Mathématiques

Les mathématiques (du grec ancien μάθημα ( máthēma ) « connaissance, étude, apprentissage ») sont un domaine de connaissances qui comprend l’étude de sujets tels que les nombres ( arithmétique et théorie des nombres ), ^[1] les formules et les structures associées ( algèbre ), ^{[ 2]} les formes et les espaces dans lesquels elles sont contenues ( géométrie ), ^[1] et les quantités et leurs évolutions ( calcul et analyse ). ^{[3] [4] [5]} Il n’y a pas de consensus général sur sa portée exacte ou son statut épistémologique . ^{[6] [7]}

Euclide , ^{mathématicien} grec du IIIe siècle av . _

La majeure partie de l’activité mathématique consiste à découvrir et à prouver (par un raisonnement pur) des propriétés d’ objets abstraits . Ces objets sont soit des abstractions de la nature (comme les nombres naturels ou les droites ), soit (en mathématiques modernes) des entités abstraites dont certaines propriétés, appelées axiomes , sont stipulées. Une preuve consiste en une succession d’applications de certaines règles déductives à des résultats déjà connus, y compris des théorèmes précédemment prouvés , des axiomes et (en cas d’abstraction de la nature) certaines propriétés de base qui sont considérées comme de véritables points de départ de la théorie considérée. Le résultat d’une preuve s’appelle unthéorème .

Les mathématiques sont largement utilisées en science pour modéliser des phénomènes. Cela permet d’extraire des prédictions quantitatives à partir de lois expérimentales. Par exemple, le mouvement des planètes peut être prédit avec une grande précision en utilisant La loi de la gravitation de Newton combinée à des calculs mathématiques. L’indépendance de la vérité mathématique vis-à-vis de toute expérimentation implique que l’exactitude de telles prédictions ne dépende que de l’adéquation du modèle à décrire la réalité. Ainsi, lorsque des prédictions inexactes surviennent, cela signifie que le modèle doit être amélioré ou modifié, et non que les mathématiques sont erronées. Par exemple, la Précession du périhélie de Mercure ne peut pas être expliquée par La loi de la gravitation de Newton, mais est expliquée avec précision parLa relativité générale d’ Einstein . Cette validation expérimentale de la théorie d’Einstein montre que La loi de la gravitation de Newton n’est qu’une approximation (ce qui est encore très précis dans la vie de tous les jours).

Les mathématiques sont essentielles dans de nombreux domaines, notamment les Sciences naturelles , l’ingénierie , la médecine , la finance , l’informatique et les Sciences sociales . Certains domaines des mathématiques, comme les statistiques et la théorie des jeux , sont développés en corrélation directe avec leurs applications, et sont souvent regroupés sous le nom de mathématiques appliquées . D’autres domaines mathématiques sont développés indépendamment de toute application (et sont donc appelés mathématiques pures ), mais les applications pratiques sont souvent découvertes plus tard. ^{[8] [9]} Un bon exemple est le problème dela factorisation entière , qui remonte à Euclide , mais qui n’avait pas d’application pratique avant son utilisation dans le Cryptosystème RSA (pour la sécurité des réseaux informatiques ).

Les mathématiques sont une activité humaine depuis aussi loin que des documents écrits existent. Cependant, le concept de « preuve » et sa « Rigueur mathématique » associée sont apparus pour la première fois dans les mathématiques grecques , notamment dans les Éléments d’ Euclide . ^[10] Les mathématiques se sont développées à un rythme relativement lent jusqu’à la Renaissance , lorsque l’algèbre et le Calcul infinitésimal ont été ajoutés à l’arithmétique et à la géométrie en tant que domaines principaux des mathématiques. Depuis lors, l’interaction entre les innovations mathématiques et les découvertes scientifiques a conduit à une augmentation rapide du taux de découvertes mathématiques. A la fin du 19ème siècle, lecrise fondamentale des mathématiques conduit à la systématisation de la Méthode axiomatique . Ceci, à son tour, a donné lieu à une augmentation spectaculaire du nombre de domaines mathématiques et de leurs domaines d’application; en témoigne la Mathematics Subject Classification , qui répertorie plus de soixante domaines mathématiques de premier niveau.

Domaines des mathématiques

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Avant la Renaissance , les mathématiques étaient divisées en deux domaines principaux : l’arithmétique , consacrée à la manipulation des nombres , et la géométrie , consacrée à l’étude des formes. Il y avait aussi certaines pseudosciences , comme la numérologie et l’astrologie , qui n’étaient pas clairement distinguées des mathématiques.

A la Renaissance, deux nouvelles zones principales apparaissent. L’introduction de la notation mathématique a conduit à l’ algèbre , qui, grosso modo, consiste en l’étude et la manipulation de formules . Le calcul , composé des deux sous-domaines Calcul infinitésimal et calcul intégral , est l’étude des Fonctions continues , qui modélisent les changements et les relations entre des quantités variables ( variables ). Cette division en quatre domaines principaux – arithmétique, géométrie, algèbre, calcul ^{[ vérification nécessaire ]} – est restée valable jusqu’à la fin du 19ème siècle, bien que certains domaines, tels quela mécanique céleste et la mécanique des solides , qui étaient alors souvent considérées comme faisant partie des mathématiques, sont désormais considérées comme appartenant à la physique . En outre, certaines matières développées au cours de cette période sont antérieures aux mathématiques, étant divisées en différents domaines, tels que la théorie des probabilités et la combinatoire , qui ne sont devenues que plus tard considérées comme des domaines autonomes à part entière.

À la fin du XIXe siècle, la Crise fondamentale des mathématiques et la systématisation de la Méthode axiomatique qui en a résulté ont conduit à une explosion du nombre de domaines des mathématiques. Aujourd’hui, la classification des matières mathématiques contient plus de 60 domaines de premier niveau. Certaines de ces zones correspondent à l’ancienne division en quatre zones principales. C’est le cas de la théorie des nombres (le nom moderne de l’Arithmétique supérieure) et la géométrie. Cependant, il existe plusieurs autres domaines de premier niveau qui ont “géométrie” dans leur nom ou sont généralement considérés comme appartenant à la géométrie. L’algèbre et le calcul n’apparaissent pas comme des domaines de premier niveau, mais sont chacun divisés en plusieurs domaines de premier niveau. D’autres domaines de premier niveau n’existaient pas du tout avant le XXe siècle (par exemple la théorie des catégories ; l’algèbre homologique et l’informatique ) ou n’étaient pas considérés auparavant comme des mathématiques, tels que 03 : Logique et fondements mathématiques (y compris la théorie des modèles , la théorie de la calculabilité , théorie des ensembles , théorie de la preuve et logique algébrique).

La théorie du nombre

La distribution des nombres premiers est un point d’étude central en théorie des nombres. Cette spirale d’Ulam sert à l’illustrer, faisant notamment allusion à l’ indépendance conditionnelle entre être premier et être une valeur de certains polynômes quadratiques.

La théorie des nombres a commencé par la manipulation des nombres , c’est-à-dire des nombres naturels ( N ) , {displaystyle (mathbb {N} ),} et plus tard étendu aux nombres entiers ( Z ) {displaystyle (mathbb {Z} )} et les nombres rationnels ( Q ) . {displaystyle (mathbb {Q}).} La théorie des nombres était autrefois appelée arithmétique , mais aujourd’hui ce terme est surtout utilisé pour les calculs numériques.

Une caractéristique de la théorie des nombres est que de nombreux problèmes qui peuvent être énoncés de manière très élémentaire sont très difficiles, et leurs solutions nécessitent souvent des méthodes très sophistiquées de diverses parties des mathématiques. Un exemple frappant de ceci est le Dernier théorème de Fermat . Cette conjecture a été énoncée en 1637 par Pierre de Fermat , mais elle n’a été prouvée qu’en 1994 par Andrew Wiles , en utilisant, entre autres outils, la géométrie algébrique (plus précisément la Théorie des schémas ), la théorie des catégories et l’algèbre homologique . Un autre exemple est la conjecture de Goldbach , qui affirme que tout entier pair supérieur à 2 est la somme de deuxnombres premiers . Affirmée en 1742 par Christian Goldbach , elle reste à ce jour non prouvée malgré des efforts considérables.

En raison de la grande diversité des problèmes étudiés et des méthodes de résolution utilisées, la théorie des nombres est actuellement divisée en plusieurs sous-domaines, dont la théorie analytique des nombres , la théorie algébrique des nombres , la géométrie des nombres (orientée méthode), les équations diophantiennes et la théorie de la transcendance (orientée problème). ).

Géométrie

La géométrie est, avec l’arithmétique , l’une des branches les plus anciennes des mathématiques. Cela a commencé par des recettes empiriques concernant les formes, telles que les lignes , les angles et les cercles , qui ont été développées principalement pour les besoins de l’arpentage et de l’ architecture .

Une innovation fondamentale a été l’élaboration de preuves par les anciens Grecs : il ne suffit pas de vérifier par la mesure que, disons, deux longueurs sont égales. Une telle propriété doit être prouvée par un raisonnement abstrait à partir de résultats préalablement prouvés ( théorèmes ) et de propriétés de base (qui sont considérées comme allant de soi car trop basiques pour faire l’objet d’une démonstration ( postulats )). Ce principe, qui est à la base de toutes les mathématiques, a été élaboré pour le bien de la géométrie, et a été systématisé par Euclide vers 300 av. J.-C. dans son livre Elements .

La géométrie euclidienne qui en résulte est l’étude des formes et de leurs arrangements construits à partir de lignes , de plans et de cercles dans le plan euclidien ( géométrie plane ) et dans l’espace euclidien ( tridimensionnel) . ^[c]

La géométrie euclidienne s’est développée sans changement de méthodes ni de portée jusqu’au XVIIe siècle, lorsque René Descartes a introduit ce qu’on appelle aujourd’hui les coordonnées cartésiennes . C’était un changement majeur de paradigme, car au lieu de définir les nombres réels comme des longueurs de segments de droite (voir droite numérique ), cela permettait la représentation de points à l’aide de nombres (leurs coordonnées), et pour l’utilisation de l’ algèbre et plus tard, du calcul pour résoudre problèmes géométriques. Cette géométrie scindée en deux parties qui ne diffèrent que par leurs méthodes, la géométrie synthétique , qui utilise des méthodes purement géométriques, et la géométrie analytique, qui utilise les coordonnées de manière systématique.

La géométrie analytique permet l’étude de nouvelles formes, en particulier les courbes qui ne sont pas liées aux cercles et aux lignes ; ces courbes sont définies soit comme des graphes de fonctions (dont l’étude a conduit à la géométrie différentielle ), soit par des équations implicites , souvent des équations polynomiales (qui ont engendré la géométrie algébrique ). La géométrie analytique permet de considérer des espaces de dimensions supérieures à trois (il suffit de considérer plus de trois coordonnées), qui ne sont plus un modèle de l’espace physique.

La géométrie s’est développée rapidement au cours du 19e siècle. Un événement majeur a été la découverte (dans la seconde moitié du XIXe siècle) des géométries non euclidiennes , qui sont des géométries où le postulat parallèle est abandonné. C’est, outre le paradoxe de Russel , l’un des points de départ de la crise fondatrice des mathématiques , en remettant en cause la vérité du postulat précité. Cet aspect de la crise a été résolu en systématisant la Méthode axiomatique, et en adoptant que la vérité des axiomes choisis n’est pas un problème mathématique. À son tour, la Méthode axiomatique permet l’étude de diverses géométries obtenues soit en changeant les axiomes, soit en considérant des propriétés invariantes sous des transformations spécifiques de l’ espace . Il en résulte un certain nombre de sous-domaines et de généralisations de la géométrie qui incluent :

• Géométrie projective , introduite au XVIe siècle par Girard Desargues , elle étend la géométrie euclidienne en ajoutant des points à l’infini au niveau desquels des droites parallèles se croisent. Cela simplifie de nombreux aspects de la géométrie classique en évitant d’avoir un traitement différent pour les lignes sécantes et parallèles.
• Géométrie affine , étude des propriétés relatives au parallélisme et indépendantes de la notion de longueur.
• Géométrie différentielle , l’étude des courbes, des surfaces et de leurs généralisations, qui sont définies à l’aide de fonctions différentiables
• Théorie des variétés , l’étude des formes qui ne sont pas nécessairement intégrées dans un espace plus grand
• Géométrie riemannienne , étude des propriétés de distance dans les espaces courbes
• Géométrie algébrique , l’étude des courbes, des surfaces et de leurs généralisations, qui sont définies à l’aide de polynômes
• Topologie , l’étude des propriétés qui sont maintenues sous des déformations continues
  • Topologie algébrique , l’utilisation en topologie des méthodes algébriques, principalement l’algèbre homologique
• Géométrie discrète , l’étude des configurations finies en géométrie
• Géométrie convexe , étude des ensembles convexes , qui tire son importance de ses applications en optimisation
• Géométrie complexe , la géométrie obtenue en remplaçant les nombres réels par des nombres complexes

Exemples de formes rencontrées en géométrie

• théorème de Pythagore

• Sections coniques

• Courbe elliptique

• Triangle sur un paraboloïde

• Torus

• Fractale

Algèbre

L’algèbre peut être considérée comme l’art de manipuler des équations et des formules . Diophantus (IIIe siècle) et Al-Khwarizmi (IXe siècle) ont été les deux principaux précurseurs de l’algèbre. Le premier a résolu certaines relations entre des nombres naturels inconnus (c’est-à-dire des équations) en déduisant de nouvelles relations jusqu’à obtenir la solution. Le second a introduit des méthodes systématiques pour transformer des équations (comme déplacer un terme d’un côté d’une équation vers l’autre côté). Le terme algèbre est dérivé du mot arabe qu’il a utilisé pour nommer l’une de ces méthodes dans le titre de son principal traité .

La formule quadratique exprime de manière concise les solutions de toutes les équations quadratiques

L’algèbre n’a commencé à être un domaine spécifique qu’avec François Viète (1540-1603), qui a introduit l’utilisation de lettres ( variables ) pour représenter des nombres inconnus ou non spécifiés. Cela permet de décrire de manière concise les opérations à effectuer sur les nombres représentés par les variables.

Jusqu’au XIXe siècle, l’algèbre consistait principalement en l’étude des équations linéaires que l’on appelle actuellement algèbre linéaire , et des équations polynomiales à une seule inconnue , que l’on appelait équations algébriques (terme encore en usage, bien qu’il puisse être ambigu). Au cours du XIXe siècle, les variables ont commencé à représenter autre chose que des nombres (comme les matrices , les entiers modulaires et les transformations géométriques ), sur lesquelles certaines opérations peuvent opérer, qui sont souvent des généralisations d’opérations arithmétiques. Pour y faire face, le concept de structure algébriquea été introduit, qui consistent en un ensemble dont les éléments ne sont pas spécifiés, en des opérations agissant sur les éléments de l’ensemble, et des règles que ces opérations doivent suivre. Ainsi, le domaine de l’algèbre a évolué pour devenir essentiellement l’étude des structures algébriques. Cet objet de l’algèbre a été appelé algèbre moderne ou algèbre abstraite , ce dernier terme étant encore utilisé, principalement dans un contexte pédagogique, en opposition avec l’algèbre élémentaire qui s’intéresse à l’ancienne manière de manipuler les formules.

Rubik’s cube : l’étude de ses déplacements possibles est une application concrète de la théorie des groupes

Certains types de structures algébriques ont des propriétés utiles, et souvent fondamentales, dans de nombreux domaines des mathématiques. Leur étude sont aujourd’hui des parties autonomes de l’algèbre, qui comprennent:

• théorie des groupes ;
• théorie des champs ;
• les espaces vectoriels , dont l’étude est essentiellement la même que celle de l’algèbre linéaire ;
• théorie des anneaux ;
• l’algèbre commutative , qui est l’étude des anneaux commutatifs , inclut l’étude des polynômes , et est une partie fondamentale de la géométrie algébrique ;
• algèbre homologique
• Algèbre de Lie et théorie des groupes de Lie;
• L’algèbre booléenne , largement utilisée pour l’étude de la structure logique des ordinateurs .

L’étude des types de structures algébriques en tant qu’objets mathématiques est l’objet de l’algèbre universelle et de la théorie des catégories . Cette dernière s’applique à toutes les structures mathématiques (pas seulement les algébriques). A son origine, elle a été introduite, avec l’algèbre homologique, pour permettre l’étude algébrique d’objets non algébriques tels que les espaces topologiques ; ce domaine d’application particulier est appelé topologie algébrique .

Calcul et analyse

Le calcul, anciennement appelé Calcul infinitésimal , a été introduit au XVIIe siècle par Newton et Leibniz , indépendamment et simultanément. C’est fondamentalement l’étude de la relation de deux quantités changeantes, appelées variables , telles que l’une dépend de l’autre. Le calcul a été largement développé au 18ème siècle par Euler , avec l’introduction du concept de fonction , et bien d’autres résultats. Actuellement, le “calcul” se réfère principalement à la partie élémentaire de cette théorie, et “l’analyse” est couramment utilisée pour les parties avancées.

L’analyse est subdivisée en analyse réelle , où les variables représentent des nombres réels et en analyse complexe, où les variables représentent des nombres complexes . Actuellement, il existe de nombreux sous-domaines d’analyse, certains étant partagés avec d’autres domaines des mathématiques; ils incluent:

• Calcul à variables multiples
• Analyse fonctionnelle , où les variables représentent des fonctions variables ;
• Intégration , théorie de la mesure et théorie du potentiel , toutes étroitement liées à la théorie des probabilités ;
• Equations différentielles ordinaires ;
• Équations aux dérivées partielles ;
• L’analyse numérique , principalement consacrée au calcul sur ordinateurs de solutions d’équations aux dérivées ordinaires et partielles qui se présentent dans de nombreuses applications des mathématiques.

Mathématiques discrètes

Les mathématiques discrètes sont un vaste domaine des mathématiques émergent récemment, qui regroupe plusieurs domaines précédemment existants, qui traitent de structures et de processus mathématiques finis où les variations continues ne sont pas autorisées. Ces domaines ont en commun que, du fait de leur aspect discret , les méthodes classiques de calcul et d’ analyse mathématique ne s’appliquent pas directement. ^[c] Ces domaines ont également en commun que les algorithmes , leur implémentation et leur complexité de calcul jouent un rôle majeur. Bien qu’ils aient des objets d’étude très différents, ils partagent des algorithmes souvent similairesméthodes.

On considère généralement que les mathématiques discrètes incluent :

• Combinatoire , l’art d’énumérer des objets mathématiques qui satisfont à certaines contraintes données. A l’origine, ces objets étaient des éléments ou des sous- ensembles d’un ensemble donné ; ceci a été étendu à des objets de nature diverse, ce qui établit un lien fort entre la combinatoire et d’autres parties des mathématiques discrètes. Par exemple, la géométrie discrète comprend le comptage des configurations de formes géométriques
• Théorie des graphes et hypergraphes
• Théorie du codage , y compris les codes correcteurs d’erreurs et une partie de la cryptographie
• Théorie des matroïdes
• Géométrie discrète
• Probabilités discrètes
• Théorie des jeux (bien que les jeux continus soient également étudiés, la plupart des jeux courants, tels que les échecs et le poker sont de nature discrète)
• optimisation discrète , y compris optimisation combinatoire , programmation en nombres entiers , programmation par contraintes

Le théorème des quatre couleurs et l’emballage optimal des sphères sont deux problèmes majeurs de mathématiques discrètes qui ont été résolus depuis la seconde moitié du 20e siècle. Le problème ouvert P = NP est important pour les mathématiques discrètes, car sa solution aurait un impact sur la plupart des parties des mathématiques discrètes, quelle que soit la solution.

Combinatoire

La combinatoire peut être considérée principalement comme l’art d’énumérer un ensemble prescrit d’objets. L’ histoire de la combinatoire est assez longue, avec des techniques combinatoires développées dans une variété de sociétés anciennes. L’utilisation du terme combinatoire au sens mathématique moderne a été inventée par Leibiniz au 17ème siècle après JC, ^[11] bien que ce soit grâce au travail d’ Euler que bon nombre de ses outils modernes, tels que les fonctions génératrices , ont été développés.

L’étendue de la combinatoire est assez large et a été utilisée pour étudier les problèmes d’énumération qui se posent en mathématiques pures dans l’ algèbre , la théorie des nombres , la théorie des probabilités , la topologie et la géométrie , ^[12] ainsi que de nombreux domaines des mathématiques appliquées. En raison de la grande variété d’objets qui peuvent être énumérés, la théorie est souvent subdivisée en une variété de domaines en fonction soit du type d’objets à l’étude, soit des méthodes utilisées, notamment :

• Combinatoire algébrique ;
• combinatoire analytique ;
• Combinatoire arithmétique ;
• Théorie de la conception combinatoire ;
• Combinatoire énumérative ;
• Combinatoire extrémale ;
• combinatoire géométrique ;
• Combinatoire Infinitaire ;
• combinatoire probabiliste ;
• Combinatoire topologique ;
• théorie de Ramsey ;

La combinatoire est aussi fréquemment utilisée en théorie des graphes , tout en constituant l’un des outils de base utilisés dans l’ analyse des algorithmes .

Logique mathématique et théorie des ensembles

Ces matières appartiennent aux mathématiques depuis la fin du XIXe siècle. Avant cette période, les ensembles n’étaient pas considérés comme des objets mathématiques , et la logique , bien qu’utilisée pour les démonstrations mathématiques , appartenait à la philosophie , et n’était pas spécifiquement étudiée par les mathématiciens.

Avant l’étude des ensembles infinis par Georg Cantor , les mathématiciens étaient réticents à considérer des collections réellement infinies et considéraient l’ infini comme le résultat d’une énumération sans fin . Les travaux de Cantor ont offensé de nombreux mathématiciens non seulement en considérant des ensembles réellement infinis, mais aussi en montrant que cela implique différentes tailles d’infini (voir l ‘ argument diagonal de Cantor ) et l’existence d’objets mathématiques qui ne peuvent pas être calculés, ni même être explicitement décrits (par exemple , bases de Hamel des nombres réels sur les nombres rationnels ). Cela a conduit à lacontroverse sur la théorie des ensembles de Cantor .

Dans la même période, il est apparu dans divers domaines des mathématiques que les anciennes définitions intuitives des objets mathématiques de base étaient insuffisantes pour assurer la Rigueur mathématique . Des exemples de telles définitions intuitives sont “un ensemble est une collection d’objets”, ” un nombre naturel est ce qui est utilisé pour compter”, “un point est une forme avec une longueur nulle dans toutes les directions”, “une courbe est une trace laissée par un point mobile”, etc.

C’est l’origine de la crise fondatrice des mathématiques . ^[13] Il a finalement été résolu dans le courant dominant des mathématiques en systématisant la Méthode axiomatique à l’ intérieur d’une théorie des ensembles formalisée . En gros, chaque objet mathématique est défini par l’ensemble de tous les objets similaires et les propriétés que ces objets doivent avoir. Par exemple, dans l’arithmétique de Peano , les nombres naturelssont définis par « zéro est un nombre », « chaque nombre est un successeur unique », « chaque nombre sauf zéro a un prédécesseur unique » et certaines règles de raisonnement. La “nature” des objets ainsi définis est un problème philosophique que les mathématiciens laissent aux philosophes, même si de nombreux mathématiciens ont des opinions sur cette nature, et utilisent leur opinion – parfois appelée “intuition” – pour guider leur étude et trouver des preuves.

Cette approche permet de considérer les “logiques” (c’est-à-dire les ensembles de règles de déduction autorisées), les théorèmes , les preuves, etc. comme des objets mathématiques, et de prouver des théorèmes à leur sujet. Par exemple, les théorèmes d’incomplétude de Gödel affirment, en gros, que, dans chaque théorie qui contient les nombres naturels, il y a des théorèmes qui sont vrais (c’est-à-dire prouvables dans une théorie plus large), mais non prouvables à l’intérieur de la théorie.

Cette approche des fondements des mathématiques a été contestée au cours de la première moitié du XXe siècle par des mathématiciens dirigés par LEJ Brouwer qui ont promu une logique intuitionniste qui exclut la loi du tiers exclu .

Ces problèmes et débats ont conduit à une large expansion de la logique mathématique, avec des sous-domaines tels que la théorie des modèles (modélisation de certaines théories logiques à l’intérieur d’une autre théorie), la théorie de la preuve, la théorie des types , la théorie de la calculabilité et la théorie de la complexité computationnelle . Bien que ces aspects de la logique mathématique aient été introduits avant l’essor des ordinateurs , leur utilisation dans la conception de compilateurs , la certification de programmes , les assistants de preuve et d’autres aspects de l’informatique , a contribué à son tour à l’expansion de ces théories logiques. ^[14]

Mathématiques appliquées

Les mathématiques appliquées concernent les méthodes mathématiques généralement utilisées dans les sciences, l’ ingénierie , les affaires et l’industrie . Ainsi, les “mathématiques appliquées” sont une science mathématique avec des connaissances spécialisées . Le terme mathématiques appliquées décrit également la spécialité professionnelle dans laquelle les mathématiciens travaillent sur des problèmes pratiques ; en tant que profession axée sur des problèmes pratiques, les mathématiques appliquées se concentrent sur «la formulation, l’étude et l’utilisation de modèles mathématiques» en science, en ingénierie et dans d’autres domaines de la pratique mathématique.

Dans le passé, les applications pratiques ont motivé le développement de théories mathématiques, qui sont ensuite devenues l’objet d’études en mathématiques pures, où les mathématiques sont développées principalement pour elles-mêmes. Ainsi, l’activité des mathématiques appliquées est étroitement liée à la recherche en mathématiques pures .

Statistiques et autres sciences de la décision

Les mathématiques appliquées ont un chevauchement significatif avec la discipline des statistiques, dont la théorie est formulée mathématiquement, en particulier avec la théorie des probabilités . Les statisticiens (travaillant dans le cadre d’un projet de recherche) “créent des données qui ont du sens” avec un échantillonnage aléatoire et avec des expériences randomisées ; ^[15] la conception d’un échantillon statistique ou d’une expérience spécifie l’analyse des données (avant que les données ne deviennent disponibles). Lorsqu’ils reconsidèrent des données d’expériences et d’échantillons ou lorsqu’ils analysent des données d’ études d’observation , les statisticiens “donnent un sens aux données” en utilisant l’art de la modélisation et la théorie de l’ inférence – avec la sélection de modèleset estimation ; les modèles estimés et les prédictions consécutives doivent être testés sur de nouvelles données . ^[ré]

La théorie statistique étudie les problèmes de décision tels que la minimisation du risque ( perte attendue ) d’une action statistique, comme l’utilisation d’une procédure dans, par exemple, l’estimation des paramètres , le test d’hypothèses et la sélection du meilleur . Dans ces domaines traditionnels des statistiques mathématiques , un problème de décision statistique est formulé en minimisant une fonction objectif , comme la perte ou le coût attendu , sous des contraintes spécifiques : Par exemple, la conception d’une enquête implique souvent de minimiser le coût d’estimation d’une moyenne de population avec un niveau de confiance. ^[16]En raison de son utilisation de l’ optimisation , la théorie mathématique des statistiques partage des préoccupations avec d’autres sciences de la décision , telles que la recherche opérationnelle , la théorie du contrôle et l’économie mathématique . ^[17]

Mathématiques computationnelles

Les mathématiques computationnelles proposent et étudient des méthodes pour résoudre des problèmes mathématiques qui sont généralement trop grands pour la capacité numérique humaine. L’analyse numérique étudie les méthodes pour les problèmes d’ analyse en utilisant l’analyse fonctionnelle et la théorie de l’approximation ; l’analyse numérique comprend largement l’étude de l’ approximation et de la discrétisation avec un accent particulier sur les erreurs d’arrondi . L’analyse numérique et, plus largement, le calcul scientifique étudient également des sujets non analytiques de la science mathématique, en particulier la théorie algorithmique – matrice -et- des graphes. D’ autres domaines des mathématiques computationnelles comprennent l’ algèbre informatique et le calcul symbolique .

Histoire

L’Histoire des mathématiques peut être vue comme une série sans cesse croissante d’ abstractions . Du point de vue de l’évolution, la première abstraction à avoir jamais eu lieu, qui est partagée par de nombreux animaux, ^[18] était probablement celle des nombres : la prise de conscience qu’une collection de deux pommes et une collection de deux oranges (par exemple) ont quelque chose en commun, à savoir la quantité de leurs membres. Comme en témoignent les comptages trouvés sur les os, en plus de savoir compter les objets physiques, les peuples préhistoriques ont peut-être également reconnu comment compter des quantités abstraites, comme le temps, les jours, les saisons ou les années. ^{[19] [20]}

La tablette mathématique babylonienne Plimpton 322, datée de 1800 av.

Les preuves de mathématiques plus complexes n’apparaissent que vers 3000 av . J.-C. , lorsque les Babyloniens et les Égyptiens ont commencé à utiliser l’arithmétique , l’ algèbre et la géométrie pour la fiscalité et d’autres calculs financiers, pour la construction et l’ astronomie . ^[21] Les textes mathématiques les plus anciens de Mésopotamie et d’ Egypte datent de 2000 à 1800 av. De nombreux textes anciens mentionnent des triplets de Pythagore et donc, par inférence, le théorème de Pythagore semble être le concept mathématique le plus ancien et le plus répandu après l’arithmétique et la géométrie de base. C’est dedansLes mathématiques babyloniennes que l’arithmétique élémentaire ( addition , soustraction , multiplication et division ) apparaissent pour la première fois dans les archives archéologiques. Les Babyloniens possédaient également un système de valeur de position et utilisaient un système numérique sexagésimal qui est encore utilisé aujourd’hui pour mesurer les angles et le temps. ^[22]

Archimède a utilisé la méthode d’épuisement , décrite ici, pour approximer la valeur de pi .

À partir du 6ème siècle avant JC avec les Pythagoriciens , avec les mathématiques grecques, les Grecs de l’Antiquité ont commencé une étude systématique des mathématiques en tant que matière à part entière. ^[23] Vers 300 av. J.-C., Euclide a introduit la Méthode axiomatique encore utilisée aujourd’hui en mathématiques, consistant en une définition, un axiome, un théorème et une preuve. Son livre, Elements , est largement considéré comme le manuel le plus réussi et le plus influent de tous les temps. ^[24] Le plus grand mathématicien de l’Antiquité est souvent considéré comme Archimède (vers 287-212 av. J.-C.) de Syracuse . ^[25]Il a développé des formules pour calculer la surface et le volume des solides de révolution et a utilisé la méthode de l’épuisement pour calculer la surface sous l’arc d’une parabole avec la sommation d’une série infinie , d’une manière pas trop différente du calcul moderne. ^[26] D’autres réalisations notables des mathématiques grecques sont les sections coniques ( Apollonios de Perga , 3ème siècle avant JC), ^[27] la trigonométrie ( Hipparque de Nicée , 2ème siècle avant JC), ^[28] et les débuts de l’algèbre ( Diophante , 3ème siècle après JC ). ). ^[29]

Les chiffres utilisés dans le manuscrit de Bakhshali , datés entre le 2ème siècle avant JC et le 2ème siècle après JC.

Le système numérique hindou-arabe et les règles d’utilisation de ses opérations, en usage dans le monde aujourd’hui, ont évolué au cours du premier millénaire après JC en Inde et ont été transmis au monde occidental via les mathématiques islamiques . D’autres développements notables des mathématiques indiennes incluent la définition moderne et l’approximation du sinus et du cosinus , et une première forme de série infinie .

Une page de l’ algèbre d’al-Khwārizmī Leonardo Fibonacci , le mathématicien italien qui a introduit le système numérique hindou-arabe inventé entre le 1er et le 4ème siècle par des mathématiciens indiens, dans le monde occidental.

Au cours de l’ âge d’or de l’islam , en particulier aux IXe et Xe siècles, les mathématiques ont vu de nombreuses innovations importantes s’appuyer sur les mathématiques grecques. La réalisation la plus remarquable des mathématiques islamiques a été le développement de l’ algèbre . Parmi les autres réalisations de la période islamique, citons les progrès de la trigonométrie sphérique et l’ajout de la virgule décimale au système numérique arabe. ^[30] De nombreux mathématiciens notables de cette période étaient persans, comme Al-Khwarismi , Omar Khayyam et Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

Au début de la période moderne , les mathématiques ont commencé à se développer à un rythme accéléré en Europe occidentale . Le développement du calcul par Isaac Newton et Gottfried Leibniz au 17ème siècle a révolutionné les mathématiques. Leonhard Euler était le mathématicien le plus remarquable du 18ème siècle, contribuant à de nombreux théorèmes et découvertes. Le mathématicien le plus éminent du 19ème siècle était peut-être le mathématicien allemand Carl Gauss , qui a apporté de nombreuses contributions à des domaines tels que l’ algèbre , l’ analyse , la géométrie différentielle , la théorie des matrices ,théorie des nombres et statistiques . Au début du XXe siècle, Kurt Gödel a transformé les mathématiques en publiant ses théorèmes d’ incomplétude , qui montrent en partie que tout système axiomatique cohérent – s’il est suffisamment puissant pour décrire l’arithmétique – contiendra de vraies propositions qui ne peuvent être prouvées.

Les mathématiques se sont depuis largement développées, et il y a eu une interaction fructueuse entre les mathématiques et les sciences , au bénéfice des deux. Les découvertes mathématiques continuent d’être faites à ce jour. Selon Mikhail B. Sevryuk, dans le numéro de janvier 2006 du Bulletin de l’American Mathematical Society , “Le nombre d’articles et de livres inclus dans la base de données Mathematical Reviews depuis 1940 (la première année de fonctionnement de MR) est maintenant supérieur à 1,9. millions, et plus de 75 000 éléments sont ajoutés à la base de données chaque année. L’écrasante majorité des travaux dans cet océan contiennent de nouveaux théorèmes mathématiques et leurs preuves . ^[31]

Étymologie

Le mot mathématiques vient du grec ancien máthēma ( μάθημα ), signifiant « ce qui s’apprend », ^[32] « ce que l’on apprend à connaître », d’où aussi « étude » et « science ». Le mot pour “mathématiques” en est venu à avoir le sens plus étroit et plus technique “étude mathématique” même à l’époque classique. ^[33] Son adjectif est mathēmatikós ( μαθηματικός ), signifiant «lié à l’apprentissage» ou «studieux», ce qui signifie également «mathématique». En particulier, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; latin 🙂 signifiait “l’art mathématique”.

De même, l’une des deux principales écoles de pensée du pythagorisme était connue sous le nom de mathēmatikoi (μαθηματικοί) – qui à l’époque signifiait «apprenants» plutôt que «mathématiciens» au sens moderne.

En latin, et en anglais jusque vers 1700, le terme mathématiques signifiait plus couramment « astrologie » (ou parfois « astronomie ») plutôt que « mathématiques » ; le sens a progressivement changé pour devenir le sens actuel d’environ 1500 à 1800. Cela a entraîné plusieurs erreurs de traduction. Par exemple, l’avertissement de saint Augustin selon lequel les chrétiens doivent se méfier des mathematici , c’est-à-dire des astrologues, est parfois interprété à tort comme une condamnation des mathématiciens. ^[34]

La forme plurielle apparente en anglais, comme la forme plurielle française les mathématiques (et le dérivé singulier moins couramment utilisé la mathématique ), remonte au latin neutre pluriel mathematica ( Cicéron ), basé sur le pluriel grec ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), utilisé par Aristote (384-322 avant JC), et signifiant à peu près “toutes choses mathématiques”, bien qu’il soit plausible que l’anglais n’ait emprunté que l’adjectif mathématique (al) et ait formé à nouveau le nom mathématiques , d’après le modèle de la physique et de la métaphysique, hérités du grec. ^[35] En anglais, le nom mathématiques prend un verbe au singulier. Il est souvent abrégé en mathématiques ou, en Amérique du Nord, en mathématiques . ^[36]

Définitions proposées

Il n’y a pas de consensus général sur la définition exacte ou le statut épistémologique des mathématiques. ^{[6] [7]} Un grand nombre de mathématiciens professionnels ne s’intéressent pas à une définition des mathématiques, ou la considèrent indéfinissable. ^[6] Il n’y a même pas de consensus sur la question de savoir si les mathématiques sont un art ou une science. ^[7] Certains disent simplement : « Les mathématiques, c’est ce que font les mathématiciens. ^[6]

Aristote a défini les mathématiques comme “la science de la quantité” et cette définition a prévalu jusqu’au 18ème siècle. Cependant, Aristote a également noté que l’accent mis sur la quantité seule peut ne pas distinguer les mathématiques des sciences comme la physique; selon lui, l’abstraction et l’étude de la quantité en tant que propriété «séparable en pensée» des instances réelles distinguent les mathématiques. ^[37]

Au 19e siècle, lorsque l’étude des mathématiques gagna en rigueur et commença à aborder des sujets abstraits tels que la théorie des groupes et la géométrie projective , qui n’ont pas de relation claire avec la quantité et la mesure, les mathématiciens et les philosophes commencèrent à proposer une variété de nouvelles définitions. . ^[38] À ce jour, les philosophes continuent d’aborder des questions de philosophie des mathématiques , telles que la nature de la preuve mathématique . ^[39]

Raisonnement logique

Les mathématiciens s’efforcent de développer leurs résultats avec un raisonnement systématique afin d’éviter les “théorèmes” erronés. Ces fausses preuves proviennent souvent d’intuitions faillibles et sont courantes dans l’Histoire des mathématiques. Pour permettre un raisonnement déductif , certaines hypothèses de base doivent être admises explicitement comme axiomes. Traditionnellement, ces axiomes ont été sélectionnés sur la base du bon sens, mais les axiomes modernes expriment généralement des garanties formelles pour des notions primitives , telles que des objets simples et des relations.

La validité d’une preuve mathématique est fondamentalement une question de rigueur , et la rigueur de l’incompréhension est une cause notable de certaines idées fausses courantes sur les mathématiques. Le langage mathématique peut donner plus de précision que dans le langage courant à des mots ordinaires comme ou et seulement . D’autres mots comme ouvert et champ sont investis de nouvelles significations pour des concepts mathématiques spécifiques. Parfois même des termes entièrement nouveaux (par exemple homéomorphisme ) sont inventés. Ce vocabulaire technique est à la fois précis et compact, permettant de traiter mentalement des idées complexes. Les mathématiciens qualifient cette précision de langage et de logique de « rigueur ».

La rigueur attendue en mathématiques a varié au fil du temps : les Grecs s’attendaient à des arguments détaillés, mais à l’apogée d’ Isaac Newton , les méthodes employées étaient moins rigoureuses. Les problèmes inhérents aux définitions utilisées par Newton ont conduit à une résurgence d’analyses minutieuses et de preuves formelles au XIXe siècle. Plus tard au début du XXe siècle, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead publieront leurs Principia Mathematica , une tentative de montrer que tous les concepts et énoncés mathématiques peuvent être définis, puis prouvés entièrement par la logique symbolique . Cela faisait partie d’un programme philosophique plus large connu sous le nom de logicisme , qui considère les mathématiques comme principalement une extension de la logique.

Malgré la concision des mathématiques, de nombreuses preuves nécessitent des centaines de pages pour être exprimées. L’émergence des preuves assistées par ordinateur a permis aux longueurs de preuve de s’étendre davantage. Les preuves assistées peuvent être erronées si le logiciel de preuve a des défauts et si elles sont longues, difficiles à vérifier. ^{[e] [40]} D’autre part, les assistants de preuve permettent de vérifier des détails qui ne peuvent pas être donnés dans une preuve manuscrite, et fournissent la certitude de l’exactitude de longues preuves telles que celle de Feit-Thompson de 255 pages théorème . ^[F]

Notation symbolique

Leonhard Euler a créé et popularisé une grande partie de la notation mathématique utilisée aujourd’hui.

En plus du langage spécial, les mathématiques contemporaines font un usage intensif de la notation spéciale. Ces symboles contribuent également à la rigueur, à la fois en simplifiant l’expression des idées mathématiques et en permettant des opérations routinières qui suivent des règles cohérentes. La notation moderne rend les mathématiques beaucoup plus efficaces pour l’adepte, bien que les débutants puissent trouver cela intimidant.

La plupart des notations mathématiques utilisées aujourd’hui ont été inventées après le XVe siècle, avec de nombreuses contributions de Leonhard Euler (1707–1783) en particulier. ^{[41] [ échec de la vérification ]} Avant cela, les arguments mathématiques étaient généralement écrits en mots, limitant la découverte mathématique. ^[42]

À partir du XIXe siècle, une école de pensée connue sous le nom de formalisme s’est développée. Pour un formaliste, les mathématiques concernent principalement des systèmes formels de symboles et des règles pour les combiner. De ce point de vue, même les axiomes ne sont que des formules privilégiées dans un système axiomatique , données sans être dérivées procéduralement d’autres éléments du système. Un exemple maximal de formalisme était l’appel de David Hilbert au début du XXe siècle, souvent appelé le programme de Hilbert , à coder toutes les mathématiques de cette manière.

Kurt Gödel a prouvé que cet objectif était fondamentalement impossible avec ses théorèmes d’ incomplétude , qui montraient qu’aucun système formel suffisamment riche pour décrire même une arithmétique simple ne pouvait garantir sa propre complétude ou cohérence. Néanmoins, les concepts formalistes continuent d’influencer grandement les mathématiques, au point que l’on s’attend par défaut à ce que les énoncés soient exprimables dans des formules de la théorie des ensembles . Seuls les résultats très exceptionnels sont acceptés comme n’entrant pas dans un système axiomatique ou dans un autre. ^[43]

Connaissance abstraite

Isaac Newton (à gauche) et Gottfried Wilhelm Leibniz ont développé le Calcul infinitésimal.

Dans la pratique, les mathématiciens sont généralement regroupés avec les scientifiques, et les mathématiques ont beaucoup en commun avec les sciences physiques, notamment le raisonnement déductif à partir d’hypothèses. Les mathématiciens développent des hypothèses mathématiques, appelées conjectures , en utilisant des essais et des erreurs avec intuition aussi, de la même manière que les scientifiques. ^[44] Les mathématiques expérimentales et les méthodes de calcul comme la simulation continuent également de gagner en importance au sein des mathématiques.

Aujourd’hui, toutes les sciences posent des problèmes étudiés par les mathématiciens, et inversement, les résultats des mathématiques conduisent souvent à de nouvelles questions et réalisations dans les sciences. Par exemple, le physicien Richard Feynman a combiné le raisonnement mathématique et la perspicacité physique pour inventer la formulation intégrale de chemin de la mécanique quantique . La théorie des cordes , d’autre part, est un cadre proposé pour unifier une grande partie de la physique moderne qui a inspiré de nouvelles techniques et résultats en mathématiques. ^[45]

Carl Friedrich Gauss , connu comme le prince des mathématiciens

Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss est même allé jusqu’à appeler les mathématiques “la reine des sciences”, ^[46] et plus récemment, Marcus du Sautoy a décrit les mathématiques comme “le principal moteur de la découverte scientifique”. ^[47] Cependant, certains auteurs soulignent que les mathématiques diffèrent de la notion moderne de science d’une manière majeure : elles ne reposent pas sur des preuves empiriques . ^{[48] ​​[49] [50] [51]}

Les connaissances mathématiques ont explosé en portée depuis la révolution scientifique et, comme pour d’autres domaines d’études, cela a entraîné la spécialisation. Depuis 2010, la dernière classification des matières mathématiques de l’ American Mathematical Society reconnaît des centaines de sous-domaines, la classification complète atteignant 46 pages. ^[52] En règle générale, de nombreux concepts dans un sous-domaine peuvent rester indéfiniment isolés des autres branches des mathématiques; les résultats peuvent servir principalement d’échafaudage pour soutenir d’autres théorèmes et techniques, ou ils peuvent ne pas avoir de relation claire avec quoi que ce soit en dehors du sous-domaine.

Les mathématiques montrent une tendance remarquable à évoluer cependant, et avec le temps, les mathématiciens découvrent souvent des applications ou des liens surprenants entre les concepts. Le programme Erlangen de Felix Klein , qui a établi des liens innovants et profonds entre la géométrie et l’algèbre, en est un exemple très influent . Cela a à son tour ouvert les deux domaines à une plus grande abstraction et engendré des sous-domaines entièrement nouveaux.

On distingue souvent les mathématiques appliquées et les mathématiques entièrement orientées vers des questions et des concepts abstraits, dites mathématiques pures . Comme pour les autres divisions des mathématiques, la frontière est fluide. Les idées qui se développent initialement avec une application spécifique à l’esprit sont souvent généralisées plus tard, rejoignant ainsi le stock général de concepts mathématiques. Plusieurs domaines des mathématiques appliquées ont même fusionné avec des domaines pratiques pour devenir des disciplines à part entière, comme les statistiques, la recherche opérationnelle et l’informatique .

Ce qui est peut-être encore plus surprenant, c’est lorsque les idées circulent dans l’autre sens, et que même les mathématiques « les plus pures » conduisent à des prédictions ou à des applications inattendues. Par exemple, la théorie des nombres occupe une place centrale dans la cryptographie moderne , et en physique, les dérivations des équations de Maxwell ont devancé les preuves expérimentales des ondes radio et de la constance de la vitesse de la lumière. Le physicien Eugene Wigner a nommé ce phénomène ” l’efficacité déraisonnable des mathématiques “. ^[9]

Le lien étrange entre les mathématiques abstraites et la réalité matérielle a conduit à des débats philosophiques depuis au moins l’époque de Pythagore. L’ancien philosophe Platon a soutenu que cela était possible parce que la réalité matérielle reflète des objets abstraits qui existent en dehors du temps. En conséquence, l’idée que les objets mathématiques existent d’une manière ou d’une autre par eux-mêmes dans l’abstraction est souvent appelée platonisme . Alors que la plupart des mathématiciens ne se préoccupent généralement pas des questions soulevées par le platonisme, certains plus philosophiques le font et s’identifient comme platoniciens, même à l’époque contemporaine. ^[53]

Créativité et intuition

Le besoin d’exactitude et de rigueur ne signifie pas que les mathématiques n’ont pas de place pour la créativité. Au contraire, la plupart des travaux mathématiques au-delà des calculs par cœur nécessitent une résolution intelligente des problèmes et l’exploration intuitive de nouvelles perspectives.

Les mathématiciens voient souvent non seulement la créativité, mais aussi une valeur esthétique dans les mathématiques, communément décrite comme l’ élégance . Des qualités telles que la simplicité , la symétrie , l’exhaustivité et la généralité sont particulièrement appréciées dans les preuves et les techniques. GH Hardy dans A Mathematician’s Apology a exprimé la conviction que ces considérations esthétiques sont, en elles-mêmes, suffisantes pour justifier l’étude des mathématiques pures. Il a également identifié d’autres critères tels que la signification, l’inattendu et l’inévitabilité, qui contribuent à une esthétique mathématique. ^[54]

Paul Erdős a exprimé ce sentiment plus ironiquement en parlant de “Le Livre”, une supposée collection divine des plus belles preuves. Inspiré d’Erdős, un recueil d’arguments mathématiques particulièrement succincts et révélateurs a été publié dans Preuves du LIVRE . Quelques exemples de résultats particulièrement élégants sont la preuve d’ Euclide qu’il existe une infinité de nombres premiers et la transformée de Fourier rapide pour l’analyse harmonique .

Certains pensent que considérer les mathématiques comme une science revient à minimiser leur art et leur histoire dans les sept arts libéraux traditionnels . ^[55] Cette différence de point de vue se manifeste notamment dans le débat philosophique sur la question de savoir si les résultats mathématiques sont créés (comme dans l’art) ou découverts (comme dans la science). ^[56] La popularité des mathématiques récréatives est un autre signe du plaisir que beaucoup trouvent à résoudre des questions mathématiques.

Au XXe siècle, le mathématicien LEJ Brouwer a même initié une perspective philosophique connue sous le nom d’ intuitionnisme , qui identifie principalement les mathématiques à certains processus créatifs dans l’esprit. ^[57] L’intuitionnisme est à son tour une saveur d’une position connue sous le nom de constructivisme , qui ne considère un objet mathématique valide que s’il peut être directement construit, et non simplement garanti indirectement par la logique. Cela conduit les constructivistes engagés à rejeter certains résultats, notamment des arguments comme les preuves existentielles basées sur la loi du tiers exclu . ^[58]

En fin de compte, ni le constructivisme ni l’intuitionnisme n’ont remplacé les mathématiques classiques ou n’ont été acceptés par le grand public. Cependant, ces programmes ont motivé des développements spécifiques, tels que la logique intuitionniste et d’autres idées fondamentales, qui sont appréciées en elles-mêmes. ^[58]

En société

Même lorsqu’elles sont difficiles, les mathématiques ont une capacité remarquable à traverser les frontières culturelles et les époques. Cependant, en tant qu’activité humaine, la pratique mathématique a aussi un aspect social, y compris des préoccupations telles que l’éducation, les carrières, la reconnaissance, etc.

Récompenses et problèmes de prix

Le recto de la médaille Fields

Le prix le plus prestigieux en mathématiques est la médaille Fields , ^{[59] [60]} créée en 1936 et décernée tous les quatre ans (sauf autour de la Seconde Guerre mondiale) à jusqu’à quatre personnes. ^{[61] [62]} C’est l’équivalent mathématique du prix Nobel. ^[62]

D’autres prix prestigieux incluent:

• Le prix Abel , institué en 2002 ^[63] et décerné pour la première fois en 2003 ^[64]
• La médaille Chern pour l’ensemble de ses réalisations, ^[65] introduite en 2010 ^[66]
• Le prix Wolf de mathématiques , également pour l’ensemble de ses réalisations, ^[67] institué en 1978 ^[68]

Une célèbre liste de 23 problèmes ouverts , appelés ” problèmes de Hilbert “, a été compilée en 1900 par le mathématicien allemand David Hilbert . ^[69] Cette liste a atteint une grande célébrité parmi les mathématiciens ^{[70] [ meilleure source nécessaire ]} , et au moins treize des problèmes (selon la façon dont certains sont interprétés) ont maintenant été résolus. ^[69] Une nouvelle liste de sept problèmes importants, intitulée les « problèmes du prix du millénaire », a été publiée en 2000. Un seul d’entre eux, l’ hypothèse de Riemann , reproduit l’un des problèmes de Hilbert. Une solution à l’un de ces problèmes comporte une récompense de 1 million de dollars. ^[71]Actuellement, un seul de ces problèmes, la conjecture de Poincaré , a été résolu. ^[72]

Voir également

• Portail des mathématiques

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• Listes de sujets mathématiques
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• Musée national des mathématiques
• Philosophie des mathématiques
• Relation entre mathématiques et physique
• Sciences, technologie, ingénierie et mathématiques

Remarques

1. ↑ Aucune ressemblance ou description de l’apparence physique d’Euclide faite de son vivant n’a survécu à l’Antiquité. Par conséquent, la représentation d’Euclide dans les œuvres d’art dépend de l’imagination de l’artiste (voir Euclide ).
2. ^ Cela inclut les sections coniques , qui sont des intersections de cylindres circulaires et de plans.
3. ^ Cependant, certaines méthodes d’analyse avancées sont parfois utilisées; par exemple, les méthodes d’ analyse complexe appliquées à la génération de séries .
4. ↑ Comme d’autres sciences mathématiques telles que la physique et l’informatique , la statistique est une discipline autonome plutôt qu’une branche des mathématiques appliquées. Comme les physiciens et les informaticiens de recherche, les statisticiens de recherche sont des mathématiciens. De nombreux statisticiens ont un diplôme en mathématiques et certains statisticiens sont également mathématiciens.
5. ↑ Pour considérer comme fiable un grand calcul intervenant dans une preuve, on a généralement besoin de deux calculs à l’aide d’un logiciel indépendant
6. ↑ Le livre contenant la preuve complète compte plus de 1 000 pages.

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