Shulba Sutras

Les Shulba Sutras ou Śulbasūtras ( Sanskrit : शुल्बसूत्र ; śulba : “ficelle, corde, corde”) sont des textes de sutra appartenant au rituel Śrauta et contenant une géométrie liée à la construction d’ un autel de feu .

But et origines

Les Shulba Sutras font partie du plus grand corpus de textes appelé les Shrauta Sutras , considérés comme des annexes aux Vedas . Ce sont les seules sources de connaissance des mathématiques indiennes de la période védique . Des formes uniques d’autel de feu étaient associées à des cadeaux uniques des dieux. Par exemple, « celui qui désire le ciel doit construire un autel de feu sous la forme d’un faucon » ; “un autel de feu sous la forme d’une tortue doit être construit par celui qui désire gagner le monde de Brahman” et “ceux qui souhaitent détruire les ennemis existants et futurs devraient construire un autel de feu sous la forme d’un losange”. ^[1]

Les quatre principaux Shulba Sutras, qui sont mathématiquement les plus significatifs, sont ceux attribués à Baudhayana , Manava , Apastamba et Katyayana . ^[2] Leur langue est le sanskrit védique tardif , indiquant une composition à peu près au cours du 1er millénaire avant notre ère . ^[2] Le plus ancien est le sutra attribué à Baudhayana, peut-être compilé vers 800 avant notre ère à 500 avant notre ère. ^[2] Pingree dit que l’Apastamba est probablement le prochain plus ancien; il place le Katyayana et le Manava en troisième et quatrième chronologiquement, sur la base d’emprunts apparents. ^[3]Selon Plofker, le Katyayana a été composé après “la grande codification grammaticale du sanskrit par Pāṇini probablement au milieu du IVe siècle avant notre ère”, mais elle place le Manava à la même période que le Baudhayana. ^[4]

En ce qui concerne la composition des textes védiques, écrit Plofker,

La vénération védique du sanskrit en tant que discours sacré, dont les textes divinement révélés étaient destinés à être récités, entendus et mémorisés plutôt que transmis par écrit, a contribué à façonner la littérature sanskrite en général. … Ainsi, les textes étaient composés dans des formats facilement mémorisables: soit des aphorismes en prose condensée ( sūtras , un mot appliqué plus tard pour désigner une règle ou un algorithme en général) ou des vers, en particulier à l’époque classique. Naturellement, la facilité de mémorisation interférait parfois avec la facilité de compréhension. De ce fait, la plupart des traités ont été complétés par un ou plusieurs commentaires en prose…” ^[5]

Il existe plusieurs commentaires pour chacun des Shulba Sutras, mais ceux-ci ont été écrits longtemps après les œuvres originales. Le commentaire de Sundararāja sur l’Apastamba, par exemple, vient de la fin du XVe siècle de notre ère ^[6] et le commentaire de Dvārakãnātha sur le Baudhayana semble emprunter à Sundararāja. ^[7] Selon Staal, certains aspects de la tradition décrite dans les Shulba Sutras auraient été “transmis oralement”, et il indique des endroits du sud de l’Inde où le rituel de l’autel du feu est encore pratiqué et une tradition orale préservée. ^[8] La tradition de l’autel du feu s’est largement éteinte en Inde, cependant, et Plofker avertit que ces poches où la pratique demeure peuvent refléter un renouveau védique ultérieur plutôt qu’une tradition ininterrompue. ^[4]Les preuves archéologiques des constructions d’autel décrites dans les Shulba Sutras sont rares. Un grand autel du feu en forme de faucon ( śyenaciti ), datant du deuxième siècle avant notre ère, a été trouvé dans les fouilles de GR Sharma à Kausambi , mais cet autel n’est pas conforme aux dimensions prescrites par les Shulba Sutras. ^{[3] [9]}

Page de couverture d’un traité de Śulbasūtra par le mathématicien indien Kātyāyana vers le IIe siècle avant notre ère.

Le contenu des Shulba Sutras est probablement plus ancien que les œuvres elles-mêmes. Le Satapatha Brahmana et le Taittiriya Samhita , dont le contenu date de la fin du deuxième millénaire ou du début du premier millénaire avant notre ère, décrivent des autels dont les dimensions semblent être basées sur le triangle rectangle avec des jambes de 15 pada et 36 pada , l’un des triangles répertoriés dans le Baudhayana Shulba Sutra. ^{[10] [11]}

Plusieurs mathématiciens et historiens mentionnent que les premiers textes ont été écrits à partir de 800 avant notre ère par des hindous védiques sur la base de compilations d’une tradition orale remontant à 2000 avant notre ère. ^{[12] [13]} Il est possible, comme proposé par Gupta, que la géométrie ait été développée pour répondre aux besoins du rituel. ^[14] Certains érudits vont plus loin : Staal émet l’hypothèse d’une origine rituelle commune pour la géométrie indienne et grecque, citant un intérêt et une approche similaires pour le dédoublement et d’autres problèmes de transformation géométrique. ^[15] Seidenberg, suivi de van der Waerden, voit une origine rituelle des mathématiques plus largement, postulant que les avancées majeures, comme la découverte du théorème de Pythagore, se sont produites en un seul endroit, et se sont diffusées de là au reste du monde .^{[16] [17]} Van der Waerden mentionne que l’auteur des sutras de Sulbha existait avant 600 avant notre ère et n’aurait pas pu être influencé par la géométrie grecque. ^{[18] [19]} Alors que Boyer mentionne les anciennes mathématiques babyloniennes (vers 2000 avant notre ère – 1600 avant notre ère) comme une origine possible, il déclare cependant également que les sutras de Shulba contiennent une formule introuvable dans les sources de Babylone. ^{[20] [1]} KS Krishnan mentionne que les sutras de Shulba sont antérieurs aux triplets mésopotamiens de Pythagore. ^[21] Seidenberg soutient que “la Vieille Babylone a obtenu le théorème de Pythagore de l’Inde ou que la Vieille Babylone et l’Inde l’ont obtenu d’une troisième source”. Seidenberg suggère que cette source pourrait être sumérienne et peut être antérieure à 1700 av. ^[22]En revanche, Pingree avertit que “ce serait une erreur de voir dans les œuvres [des constructeurs d’autels] l’origine unique de la géométrie ; d’autres en Inde et ailleurs, que ce soit en réponse à des problèmes pratiques ou théoriques, pourraient bien avoir avancé aussi loin sans leurs solutions ayant été mémorisées ou éventuellement transcrites dans des manuscrits.” ^[23] Plofker soulève également la possibilité que “la connaissance géométrique existante [ait été] consciemment incorporée dans la pratique rituelle”. ^[24]

Liste des Shulba Sutras

1. Apastamba
2. Baudhayana
3. Manava
4. Katyayana
5. Maitrayaniya (un peu similaire au texte Manava)
6. Varaha (en manuscrit)
7. Vadhula (en manuscrit)
8. Hiranyakeshin (similaire aux Apastamba Shulba Sutras)

Mathématiques

Théorème de Pythagore et triplets de Pythagore

Les sutras contiennent des énoncés du théorème de Pythagore , tant dans le cas d’un triangle rectangle Isocèle que dans le cas général, ainsi que des listes de triplets de Pythagore . ^[25] Dans Baudhayana, par exemple, les règles sont données comme suit :

1.9. La diagonale d’un carré produit le double de l’aire [du carré].
[…]
1.12. Les aires [des carrés] produites séparément par les longueurs de la largeur d’un rectangle sont égales à l’aire [du carré] produite par la diagonale.
1.13. Ceci est observé dans les rectangles ayant les côtés 3 et 4, 12 et 5, 15 et 8, 7 et 24, 12 et 35, 15 et 36. ^[26]

De même, les règles d’Apastamba pour la construction d’angles droits dans les autels de feu utilisent les triplets de Pythagore suivants : ^{[27] [28]}

• ( 3 , 4 , 5 ) {displaystyle (3,4,5)}
• ( 5 , 12 , 13 ) {displaystyle (5,12,13)}
• ( 8 , 15 , 17 ) {displaystyle (8,15,17)}
• ( 12 , 35 , 37 ) {displaystyle (12,35,37)}

De plus, les sutras décrivent les procédures de construction d’un carré dont l’aire est égale soit à la somme, soit à la différence de deux carrés donnés. Les deux constructions procèdent en laissant le plus grand des carrés être le carré sur la diagonale d’un rectangle, et en laissant les deux plus petits carrés être les carrés sur les côtés de ce rectangle. L’assertion selon laquelle chaque procédure produit un carré de l’aire souhaitée équivaut à l’énoncé du théorème de Pythagore. Une autre construction produit un carré d’aire égale à celle d’un rectangle donné. La procédure consiste à couper un morceau rectangulaire à partir de l’extrémité du rectangle et à le coller sur le côté de manière à former un gnomond’aire égale au rectangle d’origine. Puisqu’un gnomon est la différence de deux carrés, le problème peut être complété en utilisant l’une des constructions précédentes. ^[29]

Géométrie

Le sutra Baudhayana Shulba donne la construction de formes géométriques telles que des carrés et des rectangles. ^[30] Il donne également, parfois approximatives, des transformations géométriques préservant la surface d’une forme géométrique à une autre. Celles-ci incluent la transformation d’un carré en rectangle , d’un trapèze Isocèle , d’un triangle Isocèle , d’un losange et d’un cercle , et la transformation d’un cercle en carré. ^[30]Dans ces textes, des approximations, telles que la transformation d’un cercle en un carré, côtoient des énoncés plus précis. À titre d’exemple, la déclaration d’encercler le carré est donnée en Baudhayana comme suit :

2.9. Si l’on souhaite transformer un carré en cercle, [une corde de longueur] la moitié de la diagonale [du carré] est étirée du centre vers l’est [une partie de celle-ci se trouvant à l’extérieur du côté est du carré] ; avec un tiers [de la partie située à l’extérieur] ajouté au reste [de la demi-diagonale], le cercle [requis] est tracé. ^[31]

et l’énoncé de la quadrature du cercle est donné par :

2.10. Pour transformer un cercle en carré, le diamètre est divisé en huit parties ; une [telle] partie après avoir été divisée en vingt-neuf parties est réduite de vingt-huit d’entre elles et de plus du sixième [de la partie restante] moins le huitième [de la sixième partie].
2.11. Alternativement, divisez [le diamètre] en quinze parties et réduisez-le de deux; cela donne le côté approximatif du carré [souhaité]. ^[31]

Les constructions en 2.9 et 2.10 donnent une valeur de π de 3,088, tandis que la construction en 2.11 donne π de 3,004. ^[32]

Racines carrées

La construction de l’autel a également conduit à une estimation de la racine carrée de 2 telle que trouvée dans trois des sutras. Dans le sutra Baudhayana, il apparaît comme suit :

2.12. La mesure doit être augmentée de son tiers et ce [tiers] encore de son propre quart moins la trente-quatrième partie [de ce quart] ; c’est [la valeur de] la diagonale d’un carré [dont le côté est la mesure]. ^[31]

ce qui conduit à la valeur de la racine carrée de deux comme étant :

2 ≈ 1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 577 408 = 1.4142… {displaystyle {sqrt {2}}approx 1+{frac {1}{3}}+{frac {1}{3cdot 4}}-{frac {1}{3cdot 4 cdot 34}}={frac {577}{408}}=1.4142…} ^{[33] [34]}

En effet, une première méthode de calcul des racines carrées peut être trouvée dans certains Sutras ^{[ citation nécessaire ]} , la méthode implique la formule récursive : x ≈ x − 1 + 1 2 ⋅ x − 1 {displaystyle {sqrt {x}}approx {sqrt {x-1}}+{frac {1}{2cdot {sqrt {x-1}}}}} pour les grandes valeurs de x, qui se base sur l’identité non récursive a 2 + r ≈ a + r 2 ⋅ a {displaystyle {sqrt {a^{2}+r}}approx a+{frac {r}{2cdot a}}} pour des valeurs de r extrêmement petites par rapport à a .

Il a également été suggéré, par exemple par Bürk ^[35] que cette approximation de √2 implique la connaissance que √2 est irrationnel . Dans sa traduction des Éléments d’Euclide , Heath décrit un certain nombre de jalons nécessaires pour que l’irrationalité soit considérée comme découverte, et souligne le manque de preuves que les mathématiques indiennes aient atteint ces jalons à l’ère des Shulba Sutras. ^[36]

Voir également

Wikiquote a des citations liées aux Shulba Sutras .

• Kalpa (Vedanga)

Citations et notes de bas de page

1. ^ ^{un b} Plofker (2007) , p. 387, “Certaines formes et tailles d’autels de feu étaient associées à des dons particuliers que le sacrificateur désirait des dieux : ‘celui qui désire le ciel doit construire un autel de feu en forme de faucon’ ; ‘un autel de feu en la forme d’une tortue doit être construite par celui qui désire conquérir le monde de Brahman ; “ceux qui souhaitent détruire les ennemis existants et futurs devraient construire un autel de feu sous la forme d’un losange” [Sen et Bag 1983, 86 , 98, 111].”
2. ^ ^{un bc Plofker} (2007) , p. 387
3. ^ ^{un b} Pingree (1981) , p. 4
4. ^ ^{un b} Plofker (2009) , p.18
5. ^ Plofker (2009) , p. 11
6. ^ Pingree (1981) , p. 6
7. ^ Délire (2009) , p. 50
8. ^ Staal (1999) , p. 111
9. ^ Plofker (2009) , p 19.
10. ^ Burk (1901) , p. 554
11. ^ Heath (1925) , p. 362
12. ^ “Racines carrées des Sulbha Sutras” . pi.math.cornell.edu . Récupéré le 24/05/2020 .
13. ^ Datta, Bibhutibhusan (1931). “Sur l’origine des termes hindous pour” racine ” “. The American Mathematical Monthly . 38 (7): 371–376. doi : 10.2307/2300909 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2300909 .
14. ^ Gupta (1997) , p. 154
15. ^ Staal (1999) , pp. 106, 109–110
16. ^ Seidenberg (1978)
17. ^ van der Waerden (1983)
18. ^ Van der Waerden, Barten L (1983). Géométrie et algèbre dans les civilisations anciennes . Édition Springer. p. 12. ISBN 0387121595.
19. ^ Joseph, George Gheverghese (1997). “Qu’est-ce qu’une racine carrée? Une étude de la représentation géométrique dans différentes traditions mathématiques”. Mathématiques à l’école . 26 (3) : 4–9. ISSN 0305-7259 . JSTOR 30215281 .
20. ^ Boyer (1991) , p. 207, “On trouve des règles pour la construction des angles droits au moyen de triplets de cordes dont les longueurs forment des triages pythagoriciens, tels que 3, 4 et 5, ou 5, 12 et 13, ou 8, 15 et 17 , ou 12, 35 et 37. Cependant, toutes ces triades sont facilement dérivées de l’ancienne règle babylonienne; par conséquent, l’influence mésopotamienne dans les Sulvasutras n’est pas improbable. Aspastamba savait que le carré sur la diagonale d’un rectangle est égal à la somme des carrés sur les deux côtés adjacents, mais cette forme du théorème de Pythagore peut aussi avoir été dérivée de la Mésopotamie. … Ainsi conjectural sont l’origine et la période des Sulbasutrasque nous ne pouvons pas dire si les règles sont liées ou non à l’arpentage égyptien ancien ou au problème grec ultérieur du doublement de l’autel. Elles sont diversement datées dans un intervalle de près de mille ans s’étendant du VIIIe siècle avant J.-C. au IIe siècle de notre ère.”
21. ^ Krishnan, KS (2019). Origine des Védas, chapitre 5 . Notion Presse. ISBN 978-1645879800.
22. ^ Seidenberg (1983) , p. 121
23. ^ Pingree (1981) , p. 5
24. ^ Plofker (2009) , p. 17
25. ^ Thibaut (1875) , p. 232-238
26. ^ Plofker (2007) , pp. 388–389
27. ^ Boyer (1991) , p. 207
28. ^ Joseph, GG (2000). La crête du paon : les racines non européennes des mathématiques . Presse universitaire de Princeton. p. 229 . ISBN 0-691-00659-8.
29. ^ Thibaut (1875) , p. 243-246
30. ^ ^{un b} Plofker (2007) , pp. 388-391
31. ^ ^{un bc Plofker} (2007) , p. 391
32. ^ Plofker (2007) , p. 392, “Les techniques de ‘circulature’ et de quadrature en 2.9 et 2.10, dont la première est illustrée à la figure 4.4, impliquent ce que nous appellerions une valeur de π de 3,088, […] La quadrature en 2.11, d’autre part d’autre part, suggère que π = 3,004 (où s = 2 r ⋅ 13 / 15 {displaystyle s=2rcdot 13/15} ), qui n’est déjà considéré que comme “approximatif”. En 2.12, le rapport de la diagonale d’un carré à son côté (notre 2 ) {displaystyle {sqrt {2}})} est considéré comme étant 1 + 1/3 + 1/(3·4) – 1/(3·4·34) = 1,4142.
33. ^ Plofker (2007) , p. 392
34. ^ Cooke (2005) , p. 200
35. ^ Burk (1901) , p. 575
36. ^ Heath (1925) , p. 364 : “Comme le dit [Heinrich] Vogt, trois étapes ont dû être franchies avant que l’irrationalité de la diagonale d’un carré ne soit découverte dans un sens réel. (1) Toutes les valeurs trouvées par la mesure directe des calculs basés sur celle-ci doivent être reconnues comme étant inexacte. Ensuite (2) doit survenir la conviction qu’il est impossible d’arriver à une expression arithmétique précise de la valeur. Et enfin (3) l’impossibilité doit être prouvée. Or il n’y a aucune preuve réelle que les Indiens, à la date en question, avait même atteint la première étape, encore moins la deuxième ou la troisième.”

Références

• En ligneBoyer, Carl B. (1991). Une histoire des mathématiques (deuxième éd.). John Wiley et fils . ISBN 0-471-54397-7.
• Burk, Albert (1901). “Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen” . Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (en allemand). 55 : 543–591.
• Délire, Jean Michèle (2009). “Inférences chronologiques à partir d’une comparaison entre des commentaires sur différents Śulbasūtras “. Dans Wujastyk, Dominik (éd.). Mathématiques et médecine en sanskrit . p. 37–62.
• Bryant, Edwin (2001). La quête des origines de la culture védique : le débat sur la migration indo-aryenne . Presse universitaire d’Oxford. ISBN 9780195137774.
• Cooke, Roger (2005) [Première publication 1997]. L’histoire des mathématiques: un bref cours . Wiley-Interscience . ISBN 0-471-44459-6.
• Datta, Bibhutibhushan (1932). La Science de la Sulba. Une étude de la géométrie hindoue ancienne . Université de Calcutta .
• Gupta, RC (1997). “Baudhayana“. Dans Selin, Helaine (éd.). Encyclopédie de l’histoire des sciences, de la technologie et de la médecine dans les cultures non occidentales . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
• Heath, Sir Thomas L. (1925) [1908]. Les treize livres des éléments d’Euclide, traduits du texte de Heiberg, avec introduction et commentaire . Vol. I (2 éd.). New York : Douvres.
• Pingree, David (1981), Gonda, Jan (éd.), Jyotiḥśāstra : littérature astrale et mathématique , Une histoire de la littérature indienne, vol. VI, Littérature scientifique et technique
• Plofker, Kim (2007). “Mathématiques en Inde”. Dans Katz, Victor J (éd.). Les mathématiques de l’Égypte, de la Mésopotamie, de la Chine, de l’Inde et de l’islam : un livre source . Presse de l’Université de Princeton . ISBN 978-0-691-11485-9.
• Plofker, Kim (2009). Mathématiques en Inde . Presse universitaire de Princeton. ISBN 9780691120676.
• Sarma, KV (1997). “Sulbasutras”. Dans Selin, Helaine (éd.). Encyclopédie de l’histoire des sciences, de la technologie et de la médecine dans les cultures non occidentales . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
• Seidenberg, A. (1978). “L’origine des mathématiques”. Archive pour l’histoire des sciences exactes . 18 : 301–342.
• En ligneSeidenberg, A. (1983). “La Géométrie des Rituels Védiques”. Dans Staal, Frits (éd.). Agni : Le rituel védique de l’autel du feu . Berkeley : Presse des sciences humaines asiatiques.
• Staal, Frits (1999). “Géométrie grecque et védique”. Journal de philosophie indienne . 27 : 105–127. doi : 10.1023/A:1004364417713 . S2CID 16466375 .
• Thibaut, George (1875). “Sur les Śulvasútras” . Le Journal de la Société asiatique du Bengale . 44 : 227–275.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1983). Géométrie et algèbre dans les civilisations anciennes . Springer Verlag. ISBN 9783642617812.

Traductions

• “Le Śulvasútra de Baudháyana, avec le commentaire de Dvárakánáthayajvan”, de George Thibaut, a été publié dans une série de numéros de The Pandit. Un journal mensuel, du Benares College, consacré à la littérature sanskrite . Notez que le commentaire n’est pas traduit.
  • (1875) 9 (108): 292–298
  • (1875–1876) 10 (109) : 17–22 , (110) : 44–50 , (111) : 72–74 , (114) : 139–146 , (115) : 166–170 , (116) : 186–194 , (117) : 209–218
  • (nouvelle série) (1876–1877) 1 (5) : 316–322 , (9) : 556–578 , (10) : 626–642 , (11) : 692–706 , (12) : 761–770
• « Śulbapariśishta de Kátyáyana avec le commentaire de Ráma, fils de Súryadása », par George Thibaut, a été publié dans une série de numéros de The Pandit. Un journal mensuel, du Benares College, consacré à la littérature sanskrite . Notez que le commentaire n’est pas traduit.
  • (nouvelle série) (1882) 4 (1–4) : 94–103 , (5–8) : 328–339 , (9–10) : 382–389 , (9–10) : 487–491
• Burk, Albert (1902). “Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen” . Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (en allemand). 56 : 327–391.Transcription et analyse dans Bürk (1901) .
• Sen, SN ; Sac, AK (1983). Les Śulba Sūtras de Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana et Mānava avec texte, traduction en anglais et commentaire . New Delhi : Académie nationale indienne des sciences.