Entier naturel

En mathématiques , les nombres naturels sont les nombres utilisés pour compter (comme dans “il y a six pièces sur la table”) et ordonner (comme dans “c’est la troisième plus grande ville du pays”).

Le symbole N majuscule à double frappe , souvent utilisé pour désigner l’ensemble de tous les nombres naturels (voir Glossaire des symboles mathématiques ). Les nombres naturels peuvent être utilisés pour compter (une pomme, deux pommes, trois pommes, …)

Les nombres utilisés pour compter sont appelés nombres cardinaux , et les nombres utilisés pour ordonner sont appelés nombres ordinaux . Les nombres naturels sont parfois utilisés comme étiquettes, appelés nombres nominaux , n’ayant aucune des propriétés des nombres au sens mathématique (par exemple , les numéros de maillot de sport ). ^{[1] [2]}

Certaines définitions, dont la norme ISO 80000-2 , ^{[3] [a]} commencent les nombres naturels par 0 , correspondant aux entiers non négatifs 0, 1, 2, 3, … , alors que d’autres commencent par 1 , correspondant aux entiers positifs 1, 2, 3, … ^{[4] [b]} Les textes qui excluent zéro des nombres naturels se réfèrent parfois aux nombres naturels avec zéro comme nombres entiers , alors que dans d’autres écrits, ce terme est utilisé à la place pour les entiers (y compris les entiers négatifs). ^[5]

Les nombres naturels sont une base à partir de laquelle de nombreux autres ensembles de nombres peuvent être construits par extension : les entiers , en incluant (si pas encore dans) l’ Élément neutre 0 et un inverse additif ( − n ) pour chaque nombre naturel non nul n ; les nombres rationnels , en incluant un inverse multiplicatif ( 1 n {displaystyle {tfrac {1}{n}}} ) pour chaque entier non nul n (et aussi le produit de ces inverses par des entiers) ; les nombres réels en incluant avec les rationnels les limites des suites de Cauchy (convergentes) de rationnels ; les nombres complexes , en incluant avec les nombres réels la racine carrée non résolue de moins un (ainsi que leurs sommes et leurs produits) ; etc. ^{[c] [d]} Cette chaîne d’extensions rend les nombres naturels canoniquement intégrés (identifiés) dans les autres systèmes de nombres.

Les propriétés des nombres naturels, telles que la Divisibilité et la distribution des nombres premiers , sont étudiées en théorie des nombres . Les problèmes concernant le comptage et l’ordre, tels que le partitionnement et les énumérations , sont étudiés en combinatoire .

Dans le langage courant, en particulier dans l’enseignement primaire, les nombres naturels peuvent être appelés nombres comptés ^[6] pour exclure intuitivement les nombres entiers négatifs et zéro, et aussi pour opposer la discrétion du comptage à la continuité de la mesure – une caractéristique caractéristique des nombres réels .

Histoire

Racines anciennes

On pense que l’os d’Ishango (en exposition à l’ Institut royal des Sciences naturelles de Belgique ) ^{[7] [8] [9]} a été utilisé il y a 20 000 ans pour l’arithmétique des nombres naturels.

La méthode la plus primitive de représentation d’un nombre naturel consiste à mettre une marque pour chaque objet. Plus tard, un ensemble d’objets pourrait être testé pour l’égalité, l’excès ou le manque – en supprimant une marque et en supprimant un objet de l’ensemble.

La première avancée majeure dans l’abstraction a été l’utilisation de chiffres pour représenter les nombres. Cela a permis de développer des systèmes pour enregistrer de grands nombres. Les anciens Égyptiens ont développé un puissant système de chiffres avec des hiéroglyphes distincts pour 1, 10 et toutes les puissances de 10 jusqu’à plus de 1 million. Une sculpture sur pierre de Karnak , datant d’environ 1500 avant notre ère et maintenant au Louvre à Paris, représente 276 comme 2 centaines, 7 dizaines et 6 unités ; et de même pour le nombre 4 622. Les Babyloniens avaient une valeur de positionsystème basé essentiellement sur les chiffres pour 1 et 10, en base soixante, de sorte que le symbole pour soixante était le même que le symbole pour un – sa valeur étant déterminée à partir du contexte. ^[dix]

Une avancée beaucoup plus tardive a été le développement de l’idée que 0 peut être considéré comme un nombre, avec son propre chiffre. L’utilisation d’un chiffre 0 dans la notation de la valeur de position (dans d’autres nombres) remonte à 700 avant notre ère par les Babyloniens, qui ont omis un tel chiffre alors qu’il aurait été le dernier symbole du nombre. ^[e] Les civilisations Olmèque et maya utilisaient 0 comme nombre séparé dès le 1er siècle avant notre ère , mais cet usage ne s’est pas répandu au-delà de la Mésoamérique . ^{[12] [13]} L’utilisation d’un chiffre 0 dans les temps modernes est née avec le mathématicien indien Brahmaguptaen 628 de notre ère. Cependant, 0 avait été utilisé comme nombre dans le comput médiéval (le calcul de la date de Pâques), en commençant par Dionysius Exiguus en 525 CE, sans être désigné par un chiffre (les chiffres romains standard n’ont pas de symbole pour 0). Au lieu de cela, nulla (ou la forme génitive nullae ) de nullus , le mot latin pour “aucun”, a été employé pour désigner une valeur 0. ^[14]

La première étude systématique des nombres en tant qu’abstractions est généralement attribuée aux philosophes grecs Pythagore et Archimède . Certains mathématiciens grecs ont traité le nombre 1 différemment des nombres plus grands, parfois même pas du tout comme un nombre. ^[f] Euclide , par exemple, a d’abord défini une unité, puis un nombre comme une multitude d’unités, ainsi, selon sa définition, une unité n’est pas un nombre et il n’y a pas de nombres uniques (par exemple, deux unités d’un nombre indéfini d’unités sont un 2). ^[16]

Des études indépendantes sur les nombres ont également eu lieu à peu près au même moment en Inde , en Chine et en Mésoamérique . ^[17]

Définitions modernes

Dans l’Europe du XIXe siècle, il y avait des discussions mathématiques et philosophiques sur la nature exacte des nombres naturels. Une école ^{[ laquelle ? ]} du naturalisme a déclaré que les nombres naturels étaient une conséquence directe de la psyché humaine. Henri Poincaré était l’un de ses partisans, tout comme Léopold Kronecker , qui résumait sa croyance comme suit : “Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’homme”. ^[g]

Contrairement aux naturalistes, les constructivistes ont vu un besoin d’améliorer la rigueur logique dans les fondements des mathématiques . ^[h] Dans les années 1860, Hermann Grassmann a suggéré une définition récursive des nombres naturels, déclarant ainsi qu’ils n’étaient pas vraiment naturels, mais une conséquence des définitions. Plus tard, deux classes de telles définitions formelles ont été construites; plus tard encore, ils se sont avérés équivalents dans la plupart des applications pratiques.

Les définitions théoriques des ensembles des nombres naturels ont été initiées par Frege . Il a initialement défini un nombre naturel comme la classe de tous les ensembles qui sont en correspondance biunivoque avec un ensemble particulier. Cependant, cette définition s’est avérée conduire à des paradoxes, dont le paradoxe de Russell . Pour éviter de tels paradoxes, le formalisme a été modifié de sorte qu’un nombre naturel est défini comme un ensemble particulier, et tout ensemble qui peut être mis en correspondance biunivoque avec cet ensemble est dit avoir ce nombre d’éléments. ^[20]

La deuxième classe de définitions a été introduite par Charles Sanders Peirce , raffinée par Richard Dedekind , et explorée plus avant par Giuseppe Peano ; cette approche est maintenant appelée Arithmétique de Peano . Elle est basée sur une Axiomatisation des propriétés des nombres ordinaux : chaque nombre naturel a un successeur et chaque nombre naturel non nul a un prédécesseur unique. L’Arithmétique de Peano est équicohérente avec plusieurs systèmes faibles de la théorie des ensembles. Un tel système est ZFC avec l’ axiome de l’infini remplacé par sa négation. Les théorèmes qui peuvent être prouvés dans ZFC mais ne peuvent pas être prouvés à l’aide des axiomes de Peano incluentThéorème de Goodstein . ^[21]

Avec toutes ces définitions, il est commode d’inclure 0 (correspondant à l’ ensemble vide ) comme nombre naturel. Inclure 0 est maintenant la convention commune parmi les théoriciens des ensembles ^[22] et les logiciens . ^[23] D’autres mathématiciens incluent également 0, ^[a] et les langages informatiques commencent souvent à partir de zéro lors de l’énumération d’éléments tels que des compteurs de boucles et des éléments de chaîne ou de tableau . ^{[24] [25]} D’autre part, de nombreux mathématiciens ont conservé la tradition plus ancienne de prendre 1 comme premier nombre naturel. ^[26]

Notation

Les mathématiciens utilisent N ou N {displaystyle mathbb {N} } pour désigner l’ ensemble de tous les nombres naturels. ^{[1] [27]} L’existence d’un tel ensemble est établie dans la théorie des ensembles . Des textes plus anciens ont également parfois utilisé J comme symbole de cet ensemble. ^[28]

Étant donné que différentes propriétés sont habituellement associées aux jetons 0 et 1 (par exemple, des éléments neutres pour l’addition et les multiplications, respectivement), il est important de savoir quelle version des nombres naturels est employée dans le cas considéré. Cela peut être fait par une explication en prose, en écrivant explicitement l’ensemble, ou en qualifiant l’identifiant générique avec un exposant ou un indice, ^{[3] [29]} par exemple, comme ceci :

• Naturels sans zéro : { 1 , 2 , . . . } = N ∗ = N + = N 0 ∖ { 0 } = N 1 {displaystyle {1,2,…}=mathbb {N} ^{*}=mathbb {N} ^{+}=mathbb {N} _{0}smallsetminus {0 }=mathbb {N} _{1}}
• Naturels avec zéro : { 0 , 1 , 2 , . . . } = N 0 = N 0 = N ∗ ∪ { 0 } {displaystyle ;{0,1,2,…}=mathbb {N} _{0}=mathbb {N} ^{0}=mathbb {N} ^{*}cup {0}}

Alternativement, puisque les nombres naturels forment naturellement un sous- ensemble des nombres entiers (souvent notés Z {displaystyle mathbb {Z} } ), ils peuvent être appelés respectivement entiers positifs ou entiers non négatifs. ^[30] Pour être sans ambiguïté quant à savoir si 0 est inclus ou non, parfois un indice (ou exposant) “0” est ajouté dans le premier cas, et un exposant ” * ” est ajouté dans le dernier cas : ^[3]

{ 1 , 2 , 3 , … } = { x ∈ Z : x > 0 } = Z + = Z > 0 {displaystyle {1,2,3,dots }={xin mathbb {Z} :x>0}=mathbb {Z} ^{+}=mathbb {Z} _{ >0}} { 0 , 1 , 2 , … } = { x ∈ Z : x ≥ 0 } = Z 0 + = Z ≥ 0 {displaystyle {0,1,2,dots }={xin mathbb {Z} :xgeq 0}=mathbb {Z} _{0}^{+}=mathbb {Z} _{geq 0}}

Propriétés

Une addition

Étant donné l’ensemble N {displaystyle mathbb {N} } des nombres naturels et la fonction successeur S : N → N {displaystyle Sdeux-points mathbb {N} to mathbb {N} } en envoyant chaque nombre naturel au suivant, on peut définir l’ addition des nombres naturels de manière récursive en posant a + 0 = a et a + S ( b ) = S ( a + b ) pour tout a , b . Alors (N, +) est un monoïde Commutatif d’ élément d’identité 0. C’est un monoïde libre sur un générateur. Ce monoïde Commutatif satisfait la propriété d’annulation , il peut donc être plongé dans un groupe. Le plus petit groupe contenant les nombres naturels est celui des nombres entiers .

Si 1 est défini comme S (0) , alors b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . Autrement dit, b + 1 est simplement le successeur de b .

Multiplication

De manière analogue, étant donné que l’addition a été définie, un opérateur de multiplication × { style d’affichage fois } peut être défini via a × 0 = 0 et a × S( b ) = ( a × b ) + a . Cela transforme (N ^* , ×) en un Monoïde commutatif libre avec l’élément d’identité 1 ; un groupe électrogène pour ce monoïde est l’ensemble des nombres premiers .

Relation entre addition et multiplication

L’addition et la multiplication sont compatibles, ce qui s’exprime dans la loi de distribution : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Ces propriétés d’addition et de multiplication font des nombres naturels une instance d’un semi- anneau Commutatif . Les semi-anneaux sont une généralisation algébrique des nombres naturels où la multiplication n’est pas nécessairement commutative. L’absence d’inverses additifs, ce qui équivaut au fait que N n’est pas fermésoustraction (c’est-à-dire que soustraire un naturel d’un autre ne donne pas toujours un autre naturel), signifie que N n’est pas un anneau ; au lieu de cela, il s’agit d’un semi- anneau (également appelé rig ).

Si les nombres naturels sont pris comme “excluant 0” et “commençant à 1”, les définitions de + et × sont comme ci-dessus, sauf qu’ils commencent par a + 1 = S ( a ) et a × 1 = a .

Commande

Dans cette section, des variables juxtaposées telles que ab indiquent le produit a × b , ^[31] et l’ ordre standard des opérations est supposé.

Un ordre total sur les nombres naturels est défini en laissant a ≤ b si et seulement s’il existe un autre nombre naturel c où a + c = b . Cet ordre est compatible avec les Opérations arithmétiques dans le sens suivant : si a , b et c sont des nombres naturels et a ≤ b , alors a + c ≤ b + c et ac ≤ bc .

Une propriété importante des nombres naturels est qu’ils sont bien ordonnés : tout ensemble non vide de nombres naturels a un plus petit élément. Le rang parmi les ensembles bien ordonnés est exprimé par un nombre ordinal ; pour les nombres naturels, cela est noté ω (oméga).

Division

Dans cette section, des variables juxtaposées telles que ab indiquent le produit a × b , et l’ ordre standard des opérations est supposé.

Alors qu’il n’est en général pas possible de diviser un nombre naturel par un autre et d’obtenir un nombre naturel comme résultat, la procédure de division avec reste ou division euclidienne est disponible comme substitut : pour deux nombres naturels quelconques a et b avec b ≠ 0 il y a sont des nombres naturels q et r tels que

a = b q + r and r < b . {displaystyle a=bq+r{text{ et }}r<b.}

Le nombre q s’appelle le quotient et r s’appelle le reste de la division de a par b . Les nombres q et r sont uniquement déterminés par a et b . Cette division euclidienne est la clé de plusieurs autres propriétés ( Divisibilité ), algorithmes (tels que l’ algorithme euclidien ) et idées en théorie des nombres.

Propriétés algébriques satisfaites par les nombres naturels

Les opérations d’addition (+) et de multiplication (×) sur les nombres naturels telles que définies ci-dessus ont plusieurs propriétés algébriques :

• Clôture sous addition et multiplication : pour tous les nombres naturels a et b , a + b et a × b sont des nombres naturels. ^[32]
• Associativité : pour tous les nombres naturels a , b et c , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c et a × ( b × c ) = ( a × b ) × c . ^[33]
• Commutativité : pour tous les nombres naturels a et b , a + b = b + a et a × b = b × a . ^[34]
• Existence d’ éléments identiques : pour tout nombre naturel a , a + 0 = a et a × 1 = a .
• Distributivité de la multiplication sur l’addition pour tous les nombres naturels a , b et c , a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
• Pas de diviseurs nuls non nuls : si a et b sont des nombres naturels tels que a × b = 0 , alors a = 0 ou b = 0 (ou les deux).

Infini

L’ensemble des nombres naturels est un ensemble infini . Par définition, ce type d’ infini est appelé infini dénombrable . On dit que tous les ensembles qui peuvent être mis dans une relation bijective avec les nombres naturels ont ce genre d’infini. Cela s’exprime également en disant que le nombre cardinal de l’ensemble est aleph-zéro ( א ₀ ). ^[35]

Généralisations

Deux généralisations importantes des nombres naturels découlent des deux utilisations du comptage et de l’ordre : les nombres cardinaux et les nombres ordinaux .

• Un nombre naturel peut être utilisé pour exprimer la taille d’un ensemble fini ; plus précisément, un nombre cardinal est une mesure de la taille d’un ensemble, qui convient même aux ensembles infinis. Ce concept de “taille” repose sur des applications entre ensembles, telles que deux ensembles ont la même taille , exactement s’il existe une bijection entre eux. L’ensemble des nombres naturels lui-même, et toute image bijective de celui-ci, est dit dénombrable infini et de cardinalité aleph-null ( א ₀ ).
• Les nombres naturels sont également utilisés comme nombres ordinaux linguistiques : “premier”, “deuxième”, “troisième”, etc. De cette façon, ils peuvent être affectés aux éléments d’un ensemble fini totalement ordonné, ainsi qu’aux éléments de tout ensemble infini dénombrable bien ordonné . Cette affectation peut être généralisée aux bons ordonnancements généraux avec une cardinalité au-delà de la dénombrabilité, pour donner les nombres ordinaux. Un nombre ordinal peut aussi être utilisé pour décrire la notion de “taille” pour un ensemble bien ordonné, dans un sens différent de la cardinalité : s’il existe un isomorphisme d’ordre (plus qu’une bijection !) entre deux ensembles bien ordonnés, ils ont le même nombre ordinal. Le premier nombre ordinal qui n’est pas un nombre naturel est exprimé par ω; c’est aussi le nombre ordinal de l’ensemble des nombres naturels lui-même.

Le plus petit ordinal de cardinalité א ₀ (c’est-à-dire l’ ordinal initial de א ₀ ) est ω mais de nombreux ensembles bien ordonnés de nombre cardinal א ₀ ont un nombre ordinal supérieur à ω .

Pour les ensembles finis bien ordonnés, il existe une correspondance biunivoque entre les nombres ordinaux et cardinaux ; par conséquent, ils peuvent tous deux être exprimés par le même nombre naturel, le nombre d’éléments de l’ensemble. Ce nombre peut également être utilisé pour décrire la position d’un élément dans une séquence finie ou infinie plus grande .

Un modèle dénombrable non standard d’arithmétique satisfaisant l’Arithmétique de Peano (c’est-à-dire les axiomes de Peano du premier ordre) a été développé par Skolem en 1933. Les nombres hypernaturels sont un modèle indénombrable qui peut être construit à partir des nombres naturels ordinaires via la construction ultrapuissance .

Georges Reeb avait l’habitude d’affirmer de manière provocante que Les entiers naïfs ne remplissent pas N . D’autres généralisations sont discutées dans l’article sur les nombres.

Définitions formelles

Axiomes de Peano

De nombreuses propriétés des nombres naturels peuvent être dérivées des cinq axiomes de Peano : ^{[36] [i]}

1. 0 est un nombre naturel.
2. Tout nombre naturel a un successeur qui est aussi un nombre naturel.
3. 0 n’est le successeur d’aucun nombre naturel.
4. Si le successeur de x {style d’affichage x} est égal au successeur de y {displaystyle y} , alors x {style d’affichage x} équivaut à y {displaystyle y} .
5. L’ axiome d’induction : Si un énoncé est vrai de 0, et si la vérité de cet énoncé pour un nombre implique sa vérité pour le successeur de ce nombre, alors l’énoncé est vrai pour tout nombre naturel.

Ce ne sont pas les axiomes originaux publiés par Peano, mais sont nommés en son honneur. Certaines formes des axiomes de Peano ont 1 à la place de 0. En arithmétique ordinaire, le successeur de x {style d’affichage x} est x + 1 {displaystyle x+1} . En remplaçant l’axiome 5 par un schéma d’axiomes, on obtient une théorie (plus faible) du premier ordre appelée arithmétique de Peano .

Constructions basées sur la théorie des ensembles

Ordinaires de Von Neumann

Dans le domaine des mathématiques appelé théorie des ensembles , une construction spécifique due à John von Neumann ^{[37] [38]} définit les nombres naturels comme suit :

• Ensemble 0 = { } , l’ ensemble vide ,
• Définissons S ( a ) = a ∪ { a } pour tout ensemble a . S ( a ) est le successeur de a , et S est appelée la fonction successeur .
• Par l’ axiome de l’infini , il existe un ensemble qui contient 0 et est fermé sous la fonction successeur. De tels ensembles sont dits inductifs . L’intersection de tous ces ensembles inductifs est définie comme étant l’ensemble des nombres naturels. On peut vérifier que l’ensemble des nombres naturels satisfait les axiomes de Peano .
• Il s’ensuit que chaque nombre naturel est égal à l’ensemble de tous les nombres naturels qui lui sont inférieurs :

• 0 = { } ,
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }} ,
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}} ,
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} ,
• n = n −1 ∪ { n −1} = {0, 1, …, n −1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, .. .}} , etc…

Avec cette définition, un nombre naturel n est un ensemble particulier à n éléments, et n ≤ m si et seulement si n est un sous- ensemble de m . La définition standard, maintenant appelée définition des ordinaux de von Neumann , est : “chaque ordinal est l’ensemble bien ordonné de tous les ordinaux plus petits”.

De plus, avec cette définition, différentes interprétations possibles de notations telles que R ⁿ ( n -uplets versus mappages de n dans R ) coïncident.

Même si l’on n’accepte pas l’axiome de l’infini et donc ne peut pas accepter que l’ensemble de tous les nombres naturels existe, il est toujours possible de définir l’un quelconque de ces ensembles.

Ordinaires de Zermelo

Bien que la construction standard soit utile, ce n’est pas la seule construction possible. La construction d’ Ernst Zermelo est la suivante : ^[38]

• Définir 0 = { }
• Définissons S ( une ) = { une } ,
• Il s’ensuit alors que

• 0 = { } ,
• 1 = {0} = {{ }} ,
• 2 = {1} = {{{ }}} ,
• n = { n −1} = {{{…}}} , etc.

Chaque entier naturel est alors égal à l’ensemble contenant uniquement l’entier naturel qui le précède. C’est la définition des ordinaux de Zermelo . Contrairement à la construction de von Neumann, les ordinaux de Zermelo ne s’étendent pas aux ordinaux infinis.

Voir également

• Portail des mathématiques

• Représentation canonique d’un entier positif – Représentation d’un nombre sous forme de produit de nombres premiers
• Ensemble dénombrable – Ensemble mathématique qui peut être énuméré
• Nombre ordinal – Généralisation de “n-ième” à des cas infinis
• Nombre cardinal – Taille d’un ensemble éventuellement infini
• Définition ensembliste des nombres naturels

Systèmes de numération Complexe : C {displaystyle :;mathbb {C} } Réel : R {displaystyle :;mathbb {R} } Rationnel : Q {displaystyle :;mathbb {Q}} Entier : Z {displaystyle :;mathbb {Z} } Naturel : N {displaystyle :;mathbb {N} } Zéro : 0 Un : 1 nombres premiers Nombres composés Entiers négatifs Fraction Décimal fini Dyadique (binaire fini) Décimal répétitif Irrationnel Algébrique irrationnel Transcendantal Imaginaire

Remarques

1. ^ ^{a b} Mac Lane & Birkhoff (1999 , p. 15) incluent zéro dans les nombres naturels : « Intuitivement, l’ensemble N = { 0 , 1 , 2 , … } {displaystyle mathbb {N} ={0,1,2,ldots }} de tous les nombres naturels peut être décrit comme suit : N {displaystyle mathbb {N} } contient un nombre “initial” 0 ; …’. Ils suivent cela avec leur version des axiomes de Peano .
2. ↑ Carothers (2000 , p. 3) dit : « N {displaystyle mathbb {N} } est l’ensemble des nombres naturels (entiers positifs)” Les deux définitions sont reconnues chaque fois que cela est pratique, et il n’y a pas de consensus général sur la question de savoir si zéro doit être inclus comme nombres naturels. ^[1]
3. ^ Mendelson (2008 , p. x) dit : « Toute la hiérarchie fantastique des systèmes de nombres est construite par des moyens purement théoriques ensemblistes à partir de quelques hypothèses simples sur les nombres naturels.
4. ^ Bluman (2010 , p. 1): “Les nombres constituent le fondement des mathématiques.”
5. ^ Une tablette trouvée à Kish … datant d’environ 700 avant JC, utilise trois crochets pour désigner une place vide dans la notation positionnelle. D’autres tablettes datant à peu près de la même époque utilisent un seul crochet pour une place vide. ^[11]
6. ^ Cette convention est utilisée, par exemple, dans les éléments d’Euclide , voir l’édition Web de D. Joyce du livre VII. ^[15]
7. ^ La traduction anglaise est de Gray. Dans une note de bas de page, Gray attribue la citation allemande à : “Weber 1891–1892, 19, citant une conférence de Kronecker de 1886.” ^{[18] [19]}
8. ^ “Une grande partie du travail mathématique du XXe siècle a été consacrée à l’examen des fondements logiques et de la structure du sujet.” ( Eves 1990 , p. 606)
9. ^ Hamilton (1988 , pp. 117 ff) les appelle “les postulats de Peano” et commence par “1. 0 est un nombre naturel”.
   Halmos (1960 , p. 46) utilise le langage de la théorie des ensembles au lieu du langage de l’arithmétique pour ses cinq axiomes. Il commence par “(I) 0 ∈ ω (où, bien sûr, 0 = ∅ ” ( ω est l’ensemble de tous les nombres naturels). Morash (1991) donne “un axiome en deux parties” dans lequel les nombres naturels commencent par 1. (Section 10.1 : Une Axiomatisation pour le système d’entiers positifs )

Références

1. ^ ^{un bc Weisstein} , Eric W. ” Nombre naturel ” . mathworld.wolfram.com . Récupéré le 11 août 2020 .
2. ^ “Nombres naturels” . Wiki Mathématiques et Sciences brillantes . Récupéré le 11 août 2020 .
3. ^ ^{un bc ” Ensembles} de nombres standard et intervalles” . ISO 80000-2:2009 . Organisation internationale de normalisation . p. 6.
4. ^ “nombre naturel” . Merriam-Webster.com . Merriam-Webster . Archivé de l’original le 13 décembre 2019 . Récupéré le 4 octobre 2014 .
5. ^ Ganssle, Jack G. & Barr, Michael (2003). “entier” . Dictionnaire des systèmes embarqués . pp. 138 (entier), 247 (entier signé) & 276 (entier non signé). ISBN 978-1-57820-120-4. Archivé de l’original le 29 mars 2017 . Récupéré le 28 mars 2017 – via Google Books.
6. ^ Weisstein, Eric W. “Compter le nombre” . MathWorld .
7. ^ “Introduction” . Os Ishango . Bruxelles, Belgique : Institut royal des Sciences naturelles de Belgique . Archivé de l’original le 4 mars 2016.
8. ^ “Présentation Flash” . Os Ishango . Bruxelles, Belgique : Institut royal des Sciences naturelles de Belgique . Archivé de l’original le 27 mai 2016.
9. ^ “L’os d’Ishango, République démocratique du Congo” . Portail de l’ UNESCO sur le patrimoine de l’ astronomie . Archivé de l’original le 10 novembre 2014. , en exposition permanente à l’ Institut royal des Sciences naturelles de Belgique , Bruxelles, Belgique.
10. ^ Ifrah, Georges (2000). L’histoire universelle des nombres . Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
11. ^ “Une histoire de Zéro” . MacTutor Histoire des mathématiques . Archivé de l’original le 19 janvier 2013 . Récupéré le 23 janvier 2013 .
12. ^ Mann, Charles C. (2005). 1491 : Nouvelles révélations des Amériques avant Christophe Colomb . Knopf. p. 19. ISBN 978-1-4000-4006-3. Archivé de l’original le 14 mai 2015 . Récupéré le 3 février 2015 – via Google Books.
13. ^ Evans, Brian (2014). “Chapitre 10. Mathématiques précolombiennes: les civilisations Olmèque, maya et inca” . Le développement des mathématiques à travers les siècles : une brève histoire dans un contexte culturel . John Wiley et fils. ISBN 978-1-118-85397-9– via Google Livres.
14. ^ Deckers, Michael (25 août 2003). “Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Cycle de dix-neuf ans de Dionysius” . Hbar.phys.msu.ru. Archivé de l’original le 15 janvier 2019 . Récupéré le 13 février 2012 .
15. ^ Euclide . “Livre VII, définitions 1 et 2” . Dans Joyce, D. (éd.). Éléments . Université Clark. Archivé de l’original le 5 août 2011.
16. ^ Mueller, Ian (2006). Philosophie des mathématiques et structure déductive dans les éléments d’Euclide . Mineola, New York : Publications de Douvres. p. 58. ISBN 978-0-486-45300-2. OCLC 69792712 .
17. ^ Kline, Morris (1990) [1972]. La pensée mathématique de l’Antiquité à l’époque moderne . Presse universitaire d’Oxford. ISBN 0-19-506135-7.
18. ^ Gris, Jeremy (2008). Le Fantôme de Platon : La transformation moderniste des mathématiques . Presse universitaire de Princeton. p. 153. ISBN 978-1-4008-2904-0. Archivé de l’original le 29 mars 2017 – via Google Books.
19. ^ Weber, Heinrich L. (1891–1892). “Kronecker” . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung[ Rapport annuel de l’Association allemande des mathématiciens ]. pp. 2:5–23. (La citation est à la p. 19). Archivé de l’original le 9 août 2018; “accès au Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ” . Archivé de l’original le 20 août 2017.
20. ^ Eves 1990 , chapitre 15
21. ^ Kirby, Laurie; Paris, Jeff (1982). “Résultats d’indépendance accessibles pour l’Arithmétique de Peano“. Bulletin de la London Mathematical Society . Wiley. 14 (4): 285–293. doi : 10.1112/blms/14.4.285 . ISSN 0024-6093 .
22. ^ Bagaria, Jeanne (2017). Théorie des ensembles (éd. Hiver 2014). L’Encyclopédie de philosophie de Stanford. Archivé de l’original le 14 mars 2015 . Récupéré le 13 février 2015 .
23. ^ Goldrei, Derek (1998). “3”. Théorie des ensembles classiques: une étude indépendante guidée (1. éd., 1. éd. imprimée). Boca Raton, Floride [ua] : Chapman & Hall/CRC. p. 33 . ISBN 978-0-412-60610-6.
24. ^ Brown, Jim (1978). “En défense de l’origine de l’index 0”. ACM SIGAPL APL Devis Quad . 9 (2): 7. doi : 10.1145/586050.586053 . S2CID 40187000 .
25. ^ Hui, Roger. “L’origine de l’index 0 est-elle un obstacle ?” . jsoftware.com . Archivé de l’original le 20 octobre 2015 . Récupéré le 19 janvier 2015 .
26. ^ Ceci est courant dans les textes sur l’analyse réelle . Voir, par exemple, Carothers (2000 , p. 3) ou Thomson, Bruckner & Bruckner (2000 , p. 2). harvtxt error: no target: CITEREFThomsonBrucknerBruckner2000 (help)
27. ^ “Liste des notations mathématiques utilisées sur le site Web des fonctions mathématiques : nombres, variables et fonctions” . fonctions.wolfram.com . Récupéré le 27 juillet 2020 .
28. ^ Rudin, W. (1976). Principes d’analyse mathématique . New York : McGraw Hill. p. 25. ISBN 978-0-07-054235-8.
29. ^ Grimaldi, Ralph P. (2004). Mathématiques discrètes et combinatoires: une introduction appliquée (5e éd.). Pearson Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.
30. ^ Grimaldi, Ralph P. (2003). Une revue des mathématiques discrètes et combinatoires (5e éd.). Boston : Addison-Wesley. p. 133. ISBN 978-0-201-72634-3.
31. ^ Weisstein, Eric W. “Multiplication” . mathworld.wolfram.com . Récupéré le 27 juillet 2020 .
32. ^ Fletcher, Harold; Howell, Arnold A. (9 mai 2014). Mathématiques avec Compréhension . Elsevier. p. 116. ISBN 978-1-4832-8079-0. …l’ensemble des nombres naturels est fermé par addition… l’ensemble des nombres naturels est fermé par multiplication
33. ^ Davisson, Schuyler Colfax (1910). Algèbre universitaire . Compagnie Mac Millian. p. 2. L’addition des nombres naturels est associative.
34. ^ Brandon, Bertha (M.); Brown, Kenneth E.; Gundlach, Bernard H.; Cooke, Ralph J. (1962). Série de mathématiques Laidlaw . Vol. 8. Laidlaw Bros p. 25.
35. ^ Weisstein, Eric W. “Numéro Cardinal” . MathWorld .
36. ^ Menthes, GE (éd.). “Axiomes de Peano” . Encyclopédie de Mathématiques . Springer , en coopération avec la Société mathématique européenne . Archivé de l’original le 13 octobre 2014 . Récupéré le 8 octobre 2014 .
37. ^ von Neumann (1923)
38. ^ ^{un prélèvement b} (1979) , p. 52 attribue l’idée aux travaux inédits de Zermelo en 1916 et à plusieurs articles de von Neumann dans les années 1920.

Bibliographie

• Bluman, Allan (2010). Pré-algèbre DeMYSTiFieD (deuxième éd.). Professionnel McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-174251-1– via Google Livres.
• Carothers, T.-N.-L. (2000). Analyse réelle . La presse de l’Universite de Cambridge. ISBN 978-0-521-49756-5– via Google Livres.
• Clapham, Christophe; Nicholson, James (2014). Le Concise Oxford Dictionary of Mathematics (cinquième éd.). Presse universitaire d’Oxford. ISBN 978-0-19-967959-1– via Google Livres.
• Dedekind, Richard (1963) [1901]. Essais sur la théorie des nombres . Traduit par Beman, Wooster Woodruff (réimpression éd.). Livres de Douvres. ISBN 978-0-486-21010-0– via Archive.org.
  • Dedekind, Richard (1901). Essais sur la théorie des nombres . Traduit par Beman, Wooster Woodruff. Chicago, Illinois : Société d’édition Open Court . Récupéré le 13 août 2020 – via Project Gutenberg.
  • Dedekind, Richard (2007) [1901]. Essais sur la théorie des nombres . Kessinger Publishing, LLC. ISBN 978-0-548-08985-9.
• Eves, Howard (1990). Une introduction à l’histoire des mathématiques (6e éd.). Thomson. ISBN 978-0-03-029558-4– via Google Livres.
• Halmos, Paul (1960). Théorie naïve des ensembles . Springer Science et médias d’affaires. ISBN 978-0-387-90092-6– via Google Livres.
• Hamilton, AG (1988). Logique pour les mathématiciens (édition révisée). La presse de l’Universite de Cambridge. ISBN 978-0-521-36865-0– via Google Livres.
• James, Robert C.; James, Glenn (1992). Dictionnaire de mathématiques (cinquième éd.). Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-99041-0– via Google Livres.
• Landau, Edmond (1966). Fondements de l’analyse (troisième éd.). Éditions Chelsea. ISBN 978-0-8218-2693-5– via Google Livres.
• Lévy, Azriel (1979). Théorie des ensembles de base . Springer Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-02310-5.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999). Algèbre (3e éd.). Société mathématique américaine. ISBN 978-0-8218-1646-2– via Google Livres.
• Mendelson, Elliott (2008) [1973]. Systèmes de nombres et fondements de l’analyse . Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-45792-5– via Google Livres.
• En ligneMorash, Ronald P. (1991). Pont vers les mathématiques abstraites: preuve mathématique et structures (deuxième éd.). Collège McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043043-3– via Google Livres.
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). Mathématiques pour les enseignants du primaire: une approche contemporaine (10e éd.). Éducation mondiale Wiley . ISBN 978-1-118-45744-3– via Google Livres.
• Szczepanski, Amy F.; En ligneKositsky, Andrew P. (2008). Le guide complet de l’idiot sur la pré-algèbre . Groupe Pingouin. ISBN 978-1-59257-772-9– via Google Livres.
• Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; En ligneBruckner, Andrew M. (2008). Analyse réelle élémentaire (deuxième éd.). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8– via Google Livres.
• von Neumann, John (1923). “Zur Einführung der transfiniten Zahlen” [Sur l’introduction des nombres transfinis]. Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum . 1 : 199–208. Archivé de l’original le 18 décembre 2014 . Récupéré le 15 septembre 2013 .
• von Neumann, John (janvier 2002) [1923]. “Sur l’introduction des nombres transfinis” . Dans van Heijenoort, Jean (éd.). De Frege à Gödel: Un livre source en logique mathématique, 1879–1931 (3e éd.). Presse universitaire de Harvard. p. 346–354. ISBN 978-0-674-32449-7.– Traduction anglaise de von Neumann 1923 .

Liens externes

Wikimedia Commons a des médias liés aux nombres naturels .

• “Nombre naturel” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• “Axiomes et construction des nombres naturels” . apronus.com .