Singularité (mathématiques)

En mathématiques , une singularité est un point auquel un objet mathématique donné n’est pas défini, ou un point où l’objet mathématique cesse de se comporter correctement d’une manière particulière, par exemple en manquant de différentiabilité ou d’ analyticité . ^{[1] [2] [3]}

Par exemple, la fonction réelle

f ( x ) = 1 x {displaystyle f(x)={frac {1}{x}}} ${displaystyle f(x)={frac {1}{x}}}$

a une singularité à x = 0 {displaystyle x=0} x=0 , où la valeur numérique de la fonction approche ± ∞ {displaystyle pm infty} donc la fonction n’est pas définie. La fonction valeur absolue g ( x ) = | x | {displaystyle g(x)=|x|} a aussi une singularité à x = 0 {displaystyle x=0} x=0 , puisqu’il n’y est pas dérivable . ^[4]

La courbe algébrique définie par { ( x , y ) : y 3 − x 2 = 0 } {displaystyle left{(x,y):y^{3}-x^{2}=0right}} ${displaystyle left{(x,y):y^{3}-x^{2}=0right}}$ dans le ( x , y ) {displaystyle (x,y)} (x, y) le système de coordonnées a une singularité (appelée cuspide ) à ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} (0,0) . Pour les singularités en géométrie algébrique , voir point singulier d’une variété algébrique . Pour les singularités en géométrie différentielle , voir la théorie des singularités .

Analyse réelle

En analyse réelle , les singularités sont soit des discontinuités , soit des discontinuités de la dérivée (parfois aussi des discontinuités de dérivées d’ordre supérieur). Il existe quatre types de discontinuités : le type I , qui a deux sous-types, et le type II , qui peut également être divisé en deux sous-types (bien que ce ne soit généralement pas le cas).

Pour décrire la manière dont ces deux types de limites sont utilisées, supposons que f ( x ) {displaystyle f(x)} f(x) est une fonction d’un argument réel x {style d’affichage x} , et pour toute valeur de son argument, disons c {displaystyle c} , puis la limite gauche , f ( c − ) {displaystyle f(c^{-})} $f(c^{-})$ $f(c^{-})$ , et la limite à droite , f ( c + ) {displaystyle f(c^{+})} $f(c^{+})$ $f(c^{+})$ , sont définis par :

f ( c − ) = lim x → c f ( x ) {displaystyle f(c^{-})=lim _{xto c}f(x)} $f(c^{-})=lim _{{xto c}}f(x)$ $f(c^{-})=lim _{{xvers c}}f(x)$ , contraint par x < c {displaystyle x<c} x<c et f ( c + ) = lim x → c f ( x ) {displaystyle f(c^{+})=lim _{xto c}f(x)} $f(c^{+})=lim _{{xto c}}f(x)$ $f(c^{+})=lim _{{xvers c}}f(x)$ , contraint par x > c {displaystyle x>c} x>c .

La valeur f ( c − ) {displaystyle f(c^{-})} $f(c^{-})$ $f(c^{-})$ est la valeur que la fonction f ( x ) {displaystyle f(x)} f(x) tend vers la valeur x {style d’affichage x} approches c {displaystyle c} d’ en bas , et la valeur f ( c + ) {displaystyle f(c^{+})} $f(c^{+})$ $f(c^{+})$ est la valeur que la fonction f ( x ) {displaystyle f(x)} f(x) tend vers la valeur x {style d’affichage x} approches c {displaystyle c} d’en haut , quelle que soit la valeur réelle de la fonction au point où x = c {displaystyle x=c} x=c .

Il existe certaines fonctions pour lesquelles ces limites n’existent pas du tout. Par exemple, la fonction

g ( x ) = sin ⁡ ( 1 x ) {displaystyle g(x)=sin left({frac {1}{x}}right)} $g(x)=sin left({frac {1}{x}}right)$ $g(x)=sin left({frac {1}{x}}right)$

ne tend vers rien comme x {style d’affichage x} approches c = 0 {displaystyle c=0} c=0 . Les limites dans ce cas ne sont pas infinies, mais plutôt indéfinies : il n’y a pas de valeur qui g ( x ) {displaystyle g(x)} g(x) s’installe sur. Empruntant à l’analyse complexe, on parle parfois de singularité essentielle .

Les cas possibles à une valeur donnée c {displaystyle c} pour l’argument sont les suivants.

Un point de continuité est une valeur de c {displaystyle c} Pour qui f ( c − ) = f ( c ) = f ( c + ) {displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})} $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ , comme on s’y attend pour une fonction lisse. Toutes les valeurs doivent être finies. Si c {displaystyle c} n’est pas un point de continuité, alors une discontinuité se produit à c {displaystyle c} .
Une discontinuité de type I se produit lorsque les deux f ( c − ) {displaystyle f(c^{-})} et f ( c + ) {displaystyle f(c^{+})} existent et sont finis, mais au moins une des trois conditions suivantes s’applique également :
- f ( c − ) ≠ f ( c + ) {displaystyle f(c^{-})neq f(c^{+})} $f(c^{-})neq f(c^{+})$ $f(c^{-})neq f(c^{+})$ ;
- f ( x ) {displaystyle f(x)} n’est pas défini pour le cas de x = c {displaystyle x=c} ; ou alors
- f ( c ) {displaystyle f(c)} a une valeur définie, qui, cependant, ne correspond pas à la valeur des deux limites.
Les discontinuités de type I peuvent en outre être distinguées comme étant l’un des sous-types suivants :
- Une Discontinuité de saut se produit lorsque f ( c − ) ≠ f ( c + ) {displaystyle f(c^{-})neq f(c^{+})} $f(c^{-})neq f(c^{+})$ , indépendamment du fait que f ( c ) {displaystyle f(c)} est défini, et quelle que soit sa valeur s’il est défini.
- Une discontinuité amovible se produit lorsque f ( c − ) = f ( c + ) {displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})} $f(c^{-})=f(c^{+})$ $f(c^{-})=f(c^{+})$ , également indépendamment du fait que f ( c ) {displaystyle f(c)} est définie, et quelle que soit sa valeur si elle est définie (mais qui ne correspond pas à celle des deux bornes).
Une discontinuité de type II se produit lorsque soit f ( c − ) {displaystyle f(c^{-})} ou alors f ( c + ) {displaystyle f(c^{+})} n’existe pas (éventuellement les deux). Cela a deux sous-types, qui ne sont généralement pas considérés séparément :
- Une discontinuité infinie est le cas particulier où la limite gauche ou droite n’existe pas, en particulier parce qu’elle est infinie, et que l’autre limite est soit également infinie, soit un nombre fini bien défini. En d’autres termes, la fonction a une discontinuité infinie lorsque son graphe a une Asymptote verticale .
- Une singularité essentielle est un terme emprunté à l’analyse complexe (voir ci-dessous). C’est le cas lorsque l’une ou l’autre des limites f ( c − ) {displaystyle f(c^{-})} $f(c^{-})$ $f(c^{-})$ ou alors f ( c + ) {displaystyle f(c^{+})} $f(c^{+})$ $f(c^{+})$ n’existe pas, mais pas parce que c’est une discontinuité infinie . Les singularités essentielles n’approchent aucune limite, même si les réponses valides sont étendues pour inclure ± ∞ {displaystyle pm infty} .

Dans l’analyse réelle, une singularité ou discontinuité est une propriété d’une fonction seule. Toute singularité pouvant exister dans la dérivée d’une fonction est considérée comme appartenant à la dérivée et non à la fonction d’origine.

Coordonner les singularités

Une singularité de coordonnées se produit lorsqu’une singularité ou une discontinuité apparente se produit dans un cadre de coordonnées, qui peut être supprimée en choisissant un cadre différent. Un exemple de ceci est la singularité apparente à la latitude de 90 degrés en Coordonnées sphériques . Un objet se déplaçant plein nord (par exemple, le long de la ligne 0 degrés de longitude) sur la surface d’une sphère subira soudainement un changement instantané de longitude au pôle (dans le cas de l’exemple, sautant de la longitude 0 à la longitude 180 degrés) . Cette discontinuité, cependant, n’est qu’apparente ; c’est un artefact du système de coordonnées choisi, qui est singulier aux pôles. Un système de coordonnées différent éliminerait la discontinuité apparente (par exemple, en remplaçant la représentation latitude/longitude par unen -représentation vectorielle ).

Analyse complexe

En analyse complexe , il existe plusieurs classes de singularités. Ceux-ci incluent les singularités isolées, les singularités non isolées et les points de branchement.

Singularités isolées

Learn more.

Isomorphisme

Jul 14, 2022

Stratégie d’évaluation

Jul 12, 2022

Premier article sur la théorie des ensembles de Cantor

Jul 12, 2022

Énergie gravitationnelle

Jul 9, 2022

Supposons que U est un sous- ensemble ouvert des nombres complexes C , le point a étant un élément de U , et que f est une fonction différentiable complexe définie sur un voisinage autour de a , à l’exclusion de a : U { a }, alors :

Le point a est une singularité amovible de f s’il existe une fonction holomorphe g définie sur tout U telle que f ( z ) = g ( z ) pour tout z dans U { a }. La fonction g est un remplacement continu de la fonction f . ^[5]
Le point a est un pôle ou une singularité non essentielle de f s’il existe une fonction holomorphe g définie sur U avec g ( a ) non nul, et un entier naturel n tel que f ( z ) = g ( z ) / ( z − a ) ⁿ pour tout z dans U { a }. Le plus petit nombre n est appelé l’ ordre du pôle. La dérivée à une singularité non essentielle elle-même a une singularité non essentielle, avec n augmenté de 1 (sauf si n vaut 0 pour que la singularité soit amovible).
Le point a est une singularité essentielle de f s’il n’est ni une singularité amovible ni un pôle. Le point a est une singularité essentielle si et seulement si la série de Laurent possède une infinité de puissances de degré négatif. ^[1]

Singularités non isolées

Outre les singularités isolées, les fonctions complexes d’une variable peuvent présenter un autre comportement singulier. Celles-ci sont appelées singularités non isolées, dont il existe deux types :

Points de cluster : Points limites de singularités isolées. S’ils sont tous des pôles, malgré l’admission d’expansions en série de Laurent sur chacun d’eux, alors aucune telle expansion n’est possible à sa limite.
Frontières naturelles : tout ensemble non isolé (par exemple une courbe) sur lequel les fonctions ne peuvent pas être poursuivies analytiquement autour (ou en dehors d’elles s’il s’agit de courbes fermées dans la sphère de Riemann ).

Branches

Les points de branchement sont généralement le résultat d’une fonction à plusieurs valeurs , telle que z {displaystyle {sqrt {z}}} sqrt{z} ou alors log ⁡ ( z ) {displaystyle log(z)} log(z) , qui sont définis dans un certain domaine limité afin que la fonction puisse être rendue à valeur unique dans le domaine. La coupe est une ligne ou une courbe exclue du domaine pour introduire une séparation technique entre les valeurs discontinues de la fonction. Lorsque la coupe est réellement requise, la fonction aura des valeurs nettement différentes de chaque côté de la branche coupée. La forme de la branche coupée est une question de choix, même si elle doit relier deux points de branche différents (tels que z = 0 {style d’affichage z=0} z=0 et z = ∞ {displaystyle z=infty} z=infty pour log ⁡ ( z ) {displaystyle log(z)} log(z) ) qui sont fixés en place.

Singularité en temps fini

La Fonction réciproque , présentant une croissance hyperbolique .

Une singularité à temps fini se produit lorsqu’une variable d’entrée est le temps et qu’une variable de sortie augmente vers l’infini à un temps fini. Celles-ci sont importantes en Cinématique et en PDE – les infinis ne se produisent pas physiquement, mais le comportement près de la singularité est souvent intéressant. Mathématiquement, les singularités à temps fini les plus simples sont des lois de puissance pour divers exposants de la forme x − α , {displaystyle x^{-alpha },} $x^{{-alpha }},$ $x^{{-alpha }},$ dont la plus simple est la croissance hyperbolique , où l’exposant est (négatif) 1 : x − 1 . {displaystyle x^{-1}.} $x^{{-1}}.$ $x^{{-1}}.$ Plus précisément, afin d’obtenir une singularité à un temps positif à mesure que le temps avance (donc la sortie croît à l’infini), on utilise à la place ( t 0 − t ) − α {displaystyle (t_{0}-t)^{-alpha }} $(t_{0}-t)^{{-alpha }}$ $(t_{0}-t)^{{-alpha }}$ (en utilisant t pour le temps, en inversant le sens pour − t {displaystyle -t} de sorte que le temps augmente à l’infini, et en déplaçant la singularité vers l’avant de 0 à un temps fixe t 0 {displaystyle t_{0}} $t_{0}$ $t_{0}$ ).

Un exemple serait le mouvement de rebond d’une balle inélastique sur un avion. Si l’on considère un mouvement idéalisé, dans lequel la même fraction d’ énergie cinétique est perdue à chaque rebond, la fréquence des rebonds devient infinie, car la balle s’immobilise en un temps fini. D’autres exemples de singularités à temps fini incluent les diverses formes du paradoxe de Painlevé (par exemple, la tendance d’une craie à sauter lorsqu’elle est traînée sur un tableau noir), et comment le taux de précession d’une pièce tournée sur une surface plane s’accélère vers l’infini – avant de s’arrêter brusquement (comme étudié à l’aide du jouet Disque d’Euler ).

Des exemples hypothétiques incluent la facétieuse « équation de la fin du monde » de Heinz von Foerster (des modèles simplistes donnent une population humaine infinie en un temps fini).

Géométrie algébrique et algèbre commutative

En géométrie algébrique , une singularité d’une variété algébrique est un point de la variété où l’ espace tangent peut ne pas être régulièrement défini. L’exemple le plus simple de singularités sont les courbes qui se croisent. Mais il existe d’autres types de singularités, comme les cuspides . Par exemple, l’équation y ² − x ³ = 0 définit une courbe qui a une cuspide à l’origine x = y = 0 . On pourrait définir l’ axe des x comme une tangente en ce point, mais cette définition ne peut pas être la même que la définition en d’autres points. En fait, dans ce cas, le x-axis est une “double tangente”.

Pour les variétés affines et projectives , les singularités sont les points où la Matrice jacobienne a un rang inférieur aux autres points de la variété.

Une définition équivalente en termes d’ algèbre commutative peut être donnée, qui s’étend aux variétés abstraites et aux schémas : Un point est singulier si l’ anneau local en ce point n’est pas un anneau local régulier .

Voir également

Théorie des catastrophes
Défini et indéfini
Dégénérescence (mathématiques)
Division par zéro
Croissance hyperbolique
Pathologique (mathématiques)
Solution unique
Singularité amovible

Références

^ ^un ^b “Singularités, Zéros et Pôles” . mathfaculty.fullerton.edu . Récupéré le 12/12/2019 .
^ “Singularité | fonctions complexes” . Encyclopédie Britannica . Récupéré le 12/12/2019 .
^ “Singularité (mathématiques)” . TheFreeDictionary.com . Récupéré le 12/12/2019 .
^ Berresford, Geoffrey C.; Rockett, Andrew M. (2015). Calcul appliqué . Cengage Apprentissage. p. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.
^ Weisstein, Eric W. “Singularité” . mathworld.wolfram.com . Récupéré le 12/12/2019 .