Représentation décimale

Une représentation décimale d’un nombre réel Non négatif r est son expression sous la forme d’une séquence de symboles constitués de chiffres décimaux traditionnellement écrits avec un seul séparateur :

r = b k b k − 1 … b 0 . a 1 a 2 … {displaystyle r=b_{k}b_{k-1}ldots b_{0}.a_{1}a_{2}ldots } ${displaystyle r=b_{k}b_{k-1}ldots b_{0}.a_{1}a_{2}ldots }$

Ici . est le séparateur décimal , k est un Entier non négatif , et b 0 , … , b k , a 1 , a 2 , … {displaystyle b_{0},ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},ldots } ${displaystyle b_{0},ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},ldots }$ sont des chiffres , qui sont des symboles représentant des nombres entiers dans la plage 0, …, 9.

Communément, b k ≠ 0 {displaystyle b_{k}neq 0} ${displaystyle b_{k}neq 0}$ si k > 1. {displaystyle k>1.} La séquence de la a i {displaystyle a_{i}} $un_{je}$ —les chiffres après le point—est généralement infini . S’il est fini, les chiffres manquants sont supposés être 0. Si tous a i {displaystyle a_{i}} $un_{je}$ sont 0 , le séparateur est également omis, ce qui donne une séquence finie de chiffres, qui représente un nombre naturel .

La représentation décimale représente la somme infinie :

r = ∑ i = 0 k b i 10 i + ∑ i = 1 ∞ a i 10 i . {displaystyle r=sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+sum _{i=1}^{infty}{frac {a_{i}}{ 10^{i}}}.} ${displaystyle r=sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+sum _{i=1}^{infty}{frac {a_{i}}{ 10^{i}}}.}$

Chaque nombre réel Non négatif a au moins une telle représentation ; il a deux telles représentations (avec b k ≠ 0 {displaystyle b_{k}neq 0} ${displaystyle b_{k}neq 0}$ si k > 0 {displaystyle k>0} k>0 ) si et seulement si l’un a une suite infinie de 0 , et l’autre a une suite infinie de 9 . Pour avoir une correspondance un à un entre les nombres réels non négatifs et les représentations décimales, les représentations décimales avec une séquence infinie de 9 à la fin sont parfois exclues. ^[1]

Le nombre naturel ∑ i = 0 k b i 10 i {displaystyle sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}} ${displaystyle sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$ , est appelé la partie entière de r , et est noté _{0 dans}la suite de cet article. La séquence de la a i {displaystyle a_{i}} $un_{je}$ représente le nombre

0. a 1 a 2 … = ∑ i = 1 ∞ a i 10 i , {displaystyle 0.a_{1}a_{2}ldots =sum _{i=1}^{infty }{frac {a_{i}}{10^{i}}},} ${displaystyle 0.a_{1}a_{2}ldots =sum _{i=1}^{infty }{frac {a_{i}}{10^{i}}},}$

qui appartient à l’ intervalle [ 0 , 1 ) , {displaystyle [0,1),} [0,1), et s’appelle la partie fractionnaire de r (sauf quand tout un je {displaystyle a_{i}} $un_{je}$ sont 9 ).

Approximations décimales finies

Tout nombre réel peut être approximé à n’importe quel degré de précision souhaité par des nombres rationnels avec des représentations décimales finies.

Présumer X ≥ 0 {displaystyle xgeq 0} xgeq 0 . Alors pour tout entier n ≥ 1 {displaystyle ngeq 1} ngeq 1 il existe un nombre décimal fini r n = un 0 . un 1 un 2 ⋯ a n {displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}cdots a_{n}} $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}cdots a_{n}$ $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}cdots a_{n}$ tel que:

r n ≤ x < r n + 1 10 n . {displaystyle r_{n}leq x<r_{n}+{frac {1}{10^{n}}}.} ${displaystyle r_{n}leq x<r_{n}+{frac {1}{10^{n}}}.}$ ${displaystyle r_{n}leq x<r_{n}+{frac {1}{10^{n}}}.}$

Preuve :

Laisser r n = p 10 n {displaystyle r_{n}=textstyle {frac {p}{10^{n}}}} $r_{n}=textstyle {frac {p}{10^{n}}}$ $r_{n}=textstyle {frac {p}{10^{n}}}$ , où p = ⌊ 10 n x ⌋ {displaystyle p=létage 10^{n}xrétage } $p=lfloor 10^{n}xrfloor$ $p=létage 10^{n}xrétage$ . Puis p ≤ 10 n x < p + 1 {displaystyle pleq 10^{n}x<p+1} $pleq 10^{n}x<p+1$ $pleq 10^{n}x<p+1$ , et le résultat découle de la division de tous les côtés par 10 n {displaystyle 10^{n}} $10^{n}$ $10^{n}$ . (Le fait que r n {displaystyle r_{n}} $r_{n}$ $r_{n}$ a une représentation décimale finie est facile à établir.)

Non-unicité de la représentation décimale et des conventions de notation

Quelques chiffres réels x {style d’affichage x} ont deux représentations décimales infinies. Par exemple, le nombre 1 peut être représenté de la même manière par 1,000… que par 0,999… (où les séquences infinies de 0 ou de 9 de fin, respectivement, sont représentées par “…”). Classiquement, la représentation décimale sans 9 à la fin est préférée. De plus, dans la représentation décimale standard de x {style d’affichage x} , une séquence infinie de 0 de fin apparaissant après l’ omission de la virgule décimale, ainsi que la virgule décimale elle-même si x {style d’affichage x} est un entier.

Certaines procédures de construction du développement décimal de x {style d’affichage x} évitera le problème des 9 à la fin. Par exemple, la procédure algorithmique suivante donnera la représentation décimale standard : Étant donné x ≥ 0 {displaystyle xgeq 0} xgeq 0 , on définit d’abord a 0 {displaystyle a_{0}} $a_{0}$ $un_{0}$ (la partie entière de x {style d’affichage x} ) est le plus grand entier tel que a 0 ≤ x {displaystyle a_{0}leq x} ${displaystyle a_{0}leq x}$ ${displaystyle a_{0}leq x}$ (c’est à dire, a 0 = ⌊ x ⌋ {displaystyle a_{0}=létage xrétage } ${displaystyle a_{0}=lfloor xrfloor }$ ${displaystyle a_{0}=létage xrétage }$ ). Si x = a 0 {displaystyle x=a_{0}} ${displaystyle x=a_{0}}$ ${displaystyle x=a_{0}}$ la procédure se termine. Sinon, pour ( a i ) i = 0 k − 1 {textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}} ${textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ ${textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ déjà trouvé, nous définissons a k {displaystyle a_{k}} $a_{k}$ $un_{k}$ inductivement le plus grand entier tel que :

a 0 + a 1 10 + a 2 10 2 + ⋯ + a k 10 k ≤ x . ( ∗ ) {displaystyle a_{0}+{frac {a_{1}}{10}}+{frac {a_{2}}{10^{2}}}+cdots +{frac {a_{k }}{10^{k}}}leq x.quad quad (*)} ${displaystyle a_{0}+{frac {a_{1}}{10}}+{frac {a_{2}}{10^{2}}}+cdots +{frac {a_{k}}{10^{k}}}leq x.quad quad (*)}$ ${displaystyle a_{0}+{frac {a_{1}}{10}}+{frac {a_{2}}{10^{2}}}+cdots +{frac {a_{k }}{10^{k}}}leq x.quad quad (*)}$

La procédure prend fin dès que a k {displaystyle a_{k}} $a_{k}$ $un_{k}$ se trouve tel que l’égalité soit vraie dans ( ∗ ) {displaystyle (*)} (*) ; sinon, il continue indéfiniment à donner une séquence infinie de chiffres décimaux. On peut montrer que x = sup k { ∑ i = 0 k a i 10 i } {textstyle x=sup _{k}{sum _{i=0}^{k}{frac {a_{i}}{10^{i}}}}} ${textstyle x=sup _{k}{sum _{i=0}^{k}{frac {a_{i}}{10^{i}}}}}$ ${textstyle x=sup _{k}{sum _{i=0}^{k}{frac {a_{i}}{10^{i}}}}}$ ^[2] (conventionnellement écrit comme x = a 0 . a 1 a 2 a 3 ⋯ {displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}cdots } ${displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}cdots }$ ${displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}cdots }$ ), où a 1 , a 2 , a 3 … ∈ { 0 , 1 , 2 , … , 9 } , {displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}ldots in {0,1,2,ldots ,9},} ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}ldots in {0,1,2,ldots ,9},}$ ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}ldots in {0,1,2,ldots ,9},}$ et l’Entier non négatif a 0 {displaystyle a_{0}} $a_{0}$ $a_{0}$ est représenté en Notation décimale . Cette construction est étendue à x < 0 {style d’affichage x<0} x<0 en appliquant la procédure ci-dessus à − x > 0 {displaystyle -x>0} et en désignant le développement décimal résultant par − a 0 . a 1 a 2 a 3 ⋯ {displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}cdots } ${displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}cdots }$ ${displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}cdots }$ .

Représentations décimales finies

Le développement décimal du nombre réel Non négatif x se terminera par des zéros (ou des neufs) si, et seulement si, x est un nombre rationnel dont le dénominateur est de la forme 2 ⁿ 5 ^m , où m et n sont des entiers non négatifs .

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Preuve :

Si le développement décimal de x se termine par des zéros, ou x = ∑ i = 0 n a i 10 i = ∑ i = 0 n 10 n − i a i / 10 n {displaystyle x=sum _{i=0}^{n}{frac {a_{i}}{10^{i}}}=sum _{i=0}^{n}10^{ ni}a_{i}/10^{n}} $x=sum _{i=0}^{n}{frac {a_{i}}{10^{i}}}=sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}$ $x=sum _{i=0}^{n}{frac {a_{i}}{10^{i}}}=sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}$ pour un certain n , alors le dénominateur de x est de la forme 10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ .

Inversement, si le dénominateur de x est de la forme 2 ⁿ 5 ^m , x = p 2 n 5 m = 2 m 5 n p 2 n + m 5 n + m = 2 m 5 n p 10 n + m {displaystyle x={frac {p}{2^{n}5^{m}}}={frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5 ^{n+m}}}={frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}} $x={frac {p}{2^{n}5^{m}}}={frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ pour certains p . Alors que x est de la forme p 10 k {displaystyle textstyle {frac {p}{10^{k}}}} $textstyle {frac {p}{10^{k}}}$ $textstyle {frac {p}{10^{k}}}$ , p = ∑ i = 0 n 10 i a i {displaystyle p=sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}} $p=sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ $p=sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ pour certains n . Par x = ∑ i = 0 n 10 n − i a i / 10 n = ∑ i = 0 n a i 10 i {displaystyle x=sum _{i=0}^{n}10^{ni}a_{i}/10^{n}=sum _{i=0}^{n}{frac {a_ {i}}{10^{i}}}} $x=sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=sum _{i=0}^{n}{frac {a_{i}}{10^{i}}}$ $x=sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=sum _{i=0}^{n}{frac {a_{i}}{10^{i}}}$ , x se terminera par des zéros.

Représentations décimales répétitives

Certains nombres réels ont des développements décimaux qui finissent par entrer dans des boucles, répétant à l’infini une séquence d’un ou plusieurs chiffres :

¹ / ₃ = 0,33333… ¹ / ₇ = 0,142857142857… ¹³¹⁸ / ₁₈₅ = 7.1243243243…

Chaque fois que cela se produit, le nombre est toujours un nombre rationnel (c’est-à-dire qu’il peut alternativement être représenté comme un rapport entre un entier et un entier positif). L’inverse est également vrai : le développement décimal d’un nombre rationnel est soit fini, soit se répète sans fin.

Conversion en fraction

Chaque représentation décimale d’un nombre rationnel peut être convertie en une fraction en la convertissant en une somme des parties entières, non répétitives et répétitives, puis en convertissant cette somme en une seule fraction avec un dénominateur commun.

Par exemple pour convertir ± 8.123 4567 ̄ {textstyle pm 8.123{overline {4567}}} à une fraction on note le lemme :

0.000 4567 ̄ = 4567 × 0.000 0001 ̄ = 4567 × 0. 0001 ̄ × 1 10 3 = 4567 × 1 9999 × 1 10 3 = 4567 9999 × 1 10 3 = 4567 ( 10 4 − 1 ) × 10 3 The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4). {displaystyle {begin{aligned}0.000{overline {4567}}&=4567times 0.000{overline {0001}}\&=4567times 0.{overline {0001}}times { frac {1}{10^{3}}}\&=4567times {frac {1}{9999}}times {frac {1}{10^{3}}}\&={ frac {4567}{9999}}times {frac {1}{10^{3}}}\&={frac {4567}{(10^{4}-1)times 10^{ 3}}}&{text{Les exposants sont le nombre de chiffres non répétitifs après la virgule décimale (3) et le nombre de chiffres répétitifs (4).}}end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}0.000{overline {4567}}&=4567times 0.000{overline {0001}}\&=4567times 0.{overline {0001}}times {frac {1}{10^{3}}}\&=4567times {frac {1}{9999}}times {frac {1}{10^{3}}}\&={frac {4567}{9999}}times {frac {1}{10^{3}}}\&={frac {4567}{(10^{4}-1)times 10^{3}}}&{text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}0.000{overline {4567}}&=4567times 0.000{overline {0001}}\&=4567times 0.{overline {0001}}times {frac {1}{10^{3}}}\&=4567times {frac {1}{9999}}times {frac {1}{10^{3}}}\&={frac {4567}{9999}}times {frac {1}{10^{3}}}\&={frac {4567}{(10^{4}-1)times 10^{3}}}&{text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}end{aligned}}}$

Ainsi on convertit comme suit :

± 8.123 4567 ̄ = ± ( 8 + 123 10 3 + 4567 ( 10 4 − 1 ) × 10 3 ) from above = ± 8 × ( 10 4 − 1 ) × 10 3 + 123 × ( 10 4 − 1 ) + 4567 ( 10 4 − 1 ) × 10 3 common denominator = ± 81226444 9999000 multiplying, and summing the numerator = ± 20306611 2499750 reducing {displaystyle {begin{aligned}pm 8.123{overline {4567}}&=pm left(8+{frac {123}{10^{3}}}+{frac {4567}{ (10^{4}-1)times 10^{3}}}right)&{text{from above}}\&=pm {frac {8times (10^{4}- 1)fois 10^{3}+123fois (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)fois 10^{3}}}&{text{commun dénominateur}}\&=pm {frac {81226444}{9999000}}&{text{multiplication et addition du numérateur}}\&=pm {frac {20306611}{2499750}}&{ text{réduction}}\end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}pm 8.123{overline {4567}}&=pm left(8+{frac {123}{10^{3}}}+{frac {4567}{(10^{4}-1)times 10^{3}}}right)&{text{from above}}\&=pm {frac {8times (10^{4}-1)times 10^{3}+123times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)times 10^{3}}}&{text{common denominator}}\&=pm {frac {81226444}{9999000}}&{text{multiplying, and summing the numerator}}\&=pm {frac {20306611}{2499750}}&{text{reducing}}\end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}pm 8.123{overline {4567}}&=pm left(8+{frac {123}{10^{3}}}+{frac {4567}{(10^{4}-1)times 10^{3}}}right)&{text{from above}}\&=pm {frac {8times (10^{4}-1)times 10^{3}+123times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)times 10^{3}}}&{text{common denominator}}\&=pm {frac {81226444}{9999000}}&{text{multiplying, and summing the numerator}}\&=pm {frac {20306611}{2499750}}&{text{reducing}}\end{aligned}}}$

S’il n’y a pas de chiffres répétés, on suppose qu’il y a un 0 qui se répète indéfiniment, par exemple 1.9 = 1.9 0 ̄ {displaystyle 1.9=1.9{overline {0}}} , bien que puisque cela rend le terme répétitif nul, la somme se simplifie en deux termes et une conversion plus simple.

Par example:

± 8.1234 = ± ( 8 + 1234 10 4 ) = ± 8 × 10 4 + 1234 10 4 common denominator = ± 81234 10000 multiplying, and summing the numerator = ± 40617 5000 reducing {displaystyle {begin{aligned}pm 8.1234&=pm left(8+{frac {1234}{10^{4}}}right)&\&=pm {frac {8 times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{text{dénominateur commun}}\&=pm {frac {81234}{10000}}&{text{multiplication, et en additionnant le numérateur}}\&=pm {frac {40617}{5000}}&{text{reducing}}\end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}pm 8.1234&=pm left(8+{frac {1234}{10^{4}}}right)&\&=pm {frac {8times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{text{common denominator}}\&=pm {frac {81234}{10000}}&{text{multiplying, and summing the numerator}}\&=pm {frac {40617}{5000}}&{text{reducing}}\end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}pm 8.1234&=pm left(8+{frac {1234}{10^{4}}}right)&\&=pm {frac {8times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{text{common denominator}}\&=pm {frac {81234}{10000}}&{text{multiplying, and summing the numerator}}\&=pm {frac {40617}{5000}}&{text{reducing}}\end{aligned}}}$

Voir également

Décimal
Série (mathématiques)
IEEE 754
Simon Stevin

Références

^ Knuth, Donald Ervin (1973). L’art de la programmation informatique . Vol. 1 : Algorithmes fondamentaux. Addison-Wesley . p. 21.
^ Rudin, Walter (1976). Principes d’analyse mathématique . New York : McGraw Hill . p. 11. ISBN 0-07-054235-X.

Lectures complémentaires

Apostol, Tom (1974). Analyse mathématique (deuxième éd.). Addison-Wesley .
Savard, John JG (2018) [2006]. “Représentations décimales” . quadibloc . Archivé de l’original le 2018-07-16 . Récupéré le 16/07/2018 .