Système de réaction-diffusion

Les systèmes de réaction-diffusion sont des modèles mathématiques qui correspondent à plusieurs phénomènes physiques. La plus courante est la modification dans l’espace et dans le temps de la concentration d’une ou plusieurs substances chimiques : réactions chimiques locales au cours desquelles les substances se transforment les unes dans les autres, et diffusion qui provoque l’étalement des substances sur une surface de l’espace.

Une simulation de deux produits chimiques virtuels réagissant et diffusant sur un tore à l’aide du modèle Gray-Scott

Les systèmes de réaction-diffusion sont naturellement appliqués en chimie . Cependant, le système peut également décrire des processus dynamiques de nature non chimique. On en trouve des exemples en biologie , géologie et physique (théorie de la diffusion des neutrons) et en écologie . Mathématiquement, les systèmes de réaction-diffusion prennent la forme d’ équations aux dérivées partielles paraboliques semi-linéaires . Ils peuvent être représentés sous la forme générale

∂ t q = ré _ _ ∇ 2 q + R ( q ) , {displaystyle partial _{t}{boldsymbol {q}}={underline {underline {boldsymbol {D}}}},nabla ^{2}{boldsymbol {q}}+{ symbole gras {R}}({boldsymbol {q}}),}

où q ( x , t ) représente la fonction vectorielle inconnue, D est une matrice diagonale de coefficients de diffusion et R représente toutes les réactions locales. Les solutions des équations de réaction-diffusion présentent un large éventail de comportements, y compris la formation d’ ondes progressives et de phénomènes ondulatoires ainsi que d’autres motifs auto-organisés tels que des rayures, des hexagones ou des structures plus complexes telles que des Solitons dissipatifs . De tels modèles ont été surnommés « modèles de Turing ». ^[1]Chaque fonction, pour laquelle une équation différentielle de diffusion de réaction est valable, représente en fait une variable de concentration .

Équations de réaction-diffusion à un composant

L’équation de réaction-diffusion la plus simple est dans une dimension spatiale en géométrie plane,

∂ t tu = ré ∂ x 2 u + R ( u ) , {displaystyle partial _{t}u=Dpartial _{x}^{2}u+R(u),}

est également appelée équation de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov . ^[2] Si le terme de réaction disparaît, alors l’équation représente un processus de diffusion pure. L’équation correspondante est la deuxième loi de Fick . Le choix R ( u ) = u (1 − u ) donne l’équation de Fisher initialement utilisée pour décrire la propagation des populations biologiques ^[3] l’équation de Newell–Whitehead-Segel avec R ( u ) = u (1 − u ² ) pour décrireconvection de Rayleigh–Bénard , ^{[4] [5]} l’ équation plus générale de Zeldovich avec R ( u ) = u (1 − u )( u − α ) et 0 < α < 1 qui apparaît dans la théorie de la combustion , ^[6] et son cas particulier dégénéré avec R ( u ) = u ² − u ³ qui est aussi parfois appelé l’équation de Zeldovich. ^[7]

La dynamique des systèmes à un composant est soumise à certaines restrictions car l’équation d’évolution peut également être écrite sous la forme variationnelle

∂ t u = − δ L δ u {displaystyle partial _{t}u=-{frac {delta {mathfrak {L}}}{delta u}}}

et décrit donc une diminution permanente de “l’énergie libre” L {displaystyle {mathfrak {L}}} donnée par la fonctionnelle

L = ∫ − ∞ ∞ [ D 2 ( ∂ x u ) 2 − V ( u ) ] d x {displaystyle {mathfrak {L}}=int _{-infty}^{infty}left[{tfrac {D}{2}}left(partial _{x}uright) ^{2}-V(u)droite],{text{d}}x}

avec un potentiel V ( u ) tel que R ( u ) =d V ( u )/tu es.

Une solution de front d’onde progressive pour l’équation de Fisher.

Dans les systèmes avec plus d’une solution homogène stationnaire, une solution typique est donnée par des fronts mobiles reliant les états homogènes. Ces solutions se déplacent à vitesse constante sans changer de forme et sont de la forme u ( x , t ) = û ( ξ ) avec ξ = x − ct , où c est la vitesse de l’onde progressive. Notez que si les ondes progressives sont des structures génériquement stables, toutes les solutions stationnaires non monotones (par exemple les domaines localisés composés d’une paire front-antifront) sont instables. Pour c = 0 , il existe une preuve simple de cette affirmation :^[8] si u ₀ ( x ) est une solution stationnaire et u = u ₀ ( x ) + ÷ ( x , t ) est une solution infiniment perturbée, l’analyse de stabilité linéaire donne l’équation

∂ t u ~ = D ∂ x 2 u ~ − U ( x ) u ~ , U ( x ) = − R ′ ( u ) | u = u 0 ( x ) . {displaystyle partial _{t}{tilde {u}}=Dpartial _{x}^{2}{tilde {u}}-U(x){tilde {u}},qquad U(x)=-R^{prime}(u){Big |}_{u=u_{0}(x)}.}

Avec l’ansatz ÷ = ψ ( x )exp(− λt ) on arrive au problème aux valeurs propres

H ^ ψ = λ ψ , H ^ = − D ∂ x 2 + U ( x ) , {displaystyle {hat {H}}psi =lambda psi ,qquad {hat {H}}=-Dpartial _{x}^{2}+U(x),}

de type Schrödinger où les valeurs propres négatives entraînent l’instabilité de la solution. En raison de l’invariance translationnelle ψ = ∂ _x u ₀ ( x ) est une fonction propre neutre avec la Valeur propre λ = 0 , et toutes les autres fonctions propres peuvent être triées selon un nombre croissant de nœuds avec l’amplitude de la Valeur propre réelle correspondante qui augmente de manière monotone avec la nombre de zéros. La fonction propre ψ = ∂ _x u ₀ ( x )doit avoir au moins un zéro, et pour une solution stationnaire non monotone, la Valeur propre correspondante λ = 0 ne peut pas être la plus basse, ce qui implique une instabilité.

Pour déterminer la vitesse c d’un front en mouvement, on peut passer à un système de coordonnées en mouvement et regarder des solutions stationnaires :

D ∂ ξ 2 u ^ ( ξ ) + c ∂ ξ u ^ ( ξ ) + R ( u ^ ( ξ ) ) = 0. {displaystyle Dpartial _{xi }^{2}{hat {u}}(xi )+cpartial _{xi }{hat {u}}(xi )+R({ hat {u}}(xi ))=0.}

Cette équation a un bel analogue mécanique comme le mouvement d’une masse D de position û au cours du “temps” ξ sous la force R avec le coefficient d’amortissement c qui permet un accès assez illustratif à la construction de différents types de solutions et la détermination de c .

Lors du passage d’une à plusieurs dimensions d’espace, un certain nombre d’énoncés de systèmes unidimensionnels peuvent encore être appliqués. Les fronts d’onde plans ou courbes sont des structures typiques, et un nouvel effet apparaît lorsque la vitesse locale d’un front courbe devient dépendante du rayon de courbure local (cela peut être vu en allant aux Coordonnées polaires ). Ce phénomène conduit à ce que l’on appelle l’instabilité induite par la courbure. ^[9]

Équations de réaction-diffusion à deux composants

Les systèmes à deux composants permettent une gamme beaucoup plus large de phénomènes possibles que leurs homologues à un composant. Une idée importante qui a été proposée pour la première fois par Alan Turing est qu’un état qui est stable dans le système local peut devenir instable en présence de diffusion . ^[dix]

Une analyse de stabilité linéaire montre cependant que lors de la linéarisation du système général à deux composants

( ∂ t u ∂ t v ) = ( D u 0 0 D v ) ( ∂ x x u ∂ x x v ) + ( F ( u , v ) G ( u , v ) ) {displaystyle {begin{pmatrix}partial _{t}u\partial _{t}vend{pmatrix}}={begin{pmatrix}D_{u}&0\0&D_{v} end{pmatrix}}{begin{pmatrix}partial _{xx}u\partial _{xx}vend{pmatrix}}+{begin{pmatrix}F(u,v)\G( u,v)end{pmatrice}}}

une perturbation d’onde plane

q ~ k ( x , t ) = ( u ~ ( t ) v ~ ( t ) ) e i k ⋅ x {displaystyle {tilde {boldsymbol {q}}}_{boldsymbol {k}}({boldsymbol {x}},t)={begin{pmatrix}{tilde {u}}(t) \{tilde {v}}(t)end{pmatrix}}e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {x}}}}

de la solution homogène stationnaire satisfera

( ∂ t u ~ k ( t ) ∂ t v ~ k ( t ) ) = − k 2 ( D u u ~ k ( t ) D v v ~ k ( t ) ) + R ′ ( u ~ k ( t ) v ~ k ( t ) ) . {displaystyle {begin{pmatrix}partial _{t}{tilde {u}}_{boldsymbol {k}}(t)\partial _{t}{tilde {v}}_{ boldsymbol {k}}(t)end{pmatrix}}=-k^{2}{begin{pmatrix}D_{u}{tilde {u}}_{boldsymbol {k}}(t) \D_{v}{tilde {v}}_{boldsymbol {k}}(t)end{pmatrix}}+{boldsymbol {R}}^{prime }{begin{pmatrix}{ tilde {u}}_{boldsymbol {k}}(t)\{tilde {v}}_{boldsymbol {k}}(t)end{pmatrix}}.}

L’idée de Turing ne peut être réalisée que dans quatre classes d’équivalence de systèmes caractérisés par les signes du jacobien R ′ de la fonction de réaction. En particulier, si un vecteur d’onde fini k est supposé être le plus instable, le jacobien doit avoir les signes

( + − + − ) , ( + + − − ) , ( − + − + ) , ( − − + + ) . {displaystyle {begin{pmatrix}+&-\+&-end{pmatrix}},quad {begin{pmatrix}+&+\-&-end{pmatrix}},quad { begin{pmatrix}-&+\-&+end{pmatrix}},quad {begin{pmatrix}-&-\+&+end{pmatrix}}.}

Cette classe de systèmes est nommée système activateur-inhibiteur du nom de son premier représentant : proche de l’état fondamental, un composant stimule la production des deux composants tandis que l’autre inhibe leur croissance. Son représentant le plus important est l’ équation FitzHugh-Nagumo

∂ t u = d u 2 ∇ 2 u + f ( u ) − σ v , τ ∂ t v = d v 2 ∇ 2 v + u − v {displaystyle {begin{aligned}partial _{t}u&=d_{u}^{2},nabla ^{2}u+f(u)-sigma v,\tau partial _{t}v&=d_{v}^{2},nabla ^{2}v+uvend{aligned}}}

avec f ( u ) = λu − u ³ − κ qui décrit comment un potentiel d’action parcourt un nerf. ^{[11] [12]} Ici, d _u , d _v , τ , σ et λ sont des constantes positives.

Lorsqu’un système activateur-inhibiteur subit un changement de paramètres, on peut passer de conditions dans lesquelles un état fondamental homogène est stable à des conditions dans lesquelles il est linéairement instable. La bifurcation correspondante peut être soit une bifurcation de Hopf vers un état homogène oscillant globalement avec un nombre d’onde dominant k = 0 , soit une bifurcation de Turing vers un état à motifs globaux avec un nombre d’onde fini dominant. Ce dernier en deux dimensions spatiales conduit généralement à des motifs rayés ou hexagonaux.

• Bifurcation de Turing sous-critique : formation d’un motif hexagonal à partir de conditions initiales bruyantes dans le système de réaction-diffusion à deux composants ci-dessus de type Fitzhugh-Nagumo.

• Conditions initiales bruyantes à t = 0.

• État du système à t = 10.

• État presque convergé à t = 100.

Pour l’exemple Fitzhugh – Nagumo, les courbes de stabilité neutre marquant la limite de la région linéairement stable pour la bifurcation de Turing et Hopf sont données par

q n H ( k ) : 1 τ + ( d u 2 + 1 τ d v 2 ) k 2 = f ′ ( u h ) , q n T ( k ) : κ 1 + d v 2 k 2 + d u 2 k 2 = f ′ ( u h ) . {displaystyle {begin{aligned}q_{text{n}}^{H}(k):&{}quad {frac {1}{tau }}+left(d_{u}^ {2}+{frac {1}{tau }}d_{v}^{2}right)k^{2}&=f^{prime }(u_{h}),\[6pt ]q_{text{n}}^{T}(k):&{}quad {frac {kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{ u}^{2}k^{2}&=f^{prime }(u_{h}).end{aligned}}}

Si la bifurcation est sous-critique, des structures souvent localisées ( Solitons dissipatifs ) peuvent être observées dans la région hystérétique où le motif coexiste avec l’état fondamental. D’autres structures fréquemment rencontrées comprennent des trains d’impulsions (également appelés ondes progressives périodiques ), des ondes en spirale et des motifs cibles. Ces trois types de solutions sont également des caractéristiques génériques des équations de réaction-diffusion à deux (ou plus) composantes dans lesquelles la dynamique locale a un cycle limite stable ^[13]

• Autres modèles trouvés dans le système de réaction-diffusion à deux composants ci-dessus de type Fitzhugh-Nagumo.

• Spirale tournante.

• Motif cible.

• Pouls stationnaire localisé (soliton dissipatif).

Équations de réaction-diffusion à trois composants et plus

Pour une variété de systèmes, des équations de réaction-diffusion à plus de deux composants ont été proposées, par exemple la réaction de Belousov-Zhabotinsky , ^[14] pour La coagulation du sang , ^[15] les ondes de fission ^[16] ou les systèmes planaires de Décharge de gaz . ^[17]

Il est connu que les systèmes avec plus de composants permettent une variété de phénomènes impossibles dans les systèmes avec un ou deux composants (par exemple des impulsions stables dans plus d’une dimension spatiale sans rétroaction globale). ^[18] Une introduction et un aperçu systématique des phénomènes possibles en fonction des propriétés du système sous-jacent sont donnés dans. ^[19]

Applications et universalité

Ces derniers temps, les systèmes de réaction-diffusion ont suscité beaucoup d’intérêt en tant que modèle prototype pour la formation de motifs . ^[20] Les modèles mentionnés ci-dessus (fronts, spirales, cibles, hexagones, rayures et Solitons dissipatifs) peuvent être trouvés dans divers types de systèmes de réaction-diffusion malgré de grandes divergences, par exemple dans les termes de réaction locaux. Il a également été avancé que les processus de réaction-diffusion sont une base essentielle des processus liés à la morphogenèse en biologie ^{[21] [22]} et peuvent même être liés au pelage des animaux et à la pigmentation de la peau. ^{[23] [24]} D’autres applications des équations de réaction-diffusion incluent les invasions écologiques, ^[25] la propagation des épidémies,^[26] croissance tumorale, ^{[27] [28] [29]} dynamique des ondes de fission, ^[30] et cicatrisation. ^[31] Une autre raison de l’intérêt des systèmes de réaction-diffusion est que bien qu’il s’agisse d’équations aux dérivées partielles non linéaires, il existe souvent des possibilités de traitement analytique. ^{[8] [9] [32] [33] [34] [20]}

Expériences

Des expériences bien contrôlables dans les systèmes de réaction-diffusion chimique ont jusqu’à présent été réalisées de trois manières. Tout d’abord, des réacteurs à gel ^[35] ou des tubes capillaires remplis ^[36] peuvent être utilisés. Deuxièmement, les impulsions de température sur les surfaces catalytiques ont été étudiées. ^{[37] [38]} Troisièmement, la propagation des impulsions nerveuses en cours d’exécution est modélisée à l’aide de systèmes de réaction-diffusion. ^{[11] [39]}

Outre ces exemples génériques, il s’est avéré que dans des circonstances appropriées, les systèmes de transport électrique comme les plasmas ^[40] ou les semi-conducteurs ^[41] peuvent être décrits dans une approche de réaction-diffusion. Pour ces systèmes, diverses expériences sur la formation de motifs ont été réalisées.

Traitements numériques

Un système de réaction-diffusion peut être résolu en utilisant des méthodes de Mathématiques numériques . Il existe plusieurs traitements numériques dans la littérature de recherche. ^{[42] [20] [43]} Aussi pour les géométries complexes, des méthodes de résolution numérique sont proposées. ^{[44] [45]} Au plus haut degré de détail, les systèmes de réaction-diffusion sont décrits avec des outils de simulation basés sur des particules comme SRSim ou ReaDDy ^[46] qui utilisent par exemple une dynamique de réaction de particules en interaction réversible. ^[47]

Voir également

• Autowave
• Réaction contrôlée par diffusion
• Cinétique chimique
• Méthode de l’espace des phases
• Réactions autocatalytiques et création de commandes
• Formation de motifs
• Motifs dans la nature
• Onde progressive périodique
• Géométrie stochastique
• MClone
• La base chimique de la morphogenèse
• Modèle de Turing
• Modélisation multi-états de biomolécules

Exemples

• L’équation de Fisher
• Équation de Fisher-Kolmogorov
• Modèle FitzHugh-Nagumo
• Peinture anti-rides

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Liens externes

• Réaction – Diffusion par le modèle Gray – Scott: paramétrisation de Pearson une carte visuelle de l’espace des paramètres de diffusion de la réaction Gray – Scott.
• Une thèse sur les schémas de réaction-diffusion avec un aperçu du domaine