Décroissance exponentielle

Une quantité est sujette à une décroissance exponentielle si elle diminue à un taux proportionnel à sa valeur actuelle. Symboliquement, ce processus peut être exprimé par l’équation différentielle suivante, où N est la quantité et λ (lambda) est un taux positif appelé constante de décroissance exponentielle :

Quantité subissant une décroissance exponentielle. Des constantes de décroissance plus grandes font disparaître la quantité beaucoup plus rapidement. Ce graphique montre la décroissance pour la constante de décroissance (λ) de 25, 5, 1, 1/5 et 1/25 pour x de 0 à 5. ré N ré t = − λ N . {displaystyle {frac {dN}{dt}}=-lambda N.} ${frac {dN}{dt}}=-lambda N.$

La solution de cette équation (voir dérivation ci-dessous) est :

N ( t ) = N 0 e − λ t , {displaystyle N(t)=N_{0}e^{-lambda t},} ${displaystyle N(t)=N_{0}e^{-lambda t},}$

où N ( t ) est la quantité au temps t , N ₀ = N (0) est la quantité initiale, c’est-à-dire la quantité au temps t = 0, et la constante λ est appelée constante de décroissance , constante de désintégration , ^{[1 ]} constante de vitesse , ^[2] ou constante de transformation . ^[3]

Mesurer les taux de décomposition

Durée de vie moyenne

Si la quantité décroissante, N ( t ), est le nombre d’éléments discrets dans un certain ensemble , il est possible de calculer la durée moyenne pendant laquelle un élément reste dans l’ensemble. C’est ce qu’on appelle la durée de vie moyenne (ou simplement la durée de vie ), où la constante de temps exponentielle , τ {displaystyletau} tau , se rapporte au taux de décroissance, λ, de la manière suivante :

τ = 1 λ . {displaystyle tau ={frac {1}{lambda}}.} $tau ={frac {1}{lambda }}.$ $tau ={frac {1}{lambda }}.$

La durée de vie moyenne peut être considérée comme un “temps de mise à l’échelle”, car l’équation de décroissance exponentielle peut être écrite en termes de durée de vie moyenne, τ {displaystyletau} tau , au lieu de la constante de décroissance, λ :

N ( t ) = N 0 e − t / τ , {displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/tau },} ${displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/tau },}$ ${displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/tau },}$

et cela τ {displaystyletau} tau est le moment auquel la population de l’assemblage est réduite à 1/ e ≈ 0,367879441 fois sa valeur initiale.

Par exemple, si la population initiale de l’assemblage, N (0), est de 1 000, alors la population au moment τ {displaystyletau} tau , N ( τ ) {displaystyle N(tau )} , vaut 368.

Une équation très similaire sera vue ci-dessous, qui survient lorsque la base de l’exponentielle est choisie pour être 2, plutôt que e . Dans ce cas, le temps de mise à l’échelle est la “demi-vie”.

Demi-vie

Une caractéristique plus intuitive de la décroissance exponentielle pour de nombreuses personnes est le temps nécessaire pour que la quantité décroissante tombe à la moitié de sa valeur initiale. (Si N ( t ) est discret, il s’agit de la durée de vie médiane plutôt que de la durée de vie moyenne.) Cette durée est appelée demi-vie , et souvent désignée par le symbole t _1/2 . La demi-vie peut être écrite en termes de constante de décroissance, ou de durée de vie moyenne, comme suit :

t 1 / 2 = ln ⁡ ( 2 ) λ = τ ln ⁡ ( 2 ) . {displaystyle t_{1/2}={frac {ln(2)}{lambda }}=tau ln(2).} $t_{1/2}={frac {ln(2)}{lambda }}=tau ln(2).$ $t_{1/2}={frac {ln(2)}{lambda }}=tau ln(2).$

Lorsque cette expression est insérée pour τ {displaystyletau} tau dans l’équation exponentielle ci-dessus, et ln 2 est absorbé dans la base, cette équation devient :

N ( t ) = N 0 2 − t / t 1 / 2 . {displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.} ${displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

Ainsi, la quantité de matière restante est de 2 ⁻¹ = 1/2 augmentée au nombre (entier ou fractionnaire) de demi-vies qui se sont écoulées. Ainsi, après 3 demi-vies, il restera 1/2 ³ = 1/8 du matériau d’origine.

Par conséquent, la durée de vie moyenne τ {displaystyletau} tau est égal à la demi-vie divisée par le logarithme naturel de 2, ou :

τ = t 1 / 2 ln ⁡ ( 2 ) ≈ 1.44 ⋅ t 1 / 2 . {displaystyle tau ={frac {t_{1/2}}{ln(2)}}approx 1.44cdot t_{1/2}.} ${displaystyle tau ={frac {t_{1/2}}{ln(2)}}approx 1.44cdot t_{1/2}.}$ ${displaystyle tau ={frac {t_{1/2}}{ln(2)}}approx 1.44cdot t_{1/2}.}$

Par exemple, le polonium-210 a une demi-vie de 138 jours et une durée de vie moyenne de 200 jours.

Solution de l’équation différentielle

L’équation qui décrit la décroissance exponentielle est

d N d t = − λ N {displaystyle {frac {dN}{dt}}=-lambda N} ${frac {dN}{dt}}=-lambda N$ ${frac {dN}{dt}}=-lambda N$

soit, en réarrangeant (en appliquant la technique dite de séparation des variables ),

d N N = − λ d t . {displaystyle {frac {dN}{N}}=-lambda dt.} ${frac {dN}{N}}=-lambda dt.$ ${frac {dN}{N}}=-lambda dt.$

En intégrant, nous avons

ln ⁡ N = − λ t + C {displaystyle ln N=-lambda t+C,}

où C est la constante d’intégration , et donc

N ( t ) = e C e − λ t = N 0 e − λ t {displaystyle N(t)=e^{C}e^{-lambda t}=N_{0}e^{-lambda t},} $N(t)=e^{C}e^{-lambda t}=N_{0}e^{-lambda t},$ $N(t)=e^{C}e^{-lambda t}=N_{0}e^{-lambda t},$

où la substitution finale, N ₀ = e ^C , est obtenue en évaluant l’équation à t = 0, N ₀ étant défini comme étant la quantité à t = 0.

C’est la forme de l’équation la plus couramment utilisée pour décrire la décroissance exponentielle. L’une quelconque des constantes de désintégration, de la durée de vie moyenne ou de la demi-vie est suffisante pour caractériser la désintégration. La notation λ pour la constante de décroissance est un vestige de la notation habituelle pour une Valeur propre . Dans ce cas, λ est la Valeur propre du négatif de l’ opérateur différentiel avec N ( t ) comme fonction propre correspondante . Les unités de la constante de décroissance sont s ^{−1 [ citation nécessaire ]} .

Dérivation de la durée de vie moyenne

Etant donné un assemblage d’éléments dont le nombre finit par décroître jusqu’à zéro, la durée de vie moyenne , τ {displaystyletau} tau , (également appelé simplement durée de vie ) est la valeur attendue du temps avant qu’un objet ne soit supprimé de l’assembly. Plus précisément, si la durée de vie individuelle d’un élément de l’assemblage est le temps écoulé entre un temps de référence et le retrait de cet élément de l’assemblage, la durée de vie moyenne est la moyenne arithmétique des durées de vie individuelles.

A partir de la formule de population

N = N 0 e − λ t , {displaystyle N=N_{0}e^{-lambda t},,} $N=N_{0}e^{-lambda t},,$ $N=N_{0}e^{-lambda t},,$

soit d’abord c le facteur de normalisation à convertir en une fonction de densité de probabilité :

1 = ∫ 0 ∞ c ⋅ N 0 e − λ t d t = c ⋅ N 0 λ {displaystyle 1=int _{0}^{infty}ccdot N_{0}e^{-lambda t},dt=ccdot {frac {N_{0}}{lambda }}} $1=int _{0}^{infty }ccdot N_{0}e^{-lambda t},dt=ccdot {frac {N_{0}}{lambda }}$ $1=int _{0}^{infty }ccdot N_{0}e^{-lambda t},dt=ccdot {frac {N_{0}}{lambda }}$

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ou, en réarrangeant,

c = λ N 0 . {displaystyle c={frac {lambda }{N_{0}}}.} $c={frac {lambda }{N_{0}}}.$ $c={frac {lambda }{N_{0}}}.$

La décroissance exponentielle est un multiple scalaire de la distribution exponentielle (c’est-à-dire que la durée de vie individuelle de chaque objet est distribuée de manière exponentielle), qui a une valeur attendue bien connue . Nous pouvons le calculer ici en utilisant l’ intégration par parties .

τ = ⟨ t ⟩ = ∫ 0 ∞ t ⋅ c ⋅ N 0 e − λ t d t = ∫ 0 ∞ λ t e − λ t d t = 1 λ . {displaystyle tau =langle trangle =int _{0}^{infty }tcdot ccdot N_{0}e^{-lambda t},dt=int _{0 }^{infty}lambda te^{-lambda t},dt={frac {1}{lambda }}.} $tau =langle trangle =int _{0}^{infty }tcdot ccdot N_{0}e^{-lambda t},dt=int _{0}^{infty }lambda te^{-lambda t},dt={frac {1}{lambda }}.$ $tau =langle trangle =int _{0}^{infty }tcdot ccdot N_{0}e^{-lambda t},dt=int _{0}^{infty }lambda te^{-lambda t},dt={frac {1}{lambda }}.$

Décomposition par deux processus ou plus

Une quantité peut se désintégrer via deux processus différents ou plus simultanément. En général, ces processus (souvent appelés “modes de désintégration”, “canaux de désintégration”, “routes de désintégration”, etc.) ont des probabilités différentes de se produire, et se produisent donc à des vitesses différentes avec des demi-vies différentes, en parallèle. Le taux de décroissance total de la quantité N est donné par la somme des voies de décroissance ; ainsi, dans le cas de deux processus :

− d N ( t ) d t = N λ 1 + N λ 2 = ( λ 1 + λ 2 ) N . {displaystyle -{frac {dN(t)}{dt}}=Nlambda _{1}+Nlambda _{2}=(lambda _{1}+lambda _{2})N .} $-{frac {dN(t)}{dt}}=Nlambda _{1}+Nlambda _{2}=(lambda _{1}+lambda _{2})N.$ $-{frac {dN(t)}{dt}}=Nlambda _{1}+Nlambda _{2}=(lambda _{1}+lambda _{2})N.$

La solution de cette équation est donnée dans la section précédente, où la somme de λ 1 + λ 2 {displaystyle lambda _{1}+lambda _{2},} $lambda _{1}+lambda _{2},$ $lambda _{1}+lambda _{2},$ est traitée comme une nouvelle constante de décroissance totale λ c {displaystyle lambda _{c}} $lambda _{c}$ $lambda _{c}$ .

N ( t ) = N 0 e − ( λ 1 + λ 2 ) t = N 0 e − ( λ c ) t . {displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(lambda _{1}+lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(lambda _{c}) t}.} $N(t)=N_{0}e^{-(lambda _{1}+lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(lambda _{c})t}.$ $N(t)=N_{0}e^{-(lambda _{1}+lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(lambda _{c})t}.$

La durée de vie moyenne partielle associée aux processus individuels est par définition l’ inverse multiplicatif de la constante de décroissance partielle correspondante : τ = 1 / λ {displaystyle tau =1/lambda} . Un combiné τ c {displaystyle tau _{c}} $tau _{c}$ $tau _{c}$ peut être donnée en termes de λ {displaystylelambda} lambda s :

1 τ c = λ c = λ 1 + λ 2 = 1 τ 1 + 1 τ 2 {displaystyle {frac {1}{tau _{c}}}=lambda _{c}=lambda _{1}+lambda _{2}={frac {1}{tau _ {1}}}+{frac {1}{tau _{2}}}} ${frac {1}{tau _{c}}}=lambda _{c}=lambda _{1}+lambda _{2}={frac {1}{tau _{1}}}+{frac {1}{tau _{2}}}$ ${frac {1}{tau _{c}}}=lambda _{c}=lambda _{1}+lambda _{2}={frac {1}{tau _{1}}}+{frac {1}{tau _{2}}}$ τ c = τ 1 τ 2 τ 1 + τ 2 . {displaystyle tau _{c}={frac {tau _{1}tau _{2}}{tau _{1}+tau _{2}}}.} $tau _{c}={frac {tau _{1}tau _{2}}{tau _{1}+tau _{2}}}.$ $tau _{c}={frac {tau _{1}tau _{2}}{tau _{1}+tau _{2}}}.$

Étant donné que les demi-vies diffèrent de la durée de vie moyenne τ {displaystyletau} tau par un facteur constant, la même équation tient en termes des deux demi-vies correspondantes :

T 1 / 2 = t 1 t 2 t 1 + t 2 {displaystyle T_{1/2}={frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}} $T_{1/2}={frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}$ $T_{1/2}={frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}$

où T 1 / 2 {displaystyle T_{1/2}} $T_{1/2}$ $T_{1/2}$ est la demi-vie combinée ou totale du procédé, t 1 {displaystyle t_{1}} $t_{1}$ $t_{1}$ et t 2 {displaystyle t_{2}} $t_{2}$ $t_{2}$ sont les soi- disant demi-vies partielles des processus correspondants. Les termes «demi-vie partielle» et «vie moyenne partielle» désignent des quantités dérivées d’une constante de décroissance comme si le mode de décroissance donné était le seul mode de décroissance pour la quantité. Le terme “demi-vie partielle” est trompeur, car il ne peut pas être mesuré comme un intervalle de temps pendant lequel une certaine quantité est divisée par deux .

En termes de constantes de décroissance séparées, la demi-vie totale T 1 / 2 {displaystyle T_{1/2}} $T_{1/2}$ $T_{1/2}$ peut se montrer

T 1 / 2 = ln ⁡ 2 λ c = ln ⁡ 2 λ 1 + λ 2 . {displaystyle T_{1/2}={frac {ln 2}{lambda _{c}}}={frac {ln 2}{lambda _{1}+lambda _{2} }}.} $T_{1/2}={frac {ln 2}{lambda _{c}}}={frac {ln 2}{lambda _{1}+lambda _{2}}}.$ $T_{1/2}={frac {ln 2}{lambda _{c}}}={frac {ln 2}{lambda _{1}+lambda _{2}}}.$

Pour une désintégration par trois processus exponentiels simultanés, la demi-vie totale peut être calculée comme ci-dessus :

T 1 / 2 = ln ⁡ 2 λ c = ln ⁡ 2 λ 1 + λ 2 + λ 3 = t 1 t 2 t 3 ( t 1 t 2 ) + ( t 1 t 3 ) + ( t 2 t 3 ) . {displaystyle T_{1/2}={frac {ln 2}{lambda _{c}}}={frac {ln 2}{lambda _{1}+lambda _{2} +lambda _{3}}}={frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+ (t_{2}t_{3})}}.} $T_{1/2}={frac {ln 2}{lambda _{c}}}={frac {ln 2}{lambda _{1}+lambda _{2}+lambda _{3}}}={frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.$ $T_{1/2}={frac {ln 2}{lambda _{c}}}={frac {ln 2}{lambda _{1}+lambda _{2}+lambda _{3}}}={frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.$

Décroissance série / décroissance couplée

En science nucléaire et en pharmacocinétique , l’agent d’intérêt peut être situé dans une chaîne de désintégration, où l’accumulation est régie par la décroissance exponentielle d’un agent source, tandis que l’agent d’intérêt lui-même se désintègre au moyen d’un processus exponentiel.

Ces systèmes sont résolus à l’aide de l’ équation de Bateman .

Dans le cadre de la pharmacologie, certaines substances ingérées peuvent être absorbées dans le corps par un processus raisonnablement modélisé comme une décroissance exponentielle, ou peuvent être délibérément formulées pour avoir un tel profil de libération.

Applications et exemples

La décroissance exponentielle se produit dans une grande variété de situations. La plupart d’entre eux relèvent du domaine des sciences naturelles .

De nombreux processus de désintégration, souvent traités comme exponentiels, ne sont en réalité qu’exponentiels tant que l’échantillon est grand et que la loi des grands nombres est valable. Pour les petits échantillons, une analyse plus générale est nécessaire, tenant compte d’un Processus de Poisson .

Sciences naturelles

Réactions chimiques : Les vitesses de certains types de Réactions chimiques dépendent de la concentration de l’un ou l’autre des réactifs . Les réactions dont la vitesse ne dépend que de la concentration d’un Réactif (appelées réactions de premier ordre ) suivent par conséquent une décroissance exponentielle. Par exemple, de nombreusesréactionscatalysées par des enzymes se comportent de cette façon .
Électrostatique : La charge électrique (ou, de manière équivalente, le potentiel ) contenue dans un condensateur (capacité C ) change de façon exponentielle, si le condensateur subit une charge externe constante (résistance R ). La constante de temps exponentielle τ pour le processus est R C , et la demi-vie est donc R C ln2. Ceci s’applique aussi bien à la charge qu’à la décharge, c’est-à-dire qu’un condensateur se charge ou se décharge selon la même loi. Les mêmes équations peuvent être appliquées au courant dans une inductance. (Par ailleurs, le cas particulier d’un condensateur ou d’une inductance passant par plusieurs Les résistances constituent un exemple intéressant de processus de décroissance multiples, chaque résistance représentant un processus distinct. En fait, l’expression de la résistance équivalente de deux résistances en parallèle reflète l’équation de la demi-vie avec deux processus de désintégration.)
Géophysique : La pression atmosphérique diminue de manière approximativement exponentielle avec l’augmentation de la hauteur au-dessus du niveau de la mer, à un taux d’environ 12% par 1000m. ^{[ citation nécessaire ]}
Transfert de chaleur : Si un objet à une température est exposé à un milieu d’une autre température, la différence de température entre l’objet et le milieu suit une décroissance exponentielle (dans la limite des processus lents ; équivalent à une “bonne” conduction thermique à l’intérieur de l’objet, donc que sa température reste relativement uniforme à travers son volume). Voir aussi la loi de refroidissement de Newton .
Luminescence : Après excitation, l’intensité d’émission – qui est proportionnelle au nombre d’atomes ou de molécules excités – d’un matériau luminescent décroît de façon exponentielle. Selon le nombre de mécanismes impliqués, la décroissance peut être mono- ou multi-exponentielle.
Pharmacologie et toxicologie : On constate que de nombreuses substances administrées sont distribuées et métabolisées (voir clairance ) selon des schémas de décroissance exponentiels. Les demi-vies biologiques “demi-vie alpha” et “demi-vie bêta” d’une substance mesurent la rapidité avec laquelle une substance est distribuée et éliminée.
Optique physique : L’intensité des rayonnements électromagnétiques tels que la lumière ou les rayons X ou les rayons gamma dans un milieu absorbant, suit une décroissance exponentielle avec la distance dans le milieu absorbant. C’est ce qu’on appelle la loi de Beer-Lambert .
Radioactivité : Dans un échantillon d’un radionucléide qui subit une désintégration radioactive vers un état différent, le nombre d’atomes dans l’état d’origine suit une décroissance exponentielle tant que le nombre d’atomes restant est important. Le produit de désintégration est appelé unnucléide radiogénique .
Thermoélectricité : la baisse de résistance d’une thermistance à coefficient de température négatif lorsque la température augmente.
Vibrations : Certaines Vibrations peuvent décliner de manière exponentielle ; cette caractéristique se retrouve souvent dans les oscillateurs mécaniques amortis et est utilisée dans la création d’ enveloppes ADSR dans les synthétiseurs . Un système Suramorti reviendra simplement à l’équilibre via une décroissance exponentielle.
Mousse de bière : Arnd Leike, de l’ Université Ludwig Maximilian de Munich , a remporté un prix Ig Nobel pour avoir démontré que la mousse de bière obéit à la loi de la décroissance exponentielle. ^[4]

Sciences sociales

Financement : un fonds de retraite se désintégrera de manière exponentielle étant soumis à des montants de versement discrets, généralement mensuels, et à une entrée soumise à un taux d’intérêt continu. Une équation différentielle dA/dt = entrée – sortie peut être écrite et résolue pour trouver le temps nécessaire pour atteindre tout montant A restant dans le fonds.
En glottochronologie simple , l’hypothèse (discutable) d’un taux de déclin constant des langues permet d’estimer l’âge des langues uniques. (Calculer le temps de séparation entre deux langues nécessite des hypothèses supplémentaires, indépendantes de la décroissance exponentielle).

L’informatique

Le protocole de routage principal sur Internet , BGP , doit maintenir une table de routage afin de se souvenir des chemins vers lesquels un paquet peut être dévié. Lorsque l’un de ces chemins change à plusieurs reprises son état de disponible à non disponible (et vice versa ), le routeur BGP contrôlant ce chemin doit ajouter et supprimer à plusieurs reprises l’enregistrement de chemin de sa table de routage ( batte le chemin), dépensant ainsi des ressources locales telles que comme CPU et RAMet, plus encore, la diffusion d’informations inutiles vers des routeurs pairs. Pour éviter ce comportement indésirable, un algorithme nommé route flapping damping attribue à chaque route un poids qui augmente chaque fois que la route change d’état et décroît de façon exponentielle avec le temps. Lorsque le poids atteint une certaine limite, plus aucun battement n’est effectué, supprimant ainsi la route.

Graphiques comparant les temps de doublement et les demi-vies des croissances exponentielles (traits gras) et de la décroissance (traits pâles), et leurs approximations 70/ t et 72/ t . Dans la version SVG , passez la souris sur un graphique pour le mettre en surbrillance ainsi que son complément.

Voir également

Formule exponentielle
Croissance exponentielle
Désintégration radioactive pour les mathématiques des chaînes de processus exponentiels avec des constantes différentes

Remarques

^ Serway (1989 , p. 384) harvtxt error: no target: CITEREFSerway1989 (help)
^ Simmons (1972 , p. 15)
^ McGraw Hill (2007)
^ Leike, A. (2002). “Démonstration de la loi de décroissance exponentielle en utilisant de la mousse de bière”. Journal européen de physique . 23 (1): 21–26. Bibcode : 2002EJPh…23…21L . CiteSeerX 10.1.1.693.5948 . doi : 10.1088/0143-0807/23/1/304 .

Références

Encyclopédie McGraw-Hill des sciences et de la technologie (10e éd.). New York : McGraw Hill . 2007. ISBN 0-07-144143-3.
Serway, Raymond A.; Moïse, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Physique moderne , Fort Worth : Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0-03-004844-3
Simmons, George F. (1972), Équations différentielles avec applications et notes historiques , New York : McGraw-Hill , LCCN 75173716

Liens externes

Calculateur de décroissance exponentielle
Une simulation stochastique de décroissance exponentielle
Tutoriel sur les constantes de temps