Série Taylor

En mathématiques , la série de Taylor d’une fonction est une somme infinie de termes qui sont exprimés en termes de dérivées de la fonction en un seul point. Pour la plupart des fonctions courantes, la fonction et la somme de sa série de Taylor sont égales près de ce point. Les séries de Taylor portent le nom de Brook Taylor , qui les a introduites en 1715. Si 0 est le point où les dérivées sont considérées, une série de Taylor est également appelée série de Maclaurin , d’après Colin Maclaurin , qui a largement utilisé ce cas particulier de série de Taylor au milieu des années 1700.

Lorsque le degré du Polynôme de Taylor augmente, il se rapproche de la fonction correcte. Cette image montre sin x et ses approximations de Taylor par des polynômes de degré 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 et 13 à x = 0 .

La Somme partielle formée par les n + 1 premiers termes d’une série de Taylor est un polynôme de degré n qui est appelé le n ième Polynôme de Taylor de la fonction. Les polynômes de Taylor sont des approximations d’une fonction, qui s’améliorent généralement lorsque n augmente. Le théorème de Taylor donne des estimations quantitatives de l’erreur introduite par l’utilisation de telles approximations. Si la série de Taylor d’une fonction est convergente , sa somme est la limite de la suite infiniedes polynômes de Taylor. Une fonction peut différer de la somme de sa série de Taylor, même si sa série de Taylor est convergente. Une fonction est analytique en un point x si elle est égale à la somme de sa série de Taylor dans un Intervalle ouvert (ou disque ouvert dans le plan complexe ) contenant x . Cela implique que la fonction est analytique en tout point de l’intervalle (ou du disque).

Définition

La série de Taylor d’une fonction réelle ou complexe f ( x ) qui est Infiniment différentiable en un nombre réel ou complexe a est la série de puissance

F ( un ) + F ′ ( un ) 1 ! ( x − a ) + f ′′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ′′′ ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ , {displaystyle f(a)+{frac {f'(a)}{1 !}}(xa)+{frac {f”(a)}{2 !}}(xa)^{2} +{frac {f”'(a)}{3!}}(xa)^{3}+cdots ,} ${displaystyle f(a)+{frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+cdots ,}$ ${displaystyle f(a)+{frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+cdots ,}$

où n ! désigne la factorielle de n . Dans la notation sigma plus compacte , cela peut être écrit comme

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n , {displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n},} ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},}$ ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},}$

où f ^{( n )} ( a ) désigne la n ième dérivée de f évaluée au point a . (La dérivée d’ordre zéro de f est définie comme étant f elle-même et ( x − a ) ⁰ et 0! sont tous deux définis comme étant 1 .)

Lorsque a = 0 , la série est aussi appelée série de Maclaurin . ^[1]

Exemples

La série de Taylor pour tout polynôme est le polynôme lui-même.

La série Maclaurin pour1/1 – xest la série géométrique

1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ , {displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+cdots ,} ${displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+cdots ,}$ ${displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+cdots ,}$

donc la série de Taylor pour 1/Xà a = 1 est

1 − ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2 − ( x − 1 ) 3 + ⋯ . {displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+cdots .} ${displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+cdots .}$ ${displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+cdots .}$

En intégrant la série de Maclaurin ci-dessus, on trouve la série de Maclaurin pour ln(1 − x ) , où ln désigne le logarithme népérien :

− x − 1 2 x 2 − 1 3 x 3 − 1 4 x 4 − ⋯ . {displaystyle -x-{tfrac {1}{2}}x^{2}-{tfrac {1}{3}}x^{3}-{tfrac {1}{4}}x^ {4}-cdots .} ${displaystyle -x-{tfrac {1}{2}}x^{2}-{tfrac {1}{3}}x^{3}-{tfrac {1}{4}}x^{4}-cdots .}$

La série de Taylor correspondante pour ln x à a = 1 est

( x − 1 ) − 1 2 ( x − 1 ) 2 + 1 3 ( x − 1 ) 3 − 1 4 ( x − 1 ) 4 + ⋯ , {displaystyle (x-1)-{tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{ tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+cdots ,} ${displaystyle (x-1)-{tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+cdots ,}$ ${displaystyle (x-1)-{tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+cdots ,}$

et plus généralement, la série de Taylor correspondante pour ln x en un point arbitraire non nul a est :

ln ⁡ a + 1 a ( x − a ) − 1 a 2 ( x − a ) 2 2 + ⋯ . {displaystyle ln a+{frac {1}{a}}(xa)-{frac {1}{a^{2}}}{frac {left(xaright)^{2}} {2}}+cdots .} ${displaystyle ln a+{frac {1}{a}}(x-a)-{frac {1}{a^{2}}}{frac {left(x-aright)^{2}}{2}}+cdots .}$ ${displaystyle ln a+{frac {1}{a}}(x-a)-{frac {1}{a^{2}}}{frac {left(x-aright)^{2}}{2}}+cdots .}$

La série de Maclaurin pour la fonction exponentielle e ^x est

∑ n = 0 ∞ x n n ! = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + ⋯ = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24 + x 5 120 + ⋯ . {displaystyle {begin{aligned}sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}&={frac {x^{0}}{ 0 !}}+{frac {x^{1}}{1!}}+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3 ! }}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots \&=1+x+{frac {x^ {2}}{2}}+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {x^{4}}{24}}+{frac {x^{5}}{ 120}}+cdots .end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}&={frac {x^{0}}{0!}}+{frac {x^{1}}{1!}}+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots \&=1+x+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {x^{4}}{24}}+{frac {x^{5}}{120}}+cdots .end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}&={frac {x^{0}}{0!}}+{frac {x^{1}}{1!}}+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots \&=1+x+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {x^{4}}{24}}+{frac {x^{5}}{120}}+cdots .end{aligned}}}$

Le développement ci-dessus tient parce que la dérivée de e ^x par rapport à x est aussi e ^x , et e ⁰ est égal à 1. Cela laisse les termes ( x − 0) ⁿ au numérateur et n ! au dénominateur pour chaque terme de la somme infinie.

Histoire

Le philosophe grec Zénon a envisagé le problème de la sommation d’une série infinie pour obtenir un résultat fini, mais l’a rejeté comme une impossibilité; ^[2] le résultat était le paradoxe de Zeno . Plus tard, Aristote a proposé une résolution philosophique du paradoxe, mais le contenu mathématique était apparemment non résolu jusqu’à ce qu’il soit repris par Archimède , comme il l’avait été avant Aristote par l’atomiste présocratique Démocrite . C’est grâce à la méthode d’épuisement d’ Archimède qu’un nombre infini de subdivisions progressives pouvait être effectué pour obtenir un résultat fini. ^[3] Liu Hui a employé indépendamment une méthode similaire quelques siècles plus tard.^[4]

Au 14ème siècle, les premiers exemples de l’utilisation des séries de Taylor et des méthodes étroitement liées ont été donnés par Madhava de Sangamagrama . ^{[5] [6]} Bien qu’aucun enregistrement de son travail ne survit, les écrits de mathématiciens indiens ultérieurs suggèrent qu’il a trouvé un certain nombre de cas particuliers de la série de Taylor, y compris ceux pour les fonctions trigonométriques de Sinus , Cosinus , tangente et arc tangente . L’ École d’astronomie et de mathématiques du Kerala a encore élargi ses travaux avec diverses extensions de séries et approximations rationnelles jusqu’au XVIe siècle.

Au XVIIe siècle, James Gregory travailla également dans ce domaine et publia plusieurs séries Maclaurin. Ce n’est cependant qu’en 1715 qu’une méthode générale de construction de ces séries pour toutes les fonctions pour lesquelles elles existent fut finalement fournie par Brook Taylor , ^[7] d’après qui les séries portent désormais le nom.

La série Maclaurin a été nommée d’après Colin Maclaurin , professeur à Édimbourg, qui a publié le cas particulier du résultat de Taylor au milieu des années 1700.

Fonctions analytiques

La fonction e ^{(−1/ x ² )} n’est pas analytique en x = 0 : la série de Taylor vaut identiquement 0, bien que la fonction ne le soit pas.

Si f ( x ) est donnée par une série entière convergente dans un disque ouvert centré en b dans le plan complexe (ou un intervalle dans la droite réelle), elle est dite analytique dans cette région. Ainsi pour x dans cette région, f est donnée par une série de puissances convergentes

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − b ) n . {displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{infty}a_{n}(xb)^{n}.} $f(x)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}(x-b)^{n}.$ $f(x)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}(x-b)^{n}.$

En différenciant par x la formule ci-dessus n fois, puis en posant x = b , on obtient :

f ( n ) ( b ) n ! = a n {displaystyle {frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}} ${frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}$ ${frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}$

et donc l’expansion de la série de puissance est d’accord avec la série de Taylor. Ainsi une fonction est analytique dans un disque ouvert centré en b si et seulement si sa série de Taylor converge vers la valeur de la fonction en chaque point du disque.

Si f ( x ) est égal à la somme de sa série de Taylor pour tout x dans le plan complexe, il est appelé entier . Les polynômes, fonction exponentielle e ^x , et les fonctions trigonométriques Sinus et Cosinus, sont des exemples de fonctions entières. Des exemples de fonctions qui ne sont pas entières incluent la racine carrée , le logarithme , la tangente de la Fonction trigonométrique et son inverse, Arctan . Pour ces fonctions, les séries de Taylor ne convergent pas si x est loin de b. Autrement dit, la série de Taylor diverge en x si la distance entre x et b est supérieure au rayon de convergence . La série de Taylor peut être utilisée pour calculer la valeur d’une fonction entière en chaque point, si la valeur de la fonction et de toutes ses dérivées sont connues en un seul point.

Les utilisations de la série Taylor pour les fonctions analytiques incluent :

Les sommes partielles (les polynômes de Taylor ) de la série peuvent être utilisées comme approximations de la fonction. Ces approximations sont bonnes si suffisamment de termes sont inclus.
La différenciation et l’intégration des séries entières peuvent être effectuées terme à terme et sont donc particulièrement faciles.
Une fonction analytique est uniquement étendue à une fonction holomorphe sur un disque ouvert dans le plan complexe . Cela rend disponible la machinerie d’ analyse complexe .
La série (tronquée) peut être utilisée pour calculer numériquement les valeurs de la fonction (souvent en refondant le polynôme sous la forme Chebyshev et en l’évaluant avec l’ algorithme de Clenshaw ).
Les opérations algébriques peuvent être effectuées facilement sur la représentation des séries de puissances ; par exemple, la formule d’Euler découle des développements en série de Taylor pour les fonctions trigonométriques et exponentielles. Ce résultat est d’une importance fondamentale dans des domaines tels que l’analyse harmonique .
Les approximations utilisant les premiers termes d’une série de Taylor peuvent rendre possibles des problèmes autrement insolubles pour un domaine restreint; cette approche est souvent utilisée en physique.

Erreur d’approximation et convergence

La fonction Sinus (bleu) est étroitement approchée par son Polynôme de Taylor de degré 7 (rose) pour une période complète centrée à l’origine. Les polynômes de Taylor pour ln(1 + x ) ne fournissent des approximations précises que dans la plage −1 < x ≤ 1 . Pour x > 1 , les polynômes de Taylor de degré supérieur fournissent de moins bonnes approximations. Les approximations de Taylor pour ln(1 + x ) (noir). Pour x > 1 , les approximations divergent.

L’image de droite est une approximation précise de sin x autour du point x = 0 . La courbe rose est un polynôme de degré sept :

sin ⁡ ( x ) ≈ x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! . {displaystyle sin left(xright)approx x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{ frac {x^{7}}{7!}}.!} $sin left(xright)approx x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}.!$ $sin left(xright)approx x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}.!$

L’erreur dans cette approximation n’est pas supérieure à | x | ^9/9 ! . Pour un cycle complet centré à l’origine ( −π < x < π ) l’erreur est inférieure à 0,08215. En particulier, pour −1 < x < 1 , l’erreur est inférieure à 0,000003.

En revanche, une image de la fonction logarithme naturel ln(1 + x ) et de certains de ses polynômes de Taylor autour de a = 0 est également présentée . Ces approximations ne convergent vers la fonction que dans la région −1 < x ≤ 1 ; en dehors de cette région, les polynômes de Taylor de degré supérieur sont de moins bonnes approximations pour la fonction.

L’ erreur encourue lors de l’approximation d’une fonction par son Polynôme de Taylor au n ème degré est appelée reste ou résidu et est notée par la fonction R _n ( x ) . Le théorème de Taylor peut être utilisé pour obtenir une borne sur la taille du reste .

En général, les séries de Taylor n’ont pas du tout besoin d’être convergentes . Et en fait l’ensemble des fonctions à série de Taylor convergente est un maigre ensemble dans l’ espace de Fréchet des fonctions lisses . Et même si la série de Taylor d’une fonction f converge, sa limite n’a pas besoin en général d’être égale à la valeur de la fonction f ( x ) . Par exemple, la fonction

f ( x ) = { e − 1 / x 2 if x ≠ 0 0 if x = 0 {displaystyle f(x)={begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{text{if }}xneq 0\[3mu]0&{text{if } }x=0end{cas}}} ${displaystyle f(x)={begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{text{if }}xneq 0\[3mu]0&{text{if }}x=0end{cases}}}$ ${displaystyle f(x)={begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{text{if }}xneq 0\[3mu]0&{text{if }}x=0end{cases}}}$

est infiniment dérivable en x = 0 , et y a toutes les dérivées nulles. Par conséquent, la série de Taylor de f ( x ) autour de x = 0 est identiquement nulle. Cependant, f ( x ) n’est pas la fonction zéro, donc n’est pas égal à sa série de Taylor autour de l’origine. Ainsi, f ( x ) est un exemple de fonction lisse non analytique .

En analyse réelle , cet exemple montre qu’il existe des fonctions infiniment différentiables f ( x ) dont les séries de Taylor ne sont pas égales à f ( x ) même si elles convergent. En revanche, les fonctions holomorphes étudiées en analyse complexe possèdent toujours une série de Taylor convergente, et même la série de Taylor des fonctions méromorphes , qui peuvent avoir des singularités, ne converge jamais vers une valeur différente de la fonction elle-même. La fonction complexe e ^{−1/ z ²} , cependant, ne s’approche pas de 0 lorsque ztend vers 0 le long de l’axe imaginaire, il n’est donc pas continu dans le plan complexe et sa série de Taylor est indéfinie en 0.

Plus généralement, toute suite de nombres réels ou complexes peut apparaître comme des coefficients dans la série de Taylor d’une Fonction infiniment différentiable définie sur la droite réelle, conséquence du lemme de Borel . Par conséquent, le rayon de convergence d’une série de Taylor peut être nul. Il existe même des fonctions infiniment différentiables définies sur la droite réelle dont les séries de Taylor ont partout un rayon de convergence 0. ^[8]

Une fonction ne peut pas s’écrire comme une série de Taylor centrée sur une singularité ; dans ces cas, on peut souvent encore réaliser un développement en série si l’on admet aussi des puissances négatives de la variable x ; voir série Laurent . Par exemple, f ( x ) = e ^{−1/ x ²} peut être écrit comme une série de Laurent.

Généralisation

Il existe cependant une généralisation ^{[9] [10]} de la série de Taylor qui converge vers la valeur de la fonction elle-même pour toute fonction continue bornée sur (0,∞) , en utilisant le calcul des différences finies . Plus précisément, on a le théorème suivant, dû à Einar Hille , que pour tout t > 0 ,

lim h → 0 + ∑ n = 0 ∞ t n n ! Δ h n f ( a ) h n = f ( a + t ) . {displaystyle lim _{hto 0^{+}}sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}{frac {Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).} $lim _{hto 0^{+}}sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}{frac {Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).$ $lim _{hto 0^{+}}sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}{frac {Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).$

Ici Δⁿ
_hest le n ième opérateur de différences finies avec un pas de taille h . La série est précisément la série de Taylor, sauf que des différences divisées apparaissent à la place de la différenciation : la série est formellement similaire à la série de Newton . Lorsque la fonction f est analytique en a , les termes de la série convergent vers les termes de la série de Taylor, et généralise en ce sens la série de Taylor usuelle.

En général, pour toute Séquence infinie a _i , l’identité de série de puissances suivante est vérifiée :

∑ n = 0 ∞ u n n ! Δ n a i = e − u ∑ j = 0 ∞ u j j ! a i + j . {displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {u^{n}}{n!}}Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}sum _{j=0}^{infty}{frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.} $sum _{n=0}^{infty }{frac {u^{n}}{n!}}Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}sum _{j=0}^{infty }{frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.$ $sum _{n=0}^{infty }{frac {u^{n}}{n!}}Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}sum _{j=0}^{infty }{frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.$

Ainsi en particulier,

f ( a + t ) = lim h → 0 + e − t / h ∑ j = 0 ∞ f ( a + j h ) ( t / h ) j j ! . {displaystyle f(a+t)=lim _{hto 0^{+}}e^{-t/h}sum _{j=0}^{infty }f(a+jh) {frac {(t/h)^{j}}{j!}}.} $f(a+t)=lim _{hto 0^{+}}e^{-t/h}sum _{j=0}^{infty }f(a+jh){frac {(t/h)^{j}}{j!}}.$ $f(a+t)=lim _{hto 0^{+}}e^{-t/h}sum _{j=0}^{infty }f(a+jh){frac {(t/h)^{j}}{j!}}.$

La série de droite est la valeur attendue de f ( a + X ) , où X est une variable aléatoire distribuée par Poisson qui prend la valeur jh avec probabilité e ⁻^t^/^h · ( t / h ) ^j/j !. Ainsi,

f ( a + t ) = lim h → 0 + ∫ − ∞ ∞ f ( a + x ) d P t / h , h ( x ) . {displaystyle f(a+t)=lim _{hto 0^{+}}int _{-infty }^{infty }f(a+x)dP_{t/h,h} (X).} ${displaystyle f(a+t)=lim _{hto 0^{+}}int _{-infty }^{infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}$ ${displaystyle f(a+t)=lim _{hto 0^{+}}int _{-infty }^{infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}$

La loi des grands nombres implique que l’identité est vraie. ^[11]

Liste des séries Maclaurin de certaines fonctions communes

Plusieurs extensions importantes de la série Maclaurin suivent. ^[12] Tous ces développements sont valables pour des arguments complexes x .

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle e ^x (en bleu), et la somme des n + 1 premiers termes de sa série de Taylor à 0 (en rouge).

La fonction exponentielle e x {displaystyle e^{x}} $e^{x}$ $e^{x}$ (de base e ) a la série de Maclaurin

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ {displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2} }{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots } ${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots }$ ${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots }$ .

Elle converge pour tout x .

Un algorithme naturel

Le logarithme népérien (de base e ) a une série de Maclaurin

ln ⁡ ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n = − x − x 2 2 − x 3 3 − ⋯ , ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ . {displaystyle {begin{aligned}ln(1-x)&=-sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n}}=-x- {frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{3}}{3}}-cdots ,\ln(1+x)&=sum _{n= 1}^{infty}(-1)^{n+1}{frac {x^{n}}{n}}=x-{frac {x^{2}}{2}}+{ frac {x^{3}}{3}}-cdots .end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}ln(1-x)&=-sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n}}=-x-{frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{3}}{3}}-cdots ,\ln(1+x)&=sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n+1}{frac {x^{n}}{n}}=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-cdots .end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}ln(1-x)&=-sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n}}=-x-{frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{3}}{3}}-cdots ,\ln(1+x)&=sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n+1}{frac {x^{n}}{n}}=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-cdots .end{aligned}}}$

Ils convergent pour | x | < 1 {displaystyle |x|<1} |x|<1 . (De plus, la série pour ln(1 − x ) converge pour x = −1 , et la série pour ln(1 + x ) converge pour x = 1 .)

Série géométrique

La série géométrique et ses dérivées ont des séries de Maclaurin

1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 1 ( 1 − x ) 3 = ∑ n = 2 ∞ ( n − 1 ) n 2 x n − 2 . {displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{1-x}}&=sum _{n=0}^{infty }x^{n}\{frac {1}{ (1-x)^{2}}}&=sum _{n=1}^{infty}nx^{n-1}\{frac {1}{(1-x)^{3 }}}&=sum _{n=2}^{infty }{frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{1-x}}&=sum _{n=0}^{infty }x^{n}\{frac {1}{(1-x)^{2}}}&=sum _{n=1}^{infty }nx^{n-1}\{frac {1}{(1-x)^{3}}}&=sum _{n=2}^{infty }{frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{1-x}}&=sum _{n=0}^{infty }x^{n}\{frac {1}{(1-x)^{2}}}&=sum _{n=1}^{infty }nx^{n-1}\{frac {1}{(1-x)^{3}}}&=sum _{n=2}^{infty }{frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.end{aligned}}}$

Tous sont convergents pour | x | < 1 {displaystyle |x|<1} |x|<1 . Ce sont des cas particuliers de la série binomiale donnés dans la section suivante.

Série binomiale

La série binomiale est la série de puissance

( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n {displaystyle (1+x)^{alpha }=sum _{n=0}^{infty }{binom {alpha }{n}}x^{n}} ${displaystyle (1+x)^{alpha }=sum _{n=0}^{infty }{binom {alpha }{n}}x^{n}}$ dont les coefficients sont les coefficients binomiaux généralisés ( α n ) = ∏ k = 1 n α − k + 1 k = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! . {displaystyle {binom {alpha }{n}}=prod _{k=1}^{n}{frac {alpha -k+1}{k}}={frac {alpha ( alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}}.} ${displaystyle {binom {alpha }{n}}=prod _{k=1}^{n}{frac {alpha -k+1}{k}}={frac {alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}}.}$ ${displaystyle {binom {alpha }{n}}=prod _{k=1}^{n}{frac {alpha -k+1}{k}}={frac {alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}}.}$

(Si n = 0 , ce produit est un produit vide et vaut 1.) Il converge pour | x | < 1 {displaystyle |x|<1} |x|<1 pour tout nombre réel ou complexe α .

Lorsque α = −1 , il s’agit essentiellement de la série géométrique infinie mentionnée dans la section précédente. Les cas particuliers α = 1/2et α = − 1/2donner la fonction racine carrée et son inverse :

( 1 + x ) 1 2 = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + 7 256 x 5 − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n − 1 ) x n , ( 1 + x ) − 1 2 = 1 − 1 2 x + 3 8 x 2 − 5 16 x 3 + 35 128 x 4 − 63 256 x 5 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 x n . {displaystyle {begin{aligned}(1+x)^{frac {1}{2}}&=1+{tfrac {1}{2}}x-{tfrac {1}{8} }x^{2}+{tfrac {1}{16}}x^{3}-{tfrac {5}{128}}x^{4}+{tfrac {7}{256}}x ^{5}-cdots &&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}(2n) !}{4^{n}(n ! )^{2}(2n-1)}}x^{n},\(1+x)^{-{frac {1}{2}}}&=1-{tfrac {1}{ 2}}x+{tfrac {3}{8}}x^{2}-{tfrac {5}{16}}x^{3}+{tfrac {35}{128}}x^{4 }-{tfrac {63}{256}}x^{5}+cdots &&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}(1+x)^{frac {1}{2}}&=1+{tfrac {1}{2}}x-{tfrac {1}{8}}x^{2}+{tfrac {1}{16}}x^{3}-{tfrac {5}{128}}x^{4}+{tfrac {7}{256}}x^{5}-cdots &&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\(1+x)^{-{frac {1}{2}}}&=1-{tfrac {1}{2}}x+{tfrac {3}{8}}x^{2}-{tfrac {5}{16}}x^{3}+{tfrac {35}{128}}x^{4}-{tfrac {63}{256}}x^{5}+cdots &&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}(1+x)^{frac {1}{2}}&=1+{tfrac {1}{2}}x-{tfrac {1}{8}}x^{2}+{tfrac {1}{16}}x^{3}-{tfrac {5}{128}}x^{4}+{tfrac {7}{256}}x^{5}-cdots &&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\(1+x)^{-{frac {1}{2}}}&=1-{tfrac {1}{2}}x+{tfrac {3}{8}}x^{2}-{tfrac {5}{16}}x^{3}+{tfrac {35}{128}}x^{4}-{tfrac {63}{256}}x^{5}+cdots &&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.end{aligned}}}$

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Lorsque seul le terme linéaire est retenu, cela se simplifie en l’ approximation binomiale .

Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques usuelles et leurs inverses ont les séries de Maclaurin suivantes :

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ for all x cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ for all x tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 sec ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + ⋯ for | x | < π 2 arcsin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ for | x | ≤ 1 arccos ⁡ x = π 2 − arcsin ⁡ x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = π 2 − x − x 3 6 − 3 x 5 40 − ⋯ for | x | ≤ 1 Arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ for | x | ≤ 1 , x ≠ ± i {displaystyle {begin{aligned}sin x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cos x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tan x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}left(1-4^{n}right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]sec x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]arcsin x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}+cdots &&{text{for }}|x|leq 1\[6pt]arccos x&={frac {pi }{2}}-arcsin x\&={frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={frac {pi }{2}}-x-{frac {x^{3}}{6}}-{frac {3x^{5}}{40}}-cdots &&{text{for }}|x|leq 1\[6pt]Arctan x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots &&{text{for }}|x|leq 1, xneq pm iend{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}sin x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cos x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tan x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}left(1-4^{n}right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]sec x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]arcsin x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}+cdots &&{text{for }}|x|leq 1\[6pt]arccos x&={frac {pi }{2}}-arcsin x\&={frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={frac {pi }{2}}-x-{frac {x^{3}}{6}}-{frac {3x^{5}}{40}}-cdots &&{text{for }}|x|leq 1\[6pt]<a href='/?s=Arctan'>Arctan</a> x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots &&{text{for }}|x|leq 1, xneq pm iend{aligned}}}” src=”” data-src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158a0ae14d1c9e0d1dc21c268f7e2169b9066dc7″> <img alt=$ Arctan x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots &&{text{for }}|x|leq 1, xneq pm iend{aligned}}}” height=”0″ src=”” data-src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158a0ae14d1c9e0d1dc21c268f7e2169b9066dc7″ width=”0″>

Tous les angles sont exprimés en radians . Les nombres B _k apparaissant dans les développements de tan x sont les nombres de Bernoulli . Les E _k dans le développement de sec x sont des nombres d’Euler .

Fonctions hyperboliques

Les fonctions hyperboliques ont des séries de Maclaurin étroitement liées aux séries des fonctions trigonométriques correspondantes :

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ for all x cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ for all x tanh ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + ⋯ for | x | < π 2 arsinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x − x 3 6 + 3 x 5 40 − ⋯ for | x | ≤ 1 artanh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 = x + x 3 3 + x 5 5 + ⋯ for | x | ≤ 1 , x ≠ ± 1 {displaystyle {begin{aligned}sinh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cosh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tanh x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}4^{n}left(4^{n}-1right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]operatorname {arsinh} x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}-cdots &&{text{for }}|x|leq 1\[6pt]operatorname {artanh} x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}+cdots &&{text{for }}|x|leq 1, xneq pm 1end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}sinh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cosh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tanh x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}4^{n}left(4^{n}-1right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]operatorname {arsinh} x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}-cdots &&{text{for }}|x|leq 1\[6pt]operatorname {artanh} x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}+cdots &&{text{for }}|x|leq 1, xneq pm 1end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}sinh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cosh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tanh x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}4^{n}left(4^{n}-1right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]operatorname {arsinh} x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}-cdots &&{text{for }}|x|leq 1\[6pt]operatorname {artanh} x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}+cdots &&{text{for }}|x|leq 1, xneq pm 1end{aligned}}}$

Les nombres B _k apparaissant dans la série pour tanh x sont les nombres de Bernoulli .

Calcul de la série de Taylor

Plusieurs méthodes existent pour le calcul des séries de Taylor d’un grand nombre de fonctions. On peut tenter d’utiliser la définition de la série de Taylor, bien que cela nécessite souvent de généraliser la forme des coefficients selon un modèle facilement apparent. Alternativement, on peut utiliser des manipulations telles que la substitution, la multiplication ou la division, l’addition ou la soustraction de séries de Taylor standard pour construire la série de Taylor d’une fonction, du fait que la série de Taylor est une série de puissance. Dans certains cas, on peut également dériver la série de Taylor en appliquant à plusieurs reprises l’ intégration par parties . L’utilisation de systèmes de calcul formel pour calculer les séries de Taylor est particulièrement pratique.

Premier exemple

Afin de calculer le polynôme de Maclaurin du 7ème degré pour la fonction

f ( x ) = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) , x ∈ ( − π 2 , π 2 ) {displaystyle f(x)=ln(cos x),quad xin left(-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}right )} ${displaystyle f(x)=ln(cos x),quad xin left(-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}right)}$ ${displaystyle f(x)=ln(cos x),quad xin left(-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}right)}$ ,

on peut d’abord réécrire la fonction comme

f ( x ) = ln ⁡ ( 1 + ( cos ⁡ x − 1 ) ) {displaystyle f(x)=ln {bigl (}1+(cos x-1){bigr )}!} .

La série de Taylor pour le logarithme naturel est (en utilisant la grande notation O )

ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + O ( x 4 ) {displaystyle ln(1+x)=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}+{O}left(x ^{4}droite) !} ${displaystyle ln(1+x)=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}+{O}left(x^{4}right)!}$ ${displaystyle ln(1+x)=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}+{O}left(x^{4}right)!}$

et pour la fonction Cosinus

cos ⁡ x − 1 = − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + O ( x 8 ) {displaystyle cos x-1=-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}} {720}}+{O}gauche(x^{8}droite) !} ${displaystyle cos x-1=-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}+{O}left(x^{8}right)!}$ ${displaystyle cos x-1=-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}+{O}left(x^{8}right)!}$ .

Ce dernier développement en série a un terme constant nul , ce qui nous permet de substituer la deuxième série à la première et d’omettre facilement les termes d’ordre supérieur au 7ème degré en utilisant la notation grand O :

f ( x ) = ln ⁡ ( 1 + ( cos ⁡ x − 1 ) ) = ( cos ⁡ x − 1 ) − 1 2 ( cos ⁡ x − 1 ) 2 + 1 3 ( cos ⁡ x − 1 ) 3 + O ( ( cos ⁡ x − 1 ) 4 ) = ( − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + O ( x 8 ) ) − 1 2 ( − x 2 2 + x 4 24 + O ( x 6 ) ) 2 + 1 3 ( − x 2 2 + O ( x 4 ) ) 3 + O ( x 8 ) = − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 − x 4 8 + x 6 48 − x 6 24 + O ( x 8 ) = − x 2 2 − x 4 12 − x 6 45 + O ( x 8 ) . {displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ln {bigl (}1+(cos x-1){bigr )}\&=(cos x-1)-{tfrac {1}{2}}(cos x-1)^{2}+{tfrac {1}{3}}(cos x-1)^{3}+{O}left((cos x-1)^{4}right)\&=left(-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}+{O}left(x^{8}right)right)-{frac {1}{2}}left(-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}+{O}left(x^{6}right)right)^{2}+{frac {1}{3}}left(-{frac {x^{2}}{2}}+Oleft(x^{4}right)right)^{3}+{O}left(x^{8}right)\&=-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}-{frac {x^{4}}{8}}+{frac {x^{6}}{48}}-{frac {x^{6}}{24}}+Oleft(x^{8}right)\&=-{frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{4}}{12}}-{frac {x^{6}}{45}}+Oleft(x^{8}right).end{aligned}}!} ${displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ln {bigl (}1+(cos x-1){bigr )}\&=(cos x-1)-{tfrac {1}{2}}(cos x-1)^{2}+{tfrac {1}{3}}(cos x-1)^{3}+{O}left((cos x-1)^{4}right)\&=left(-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}+{O}left(x^{8}right)right)-{frac {1}{2}}left(-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}+{O}left(x^{6}right)right)^{2}+{frac {1}{3}}left(-{frac {x^{2}}{2}}+Oleft(x^{4}right)right)^{3}+{O}left(x^{8}right)\&=-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}-{frac {x^{4}}{8}}+{frac {x^{6}}{48}}-{frac {x^{6}}{24}}+Oleft(x^{8}right)\&=-{frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{4}}{12}}-{frac {x^{6}}{45}}+Oleft(x^{8}right).end{aligned}}!}$ ${displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ln {bigl (}1+(cos x-1){bigr )}\&=(cos x-1)-{tfrac {1}{2}}(cos x-1)^{2}+{tfrac {1}{3}}(cos x-1)^{3}+{O}left((cos x-1)^{4}right)\&=left(-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}+{O}left(x^{8}right)right)-{frac {1}{2}}left(-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}+{O}left(x^{6}right)right)^{2}+{frac {1}{3}}left(-{frac {x^{2}}{2}}+Oleft(x^{4}right)right)^{3}+{O}left(x^{8}right)\&=-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}-{frac {x^{4}}{8}}+{frac {x^{6}}{48}}-{frac {x^{6}}{24}}+Oleft(x^{8}right)\&=-{frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{4}}{12}}-{frac {x^{6}}{45}}+Oleft(x^{8}right).end{aligned}}!}$

Puisque le Cosinus est une fonction paire , les coefficients de toutes les puissances impaires x , x ³ , x ⁵ , x ⁷ , … doivent être nuls.

Deuxième exemple

Supposons que nous voulions la série de Taylor à 0 de la fonction

g ( x ) = e x cos ⁡ x . {displaystyle g(x)={frac {e^{x}}{cos x}}.!} $g(x)={frac {e^{x}}{cos x}}.!$ $g(x)={frac {e^{x}}{cos x}}.!$

On a pour la fonction exponentielle

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ {displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2} }{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots !} ${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots !}$ ${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots !}$

et, comme dans le premier exemple,

cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ {displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots !} ${displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots !}$ ${displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots !}$

Supposons que la série de puissance est

e x cos ⁡ x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ {displaystyle {frac {e^{x}}{cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3} +cdots !} ${displaystyle {frac {e^{x}}{cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+cdots !}$ ${displaystyle {frac {e^{x}}{cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+cdots !}$

Ensuite, la multiplication avec le dénominateur et la substitution de la série des Cosinus donne

e x = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ ) cos ⁡ x = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + ⋯ ) ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ ) = c 0 − c 0 2 x 2 + c 0 4 ! x 4 + c 1 x − c 1 2 x 3 + c 1 4 ! x 5 + c 2 x 2 − c 2 2 x 4 + c 2 4 ! x 6 + c 3 x 3 − c 3 2 x 5 + c 3 4 ! x 7 + c 4 x 4 + ⋯ {displaystyle {begin{aligned}e^{x}&=left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+ cdots right)cos x\&=left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4} x^{4}+cdots right)left(1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots right)\&=c_{0}-{frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{frac {c_{0}}{4!}}x^{4} +c_{1}x-{frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2} x^{2}-{frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x ^{3}-{frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^ {4}+cdots end{aligné}} !} ${displaystyle {begin{aligned}e^{x}&=left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+cdots right)cos x\&=left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+cdots right)left(1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots right)\&=c_{0}-{frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+cdots end{aligned}}!}$ ${displaystyle {begin{aligned}e^{x}&=left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+cdots right)cos x\&=left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+cdots right)left(1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots right)\&=c_{0}-{frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+cdots end{aligned}}!}$

La collecte des termes jusqu’au quatrième ordre donne

e x = c 0 + c 1 x + ( c 2 − c 0 2 ) x 2 + ( c 3 − c 1 2 ) x 3 + ( c 4 − c 2 2 + c 0 4 ! ) x 4 + ⋯ {displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+left(c_{2}-{frac {c_{0}}{2}}right)x^{2}+ gauche(c_{3}-{frac {c_{1}}{2}}right)x^{3}+left(c_{4}-{frac {c_{2}}{2}} +{frac {c_{0}}{4!}}right)x^{4}+cdots !} ${displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+left(c_{2}-{frac {c_{0}}{2}}right)x^{2}+left(c_{3}-{frac {c_{1}}{2}}right)x^{3}+left(c_{4}-{frac {c_{2}}{2}}+{frac {c_{0}}{4!}}right)x^{4}+cdots !}$ ${displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+left(c_{2}-{frac {c_{0}}{2}}right)x^{2}+left(c_{3}-{frac {c_{1}}{2}}right)x^{3}+left(c_{4}-{frac {c_{2}}{2}}+{frac {c_{0}}{4!}}right)x^{4}+cdots !}$

Les valeurs de c i {displaystyle c_{i}} $c_{i}$ $c_{i}$ peut être trouvé par comparaison des coefficients avec l’expression supérieure pour e x {displaystyle e^{x}} $e^{x}$ , donnant :

e x cos ⁡ x = 1 + x + x 2 + 2 x 3 3 + x 4 2 + ⋯ . {displaystyle {frac {e^{x}}{cos x}}=1+x+x^{2}+{frac {2x^{3}}{3}}+{frac {x ^{4}}{2}}+cdots .!} ${displaystyle {frac {e^{x}}{cos x}}=1+x+x^{2}+{frac {2x^{3}}{3}}+{frac {x^{4}}{2}}+cdots .!}$ ${displaystyle {frac {e^{x}}{cos x}}=1+x+x^{2}+{frac {2x^{3}}{3}}+{frac {x^{4}}{2}}+cdots .!}$

Troisième exemple

Ici, nous utilisons une méthode appelée “développement indirect” pour développer la fonction donnée. Cette méthode utilise le développement connu de Taylor de la fonction exponentielle. Afin de développer (1 + x ) e ^x comme une série de Taylor en x , nous utilisons la série de Taylor connue de la fonction e ^x :

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ . {displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2} }{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots .} ${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots .}$ ${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots .}$

Ainsi,

( 1 + x ) e x = e x + x e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! + ∑ n = 1 ∞ x n ( n − 1 ) ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n ! + 1 ( n − 1 ) ! ) x n = 1 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n ! x n = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n ! x n . {displaystyle {begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac { x^{n}}{n!}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n+1}}{n!}}=1+sum _{n =1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n+1}}{ n!}}\&=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=1}^{ infty }{frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+sum _{n=1}^{infty}left({frac {1}{n!} }+{frac {1}{(n-1) !}}right)x^{n}\&=1+sum _{n=1}^{infty}{frac {n+ 1}{n!}}x^{n}\&=sum _{n=0}^{infty }{frac {n+1}{n!}}x^{n}.end {aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n+1}}{n!}}=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n+1}}{n!}}\&=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+sum _{n=1}^{infty }left({frac {1}{n!}}+{frac {1}{(n-1)!}}right)x^{n}\&=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {n+1}{n!}}x^{n}\&=sum _{n=0}^{infty }{frac {n+1}{n!}}x^{n}.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n+1}}{n!}}=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n+1}}{n!}}\&=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+sum _{n=1}^{infty }left({frac {1}{n!}}+{frac {1}{(n-1)!}}right)x^{n}\&=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {n+1}{n!}}x^{n}\&=sum _{n=0}^{infty }{frac {n+1}{n!}}x^{n}.end{aligned}}}$

Série de Taylor comme définitions

Classiquement, les fonctions algébriques sont définies par une équation algébrique, et les fonctions transcendantales (y compris celles discutées ci-dessus) sont définies par une propriété qui leur est propre, comme une équation différentielle . Par exemple, la fonction exponentielle est la fonction qui est égale à sa propre dérivée partout, et prend la valeur 1 à l’origine. Cependant, on peut tout aussi bien définir une fonction analytique par sa série de Taylor.

Les séries de Taylor sont utilisées pour définir des fonctions et des ” opérateurs ” dans divers domaines des mathématiques. En particulier, cela est vrai dans les domaines où les définitions classiques des fonctions échouent. Par exemple, en utilisant la série de Taylor, on peut étendre les fonctions analytiques à des ensembles de matrices et d’opérateurs, tels que la matrice exponentielle ou la matrice logarithme .

Dans d’autres domaines, tels que l’analyse formelle, il est plus pratique de travailler directement avec les séries de puissance elles-mêmes. Ainsi, on peut définir une solution d’une équation différentielle comme une série de puissances qui, on espère prouver, est la série de Taylor de la solution souhaitée.

Série de Taylor à plusieurs variables

La série de Taylor peut également être généralisée aux fonctions de plus d’une variable avec ^{[13] [14]}

T ( x 1 , … , x d ) = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ n d = 0 ∞ ( x 1 − a 1 ) n 1 ⋯ ( x d − a d ) n d n 1 ! ⋯ n d ! ( ∂ n 1 + ⋯ + n d f ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ x d n d ) ( a 1 , … , a d ) = f ( a 1 , … , a d ) + ∑ j = 1 d ∂ f ( a 1 , … , a d ) ∂ x j ( x j − a j ) + 1 2 ! ∑ j = 1 d ∑ k = 1 d ∂ 2 f ( a 1 , … , a d ) ∂ x j ∂ x k ( x j − a j ) ( x k − a k ) + 1 3 ! ∑ j = 1 d ∑ k = 1 d ∑ l = 1 d ∂ 3 f ( a 1 , … , a d ) ∂ x j ∂ x k ∂ x l ( x j − a j ) ( x k − a k ) ( x l − a l ) + ⋯ {displaystyle {begin{aligned}T(x_{1},ldots ,x_{d})&=sum _{n_{1}=0}^{infty }cdots sum _{n_{d}=0}^{infty }{frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!cdots n_{d}!}},left({frac {partial ^{n_{1}+cdots +n_{d}}f}{partial x_{1}^{n_{1}}cdots partial x_{d}^{n_{d}}}}right)(a_{1},ldots ,a_{d})\&=f(a_{1},ldots ,a_{d})+sum _{j=1}^{d}{frac {partial f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{frac {1}{2!}}sum _{j=1}^{d}sum _{k=1}^{d}{frac {partial ^{2}f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\&qquad qquad +{frac {1}{3!}}sum _{j=1}^{d}sum _{k=1}^{d}sum _{l=1}^{d}{frac {partial ^{3}f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}partial x_{k}partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+cdots end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}T(x_{1},ldots ,x_{d})&=sum _{n_{1}=0}^{infty }cdots sum _{n_{d}=0}^{infty }{frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!cdots n_{d}!}},left({frac {partial ^{n_{1}+cdots +n_{d}}f}{partial x_{1}^{n_{1}}cdots partial x_{d}^{n_{d}}}}right)(a_{1},ldots ,a_{d})\&=f(a_{1},ldots ,a_{d})+sum _{j=1}^{d}{frac {partial f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{frac {1}{2!}}sum _{j=1}^{d}sum _{k=1}^{d}{frac {partial ^{2}f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\&qquad qquad +{frac {1}{3!}}sum _{j=1}^{d}sum _{k=1}^{d}sum _{l=1}^{d}{frac {partial ^{3}f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}partial x_{k}partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+cdots end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}T(x_{1},ldots ,x_{d})&=sum _{n_{1}=0}^{infty }cdots sum _{n_{d}=0}^{infty }{frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!cdots n_{d}!}},left({frac {partial ^{n_{1}+cdots +n_{d}}f}{partial x_{1}^{n_{1}}cdots partial x_{d}^{n_{d}}}}right)(a_{1},ldots ,a_{d})\&=f(a_{1},ldots ,a_{d})+sum _{j=1}^{d}{frac {partial f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{frac {1}{2!}}sum _{j=1}^{d}sum _{k=1}^{d}{frac {partial ^{2}f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\&qquad qquad +{frac {1}{3!}}sum _{j=1}^{d}sum _{k=1}^{d}sum _{l=1}^{d}{frac {partial ^{3}f(a_{1},ldots ,a_{d})}{partial x_{j}partial x_{k}partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+cdots end{aligned}}}$

Par exemple, pour une fonction f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} f(x,y) qui dépend de deux variables, x et y , la série de Taylor au second ordre autour du point ( a , b ) est

f ( a , b ) + ( x − a ) f x ( a , b ) + ( y − b ) f y ( a , b ) + 1 2 ! ( ( x − a ) 2 f x x ( a , b ) + 2 ( x − a ) ( y − b ) f x y ( a , b ) + ( y − b ) 2 f y y ( a , b ) ) {displaystyle f(a,b)+(xa)f_{x}(a,b)+(yb)f_{y}(a,b)+{frac {1}{2!}}{Big (}(xa)^{2}f_{xx}(a,b)+2(xa)(yb)f_{xy}(a,b)+(yb)^{2}f_{yy}(a, b){Grand )}} ${displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{frac {1}{2!}}{Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){Big )}}$ ${displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{frac {1}{2!}}{Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){Big )}}$

où les indices désignent les dérivées partielles respectives .

Une expansion en série de Taylor du second ordre d’une fonction à valeur scalaire de plus d’une variable peut être écrite de manière compacte comme

T ( x ) = f ( a ) + ( x − a ) T D f ( a ) + 1 2 ! ( x − a ) T { D 2 f ( a ) } ( x − a ) + ⋯ , { displaystyle T ( mathbf {x} ) = f ( mathbf {a} ) + ( mathbf {x} – mathbf {a} ) ^ { mathsf {T}} Df ( mathbf {a} ) +{frac {1}{2!}}(mathbf {x} -mathbf {a} )^{mathsf {T}}left{D^{2}f(mathbf {a} ) right}(mathbf {x} -mathbf {a} )+cdots ,} ${displaystyle T(mathbf {x} )=f(mathbf {a} )+(mathbf {x} -mathbf {a} )^{mathsf {T}}Df(mathbf {a} )+{frac {1}{2!}}(mathbf {x} -mathbf {a} )^{mathsf {T}}left{D^{2}f(mathbf {a} )right}(mathbf {x} -mathbf {a} )+cdots ,}$ ${displaystyle T(mathbf {x} )=f(mathbf {a} )+(mathbf {x} -mathbf {a} )^{mathsf {T}}Df(mathbf {a} )+{frac {1}{2!}}(mathbf {x} -mathbf {a} )^{mathsf {T}}left{D^{2}f(mathbf {a} )right}(mathbf {x} -mathbf {a} )+cdots ,}$

où D f ( a ) est le gradient de f évalué en x = a et D ² f ( a ) est la matrice hessienne . En appliquant la notation multi-indice, la série de Taylor pour plusieurs variables devient

T ( x ) = ∑ | α | ≥ 0 ( x − a ) α α ! ( ∂ α f ) ( a ) , {displaystyle T(mathbf {x} )=sum _{|alpha |geq 0}{frac {(mathbf {x} -mathbf {a} )^{alpha }}{alpha !}}left({mathrm {partial } ^{alpha }}fright)(mathbf {a} ),} ${displaystyle T(mathbf {x} )=sum _{|alpha |geq 0}{frac {(mathbf {x} -mathbf {a} )^{alpha }}{alpha !}}left({mathrm {partial } ^{alpha }}fright)(mathbf {a} ),}$ ${displaystyle T(mathbf {x} )=sum _{|alpha |geq 0}{frac {(mathbf {x} -mathbf {a} )^{alpha }}{alpha !}}left({mathrm {partial } ^{alpha }}fright)(mathbf {a} ),}$

qui doit être compris comme une version multi-indices encore plus abrégée de la première équation de ce paragraphe, avec une analogie complète avec le cas à une seule variable.

Exemple

Approximation en série de Taylor du second ordre (en orange) d’une fonction f ( x , y ) = e ^x ln(1 + y ) autour de l’origine.

Afin de calculer un développement en série de Taylor du second ordre autour du point ( a , b ) = (0, 0) de la fonction

f ( x , y ) = e x ln ⁡ ( 1 + y ) , {displaystyle f(x,y)=e^{x}ln(1+y),} ${displaystyle f(x,y)=e^{x}ln(1+y),}$ ${displaystyle f(x,y)=e^{x}ln(1+y),}$

on calcule d’abord toutes les dérivées partielles nécessaires :

f x = e x ln ⁡ ( 1 + y ) f y = e x 1 + y f x x = e x ln ⁡ ( 1 + y ) f y y = − e x ( 1 + y ) 2 f x y = f y x = e x 1 + y . {displaystyle {begin{aligned}f_{x}&=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{y}&={frac {e^{x}}{1 +y}}\[6pt]f_{xx}&=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{yy}&=-{frac {e^{x}}{ (1+y)^{2}}}\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={frac {e^{x}}{1+y}}.end{aligned}} } ${displaystyle {begin{aligned}f_{x}&=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{y}&={frac {e^{x}}{1+y}}\[6pt]f_{xx}&=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{yy}&=-{frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={frac {e^{x}}{1+y}}.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}f_{x}&=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{y}&={frac {e^{x}}{1+y}}\[6pt]f_{xx}&=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{yy}&=-{frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={frac {e^{x}}{1+y}}.end{aligned}}}$

L’évaluation de ces dérivées à l’origine donne les coefficients de Taylor

f x ( 0 , 0 ) = 0 f y ( 0 , 0 ) = 1 f x x ( 0 , 0 ) = 0 f y y ( 0 , 0 ) = − 1 f x y ( 0 , 0 ) = f y x ( 0 , 0 ) = 1. {displaystyle {begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\f_{y}(0,0)&=1\f_{xx}(0,0)&=0 f_{yy}(0,0)&=-1\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\f_{y}(0,0)&=1\f_{xx}(0,0)&=0\f_{yy}(0,0)&=-1\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\f_{y}(0,0)&=1\f_{xx}(0,0)&=0\f_{yy}(0,0)&=-1\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.end{aligned}}}$

Remplacer ces valeurs dans la formule générale

T ( x , y ) = f ( a , b ) + ( x − a ) f x ( a , b ) + ( y − b ) f y ( a , b ) + 1 2 ! ( ( x − a ) 2 f x x ( a , b ) + 2 ( x − a ) ( y − b ) f x y ( a , b ) + ( y − b ) 2 f y y ( a , b ) ) + ⋯ {displaystyle {begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(xa)f_{x}(a,b)+(yb)f_{y}(a,b)\ &{}+{frac {1}{2!}}left((xa)^{2}f_{xx}(a,b)+2(xa)(yb)f_{xy}(a,b )+(yb)^{2}f_{yy}(a,b)right)+cdots end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\&{}+{frac {1}{2!}}left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)right)+cdots end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\&{}+{frac {1}{2!}}left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)right)+cdots end{aligned}}}$

produit

T ( x , y ) = 0 + 0 ( x − 0 ) + 1 ( y − 0 ) + 1 2 ( 0 ( x − 0 ) 2 + 2 ( x − 0 ) ( y − 0 ) + ( − 1 ) ( y − 0 ) 2 ) + ⋯ = y + x y − y 2 2 + ⋯ {displaystyle {begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{frac {1}{2}}{Big (}0( x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{Big )}+cdots \&=y+xy- {frac {y^{2}}{2}}+cdots end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{frac {1}{2}}{Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{Big )}+cdots \&=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{frac {1}{2}}{Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{Big )}+cdots \&=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots end{aligned}}}$

Puisque ln(1 + y ) est analytique en | y | < 1 , nous avons

e x ln ⁡ ( 1 + y ) = y + x y − y 2 2 + ⋯ , | y | < 1. {displaystyle e^{x}ln(1+y)=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots ,qquad |y|<1.} ${displaystyle e^{x}ln(1+y)=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots ,qquad |y|<1.}$ ${displaystyle e^{x}ln(1+y)=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots ,qquad |y|<1.}$

Comparaison avec les séries de Fourier

La série de Fourier trigonométrique permet d’exprimer une fonction périodique (ou une fonction définie sur un intervalle fermé [ a , b ] ) comme une somme infinie de fonctions trigonométriques ( Sinus et Cosinus ). En ce sens, la série de Fourier est analogue à la série de Taylor, puisque cette dernière permet d’exprimer une fonction comme une somme infinie de puissances . Néanmoins, les deux séries diffèrent l’une de l’autre sur plusieurs points pertinents :

Les troncatures finies de la série de Taylor de f ( x ) autour du point x = a sont toutes exactement égales à f en a . En revanche, la série de Fourier est calculée en intégrant sur un intervalle entier, il n’y a donc généralement pas de point où toutes les troncatures finies de la série sont exactes.
Le calcul de la série de Taylor nécessite la connaissance de la fonction sur un petit voisinage arbitraire d’un point, alors que le calcul de la série de Fourier nécessite de connaître la fonction sur tout son intervalle de domaine . Dans un certain sens, on pourrait dire que la série de Taylor est “locale” et la série de Fourier est “globale”.
La série de Taylor est définie pour une fonction qui a une infinité de dérivées en un seul point, tandis que la série de Fourier est définie pour toute fonction intégrable . En particulier, la fonction pourrait n’être dérivable nulle part. (Par exemple, f ( x ) pourrait être une fonction de Weierstrass .)
La convergence des deux séries a des propriétés très différentes. Même si la série de Taylor a un rayon de convergence positif, la série résultante peut ne pas coïncider avec la fonction ; mais si la fonction est analytique alors la série converge ponctuellement vers la fonction, et uniformément sur chaque sous-ensemble compact de l’intervalle de convergence. Concernant la série de Fourier, si la fonction est intégrable au carré alors la série converge en moyenne quadratique , mais des exigences supplémentaires sont nécessaires pour assurer la convergence ponctuelle ou uniforme (par exemple, si la fonction est périodique et de classe C ¹ alors la convergence est uniforme).
Enfin, en pratique, on veut approximer la fonction avec un nombre fini de termes, disons avec un Polynôme de Taylor ou une Somme partielle de la série trigonométrique, respectivement. Dans le cas de la série de Taylor, l’erreur est très petite au voisinage du point où elle est calculée, alors qu’elle peut être très grande en un point éloigné. Dans le cas de la série de Fourier, l’erreur est distribuée le long du domaine de la fonction.

Voir également

Expansion asymptotique
Fonction génératrice
Madhava série
Interpolation de la différence divisée de Newton
approximant Padé
Série Puiseux
Opérateur de quart

Remarques

^ Thomas & Finney 1996 , §8.9
^ Lindberg, David (2007). Les débuts de la science occidentale (2e éd.). Presse de l’Université de Chicago. p. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.
^ Kline, M. (1990). La pensée mathématique de l’Antiquité à l’époque moderne . New York : presse universitaire d’Oxford. p. 35-37 . ISBN 0-19-506135-7.
^ Boyer, C.; Merzbach, U. (1991). Une histoire des mathématiques (deuxième édition révisée). John Wiley et fils. p. 202–203 . ISBN 0-471-09763-2.
^ “Ni Newton ni Leibniz – La préhistoire du calcul et de la mécanique céleste au Kerala médiéval” (PDF) . MAT 314 . Collège Canisius. Archivé (PDF) de l’original le 2015-02-23 . Récupéré le 09/07/2006 .
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Références

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