Ensemble indénombrable

En mathématiques , un ensemble indénombrable (ou ensemble indénombrable infini ) ^[1] est un ensemble infini qui contient trop d’ éléments pour être dénombrable . L’indénombrabilité d’un ensemble est étroitement liée à son nombre cardinal : un ensemble est indénombrable si son nombre cardinal est supérieur à celui de l’ensemble de tous les nombres naturels .

Caractérisations

Il existe de nombreuses caractérisations équivalentes de l’indénombrabilité. Un ensemble X est indénombrable si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :

Il n’y a pas de fonction injective (donc pas de bijection ) de X à l’ensemble des nombres naturels.
X est non vide et pour toute ω – suite d’éléments de X , il existe au moins un élément de X qui n’y est pas inclus. Autrement dit, X n’est pas vide et il n’y a pas de fonction surjective des nombres naturels vers X .
Le cardinal de X n’est ni fini ni égal à א 0 {displaystyle aleph _{0}} $aleph _{0}$ $aleph _{0}$ ( aleph-null , la cardinalité des nombres naturels ).
L’ensemble X est de cardinal strictement supérieur à א 0 {displaystyle aleph _{0}} $aleph _{0}$ $aleph _{0}$ .

Les trois premières de ces caractérisations peuvent être prouvées équivalentes dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l’ axiome de choix , mais l’équivalence des troisième et quatrième ne peut être prouvée sans principes de choix supplémentaires.

Propriétés

Si un ensemble indénombrable X est un sous-ensemble de l’ensemble Y , alors Y est indénombrable.

Exemples

L’exemple le plus connu d’un ensemble indénombrable est l’ensemble R de tous les nombres réels ; L’argument diagonal de Cantor montre que cet ensemble est indénombrable. La technique de preuve de diagonalisation peut également être utilisée pour montrer que plusieurs autres ensembles sont indénombrables, comme l’ensemble de toutes les séquences infinies de nombres naturels et l’ensemble de tous les sous- ensembles de l’ensemble des nombres naturels. La cardinalité de R est souvent appelée cardinalité du continuum , et notée par c {displaystyle {mathfrak {c}}} , ou alors 2 א 0 {displaystyle 2^{aleph _{0}}} $2^{aleph _{0}}$ $2^{aleph _{0}}$ , ou alors ב 1 {displaystyle beth _{1}} $beth _{1}$ $beth _{1}$ ( beth-one ).

L’ ensemble de Cantor est un sous-ensemble indénombrable de R . L’ensemble de Cantor est une fractale et a une dimension Hausdorff supérieure à zéro mais inférieure à un ( R a une dimension un). Ceci est un exemple du fait suivant : tout sous-ensemble de R de dimension Hausdorff strictement supérieure à zéro doit être indénombrable.

Un autre exemple d’ensemble indénombrable est l’ensemble de toutes les fonctions de R à R . Cet ensemble est même “plus indénombrable” que R dans le sens où le cardinal de cet ensemble est ב 2 {displaystyle beth _{2}} $beth _{2}$ $beth _{2}$ ( beth-two ), qui est plus grand que ב 1 {displaystyle beth _{1}} $beth _{1}$ $beth _{1}$ .

Un exemple plus abstrait d’ensemble indénombrable est l’ensemble de tous les nombres ordinaux dénombrables , notés Ω ou ω ₁ . ^[1] La cardinalité de Ω est notée א 1 {displaystyle aleph _{1}} $aleph _{1}$ $aleph _{1}$ ( aleph-un ). On peut montrer, en utilisant l’ axiome du choix , que א 1 {displaystyle aleph _{1}} $aleph _{1}$ $aleph _{1}$ est le plus petit nombre cardinal indénombrable. Ainsi soit ב 1 {displaystyle beth _{1}} $beth _{1}$ $beth _{1}$ , le cardinal des réels, est égal à א 1 {displaystyle aleph _{1}} $aleph _{1}$ $aleph _{1}$ ou il est strictement plus grand. Georg Cantor a été le premier à poser la question de savoir si ב 1 {displaystyle beth _{1}} $beth _{1}$ $beth _{1}$ est égal à א 1 {displaystyle aleph _{1}} $aleph _{1}$ $aleph _{1}$ . En 1900, David Hilbert pose cette question comme le premier de ses 23 problèmes . La déclaration que א 1 = ב 1 {displaystyle aleph _{1}=beth _{1}} $aleph _{1}=beth _{1}$ $aleph _{1}=beth _{1}$ est maintenant appelée l’ hypothèse du continu et est connue pour être indépendante des Axiomes de Zermelo-Fraenkel pour la théorie des ensembles (y compris l’ axiome du choix ).

Sans l’axiome du choix

Learn more.

Isomorphisme

Jul 14, 2022

Ensemble dénombrable

Jul 13, 2022

Premier article sur la théorie des ensembles de Cantor

Jul 12, 2022

Énergie gravitationnelle

Jul 9, 2022

Sans l’ axiome du choix , il pourrait exister des cardinalités incomparables à א 0 {displaystyle aleph _{0}} $aleph _{0}$ $aleph _{0}$ (à savoir, les cardinalités des ensembles infinis finis de Dedekind ). Les ensembles de ces cardinalités satisfont les trois premières caractérisations ci-dessus, mais pas la quatrième caractérisation. Étant donné que ces ensembles ne sont pas plus grands que les nombres naturels au sens de la cardinalité, certains peuvent ne pas vouloir les appeler indénombrables.

Si l’axiome du choix est vrai, les conditions suivantes sur un cardinal κ {displaystylekappa} kappa sont équivalents :

κ ≰ א 0 ; {displaystyle kappa nleq aleph _{0};} $kappa nleq aleph _{0};$ $kappa nleq aleph _{0} ;$
κ > א 0 ; {displaystyle kappa >aleph _{0};} $kappa >aleph _{0};$ $kappa >aleph _{0} ;$ et
κ ≥ א 1 {displaystyle kappa geq aleph _{1}} $kappa geq aleph _{1}$ $kappa geq aleph _{1}$ , où א 1 = | ω 1 | {displaystyle aleph _{1}=|omega _{1}|} $aleph _{1}=|omega _{1}|$ $aleph _{1}=|omega _{1}|$ et ω 1 {displaystyle oméga _{1}} $omega _{1}$ $oméga _{1}$ est le plus petit ordinal initial supérieur à ω . {displaystyle oméga .}

Cependant, ceux-ci peuvent tous être différents si l’axiome du choix échoue. Il n’est donc pas évident de savoir quelle est la généralisation appropriée de “l’indénombrabilité” lorsque l’axiome échoue. Il peut être préférable d’éviter d’utiliser le mot dans ce cas et de préciser lequel de ceux-ci signifie.

Voir également

Numéro Aleph
Numéro Beth
Premier ordinal indénombrable
Fonction injective

Références

^ ^un ^b Weisstein, Eric W. “Uncountably Infinite” . mathworld.wolfram.com . Récupéré le 05/09/2020 .

Bibliographie

Halmos, Paul , Théorie naïve des ensembles . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Réimprimé par Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (édition Springer-Verlag). Réimprimé par Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (édition de poche).
Jech, Thomas (2002), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics (3e éd. du millénaire), Springer, ISBN 3-540-44085-2

Liens externes

Preuve que R est indénombrable