Analyse non standard

L’ histoire du calcul est pleine de débats philosophiques sur la signification et la validité logique des fluxions ou des nombres infinitésimaux . La manière standard de résoudre ces débats est de définir les opérations de calcul en utilisant des procédures epsilon-delta plutôt que des infinitésimaux. L’analyse non standard ^{[1] [2] [3]} reformule plutôt le calcul en utilisant une notion logiquement rigoureuse de nombres infinitésimaux .

Gottfried Wilhelm Leibniz a soutenu que des nombres idéalisés contenant des infinitésimaux devaient être introduits.

L’analyse non standard est née au début des années 1960 par le mathématicien Abraham Robinson . ^{[4] [5]} Il a écrit :

… l’idée de quantités infiniment petites ou infinitésimales semble faire naturellement appel à notre intuition. Quoi qu’il en soit, l’utilisation des infinitésimaux était répandue au cours des étapes de formation du calcul différentiel et intégral. Quant à l’objection … que la distance entre deux nombres réels distincts ne peut pas être infiniment petite, Gottfried Wilhelm Leibniz a soutenu que la théorie des infinitésimaux implique l’introduction de nombres idéaux qui pourraient être infiniment petits ou infiniment grands par rapport aux nombres réels mais qui devaient posséder les mêmes propriétés que ces derniers.

Robinson a soutenu que cette loi de continuité de Leibniz est un précurseur du principe de transfert . Robinson a poursuivi :

Cependant, ni lui ni ses disciples et successeurs n’ont été en mesure de donner un développement rationnel conduisant à un système de ce type. En conséquence, la théorie des infinitésimaux est progressivement tombée en discrédit et a finalement été remplacée par la théorie classique des limites. ^[6]

Robinson poursuit :

… Les idées de Leibniz peuvent être pleinement justifiées et … elles conduisent à une approche nouvelle et fructueuse de l’analyse classique et de nombreuses autres branches des mathématiques. La clé de notre méthode est fournie par l’analyse détaillée de la relation entre langages mathématiques et structures mathématiques qui est à la base de la théorie contemporaine des modèles .

En 1973, l’ intuitionniste Arend Heyting a fait l’éloge de l’analyse non standard comme “un modèle standard de recherche mathématique importante”. ^[7]

Introduction

Un élément non nul d’un champ ordonné F {displaystyle mathbb {F} } est infinitésimal si et seulement si sa valeur absolue est inférieure à tout élément de F {displaystyle mathbb {F} } de la forme 1 n {displaystyle {frac {1}{n}}} , pour n {displaystyle n} un nombre naturel standard. Les champs ordonnés qui ont des éléments infinitésimaux sont également appelés non archimédiens . Plus généralement, l’analyse non standard est toute forme de mathématiques qui s’appuie sur des modèles non standard et le principe de transfert . Un champ qui satisfait le principe de transfert pour les nombres réels est un Champ hyperréel et l’analyse réelle non standard utilise ces champs comme modèles non standard des nombres réels.

L’approche originale de Robinson était basée sur ces modèles non standard du champ des nombres réels. Son livre fondateur classique sur le sujet de l’ analyse non standard a été publié en 1966 et est toujours imprimé. ^[8] À la page 88, Robinson écrit :

L’existence de modèles arithmétiques non standard a été découverte par Thoralf Skolem (1934). La méthode de Skolem préfigure la construction ultrapuissante […]

Plusieurs problèmes techniques doivent être résolus pour développer un calcul des infinitésimaux. Par exemple, il ne suffit pas de construire un champ ordonné avec des infinitésimaux. Voir l’article sur les nombres hyperréels pour une discussion de certaines des idées pertinentes.

Définitions basiques

Dans cette section, nous décrivons l’une des approches les plus simples pour définir un Champ hyperréel ∗ R {displaystyle ^{*}mathbb {R} } . Laisser R {displaystyle mathbb {R} } soit le corps des nombres réels, et soit N {displaystyle mathbb {N} } être le semi- anneau des nombres naturels. Dénoter par R N {displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }} l’ensemble des suites de nombres réels. Un champ ∗ R {displaystyle ^{*}mathbb {R} } est défini comme un quotient approprié de R N {displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }} , comme suit. Prenez un ultrafiltre non principal F ⊆ P ( N ) {displaystyle Fsubseteq P(mathbb {N} )} . En particulier, F {displaystyle F} contient le filtre Fréchet . Considérons une paire de séquences

u = ( u n ) , v = ( v n ) ∈ R N {displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})in mathbb {R} ^{mathbb {N} }}

Nous disons que u {displaystyle u} et v {style d’affichage v} sont équivalents s’ils coïncident sur un ensemble d’indices membre de l’ultrafiltre, ou dans des formules :

{ n ∈ N : u n = v n } ∈ F {displaystyle {nin mathbb {N} :u_{n}=v_{n}}in F}

Le quotient de R N {displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }} par la relation d’équivalence résultante est un Champ hyperréel ∗ R {displaystyle ^{*}mathbb {R} } , une situation résumée par la formule ∗ R = R N / F {displaystyle ^{*}mathbb {R} ={mathbb {R} ^{mathbb {N} }}/{F}} .

Motivation

Il y a au moins trois raisons d’envisager une analyse non standard : historique, pédagogique et technique.

Historique

Une grande partie des premiers développements du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz a été formulée à l’aide d’expressions telles que nombre infinitésimal et quantité évanescente . Comme indiqué dans l’article sur les nombres hyperréels , ces formulations ont été largement critiquées par George Berkeley et d’autres. Le défi de développer une théorie d’analyse cohérente et satisfaisante à l’aide d’infinitésimaux a été relevé pour la première fois par Abraham Robinson. ^[6]

En 1958, Curt Schmieden et Detlef Laugwitz publient un article “Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung” ^[9] (“An Extension of Infinitesimal Calculus”) qui propose la construction d’un anneau contenant des infinitésimaux. L’anneau a été construit à partir de séquences de nombres réels. Deux séquences étaient considérées comme équivalentes si elles ne différaient que par un nombre fini d’éléments. Les opérations arithmétiques ont été définies élément par élément. Cependant, l’anneau ainsi construit contient des diviseurs nuls et ne peut donc pas être un corps.

Pédagogique

H. Jerome Keisler , David Tall et d’autres éducateurs soutiennent que l’utilisation des infinitésimaux est plus intuitive et plus facilement saisie par les étudiants que l’ approche « epsilon-delta » des concepts analytiques. ^[10] Cette approche peut parfois fournir des preuves de résultats plus faciles que la formulation epsilon-delta correspondante de la preuve. Une grande partie de la simplification provient de l’application de règles très simples d’arithmétique non standard, comme suit :

infinitésimal × fini = infinitésimal infinitésimal + infinitésimal = infinitésimal

ainsi que le principe de transfert mentionné ci-dessous.

Une autre application pédagogique de l’analyse non standard est le traitement par Edward Nelson de la théorie des Processus stochastiques . ^[11]

Technique

Certains travaux récents ont été réalisés dans l’analyse en utilisant des concepts d’analyse non standard, en particulier dans l’étude des processus limites des statistiques et de la physique mathématique. Sergio Albeverio et al. ^[12] discutent de certaines de ces applications.

Approches de l’analyse non standard

Il existe deux principales approches différentes de l’analyse non standard : l’ approche Sémantique ou théorique des modèles et l’approche syntaxique. Ces deux approches s’appliquent à d’autres domaines des mathématiques au-delà de l’analyse, notamment la théorie des nombres, l’algèbre et la topologie.

La formulation originale de l’analyse non standard de Robinson tombe dans la catégorie de l’ approche Sémantique . Telle qu’elle est développée par lui dans ses articles, elle repose sur l’étude des modèles (en particulier des modèles saturés ) d’une théorie . Depuis la première apparition des travaux de Robinson, une approche Sémantique plus simple (due à Elias Zakon) a été développée en utilisant des objets purement théoriques appelés superstructures . Dans cette approche, un modèle d’une théorie est remplacé par un objet appelé une superstructure V ( S ) sur un ensemble S . A partir d’une superstructure V ( S )on construit un autre objet * V ( S ) en utilisant la construction Ultrapuissance avec une application V ( S ) → * V ( S ) qui satisfait le principe de transfert . La carte * relie les propriétés formelles de V ( S ) et * V ( S ) . De plus, il est possible de considérer une forme plus simple de saturation appelée saturation Dénombrable . Cette approche simplifiée est également plus adaptée à une utilisation par des mathématiciens qui ne sont pas des spécialistes de la théorie des modèles ou de la logique.

L’ approche syntaxique nécessite beaucoup moins de logique et de théorie des modèles pour être comprise et utilisée. Cette approche a été développée au milieu des années 1970 par le mathématicien Edward Nelson . Nelson a introduit une formulation entièrement axiomatique de l’analyse non standard qu’il a appelée théorie des ensembles internes (IST). ^[13] IST est une extension de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) en ce qu’à côté de la relation d’appartenance binaire de base ∈, elle introduit une nouvelle norme de prédicat unaire , qui peut être appliquée aux éléments de l’univers mathématique avec quelques axiomes pour le raisonnement avec ce nouveau prédicat.

L’analyse syntaxique non standard nécessite beaucoup de soin dans l’application du principe de formation d’ensembles (officiellement connu sous le nom d’ Axiome de compréhension ), que les mathématiciens tiennent généralement pour acquis. Comme le souligne Nelson, une erreur de raisonnement dans IST est celle de la formation illégale d’ensembles . Par exemple, il n’y a pas d’ensemble dans IST dont les éléments sont précisément les entiers standards (ici standard s’entend au sens du nouveau prédicat). Pour éviter la formation d’ensembles illégaux, il ne faut utiliser que des prédicats de ZFC pour définir des sous-ensembles. ^[13]

Un autre exemple de l’approche syntaxique est la théorie alternative des ensembles ^[14] introduite par Petr Vopěnka , essayant de trouver des axiomes de la théorie des ensembles plus compatibles avec l’analyse non standard que les axiomes de ZF.

Le livre de Robinson

Le livre d’Abraham Robinson Nonstandard analysis a été publié en 1966. Certains des sujets développés dans le livre étaient déjà présents dans son article de 1961 du même titre (Robinson 1961). ^[15] En plus de contenir le premier traitement complet de l’analyse non standard, le livre contient une section historique détaillée où Robinson conteste certaines des opinions reçues sur l’histoire des mathématiques basées sur la perception pré-analyse non standard des infinitésimaux comme des entités incohérentes. Ainsi, Robinson conteste l’idée que le « théorème de la somme » d’ Augustin-Louis Cauchy dans Cours d’Analyseconcernant la convergence d’une série de fonctions continues était incorrect, et propose une interprétation infinitésimale de son hypothèse qui aboutit à un théorème correct.

Problème de sous-espace invariant

Abraham Robinson et Allen Bernstein ont utilisé une analyse non standard pour prouver que chaque Opérateur linéaire polynomialement compact sur un espace de Hilbert a un sous- espace invariant . ^[16]

Étant donné un opérateur T sur l’espace de Hilbert H , considérons l’orbite d’un point v dans H sous les itérés de T . En appliquant Gram–Schmidt on obtient une base orthonormée ( e _i ) pour H . Soit ( H _i ) la suite imbriquée correspondante de sous-espaces “coordonnés” de H . La matrice a _i,j exprimant T par rapport à ( e _i ) est presque triangulaire supérieure, en ce sens que les coefficients a _{i +1,i} sont les seuls coefficients sous-diagonaux non nuls. Bernstein et Robinson montrent que siTest polynomialement compact, alors il existe un indice hyperfiniwtel que le coefficient de matrice a _{w +1, w} soit infinitésimal. Considérons ensuite le sous-espace H _w de* H . Siydans H _w est de norme finie, alors T ( y )est infiniment proche de H _w .

Soit maintenant T _w l’opérateur P w ∘ T {displaystyle P_{w}circ T} agissant sur H _w , où P _w est la projection orthogonale à H _w . Notons q le polynôme tel que q ( T ) soit compact. Le sous-espace H _w est interne de dimension hyperfinie. En transférant la triangularisation supérieure des opérateurs de l’espace vectoriel complexe de dimension finie, il existe une base d’espace de Hilbert orthonormée interne ( ek ) pour H _w où _k va de 1 à w , tel que chacun des k correspondantsles sous-espaces à dimension E _k sont T -invariants. Notons Π _k la projection sur le sous-espace E _k . Pour un vecteur x non nul de norme finie dans H , on peut supposer que q ( T )( x ) est non nul, ou | q ( ​​T )( x )| > 1 pour fixer les idées. Puisque q ( T ) est un opérateur compact, ( q ( T _w ))( x ) est infiniment proche deq ( ​​T )( x ) et donc on a aussi | q ( Tw )( _x ) | > 1 . Soit j le plus grand indice tel que | q ( T w ) ( Π j ( x ) ) | < 1 2 {displaystyle |q(T_{w})left(Pi _{j}(x)right)|<{tfrac {1}{2}}} . Alors l’espace de tous les éléments standards infiniment proches de E _j est le sous-espace invariant recherché.

Après avoir lu une préimpression de l’article de Bernstein et Robinson, Paul Halmos a réinterprété leur preuve en utilisant des techniques standard. ^[17] Les deux articles sont apparus dos à dos dans le même numéro du Pacific Journal of Mathematics . Certaines des idées utilisées dans la preuve de Halmos sont réapparues plusieurs années plus tard dans les propres travaux de Halmos sur les opérateurs quasi-triangulaires.

Autres applications

D’autres résultats ont été reçus dans le sens d’une réinterprétation ou d’une réfutation de résultats déjà connus. La preuve de Teturo Kamae ^[18] du Théorème ergodique individuel ou le traitement de L. van den Dries et Alex Wilkie ^[19] du théorème de Gromov sur les groupes de croissance polynomiale sont particulièrement intéressants . L’analyse non standard a été utilisée par Larry Manevitz et Shmuel Weinberger pour prouver un résultat en topologie algébrique. ^[20]

Les véritables contributions de l’analyse non standard résident cependant dans les concepts et les théorèmes qui utilisent le nouveau langage étendu de la théorie des ensembles non standard. Parmi la liste des nouvelles applications en mathématiques, il y a de nouvelles approches des probabilités, ^[11] de l’hydrodynamique, ^[21] de la théorie des mesures, ^[22] de l’analyse non lisse et harmonique, ^[23] etc.

Il existe également des applications de l’analyse non standard à la théorie des Processus stochastiques, en particulier les constructions du mouvement brownien sous forme de marches aléatoires . Albeverio et al. ^[12] ont une excellente introduction à ce domaine de recherche.

Applications au calcul

Comme application à l’enseignement des mathématiques , H. Jerome Keisler a écrit Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach . ^[10] Couvrant le calcul non standard , il développe le calcul différentiel et intégral en utilisant les nombres hyperréels, qui incluent des éléments infinitésimaux. Ces applications d’analyse non standard dépendent de l’existence de la partie standard d’un r hyperréel fini . La partie standard de r , notée st( r ) , est un nombre réel standard infiniment proche de r. L’un des dispositifs de visualisation que Keisler utilise est celui d’un microscope imaginaire à grossissement infini pour distinguer des points infiniment proches les uns des autres. Le livre de Keisler est maintenant épuisé, mais est disponible gratuitement sur son site Web; voir les références ci-dessous.

La critique

Apprendre encore plus Cette section devrait inclure un résumé des critiques de l’analyse non standard . ( juin 2020 ) See Wikipedia:Summary style for information on how to incorporate it into this article’s main text.

Malgré l’élégance et l’attrait de certains aspects de l’analyse non standard, des critiques ont également été exprimées, telles que celles d’ Errett Bishop , Alain Connes et Paul Halmos , comme documenté à la critique de l’analyse non standard .

Cadre logique

Étant donné tout ensemble S , la superstructure sur un ensemble S est l’ensemble V ( S ) défini par les conditions

V 0 ( S ) = S , {displaystyle V_{0}(S)=S,} V n + 1 ( S ) = V n ( S ) ∪ ℘ ( V n ( S ) ) , {displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)cup wp (V_{n}(S)),} V ( S ) = ⋃ n ∈ N V n ( S ) . {displaystyle V(S)=bigcup _{nin mathbf {N} }V_{n}(S).}

Ainsi la superstructure sur S est obtenue en partant de S et en itérant l’opération d’adjoindre l’ ensemble de puissance de S et en prenant l’union de la suite résultante. La superstructure sur les nombres réels comprend une multitude de structures mathématiques : par exemple, elle contient des copies isomorphes de tous les espaces métriques séparables et des espaces vectoriels topologiques métrisables . Pratiquement toutes les mathématiques qui intéressent un analyste se déroulent à l’intérieur de V ( R ) .

La vue de travail de l’analyse non standard est un ensemble * R et une application * : V ( R ) → V (* R ) qui satisfait certaines propriétés supplémentaires. Pour formuler ces principes, nous énonçons d’abord quelques définitions.

Une formule a une quantification bornée si et seulement si les seuls quantificateurs qui apparaissent dans la formule ont une plage restreinte sur des ensembles, c’est-à-dire sont tous de la forme :

∀ x ∈ A , Φ ( x , α 1 , … , α n ) {displaystyle forall xin A,Phi (x,alpha _{1},ldots ,alpha _{n})} ∃ x ∈ A , Φ ( x , α 1 , … , α n ) {displaystyle exists xin A,Phi (x,alpha _{1},ldots ,alpha _{n})}

Par exemple, la formule

∀ x ∈ A , ∃ y ∈ 2 B , x ∈ y {displaystyle forall xin A, exists yin 2^{B},quad xin y}

a une quantification bornée, la variable universellement quantifiée x s’étend sur A , la variable existentiellement quantifiée y s’étend sur l’ensemble de puissances de B . D’autre part,

∀ x ∈ A , ∃ y , x ∈ y {displaystyle forall xin A, exists y,quad xin y}

n’a pas de quantification bornée car la quantification de y est illimitée.

Ensembles internes

Un ensemble x est interne si et seulement si x est un élément de * A pour un élément A de V ( R ) . * A lui-même est interne si A appartient à V ( R ) .

Nous formulons maintenant le cadre logique de base de l’analyse non standard :

• Principe d’extension : L’application * est l’identité sur R .
• Principe de transfert : Pour toute formule P ( x ₁ , …, x _n ) à quantification bornée et à variables libres x ₁ , …, x _n , et pour tous éléments A ₁ , …, A _n de V ( R ) , l’équivalence suivante est vérifiée :

P ( A 1 , … , A n ) ⟺ P ( ∗ A 1 , … , ∗ A n ) {displaystyle P(A_{1},ldots ,A_{n})iff P(*A_{1},ldots ,*A_{n})}

• Saturation Dénombrable : Si { A _k } _{k ∈ N} est une suite décroissante d’ensembles internes non vides, avec k compris sur les entiers naturels, alors

⋂ k A k ≠ ∅ {displaystyle bigcap _{k}A_{k}neq emptyset}

On peut montrer à l’aide d’ultraproduits qu’une telle carte * existe. Les éléments de V ( R ) sont dits standards . Les éléments de * R sont appelés nombres hyperréels .

Premières conséquences

Le symbole * N désigne les nombres naturels non standard. Par le principe d’extension, c’est un sur-ensemble de N . L’ensemble * N − N est non vide. Pour voir cela, appliquez une saturation Dénombrable à la séquence d’ensembles internes

A n = { k ∈ ∗ N : k ≥ n } {displaystyle A_{n}={kin {^{*}mathbf {N} }:kgeq n}}

La séquence { A _n } _{n ∈ N} a une intersection non vide, prouvant le résultat.

Commençons par quelques définitions : Les hyperréels r , s sont infiniment proches si et seulement si

r ≅ s ⟺ ∀ θ ∈ R + , | r − s | ≤ θ {displaystyle rcong siff forall theta in mathbf {R} ^{+}, |rs|leq theta }

Un hyperréel r est infinitésimal si et seulement s’il est infiniment proche de 0. Par exemple, si n est un hyperentier , c’est-à-dire un élément de * N − N , alors 1/ n est un infinitésimal. Un r hyperréel est limité (ou fini ) si et seulement si sa valeur absolue est dominée par (moins de) un entier standard. Les hyperréels limités forment un sous-anneau de * R contenant les réels. Dans cet anneau, les hyperréels infinitésimaux sont un idéal .

L’ensemble des hyperréels limités ou l’ensemble des hyperréels infinitésimaux sont des sous-ensembles externes de V (* R ) ; ce que cela signifie en pratique, c’est que la quantification bornée, où la borne est un ensemble interne, ne s’étend jamais sur ces ensembles.

Exemple : Le plan ( x , y ) avec x et y s’étendant sur * R est interne, et est un modèle de géométrie euclidienne plane. Le plan avec x et y limités à des valeurs limitées (analogue au plan de Dehn ) est externe, et dans ce plan limité le postulat parallèle est violé. Par exemple, toute ligne passant par le point (0, 1) sur l’ axe y et ayant une pente infinitésimale est parallèle à l’ axe x .

Théorème. Pour tout hyperréel limité r , il existe un unique réel standard noté st( r ) infiniment proche de r . L’application st est un homomorphisme d’anneaux de l’anneau des hyperréels limités à R .

Le mappage st est également externe.

Une façon de penser à la partie standard d’un hyperréel est en termes de coupes de Dedekind ; tout hyperréel limité s définit une coupe en considérant la paire d’ensembles ( L , U ) où L est l’ensemble des rationnels standard a inférieur à s et U est l’ensemble des rationnels standard b supérieur à s . Le nombre réel correspondant à ( L , U ) peut être considéré comme satisfaisant à la condition d’être la partie standard de s .

Une caractérisation intuitive de la continuité est la suivante :

Théorème. Une fonction à valeurs réelles f sur l’intervalle [ a , b ] est continue si et seulement si pour tout hyperréel x dans l’intervalle *[ a , b ] , on a : * f ( x ) ≅ * f (st( x ) ) .

(voir microcontinuité pour plus de détails). De la même manière,

Théorème. Une fonction à valeurs réelles f est dérivable à la valeur réelle x si et seulement si pour tout nombre hyperréel infinitésimal h , la valeur

f ′ ( x ) = st ⁡ ( ∗ f ( x + h ) − ∗ f ( x ) h ) {displaystyle f'(x)=operatorname {st} left({frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}} à droite)}

existe et est indépendant de h . Dans ce cas f ′( x ) est un nombre réel et est la dérivée de f en x .

κ -saturation

Il est possible “d’améliorer” la saturation en permettant d’intersecter des collections de cardinalité plus élevée. Un modèle est κ – saturé si à chaque fois { A i } i ∈ I {displaystyle {A_{i}}_{iin I}} est une collection d’ensembles internes avec la propriété d’intersection finie et | I | ≤ κ {displaystyle |I|leq kappa } ,

⋂ i ∈ I A i ≠ ∅ {displaystyle bigcap _{iin I}A_{i}neq emptyset}

Ceci est utile, par exemple, dans un espace topologique X , où l’on peut vouloir |2 ^X | -saturation pour s’assurer que l’intersection d’une base de voisinage standard n’est pas vide. ^[24]

Pour tout cardinal κ , une extension κ -saturée peut être construite. ^[25]

Voir également

• Débordement
• Calcul non standard
• Principe de transfert
• Théorie des ensembles internes
• Calcul élémentaire : une approche infinitésimale
• Numéro hyperréel
• Hyperentier
• Infinitésimal
• Numéro surréaliste
• Analyse non classique
• Analyse infinitésimale fluide
• Critique de l’analyse non standard
• Influence de l’analyse non standard
• Ensemble hyperfini
• Analyse constructive non standard
• Le calcul simplifié

Lectures complémentaires

• EE Rosinger, [math/0407178]. Brève introduction à l’analyse non standard . arxiv.org.

Références

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4. ^ Analyse non standard. Par Abraham Robinson . Presse de l’Université de Princeton, 1974.
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Bibliographie

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Liens externes

• Citations liées à l’ analyse non standard sur Wikiquote
• Les fantômes des quantités disparues de Lindsay Keegan.