_{2}}}+{sqrt[{5}]{y_{3} }}+{sqrt[{5}]{y_{4}}},,}

où les y _i sont les quatre racines de l’ équation quartique

y 4 + 4 y 3 + 4 5 y 2 − 8 5 3 y − 1 5 5 = 0 . {displaystyle y^{4}+4y^{3}+{frac {4}{5}}y^{2}-{frac {8}{5^{3}}}y-{frac {1}{5^{5}}}=0,.}

Plus généralement, si une équation P ( x ) = 0 de degré premier p à coefficients rationnels est résoluble en radicaux, alors on peut définir une équation auxiliaire Q ( y ) = 0 de degré p – 1 , également à coefficients rationnels, telle que chaque racine de P est la somme des p -ièmes racines des racines de Q . Ces racines p -ième ont été introduites par Joseph-Louis Lagrange , et leurs produits par p sont communément appelés résolvants de Lagrange . Le calcul de Qet ses racines peuvent être utilisées pour résoudre P ( x ) = 0 . Cependant, ces p -ièmes racines ne peuvent pas être calculées indépendamment (cela donnerait p ^{p –1} racines au lieu de p ). Ainsi une solution correcte doit exprimer toutes ces p -racines en fonction de l’une d’entre elles. La théorie de Galois montre que cela est toujours théoriquement possible, même si la formule résultante peut être trop grande pour être d’aucune utilité.

Il est possible que certaines des racines de Q soient rationnelles (comme dans le premier exemple de cette section) ou que certaines soient nulles. Dans ces cas, la formule des racines est beaucoup plus simple, comme pour la quintique De Moivre résoluble

x 5 + 5 a x 3 + 5 a 2 x + b = 0 , {displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0,,}

où l’équation auxiliaire a deux racines nulles et se réduit, en les factorisant, à l’ équation quadratique

y 2 + b y − a 5 = 0 , {displaystyle y^{2}+par-a^{5}=0,,}

de sorte que les cinq racines de la quintique De Moivre sont données par

x k = ω k y i 5 − a ω k y i 5 , {displaystyle x_{k}=omega ^{k}{sqrt[{5}]{y_{i}}}-{frac {a}{omega ^{k}{sqrt[{5} ]{y_{i}}}}},}

où y _i est n’importe quelle racine de l’équation quadratique auxiliaire et ω est l’une des quatre racines 5 primitives de l’unité . Cela peut être facilement généralisé pour construire une fosse septique résoluble et d’autres degrés impairs, pas nécessairement premiers.

Autres quintiques résolubles

Il existe une infinité de quintiques résolubles sous forme de Bring-Jerrard qui ont été paramétrées dans une section précédente.

Jusqu’à la mise à l’échelle de la variable, il y a exactement cinq quintiques résolubles de la forme x 5 + a x 2 + b {displaystyle x^{5}+ax^{2}+b} , qui sont ^[6] (où s est un facteur d’échelle) :

x 5 − 2 s 3 x 2 − s 5 5 {displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{frac {s^{5}}{5}}} x 5 − 100 s 3 x 2 − 1000 s 5 {displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}} x 5 − 5 s 3 x 2 − 3 s 5 {displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}} x 5 − 5 s 3 x 2 + 15 s 5 {displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}} x 5 − 25 s 3 x 2 − 300 s 5 {displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}

Paxton Young (1888) a donné un certain nombre d’exemples de quintiques résolubles :

x 5 − 10 x 3 − 20 x 2 − 1505 x − 7412 {displaystyle x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412}
x 5 + 625 4 x + 3750 {displaystyle x^{5}+{frac {625}{4}}x+3750}
x 5 − 22 5 x 3 − 11 25 x 2 + 462 125 x + 979 3125 {displaystyle x^{5}-{frac {22}{5}}x^{3}-{frac {11}{25}}x^{2}+{frac {462}{125} }x+{frac {979}{3125}}}
x 5 + 20 x 3 + 20 x 2 + 30 x + 10 {displaystyle x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10}	{displaystyle ~qquad ~} Racine: 2 5 − 2 5 2 + 2 5 3 − 2 5 4 {displaystyle {sqrt[{5}]{2}}-{sqrt[{5}]{2}}^{2}+{sqrt[{5}]{2}}^{3}- {sqrt[{5}]{2}}^{4}}
x 5 − 20 x 3 + 250 x − 400 {displaystyle x^{5}-20x^{3}+250x-400}
x 5 − 5 x 3 + 85 8 x − 13 2 {displaystyle x^{5}-5x^{3}+{frac {85}{8}}x-{frac {13}{2}}}
x 5 + 20 17 x + 21 17 {displaystyle x^{5}+{frac {20}{17}}x+{frac {21}{17}}}
x 5 − 4 13 x + 29 65 {displaystyle x^{5}-{frac {4}{13}}x+{frac {29}{65}}}
x 5 + 10 13 x + 3 13 {displaystyle x^{5}+{frac {10}{13}}x+{frac {3}{13}}}
x 5 + 110 ( 5 x 3 + 60 x 2 + 800 x + 8320 ) {displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)}
x 5 − 20 x 3 − 80 x 2 − 150 x − 656 {displaystyle x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656}
x 5 − 40 x 3 + 160 x 2 + 1000 x − 5888 {displaystyle x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888}
x 5 − 50 x 3 − 600 x 2 − 2000 x − 11200 {displaystyle x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200}
x 5 + 110 ( 5 x 3 + 20 x 2 − 360 x + 800 ) {displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)}
x 5 − 20 x 3 + 170 x + 208 {displaystyle x^{5}-20x^{3}+170x+208}

Une suite infinie de quintiques résolubles peut être construite, dont les racines sont des sommes de n ièmes Racines de l’unité , avec n = 10 k + 1 étant un nombre premier :

x 5 + x 4 − 4 x 3 − 3 x 2 + 3 x + 1 {displaystyle x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1}	Racines: 2 cos ⁡ ( 2 k π 11 ) {displaystyle 2cos left({frac {2kpi }{11}}right)}
x 5 + x 4 − 12 x 3 − 21 x 2 + x + 5 {displaystyle x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5}	Racine: ∑ k = 0 5 e 2 i π 6 k 31 {displaystyle sum _{k=0}^{5}e^{frac {2ipi 6^{k}}{31}}}
x 5 + x 4 − 16 x 3 + 5 x 2 + 21 x − 9 {displaystyle x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9}	Racine: ∑ k = 0 7 e 2 i π 3 k 41 {displaystyle sum _{k=0}^{7}e^{frac {2ipi 3^{k}}{41}}}
x 5 + x 4 − 24 x 3 − 17 x 2 + 41 x − 13 {displaystyle x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13}	{displaystyle ~qquad ~}	Racine: ∑ k = 0 11 e 2 i π ( 21 ) k 61 {displaystyle sum _{k=0}^{11}e^{frac {2ipi (21)^{k}}{61}}}
x 5 + x 4 − 28 x 3 + 37 x 2 + 25 x + 1 {displaystyle x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1}	Racine: ∑ k = 0 13 e 2 i π ( 23 ) k 71 {displaystyle sum _{k=0}^{13}e^{frac {2ipi (23)^{k}}{71}}}

Il existe également deux familles paramétrées de quintiques résolubles : la quintique de Kondo-Brumer,

x 5 + ( a − 3 ) x 4 + ( − a + b + 3 ) x 3 + ( a 2 − a − 1 − 2 b ) x 2 + b x + a = 0 {displaystyle x^{5}+(a-3),x^{4}+(-a+b+3),x^{3}+(a^{2}-a-1-2b ),x^{2}+b,x+a=0}

et la famille en fonction des paramètres a , l , m {displaystyle a,ell ,m}

x 5 − 5 p ( 2 x 3 + a x 2 + b x ) − p c = 0 {displaystyle x^{5}-5,pleft(2,x^{3}+a,x^{2}+b,xright)-p,c=0}

où

p = 1 4 [ l 2 ( 4 m 2 + a 2 ) − m 2 ] , {displaystyle p={tfrac {1}{4}}left[,ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2},right] ;,} b = l ( 4 m 2 + a 2 ) − 5 p − 2 m 2 , {displaystyle b=ell ,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2};,} c = 1 2 [ b ( a + 4 m ) − p ( a − 4 m ) − a 2 m ] . {displaystyle c={tfrac {1}{2}}left[,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m,right];.}

Casus irréductible

De manière analogue aux équations cubiques , il existe des quintiques solubles qui ont cinq racines réelles dont toutes les solutions en radicaux impliquent des racines de nombres complexes. C’est le casus irreducibilis pour la quintique, qui est discuté dans Dummit. ^{[7] : p.17} En effet, si une quintique irréductible a toutes les racines réelles, aucune racine ne peut être exprimée uniquement en termes de radicaux réels (comme c’est le cas pour tous les degrés polynomiaux qui ne sont pas des puissances de 2).

Au-delà des radicaux

Vers 1835, Jerrard a démontré que les quintiques peuvent être résolues en utilisant des ultraradicaux (également appelés radicaux Bring), l’unique racine réelle de t ⁵ + t − a = 0 pour les nombres réels a . En 1858 , Charles Hermite a montré que le radical Bring pouvait être caractérisé en termes de Fonctions thêta de Jacobi et de leurs fonctions modulaires elliptiques associées , en utilisant une approche similaire à l’approche plus familière de résolution d’ équations cubiques au moyen de fonctions trigonométriques . A peu près à la même époque, Leopold Kronecker, en utilisant la théorie des groupes , a développé une manière plus simple de dériver le résultat d’Hermite, comme l’avait fait Francesco Brioschi . Plus tard, Felix Klein a proposé une méthode qui relie les symétries de l’ icosaèdre , la théorie de Galois et les fonctions modulaires elliptiques qui sont présentées dans la solution d’Hermite, expliquant pourquoi elles devraient apparaître, et a développé sa propre solution en termes de fonctions hypergéométriques généralisées . ^[8] Des phénomènes similaires se produisent au degré 7 ( équations septiques ) et 11 , comme étudié par Klein et discuté dans Symétrie icosaédrique § Géométries associées.

Résoudre avec Bring radicaux

Une transformation de Tschirnhaus , qui peut être calculée en résolvant une équation quartique , réduit l’ équation quintique générale de la forme

x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}= 0,}

à la Forme normale de Bring–Jerrard x ⁵ − x + t = 0 .

Les racines de cette équation ne peuvent pas être exprimées par des radicaux. Cependant, en 1858, Charles Hermite publie la première solution connue de cette équation en termes de fonctions elliptiques . ^[9] À peu près à la même époque, Francesco Brioschi ^[10] et Leopold Kronecker ^[11] sont tombés sur des solutions équivalentes.

Voir Apporter radical pour plus de détails sur ces solutions et certaines solutions connexes.

Application à la mécanique céleste

La résolution des emplacements des points lagrangiens d’une orbite astronomique dans laquelle les masses des deux objets ne sont pas négligeables implique la résolution d’une quintique.

Plus précisément, les emplacements de L ₂ et L ₁ sont les solutions des équations suivantes, où les forces gravitationnelles de deux masses sur une troisième (par exemple, le Soleil et la Terre sur des satellites tels que Gaia et le télescope spatial James Webb à L ₂ et SOHO à L ₁ ) fournissent la force centripète du satellite nécessaire pour être en orbite synchrone avec la Terre autour du Soleil :

G m M S ( R ± r ) 2 ± G m M E r 2 = m ω 2 ( R ± r ) {displaystyle {frac {GmM_{S}}{(Rpm r)^{2}}}pm {frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=momega ^{ 2}(Rpm r)}

Le signe ± correspond respectivement à L ₂ et L ₁ ; G est la constante gravitationnelle , ω la vitesse angulaire , r la distance du satellite à la Terre, R la distance du Soleil à la Terre (c’est-à-dire le Demi-grand axe de l’orbite terrestre), et m , M _E et M _S sont les masses respectives du satellite, de la Terre et du Soleil .

Utilisation de la troisième loi de Kepler ω 2 = 4 π 2 P 2 = G ( M S + M E ) R 3 {displaystyle omega ^{2}={frac {4pi ^{2}}{P^{2}}}={frac {G(M_{S}+M_{E})}{R ^{3}}}} et le réarrangement de tous les termes donne la quintique

a r 5 + b r 4 + c r 3 + d r 2 + e r + f = 0 {displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}

avec:

a = ± ( M S + M E ) , b = + ( M S + M E ) 3 R , c = ± ( M S + M E ) 3 R 2 , d = + ( M E ∓ M E ) R 3 ( t h u s d = 0 f o r L 2 ) , e = ± M E 2 R 4 , f = ∓ M E R 5 {displaystyle {begin{aligned}&a=pm (M_{S}+M_{E}),\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\&c=pm ( M_{S}+M_{E})3R^{2},\&d=+(M_{E}mp M_{E})R^{3} (donc d=0 pour L_{ 2}),\&e=pm M_{E}2R^{4},\&f=mp M_{E}R^{5}end{aligné}}} .

La résolution de ces deux quintiques donne r = 1,501 x 10 ⁹ m pour L ₂ et r = 1,491 x 10 ⁹ m pour L ₁ . Les points lagrangiens Soleil-Terre L ₂ et L ₁ sont généralement donnés à 1,5 million de km de la Terre.

Si la masse du plus petit objet ( M _E ) est beaucoup plus petite que la masse du plus grand objet ( M _S ), alors l’équation quintique peut être fortement réduite et L ₁ et L ₂ sont approximativement au rayon de la sphère de Hill , donné par:

r ≈ R M E 3 M S 3 {displaystyle renviron R{sqrt[{3}]{frac {M_{E}}{3M_{S}}}}}

Cela donne également r = 1,5 x 10 ⁹ m pour les satellites à L ₁ et L ₂ dans le système Soleil-Terre.

Voir également

• Équation sextique
• Fonction septique
• Théorie des équations

Remarques

1. ^ Michele Elia, Piero Filipponi, “Les équations de la forme Bring-Jerrard, la section dorée et les nombres carrés de Fibonacci”, Fibonacci Quarterly 36 : 282–286 (juin-juillet 1998) texte intégral
2. ^ A. Cayley, “Sur une nouvelle équation auxiliaire dans la théorie de l’équation du cinquième ordre”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 : 263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014
3. ^ Cette formulation du résultat de Cayley est extraite de l’article de Lazard (2004).
4. ^ George Paxton Young, “Équations quintiques solubles avec des coefficients commensurables”, American Journal of Mathematics 10 : 99–130 (1888), JSTOR 2369502
5. ^ Lazard (2004 , p. 207)
6. ^ Elkies, Noam. “Trinômes ax ⁿ + bx + c avec groupes de Galois intéressants” . Université Harvard .
7. ^ David S. Dummit résolvant les quintiques résolubles
8. ^ ( Klein 1888 ); une exposition moderne est donnée dans ( Tóth 2002 , Section 1.6, Additional Topic: Klein’s Theory of the Icosahedron, p. 66 ) harv error: no target: CITEREFKlein1888 (help)
9. ^ Hermite, Charles (1858). “Sur la résolution de l’équation du cinquième degré”. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences . XLVI (I): 508–515.
10. ^ Brioschi, Francesco (1858). “Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado”. Atti Dell’i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . I : 275–282.
11. ^ Kronecker, Léopold (1858). “Sur la résolution de l’équation du cinquième degré, extrait d’une lettre adressée à M. Hermite”. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences . XLVI (I): 1150–1152.

Références

• Charles Hermite, “Sur la résolution de l’équation du cinquème degré”, Œuvres de Charles Hermite , 2 : 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
• Felix Klein, Leçons sur l’icosaèdre et la solution des équations du cinquième degré , trad. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0 .
• Léopold Kronecker, “Sur la résolution de l’équation du cinquième degré, extrait d’une lettre transmise à M. Hermite”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences , 46 :1:1150–1152 1858.
• Blair Spearman et Kenneth S. Williams, “Caractérisation des quintiques solubles x ⁵ + ax + b , American Mathematical Monthly , 101 : 986–992 (1994).
• Ian Stewart, Galois Theory 2e édition, Chapman et Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1 . Discute de la théorie de Galois en général, y compris une preuve d’insolvabilité de la quintique générale.
• Jörg Bewersdorff , Théorie de Galois pour les débutants : une perspective historique , American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2 . Le chapitre 8 ( La solution des équations du cinquième degré à la Wayback Machine (archivé le 31 mars 2010)) donne une description de la solution des quintiques solubles x ⁵ + cx + d .
• Victor S. Adamchik et David J. Jeffrey, “Transformations polynomiales de Tschirnhaus, Bring et Jerrard,” ACM SIGSAM Bulletin , Vol. 37, n° 3, septembre 2003, p. 90–94.
• Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, “Une méthode pour supprimer tous les termes intermédiaires d’une équation donnée,” ACM SIGSAM Bulletin , Vol. 37, n° 1, mars 2003, p. 1–3.
• Lazard, Daniel (2004). “Résoudre les quintiques dans les radicaux”. Dans Olav Arnfinn Laudal ; Ragni Piene (éd.). L’héritage de Niels Henrik Abel . Berlin. p. 207–225. ISBN 3-540-43826-2. Archivé de l’original le 6 janvier 2005.
• Tóth, Gábor (2002), Groupes finis de Möbius, immersions minimales de sphères et modules

Liens externes

• Mathworld – Quintic Equation – plus de détails sur les méthodes de résolution de Quintics.
• Résoudre les quintiques solubles – une méthode de résolution des quintiques solubles due à David S. Dummit.
• Une méthode pour supprimer tous les termes intermédiaires d’une équation donnée – une traduction anglaise récente de l’article de 1683 de Tschirnhaus.