Cercle des quintes

En théorie musicale , le cercle des quintes est une façon d’organiser les 12 hauteurs chromatiques en une séquence de quintes parfaites . Si C est choisi comme point de départ, la séquence est : C, G, D, A, E, B (=C ♭ ), F ♯ (=G ♭ ), C ♯ (=D ♭ ), A ♭ , E ♭ , B ♭ , F. Continuer le motif à partir de F ramène la séquence à son point de départ de C. Cet ordre place les signatures de clé les plus étroitement liées les unes à côté des autres. Il est généralement illustré sous la forme d’un cercle.

Cercle des quintes montrant les tonalités majeures et mineures Le cercle des quintes de Nikolay Diletsky dans Idea grammatiki musikiyskoy (Moscou, 1679)

Définition

Le cercle des quintes organise les hauteurs dans une séquence de quintes parfaites , généralement représentées par un cercle avec les hauteurs (et leurs touches correspondantes) dans une progression dans le sens des aiguilles d’une montre. Les musiciens et les compositeurs utilisent souvent le cercle des quintes pour décrire les relations musicales entre les hauteurs. Sa conception est utile pour composer et harmoniser des Mélodies , construire des accords et moduler différentes touches au sein d’une composition. ^[1]

En utilisant le système d’ intonation juste , une quinte parfaite se compose de deux hauteurs avec un rapport de fréquence de 3:2, mais générer douze quintes parfaites de cette manière n’entraîne pas un retour à la classe de hauteur de la note de départ. Pour s’adapter à cela, les instruments sont généralement accordés avec le système de tempérament égal . Douze quintes de tempérament égal conduisent à une note exactement sept octaves au- dessus du ton initial, ce qui donne une quinte parfaite qui équivaut à sept demi- tons de tempérament égal .

Le haut du cercle montre la clé de do majeur, sans dièses ni bémols . En procédant dans le sens des aiguilles d’une montre, les hauteurs augmentent par quintes . Les signatures de clé associées à ces hauteurs changent également : la clé de G a un dièse, la clé de D a 2 dièses, et ainsi de suite. De même, en procédant dans le sens antihoraire à partir du haut du cercle, les notes changent par quintes descendantes et les signatures de clé changent en conséquence: la clé de F a un bémol, la clé de B ♭ a 2 bémols, et ainsi de suite. Certaines touches (en bas du cercle) peuvent être notées soit en dièses, soit en bémols .

Commencer à n’importe quelle hauteur et monter d’une quinte génère les douze tons avant de revenir à la classe de hauteur de début (une classe de hauteur se compose de toutes les notes indiquées par une lettre donnée, quelle que soit l’octave – tous les “C”, par exemple, appartiennent à la même classe de hauteur). En se déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, les hauteurs descendent d’une quinte, mais monter d’une quarte parfaite conduira à la même note une octave plus haut (donc dans la même classe de hauteur). Se déplacer dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de C pourrait être considéré comme descendant d’une quinte vers F ou montant d’une quarte vers F.

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Structure et utilisation

Clés de signature diatoniques

Chacune des douze hauteurs peut servir de tonique d’une tonalité majeure ou mineure , et chacune de ces tonalités sera associée à une gamme diatonique . Le diagramme circulaire montre le nombre de dièses ou de bémols dans chaque signature de clé , avec la clé majeure indiquée par une lettre majuscule et la clé mineure indiquée par une lettre minuscule. Les tonalités majeures et mineures qui ont la même signature de clé sont appelées majeures et mineures relatives l’une par rapport à l’autre.

Modulation et progression d’accords

La musique tonale se module souvent vers un nouveau centre tonal dont la signature de clé diffère de l’original par un seul bémol ou dièse. Ces touches étroitement liées sont à une quinte les unes des autres et sont donc adjacentes dans le cercle des quintes. Les progressions d’accords se déplacent également souvent entre les accords dont les racines sont liées par une quinte parfaite, ce qui rend le cercle des quintes utile pour illustrer la «distance harmonique» entre les accords.

Le cercle des quintes est utilisé pour organiser et décrire la fonction harmonique des accords . Les accords peuvent progresser selon un schéma de quartes parfaites ascendantes (alternativement considérées comme des quintes parfaites descendantes) en “succession fonctionnelle”. Cela peut être montré “… par le cercle des quintes (dans lequel, par conséquent, le Degré d’échelle II est plus proche de la dominante que le Degré d’échelle IV)”. ^[2] Dans ce point de vue, la tonique est considérée comme le point final d’une progression d’accords dérivée du cercle des quintes.

ii–V–I progression , en C, illustrant la similarité entre eux Accords de sous-dominante, de septième supertonique et de supertonique

Selon Richard Franko Goldman ‘s Harmony in Western Music , “l’accord IV est, dans les mécanismes les plus simples des relations diatoniques, à la plus grande distance de I. En termes de cercle [descendant] des quintes, il s’éloigne de I, plutôt que vers lui.” ^[3] Il déclare que la progression I–ii–V–I (une Cadence authentique ) semblerait plus finale ou résolue que I–IV–I (une Cadence plagale ). Goldman ^[4] est d’accord avec Nattiez, qui soutient que “l’accord du quatrième degré apparaît bien avant l’accord du II, et le I final suivant, dans la progression I–IV–vii ^o –iii–vi–ii–V– I”, et est également plus éloigné du tonique.^[5] (Dans cet article et les articles connexes, les chiffres romains majuscules indiquent les triades majeures tandis que les chiffres romains minuscules indiquent les triades mineures.)

Fermeture du cercle dans les systèmes de réglage non égaux

L’utilisation du rapport exact 3: 2 des fréquences pour définir une quinte parfaite ( juste l’intonation ) n’entraîne pas tout à fait un retour à la classe de hauteur de la note de départ après avoir parcouru le cercle des quintes. L’accord de tempérament égal produit des quintes qui reviennent à un ton exactement sept octaves au- dessus du ton initial et rend le rapport de fréquence de chaque demi-pas le même. Une quinte au tempérament égal a un rapport de fréquence de 2 ^7/12 :1 (ou environ 1,498307077:1), environ deux cents plus étroit qu’une quinte juste accordée à un rapport de 3:2.

L’ascension par quintes correctement accordées ne parvient pas à fermer le cercle par un excès d’environ 23,46 cents , environ un quart de demi- ton , un intervalle connu sous le nom de virgule de Pythagore . Dans l’accord de Pythagore, ce problème est résolu en raccourcissant considérablement la largeur de l’une des douze quintes, ce qui la rend sévèrement dissonante . Cette quinte anormale est appelée la quinte du loup – une référence humoristique à un loup hurlant une note hors du terrain. Le quart de virgule signifieLe système de réglage utilise onze quintes légèrement plus étroites que la quinte également tempérée, et nécessite une quinte de loup beaucoup plus large et encore plus dissonante pour fermer le cercle. Des systèmes d’accord plus complexes basés sur une intonation juste, tels que l’accord à 5 limites , utilisent au plus huit quintes correctement accordées et au moins trois quintes non justes (certaines légèrement plus étroites et d’autres légèrement plus larges que la quinte juste) pour fermer le cercle. D’autres systèmes d’accord utilisent jusqu’à 53 tons (les 12 tons d’origine et 42 autres entre eux) afin de fermer le cercle des quintes.

Histoire

Cercle musical de Heinichen ( allemand : Musicalischer Circul ) (1711)

Certaines sources impliquent que Pythagore a inventé le cercle des quintes au VIe siècle avant JC, mais il n’y a aucune preuve de cela. ^{[6] [7] [8]} Pythagore était principalement concerné par la science théorique des harmoniques et est crédité d’avoir conçu un système d’accord basé sur l’intervalle d’un cinquième, mais n’a pas accordé plus de huit notes, et n’a laissé aucune trace écrite. registres de son travail. ^[9]

À la fin des années 1670, le compositeur et théoricien ukrainien Nikolay Diletsky a écrit un traité sur la composition intitulé Grammatika , « le premier du genre, visant à enseigner à un public russe comment écrire des compositions polyphoniques de style occidental ». Il a appris à écrire des kontserty , des œuvres polyphoniques a cappella généralement basées sur des textes liturgiques et créées en assemblant des sections musicales avec un rythme, un mètre, un matériau mélodique et des groupements vocaux contrastés. Diletsky voulait que son traité soit un guide de composition utilisant les règles de la théorie musicale . Le premier cercle de quintes apparaît dans la Grammatika et il était utilisé par les étudiants comme outil de composition. ^[dix]

Utiliser

Dans les pièces musicales de l’ère de la musique baroque et de l’ ère de la musique classique et dans la musique populaire occidentale , la Musique traditionnelle et la musique folklorique , lorsque des morceaux ou des chansons se modulent sur une nouvelle tonalité, ces modulations sont souvent associées au cercle des quintes.

En pratique, les compositions utilisent rarement tout le cercle des quintes. Plus communément, les compositeurs utilisent «l’idée compositionnelle du« cycle »des quintes, lorsque la musique se déplace de manière cohérente à travers un segment plus petit ou plus grand des ressources structurelles tonales que le cercle représente abstraitement». ^[11] La pratique habituelle est de dériver le cercle de la progression des quintes des sept tons de l’échelle diatonique, plutôt de la gamme complète des douze tons présents dans l’échelle chromatique. Dans cette version diatonique du cercle, une des quintes n’est pas une vraie quinte : c’est un triton (ou une quinte diminuée), par exemple entre F et B dans la gamme diatonique “naturelle” (c’est-à-dire sans dièses ni bémols). Voici comment dérive le cercle des quintes,

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Et à partir de la gamme mineure (naturelle) :

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Voici la séquence de base d’accords qui peuvent être construits sur la ligne de basse principale :

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Et sur le mineur:

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L’ajout de septièmes aux accords crée une plus grande sensation d’élan vers l’avant pour l’harmonie :

La lecture audio n’est pas prise en charge dans votre navigateur. Vous pouvez télécharger le fichier audio . Progression d’accords en cercle de quintes – mineur avec septièmes ajoutées

Époque baroque

Selon Richard Taruskin , Arcangelo Corelli était le compositeur le plus influent pour établir le motif comme un “trope” harmonique standard : “C’est précisément à l’époque de Corelli, à la fin du XVIIe siècle, que le cercle des quintes était “théorisé” comme le principal propulseur du mouvement harmonique, et c’est Corelli plus que n’importe quel compositeur qui a mis cette nouvelle idée en pratique.” ^[12]

La progression du cercle des quintes est fréquente dans la musique de JS Bach . Dans ce qui suit, de Jauchzet Gott in allen Landen , BWV 51 , même lorsque la ligne de basse solo implique plutôt qu’elle n’énonce les accords impliqués :

La lecture audio n’est pas prise en charge dans votre navigateur. Vous pouvez télécharger le fichier audio . Bach de la Cantate 51

Haendel utilise une Progression en cercle de quintes comme base du mouvement Passacaglia de sa Suite pour clavecin n ° 6 en sol mineur.

La lecture audio n’est pas prise en charge dans votre navigateur. Vous pouvez télécharger le fichier audio . Haendel Passacaille de la Suite en sol mineur mesures 1–4

Les compositeurs baroques ont appris à renforcer la “force propulsive” de l’harmonie engendrée par le cercle des quintes “en ajoutant des septièmes à la plupart des accords constitutifs”. “Ces septièmes, étant des dissonances, créent le besoin de résolution, transformant ainsi chaque progression du cercle en un soulagement et un restimulateur simultanés de la tension harmonique… Ainsi exploités à des fins expressives.” ^[13] Des passages frappants qui illustrent l’utilisation des septièmes se produisent dans l’aria “Pena tiranna” de l’opéra Amadigi di Gaula de 1715 de Haendel :

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– et dans l’ arrangement pour clavier de Bach du Concerto pour hautbois et cordes d’ Alessandro Marcello .

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XIXe siècle

Au XIXe siècle, les compositeurs ont utilisé le cercle des quintes pour rehausser le caractère expressif de leur musique. Le poignant Impromptu en mi bémol majeur, D 899 de Franz Schubert , contient un tel passage :

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– tout comme le mouvement Intermezzo du Quatuor à cordes n°2 de Mendelssohn :

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L’évocateur “Enfant qui s’endort” de Robert Schumann tiré de ses Kinderszenen surprend en fin de progression : le morceau se termine sur un accord de la mineur, au lieu de la tonique mi mineur attendue.

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Dans l’opéra de wagner, Götterdämmerung , un cycle de progression de quintes se produit dans la musique qui passe de la fin du prologue à la première scène de l’acte 1, située dans l’imposante salle des riches Gibichungs. “Le statut et la réputation sont écrits partout dans les motifs attribués à Gunther”, ^[14] chef du clan Gibichung :

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Jazz et musique populaire

La popularité durable du cercle des quintes à la fois en tant que dispositif de construction de formes et en tant que trope musical expressif est évidente dans le nombre de chansons populaires « standard » composées au cours du XXe siècle. Il est également privilégié comme véhicule d’improvisation par les musiciens de jazz.

• Bart Howard , ” Envole-moi vers la lune “

La chanson s’ouvre sur un motif de phrases descendantes – en substance, le crochet de la chanson – présenté avec une prévisibilité apaisante, presque comme si la direction future de la mélodie était dictée par les cinq notes d’ouverture. La progression harmonique, quant à elle, s’écarte rarement du cercle des quintes. ^[15]

• Jerome Kern , ” Toutes les choses que vous êtes ” ^[16]
• Ray Noble , « Cherokee ». De nombreux musiciens de jazz ont trouvé cela particulièrement difficile car le huit du milieu progresse si rapidement dans le cercle, “créant une série de progressions II – V – I qui passent temporairement par plusieurs tonalités “. ^[17]
• Kosmo, Prévert et Mercer, ” Feuilles d’automne ” ^[18]
• The Beatles , ” You Never Give Me Your Money ” ^{[19] [ source non primaire nécessaire ]}
• Mike Oldfield , ” Incantations ” ^[20]
• Carlos Santana , ” Europa (le cri de la terre, le sourire du ciel) ” ^{[ citation nécessaire ]}
• Gloria Gaynor , ” I Will Survive ” ^{[21] [ source non primaire nécessaire ]}
• Pet Shop Boys , ” C’est un péché ” ^{[22] [ source non primaire nécessaire ]}
• Donna Summer , ” Je t’aime, bébé ” ^{[23] [ source non primaire nécessaire ]}

Notions connexes

Cercle diatonique des quintes

Le cercle diatonique des quintes est le cercle des quintes englobant uniquement les membres de l’échelle diatonique. Par conséquent, il contient une quinte diminuée, en ut majeur entre si et fa. Voir la structure implique la multiplicité . La progression du cercle est généralement un cercle de quintes à travers les accords diatoniques, y compris un accord diminué . Une progression circulaire en ut majeur avec les accords I–IV–vii ^o –iii–vi–ii–V–I est illustrée ci-dessous.

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Cercle chromatique

Le cercle des quintes est étroitement lié au cercle chromatique , qui organise également les douze classes de hauteur à tempérament égal dans un ordre circulaire. Une différence clé entre les deux cercles est que le cercle chromatique peut être compris comme un espace continu où chaque point du cercle correspond à une classe de hauteur concevable , et chaque classe de hauteur concevable correspond à un point du cercle. En revanche, le cercle des quintes est fondamentalement une structure discrète et il n’existe aucun moyen évident d’attribuer des classes de hauteur à chacun de ses points. En ce sens, les deux cercles sont mathématiquement assez différents.

Cependant, les douze classes de hauteur à tempérament égal peuvent être représentées par le groupe cyclique d’ordre douze, ou de manière équivalente, les classes de résidus modulo douze, Z / 12 Z {displaystyle mathbb {Z} /12mathbb {Z} } . Le groupe Z 12 {displaystyle mathbb {Z} _{12}} a quatre générateurs, qui peuvent être identifiés avec les demi-tons ascendants et descendants et les quintes parfaites ascendantes et descendantes. Le générateur semi-tonal donne naissance au cercle chromatique tandis que la quinte juste donne naissance au cercle des quintes.

Relation avec la gamme chromatique

Le cercle des quintes tracé à l’intérieur du cercle chromatique sous la forme d’un dodécagramme étoilé . ^[24]

Le cercle des quintes, ou quarts, peut être cartographié à partir de la gamme chromatique par multiplication , et vice versa. Pour mapper entre le cercle des quintes et la gamme chromatique (en Notation entière ) multiplier par 7 ( M7 ), et pour le cercle des quartes multiplier par 5 (P5).

Voici une démonstration de cette procédure. Commencez avec un 12-uplet ordonné ( ligne de tons ) d’entiers

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)

représentant les notes de la gamme chromatique : 0 = Do, 2 = Ré, 4 = Mi, 5 = Fa, 7 = Sol, 9 = La, 11 = Si, 1 = Do ♯ , 3 = Ré ♯ , 6 = Fa ♯ , 8 = G ♯ , 10 = UNE ♯ . Multipliez maintenant le 12-tuple entier par 7 :

(0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77)

puis appliquer une réduction modulo 12 à chacun des nombres (soustraire 12 de chaque nombre autant de fois que nécessaire jusqu’à ce que le nombre devienne inférieur à 12) :

(0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5)

qui équivaut à

(C, G, D, A, E, B, F ♯ , C ♯ , G ♯ , D ♯ , A ♯ , F)

qui est le cercle des quintes. Notez que ceci est enharmoniquement équivalent à :

(C, G, D, A, E, B, G ♭ , D ♭ , A ♭ , E ♭ , B ♭ , F).

Équivalents enharmoniques et clés théoriques

Les signatures de clé trouvées au bas du diagramme du cercle des quintes, telles que D ♭ majeur, sont souvent écrites d’une manière en bémol et d’une autre manière en utilisant des dièses. Ces touches sont facilement interchangeables à l’aide d’équivalents enharmoniques. Enharmonique signifie que les notes sonnent de la même manière, mais sont écrites différemment. Par exemple, la signature de clé de D ♭ majeur, avec cinq bémols, contient les mêmes notes sonores, enharmoniquement, que C ♯ majeur (sept dièses).

Après C ♯ vient la clé de G ♯ (suivant le modèle d’être un cinquième plus haut et, par coïncidence, enharmoniquement équivalent à la clé de A ♭ ). Le “huitième dièse” est placé sur le F ♯ , pour le rendre F . La clé de D ♯ , avec neuf dièses, a un autre dièse placé sur le C ♯ , ce qui en fait C . Il en va de même pour les signatures à clé avec bémols ; La clé de E (quatre dièses) équivaut à la clé de F ♭ (encore une fois, un cinquième en dessous de la clé de C ♭ , suivant le modèle des signatures de clé bémol). Le dernier bémol est placé sur le B ♭ , ce qui en fait un B . De telles tonalités avec des doubles altérations dans les armures sont appelées tonalités théoriques : l’apparition de leurs armures est extrêmement rare, mais elles sont parfois tonifiées au cours d’un travail (notamment si la tonalité d’accueil était déjà fortement aiguisée ou bémol).

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Il ne semble pas y avoir de norme sur la manière de noter les signatures de clé théoriques :

• Le comportement par défaut de LilyPond (illustré ci-dessus) écrit tous les dièses simples (bémols) dans l’ordre du cercle des quintes, avant de passer aux doubles dièses. C’est le format utilisé dans A World Requiem de John Foulds , op. 60, qui se termine par l’armure de G ♯ majeur (exactement comme indiqué ci-dessus, pp. 153ff. ) Les dièses dans l’armure de G ♯ majeur procèdent ici C ♯ , G ♯ , D ♯ , A ♯ , E ♯ , B ♯ , F .
• Les dièses ou bémols simples au début sont parfois répétés par courtoisie, par exemple le supplément de Max Reger à la théorie de la modulation , qui contient des signatures de clé mineures en ré ♭ aux pp. 42–45 . Ceux-ci ont un B ♭ au début et aussi un B à la fin (avec un symbole double bémol), aller B ♭ , E ♭ , A ♭ , D ♭ , G ♭ , C ♭ , F ♭ , B . La convention de LilyPond et Foulds supprimerait le B initial ♭ .
• Parfois, les signes doubles sont écrits au début de la signature de la clé, suivis des signes simples. Par exemple, la signature de clé F ♭ est notée B , E ♭ , UNE ♭ , D ♭ , G ♭ , C ♭ , F ♭ . Cette convention est utilisée par Victor Ewald, par le programme Finale (logiciel) , ^[25] et par certains travaux théoriques.

Voir également

• Accord d’approche
• Forme sonate
• Bon tempérament
• Table de texte du cercle des quintes
• Constellation de hauteur
• Groupe multiplicatif d’entiers modulo n

Remarques

1. ^ Michael Pilhofer et Holly Day (23 février 2009). “Le cercle des cinquièmes : une brève histoire” , www.dummies.com.
2. ^ Nattiez 1990 , p. 225.
3. ^ Goldman 1965 , p. 68.
4. ^ Goldman 1965 , chapitre 3.
5. ^ Nattiez 1990 , p. 226.
6. ^ “Le Guide Complet du Cercle des Cinquièmes!” . 17 janvier 2021.
7. ^ “Le Cercle des Quintes rendu clair” .
8. ^ “Les nuls – Apprendre en toute simplicité” .
9. ^ Fraser, Peter A. (2001), The Development of Musical Tuning Systems (PDF) , pp. 9, 13, archivé de l’original (PDF) le 1er juillet 2013 , récupéré le 24 mai 2020
10. ^ Jensen 1992 , pp. 306–307.
11. ^ Whittall, A. (2002, p. 259) “Circle of Fifths”, article dans Latham, E. (éd.) The Oxford Companion to Music . Presse universitaire d’Oxford.
12. ^ Taruskin 2010 , p. 184.
13. ^ Taruskin 2010 , p. 188.
14. ^ Scruton, R. (2016, p. 121) L’Anneau de Vérité : La Sagesse de l’Anneau du Nibelung de wagner . Londres, Allen Lane.
15. ^ Gioia 2012 , p. 115.
16. ^ Gioia 2012 , p. 16.
17. ^ Scott, Richard J. (2003, p. 123) Progressions d’accords pour les auteurs-compositeurs . Bloomington Indiana, Writers Club Press.
18. ^ Kostka, Stefan ; Payne, Dorothée ; Almén, Byron (2013). Harmonie tonale avec une introduction à la musique du XXe siècle (7e éd.). New York : McGraw Hill. pp. 46, 238. ISBN 978-0-07-131828-0.
19. ^ “Vous ne me donnez jamais votre argent” (1989, pp. 1099–1100, mesures 1–16) Les partitions complètes des Beatles . Hal Léonard.
20. ^ Oakes, Tim (juin 1980). “Mike Oldfield” . Musicien international et monde de l’enregistrement . Récupéré le 19 février 2021 – via Tubular.net.
21. ^ Fekaris, D. et Perren, FJ (1978) “Je survivrai”. Éditions internationales Polygram.
22. ^ Tennant, N. et Lowe, C. (1987, mesures 1 à 8) “C’est un péché.” Sony/ATV Music Publishing (Royaume-Uni) Ltd.
23. ^ Moroder, G. , Bellote, P. et Summer, D. (1975, mesures 11–14) “Love to Love you, Baby” 1976, Bulle Music
24. ^ McCartin 1998 , p. 364.
25. ^ “Ewald, Victor Quintet No 4 in Ab, op 8 for Brass Quintets [211.01]” .

Références

• Gioia, Ted (2012). Les normes de jazz : un guide du répertoire . Presse universitaire d’Oxford. ISBN 9780199769155.
• Goldman, Richard Franko (1965). Harmonie dans la musique occidentale . New York : WW Norton.
• Jensen, Claudia R. (été 1992). “Un travail théorique de la Moscovie de la fin du XVIIe siècle:” Grammatika “de Nikolai Diletskii et le premier cercle des quintes”. Journal de la Société américaine de musicologie . 45 (2): 305–331. doi : 10.2307/831450 . JSTOR 831450 .
• McCartin, Brian J. (novembre 1998). “Prélude à la Géométrie Musicale” . Le Journal de Mathématiques du Collège . 29 (5): 354–370. doi : 10.1080/07468342.1998.11973971 . JSTOR 2687250 . Archivé de l’original le 17/05/2008 . Récupéré le 29/07/2008 .
• Nattiez, Jean-Jacques (1990). Musique et discours : vers une sémiologie de la musique , traduit par Carolyn Abbate. Princeton, New Jersey : Presse universitaire de Princeton. ISBN 0-691-02714-5 . (Publié à l’origine en français, sous le titre Musicologie générale et sémiologie . Paris: C. Bourgois, 1987. ISBN 2-267-00500-X ).
• Taruskin, Richard (2010). L’histoire d’Oxford de la musique occidentale : la musique aux dix-septième et dix-huitième siècles . Presse universitaire d’Oxford.

Lectures complémentaires

• D’Indy, Vincent (1903). Cours de composition musicale . Paris : A. Durand et fils.
• Lester, Joël. Entre modes et touches: théorie allemande, 1592–1802 . 1990.
• Miller, Michel. Le guide complet de l’idiot sur la théorie musicale, 2e éd . [Indianapolis, IN] : Alpha, 2005. ISBN 1-59257-437-8 .
• Purwins, Hendrik (2005). ” Profils des classes de hauteur: circularité de la hauteur relative et de la clé – Expériences, modèles, analyse musicale computationnelle et perspectives “. doctorat thèse. Berlin : Technische Universität Berlin .
• Purwins, Hendrik, Benjamin Blankertz et Klaus Obermayer (2007). ” Modèles toroïdaux dans la théorie tonale et l’analyse des classes de hauteur “. dans: Computing in Musicology 15 (“Théorie tonale pour l’ère numérique”) : 73–98.

Liens externes

• Décoder le cercle des Vths
• Cercle interactif des quintes
• Cercle interactif des quintes pour les guitaristes