Date de Pâques

En tant que fête mobile , ^{[1] [2]} la date de Pâques est déterminée chaque année par un calcul connu sous le nom de computus ( latin pour « calcul »). ^[3] Pâques est célébrée le premier dimanche après la Pleine lune pascale , qui est la première pleine lune le 21 mars ou après (une approximation fixe de l’ équinoxe de mars ). La détermination de cette date à l’avance nécessite une corrélation entre les mois lunaires et l’ année solaire , tout en tenant compte du mois, de la date et du jour de la semaine du julien oucalendrier grégorien . ^[4] La complexité de l’ algorithme découle du désir d’associer la date de Pâques à la date de la fête juive de la Pâque qui, selon les chrétiens, correspond à la date à laquelle Jésus a été crucifié. ^[5]

Calendrier des dates de Pâques, pour les années 532-632 (marbre, au Musée de la Cathédrale de Ravenne , Italie).

Il était à l’origine faisable pour toute l’Église chrétienne de recevoir la date de Pâques chaque année par une annonce annuelle du pape . Au début du IIIe siècle, cependant, les communications dans l’ Empire romain s’étaient détériorées au point que l’Église accordait une grande valeur à un système qui permettrait au clergé de déterminer lui-même la date, de manière indépendante et cohérente. ^[6] Supplémentairement, l’église a souhaité éliminer des dépendances sur le calendrier hébreu , en dérivant la date pour Pâques directement de l’ équinoxe de mars . ^[7]

Dans The Reckoning of Time (725), Bede utilise le comput comme terme général pour toute sorte de calcul, bien qu’il se réfère aux cycles de Pâques de Théophile comme un ” comput pascal” . À la fin du 8ème siècle, le comput en est venu à se référer spécifiquement au calcul du temps. ^[8] Les calculs produisent des résultats différents selon que l’on utilise le calendrier julien ou le calendrier grégorien. Pour cette raison, l’ Église catholique et les Églises protestantes (qui suivent le calendrier grégorien) célèbrent Pâques à une date différente de celle des Églises orthodoxes orientales .(qui suivent le calendrier julien). C’est la dérive du 21 mars par rapport à l’équinoxe observé qui a conduit à la Réforme grégorienne du calendrier , pour les remettre en harmonie.

Arrière-plan

Pâques commémore la résurrection de Jésus , qui aurait eu lieu le troisième jour (inclus) après la Pâque . Dans le calendrier hébreu, la Pâque a lieu le 14 Nisan . Nisan est le premier mois du printemps dans l’ Hémisphère nord , le 14 correspondant à une pleine lune. De plus, au IIe siècle, de nombreux chrétiens avaient choisi d’observer Pâques uniquement un dimanche. ^[9] Le calendrier hébreu est luni -solaire et n’a pas un rapport simple avec les calendriers chrétiens : il se resynchronise avec l’année solaire en intercalant un mois bissextile tous les deux ou trois ans, avant lenouvel an lunaire le 1 Nisan . Plus tard, les Juifs ont adopté le cycle Metonic pour prédire les futures intercalations .

Une conséquence possible de cette intercalation est que le 14 Nisan peut se produire avant l’équinoxe, ce que certains chrétiens du IIIe siècle considéraient comme inacceptable, bien que cela ne puisse pas se produire dans le calendrier fixe actuellement utilisé. ^[10] Par conséquent, ils ont décidé de séparer la datation de Pâques du calendrier hébreu. Pour ce faire, il fallait identifier la première pleine lune suivant l’équinoxe de mars. Au moment du premier concile de Nicée , l’ Église d’Alexandrie avait désigné le 21 mars comme date ecclésiastique pour l’équinoxe, indépendamment de l’observation astronomique réelle. En 395, Théophile publie un tableau des dates futures de Pâques, validant les critères alexandrins. ^[11] Par la suite, le computserait la procédure de détermination du premier dimanche après la première pleine lune ecclésiastique tombant le 21 mars ou après.

Histoire

Les premières tables romaines connues ont été conçues en 222 par Hippolyte de Rome sur la base de cycles de huit ans. Ensuite, des tables de 84 ans ont été introduites à Rome par Augustalis vers la fin du IIIe siècle. ^[un]

Bien qu’un processus basé sur le cycle métonique de 19 ans ait été proposé pour la première fois par l’évêque Anatolius de Laodicée vers 277, le concept ne s’est pas pleinement imposé jusqu’à ce que la méthode alexandrine fasse autorité à la fin du IVe siècle. ^[b]

Le comput alexandrin a été converti du calendrier alexandrin au calendrier julien à Alexandrie vers 440, ce qui a abouti à une table pascale (attribuée au pape Cyrille d’Alexandrie ) couvrant les années 437 à 531. ^[14] Cette table pascale a été la source qui a inspiré Dionysius Exiguus , qui a travaillé à Rome d’environ 500 à environ 540, ^[15] pour en construire une continuation sous la forme de sa célèbre table pascale couvrant les années 532 à 616. ^[16] Dionysius a introduit l’ ère chrétienne (en comptant les années de l’Incarnation du Christ) en publiant cette nouvelle table pascale en 525. ^{[17] [c]}

Un cycle modifié de 84 ans a été adopté à Rome au cours de la première moitié du IVe siècle. Victorius d’Aquitaine a tenté d’adapter la méthode alexandrine aux règles romaines en 457 sous la forme d’un tableau de 532 ans, mais il a introduit de graves erreurs. ^[18] Ces tables victoriennes ont été utilisées en Gaule (aujourd’hui la France) et en Espagne jusqu’à ce qu’elles soient remplacées par des tables dionysiaques à la fin du VIIIe siècle.

Les tables de Dionysius et Victorius étaient en conflit avec celles traditionnellement utilisées dans les îles britanniques. Les tables britanniques utilisaient un cycle de 84 ans, mais une erreur a fait que les pleines lunes tombaient progressivement trop tôt. ^[19] La divergence a conduit à un rapport selon lequel la reine Eanfled , selon le système dionysiaque, jeûnait le dimanche des Rameaux tandis que son mari Oswy , roi de Northumbrie, se régalait de son dimanche de Pâques. ^[20]

À la suite du synode irlandais de Magh-Lene en 630, les Irlandais du sud ont commencé à utiliser les tables dionysiaques, ^[21] et les Anglais du nord ont emboîté le pas après le synode de Whitby en 664. ^[22]

Le calcul dionysiaque a été entièrement décrit par Bede en 725. ^[23] Il peut avoir été adopté par Charlemagne pour l’Église franque dès 782 d’ Alcuin , un disciple de Bede. Le comput dionysiaque / bedan est resté en usage en Europe occidentale jusqu’à la réforme du calendrier grégorien et reste en usage dans la plupart des Églises orientales, y compris la grande majorité des Églises orthodoxes orientales et des Églises non chalcédoniennes . ^[24] La seule église orthodoxe orientale qui ne suit pas le système est l’église orthodoxe finlandaise, qui utilise le grégorien.

Après avoir dévié des Alexandrins au 6ème siècle, les églises au-delà de la frontière orientale de l’ancien Empire byzantin, y compris l’ Église assyrienne de l’Est , ^[25] célèbrent désormais Pâques à des dates différentes des Églises orthodoxes orientales quatre fois tous les 532 ans. ^{[ citation nécessaire ]}

En dehors de ces églises des franges orientales de l’Empire romain, au Xe siècle, toutes avaient adopté la Pâque alexandrine, qui plaçait toujours l’équinoxe vernal le 21 mars, bien que Bède ait déjà noté sa dérive en 725 – elle avait dérivé encore plus loin en le 16ème siècle. ^[d] Pire encore, la Lune calculée qui a été utilisée pour calculer Pâques a été fixée à l’année julienne par le cycle de 19 ans. Cette approximation accumulait une erreur d’un jour tous les 310 ans, de sorte qu’au XVIe siècle, le calendrier lunaire était déphasé de quatre jours avec la vraie Lune. La Pâques grégorienne est utilisée depuis 1583 par l’ Église catholique romaine et a été adoptée par la plupart des Églises protestantes entre 1753 et 1845.

Les États protestants allemands ont utilisé une Pâques astronomique entre 1700 et 1776, basée sur les tables rudolphines de Johannes Kepler , qui étaient à leur tour basées sur les positions astronomiques du Soleil et de la Lune observées par Tycho Brahe à son observatoire d’ Uraniborg sur l’île de Ven , tandis que la Suède utilisé de 1739 à 1844. Cette Pâques astronomique était le dimanche après l’instant de la pleine lune qui était après l’instant de l’équinoxe vernal en utilisant l’heure d’Uraniborg ( TT + 51 ^m ) . Cependant, il était retardé d’une semaine si ce dimanche était la date juive du 15 Nisan, le premier jour de la semaine de la Pâque, calculée selon les méthodes juives modernes. Ce Nissan La règle 15 a affecté deux années suédoises, 1778 et 1798, qui au lieu d’être une semaine avant les Pâques grégoriennes ont été retardées d’une semaine, elles étaient donc le même dimanche que les Pâques grégoriennes. La Pâques astronomique de l’Allemagne était une semaine avant la Pâques grégorienne en 1724 et 1744. ^[27] La Pâques astronomique de la Suède était une semaine avant la Pâques grégorienne en 1744, mais une semaine après en 1805, 1811, 1818, 1825 et 1829. ^{[27] ]}

Deux Pâques astronomiques modernes ont été proposées mais jamais utilisées par aucune Église. Le premier a été proposé dans le cadre du calendrier julien révisé lors d’un synode à Constantinople en 1923 et le second a été proposé par une consultation du Conseil œcuménique des Églises de 1997 à Alep en 1997. Les deux utilisaient la même règle que les versions allemande et suédoise mais utilisaient des versions modernes. calculs astronomiques et heure de Jérusalem ( TT + 2 ^h 21 ^m ) sans la règle du 15 Nisan . La version de 1923 aurait placé la Pâques astronomique un mois avant la Pâques grégorienne en 1924, 1943 et 1962, mais une semaine après en 1927, 1954 et 1967.^[28] La version de 1997 aurait placé la Pâques astronomique le même dimanche que la Pâques grégorienne pour 2000-2025 sauf pour 2019, où elle aurait été un mois plus tôt. ^[29]

La théorie

Le cycle de Pâques regroupe les jours en mois lunaires, qui durent 29 ou 30 jours. Il y a une exception. Le mois se terminant en mars compte normalement trente jours, mais si le 29 février d’une année bissextile en fait partie, il en contient 31. Comme ces groupes sont basés sur le Cycle lunaire , sur le long terme, le mois moyen du calendrier lunaire est très bonne approximation du Mois synodique , qui est29.530 59 jours. ^[30] Il y a 12 mois synodiques dans une année lunaire, totalisant 354 ou 355 jours. L’année lunaire est d’environ 11 jours plus courte que l’année civile, qui compte 365 ou 366 jours. Ces jours par lesquels l’année solaire dépasse l’année lunaire sont appelés épactes ( grec : ἐπακταὶ ἡμέραι , translit. epaktai hēmerai , lit. “jours intercalaires”). ^{[31] [32]} Il faut les additionner au jour de l’année solaire pour obtenir le jour correct de l’année lunaire. Chaque fois que l’épacte atteint ou dépasse 30, un Mois intercalaire supplémentaire(ou mois embolismique) de 30 jours doit être inséré dans le calendrier lunaire : puis 30 doivent être soustraits à l’épacte. Charles Wheatly fournit le détail :

“Commençant ainsi l’année par mars (car c’était l’ancienne coutume), ils accordaient trente jours pour la lune [se terminant] en mars, et vingt-neuf pour celle [se terminant] en avril ; et trente de nouveau pour mai, et vingt-neuf pour juin &c. selon les anciens versets :

Impar luna pari, par fiet in impare mense;
In quo completur mensi lunatio detur.

“Pour les premier, troisième, cinquième, septième, neuvième et onzième mois, qui sont appelés impares menses , ou mois inégaux, ont leurs lunes selon le calcul de trente jours chacun, qui sont donc appelés pares lunae , ou lunes égales : mais les deuxième, quatrième, sixième, huitième, dixième et douzième mois, qui sont appelés pares menses , ou mois égaux, ont leurs lunes mais vingt-neuf jours chacune, qui sont appelées impares lunae , ou lunes inégales.”

— Wheatley 1871 , p. 44

Ainsi le mois lunaire prit le nom du mois julien auquel il se terminait. Le cycle métonique de dix-neuf ans suppose que 19 années tropicales sont aussi longues que 235 mois synodiques. Ainsi, après 19 ans, les lunaisons devraient tomber de la même manière dans les années solaires, et les épactes devraient se répéter. Or, sur 19 ans l’épacte augmente de 19 × 11 = 209 ≡ 29 ( mod 30) , et non 0 (mod 30) ; c’est-à-dire que 209 divisé par 30 laisse un reste de 29 au lieu d’être un multiple de 30, et c’est un problème si la compensation se fait uniquement en ajoutant des mois de 30 jours. Donc après 19 ans, l’épacte doit être corrigée d’un jour pour que le cycle se répète. C’est ce qu’on appelle le saltus lunae(“saut de la lune”). Le calendrier julien gère cela en réduisant la durée du mois lunaire qui commence le 1er juillet de la dernière année du cycle à 29 jours. Cela fait trois mois successifs de 29 jours. ^[e] Le saltus et les sept mois supplémentaires de 30 jours étaient en grande partie cachés en étant situés aux points où les mois julien et lunaire commencent à peu près au même moment. Les mois supplémentaires ont commencé le 1er janvier (année 3), le 2 septembre (année 5), le 6 mars (année 8), le 3 janvier (année 11), le 31 décembre (année 13), le 1er septembre (année 16) et le 5 mars (année 19). ^{[33] [34]} Le numéro d’ordre de l’année dans le cycle de 19 ans est appelé le ” nombre d’or “, et est donné par la formule

GN = 1 + ( Y mod 19)

Autrement dit, le numéro de l’année Y à l’ ère chrétienne est divisé par 19, et le reste plus 1 est le nombre d’or, donc un reste de 0 indiquant le nombre d’or de 19. ^[f]

Les cycles de 19 ans n’ont pas tous la même durée, car ils peuvent avoir quatre ou cinq années bissextiles. Mais une période de quatre cycles, 76 ans, a une longueur de 76 × 365 + 19 = 27 759 jours (si elle ne traverse pas une division de siècle). Il y a 235 × 4 = 940 mois lunaires dans cette période, donc la durée moyenne est de 27759 / 940 soit environ 29,530851 jours. (Il y a 76 × 6 = 456mois lunaires nominaux habituels de 30 jours et le même nombre de mois nominaux habituels de 29 jours, mais avec 19 d’entre eux allongés d’un jour les jours bissextiles, plus 24 mois intercalés de 30 jours et quatre mois intercalés de 29 jours). est plus longue que la durée réelle d’un Mois synodique, environ 28,53059 jours, la Pleine lune pascale calculée devient de plus en plus tardive par rapport à la pleine lune astronomique, à moins qu’une correction ne soit apportée comme dans le système grégorien (voir ci-dessous).

Le mois pascal ou de Pâques est le premier de l’année à avoir son quatorzième jour (sa pleine lune formelle ) le 21 mars ou après. Pâques est le dimanche après son 14e jour (ou, en disant la même chose, le dimanche dans sa troisième semaine ). Le mois lunaire pascal commence toujours à une date dans la période de 29 jours du 8 mars au 5 avril inclus. Son quatorzième jour tombe donc toujours à une date comprise entre le 21 mars et le 18 avril inclus, et le dimanche suivant tombe alors nécessairement à une date comprise entre le 22 mars et le 25 avril inclus. Cela est vrai à la fois du système occidental (dans le calendrier grégorien) et du système oriental (dans le calendrier julien). Dans le calendrier solaire, Pâques est appelée une fête mobilepuisque sa date varie dans une fourchette de 35 jours. Mais dans le calendrier lunaire, Pâques est toujours le troisième dimanche du mois lunaire pascal et n’est pas plus “mobile” que n’importe quel jour férié fixé à un jour particulier de la semaine et à une semaine dans un mois, comme Thanksgiving .

Méthodes tabulaires

Réforme grégorienne du comput

Comme la réforme du comput était la principale motivation de l’introduction du calendrier grégorien en 1582, une méthodologie correspondante du comput a été introduite parallèlement au nouveau calendrier. ^[g] La méthode générale de travail a été donnée par Clavius dans les Six Canons (1582), et une explication complète a suivi dans son Explicatio (1603).

Le dimanche de Pâques est le dimanche qui suit la date pascale de la pleine lune. La date pascale de la pleine lune est la date ecclésiastique de la pleine lune le 21 mars ou après. La méthode grégorienne dérive les dates pascales de la pleine lune en déterminant l’ épacte pour chaque année. ^[35] L’épacte peut avoir une valeur comprise entre * (0 ou 30) et 29 jours. C’est l’âge de la lune en jours (c’est-à-dire la date lunaire) au 1er janvier diminué d’un jour. Dans son livre Le comput de Pâques et les origines de l’ère chrétienne, Alden A Mosshammer déclare à tort “Théoriquement, l’épacte 30 = 0 représente la nouvelle lune à sa conjonction avec le soleil. L’épacte de 1 représente la première visibilité théorique du premier croissant de la lune. C’est à partir de ce point comme jour un que le quatorzième jour de la lune est compté.”^[36] Le quatorzième jour du mois lunaire est considéré comme le jour de la pleine lune . ^[37] C’est le jour du mois lunaire où le moment d’opposition (“pleine lune”) est le plus susceptible de tomber. La « nouvelle lune » est plus susceptible de devenir visible (comme un mince croissant dans le ciel occidental après le coucher du soleil) le premier jour du mois lunaire. La conjonction du soleil et de la lune (“nouvelle lune”) est la plus susceptible de tomber le jour précédent, qui est le jour 29 d’un mois “creux” (29 jours) et le jour 30 d’un mois “plein” (30 jours) mois.

Historiquement, la date pascale de la pleine lune d’un an a été trouvée à partir de son numéro de séquence dans le cycle de Metonic, appelé le nombre d’or , lequel cycle répète la phase lunaire du 1er janvier tous les 19 ans. ^[38] Cette méthode a été abandonnée dans la réforme grégorienne parce que les dates tabulaires se désynchronisent avec la réalité après environ deux siècles, mais à partir de la méthode épacte, une table simplifiée peut être construite qui a une validité d’un à trois siècles. ^{[39] [40]}

Les épactes pour le cycle Metonic actuel, qui a débuté en 2014, sont :

An	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024	2025	2026	2027	2028	2029	2030	2031	2032
Nombre d’or	1	2	3	4	5	6	7	8	9	dix	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Epacte ^[h]	29	dix	21	2	13	24	5	16	27	8	19	*	11	22	3	14	25	6	17
Date de la Pleine lune pascale ^[41]	14 avril	3 avril	23 mars	11 avril	31 mars	18 avril	8 avril	28 mars	16 avril	5 avril	25 mars	13 avril	2 avril	22 mars	10 avril	30 mars	17 avril	7 avril	27 mars

Comme on peut le voir, la date de la Pleine lune pascale d’une année donnée est soit 11 jours plus tôt que l’année précédente, soit 19 jours plus tard, sauf que dans l’année 1 du cycle, la date n’est que 18 jours plus tard (le 14 avril plutôt que le 15 avril). Dans le système oriental (voir ci-dessous), la Pleine lune pascale est généralement quatre jours plus tard, mais elle est 34 jours plus tard dans cinq des 19 années, et 5 jours plus tard dans les années 6 et 17 parce que dans ces années, le système grégorien met la pascale la pleine lune un jour plus tôt qu’elle ne le serait normalement afin de garder Pâques avant le 26 avril, comme expliqué ci-dessous. En l’an 2200, la différence augmentera d’un jour.

Les épactes sont utilisées pour trouver les dates de la nouvelle lune de la manière suivante : Écrivez un tableau de tous les 365 jours de l’année (le jour bissextile est ignoré). Étiquetez ensuite toutes les dates avec un chiffre romainen décroissant, de “*” (0 ou 30), “xxix” (29), jusqu’à “i” (1), à partir du 1er janvier, et répéter jusqu’à la fin de l’année. Cependant, à chaque seconde de cette période, ne comptez que 29 jours et étiquetez la date avec xxv (25) également avec xxiv (24). Par conséquent, traitez la 13e période (onze derniers jours) comme longue et attribuez les étiquettes “xxv” et “xxiv” à des dates séquentielles (26 et 27 décembre respectivement). Enfin, en plus, ajoutez le libellé “25” aux dates qui ont “xxv” dans les périodes de 30 jours ; mais dans les périodes de 29 jours (qui ont “xxiv” avec “xxv”) ajouter l’étiquette “25” à la date avec “xxvi”. La répartition des durées des mois et la durée des cycles d’epact est telle que chaque mois du calendrier civil commence et se termine par le même libellé d’epact, sauf pour février et pour les libellés d’epact “xxv” et “25” en juillet et août . Ce tableau s’appelle lecalendaire . Les nouvelles lunes ecclésiastiques pour n’importe quelle année sont les dates auxquelles l’épacte pour l’année est entrée. Si l’épacte pour l’année est par exemple 27, alors il y a une nouvelle lune ecclésiastique à chaque date de cette année qui porte l’étiquette d’épacte “xxvii” (27). Si l’épacte est 25, alors la nouvelle lune ecclésastique pertinente sera le 4 avril (ayant l’étiquette “25”) plutôt que le 5 avril (ayant l’étiquette “xxv”).

Ce système intercale automatiquement sept mois par cycle Metonic. En passant de n’importe quelle année avec epact de 14 à 24 (ou éventuellement 13 si c’est la dernière année du cycle) à l’année suivante, il y aura deux mois consécutifs de 30 jours couvrant Noël.

Étiquetez également toutes les dates du tableau avec les lettres “A” à “G”, à partir du 1er janvier, et répétez jusqu’à la fin de l’année. Si, par exemple, le premier dimanche de l’année est le 5 janvier, qui a la lettre “E”, alors chaque date avec la lettre “E” est un dimanche de cette année. Alors “E” est appelé la lettre dominicale pour cette année (du latin : dies dominica , le jour du Seigneur). La lettre dominicale recule d’une position chaque année. Cependant, dans les années bissextiles après le 24 février, les dimanches tombent sur la lettre précédente du cycle, donc les années bissextiles ont deux lettres dominicales : la première pour avant, la seconde pour après le jour bissextile.

En pratique, aux fins du calcul de Pâques, cela n’a pas besoin d’être fait pour les 365 jours de l’année. Pour les épactes, mars est exactement le même que janvier, il n’est donc pas nécessaire de calculer janvier ou février. Pour éviter également d’avoir à calculer les lettres dominicales de janvier et février, commencez par D pour le 1er mars. Vous n’avez besoin des épactes que du 8 mars au 5 avril. Cela donne lieu au tableau suivant :

Un tableau de Suède pour trouver la date de Pâques 1140-1671 selon le calendrier julien . Chaque colonne correspond à une période de 28 ans. Remarquez les runes utilisées comme symboles arbitraires. Diagramme chronologique de la date de Pâques pendant 600 ans, de la réforme du calendrier grégorien à l’an 2200 (par Camille Flammarion , 1907)

Étiqueter	Mars	DL	Avril	DL
*	1	ré
xxix	2	E	1	g
xxviii	3	F	2	UN
xxvii	4	g	3	B
xxvi	5	UN	4	C
25	6	B
xxv	5	ré
xxiv	7	C
xxiii	8	ré	6	E
xxii	9	E	7	F
xxi	dix	F	8	g
xx	11	g	9	UN
xix	12	UN	dix	B
xviii	13	B	11	C
xvii	14	C	12	ré
xvi	15	ré	13	E
xv	16	E	14	F
xiv	17	F	15	g
xiii	18	g	16	UN
xii	19	UN	17	B
xii	20	B	18	C
X	21	C	19	ré
ix	22	ré	20	E
viii	23	E	21	F
vii	24	F	22	g
vi	25	g	23	UN
v	26	UN	24	B
iv	27	B	25	C
iii	28	C	26	ré
ii	29	ré	27	E
je	30	E	28	F
*	31	F	29	g
xxix	30	UN

Exemple : Si l’épacte est 27 (xxvii), une nouvelle lune ecclésiastique tombe à chaque date étiquetée xxvii . La pleine lune ecclésiastique tombe 13 jours plus tard. D’après le tableau ci-dessus, cela donne une nouvelle lune les 4 mars et 3 avril, et donc une pleine lune les 17 mars et 16 avril.

Ensuite, le jour de Pâques est le premier dimanche après la première pleine lune ecclésiastique le 21 mars ou après. Cette définition utilise “le 21 mars ou après” pour éviter toute ambiguïté avec le sens historique du mot “après”. En langage moderne, cette expression signifie simplement “après le 20 mars”. La définition de “le 21 mars ou après” est souvent abrégée à tort en “après le 21 mars” dans les articles publiés et en ligne, ce qui entraîne des dates de Pâques incorrectes.

Dans l’exemple, cette Pleine lune pascale est le 16 avril. Si la lettre dominicale est E, alors le jour de Pâques est le 20 avril.

L’étiquette ” 25 ” (par opposition à ” xxv “) est utilisée comme suit : dans un cycle métonique, les années distantes de 11 ans ont des épactes qui diffèrent d’un jour. Un mois commençant à une date ayant les étiquettes xxiv et xxv écrites côte à côte compte 29 ou 30 jours. Si les épactes 24 et 25 se produisent toutes les deux dans un cycle métonique, alors les nouvelles (et pleines) lunes tomberaient aux mêmes dates pour ces deux années. Ceci est possible pour la vraie lune ^[i] mais n’est pas élégant dans un calendrier lunaire schématique ; les dates ne devraient se répéter qu’après 19 ans. Pour éviter cela, les années qui ont des épactes 25 et avec un nombre d’or supérieur à 11, la nouvelle lune calculée tombe à la date avec l’étiquette 25 plutôt que xxv . Où les étiquettes 25 etxxv sont ensemble, il n’y a pas de problème puisqu’ils sont identiques. Cela ne déplace pas le problème vers la paire “25” et “xxvi”, car le premier épacte 26 pourrait apparaître dans l’année 23 du cycle, qui ne dure que 19 ans : il y a un saltus lunae entre les deux qui fait le nouveau les lunes tombent à des dates différentes.

Le calendrier grégorien a une correction à l’année tropique en supprimant trois jours bissextiles en 400 ans (toujours en une année centenaire). Il s’agit d’une correction de la longueur de l’année tropique, mais qui ne devrait avoir aucun effet sur la relation métonique entre les années et les lunaisons. Par conséquent, l’epact est compensé pour cela (partiellement – voir epact ) en soustrayant un dans ces années centenaires. C’est ce qu’on appelle la correction solaire ou « équation solaire » (« équation » étant utilisée dans son sens médiéval de « correction »).

Cependant, 19 années juliennes non corrigées sont un peu plus longues que 235 lunaisons. La différence s’accumule à un jour en environ 310 ans. Ainsi, dans le calendrier grégorien, l’épacte est corrigée en ajoutant 1 huit fois en 2 500 ans (grégoriens), toujours en une année centenaire : c’est ce qu’on appelle la correction lunaire (appelée historiquement « équation lunaire »). La première a été appliquée en 1800, la suivante en 2100, et sera appliquée tous les 300 ans sauf un intervalle de 400 ans entre 3900 et 4300, qui entame un nouveau cycle.

Les corrections solaires et lunaires fonctionnent dans des directions opposées et, dans certaines années centenaires (par exemple, 1800 et 2100), elles s’annulent. Le résultat est que le calendrier lunaire grégorien utilise une table épacte valable pour une période de 100 à 300 ans. La table epact listée ci-dessus est valable pour la période 1900 à 2199.

Une période de 190 000 ans est un nombre entier de cycles de 19 ans, 400 ans et 2 500 ans. Il contient 69 396 075 jours et 25 × 19 × 3 −4 × 19 × 8 = 608 = 817 réductions nettes de l’épacte. Cela signifie que 69 396 075 + 817 jours correspondent à 2 350 000 lunaisons, ce qui donne une moyenne de 29,5305923 jours par lunaison, corrigée à cinq chiffres après la virgule. Cela correspond à une erreur de moins d’un jour sur la phase de la lune sur 10 000 ans, mais en fait la durée d’un jour change, donc le système n’est pas précis sur de telles périodes.

Des détails

Cette méthode de calcul présente plusieurs subtilités :

Chaque autre mois lunaire n’a que 29 jours, donc un jour doit avoir deux (des 30) étiquettes epact qui lui sont assignées. La raison du déplacement de l’étiquette de l’épacte “xxv/25” plutôt que de toute autre semble être la suivante : selon Denys (dans sa lettre d’introduction à Pétrone), le concile de Nicée, sous l’autorité d’ Eusèbe, a établi que le premier mois de l’année lunaire ecclésiastique (le mois pascal) devait commencer entre le 8 mars et le 5 avril inclus, et le 14e jour tomber entre le 21 mars et le 18 avril inclus, couvrant ainsi une période de (seulement) 29 jours. Une nouvelle lune le 7 mars, qui porte l’étiquette epact “xxiv”, a son 14e jour (pleine lune) le 20 mars, ce qui est trop tôt (ne suivant pas le 20 mars). Ainsi les années avec un épacte de “xxiv”, si le mois lunaire commençant le 7 mars avait 30 jours, auraient leur nouvelle lune pascale le 6 avril, ce qui est trop tard : la pleine lune tomberait le 19 avril, et Pâques pourrait être jusqu’au 26 avril. Dans le calendrier julien, la dernière date de Pâques était le 25 avril, et la réforme grégorienne a maintenu cette limite. Ainsi la Pleine lune pascale doit tomber au plus tard le 18 avril et la nouvelle lune le 5 avril, qui porte l’étiquette epact “xxv”. Le 5 avril doit donc avoir ses étiquettes à double épacte « xxiv » et « xxv ». Ensuite, epact “xxv” doit être traité différemment, comme expliqué dans le paragraphe ci-dessus.

Par conséquent, le 19 avril est la date à laquelle Pâques tombe le plus fréquemment dans le calendrier grégorien, dans environ 3,87% des années. Le 22 mars est le moins fréquent, avec 0,48 %. ^{[42] [43]}

Distribution de la date de Pâques pour le cycle complet de 5 700 000 ans

La relation entre les dates des calendriers lunaire et solaire est rendue indépendante du schéma des jours bissextiles pour l’année solaire. Fondamentalement, le calendrier grégorien utilise toujours le calendrier julien avec un jour bissextile tous les quatre ans, donc un cycle métonique de 19 ans compte 6 940 ou 6 939 jours avec cinq ou quatre jours bissextiles. Désormais, le Cycle lunaire ne compte que 19 × 354 + 19 × 11 = 6 935 jours . En n’étiquetant pas et en ne comptant pas le jour bissextile avec un numéro d’épacte, mais en faisant tomber la prochaine nouvelle lune à la même date calendaire que sans le jour bissextile, la lunaison actuelle est prolongée d’un jour, ^[j]et les 235 lunaisons couvrent autant de jours que les 19 ans (tant que les 19 ans n’incluent pas de “correction solaire” comme en 1900). Ainsi, le fardeau de la synchronisation du calendrier avec la lune (précision à moyen terme) est transféré au calendrier solaire, qui peut utiliser n’importe quel schéma d’intercalation approprié, le tout sous l’hypothèse que 19 années solaires = 235 lunaisons (créant une inexactitude à long terme si non corrigé par une “correction lunaire”). Une conséquence est que l’âge calculé de la lune peut être décalé d’un jour, et aussi que les lunaisons qui contiennent le jour bissextile peuvent durer 31 jours, ce qui ne se produirait jamais si la vraie lune était suivie (inexactitudes à court terme). C’est le prix d’un ajustement régulier au calendrier solaire.

Du point de vue de ceux qui pourraient souhaiter utiliser le cycle grégorien de Pâques comme calendrier pour toute l’année, il y a quelques défauts dans le calendrier lunaire grégorien ^[44] (bien qu’ils n’aient aucun effet sur le mois pascal et la date de Pâques) :

Des lunaisons de 31 (et parfois 28) jours se produisent.
Si une année avec le nombre d’or 19 arrive à avoir épacte 19, alors la dernière nouvelle lune ecclésiastique tombe le 2 décembre ; le prochain aurait lieu le 1er janvier. Cependant, au début de la nouvelle année, un saltus lunae augmente l’épacte d’une autre unité, et la nouvelle lune aurait dû se produire la veille. Donc une nouvelle lune est manquée. Le calendrier du Missale Romanum en tient compte en attribuant l’étiquette d’épacte “19” au lieu de “xx” au 31 décembre d’une telle année, faisant de cette date la nouvelle lune. Cela s’est produit tous les 19 ans lorsque la table d’épacte grégorienne originale était en vigueur (pour la dernière fois en 1690), et se produit ensuite en 8511.
Si l’épacte d’une année est 20, une nouvelle lune ecclésiastique tombe le 31 décembre. Si cette année tombe avant une année centenaire, alors dans la plupart des cas, une correction solaire réduit l’épacte pour la nouvelle année de un : L’épacte résultant “*” signifie qu’une autre nouvelle lune ecclésiastique est comptée le 1er janvier. Donc, formellement, une lunaison d’un jour s’est écoulée. Cela se passe ensuite en 4199-4200.
D’autres cas limites surviennent (beaucoup) plus tard, et si les règles sont respectées strictement et que ces cas ne sont pas spécialement traités, ils génèrent des dates de nouvelle lune successives espacées de 1, 28, 59 ou (très rarement) 58 jours.

Une analyse minutieuse montre que par la façon dont ils sont utilisés et corrigés dans le calendrier grégorien, les épactes sont en réalité des fractions de lunaison (1/30, également connu sous le nom de tithi ) et non des journées complètes. Voir epact pour une discussion.

Les corrections solaires et lunaires se répètent après 4 × 25 = 100 siècles. Au cours de cette période, l’épacte a changé d’un total de −1 × 3/4× 100 + 1 × 8/25× 100 = −43 ≡ 17 mod 30 . C’est le premier des 30 épactes possibles, il faut donc 100 × 30 = 3 000 siècles avant que les épactes ne se répètent ; et 3 000 × 19 = 57 000 siècles avant que les épactes ne se répètent au même nombre d’or. Cette période a 5 700 000/19× 235 − 43/30× 57 000/100= 70 499 183 lunaisons . Ainsi, les dates de Pâques grégoriennes ne se répètent exactement dans le même ordre qu’après 5 700 000 ans, 70 499 183 lunaisons ou 2 081 882 250 jours ; la durée moyenne de la lunaison est alors de 29,53058690 jours. Cependant, le calendrier doit déjà avoir été ajusté après quelques millénaires en raison des changements dans la durée de l’année tropique, du Mois synodique et du jour.

Graphiques des dates du dimanche de Pâques occidental (catholique) et oriental (orthodoxe) par rapport à l’équinoxe de mars et aux pleines lunes de 1950 à 2050 sur le calendrier grégorien

Cela soulève la question de savoir pourquoi le calendrier lunaire grégorien a des corrections solaires et lunaires séparées, qui s’annulent parfois. L’œuvre originale de Lilius n’a pas été conservée, mais sa proposition a été décrite dans le Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium diffusé en 1577, dans lequel il est expliqué que le système de correction qu’il a conçu devait être un outil parfaitement flexible entre les mains des futurs réformateurs du calendrier, puisque les calendriers solaire et lunaire pouvaient désormais être corrigés sans interférence mutuelle. ^[45] Un exemple de cette flexibilité a été fourni par une séquence d’intercalation alternative dérivée des théories de Copernic, avec ses corrections d’epacte correspondantes. ^[46]

Les “corrections solaires” annulent approximativement l’effet des modifications grégoriennes des jours bissextiles du calendrier solaire sur le calendrier lunaire : elles ramènent (partiellement) le cycle de l’épacte à la relation métonique originelle entre l’année julienne et le mois lunaire. Le décalage inhérent entre le soleil et la lune dans ce cycle de base de 19 ans est ensuite corrigé tous les trois ou quatre siècles par la “correction lunaire” des épactes. Cependant, les corrections de l’épacte se produisent au début des siècles grégoriens, et non des siècles juliens, et par conséquent le cycle julien métonique original n’est pas entièrement restauré.

Alors que les soustractions nettes 4 × 8 − 3 × 25 = 43 epact pourraient être réparties uniformément sur 10 000 ans (comme cela a été proposé par exemple par Lichtenberg 2003 , pp. 45–76) si les corrections sont combinées, alors les inexactitudes des deux des cycles sont également ajoutés et ne peuvent pas être corrigés séparément.

Les ratios de jours (solaires moyens) par an et de jours par lunaison changent à la fois en raison des variations intrinsèques à long terme des orbites et parce que la rotation de la Terre ralentit en raison de la Décélération des marées , de sorte que les paramètres grégoriens deviennent de plus en plus obsolètes.

Cela affecte la date de l’équinoxe, mais il se trouve que l’intervalle entre les équinoxes vers le nord (printemps de l’Hémisphère nord) a été assez stable au cours des temps historiques, surtout s’il est mesuré en temps solaire moyen. ^{[47] [48]}

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De plus, la dérive des pleines lunes ecclésiastiques calculées par la méthode grégorienne par rapport aux vraies pleines lunes est moins affectée qu’on pourrait s’y attendre, car l’augmentation de la durée du jour est presque exactement compensée par l’augmentation de la durée du mois, car le freinage des marées transfère le moment cinétique de la rotation de la Terre au moment cinétique orbital de la Lune.

La valeur ptolémaïque de la longueur du Mois synodique moyen, établie vers le IVe siècle avant notre ère par les Babyloniens, est de 29 jours 12 h 44 min 3+1/3s (voir Kidinnu ); la valeur actuelle est inférieure de 0,46 s (voir Nouvelle lune ). Dans le même laps de temps historique, la durée de l’année tropicale moyenne a diminué d’environ 10 s (toutes les valeurs signifient le temps solaire).

Calendrier britannique et livre de prière commune

La partie de la section des méthodes tabulaires ci-dessus décrit les arguments et méthodes historiques par lesquels les dates actuelles du dimanche de Pâques ont été décidées à la fin du XVIe siècle par l’Église catholique. En Grande-Bretagne, où le calendrier julien était alors encore en usage, le dimanche de Pâques était défini, de 1662 à 1752 (conformément à la pratique antérieure), par un simple tableau de dates dans l’ anglican Prayer Book (décrété par l’ Acte d’uniformité de 1662 ) . Le tableau était indexé directement par le nombre d’or et la lettre du dimanche , qui (dans la section Pâques du livre) étaient présumés déjà connus.

Pour l’Empire britannique et les colonies, la nouvelle détermination de la date du dimanche de Pâques a été définie par ce qu’on appelle maintenant le Calendar (New Style) Act 1750 avec son annexe. La méthode a été choisie pour donner des dates conformes à la règle grégorienne déjà en usage ailleurs. La loi exigeait qu’elle soit inscrite dans le Book of Common Prayer , et c’est donc la règle anglicane générale. La loi originale peut être consultée dans les British Statutes at Large 1765 . ^[49] L’annexe à la loi comprend la définition : “ Le jour de Pâques (dont dépendent les repos) est toujours le premier dimanche après la Pleine Lune , qui survient ou suit le vingt et unième jour de mars .. Et si la Pleine Lune tombe un dimanche , le jour de Pâques est le dimanche d’après.” L’Annexe utilise ensuite les termes “Pleine lune pascale” et “Pleine Lune Ecclésiastique”, indiquant clairement qu’ils se rapprochent de la vraie pleine lune.

La méthode est tout à fait distincte de celle décrite ci-dessus dans la réforme grégorienne du Comput . Pour une année générale, on détermine d’abord le nombre d’or , puis on utilise trois tables pour déterminer la lettre dominicale , un “chiffre”, et la date de la Pleine lune pascale, dont découle la date du dimanche de Pâques. L’épacte n’apparaît pas explicitement. Des tables plus simples peuvent être utilisées pour des périodes limitées (telles que 1900-2199) pendant lesquelles le chiffre (qui représente l’effet des corrections solaires et lunaires) ne change pas. Les détails de Clavius ont été employés dans la construction de la méthode, mais ils ne jouent aucun rôle ultérieur dans son utilisation. ^{[50] [51]}

JR Stockton montre sa dérivation d’un algorithme informatique efficace traçable aux tables du livre de prières et de la loi sur le calendrier (en supposant qu’une description de la façon d’utiliser les tables est à portée de main), et vérifie ses processus en calculant les tables correspondantes. ^[52]

calendrier julien

Répartition de la date de Pâques dans la plupart des églises orientales 1900-2099 par rapport à la répartition occidentale de Pâques

La méthode de calcul de la date de la pleine lune ecclésiastique qui était la norme pour l’Église d’Occident avant la réforme du calendrier grégorien, et qui est encore utilisée aujourd’hui par la plupart des Chrétiens d’Orient , utilisait une répétition non corrigée du cycle métonique de 19 ans en combinaison avec le calendrier julien. En ce qui concerne la méthode des épactes discutée ci-dessus, elle utilisait effectivement une seule table d’épactes commençant par une épacte de 0, qui n’a jamais été corrigée. Dans ce cas, l’épacte a été compté le 22 mars, la première date acceptable pour Pâques. Cela se répète tous les 19 ans, il n’y a donc que 19 dates possibles pour la Pleine lune pascale du 21 mars au 18 avril inclus.

Parce qu’il n’y a pas de corrections comme c’est le cas pour le calendrier grégorien, la pleine lune ecclésiastique s’éloigne de la vraie pleine lune de plus de trois jours à chaque millénaire. C’est déjà quelques jours plus tard. En conséquence, les églises orientales célèbrent Pâques une semaine plus tard que les églises occidentales environ 50% du temps. (La Pâques orientale est parfois quatre ou cinq semaines plus tard parce que le calendrier julien a 13 jours de retard sur le grégorien en 1900-2099, et donc la Pleine lune pascale grégorienne est parfois avant le 21 mars julien.)

Le numéro d’ordre d’une année dans le cycle de 19 ans est appelé son nombre d’or . Ce terme a été utilisé pour la première fois dans le poème computiste Massa Compoti d ‘ Alexandre de Villa Dei en 1200. Un scribe ultérieur a ajouté le nombre d’or aux tableaux composés à l’origine par Abbo de Fleury en 988.

L’affirmation de l’Église catholique dans la bulle pontificale Inter gravissimas de 1582 , promulguant le calendrier grégorien, selon laquelle elle rétablissait « la célébration de Pâques selon les règles fixées par… le grand concile œcuménique de Nicée » ^[53] était basée sur une fausse affirmation de Dionysius Exiguus (525) selon laquelle “nous déterminons la date du jour de Pâques … conformément à la proposition convenue par les 318 Pères de l’Église au Concile de Nicée”. ^[54]Le premier concile de Nicée (325) n’a cependant pas fourni de règles explicites pour déterminer cette date, mais a seulement écrit “tous nos frères en Orient qui suivaient autrefois la coutume des Juifs doivent désormais célébrer ladite fête la plus sacrée de Pâques en même temps avec les Romains et vous-mêmes [l’Église d’Alexandrie] et tous ceux qui ont observé Pâques depuis le début.” ^[55] Le comput médiéval était basé sur le comput alexandrin, qui a été développé par l’ église d’Alexandrie pendant la première décade du 4ème siècle en utilisant le calendrier alexandrin . ^[56] L’ Empire romain oriental l’a accepté peu après 380 après avoir converti le comput au calendrier julien. ^[57]Rome l’accepta entre le VIe et le IXe siècle. Les îles britanniques l’acceptèrent au VIIIe siècle à l’exception de quelques monastères. ^{[ la citation nécessaire ]} Francia (toute l’Europe de l’Ouest excepté la Scandinavie (païenne), les Îles britanniques, la péninsule ibérique et l’Italie du sud) l’a accepté pendant le dernier quart du huitième siècle. ^{[ la citation nécessaire ]} Le dernier monastère celtique à l’accepter, Iona , l’a fait en 716, ^{[ la citation nécessaire ]} alors que le dernier monastère anglais à l’accepter l’a fait en 931. ^{[ la citation nécessaire ]}Avant ces dates, d’autres méthodes produisaient des dates du dimanche de Pâques qui pouvaient différer jusqu’à cinq semaines. ^{[ citation nécessaire ]}

Voici le tableau des dates de Pleine lune pascale pour toutes les années juliennes depuis 931 :

Nombre d’or	1	2	3	4	5	6	7	8	9	dix	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Date de la Pleine lune pascale	5 avril	25 mars	13 avril	2 avril	22 mars	10 avril	30 mars	18 avril	7 avril	27 mars	15 avril	4 avril	24 mars	12 avril	1 avril	21 mars	9 avril	29 mars	17 avril

Comme mentionné précédemment, ces pleines lunes pascales sont 4, 5 ou 34 jours plus tard que dans le système occidental, et environ trois jours plus tard que la pleine lune astronomique. Par exemple, l’ éclipse lunaire d’avril 2015 était le 4 avril dans le calendrier grégorien, ou le 22 mars dans le calendrier julien, mais la Pleine lune pascale pour cette année (chiffre d’or 2) était le 25 mars dans le calendrier julien.

Exemple de calcul utilisant ce tableau :

Le nombre d’or pour 1573 est 16 ( 1573 + 1 = 1574 ; 1574 ÷ 19 = 82 reste 16 ). D’après le tableau, la Pleine lune pascale pour le nombre d’or 16 est le 21 mars. À partir du tableau de la semaine, le 21 mars est le samedi. Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant, le 22 mars.

Ainsi, pour une date donnée de la pleine lune ecclésiastique, il y a sept dates de Pâques possibles. Le cycle des lettres du dimanche, cependant, ne se répète pas en sept ans: en raison des interruptions du jour bissextile tous les quatre ans, le cycle complet dans lequel les jours de la semaine se reproduisent dans le calendrier de la même manière est de 4 × 7 = 28 ans, le soi-disant cycle solaire . Ainsi, les dates de Pâques se répètent dans le même ordre après 4 × 7 × 19 = 532 ans. Ce cycle pascal est aussi appelé cycle victorien , du nom de Victorius d’Aquitaine, qui l’introduisit à Rome en 457. On sait qu’il a d’abord été utilisé par Annianus d’Alexandrie .au début du Ve siècle. Il a aussi parfois été appelé à tort le cycle dionysiaque, d’après Dionysius Exiguus, qui a préparé des tables de Pâques qui ont commencé en 532; mais il ne s’est apparemment pas rendu compte que le comput alexandrin qu’il a décrit avait un cycle de 532 ans, bien qu’il se soit rendu compte que sa table de 95 ans n’était pas un vrai cycle. Le Vénérable Bède (VIIe siècle) semble avoir été le premier à identifier le cycle solaire et à expliquer le cycle pascal à partir du cycle de Méton et du cycle solaire.

Dans l’Europe occidentale médiévale, les dates de la Pleine lune pascale (14 Nisan) indiquées ci-dessus pouvaient être mémorisées à l’aide d’un poème allitératif de 19 vers en latin : ^{[58] [59]}

Nonae Aprilis quinos norunt V

octonae kalendae assim depromunt. je

Idus Aprilis etiam sexis, VI

nonae quaternae namque dipondio. II

Article non défini quinos ambiants, V

quatuor idus capiunt ternos. III

Ternas calendas seni titulaire, VI

quatuor déné cubant en quadris. IIII

Septenas idus septem eligunt, VII

senae kalendae sortons ternes, III

denis septénis donateur assi. je

Pridie nonas Porro quaternis, IIII

nonae kalendae notantur septenis. VII

Pridie idus panditur quinis, V

calendriers Aprilis exprimunt unus. je

Duodène namque Docte quaternis, IIII

spécimen quintame spermamus duobus. II

Quaternae kalendae quinque coniciunt, V

constante de quindène tribus adeptis. III

La première demi-ligne de chaque ligne donne la date de la Pleine lune pascale du tableau ci-dessus pour chaque année du cycle de 19 ans. La deuxième demi-ligne donne le déplacement régulier ferial , ou en semaine, du jour de la Pleine lune pascale de cette année par rapport au concurrent , ou le jour de la semaine du 24 mars. ^[60] La feriale régulière est répétée en chiffres romains dans la troisième colonne.

Des dates de Pâques “paradoxales”

En raison des écarts entre les approximations des calculs informatiques de l’heure de l’ équinoxe vernal moyen (Hémisphère nord) et des phases lunaires, et les vraies valeurs calculées selon les principes astronomiques, des différences surviennent parfois entre la date de Pâques selon le calcul informatique et la date hypothétique de Pâques calculée par des méthodes astronomiques utilisant les principes attribués aux pères de l’Église. Ces écarts sont appelés dates de Pâques “paradoxales”. Dans son Kalendarium de 1474, Regiomontanus a calculé l’heure exacte de toutes les conjonctions du Soleil et de la Lune pour la longitude de Nuremberg selon laTables d’Alfonsine pour la période de 1475 à 1531. Dans son travail, il a compilé 30 cas où la Pâques du comput julien était en désaccord avec la Pâques calculée à l’aide de la Nouvelle Lune astronomique . Dans dix-huit cas, la date différait d’une semaine, dans sept cas de 35 jours et dans cinq cas de 28 jours. ^[61]

Ludwig Lange a étudié et classé différents types de dates de Pâques paradoxales à l’aide du comput grégorien. ^[62]Dans les cas où la première pleine lune vernale selon le calcul astronomique se produit un dimanche et que le Computus donne le même dimanche que Pâques, la Pâques célébrée se produit une semaine à l’avance par rapport à l’hypothétique Pâques “astronomiquement” correcte. Lange a appelé ce cas un paradoxe hebdomadaire négatif (hebdomadal) (paradoxe H−). Si le calcul astronomique donne un samedi pour la première pleine lune vernale et que Pâques n’est pas célébrée le dimanche suivant mais une semaine plus tard, Pâques est célébrée selon le comput une semaine trop tard par rapport au résultat astronomique. Il a classé ces cas comme un paradoxe hebdomadaire positif (hebdomadal) (paradoxe H +). Les écarts sont encore plus grands s’il y a une différence selon l’équinoxe vernal par rapport à la théorie astronomique et à l’approximation du Computus. Si la pleine lune équinoxiale astronomique tombe avant la pleine lune équinoxiale informatique, Pâques sera célébrée quatre ou même cinq semaines trop tard. De tels cas sont appelés un paradoxe équinoxial positif (paradoxe A +) selon Lange. Dans le cas inverse, lorsque la pleine lune équinoxiale informatique tombe un mois avant la pleine lune équinoxiale astronomique, Pâques est célébrée quatre ou cinq semaines trop tôt. De tels cas sont appelés paradoxe équinoxial négatif (paradoxe A−). Les paradoxes équinoxiaux sont toujours valables globalement pour toute la terre, car la séquence de l’équinoxe et de la pleine lune ne dépend pas de la longitude géographique. En revanche, les paradoxes hebdomadaires sont locaux dans la plupart des cas et ne sont valables que pour une partie de la terre, car le changement de jour entre samedi et dimanche dépend de la longitude géographique.^[62]

Aux 21e et 22e siècles ^{[62] [63]} les dates de Pâques paradoxales hebdomadaires négatives se produisent en 2049, 2076, 2106, 2119 (global), 2133, 2147, 2150, 2170 et 2174; des dates paradoxales hebdomadaires positives se produisent en 2045, 2069, 2089 et 2096 ; dates paradoxales équinoxiales positives en 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 et 2190. En 2076 et 2133, des doubles paradoxes (équinoxial positif et hebdomadaire négatif) se produisent. Les paradoxes équinoxiaux négatifs sont extrêmement rares; ils ne se produisent que deux fois jusqu’à l’an 4000 en 2353, lorsque Pâques est cinq semaines trop tôt et en 2372, lorsque Pâques est quatre semaines trop tôt. ^[63]

Algorithmes

Remarque sur les opérations

Lors de l’expression d’algorithmes de Pâques sans utiliser de tables, il est d’usage d’employer uniquement les opérations entières addition , soustraction , multiplication , division , modulo et affectation car elles sont compatibles avec l’utilisation de calculatrices mécaniques ou électroniques simples. Cette restriction n’est pas souhaitable pour la programmation informatique, où des opérateurs et des instructions conditionnels, ainsi que des tables de consultation, sont disponibles. On peut facilement voir comment la conversion du jour de mars (22 à 56) en jour et mois (22 mars au 25 avril) peut être effectuée en tant que if (DoM > 31) {Day=DoM-31, Month=Apr} else {Day=DoM, Month=Mar}. Plus important encore, l’utilisation de telles conditions simplifie également le cœur du calcul grégorien.

Algorithme de Pâques de Gauss

En 1800, le mathématicien Carl Friedrich Gauss présenta cet algorithme pour calculer la date de la Pâque julienne ou grégorienne. ^{[64] [65]} Il a corrigé l’expression pour calculer la variable p en 1816. ^[66] En 1800, il a incorrectement indiqué p = floor ( k/3) = ⌊ k/3⌋ . En 1807, il remplace la condition (11 M + 11) mod 30 < 19 par la plus simple a > 10 . En 1811, il a limité son algorithme aux 18e et 19e siècles uniquement et a déclaré que le 26 avril est toujours remplacé par les 19 et 25 avril par le 18 avril dans les circonstances indiquées. En 1816, il remercie son élève Peter Paul Tittel d’avoir signalé que p était erroné dans la version originale. ^[67]

Variable	Expression	année = 1777	2022
un =	année mod 19	dix	8
b =	année mod 4	1	2
c =	année mod 7	6	6
k =	année div 100 = ⌊ an/100⌋	17	20
p =	(13 + 8 k ) div 25 = ⌊ 13 + 8k/25⌋	5	6
q =	k div 4 = ⌊ k/4⌋	4	5
M =	(15 – p + k – q ) mod 30	23	24
N =	(4 + k − q ) mod 7	3	5
Pour la Pâques julienne dans le calendrier julien M = 15 et N = 6 ( k , p et q sont inutiles)
ré =	(19 a + M ) mod 30	3	26
é =	(2 b + 4 c + 6 d + N ) mod 7	5	0
Mars jour de Pâques =	22 + d + e	30	48
Avril jour de Pâques =	ré + e – 9	−1	17
(11 M + 11) mod 30	24	5
si d = 28, e = 6, et (11 M + 11) mod 30 < 19, remplacer 25 avril par 18 avril
si d = 29 et e = 6, remplacer le 26 avril par le 19 avril

Une analyse de l’ algorithme de Pâques de Gauss est divisée en deux parties. La première partie est le suivi approximatif de l’orbite lunaire et la seconde partie est le décalage déterministe exact pour obtenir un dimanche suivant la pleine lune.

La première partie consiste à déterminer la variable d , le nombre de jours (à compter du 22 mars) jusqu’au lendemain de la pleine lune. La formule pour d contient les termes 19 a et la constante M. a est la position de l’année dans le cycle de phase lunaire de 19 ans, dans lequel, par hypothèse, le mouvement de la lune par rapport à la terre se répète toutes les 19 années civiles. Dans les temps anciens, 19 années civiles équivalaient à 235 mois lunaires (le cycle de Metonic), ce qui est remarquablement proche puisque 235 mois lunaires sont d’environ 6939,6813 jours et 19 ans sont en moyenne de 6939,6075 jours. L’expression (19 a+ M) mod 30 se répète tous les 19 ans au cours de chaque siècle car M est déterminé par siècle. Le cycle de 19 ans n’a rien à voir avec le ’19’ en 19 a , c’est juste une coïncidence qu’un autre ’19’ apparaisse. Le ’19’ dans 19 a vient de la correction du décalage entre une année civile et un nombre entier de mois lunaires. Une année civile (année non bissextile) compte 365 jours et l’année la plus proche pouvant venir avec un nombre entier de mois lunaires est 12 × 29,5 = 354 jours. La différence est de 11 jours, ce qui doit être corrigé en reculant de 11 jours l’occurrence de la pleine lune l’année suivante. Mais en arithmétique modulo 30, soustraire 11 revient à ajouter 19, d’où l’addition de 19 pour chaque année ajoutée, soit 19 a .

Le M en 19 a + M sert à avoir un point de départ correct au début de chaque siècle. Il est déterminé par un calcul prenant le nombre d’années bissextiles jusqu’à ce siècle où k inhibe un jour bissextile tous les 100 ans et q le réinstalle tous les 400 ans, donnant ( k – q ) comme nombre total d’inhibitions au modèle d’un jour bissextile tous les quatre ans. Ainsi, nous ajoutons ( k − q ) pour corriger les jours bissextiles qui ne se sont jamais produits. p corrige le fait que l’orbite lunaire n’est pas entièrement descriptible en termes entiers.

La plage de jours considérée pour la pleine lune pour déterminer Pâques va du 21 mars (le jour de l’équinoxe ecclésiastique du printemps) au 18 avril – une plage de 29 jours. Cependant, dans l’arithmétique mod 30 de la variable d et de la constante M , qui peuvent toutes deux avoir des valeurs entières comprises entre 0 et 29, la plage est de 30. Par conséquent, des ajustements sont effectués dans les cas critiques. Une fois d déterminé, c’est le nombre de jours à ajouter au 22 mars (le lendemain de la première pleine lune possible autorisée, qui coïncide avec l’équinoxe ecclésiastique du printemps) pour obtenir la date du lendemain de la pleine lune.

Ainsi, la première date autorisée de Pâques est le 22 mars + j + 0, car Pâques doit être célébrée le dimanche après la pleine lune ecclésiastique, c’est-à-dire si la pleine lune tombe le dimanche 21 mars, Pâques doit être célébrée 7 jours après, tandis que si la pleine lune tombe le samedi 21 mars Pâques est le 22 mars suivant.

La deuxième partie consiste à trouver e , les jours de décalage supplémentaires qui doivent être ajoutés au décalage de date d pour qu’il arrive à un dimanche. Comme la semaine compte 7 jours, le décalage doit être compris entre 0 et 6 et déterminé par l’arithmétique modulo 7. e est déterminé en calculant 2 b + 4 c + 6 d + N mod 7 . Ces constantes peuvent sembler étranges au premier abord, mais sont assez facilement explicables si l’on se rappelle que l’on opère sous l’arithmétique mod 7. Pour commencer, 2 b + 4 c garantit que nous prenons soin du fait que les jours de la semaine glissent chaque année. Une année normale compte 365 jours, mais 52 × 7 = 364, donc 52 semaines complètes représentent un jour trop peu. Ainsi, chaque année consécutive, le jour de la semaine “glisse d’un jour vers l’avant”, ce qui signifie que si le 6 mai était un mercredi une année, c’est un jeudi l’année suivante (sans tenir compte des années bissextiles). b et c augmentent tous deux de un pour un avancement d’un an (sans tenir compte des effets modulo). L’expression 2 b + 4 c augmente donc de 6 – mais rappelez-vous que cela revient à soustraire 1 mod 7. Soustraire de 1 est exactement ce qui est nécessaire pour une année normale – puisque le jour de la semaine avance d’un jour, nous devrions compenser un jour de moins pour arriver au bon jour de la semaine (c’est-à-dire le dimanche). Pour une année bissextile, b devient 0 et 2 best donc 0 au lieu de 8 – ce qui, sous le mod 7, est une autre soustraction par 1 – c’est-à-dire une soustraction totale par 2, car les jours de la semaine après le jour bissextile de cette année avancent de deux jours.

L’expression 6d fonctionne de la même manière. Augmenter d d’un certain nombre y indique que la pleine lune se produit y jours plus tard cette année, et donc nous devrions compenser y jours de moins. L’ajout de 6 d est le mod 7 identique à la soustraction de d , qui est l’opération souhaitée. Ainsi, encore une fois, nous faisons une soustraction en ajoutant sous l’arithmétique modulo. Au total, la variable e contient le pas du lendemain du jour de la pleine lune au dimanche suivant le plus proche, entre 0 et 6 jours d’avance. La constante N fournit le point de départ des calculs pour chaque siècle et dépend de l’emplacement implicite du 1er janvier de l’année 1 lors de la construction du calendrier grégorien.

L’expression d + e peut produire des décalages compris entre 0 et 35 pointant vers d’éventuels dimanches de Pâques du 22 mars au 26 avril. Pour des raisons de compatibilité historique, tous les décalages de 35 et certains de 34 sont soustraits de 7, remontant un dimanche au jour de la pleine lune (en fait en utilisant un e négatif de -1). Cela signifie que le 26 avril n’est jamais le dimanche de Pâques et que le 19 avril est surreprésenté. Ces dernières corrections sont uniquement pour des raisons historiques et n’ont rien à voir avec l’algorithme mathématique. Le décalage de 34 est ajusté si (et seulement si) d = 28 et d = 29 ailleurs dans le cycle de 19 ans.

L’utilisation de l’algorithme de Pâques de Gauss pour les années antérieures à 1583 est historiquement inutile puisque le calendrier grégorien n’a pas été utilisé pour déterminer Pâques avant cette année. L’utilisation de l’algorithme loin dans le futur est discutable, car nous ne savons rien sur la façon dont les différentes églises définiront Pâques dans le futur. Les calculs de Pâques sont basés sur des accords et des conventions, et non sur les mouvements célestes réels ni sur des faits incontestables de l’histoire.

Algorithme grégorien anonyme

Format original de la soumission Nature de 1876

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste
an	19	N / A	un
an	100	b	c
b	4	ré	e
b + 8	25	F	N / A
b – f + 1	3	g	N / A
19 une + b – ré – g + 15	30	N / A	h
c	4	je	k
32 + 2 e + 2 je – h – k	7	N / A	je
a + 11 h + 22 l	451	m	N / A
h + l – 7 m + 114	31	n	o

“Un correspondant de New York” a soumis cet algorithme pour déterminer la Pâques grégorienne à la revue Nature en 1876. ^{[67] [68]} Il a été réimprimé plusieurs fois, par exemple, en 1877 par Samuel Butcher dans The Ecclesiastical Calendar , ^[69] dans 1916 par Arthur Downing dans The Observatory , ^[70] en 1922 par H. Spencer Jones dans General Astronomy , ^[71] en 1977 par le Journal of the British Astronomical Association , ^[72] en 1977 par The Old Farmer’s Almanac , en 1988 par Peter Duffett-Smith dansPractical Astronomy with your Calculator , et en 1991 par Jean Meeus dans Astronomical Algorithms . ^[73] En raison de la citation du livre de Meeus, cet algorithme est également appelé “Meeus/Jones/Butcher”:

Variable	Expression	Y = 1961	2022
un =	Y mod 19	4	8
b =	⌊ Oui/100⌋	19	20
c =	Y mod 100	61	22
ré =	⌊ b/4⌋	4	5
é =	b mod 4	3	0
f =	⌊ b + 8/25⌋	1	1
g =	⌊ b – f + 1/3⌋	6	6
h =	(19 une + b − ré − g + 15) mod 30	dix	26
je =	⌊ c/4⌋	15	5
k =	c mod 4	1	2
l =	(32 + 2 e + 2 je − h − k ) mod 7	1	0
m =	⌊ a + 11 h + 22 l/451⌋	0	0
h + l − 7m + 114	125	140
n =	⌊ h + l – 7 m + 114/31⌋	4	4
o =	( h + l − 7 m + 114) mod 31	1	16
Pâques grégorienne	2 avril 1961	17 avril 2022

En 1961, le New Scientist a publié une version de l’ algorithme Nature incorporant quelques modifications. ^[74] La variable g a été calculée à l’aide de la correction de 1816 de Gauss, ce qui a entraîné l’élimination de la variable f . Un peu de rangement se traduit par le remplacement de la variable o (à laquelle il faut en ajouter une pour obtenir la date de Pâques) par la variable p , qui donne directement la date.

Variable	Expression	Y = 1961	2022
F	N / A	N / A	N / A
g =	⌊ 8b + 13/25⌋	6	6
m =	⌊ a + 11 h + 19 l/433⌋	0	0
n =	⌊ h + l − 7 m + 90/25⌋	4	4
o	N / A	N / A	N / A
p =	( h + l − 7 m + 33 n + 19) mod 32	2	17
Pâques grégorienne	2 avril 1961	17 avril 2022

Algorithme Julien de Meeus

Jean Meeus, dans son livre Astronomical Algorithms (1991, p. 69), présente l’algorithme suivant pour calculer la Pâques julienne sur le calendrier julien, qui n’est pas le calendrier grégorien utilisé comme calendrier civil dans la majeure partie du monde contemporain. Pour obtenir la date de Pâques orthodoxe orientale sur ce dernier calendrier, 13 jours (de 1900 à 2099) doivent être ajoutés aux dates juliennes, produisant les dates ci-dessous, dans la dernière ligne.

Date de Pâques orthodoxe (orientale)

Variable	Expression	Y = 2008	2009	2010	2011	2016	2022
un =	Y mod 4	0	1	2	3	0	2
b =	Y mod 7	6	0	1	2	0	6
c =	Y mod 19	13	14	15	16	2	8
ré =	(19 c + 15) mod 30	22	11	0	19	23	17
é =	(2 une + 4 b – ré + 34) mod 7	1	4	0	1	4	3
j + e + 114	137	129	114	134	141	134
mois =	⌊ j + e + 114/31⌋	4	4	3	4	4	4
jour =	(( ré + e + 114) mod 31) + 1	14	6	22	11	18	11
Jour de Pâques (calendrier julien)	14 avril 2008	6 avril 2009	22 mars 2010	11 avril 2011	18 avril 2016	11 avril 2022
Jour de Pâques (calendrier grégorien)	27 avril 2008	19 avril 2009	4 avril 2010	24 avril 2011	1 mai 2016	24 avril 2022

Voir également

Portail du christianisme

Christian Zeller – mathématicien allemand
Obscurité de la crucifixion – Épisode de l’Évangile dans lequel le ciel s’assombrit lors de la crucifixion de Jésus
Réforme de la date de Pâques – Propositions de changement de date de fête

Références

Remarques

↑ Bien qu’il s’agisse de la datation d’Augustalis par Bruno Krusch , voir les arguments pour une date du Ve siècle dans Mosshammer 2008 , pp. 217, 227–228.
↑ Le Cycle lunaire d’Anatolius, selon les tableaux du De ratione paschali , ne comprenait que deux années bissextiles (bissextiles) tous les 19 ans, il ne pouvait donc pas être utilisé par quiconque utilisant le calendrier julien, qui avait quatre ou cinq années bissextiles par Cycle lunaire . ^{[12] [13]}
^ Pour la confirmation du rôle de Dionysius, voir Blackburn & Holford-Strevens 1999 , p. 794.
↑ Par exemple, dans le calendrier julien, à Rome en 1550, l’équinoxe de mars a eu lieu le 11 mars à 6 h 51, heure moyenne locale . ^[26]
^ Bien qu’avant le remplacement du calendrier julien en 1752, certains imprimeurs du Livre de la prière commune plaçaient correctement le saltus , à partir du mois suivant le 30 juillet, aucun d’entre eux n’a continué la séquence correctement jusqu’à la fin de l’année.
^ “le [nombre d’or] d’une année après JC est trouvé en ajoutant un, en divisant par 19 et en prenant le reste (en traitant 0 comme 19).” ( Blackburn & Holford-Strevens 1999 , p. 810).
↑ Voir en particulier les premier , deuxième , quatrième et sixième canons et le calendrier
^ Peut être vérifié en utilisant Blackburn & Holford-Strevens 1999 , p. 825, tableau 7.
^ En 2004 et à nouveau en 2015, il y a des pleines lunes les 2 et 31 juillet.
↑ Traditionnellement dans l’Occident chrétien, cette situation était gérée en prolongeant le premier mois lunaire de 29 jours de l’année à 30 jours, et en commençant le mois lunaire suivant un jour plus tard qu’autrement s’il devait commencer avant le jour bissextile.( Blackburn & Holford-Strevens 1999 , p. 813).

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Sources

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Zeyer, Klaus Peter (2020). “Häufigkeit von Osterparadoxien: Negative Äquinoktialparadoxien der Jahre 2353 und 2372 als seltenste Variante”. Regiomontanusbote . 33 : 5–10.

Lectures complémentaires

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Gibson, Margaret Dunlop, The Didascalia Apostolorum in Syriac , Cambridge University Press, Londres, 1903.
Schwartz, E., Christliche und jüdische Ostertafeln , (Abhandlungen der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Pilologisch-historische Klasse. Neue Folge, Band viii.) Weidmannsche Buchhandlung , Berlin, 1905.
Philip Schaff (éd.) Théodoret, Jérôme, Gennadius et Rufinius: écrits historiques
Stern, Sacha, Calendar and Community: A History of the Jewish Calendar Second Century BCE – Tenth Century CE , Oxford University Press, Oxford, 2001.
van Gent, Robert (2019), Dates anormales du dimanche de Pâques au 18e et au début du 19e siècle , Université d’Utrecht , récupéré le 23 juillet 2019.
Walker, George W, Easter Intervals , Popular Astronomy, avril 1945, vol. 53, p. 162–179.
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Weisstein, Éric. (vers 2006) ” Pleine lune pascale ” dans World of Astronomy .

Liens externes

Formules et fonctions du tableur Excel pour calculer Pâques
Les Œuvres Complètes du Vénérable Bede Vol. 6 (Contient De Temporibus et De Temporum Ratione .)
L’entrée sur les épactes dans l’Encyclopédie catholique de 1911
Les textes originaux de la réforme du calendrier grégorien (en latin), avec des traductions en français par Rodolphe Audette
Un calculateur de Pâques avec une bibliographie complète et des liens utiles
Site des éphémérides du Bureau des Longitudes avec un calculateur de Pâques (valable entre 325 et 2500)
Une page de calendrier et une calculatrice par Holger Oertel
Une page de Clive Feather avec une brève explication, quelques tableaux supplémentaires et un autre algorithme
(en allemand) Un site de calendrier complet et un calendrier et une calculatrice de Pâques par Nikolaus A. Bär
Explication du calendrier solaire et lunaire grégorien, avec des procédures améliorées par rapport à la méthode tabulaire, par David Madore
Table de Pâques de Dionysius Exiguus
Diagrammes computus mnémotechniques des mains d’un manuscrit de la British Library
Saint-Gall, Stiftsbibliothek, Codex Sangallensis 378 (XIe siècle) p. 28. Contient le poème Nonae Aprilis norunt quinos .
Une méthode simplifiée pour déterminer la date de Pâques pour toutes les années 326 à 4099 par Ronald W. Mallen
Texte de la loi de 1750 sur le calendrier (nouveau style), loi du Parlement britannique introduisant le calendrier grégorien tel que modifié à ce jour. Contient des tables pour calculer Pâques jusqu’à l’année 8599. Contraste avec la loi telle qu’adoptée.
Computuslat Une base de données de manuscrits médiévaux contenant des algorithmes informatiques latins, des textes, des tableaux, des diagrammes et des calendriers.
Calculatrice perpétuelle de Pâques et de la Pâque

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