Glossaire de géométrie arithmétique et diophantienne

Il s’agit d’un glossaire de la géométrie arithmétique et diophantienne en mathématiques , domaines issus de l’étude traditionnelle des équations diophantiennes pour englober de grandes parties de la théorie des nombres et de la géométrie algébrique . Une grande partie de la théorie se présente sous la forme de conjectures proposées , qui peuvent être liées à différents niveaux de généralité.

La géométrie diophantienne en général est l’étude des variétés algébriques V sur les champs K qui sont de type fini sur leurs champs premiers – y compris les champs de nombres d’intérêt particulier et les champs finis – et sur les champs locaux . Parmi ceux-ci, seuls les nombres complexes sont algébriquement clos ; sur tout autre K l’existence de points de V avec des coordonnées dans K est quelque chose à prouver et à étudier comme un sujet supplémentaire, même en connaissant la géométrie de V .

La géométrie arithmétique peut être définie plus généralement comme l’étude des schémas de type fini sur le spectre de l’ anneau des entiers . ^[1] La géométrie arithmétique a également été définie comme l’application des techniques de la géométrie algébrique aux problèmes de théorie des nombres . ^[2]

UN

conjecture abc La conjecture abc de Masser et Oesterlé tente d’en dire le plus possible sur les facteurs premiers répétés dans une équation a + b = c . Par exemple 3 + 125 = 128 mais les puissances premières ici sont exceptionnelles. Groupe de classe Arakelov Le groupe de classe d’Arakelov est l’analogue du groupe de classe idéal ou du groupe de classe diviseur pour les diviseurs d’Arakelov . ^[3] diviseur d’Arakelov Un diviseur d’Arakelov (ou diviseur plein ^[4] ) sur un corps global est une extension du concept de diviseur ou d’ idéal fractionnaire . C’est une combinaison linéaire formelle des places du champ avec les places finies ayant des coefficients entiers et les places infinies ayant des coefficients réels. ^{[3] [5] [6]} Hauteur d’Arakelov La hauteur d’Arakelov sur un espace projectif sur le corps des nombres algébriques est une fonction de hauteur globale avec des contributions locales provenant de la métrique de Fubini–Study sur les corps d’ Archimède et de la métrique habituelle sur les corps non archimédiens . ^{[7] [8]} Théorie d’Arakelov La théorie d’Arakelov est une approche de la géométrie arithmétique qui inclut explicitement les « nombres premiers infinis ». Arithmétique des variétés abéliennes Voir l’article principal arithmétique des variétés abéliennes Fonctions L d’Artin Les fonctions L d’Artin sont définies pour des représentations galoisiennes assez générales . L’introduction de la cohomologie étale dans les années 1960 signifiait que les fonctions L de Hasse – Weil pouvaient être considérées comme des fonctions L d’Artin pour les représentations galoisiennes sur les groupes de cohomologie l-adiques .

B

Mauvaise réduction Voir bonne réduction . Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer sur les courbes elliptiques postule une connexion entre le rang d’une courbe elliptique et l’ordre du pôle de sa fonction L de Hasse – Weil. C’est un point de repère important dans la géométrie diophantienne depuis le milieu des années 1960, avec des résultats tels que le théorème de Coates-Wiles, le théorème de Gross-Zagier et le théorème de Kolyvagin . ^[9]

C

Hauteur canonique La hauteur canonique sur une variété abélienne est une fonction de hauteur qui est une forme quadratique distinguée . Voir Hauteur Néron–Tate . La méthode de Chabauty La méthode de Chabauty , basée sur les fonctions analytiques p -adiques, est une application particulière mais capable de prouver des cas de la conjecture de Mordell pour des courbes dont le rang du jacobien est inférieur à sa dimension. Il a développé des idées de la méthode de Thoralf Skolem pour un tore algébrique . (D’autres méthodes plus anciennes pour les problèmes diophantiens incluent la méthode de Runge .) Théorème de Coates-Wiles Le théorème de Coates-Wiles stipule qu’une courbe elliptique avec multiplication complexe par un Champ quadratique imaginaire de classe numéro 1 et de rang positif a une fonction L avec un zéro à s = ​​1. Il s’agit d’un cas particulier de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer . ^[dix] Cohomologie cristalline La cohomologie cristalline est une théorie de cohomologie p-adique en Caractéristique p , introduite par Alexander Grothendieck pour combler le vide laissé par la cohomologie étale qui est déficiente en utilisant les coefficients mod p dans ce cas. C’est l’une des nombreuses théories dérivant d’une certaine manière de la méthode de Dwork et ayant des applications en dehors des questions purement arithmétiques.

ré

Formes diagonales Les formes diagonales font partie des variétés projectives les plus simples à étudier d’un point de vue arithmétique (dont les variétés de Fermat ). Leurs fonctions zêta locales sont calculées en termes de sommes de Jacobi . Le problème de Waring est le cas le plus classique. dimension diophantienne La dimension diophantienne d’un corps est le plus petit entier naturel k , s’il existe, tel que le corps de soit de classe C _k : c’est-à-dire tel que tout polynôme homogène de degré d à N variables admette un zéro non trivial dès que N > dk . ^_ Les corps algébriquement clos sont de dimension diophantienne 0 ; champs quasi-algébriquement clos de dimension 1. ^[11] Discriminant d’un point Le discriminant d’un point fait référence à deux concepts liés relatifs à un point P sur une variété algébrique V définie sur un corps de nombres K : le discriminant géométrique (logarithmique) ^[12] d ( P ) et le discriminant arithmétique , définis par Vojta. ^[13] La différence entre les deux peut être comparée à la différence entre le genre arithmétique d’une courbe singulière et le genre géométrique de la désingularisation . ^[13] Le genre arithmétique est plus grand que le genre géométrique, et la hauteur d’un point peut être bornée en termes de genre arithmétique. L’obtention de bornes similaires impliquant le genre géométrique aurait des conséquences importantes. ^[13] La méthode Dwork Bernard Dwork a utilisé des méthodes distinctives d’ analyse p-adique , d’équations différentielles algébriques p-adiques , de complexes de Koszul et d’autres techniques qui n’ont pas toutes été absorbées dans des théories générales telles que la cohomologie cristalline . Il a d’abord prouvé la rationalité des fonctions zêta locales, l’avancée initiale dans la direction des conjectures de Weil .

E

Cohomologie étale La recherche d’une cohomologie de Weil (qv) a été au moins partiellement réalisée dans la théorie de la cohomologie étale d’ Alexander Grothendieck et Michael Artin . Il a fourni une preuve de l’ équation fonctionnelle pour les fonctions zêta locales et a été fondamental dans la formulation de la conjecture de Tate (qv) et de nombreuses autres théories.

F

Hauteur de chute La hauteur de Faltings d’une courbe elliptique ou d’une variété abélienne définie sur un corps de nombres est une mesure de sa complexité introduite par Faltings dans sa preuve de la conjecture de Mordell . ^{[14] [15]} Dernier théorème de Fermat Le dernier théorème de Fermat , la conjecture la plus célèbre de la géométrie diophantienne, a été prouvé par Andrew Wiles et Richard Taylor . Cohomologie plate La cohomologie plate est, pour l’école de Grothendieck, un point terminal de développement. Il a l’inconvénient d’être assez difficile à calculer. La raison pour laquelle la topologie plate a été considérée comme le “bon” topos fondamental pour la théorie des schémas remonte au fait de la descente fidèlement plate , la découverte de Grothendieck que les foncteurs représentables sont des faisceaux pour elle (c’est-à-dire un axiome de collage très général ) . Analogie de champ de fonction On s’est rendu compte au XIXe siècle que l’ anneau d’entiers d’un corps de nombres a des analogies avec l’ anneau de coordonnées affines d’une courbe algébrique ou d’une surface de Riemann compacte, avec un point ou plus éloigné correspondant aux “ places infinies ” d’un champ de nombres. Cette idée est plus précisément encodée dans la théorie selon laquelle les champs globaux devraient tous être traités sur la même base. L’idée va plus loin. Ainsi , les surfaces elliptiques sur les nombres complexes ont également des analogies assez strictes avec les courbes elliptiques sur les corps de nombres.

g

Théorie géométrique des champs de classes L’extension des résultats de type théorie des corps de classes sur les revêtements abéliens aux variétés de dimension au moins deux est souvent appelée théorie géométrique des corps de classes. Bonne réduction Le principe fondamental de l’analyse locale des problèmes arithmétiques est de réduire modulo tous les nombres premiers p ou, plus généralement, les idéaux premiers . Dans la situation typique, cela présente peu de difficultés pour presque tous les p ; par exemple , les dénominateurs de fractions sont délicats, dans la mesure où la réduction modulo un nombre premier dans le dénominateur ressemble à une division par zéro , mais cela n’exclut qu’un nombre fini de p par fraction. Avec un petit plus de sophistication, des coordonnées homogènespermettent d’effacer les dénominateurs en multipliant par un scalaire commun. Pour un point unique donné, on peut faire cela et ne pas laisser de facteur commun p . Quelle que soit la manière dont la théorie de la singularité entre en jeu : un point non singulier peut devenir un point singulier lors de la réduction modulo p , car l’ espace tangent de Zariski peut devenir plus grand lorsque les termes linéaires se réduisent à 0 (la formulation géométrique montre que ce n’est pas la faute d’un seul ensemble de coordonnées ). Une bonne réduction fait référence à la variété réduite ayant les mêmes propriétés que l’original, par exemple, une courbe algébriqueayant le même genre , ou une variété lisse restant lisse. En général, il y aura un ensemble fini S de nombres premiers pour une variété donnée V , supposée lisse, telle qu’il existe par ailleurs un V _p réduit lisse sur Z / p Z . Pour les variétés abéliennes , une bonne réduction est liée à une ramification dans le domaine des points de partage par le critère de Néron–Ogg–Shafarevich. La théorie est subtile, en ce sens que la liberté de changer les variables pour essayer d’améliorer les choses est assez peu évidente : voir modèle de Néron , bonne réduction potentielle , courbe de Tate , variété abélienne semi -stable , courbe elliptique semi -stable , théorème de Serre-Tate . ^[16] Conjecture de Grothendieck-Katz La conjecture de la courbure p de Grothendieck – Katz applique la réduction modulo des nombres premiers aux équations différentielles algébriques , pour dériver des informations sur les solutions de fonctions algébriques . C’est un problème ouvert depuis 2016 ^{[mettre à jour]}. Le résultat initial de ce type était le théorème d’Eisenstein .

H

Principe de Hasse Le principe de Hasse stipule que la solubilité pour un champ global est la même que la solubilité dans tous les champs locaux pertinents . L’un des principaux objectifs de la géométrie diophantienne est de classer les cas où le principe de Hasse est valable. C’est généralement pour un grand nombre de variables, lorsque le degré d’une équation est maintenu fixe. Le principe de Hasse est souvent associé au succès de la méthode du cercle de Hardy-Littlewood . Lorsque la méthode du cercle fonctionne, elle peut fournir des informations quantitatives supplémentaires telles que le nombre asymptotique de solutions. La réduction du nombre de variables rend la méthode du cercle plus difficile ; donc des défaillances du principe de Hasse, par exemple pour les formes cubiques en petit nombre de variables (et en particulier pour les courbes elliptiques comme les courbes cubiques ) sont à un niveau général lié aux limites de l’approche analytique. Fonction L de Hasse – Weil Une fonction L de Hasse-Weil , parfois appelée fonction L globale , est un produit d’Euler formé à partir de fonctions zêta locales. Les propriétés de ces fonctions L restent largement du domaine de la conjecture, la preuve de la conjecture de Taniyama-Shimura étant une percée. La philosophie de Langlands est largement complémentaire de la théorie des fonctions L globales. Fonction hauteur Une fonction de hauteur en géométrie diophantienne quantifie la taille des solutions aux équations diophantiennes. ^[17] Champs hilbertiens Un corps hilbertien K est un corps pour lequel les espaces projectifs sur K ne sont pas des ensembles minces au sens de Jean-Pierre Serre . Il s’agit d’une interprétation géométrique du théorème d’irréductibilité de Hilbert qui montre que les nombres rationnels sont hilbertiens. Les résultats sont appliqués au problème de Galois inverse . Les ensembles minces (le mot français est mince ) sont en quelque sorte analogues aux ensembles maigres ( français maigre ) du théorème de la catégorie de Baire.

je

Fonction zêta d’Igusa Une fonction zêta d’Igusa , du nom de Jun-ichi Igusa , est une fonction génératrice comptant des nombres de points sur une variété algébrique modulo les grandes puissances p ⁿ d’un nombre premier fixe p . Les théorèmes généraux de rationalité sont maintenant connus, s’appuyant sur les méthodes de la logique mathématique . ^[18] Descente infinie La descente infinie était la méthode classique de Pierre de Fermat pour les équations diophantiennes. Il est devenu la moitié de la preuve standard du théorème de Mordell-Weil, l’autre étant un argument avec des fonctions de hauteur (qv). La descente est quelque chose comme la division par deux dans un groupe d’ espaces principaux homogènes (souvent appelés « descentes », lorsqu’ils sont écrits par des équations) ; en termes plus modernes dans un groupe de cohomologie de Galois qui doit être prouvé fini. Voir groupe Selmer . Théorie d’Iwasawa La théorie d’Iwasawa s’appuie sur la théorie analytique des nombres et le théorème de Stickelberger en tant que théorie des groupes de classes idéaux en tant que modules de Galois et fonctions L p-adiques (avec des racines dans la congruence de Kummer sur les nombres de Bernoulli ). À ses débuts à la fin des années 1960, on l’appelait l’analogue d’ Iwasawa du jacobien . L’analogie était avec la variété jacobienne J d’une courbe C sur un corps fini F ( qua variété Picard), où le corps fini a des racines d’unité ajoutées pour faire des extensions de corps finis F ′ La fonction zêta locale (qv) de C peut être récupérée à partir des points J ( F ′) comme module de Galois. De la même manière, Iwasawa a ajouté p ⁿ -racines de puissance de l’unité pour p fixé et avec n → ∞, pour son analogue, à un corps de nombres K , et a considéré la limite inverse des groupes de classes, trouvant un p-fonction L adic introduite précédemment par Kubota et Leopoldt.

K

K-théorie La K-théorie algébrique est d’une part une théorie assez générale avec une saveur d’algèbre abstraite , et, d’autre part, impliquée dans certaines formulations de conjectures arithmétiques. Voir par exemple la conjecture de Birch-Tate , la conjecture de Lichtenbaum .

L

Conjecture de Lang Enrico Bombieri (dimension 2), Serge Lang et Paul Vojta (cas des points intégraux) et Piotr Blass ont conjecturé que les variétés algébriques de type général n’ont pas de sous-ensembles denses de Zariski de K -points rationnels, pour K un corps de type fini. Ce cercle d’idées comprend la compréhension de l’hyperbolicité analytique et les conjectures de Lang à ce sujet, ainsi que les conjectures de Vojta. Une variété algébrique analytiquement hyperbolique V sur les nombres complexes est telle qu’aucune application holomorphede tout le plan complexe à celui-ci existe, ce n’est pas constant. Les exemples incluent les surfaces de Riemann compactes de genre g > 1. Lang a conjecturé que V est analytiquement hyperbolique si et seulement si toutes les sous-variétés sont de type général. ^[19] Tore linéaire Un tore linéaire est un sous-groupe Zariski-fermé géométriquement irréductible d’un tore affine (produit de groupes multiplicatifs). ^[20] Fonction zêta locale Une fonction zêta locale est une fonction génératrice du nombre de points d’une variété algébrique V sur un corps fini F , sur les extensions de corps finis de F . Selon les conjectures de Weil (qv), ces fonctions, pour les variétés non singulières , présentent des propriétés étroitement analogues à la fonction zêta de Riemann , y compris l’ hypothèse de Riemann .

M

Conjecture de Manin-Mumford La conjecture de Manin-Mumford , maintenant démontrée par Michel Raynaud , énonce qu’une courbe C dans sa variété jacobienne J ne peut contenir qu’un nombre fini de points d’ordre fini dans J , à moins que C = J . ^{[21] [22]} Conjecture de Mordell La conjecture de Mordell est maintenant le théorème de Faltings et stipule qu’une courbe de genre au moins deux n’a qu’un nombre fini de points rationnels. La conjecture d’uniformité stipule qu’il devrait y avoir une borne uniforme sur le nombre de ces points, en fonction uniquement du genre et du domaine de définition. Conjecture de Mordell-Lang La conjecture de Mordell–Lang, désormais prouvée par McQuillan suite aux travaux de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta et Faltings , est une conjecture de Lang unifiant la conjecture de Mordell et la conjecture de Manin–Mumford en une variété abélienne ou semiabélienne . ^{[23] [24]} Théorème de Mordell-Weil Le théorème de Mordell–Weil est un résultat fondamental indiquant que pour une variété abélienne A sur un corps de nombres K , le groupe A ( K ) est un groupe abélien de type fini . Cela a été prouvé initialement pour les corps de nombres K , mais s’étend à tous les corps de type fini. Variété Mordellique Une variété mordellique est une variété algébrique qui n’a qu’un nombre fini de points dans tout corps de type fini. ^[25]

N

Hauteur naïve La hauteur naïve ou hauteur classique d’un vecteur de nombres rationnels est la valeur absolue maximale du vecteur d’entiers premiers entre eux obtenue en multipliant par un plus petit dénominateur commun . Cela peut être utilisé pour définir la hauteur d’un point de l’espace projectif sur Q , ou d’un polynôme, considéré comme un vecteur de coefficients, ou d’un nombre algébrique, à partir de la hauteur de son polynôme minimal. ^[26] Symbole Néron Le symbole de Néron est un appariement bimultiplicatif entre diviseurs et cycles algébriques sur une variété abélienne utilisée dans la formulation de Néron de la hauteur de Néron-Tate comme somme des contributions locales. ^{[27] [28] [29]} Le symbole global de Néron, qui est la somme des symboles locaux, est juste le négatif de l’appariement de hauteur. ^[30] Hauteur Néron-Tate La hauteur de Néron–Tate (également souvent appelée hauteur canonique ) sur une variété abélienne A est une fonction de hauteur (qv) qui est essentiellement intrinsèque, et une forme quadratique exacte , plutôt qu’approximativement quadratique par rapport à l’addition sur A comme fournies par la théorie générale des hauteurs. Elle peut être définie à partir d’une hauteur générale par un procédé limitatif ; il y a aussi des formules, dans le sens où c’est une somme de contributions locales. ^[30] Invariant de Nevanlinna L’ invariant de Nevanlinna d’un diviseur ample D sur une variété projective normale X est un nombre réel qui décrit le taux de croissance du nombre de points rationnels sur la variété par rapport au plongement défini par le diviseur. ^[31] Il a des propriétés formelles similaires à l’abscisse de convergence de la fonction zêta de hauteur et on suppose qu’elles sont essentiellement les mêmes. ^[32]

O

Réduction ordinaire Une variété abélienne A de dimension d a une réduction ordinaire en un nombre premier p si elle a une bonne réduction en p et de plus la p – torsion est de rang d . ^[33]

Q

Clôture quasi-algébrique Le thème de la fermeture quasi-algébrique , c’est-à-dire la solubilité garantie par un certain nombre de variables polynomiales dans le degré d’une équation, est né des études du groupe de Brauer et du théorème de Chevalley-Warning . Il a calé face aux contre- exemples ; mais voir le théorème Ax-Kochen de la logique mathématique .

R

Réduction modulo un nombre premier ou idéal Voir bonne réduction . Idéal complet Un idéal rempli dans un corps de nombres K est un produit formel d’un idéal fractionnaire de K et d’un vecteur de nombres réels positifs dont les composantes sont indexées par les places infinies de K . ^[34] Un diviseur plein est un diviseur d’Arakelov . ^[4]

S

Conjecture de Sato-Tate La conjecture de Sato-Tate décrit la distribution des éléments de Frobenius dans les modules de Tate des courbes elliptiques sur des champs finis obtenus en réduisant une courbe elliptique donnée sur les rationnels. Mikio Sato et, indépendamment, John Tate ^[35] l’ont proposé vers 1960. C’est un prototype des représentations galoisiennes en général. La méthode de Skolem Voir la méthode de Chabauty . Ensemble spécial L’ ensemble spécial dans une variété algébrique est le sous-ensemble dans lequel on pourrait s’attendre à trouver de nombreux points rationnels. La définition précise varie selon le contexte. Une définition est la clôture de Zariski de l’union d’images de groupes algébriques sous des applications rationnelles non triviales ; alternativement on peut prendre des images de variétés abéliennes ; ^[36] une autre définition est l’union de toutes les sous-variétés qui ne sont pas de type général. ^[19] Pour les variétés abéliennes, la définition serait l’union de toutes les traductions des sous-variétés abéliennes propres. ^[37] Pour une variété complexe, l’ ensemble spécial holomorpheest la clôture de Zariski des images de toutes les applications holomorphes non constantes de C . Lang a conjecturé que les ensembles spéciaux analytiques et algébriques sont égaux. ^[38] Théorème du sous-espace Le théorème du sous-espace de Schmidt montre que les points de petite hauteur dans l’espace projectif se trouvent dans un nombre fini d’hyperplans. Une forme quantitative du théorème, dans laquelle le nombre de sous-espaces contenant toutes les solutions, a également été obtenue par Schmidt, et le théorème a été généralisé par Schlickewei (1977) pour permettre des valeurs absolues plus générales sur les corps de nombres . Le théorème peut être utilisé pour obtenir des résultats sur les équations diophantiennes telles que le théorème de Siegel sur les points intégraux et la solution de l’ équation de l’ unité S. ^[39]

J

Numéros Tamagawa La définition directe du nombre de Tamagawa ne fonctionne bien que pour les groupes algébriques linéaires . Là, la conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa a finalement été prouvée. Pour les variétés abéliennes, et en particulier la conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer (qv), l’approche des nombres de Tamagawa à un principe local-global échoue lors d’une tentative directe, bien qu’elle ait eu une valeur heuristique pendant de nombreuses années. Maintenant, une conjecture sophistiquée de nombres de Tamagawa équivariants est un problème de recherche majeur. Conjecture de Tate La conjecture de Tate ( John Tate , 1963) a fourni un analogue à la conjecture de Hodge , également sur les cycles algébriques , mais bien dans la géométrie arithmétique. Elle a aussi donné, pour les surfaces elliptiques , un analogue de la conjecture de Birch–Swinnerton-Dyer (qv), conduisant rapidement à une clarification de cette dernière et à une reconnaissance de son importance. Courbe de Tate La courbe de Tate est une courbe elliptique particulière sur les nombres p-adiques introduite par John Tate pour étudier la mauvaise réduction (voir bonne réduction ). Rang Tsen Le rang de Tsen d’un corps, du nom de CC Tsen qui a introduit leur étude en 1936, ^[40] est le plus petit nombre naturel i , s’il existe, tel que le corps soit de classe T _i : c’est-à-dire tel que tout système de polynômes sans terme constant de degré d _j dans n variables a un zéro non trivial chaque fois que n > Σ d _j ⁱ . Les corps algébriquement clos sont de rang Tsen zéro. Le rang Tsen est supérieur ou égal à la dimension diophantiennemais on ne sait pas s’ils sont égaux sauf dans le cas du rang zéro. ^[41]

tu

Conjecture d’uniformité La conjecture d’uniformité stipule que pour tout corps de nombres K et g > 2, il existe une borne uniforme B ( g , K ) sur le nombre de points K -rationnels sur toute courbe de genre g . La conjecture découlerait de la conjecture de Bombieri-Lang . ^[42] Intersection improbable Une intersection improbable est un sous-groupe algébrique croisant une sous-variété d’un tore ou d’une variété abélienne dans un ensemble de dimension inhabituellement grande, comme cela est impliqué dans la conjecture de Mordell-Lang . ^[43]

V

Conjecture de Vojta La conjecture de Vojta est un complexe de conjectures de Paul Vojta , faisant des analogies entre l’approximation diophantienne et la théorie de Nevanlinna .

O

Poids Le yoga des poids est une formulation par Alexander Grothendieck des analogies entre la théorie de Hodge et la cohomologie l-adique . ^[44] Cohomologie de Weil L’idée initiale, plus tard quelque peu modifiée, pour prouver les conjectures de Weil (qv), était de construire une théorie de cohomologie s’appliquant aux variétés algébriques sur des corps finis qui serait à la fois aussi bonne que l’homologie singulière pour détecter la structure topologique, et aurait des applications de Frobenius agissant dans de telle manière que le théorème du point fixe de Lefschetz pourrait être appliqué au comptage dans les fonctions zêta locales . Pour l’histoire ultérieure, voir motif (géométrie algébrique) , cohomologie motivique . Conjectures de Weil Les conjectures de Weil étaient trois conjectures très influentes d’ André Weil , rendues publiques vers 1949, sur les fonctions zêta locales. La preuve a été achevée en 1973. Celles-ci étant prouvées, il reste des extensions de la congruence du théorème de Chevalley-Warning , qui provient d’une méthode élémentaire, et des améliorations des bornes de Weil , par exemple de meilleures estimations pour les courbes du nombre de points que celles issues de la base de Weil. théorème de 1940. Ce dernier s’avère intéressant pour les codes de Goppa . Distributions de Weil sur les variétés algébriques André Weil a proposé une théorie dans les années 1920 et 1930 sur la décomposition idéale des nombres algébriques premiers en coordonnées de points sur les variétés algébriques. Il est resté quelque peu sous-développé. Fonction de Weil Une fonction de Weil sur une variété algébrique est une fonction à valeurs réelles définie à partir d’un diviseur de Cartier qui généralise le concept de fonction de Green dans la théorie d’Arakelov . ^[45] Ils sont utilisés dans la construction des composantes locales de la hauteur Néron-Tate . ^[46] Machine à hauteur Weil La machine de hauteur de Weil est une procédure efficace pour attribuer une fonction de hauteur à tout diviseur sur une variété projective lisse sur un corps de nombres (ou aux diviseurs de Cartier sur des variétés non lisses). ^[47]

Voir également

• Topologie arithmétique
• Dynamique arithmétique

Références

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Lectures complémentaires

• Dino Lorenzini (1996), Une invitation à la géométrie arithmétique , Librairie AMS, ISBN 978-0-8218-0267-0