Racine d’unité

En mathématiques , une racine d’unité , parfois appelée nombre de Moivre , est tout nombre complexe qui donne 1 lorsqu’il est élevé à une puissance entière positive n . Les racines d’unité sont utilisées dans de nombreuses branches des mathématiques et sont particulièrement importantes dans la théorie des nombres , la théorie des caractères de groupe et la transformée de Fourier discrète .

Les 5èmes racines de l’unité (points bleus) dans le plan complexe

Les racines de l’unité peuvent être définies dans n’importe quel domaine . Si la caractéristique du champ est nulle, les racines sont des nombres complexes qui sont aussi des entiers algébriques . Pour les corps de caractéristique positive, les racines appartiennent à un corps fini et, inversement , tout élément non nul d’un corps fini est une racine de l’unité. Tout corps algébriquement clos contient exactement n n ièmes racines de l’unité, sauf lorsque n est un multiple de la caractéristique (positive) du corps.

Définition générale

Représentation géométrique de la 2e à la 6e racine d’un nombre complexe général sous forme polaire. Pour la racine n ième de l’unité, on pose r = 1 et φ = 0. La racine principale est en noir.

Une n ième racine de l’unité , où n est un entier positif, est un nombre z satisfaisant l’ équation ^{[1] [2]}

z n = 1. {displaystyle z^{n}=1.} $z^{n}=1.$ $z^{n}=1.$

Sauf indication contraire, les racines de l’unité peuvent être considérées comme des nombres complexes (y compris le nombre 1, et le nombre –1 si n est pair , qui sont complexes avec une partie imaginaire nulle ), et dans ce cas, les n ièmes racines de l’unité sont

exp ⁡ ( 2 k π i n ) = cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n , k = 0 , 1 , … , n − 1. {displaystyle exp left({frac {2kpi i}{n}}right)=cos {frac {2kpi }{n}}+isin {frac {2kpi }{n}},qquad k=0,1,dots ,n-1.} ${displaystyle exp left({frac {2kpi i}{n}}right)=cos {frac {2kpi }{n}}+isin {frac {2kpi }{n}},qquad k=0,1,dots ,n-1.}$ ${displaystyle exp left({frac {2kpi i}{n}}right)=cos {frac {2kpi }{n}}+isin {frac {2kpi }{n}},qquad k=0,1,dots ,n-1.}$

Cependant, l’équation de définition des racines de l’unité est significative sur tout corps (et même sur tout anneau ) F , et cela permet de considérer les racines de l’unité dans F . Quel que soit le corps F , les racines de l’unité dans F sont soit des nombres complexes, si la caractéristique de F est 0, soit, dans le cas contraire, appartiennent à un corps fini . Inversement, chaque élément non nul dans un champ fini est une racine de l’unité dans ce champ. Voir Racine de l’unité modulo n et Champ fini pour plus de détails.

On dit qu’une racine n ième de l’unité estprimitif si ce n’est pas unemième de l’unité pour unm, c’est-à-dire si

z n = 1 and z m ≠ 1 for m = 1 , 2 , 3 , … , n − 1. {displaystyle z^{n}=1quad {text{and}}quad z^{m}neq 1{text{ for }}m=1,2,3,ldots ,n-1 .} ${displaystyle z^{n}=1quad {text{and}}quad z^{m}neq 1{text{ for }}m=1,2,3,ldots ,n-1.}$ ${displaystyle z^{n}=1quad {text{and}}quad z^{m}neq 1{text{ for }}m=1,2,3,ldots ,n-1 .}$

Si n est un nombre premier , alors toutes les n ièmes racines de l’unité, sauf 1, sont primitives.

Dans la formule ci-dessus en termes de fonctions exponentielles et trigonométriques, les n ièmes racines primitives de l’unité sont celles pour lesquelles k et n sont des entiers premiers entre eux .

Les sections suivantes de cet article se conformeront aux racines complexes de l’unité. Pour le cas des racines de l’unité dans les champs de caractéristique non nulle, voir Champ fini § Racines de l’unité . Pour le cas des racines d’unité dans des anneaux d’ entiers modulaires , voir Racine d’unité modulo n .

Propriétés élémentaires

Toute racine n ième de l’unité z est une racine a ième primitive de l’unité pour un certain a ≤ n , qui est le plus petit entier positif tel que z ^a = 1 .

Toute puissance entière d’une n ième racine d’unité est aussi une n ième racine d’unité, comme

( z k ) n = z k n = ( z n ) k = 1 k = 1. {displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.} $(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.$ $(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.$

Ceci est également vrai pour les exposants négatifs. En particulier, l’ inverse d’une n ième racine d’unité est son complexe conjugué , et est aussi une n ième racine d’unité :

1 z = z − 1 = z n − 1 = z ̄ . {displaystyle {frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={bar {z}}.} ${frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={bar {z}}.$ ${frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={bar {z}}.$

Si z est une n ième racine de l’unité et a ≡ b (mod n ) alors z ^a = z ^b . En effet, par définition de la congruence modulo n , a = b + kn pour un entier k , et donc

z a = z b + k n = z b z k n = z b ( z n ) k = z b 1 k = z b . {displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b} 1^{k}=z^{b}.} $z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.$ $z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{ k}=z^{b}.$

Donc, étant donné une puissance z ^a de z , on a z ^a = z ^r , où 0 ≤ r < n est le reste de la division euclidienne de a par n .

Soit z une racine n ième primitive de l’unité. Alors les puissances z , z ² , …, z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 sont les n ièmes racines de l’unité et sont toutes distinctes. (Si z ^a = z ^b où 1 ≤ a < b ≤ n , alors z ^{b − a} = 1 , ce qui impliquerait que z ne serait pas primitif.) Cela implique que z ,z ² , …, z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 sont toutes les n ièmes racines de l’unité, puisqu’une Équation polynomiale de n ième degré sur un corps (dans ce cas le corps des nombres complexes) a au plus n solutions.

De ce qui précède, il résulte que, si z est une n ième racine primitive de l’unité, alors z a = z b {style d’affichage z^{a}=z^{b}} ${displaystyle z^{a}=z^{b}}$ ${style d'affichage z^{a}=z^{b}}$ si et seulement si a ≡ b ( mod n ) . {displaystyle aequiv b{pmod {n}}.} Si z n’est pas primitif alors a ≡ b ( mod n ) {displaystyle aequiv b{pmod {n}}} implique z a = z b , {displaystyle z^{a}=z^{b},} ${displaystyle z^{a}=z^{b},}$ ${displaystyle z^{a}=z^{b},}$ mais l’inverse peut être faux, comme le montre l’exemple suivant. Si n = 4 , une n ième racine non primitive de l’unité est z = –1 , et on a z 2 = z 4 = 1 {style d’affichage z^{2}=z^{4}=1} ${displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$ ${style d'affichage z^{2}=z^{4}=1}$ , même si 2 ≢ 4 ( mod 4 ) . {displaystyle 2not equiv 4{pmod {4}}.}

Soit z une racine n ième primitive de l’unité. Une puissance w = z ^k de z est une primitive a ième racine de l’unité pour

a = n gcd ( k , n ) , {displaystyle a={frac {n}{gcd(k,n)}},} ${displaystyle a={frac {n}{gcd(k,n)}},}$ ${displaystyle a={frac {n}{gcd(k,n)}},}$

où gcd ( k , n ) {displaystyle gcd(k,n)} est le plus grand commun diviseur de n et k . Cela résulte du fait que ka est le plus petit multiple de k qui est aussi un multiple de n . En d’autres termes, ka est le plus petit commun multiple de k et n . Ainsi

a = lcm ⁡ ( k , n ) k = k n k gcd ( k , n ) = n gcd ( k , n ) . {displaystyle a={frac {operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={frac {kn}{kgcd(k,n)}}={frac {n}{ gcd(k,n)}}.} ${displaystyle a={frac {operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={frac {kn}{kgcd(k,n)}}={frac {n}{gcd(k,n)}}.}$ ${displaystyle a={frac {operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={frac {kn}{kgcd(k,n)}}={frac {n}{ gcd(k,n)}}.}$

Ainsi, si k et n sont premiers entre eux , z ^k est aussi une racine n ième primitive de l’unité, et donc il y a φ ( n ) racines n ième primitives distinctes de l’unité (où φ est la fonction indicatrice d’Euler ). Cela implique que si n est un nombre premier, toutes les racines sauf +1 sont primitives.

En d’autres termes, si R( n ) est l’ensemble des n ièmes racines de l’unité et P( n ) est l’ensemble des primitives, R( n ) est une union disjointe des P( n ) :

R ⁡ ( n ) = ⋃ d | n P ⁡ ( d ) , {displaystyle operatorname {R} (n)=bigcup _{d,|,n}operatorname {P} (d),} ${displaystyle operatorname {R} (n)=bigcup _{d,|,n}operatorname {P} (d),}$ ${displaystyle operatorname {R} (n)=bigcup _{d,|,n}operatorname {P} (d),}$

où la notation signifie que d passe par tous les diviseurs positifs de n , y compris 1 et n .

Puisque le cardinal de R( n ) est n , et celui de P( n ) est φ ( n ) , cela démontre la formule classique

∑ d | n φ ( d ) = n . {displaystyle sum _{d,|,n}varphi (d)=n.} ${displaystyle sum _{d,|,n}varphi (d)=n.}$ ${displaystyle sum _{d,|,n}varphi (d)=n.}$

Propriétés de groupe

Groupe de toutes les racines de l’unité

Le produit et l’ inverse multiplicatif de deux racines de l’unité sont aussi des racines de l’unité. En fait, si x ^m = 1 et y ⁿ = 1 , alors ( x ⁻¹ ) ^m = 1 , et ( xy ) ^k = 1 , où k est le plus petit commun multiple de m et n .

Par conséquent, les racines de l’unité forment un groupe abélien sous multiplication. Ce groupe est le sous-groupe de torsion du groupe de cercle .

Groupe de n ièmes racines de l’unité

Pour un entier n , le produit et l’inverse multiplicatif de deux racines n ièmes de l’unité sont aussi des racines n ièmes de l’unité. Par conséquent, les n ièmes racines de l’unité forment un groupe abélien sous multiplication.

Étant donné une n ième racine primitive de l’unité ω , les autres n ièmes racines sont des puissances de ω . Cela signifie que le groupe des n ièmes racines de l’unité est un groupe cyclique . Il convient de remarquer que le terme de groupe cyclique provient du fait que ce groupe est un sous- groupe du groupe circulaire .

Groupe de Galois des racines n ièmes primitives de l’unité

Laisser Q ( ω ) {displaystyle mathbb {Q} (omega)} soit l’ extension de champ des nombres rationnels générés sur Q {displaystyle mathbb {Q}} par une racine n ième primitive de l’unité ω . Comme toute racine n ième de l’unité est une puissance de ω , le champ Q ( ω ) {displaystyle mathbb {Q} (omega)} contient toutes les n ièmes racines de l’unité, et Q ( ω ) {displaystyle mathbb {Q} (omega)} est une extension galoisienne de Q . {displaystyle mathbb {Q} .}

Si k est un entier, ω ^k est une n ième racine primitive de l’unité si et seulement si k et n sont premiers entre eux . Dans ce cas, la carte

ω ↦ ω k {displaystyle omega mapsto omega ^{k}} ${displaystyle omega mapsto omega ^{k}}$ ${displaystyle omega mapsto omega ^{k}}$

induit un automorphisme de Q ( ω ) {displaystyle mathbb {Q} (omega)} , qui associe chaque n ième racine de l’unité à sa k ième puissance. Tout automorphisme de Q ( ω ) {displaystyle mathbb {Q} (omega)} est ainsi obtenu, et ces automorphismes forment le groupe de Galois de Q ( ω ) {displaystyle mathbb {Q} (omega)} sur le champ des rationnels.

Les règles d’exponentiation impliquent que la composition de deux de ces automorphismes est obtenue en multipliant les exposants. Il en résulte que la carte

k ↦ ( ω ↦ ω k ) {displaystyle kmapsto left(omega mapsto omega ^{k}right)} ${displaystyle kmapsto left(omega mapsto omega ^{k}right)}$ ${displaystyle kmapsto left(omega mapsto omega ^{k}right)}$

définit un isomorphisme de groupe entre les unités de l’anneau des entiers modulo n et le groupe de Galois de Q ( ω ) . {displaystyle mathbb {Q} (omega).}

Cela montre que ce groupe de Galois est abélien , et implique donc que les racines primitives de l’unité peuvent être exprimées en termes de radicaux .

Expression trigonométrique

Les 3èmes racines de l’unité

La formule de De Moivre , valable pour tout réel x et entier n , est

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x . {displaystyle left(cos x+isin xright)^{n}=cos nx+isin nx.} ${displaystyle left(cos x+isin xright)^{n}=cos nx+isin nx.}$

Réglage x =2π/ndonne une n ième racine primitive de l’unité – on obtient

( cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n ) n = cos ⁡ 2 π + i sin ⁡ 2 π = 1 , {displaystyle left(cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}right)^{!n}=cos 2 pi +isin 2pi =1,} ${displaystyle left(cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}right)^{!n}=cos 2pi +isin 2pi =1,}$ ${displaystyle left(cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}right)^{!n}=cos 2 pi +isin 2pi =1,}$

mais

( cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n ) k = cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n ≠ 1 {displaystyle left(cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}right)^{!k}=cos { frac {2kpi }{n}}+isin {frac {2kpi }{n}}neq 1} ${displaystyle left(cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}right)^{!k}=cos {frac {2kpi }{n}}+isin {frac {2kpi }{n}}neq 1}$ ${displaystyle left(cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}right)^{!k}=cos { frac {2kpi }{n}}+isin {frac {2kpi }{n}}neq 1}$

pour k = 1, 2, …, n − 1 . En d’autres termes,

cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n {displaystyle cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}} ${displaystyle cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}}$ ${displaystyle cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}}$

est une n ième racine primitive de l’unité.

Cette formule montre que dans le plan complexe les n ièmes racines de l’unité sont aux sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité , avec un sommet en 1 (voir les tracés pour n = 3 et n = 5 sur le à droite.) Ce fait géométrique explique le terme “cyclotomique” dans des expressions telles que champ cyclotomique et polynôme cyclotomique ; il vient des racines grecques ” cyclo ” (cercle) plus ” tomos ” (couper, diviser).

La formule d’Euler

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x , {displaystyle e^{ix}=cos x+isin x,} $e^{ix}=cos x+isin x,$ $e^{ix}=cos x+isin x,$

qui est valable pour tout réel x , peut être utilisé pour mettre la formule des n ièmes racines de l’unité sous la forme

e 2 π i k n , 0 ≤ k < n . {displaystyle e^{2pi je{frac {k}{n}}},quad 0leq k<n.} ${displaystyle e^{2pi i{frac {k}{n}}},quad 0leq k<n.}$ ${displaystyle e^{2pi je{frac {k}{n}}},quad 0leq k<n.}$

Il découle de la discussion de la section précédente qu’il s’agit d’une n ème racine primitive si et seulement si la fraction k/nest dans les termes les plus bas ; c’est-à-dire que k et n sont premiers entre eux. Un nombre irrationnel qui peut être exprimé comme la partie réelle de la racine de l’unité ; c’est-à-dire comme cos ⁡ ( 2 π k / n ) {displaystyle cos(2pi k/n)} , s’appelle un Nombre trigonométrique .

Expression algébrique

Les n ièmes racines de l’unité sont, par définition, les racines du polynôme x ⁿ − 1 , et sont donc des nombres algébriques . Comme ce polynôme n’est pas irréductible (sauf pour n = 1 ), les n ièmes racines primitives de l’unité sont les racines d’un polynôme irréductible de degré inférieur, appelé n ième polynôme cyclotomique , et souvent noté Φ _n . Le degré de Φ _n est donné par la fonction totient d’Euler , qui compte (entre autres) le nombre de primitives nème racines de l’unité. Les racines de Φ _n sont exactement les n ièmes racines primitives de l’unité.

La théorie de Galois peut être utilisée pour montrer que les polynômes cyclotomiques peuvent être commodément résolus en termes de radicaux. (La forme triviale 1 n {displaystyle {sqrt[{n}]{1}}} n’est pas pratique, car il contient des racines non primitives, telles que 1, qui ne sont pas des racines du polynôme cyclotomique, et parce qu’il ne donne pas séparément les parties réelle et imaginaire.) Cela signifie que, pour chaque entier positif n , il y a existe une expression construite à partir d’entiers par des extractions de racine, des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions (et rien d’autre), telle que les n ièmes racines primitives de l’unité sont exactement l’ensemble des valeurs qui peuvent être obtenues en choisissant des valeurs pour les extractions de racine ( k valeurs possibles pour une k ème racine). (Pour plus de détails, voir § Champs cyclotomiques , ci-dessous.)

Gauss a prouvé qu’une n ième racine primitive de l’unité peut être exprimée en utilisant uniquement les racines carrées , l’addition, la soustraction, la multiplication et la division si et seulement s’il est possible de construire avec le compas et la règle le n -gone régulier . C’est le cas si et seulement si n est soit une puissance de deux , soit le produit d’une puissance de deux et de nombres premiers de Fermat tous différents.

Si z est une n ième racine primitive de l’unité, il en est de même pour 1/ z , et r = z + 1 z {displaystyle r=z+{frac {1}{z}}} ${displaystyle r=z+{frac {1}{z}}}$ ${displaystyle r=z+{frac {1}{z}}}$ est le double de la partie réelle de z . Autrement dit, Φ _n est un polynôme réciproque , le polynôme R n {displaystyle R_{n}} $R_{n}$ $R_{n}$ qui a r pour racine peut être déduite de Φ _n par la manipulation standard sur les polynômes réciproques, et les n ièmes racines primitives de l’unité peuvent être déduites des racines de R n {displaystyle R_{n}} $R_{n}$ $R_{n}$ en résolvant l’ équation quadratique z 2 − r z + 1 = 0. {displaystyle z^{2}-rz+1=0.} ${displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$ ${displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$ Autrement dit, la partie réelle de la racine primitive est r 2 , {displaystyle {frac {r}{2}},} ${displaystyle {frac {r}{2}},}$ ${displaystyle {frac {r}{2}},}$ et sa partie imaginaire est ± i 1 − ( r 2 ) 2 . {displaystyle pm i{sqrt {1-left({frac {r}{2}}right)^{2}}}.} ${displaystyle pm i{sqrt {1-left({frac {r}{2}}right)^{2}}}.}$ ${displaystyle pm i{sqrt {1-left({frac {r}{2}}right)^{2}}}.}$

Le polynôme R n {displaystyle R_{n}} $R_{n}$ $R_{n}$ est un polynôme irréductible dont les racines sont toutes réelles. Son degré est une puissance de deux, si et seulement si n est un produit d’une puissance de deux par un produit (éventuellement vide ) de nombres premiers de Fermat distincts, et le n -gone régulier est constructible au compas et à la règle. Sinon, il est résoluble en radicaux, mais on est dans le casus irreducibilis , c’est-à-dire que toute expression des racines en termes de radicaux implique des radicaux non réels .

Expressions explicites en degrés bas

Pour n = 1 , le polynôme cyclotomique est Φ ₁ ( x ) = x − 1 Par conséquent, la seule première racine primitive de l’unité est 1, qui est une racine n ième non primitive de l’unité pour tout n > 1.
Comme Φ ₂ ( x ) = x + 1 , la seule racine seconde (carrée) primitive de l’unité est –1, qui est aussi une n ième racine non primitive de l’unité pour tout n > 2 pair . Avec le cas précédent, ceci complète la liste des racines réelles de l’unité.
Comme Φ ₃ ( x ) = x ² + x + 1 , les troisièmes racines primitives ( cube ) de l’unité, qui sont les racines de ce Polynôme quadratique , sont

− 1 + i 3 2 , − 1 − i 3 2 . {displaystyle {frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}}, {frac {-1-i{sqrt {3}}}{2}}.} ${displaystyle {frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}}, {frac {-1-i{sqrt {3}}}{2}}.}$ ${displaystyle {frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}}, {frac {-1-i{sqrt {3}}}{2}}.}$

Comme Φ ₄ ( x ) = x ² + 1 , les deux racines quatrièmes primitives de l’unité sont i et − i .
Comme Φ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 , les quatre cinquièmes racines primitives de l’unité sont les racines de ce Polynôme quartique , qui peut être explicitement résolu en termes de radicaux, donnant les racines

ε 5 − 1 4 ± i 10 + 2 ε 5 4 , {displaystyle {frac {varepsilon {sqrt {5}}-1}{4}}pm i{frac {sqrt {10+2varepsilon {sqrt {5}}}}{4} },} ${displaystyle {frac {varepsilon {sqrt {5}}-1}{4}}pm i{frac {sqrt {10+2varepsilon {sqrt {5}}}}{4}},}$ ${displaystyle {frac {varepsilon {sqrt {5}}-1}{4}}pm i{frac {sqrt {10+2varepsilon {sqrt {5}}}}{4} },}$ où ε {displaystyle varepsilon} peut prendre les deux valeurs 1 et –1 (la même valeur dans les deux occurrences).

Comme Φ ₆ ( x ) = x ² − x + 1 , il existe deux racines sixièmes primitives de l’unité, qui sont les négatifs (et aussi les racines carrées) des deux racines cubiques primitives :

1 + i 3 2 , 1 − i 3 2 . {displaystyle {frac {1+i{sqrt {3}}}{2}}, {frac {1-i{sqrt {3}}}{2}}.} ${displaystyle {frac {1+i{sqrt {3}}}{2}}, {frac {1-i{sqrt {3}}}{2}}.}$ ${displaystyle {frac {1+i{sqrt {3}}}{2}}, {frac {1-i{sqrt {3}}}{2}}.}$

Comme 7 n’est pas un nombre premier de Fermat, les racines septièmes de l’unité sont les premières qui nécessitent des racines cubiques . Il y a 6 septièmes racines primitives de l’unité, qui sont conjuguées deux à deux complexes . La somme d’une racine et de son conjugué est le double de sa partie réelle. Ces trois sommes sont les trois racines réelles du polynôme cubique r 3 + r 2 − 2 r − 1 , {displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,} ${displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$ ${displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$ et les septièmes racines primitives de l’unité sont

r 2 ± i 1 − r 2 4 , {displaystyle {frac {r}{2}}pm i{sqrt {1-{frac {r^{2}}{4}}}},} ${displaystyle {frac {r}{2}}pm i{sqrt {1-{frac {r^{2}}{4}}}},}$ ${displaystyle {frac {r}{2}}pm i{sqrt {1-{frac {r^{2}}{4}}}},}$ où r court sur les racines du polynôme ci-dessus. Comme pour tout polynôme cubique, ces racines peuvent être exprimées en termes de racines carrées et cubiques. Cependant, comme ces trois racines sont toutes réelles, il s’agit de casus irreducibilis , et toute expression de ce type implique des racines cubiques non réelles.

Comme Φ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1 , les quatre racines huitièmes primitives de l’unité sont les racines carrées des racines quatrièmes primitives, ± i . Ils sont ainsi

± 2 2 ± i 2 2 . {displaystyle pm {frac {sqrt {2}}{2}}pm i{frac {sqrt {2}}{2}}.} ${displaystyle pm {frac {sqrt {2}}{2}}pm i{frac {sqrt {2}}{2}}.}$ ${displaystyle pm {frac {sqrt {2}}{2}}pm i{frac {sqrt {2}}{2}}.}$

Voir Heptadécagone pour la partie réelle d’une 17e racine d’unité.

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Fonction quintique

Jun 12, 2022

Périodicité

Si z est une n ième racine primitive de l’unité, alors la suite des puissances

… , z ⁻¹ , z ⁰ , z ¹ , …

est n -périodique (car z ^{j + n} = z ^j z ⁿ = z ^j pour toutes les valeurs de j ), et les n suites de puissances

s _k : … , z ^{k ⋅(−1)} , z ^{k ⋅0} , z ^{k ⋅1} , …

pour k = 1, … , n sont tous n -périodiques (car z ^{k ⋅( j + n )} = z ^{k ⋅ j} ). De plus, l’ensemble { s ₁ , … , s _n } de ces séquences est une base de l’ Espace linéaire de toutes les séquences n -périodiques. Cela signifie que toute séquence n -périodique de nombres complexes

… , x ₋₁ , x ₀ , x ₁ , …

peut être exprimée comme une combinaison linéaire des puissances d’une n ième racine primitive de l’unité :

X j = ∑ k X k ⋅ z k ⋅ j = X 1 z 1 ⋅ j + ⋯ + X n ⋅ z n ⋅ j {displaystyle x_{j}=sum _{k}X_{k}cdot z^{kcdot j}=X_{1}z^{1cdot j}+cdots +X_{n} cdot z^{ncdot j}} $x_{j}=sum _{k}X_{k}cdot z^{kcdot j}=X_{1}z^{1cdot j}+cdots +X_{n}cdot z^{ncdot j}$ $x_{j}=sum _{k}X_{k}cdot z^{kcdot j}=X_{1}z^{1cdot j}+cdots +X_{n}cdot z^ {ncpoint j}$

pour certains nombres complexes X ₁ , … , X _n et tout entier j .

C’est une forme d’ analyse de Fourier . Si j est une variable temporelle (discrète), alors k est une fréquence et X _k est une amplitude complexe .

Choisir la n ième racine primitive de l’unité

z = e 2 π i n = cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n {displaystyle z=e^{frac {2pi je}{n}}=cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n} }} ${displaystyle z=e^{frac {2pi i}{n}}=cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}}$ ${displaystyle z=e^{frac {2pi je}{n}}=cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n} }}$

permet d’exprimer x _j sous la forme d’une combinaison linéaire de cos et sin :

x j = ∑ k A k cos ⁡ 2 π j k n + ∑ k B k sin ⁡ 2 π j k n . {displaystyle x_{j}=sum _{k}A_{k}cos {frac {2pi jk}{n}}+sum _{k}B_{k}sin {frac { 2pi jk}{n}}.} ${displaystyle x_{j}=sum _{k}A_{k}cos {frac {2pi jk}{n}}+sum _{k}B_{k}sin {frac {2pi jk}{n}}.}$ ${displaystyle x_{j}=sum _{k}A_{k}cos {frac {2pi jk}{n}}+sum _{k}B_{k}sin {frac { 2pi jk}{n}}.}$

Il s’agit d’une transformée de Fourier discrète .

Addition

Soit SR( n ) la somme de toutes les n ièmes racines de l’unité, primitives ou non. Puis

SR ⁡ ( n ) = { 1 , n = 1 0 , n > 1. {displaystyle operatorname {SR} (n)={begin{cas}1,&n=1\0,&n>1.end{cas}}} $operatorname {SR} (n)={begin{cases}1,&n=1\0,&n>1.end{cases}}$ $operatorname {SR} (n)={begin{cas}1,&n=1\0,&n>1.end{cas}}$

C’est une conséquence immédiate des formules de Vieta . En effet, les racines n ièmes de l’unité étant les racines du polynôme X ⁿ – 1 , leur somme est le coefficient de degré n – 1 , qui vaut soit 1 soit 0 selon que n = 1 ou n > 1 .

Alternativement, pour n = 1 il n’y a rien à prouver, et pour n > 1 il existe une racine z ≠ 1 – puisque l’ensemble S de toutes les n ièmes racines de l’unité est un groupe , z S = S , donc la somme satisfait z SR( n ) = SR( n ) , d’où SR( n ) = 0 .

Soit SP( n ) la somme de toutes les n ièmes racines primitives de l’unité. Puis

SP ⁡ ( n ) = μ ( n ) , {displaystyle operatorname {SP} (n)=mu (n),}

où μ ( n ) est la fonction de Möbius .

Dans la section Propriétés élémentaires , il a été montré que si R( n ) est l’ensemble des n ièmes racines de l’unité et P( n ) est l’ensemble des racines primitives, R( n ) est une union disjointe des P( n ) :

Cela implique

SR ⁡ ( n ) = ∑ d | n SP ⁡ ( d ) . {displaystyle operatorname {SR} (n)=sum _{d,|,n}operatorname {SP} (d).} ${displaystyle operatorname {SR} (n)=sum _{d,|,n}operatorname {SP} (d).}$ ${displaystyle operatorname {SR} (n)=sum _{d,|,n}operatorname {SP} (d).}$

L’application de la formule d’inversion de Möbius donne

SP ⁡ ( n ) = ∑ d | n μ ( d ) SR ⁡ ( n d ) . {displaystyle operatorname {SP} (n)=sum _{d,|,n}mu (d)operatorname {SR} left({frac {n}{d}}right) .} ${displaystyle operatorname {SP} (n)=sum _{d,|,n}mu (d)operatorname {SR} left({frac {n}{d}}right).}$ ${displaystyle operatorname {SP} (n)=sum _{d,|,n}mu (d)operatorname {SR} left({frac {n}{d}}right) .}$

Dans cette formule, si d < n , alors SR( n/ré) = 0 , et pour d = n : SR( n/ré) = 1 . Par conséquent, SP( n ) = μ ( n ) .

C’est le cas particulier c _n (1) de la somme de Ramanujan c _n ( s ) , définie comme la somme des s ièmes puissances des n ièmes racines primitives de l’unité :

c n ( s ) = ∑ a = 1 gcd ( a , n ) = 1 n e 2 π i a n s . {displaystyle c_{n}(s)=sum _{a=1 atop gcd(a,n)=1}^{n}e^{2pi i{frac {a}{n} }s}.} ${displaystyle c_{n}(s)=sum _{a=1 atop gcd(a,n)=1}^{n}e^{2pi i{frac {a}{n}}s}.}$ ${displaystyle c_{n}(s)=sum _{a=1 atop gcd(a,n)=1}^{n}e^{2pi i{frac {a}{n} }s}.}$

Orthogonalité

De la formule de sommation découle une relation d’ orthogonalité : pour j = 1, … , n et j′ = 1, … , n

∑ k = 1 n z j ⋅ k ̄ ⋅ z j ′ ⋅ k = n ⋅ δ j , j ′ {displaystyle sum _{k=1}^{n}{overline {z^{jcdot k}}}cdot z^{j’cdot k}=ncdot delta _{j, j’}} $sum _{k=1}^{n}{overline {z^{jcdot k}}}cdot z^{j'cdot k}=ncdot delta _{j,j'}$ $sum _{k=1}^{n}{overline {z^{jcdot k}}}cdot z^{j'cdot k}=ncdot delta _{j,j'}$

où δ est le delta de Kronecker et z est toute n ième racine primitive de l’unité.

La matrice n × n U dont la ( j , k ) ème entrée est

U j , k = n − 1 2 ⋅ z j ⋅ k {displaystyle U_{j,k}=n^{-{frac {1}{2}}}cdot z^{jcdot k}} ${displaystyle U_{j,k}=n^{-{frac {1}{2}}}cdot z^{jcdot k}}$ ${displaystyle U_{j,k}=n^{-{frac {1}{2}}}cdot z^{jcdot k}}$

définit une transformée de Fourier discrète . Le calcul de la transformation inverse à l’aide de l’élimination gaussienne nécessite O ( n ³ ) opérations. Cependant, il résulte de l’orthogonalité que U est unitaire . C’est,

∑ k = 1 n U j , k ̄ ⋅ U k , j ′ = δ j , j ′ , {displaystyle sum _{k=1}^{n}{overline {U_{j,k}}}cdot U_{k,j’}=delta _{j,j’},} $sum _{k=1}^{n}{overline {U_{j,k}}}cdot U_{k,j'}=delta _{j,j'},$

et donc l’inverse de U est simplement le conjugué complexe. (Ce fait a été noté pour la première fois par Gauss lors de la résolution du problème de l’ interpolation trigonométrique ). L’application directe de U ou de son inverse à un vecteur donné nécessite O ( n ² ) opérations. Les algorithmes de transformée de Fourier rapide réduisent encore le nombre d’opérations à O ( n log n ) .

Polynômes cyclotomiques

Les zéros du polynôme

p ( z ) = z n − 1 {displaystyle p(z)=z^{n}-1} $p(z)=z^{n}-1$ $p(z)=z^{n}-1$

sont précisément les n ièmes racines de l’unité, chacune de multiplicité 1. Le n ième polynôme cyclotomique est défini par le fait que ses zéros sont précisément les n ièmes racines primitives de l’unité, chacune de multiplicité 1.

Φ n ( z ) = ∏ k = 1 φ ( n ) ( z − z k ) {displaystyle Phi _{n}(z)=prod _{k=1}^{varphi (n)}(z-z_{k})} ${displaystyle Phi _{n}(z)=prod _{k=1}^{varphi (n)}(z-z_{k})}$ ${displaystyle Phi _{n}(z)=prod _{k=1}^{varphi (n)}(z-z_{k})}$

où z ₁ , z ₂ , z ₃ , …, z _{φ( n )} sont les n ièmes racines primitives de l’unité, et φ( n ) est la fonction indicatrice d’Euler . Le polynôme Φ _n ( z ) a des coefficients entiers et est un polynôme irréductible sur les nombres rationnels (c’est-à-dire qu’il ne peut pas être écrit comme le produit de deux polynômes de degré positif avec des coefficients rationnels). Le cas de n premier , plus facile que l’assertion générale, s’ensuit en appliquantCritère d’Eisenstein au polynôme

( z + 1 ) n − 1 ( z + 1 ) − 1 , {displaystyle {frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},} ${displaystyle {frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$ ${displaystyle {frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

et expansion via le théorème binomial .

Chaque n ième racine de l’unité est une primitive d ième racine de l’unité pour exactement un diviseur positif d de n . Cela implique que

z n − 1 = ∏ d | n Φ d ( z ) . {displaystyle z^{n}-1=prod _{d,|,n}Phi _{d}(z).} ${displaystyle z^{n}-1=prod _{d,|,n}Phi _{d}(z).}$ ${displaystyle z^{n}-1=prod _{d,|,n}Phi _{d}(z).}$

Cette formule représente la factorisation du polynôme z ⁿ − 1 en facteurs irréductibles :

z 1 − 1 = z − 1 z 2 − 1 = ( z − 1 ) ( z + 1 ) z 3 − 1 = ( z − 1 ) ( z 2 + z + 1 ) z 4 − 1 = ( z − 1 ) ( z + 1 ) ( z 2 + 1 ) z 5 − 1 = ( z − 1 ) ( z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 ) z 6 − 1 = ( z − 1 ) ( z + 1 ) ( z 2 + z + 1 ) ( z 2 − z + 1 ) z 7 − 1 = ( z − 1 ) ( z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 ) z 8 − 1 = ( z − 1 ) ( z + 1 ) ( z 2 + 1 ) ( z 4 + 1 ) {displaystyle {begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\z^{3}-1&= (z-1)(z^{2}+z+1)\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\z^{ 5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\z^{6}-1&=(z-1)(z +1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{ 5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2 }+1)(z^{4}+1)\end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\z^{3}-1&= (z-1)(z^{2}+z+1)\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\z^{ 5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\z^{6}-1&=(z-1)(z +1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{ 5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2 }+1)(z^{4}+1)\end{aligné}}}$

L’application de l’ inversion de Möbius à la formule donne

Φ n ( z ) = ∏ ré | n ( z n d − 1 ) μ ( d ) = ∏ d | n ( z d − 1 ) μ ( n d ) , {displaystyle Phi _{n}(z)=prod _{d,|,n}left(z^{frac {n}{d}}-1right)^{mu ( d)}=prod _{d,|,n}left(z^{d}-1right)^{mu left({frac {n}{d}}right)} ,} ${displaystyle Phi _{n}(z)=prod _{d,|,n}left(z^{frac {n}{d}}-1right)^{mu (d)}=prod _{d,|,n}left(z^{d}-1right)^{mu left({frac {n}{d}}right)},}$ ${displaystyle Phi _{n}(z)=prod _{d,|,n}left(z^{frac {n}{d}}-1right)^{mu ( d)}=prod _{d,|,n}left(z^{d}-1right)^{mu left({frac {n}{d}}right)} ,}$

où μ est la fonction de Möbius . Ainsi, les premiers polynômes cyclotomiques sont

Φ ₁ ( z ) = z − 1 Φ ₂ ( z ) = ( z ² – 1)⋅( z – 1) ^-1 = z + 1 Φ ₃ ( z ) = ( z ³ – 1)⋅( z – 1) ^-1 = z ² + z + 1 Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ – 1)⋅( z ² – 1) ^-1 = z ² + 1 Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ – 1)⋅( z – 1) ^-1 = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1 Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ – 1)⋅( z ³ – 1) ^-1 ⋅( z ² – 1) ^-1 ⋅ ( z – 1) = z ² – z + 1 Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ – 1)⋅( z – 1) ^-1 = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1 Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ – 1)⋅( z ⁴ – 1) ^-1 = z ⁴ + 1

Si p est un nombre premier , alors toutes les p ièmes racines de l’unité sauf 1 sont des p ièmes racines primitives, et on a

Φ p ( z ) = z p − 1 z − 1 = ∑ k = 0 p − 1 z k . {displaystyle Phi _{p}(z)={frac {z^{p}-1}{z-1}}=sum _{k=0}^{p-1}z^{k }.} ${displaystyle Phi _{p}(z)={frac {z^{p}-1}{z-1}}=sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$ ${displaystyle Phi _{p}(z)={frac {z^{p}-1}{z-1}}=sum _{k=0}^{p-1}z^{k }.}$

En remplaçant tout entier positif ≥ 2 par z , cette somme devient une réunité de base z . Ainsi, une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour qu’un repunit soit premier est que sa longueur soit première.

Notez que, contrairement aux premières apparences, tous les coefficients de tous les polynômes cyclotomiques ne sont pas 0, 1 ou -1. La première exception est Φ ₁₀₅ . Ce n’est pas une surprise qu’il faille autant de temps pour obtenir un exemple, car le comportement des coefficients ne dépend pas tant de n que du nombre de facteurs premiers impairs apparaissant dans n . Plus précisément, on peut montrer que si n a 1 ou 2 facteurs premiers impairs (par exemple, n = 150 ) alors le n ième polynôme cyclotomique n’a que des coefficients 0, 1 ou −1. Ainsi le premier n concevablepour lequel il pourrait y avoir un coefficient en plus de 0, 1 ou −1 est un produit des trois plus petits nombres premiers impairs, et c’est 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 . Cela en soi ne prouve pas que le 105e polynôme a un autre coefficient, mais montre que c’est le premier qui a même une chance de fonctionner (et ensuite un calcul des coefficients le montre). Un théorème de Schur dit qu’il existe des polynômes cyclotomiques avec des coefficients arbitrairement grands en valeur absolue . En particulier, si n = p 1 p 2 ⋯ p t , {displaystyle n=p_{1}p_{2}cdots p_{t},} ${displaystyle n=p_{1}p_{2}cdots p_{t},}$ ${displaystyle n=p_{1}p_{2}cdots p_{t},}$ où p 1 < p 2 < ⋯ < p t {displaystyle p_{1}<p_{2}<cdots <p_{t}} ${displaystyle p_{1}<p_{2}<cdots <p_{t}}$ ${displaystyle p_{1}<p_{2}<cdots <p_{t}}$ sont des nombres premiers impairs, p 1 + p 2 > p t , {displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},} ${displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$ ${displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$ et t est impair, alors 1 − t apparaît comme un coefficient dans le n ème polynôme cyclotomique. ^[3]

De nombreuses restrictions sont connues sur les valeurs que les polynômes cyclotomiques peuvent prendre à des valeurs entières. Par exemple, si p est premier, alors d ∣ Φ _p ( d ) si et seulement d ≡ 1 (mod p ) .

Les polynômes cyclotomiques sont résolubles en radicaux , car les racines de l’unité sont elles-mêmes des radicaux. De plus, il existe des expressions radicales plus informatives pour les racines n ièmes de l’unité avec la propriété supplémentaire ^[4] que chaque valeur de l’expression obtenue en choisissant les valeurs des radicaux (par exemple, les signes des racines carrées) est une racine n ième primitive de unité. Cela a déjà été montré par Gauss en 1797. ^[5] Des algorithmes efficaces existent pour calculer de telles expressions. ^[6]

Groupes cycliques

Les n ièmes racines de l’unité forment sous multiplication un groupe cyclique d’ ordre n , et en fait ces groupes comprennent tous les sous -groupes finis du groupe multiplicatif du corps des nombres complexes. Un générateur pour ce groupe cyclique est une n ième racine primitive de l’unité.

Les n ièmes racines de l’unité forment une représentation irréductible de tout groupe cyclique d’ordre n . La relation d’orthogonalité découle également des principes de la théorie des groupes tels que décrits dans Groupe de caractères .

Les racines de l’unité apparaissent comme des entrées des vecteurs propres de toute matrice circulante ; c’est-à-dire des matrices invariantes sous des décalages cycliques, un fait qui découle également de la théorie de la représentation des groupes en tant que variante du théorème de Bloch . ^[7] En particulier, si une matrice hermitienne circulante est considérée (par exemple, un laplacien unidimensionnel discrétisé avec des frontières périodiques ^[8] ), la propriété d’orthogonalité découle immédiatement de l’orthogonalité habituelle des vecteurs propres des matrices hermitiennes.

Champs cyclotomiques

En adjoignant une n ième racine primitive de l’unité à Q , {displaystyle mathbb {Q} ,} on obtient le n ième champ cyclotomique Q ( exp ⁡ ( 2 π i / n ) ) . {displaystyle mathbb {Q} (exp(2pi i/n)).} Ce champ contient toutes les n ièmes racines de l’unité et est le champ de séparation du n ième polynôme cyclotomique sur Q . {displaystyle mathbb {Q} .} L’ extension de terrain Q ( exp ⁡ ( 2 π i / n ) ) / Q {displaystyle mathbb {Q} (exp(2pi i/n))/mathbb {Q} } est de degré φ( n ) et son groupe de Galois est naturellement isomorphe au groupe multiplicatif des unités de l’anneau Z / n Z . {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} .}

Comme le groupe de Galois de Q ( exp ⁡ ( 2 π i / n ) ) / Q {displaystyle mathbb {Q} (exp(2pi i/n))/mathbb {Q} } est abélienne, c’est une extension abélienne . Chaque sous -champ d’un champ cyclotomique est une extension abélienne des rationnels. Il s’ensuit que chaque n ième racine de l’unité peut être exprimée en terme de k -racines, avec différents k n’excédant pas φ( n ). Dans ces cas, la théorie de Galois peut être écrite explicitement en termes de périodes gaussiennes : cette théorie des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss a été publiée de nombreuses années avant Galois. ^[9]

Inversement, toute extension abélienne des rationnels est un tel sous-champ d’un champ cyclotomique – c’est le contenu d’un théorème de Kronecker , généralement appelé théorème de Kronecker-Weber au motif que Weber a terminé la preuve.

Relation avec les entiers quadratiques

Dans le plan complexe , les points rouges sont les racines cinquièmes de l’unité, et les points noirs sont les sommes d’une racine cinquième de l’unité et de son conjugué complexe. Dans le plan complexe, les coins des deux carrés sont les huitièmes racines de l’unité

Pour n = 1, 2 , les deux racines de l’unité 1 et −1 sont des entiers .

Pour trois valeurs de n , les racines de l’unité sont des entiers quadratiques :

Pour n = 3, 6 ce sont des entiers d’Eisenstein ( D = −3 ).
Pour n = 4 ce sont des entiers gaussiens ( D = −1 ) : voir Unité imaginaire .

Pour quatre autres valeurs de n , les racines primitives de l’unité ne sont pas des entiers quadratiques, mais la somme de toute racine d’unité avec son conjugué complexe (également une n ième racine d’unité) est un entier quadratique.

Pour n = 5, 10 , aucune des racines non réelles de l’unité (qui satisfont une équation quartique ) n’est un entier quadratique, mais la somme z + z = 2 Re z de chaque racine avec son conjugué complexe (également une 5ème racine de l’unité) est un élément de l’ anneau Z [ 1 + √ 5/2] ( J = 5 ). Pour deux paires de racines cinquièmes non réelles de l’unité, ces sommes sont le nombre d’or inverse et le nombre d’or moins .

Pour n = 8 , pour toute racine d’unité z + z est égal à 0, ±2 ou ± √ 2 ( D = 2 ).

Pour n = 12 , pour toute racine de l’unité, z + z est égal à 0, ±1, ±2 ou ± √ 3 ( D = 3 ).

Voir également

Système d’Argand
Groupe de cercle , les nombres complexes unitaires
Champ cyclotomique
Schéma de groupe des racines de l’unité
Personnage de Dirichlet
La somme de Ramanujan
Vecteur d’esprit
Personnage de Teichmüller

Remarques

^ Hadlock, Charles R. (2000). Théorie des champs et ses problèmes classiques, Volume 14 . La presse de l’Universite de Cambridge. p. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
^ Lang, Serge (2002). “Racines de l’unité” . Algèbre . Springer. p. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.
^ Emma Lehmer, Sur l’ampleur des coefficients du polynôme cyclotomique , Bulletin de l’American Mathematical Society 42 (1936), no. 6, p. 389–392.
^ Landau, Susan; Miller, Gary L. (1985). “La solvabilité par radicaux est en temps polynomial” . Journal des sciences informatiques et des systèmes . 30 (2): 179–208. doi : 10.1016/0022-0000(85)90013-3 .
^ Gauss, Carl F. (1965). Disquisitiones Arithmeticae . Presse universitaire de Yale. pp. §§359–360. ISBN 0-300-09473-6.
^ Weber, Andreas; Keckeisen, Michael. “Résoudre les polynômes cyclotomiques par des expressions radicales” (PDF) . Récupéré le 22 juin 2007 .
^ T. Inui, Y. Tanabe et Y. Onodera, Théorie des groupes et ses applications en physique (Springer, 1996).
^ Gilbert Strang , ” La transformée en cosinus discrète ,” SIAM Review 41 (1), 135–147 (1999).
↑ Les Disquisitiones ont été publiées en 1801, Galois est né en 1811, mort en 1832, mais n’a été publié qu’en 1846.

Références

Lang, Serge (2002), Algèbre , Textes d’études supérieures en mathématiques , vol. 211 (troisième éd. révisée), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001
Milne, James S. (1998). “Théorie algébrique des nombres” . Notes de cours .
Milne, James S. (1997). « Théorie des champs de classes » . Notes de cours .
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Vol. 322. Berlin : Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Neukirch, Jürgen (1986). Théorie des champs de classes . Berlin : Springer Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
Washington, Lawrence C. (1997). Introduction aux champs cyclotomiques (2e éd.). New York : Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
Derbyshire, John (2006). “Les racines de l’unité”. Quantité inconnue . Washington, DC : Joseph Henry Press . ISBN 0-309-09657-X.