Premier article sur la théorie des ensembles de Cantor

Le premier article de Cantor sur la théorie des ensembles contient les premiers théorèmes de la théorie des ensembles transfinis de Georg Cantor , qui étudie les ensembles infinis et leurs propriétés. L’un de ces théorèmes est sa “découverte révolutionnaire” que l’ ensemble de tous les nombres réels est indénombrable , plutôt que dénombrable , infini. ^[1] Ce théorème est prouvé en utilisant la première preuve d’indénombrabilité de Cantor , qui diffère de la preuve plus familière utilisant son argument diagonal . Le titre de l’article, ” Sur une propriété de la collection de tous les Nombres algébriques réels” (“Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”), fait référence à son premier théorème : l’ensemble des Nombres algébriques réels est dénombrable. L’article de Cantor est publié en 1874. En 1879, il modifie sa preuve d’indénombrabilité en utilisant la notion Topologique d’un ensemble étant dense dans un intervalle.

Georg Cantor, v. 1870

L’article de Cantor contient également une preuve de l’existence des nombres transcendantaux . Les preuves constructives et non constructives ont été présentées comme la «preuve de Cantor». La popularité de présenter une preuve non constructive a conduit à une idée fausse selon laquelle les arguments de Cantor ne sont pas constructifs. Puisque la preuve que Cantor a publiée construit ou non des nombres transcendantaux, une analyse de son article peut déterminer si cette preuve est constructive ou non. ^[2] La correspondance de Cantor avec Richard Dedekind montre le développement de ses idées et révèle qu’il avait le choix entre deux preuves :

Les historiens des mathématiques ont examiné l’article de Cantor et les circonstances dans lesquelles il a été écrit. Par exemple, ils ont découvert qu’il avait été conseillé à Cantor d’omettre son théorème d’indénombrabilité dans l’article qu’il a soumis — il l’a ajouté lors de la relecture . Ils ont attribué ce fait et d’autres faits concernant l’article à l’influence de Karl Weierstrass et de Leopold Kronecker . Les historiens ont également étudié les contributions de Dedekind à l’article, y compris ses contributions au théorème sur la dénombrabilité des Nombres algébriques réels. De plus, ils ont reconnu le rôle joué par le théorème d’indénombrabilité et le concept de dénombrabilité dans le développement de la théorie des ensembles, de la Théorie de la mesure et de laIntégrale de Lebesgue .

L’article

L’article de Cantor est court, moins de quatre pages et demie. ^[A] Il commence par une discussion des Nombres algébriques réels et un énoncé de son premier théorème : L’ensemble des Nombres algébriques réels peut être mis en correspondance biunivoque avec l’ensemble des entiers positifs. ^[3] Cantor reformule ce théorème dans des termes plus familiers aux mathématiciens de son temps : L’ensemble des Nombres algébriques réels peut être écrit comme une séquence infinie dans laquelle chaque nombre n’apparaît qu’une seule fois. ^[4]

Le deuxième théorème de Cantor fonctionne avec un Intervalle fermé [ a , b ], qui est l’ensemble des nombres réels ≥ a et ≤ b . Le théorème déclare : étant donné toute séquence de nombres réels x ₁ , x ₂ , x ₃ , … et tout intervalle [ a , b ], il existe un nombre dans [ a , b ] qui n’est pas contenu dans la séquence donnée. Par conséquent, il existe une infinité de tels nombres. ^[5]

Cantor observe que la combinaison de ses deux théorèmes donne une nouvelle preuve du théorème de Liouville selon lequel tout intervalle [ a , b ] contient une infinité de nombres transcendantaux . ^[5]

Cantor remarque alors que son deuxième théorème est :

la raison pour laquelle les collections de nombres réels formant un soi-disant continuum (comme tous les nombres réels qui sont ≥ 0 et ≤ 1) ne peuvent pas correspondre un à un avec la collection (ν) [la collection de tous les entiers positifs] ; ainsi j’ai trouvé la nette différence entre un soi-disant continu et une collection comme la totalité des Nombres algébriques réels. ^[6]

Cette remarque contient le théorème d’indénombrabilité de Cantor, qui indique seulement qu’un intervalle [ a , b ] ne peut pas être mis en correspondance biunivoque avec l’ensemble des entiers positifs. Il n’indique pas que cet intervalle est un ensemble infini de cardinalité plus grande que l’ensemble des entiers positifs. La cardinalité est définie dans l’article suivant de Cantor, publié en 1878. ^[7]

Preuve du théorème d’indénombrabilité de Cantor

Cantor ne prouve pas explicitement son théorème d’indénombrabilité, qui découle facilement de son deuxième théorème. Il peut être prouvé en utilisant la preuve par contradiction . Supposons que l’intervalle [ a , b ] puisse être mis en correspondance un à un avec l’ensemble des entiers positifs, ou de manière équivalente : les nombres réels dans [ a , b ] peuvent être écrits comme une séquence dans laquelle chaque nombre réel apparaît juste une fois. L’application du deuxième théorème de Cantor à cette suite et [ a , b ] produit un nombre réel dans [ a , b ] qui n’appartient pas à la suite. Cela contredit l’hypothèse originale et prouve le théorème d’indénombrabilité. [8]

Cantor énonce seulement son théorème d’indénombrabilité. Il ne l’utilise dans aucune preuve. ^[3]

Les preuves

Premier théorème

Nombres algébriques sur le plan complexe coloré par degré polynomial. (rouge = 1, vert = 2, bleu = 3, jaune = 4). Les points deviennent plus petits à mesure que les coefficients polynomiaux entiers deviennent plus grands.

Pour prouver que l’ensemble des Nombres algébriques réels est dénombrable, définissez la hauteur d’un polynôme de degré n à coefficients entiers comme suit : n − 1 + | un ₀ | + | un ₁ | + … + | a _n |, où a ₀ , a ₁ , …, a _n sont les coefficients du polynôme. Ordonner les polynômes par leur hauteur, et ordonner les vraies racinesde polynômes de même hauteur par ordre numérique. Puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de racines de polynômes d’une hauteur donnée, ces ordonnancements placent les Nombres algébriques réels dans une séquence. Cantor est allé plus loin et a produit une séquence dans laquelle chaque nombre algébrique réel n’apparaît qu’une seule fois. Il l’a fait en utilisant uniquement des polynômes irréductibles sur les entiers. Le tableau suivant contient le début de l’énumération de Cantor. ^[9]

Énumération de Cantor des Nombres algébriques réels
Nombre algébrique réel	Polynôme	Hauteur du polynôme
x 1 = 0	X	1
x2 = −1	x + 1	2
x 3 = 1	x -1	2
x 4 = −2	x + 2	3
x 5 = -1/2	2 fois + 1	3
x 6 = 1/2	2 × − 1	3
x7 = 2	x -2	3
x 8 = −3	x + 3	4
x 9 = −1 − √ 5/2	x 2 + x – 1	4
x 10 = − √ 2	x 2 – 2	4
x 11 = − 1/√ 2	2 × 2 − 1	4
x 12 = 1 − √ 5/2	X 2 – X – 1	4
x 13 = − 1/3	3 fois + 1	4
x 14 = 1/3	3 × − 1	4
x 15 = −1 + √ 5/2	x 2 + x – 1	4
x 16 = 1/√ 2	2 × 2 − 1	4
x 17 = √ 2	x 2 – 2	4
x 18 = 1 + √ 5/2	X 2 – X – 1	4
× 19 = 3	x -3	4

Deuxième théorème

Seule la première partie du second théorème de Cantor reste à prouver. Il déclare : étant donné toute séquence de nombres réels x ₁ , x ₂ , x ₃ , … et tout intervalle [ a , b ], il existe un nombre dans [ a , b ] qui n’est pas contenu dans la séquence donnée. ^[B]

Pour trouver un nombre dans [ a , b ] qui n’est pas contenu dans la séquence donnée, construisez deux séquences de nombres réels comme suit : Trouvez les deux premiers nombres de la séquence donnée qui sont dans l’ intervalle ouvert ( a , b ). Notons le plus petit de ces deux nombres par a ₁ et le plus grand par b ₁ . De même, trouvez les deux premiers nombres de la séquence donnée qui sont dans ( a ₁ , b ₁ ). Notons le plus petit par a ₂ et le plus grand par b ₂ . La poursuite de cette procédure génère une séquence d’intervalles ( a₁ , b ₁ ), ( a ₂ , b ₂ ), ( a ₃ , b ₃ ), … de sorte que chaque intervalle de la séquence contienne tous les intervalles suivants — c’est-à-dire qu’il génère une séquence d’ intervalles imbriqués . Cela implique que la suite a ₁ , a ₂ , a ₃ , … est croissante et que la suite b ₁ , b ₂ , b ₃ , … est décroissante. ^[dix]

Soit le nombre d’intervalles générés est fini ou infini. Si fini, soit ( a _L , b _L ) le dernier intervalle. Si infini, prendre les limites a _∞ = lim _{n → ∞} a _n et b _∞ = lim _{n → ∞} b _n . Puisque a _n < b _n pour tout n , soit a _∞ = b _∞ soit a _∞ < b _∞ . Ainsi, trois cas sont à considérer :

Cas 1 : Dernier intervalle ( a _L , b _L ) Cas 1 : Il existe un dernier intervalle ( a _L , b _L ). Puisqu’au plus un x _n peut être dans cet intervalle, chaque y dans cet intervalle sauf x _n (s’il existe) n’est pas contenu dans la séquence donnée. Cas 2 : a _∞ = b _∞ Cas 2 : a _∞ = b _∞ . Alors a _∞ n’est pas contenu dans la suite donnée puisque pour tout n : a _∞ appartient à l’intervalle ( a _n , b _n ) mais x _n n’appartient pas à ( a _n , b _n ). En symboles : a _∞ ∈ ( a _n , b _n) mais x _n ∉ ( une _n , b _n ).

Preuve que pour tout n : x n ∉ ( a n , b n )

Ce lemme est utilisé par les cas 2 et 3. Il est impliqué par le lemme plus fort : Pour tout n , ( a n , b n ) exclut x 1 , …, x 2 n . Cela se prouve par induction . Étape de base : puisque les extrémités de ( a 1 , b 1 ) sont x 1 et x 2 et qu’un intervalle ouvert exclut ses extrémités, ( a 1 , b 1 ) exclut x 1 , x 2. Étape inductive : Supposons que ( a n , b n ) exclut x 1 , …, x 2 n . Puisque ( a n +1 , b n +1 ) est un sous-ensemble de ( a n , b n ) et ses extrémités sont x 2 n +1 et x 2 n +2 , ( a n +1 , b n +1 ) exclut x 1 , …, x 2 net x 2 n +1 , x 2 n +2 . Ainsi, pour tout n , ( a n , b n ) exclut x 1 , …, x 2 n . Donc, pour tout n , x n ∉ ( a n , b n ). [C]

Cas 3 : a _∞ < b _∞ Cas 3 : a _∞ < b _∞ . Alors tout y dans [ a _∞ , b _∞ ] n’est pas contenu dans la séquence donnée puisque pour tout n : y appartient à ( a _n , b _n ) mais pas x _n . ^[11]

La preuve est complète puisque, dans tous les cas, au moins un nombre réel dans [ a , b ] a été trouvé qui n’est pas contenu dans la suite donnée. ^[RÉ]

Les preuves de Cantor sont constructives et ont été utilisées pour écrire un programme informatique qui génère les chiffres d’un nombre transcendantal. Ce programme applique la construction de Cantor à une séquence contenant tous les Nombres algébriques réels entre 0 et 1. L’article qui traite de ce programme donne une partie de sa sortie, qui montre comment la construction génère un transcendantal. ^[12]

Exemple de construction de Cantor

Un exemple illustre le fonctionnement de la construction de Cantor. Considérez la séquence : 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, … Cette séquence est obtenue en ordonnant les nombres rationnels dans (0, 1) par dénominateurs croissants, en ordonnant ceux qui ont le même dénominateur par numérateurs croissants, et en omettant les fractions réductibles . Le tableau ci-dessous montre les cinq premières étapes de la construction. La première colonne du tableau contient les intervalles ( a _n , b _n ). La deuxième colonne liste les termes visités lors de la recherche des deux premiers termes dans ( a _n , b _n ). Ces deux termes sont en rouge. ^[13]

Générer un nombre en utilisant la construction de Cantor

Intervalle	Trouver le prochain intervalle	Intervalle (décimal)
( 1 3 , 1 2 ) {displaystyle left(;{frac {1}{3}},;;!{frac {1}{2}};right)}	2 3 , 1 4 , 3 4 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 1 6 , 5 6 , 1 7 , 2 7 , 3 7 {displaystyle ;{frac {2}{3}},;!{frac {1}{4}},;!{frac {3}{4}},;!{frac {1}{5}},;!{color {red}{frac {2}{5}},};!;!{frac {3}{5}},;!{frac {4}{5}},;!{frac {1}{6}},;!{frac {5}{6}},;!{frac {1}{7}},;!{frac {2}{7}},;!{color {red}{frac {3}{7}}}}	( 0.3333 … , 0.5000 … ) {displaystyle left(0.3333dots ,;0.5000dots right)}
( 2 5 , 3 7 ) {displaystyle left(;{frac {2}{5}},;;!{frac {3}{7}};right)}	4 7 , … , 1 12 , 5 12 , 7 12 , … , 6 17 , 7 17 {displaystyle ;{frac {4}{7}},;dots ,;{frac {1}{12}},{color {red}{frac {5}{12}},};!{frac {7}{12}},;dots ,;{frac {6}{17}},{color {red}{frac {7}{17}}}}	( 0.4000 … , 0.4285 … ) {displaystyle left(0.4000dots ,;0.4285dots right)}
( 7 17 , 5 12 ) {displaystyle left({frac {7}{17}},{frac {5}{12}}right)}	8 17 , … , 11 29 , 12 29 , 13 29 , … , 16 41 , 17 41 {displaystyle {frac {8}{17}},;!dots ,;!{frac {11}{29}},{color {red}{frac {12}{29}},};!{frac {13}{29}},;dots ,;{frac {16}{41}},{color {red}{frac {17}{41}}}}	( 0.4117 … , 0.4166 … ) {displaystyle left(0.4117dots ,;0.4166dots right)}
( 12 29 , 17 41 ) {displaystyle left({frac {12}{29}},{frac {17}{41}}right)}	18 41 , … , 27 70 , 29 70 , 31 70 , … , 40 99 , 41 99 {displaystyle {frac {18}{41}},;!dots ,;!{frac {27}{70}},{color {red}{frac {29}{70}},};!{frac {31}{70}},;dots ,;{frac {40}{99}},{color {red}{frac {41}{99}}}}	( 0.4137 … , 0.4146 … ) {displaystyle left(0.4137dots ,;0.4146dots right)}
( 41 99 , 29 70 ) {displaystyle left({frac {41}{99}},{frac {29}{70}}right)}	43 99 , … , 69 169 , 70 169 , 71 169 , … , 98 239 , 99 239 {displaystyle {frac {43}{99}},dots ,{frac {69}{169}},{color {red}{frac {70}{169}},};! {frac {71}{169}},,dots ,{frac {98}{239}},{color {red}{frac {99}{239}}}}	( 0.4141 … , 0.4142 … ) {displaystyle left(0.4141dots ,;0.4142dots right)}

Puisque la séquence contient tous les nombres rationnels dans (0, 1), la construction génère un nombre irrationnel , qui s’avère être √ 2 − 1. ^[14]

Preuve que le nombre généré est √ 2 − 1

La preuve utilise des séquences de Farey et des fractions continues . La séquence de Farey F n {displaystyle F_{n}} est la suite croissante de fractions complètement réduites dont les dénominateurs sont ≤ n . {displaystyle leq n.} Si a b {displaystyle {frac {a}{b}}} et c d {displaystyle {frac {c}{d}}} sont adjacents dans une séquence de Farey, la fraction du plus petit dénominateur entre eux est leur médiane a + c b + d . {displaystyle {frac {a+c}{b+d}}.} Cette médiane est adjacente aux deux a b {displaystyle {frac {a}{b}}} et c d {displaystyle {frac {c}{d}}} dans la séquence de Farey F b + d . {displaystyle F_{b+d}.} [15] La construction de Cantor produit des médiants parce que les nombres rationnels ont été séquencés par dénominateur croissant. Le premier intervalle du tableau est ( 1 3 , 1 2 ) . {displaystyle ({frac {1}{3}},{frac {1}{2}}).} Depuis 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}} et 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} sont adjacents dans F 3 , {displaystyle F_{3},} leur médiane 2 5 {displaystyle {frac {2}{5}}} est la première fraction de la suite entre 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}} et 1 2 . {displaystyle {frac {1}{2}}.} Ainsi, 1 3 < 2 5 < 1 2 . {displaystyle {frac {1}{3}}<{frac {2}{5}}<{frac {1}{2}}.} Dans cette inégalité, 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} a le plus petit dénominateur, donc la deuxième fraction est la médiane de 2 5 {displaystyle {frac {2}{5}}} et 1 2 , {displaystyle {frac {1}{2}},} ce qui équivaut 3 7 . {displaystyle {frac {3}{7}}.} Cela implique: 1 3 < 2 5 < 3 7 < 1 2 . {displaystyle {frac {1}{3}}<{frac {2}{5}}<{frac {3}{7}}<{frac {1}{2}}.} Par conséquent, le prochain intervalle est ( 2 5 , 3 7 ) . {displaystyle ({frac {2}{5}},{frac {3}{7}}).} Nous allons prouver que les extrémités des intervalles convergent vers la fraction continue [ 0 ; 2 , 2 , … ] . {displaystyle [0;2,2,points ].} Cette fraction continue est la limite de ses convergentes : p n q n = [ 0 ; 2 , … , 2 ] ( n 2 ‘s ) . {displaystyle {frac {p_{n}}{q_{n}}}=[0;2,dots ,2];;(n;2{text{‘s}}).} Le p n {displaystyle p_{n}} et q n {displaystyle q_{n}} les suites satisfont aux équations : [16] p 0 = 0 p 1 = 1 p n + 1 = 2 p n + p n − 1 for n ≥ 1 {displaystyle p_{0}=0;;;;;;;p_{1}=1;;;;;;;p_{n+1}= 2p_{n}+p_{n-1}{text{ pour }}ngeq 1} q 0 = 1 q 1 = 2 q n + 1 = 2 q n + q n − 1 for n ≥ 1 {displaystyle q_{0}=1;;;;;;;q_{1}=2;;;;;;;q_{n+1}= 2q_{n}+q_{n-1}{text{ pour }}ngeq 1} D’abord, on prouve par induction que pour n impair , le n – ième intervalle du tableau est : ( p n + p n − 1 q n + q n − 1 , p n q n ) , {displaystyle left({frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}},{frac {p_{n}}{q_{n }}}à droite)!,} et pour n pair , les extrémités de l’intervalle sont inversées : ( p n q n , p n + p n − 1 q n + q n − 1 ) . {displaystyle left({frac {p_{n}}{q_{n}}},{frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1 }}}à droite)!.} Ceci est vrai pour le premier intervalle puisque : ( p 1 + p 0 q 1 + q 0 , p 1 q 1 ) = ( 1 3 , 1 2 ) . {displaystyle left({frac {p_{1}+p_{0}}{q_{1}+q_{0}}},{frac {p_{1}}{q_{1}}} right)=left({frac {1}{3}},{frac {1}{2}}right)!.} Supposons que l’hypothèse inductive est vraie pour le k -ième intervalle. Si k est impair, cet intervalle vaut : ( p k + p k − 1 q k + q k − 1 , p k q k ) . {displaystyle left({frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}},{frac {p_{k}}{q_{k }}}à droite)!.} La médiane de ses extrémités 2 p k + p k − 1 2 q k + q k − 1 = p k + 1 q k + 1 {displaystyle {frac {2p_{k}+p_{k-1}}{2q_{k}+q_{k-1}}}={frac {p_{k+1}}{q_{k+ 1}}}} est la première fraction de la séquence entre ces points finaux. Ainsi, p k + p k − 1 q k + q k − 1 < p k + 1 q k + 1 < p k q k . {displaystyle {frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{frac {p_{k+1}}{q_{k+ 1}}}<{frac {p_{k}}{q_{k}}}.} Dans cette inégalité, p k q k {displaystyle {frac {p_{k}}{q_{k}}}} a le plus petit dénominateur, donc la deuxième fraction est la médiane de p k + 1 q k + 1 {displaystyle {frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}} et p k q k , {displaystyle {frac {p_{k}}{q_{k}}},} ce qui équivaut p k + 1 + p k p k + 1 + q k . {displaystyle {frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}.} Cela implique: p k + p k − 1 q k + q k − 1 < p k + 1 q k + 1 < p k + 1 + p k p k + 1 + q k < p k q k . {displaystyle {frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{frac {p_{k+1}}{q_{k+ 1}}}<{frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}<{frac {p_{k}}{q_{k} }}.} Par conséquent, le ( k + 1)-er intervalle est ( p k + 1 q k + 1 , p k + 1 + p k p k + 1 + q k ) . {displaystyle left({frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}},{frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1} +q_{k}}}right)!.} Il s’agit de l’intervalle souhaité ; p k + 1 q k + 1 {displaystyle {frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}} est l’extrémité gauche car k + 1 est pair. Ainsi, l’hypothèse inductive est vraie pour les ( k + 1)-st. Pour k pair , la preuve est similaire. Ceci termine la preuve inductive. Étant donné que les extrémités droites des intervalles sont décroissantes et que chaque autre extrémité est p 2 n − 1 q 2 n − 1 , {displaystyle {frac {p_{2n-1}}{q_{2n-1}}},} leur limite vaut lim n → ∞ p n q n . {displaystyle lim _{nto infty }{frac {p_{n}}{q_{n}}}.} Les extrémités de gauche ont la même limite car elles augmentent et toutes les autres extrémités sont p 2 n q 2 n . {displaystyle {frac {p_{2n}}{q_{2n}}}.} Comme mentionné ci-dessus, cette limite est la fraction continue [ 0 ; 2 , 2 , … ] , {displaystyle [0;2,2,dots ],} ce qui équivaut 2 − 1. {displaystyle {sqrt {2}}-1.} [17]

Preuve d’indénombrabilité de Cantor en 1879

Partout dense

En 1879, Cantor publie une nouvelle preuve d’indénombrabilité qui modifie sa preuve de 1874. Il définit d’abord la notion Topologique d’un ensemble de points P étant « partout dense dans un intervalle » : ^[E]

Si P se trouve partiellement ou complètement dans l’intervalle [α, β], alors le cas remarquable peut arriver que tout intervalle [γ, δ] contenu dans [α, β], aussi petit soit-il, contient des points de P . Dans un tel cas, on dira que P est partout dense dans l’intervalle [α, β]. ^[F]

Dans cette discussion de la preuve de Cantor : a , b , c , d sont utilisés à la place de α, β, γ, δ. De plus, Cantor n’utilise sa notation d’intervalle que si le premier point final est inférieur au second. Pour cette discussion, cela signifie que ( a , b ) implique a < b .

Puisque la discussion de la preuve de Cantor de 1874 a été simplifiée en utilisant des intervalles ouverts plutôt que des intervalles fermés, la même simplification est utilisée ici. Cela nécessite une définition équivalente de partout dense : un ensemble P est partout dense dans l’intervalle [ a , b ] si et seulement si tout sous- intervalle ouvert ( c , d ) de [ a , b ] contient au moins un point de P . ^[18]

Cantor n’a pas précisé combien de points de P un sous-intervalle ouvert ( c , d ) doit contenir. Il n’a pas eu besoin de le préciser car l’hypothèse que tout sous-intervalle ouvert contient au moins un point de P implique que tout sous-intervalle ouvert contient une infinité de points de P . ^[G]

Épreuve de 1879 de Cantor

Cantor a modifié sa preuve de 1874 avec une nouvelle preuve de son deuxième théorème : étant donné toute séquence P de nombres réels x ₁ , x ₂ , x ₃ , … et tout intervalle [ a , b ], il existe un nombre dans [ a , b ] qui n’est pas contenu dans P . La nouvelle preuve de Cantor n’a que deux cas. Premièrement, il gère le cas où P n’est pas dense dans l’intervalle, puis il traite le cas plus difficile où P est dense dans l’intervalle. Cette division en cas indique non seulement quelles séquences sont les plus difficiles à gérer, mais elle révèle également le rôle important que joue la densité dans la preuve. ^{[preuve 1]}

Dans le premier cas, P n’est pas dense dans [ a , b ]. Par définition, P est dense dans [ a , b ] si et seulement si pour tout sous-intervalle ( c , d ) de [ a , b ], il existe un x ∈ P tel que x ∈ ( c , d ) . Prendre la négation de chaque côté du “si et seulement si” produit : P n’est pas dense dans [ a , b ] si et seulement s’il existe un sous-intervalle ( c , d) de [ a , b ] tel que pour tout x ∈ P : x ∉ ( c , d ) . Par conséquent, chaque nombre dans ( c , d ) n’est pas contenu dans la séquence P . ^{[preuve 1]} Ce cas gère les cas 1 et 3 de la preuve de Cantor de 1874.

Dans le second cas, qui traite le cas 2 de la preuve de Cantor de 1874, P est dense dans [ a , b ]. La densité de la séquence P est utilisée pour définir récursivement une séquence d’intervalles imbriqués qui exclut tous les nombres de P et dont l’ intersection contient un seul nombre réel dans [ a , b ]. La séquence d’intervalles commence par ( a , b ). Étant donné un intervalle dans la séquence, l’intervalle suivant est obtenu en trouvant les deux nombres avec le moins d’indices qui appartiennent à P et à l’intervalle courant. Ces deux nombres sont lesextrémités du prochain intervalle ouvert. Puisqu’un intervalle ouvert exclut ses extrémités, chaque intervalle imbriqué élimine deux nombres du front de la séquence P , ce qui implique que l’intersection des intervalles imbriqués exclut tous les nombres de P . ^{[preuve 1]} Les détails de cette preuve et une preuve que cette intersection contient un seul nombre réel dans [ a , b ] sont donnés ci-dessous.

Définition et preuves pour les intervalles imbriqués

La densité de la séquence P est utilisée pour définir de manière récursive une séquence imbriquée d’intervalles qui exclut tous les nombres de P . Le cas de base commence par l’intervalle ( a , b ). Puisque P est dense dans [ a , b ], il y a une infinité de nombres de P dans ( a , b ). Soit x k 1 le nombre avec le plus petit indice et x k 2 le nombre avec le prochain plus grand indice, et soit a 1 le plus petit et b1 soit le plus grand de ces deux nombres. Alors, k 1 < k 2 , a < a 1 < b 1 < b , et ( a 1 , b 1 ) est un sous- intervalle propre de ( a , b ). Aussi, x m ∉ ( a 1 , b 1 ) pour m ≤ k 2 puisque ces x m sont les extrémités de ( a 1 , b 1 ). Répéter la preuve ci-dessus avec l’intervalle ( a 1 , b 1 ) produit k 3 , k 4 , a 2 , b 2 tels que k 1 < k 2 < k 3 < k 4 et a < a 1 < a 2 < b 2 < b 1 < b et x m ∉ ( une 2, b 2 ) pour m ≤ k 4 . [preuve 1] L’ étape récursive commence par l’intervalle ( a n –1 , b n –1 ) , les inégalités k 1 < k 2 < . . . < k 2 n –2 < k 2 n –1 et a < a 1 < . . . < une n –1 < b n –1 . . . < b 1 < b , et le fait que l’intervalle ( a n –1, b n –1 ) exclut les 2 n –2 premiers membres de la séquence P — c’est -à -dire x m ∉ ( a n –1 , b n –1 ) pour m ≤ k 2 n –2 . Puisque P est dense dans [ a , b ], il y a une infinité de nombres de P dans ( a n –1 , b n –1 ) . Soit x k2 n –1 le nombre avec le plus petit indice et x k 2 n le nombre avec le prochain indice supérieur, et soit a n le plus petit et b n le plus grand de ces deux nombres. Alors, k 2 n –1 < k 2 n , a n –1 < a n < b n < b n –1 , et ( a n , b n ) est un sous- intervalle propre de (une n –1 , b n –1 ) . La combinaison de ces inégalités avec celles de l’étape n –1 de la récursivité produit k 1 < k 2 < . . . < k 2 n –1 < k 2 n et a < a 1 < . . . < une n < b n . . . < b 1 < b . Aussi, x m ∉ ( une n , b n )pour m = k 2 n –1 et m = k 2 n puisque ces x m sont les extrémités de ( a n , b n ). Ceci, avec ( a n –1 , b n –1 ) excluant les 2 n –2 premiers membres de la séquence P implique que l’intervalle ( a n , b n ) exclut les 2 n premiers membres de P — queest, x m ∉ ( une n , b n ) pour m ≤ k 2 n . Donc, pour tout n , x n ∉ ( a n , b n ) puisque n ≤ k 2 n . [preuve 1] La suite a n est croissante et majorée par b , donc la limite A = lim n → ∞ a n existe. De même, la limite B = lim n → ∞ b n existe puisque la suite b n est décroissante et bornée en dessous par a . De plus, a n < b n implique A ≤ B . Si A < B , alors pour tout n : xn ∉ ( A , B ) parce que x n n’est pas dans le plus grand intervalle ( a n , b n ). Cela contredit que P soit dense dans [ a , b ]. Donc, A = B . Pour tout n , A ∈ ( a n , b n ) mais x n ∉ ( a n , b n ) . Donc, A est un nombre dans [ a , b] qui n’est pas contenu dans P . [preuve 1]

Le développement des idées de Cantor

Le développement menant à l’article de Cantor en 1874 apparaît dans la correspondance entre Cantor et Richard Dedekind . Le 29 novembre 1873, Cantor demande à Dedekind si la collection d’entiers positifs et la collection de nombres réels positifs « peuvent être mises en correspondance de sorte que chaque individu d’une collection corresponde à un et un seul individu de l’autre ? Cantor a ajouté que les collections ayant une telle correspondance incluent la collection de nombres rationnels positifs et les collections de la forme ( a _{n 1 , n 2 , . . . , n ν} ) où n ₁ , n ₂ , . . . , n _ν , etν sont des entiers positifs. ^[19]

Dedekind a répondu qu’il n’était pas en mesure de répondre à la question de Cantor et a déclaré qu’elle “ne méritait pas trop d’efforts car elle n’avait aucun intérêt pratique particulier”. Dedekind a également envoyé à Cantor une preuve que l’ensemble des Nombres algébriques est dénombrable. ^[20]

Le 2 décembre, Cantor répond que sa question a de l’intérêt : « Ce serait bien si on pouvait y répondre ; par exemple, à condition qu’on puisse répondre non , on aurait une nouvelle preuve du théorème de Liouville qu’il existe des nombres transcendants. ” ^[21]

Le 7 décembre, Cantor envoya à Dedekind une preuve par contradiction que l’ensemble des nombres réels est indénombrable. Cantor commence par supposer que les nombres réels dans [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} peut être écrit comme une suite. Ensuite, il applique une construction à cette suite pour produire un nombre en [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} qui n’est pas dans la séquence, contredisant ainsi son hypothèse. ^[22] Ensemble, les lettres des 2 et 7 décembre fournissent une preuve non constructive de l’existence des nombres transcendantaux. ^[23] En outre, la preuve dans la lettre du 7 décembre de Cantor montre une partie du raisonnement qui a conduit à sa découverte que les nombres réels forment un ensemble indénombrable. ^[24]

Épreuve du 7 décembre 1873 de Cantor

La preuve est par contradiction et commence par supposer que les nombres réels dans [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} peut s’écrire sous la forme d’une suite : ( I ) ω 1 , ω 2 , ω 3 , … , ω n , … {displaystyle (mathrm {I} );;omega _{1},,omega _{2},,omega _{3},,ldots ,,omega _{ n},,ldots } Une suite croissante est extraite de cette suite en laissant ω 1 1 = {displaystyle oméga _{1}^{1}=} le premier terme , ω 1 2 = {displaystyle , oméga _{1}^{2}=} le prochain plus grand terme suivant ω 1 1 , ω 1 3 = {displaystyle omega _{1}^{1}, omega _{1}^{3}=} le prochain plus grand terme suivant ω 1 2 , {displaystyle oméga _{1}^{2},} et ainsi de suite. La même procédure est appliquée aux membres restants de la séquence d’origine pour extraire une autre séquence croissante. En poursuivant ce processus d’extraction de séquences, on voit que la séquence ( I ) {displaystyle (mathrm {I} )} peut être décomposé en une infinité de séquences : [22] ( 1 ) ω 1 1 , ω 1 2 , ω 1 3 , … , ω 1 n , … {displaystyle (1);;omega _{1}^{1},,omega _{1}^{2},,omega _{1}^{3},, ldots ,,omega _{1}^{n},,ldots } ( 2 ) ω 2 1 , ω 2 2 , ω 2 3 , … , ω 2 n , … {displaystyle (2);;omega _{2}^{1},,omega _{2}^{2},,omega _{2}^{3},, ldots ,,omega _{2}^{n},,ldots } ( 3 ) ω 3 1 , ω 3 2 , ω 3 3 , … , ω 3 n , … {displaystyle (3);;omega _{3}^{1},,omega _{3}^{2},,omega _{3}^{3},, ldots ,,omega _{3}^{n},,ldots } ⋮ { style d’affichage vdots } Laisser [ p , q ] {style d’affichage [p,q]} un intervalle tel qu’aucun terme de la suite (1) ne s’y trouve. Par exemple, laissez p {displaystyle p} et q {displaystyle q} satisfaire ω 1 1 < p < q < ω 1 2 . {displaystyle omega _{1}^{1}<p<q<omega _{1}^{2}.} Puis ω 1 1 < p < q < ω 1 n {displaystyle omega _{1}^{1}<p<q<omega _{1}^{n}} pour n ≥ 2 , {displaystyle ngeq 2,} donc aucun terme de la suite (1) ne réside dans [ p , q ] . {style d’affichage [p, q].} [22] Considérons maintenant si les termes des autres séquences se trouvent à l’extérieur [ p , q ] . {style d’affichage [p, q].} Tous les termes de certaines de ces séquences peuvent se trouver en dehors de [ p , q ] ; {displaystyle [p,q];} cependant, il doit y avoir une séquence telle que tous ses termes ne se trouvent pas à l’extérieur [ p , q ] . {style d’affichage [p, q].} Sinon, les nombres dans [ p , q ] {style d’affichage [p,q]} ne serait pas contenu dans l’ordre ( I ) , {displaystyle (mathrm {je}),} contrairement à l’hypothèse initiale. Laisser séquencer ( k ) {displaystyle (k)} être la première séquence qui contient un terme dans [ p , q ] {style d’affichage [p,q]} et laissez ω k n {displaystyle omega _{k}^{n}} être le premier terme. Depuis p < ω k n < q , {displaystyle p<omega _{k}^{n}<q,} laisser p 1 {displaystyle p_{1}} et q 1 {displaystyle q_{1}} satisfaire p < p 1 < q 1 < ω k n < q . {displaystyle p<p_{1}<q_{1}<omega _{k}^{n}<q.} Puis [ p , q ] {style d’affichage [p,q]} est un sur- ensemble approprié de [ p 1 , q 1 ] {displaystyle [p_{1},q_{1}]} (en symboles, [ p , q ] ⊋ [ p 1 , q 1 ] {displaystyle [p,q]supsetneq [p_{1},q_{1}]} ). Aussi, les termes des suites ( 1 ) , ( 2 ) , … , ( k − 1 ) {displaystyle (1),(2),ldots ,(k-1)} mentir à l’extérieur de [ p 1 , q 1 ] . {displaystyle [p_{1},q_{1}].} [22] Répétez l’argument ci-dessus en commençant par [ p 1 , q 1 ] : {displaystyle [p_{1},q_{1}]!:,} Laisser séquencer ( k 1 ) {displaystyle (k_{1})} être la première séquence contenant un terme dans [ p 1 , q 1 ] {displaystyle [p_{1},q_{1}]} et laissez ω k 1 n {displaystyle omega _{k_{1}}^{n}} être le premier terme. Depuis p 1 < ω k 1 n < q 1 , {displaystyle p_{1}<omega _{k_{1}}^{n}<q_{1},} laisser p 2 {displaystyle p_{2}} et q 2 {displaystyle q_{2}} satisfaire p 1 < p 2 < q 2 < ω k 1 n < q 1 . {displaystyle p_{1}<p_{2}<q_{2}<omega _{k_{1}}^{n}<q_{1}.} Puis [ p 1 , q 1 ] ⊋ [ p 2 , q 2 ] {displaystyle [p_{1},q_{1}]supsetneq [p_{2},q_{2}]} et les termes des suites ( k 1 ) , … , ( k 2 − 1 ) {displaystyle (k_{1}),ldots ,(k_{2}-1)} mentir à l’extérieur de [ p 2 , q 2 ] . {displaystyle [p_{2},q_{2}].} [22] On voit qu’il est possible de former une suite infinie d’intervalles imbriqués [ p , q ] ⊋ [ p 1 , q 1 ] ⊋ [ p 2 , q 2 ] ⊋ … {displaystyle [p,q]supsetneq [p_{1},q_{1}]supsetneq [p_{2},q_{2}]supsetneq ldots } telle que : les membres du 1 s t , 2 n d , … , ( k − 1 ) s t {displaystyle 1^{st},2^{nd},ldots,(k-1)^{st}} la séquence se trouve à l’extérieur [ p , q ] ; {displaystyle [p,q];} les membres de la k t h , … , ( k 1 − 1 ) s t {displaystyle k^{th},ldots ,(k_{1}-1)^{st}} la séquence se trouve à l’extérieur [ p 1 , q 1 ] ; {displaystyle [p_{1},q_{1}] ;} les membres de la ( k 1 ) t h , … , ( k 2 − 1 ) s t {displaystyle (k_{1})^{th},ldots ,(k_{2}-1)^{st}} la séquence se trouve à l’extérieur [ p 2 , q 2 ] ; {displaystyle [p_{2},q_{2}] ;} … ; {displaystyle ldots ;} [22] Depuis p n {displaystyle p_{n}} et q n {displaystyle q_{n}} sont des suites monotones bornées , les limites lim n → ∞ p n {displaystyle lim _{nto infty}p_{n}} et lim n → ∞ q n {displaystyle lim _{nto infty}q_{n}} exister. Aussi, p n < q n {displaystyle p_{n}<q_{n}} pour tous n {displaystyle n} implique lim n → ∞ p n ≤ lim n → ∞ q n . {displaystyle lim _{nto infty }p_{n}leq lim _{nto infty }q_{n}.} Il existe donc au moins un nombre η {displaystyle eta } dans ( 0 , 1 ) {displaystyle (0,1)} qui se trouve dans tous les intervalles [ p , q ] {style d’affichage [p,q]} et [ p n , q n ] . {displaystyle [p_{n},q_{n}].} À savoir, η {displaystyle eta } peut être n’importe quel nombre dans [ lim n → ∞ p n , lim n → ∞ q n ] . {displaystyle [lim _{nto infty }p_{n},lim _{nto infty }q_{n}].} Cela implique que η {displaystyle eta } se trouve en dehors de toutes les séquences ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , … , {displaystyle (1),(2),(3),ldots ,} contredisant l’hypothèse initiale selon laquelle la séquence ( I ) {displaystyle (mathrm {I} )} contient tous les nombres réels dans [ 0 , 1 ] . {displaystyle [0,1].} Par conséquent, l’ensemble de tous les nombres réels est indénombrable. [22]

Dedekind a reçu la preuve de Cantor le 8 décembre. Le même jour, Dedekind a simplifié la preuve et a envoyé sa preuve à Cantor. Cantor a utilisé la preuve de Dedekind dans son article. ^[25] La lettre contenant la preuve du 7 décembre de Cantor n’a été publiée qu’en 1937. ^[26]

Le 9 décembre, Cantor a annoncé le théorème qui lui a permis de construire des nombres transcendants ainsi que de prouver l’indénombrabilité de l’ensemble des nombres réels :

Je montre directement que si je commence par une séquence

(1) ω ₁ , ω ₂ , … , ω _n , …

Je peux déterminer, dans tout intervalle donné [ α , β ], un nombre η qui n’est pas inclus dans (1). ^[27]

C’est le deuxième théorème de l’article de Cantor. Cela vient de la réalisation que sa construction peut être appliquée à n’importe quelle séquence, pas seulement aux séquences qui sont censées énumérer les nombres réels. Cantor avait donc le choix entre deux preuves qui démontrent l’existence de nombres transcendants : une preuve est constructive, mais l’autre ne l’est pas. Ces deux preuves peuvent être comparées en partant d’une suite constituée de tous les Nombres algébriques réels.

La preuve constructive applique la construction de Cantor à cette suite et à l’intervalle [ a , b ] pour produire un nombre transcendantal dans cet intervalle.^[5]

La preuve non constructive utilise deux preuves par contradiction :

1. La preuve par contradiction utilisée pour prouver le théorème d’indénombrabilité (voir Preuve du théorème d’indénombrabilité de Cantor ).
2. La preuve par contradiction permet de prouver l’existence de nombres transcendants à partir de la dénombrabilité des nombres réels algébriques et de l’indénombrabilité des nombres réels. La lettre du 2 décembre de Cantor mentionne cette preuve d’existence mais ne la contient pas. Voici une preuve : Supposons qu’il n’y ait pas de nombres transcendantaux dans [ a , b ]. Alors tous les nombres dans [ a , b ] sont algébriques. Cela implique qu’ils forment une sous- séquence de la séquence de tous les Nombres algébriques réels, ce qui contredit le théorème d’indénombrabilité de Cantor. Ainsi, l’hypothèse qu’il n’y a pas de nombres transcendantaux dans [ a , b] c’est faux. Il existe donc un nombre transcendantal dans [ a, b ]. ^[H]

Cantor a choisi de publier la preuve constructive, qui non seulement produit un nombre transcendantal mais est aussi plus courte et évite deux preuves par contradiction. La preuve non constructive de la correspondance de Cantor est plus simple que celle ci-dessus car elle fonctionne avec tous les nombres réels plutôt qu’avec l’intervalle [ a , b ]. Cela élimine l’étape de sous-séquence et toutes les occurrences de [ a , b ] dans la deuxième preuve par contradiction. ^[5]

Une idée fausse sur le travail de Cantor

Akihiro Kanamori , qui se spécialise dans la théorie des ensembles, a déclaré que “les récits des travaux de Cantor ont pour la plupart inversé l’ordre de déduction de l’existence des nombres transcendantaux, établissant d’abord l’indénombrabilité des réels et ensuite seulement tirant la conclusion d’existence à partir de la dénombrabilité des Nombres algébriques Dans les manuels, l’inversion est peut-être inévitable, mais cela a favorisé l’idée fausse que les arguments de Cantor ne sont pas constructifs.” ^[29]

La preuve publiée de Cantor et la preuve en ordre inverse utilisent toutes deux le théorème : étant donné une séquence de réels, un réel peut être trouvé qui n’est pas dans la séquence. En appliquant ce théorème à la suite des Nombres algébriques réels, Cantor a produit un nombre transcendantal. Il a ensuite prouvé que les réels sont innombrables : Supposons qu’il existe une suite contenant tous les réels. L’application du théorème à cette séquence produit un réel non dans la séquence, contredisant l’hypothèse selon laquelle la séquence contient tous les réels. Les réels sont donc indénombrables.^[5]La preuve inverse commence par prouver que les réels sont innombrables. Cela prouve alors que les nombres transcendants existent : s’il n’y avait pas de nombres transcendants, tous les réels seraient algébriques et donc dénombrables, ce qui contredit ce qui vient d’être prouvé. Cette contradiction prouve que les nombres transcendantaux existent sans en construire. ^[29]

Oskar Perron, v. 1948

La correspondance contenant le raisonnement non constructif de Cantor a été publiée en 1937. À ce moment-là, d’autres mathématiciens avaient redécouvert sa preuve non constructive dans l’ordre inverse. Dès 1921, cette preuve était appelée “preuve de Cantor” et critiquée pour ne produire aucun nombre transcendantal. ^[30] Cette année-là, Oskar Perron a donné la preuve dans l’ordre inverse et a ensuite déclaré : “… La preuve de Cantor pour l’existence des nombres transcendantaux a, avec sa simplicité et son élégance, le grand inconvénient qu’elle n’est qu’une preuve d’existence ; elle ne nous permet pas de spécifier même un seul nombre transcendantal.” ^{[31] [Je]}

Abraham Fraenkel, entre 1939 et 1949

Dès 1930, certains mathématiciens ont tenté de corriger cette idée fausse de l’œuvre de Cantor. Cette année-là, le théoricien des ensembles Abraham Fraenkel a déclaré que la méthode de Cantor est “… une méthode qui, d’ailleurs, contrairement à une interprétation répandue, est fondamentalement constructive et pas simplement existentielle”. ^[32] En 1972, Irving Kaplansky écrivait : “On dit souvent que la preuve de Cantor n’est pas ‘constructive’, et ne donne donc pas un nombre transcendantal tangible. Cette remarque n’est pas justifiée. Si nous établissons une liste définitive de tous les nombres … et ensuite appliquer la procédure diagonale …, nous obtenons un nombre transcendantal parfaitement défini (il pourrait être calculé à n’importe quel nombre de décimales).”La preuve de Cantor n’est pas seulement constructive, elle est aussi plus simple que la preuve de Perron, qui nécessite le détour de prouver d’abord que l’ensemble de tous les réels est indénombrable. ^[34]

L’argument diagonal de Cantor a souvent remplacé sa construction de 1874 dans les expositions de sa preuve. L’argument diagonal est constructif et produit un programme informatique plus efficace que sa construction de 1874. En l’utilisant, un programme informatique a été écrit qui calcule les chiffres d’un nombre transcendantal en temps polynomial . Le programme qui utilise la construction de Cantor en 1874 nécessite au moins un temps sous-exponentiel . ^{[35] [K]}

La présentation de la preuve non constructive sans mentionner la preuve constructive de Cantor apparaît dans certains livres qui ont été assez réussis, mesurés par la durée pendant laquelle de nouvelles éditions ou réimpressions sont apparues – par exemple: Oskar Perron’s Irrationalzahlen (1921; 1960, 4e édition), Eric Temple Bell’s Men of Mathematics (1937; toujours en cours de réimpression), Godfrey Hardy et EM Wright’s An Introduction to the Theory of Numbers (1938; 2008 6e édition), Garrett Birkhoff et Saunders Mac Lane’s A Survey of Modern Algebra (1941; 1997 5e édition ) et Calculus de Michael Spivak (1967; 2008 4e édition). ^{[36] [L]} Depuis 2014, au moins deux livres ont paru déclarant que la preuve de Cantor est constructive, ^[37] et au moins quatre ont paru déclarant que sa preuve ne construit aucun (ou un seul) transcendantal. ^[38]

Affirmer que Cantor a donné un argument non constructif sans mentionner la preuve constructive qu’il a publiée peut conduire à des déclarations erronées sur l’ histoire des mathématiques . Dans A Survey of Modern Algebra , Birkhoff et Mac Lane déclarent: “L’argument de Cantor pour ce résultat [tous les nombres réels ne sont pas algébriques] a d’abord été rejeté par de nombreux mathématiciens, car il ne présentait aucun nombre transcendantal spécifique.” ^[39] La preuve que Cantor a publiée produit des nombres transcendantaux, et il semble n’y avoir aucune preuve que son argument a été rejeté. Même Leopold Kronecker , qui avait des vues strictes sur ce qui est acceptable en mathématiques et qui aurait pu retarder la publication de l’article de Cantor, ne l’a pas retardée.^[4]En fait, l’application de la construction de Cantor à la séquence de Nombres algébriques réels produit un processus limitatif que Kronecker a accepté, à savoir qu’il détermine un nombre avec n’importe quel degré de précision requis. ^[M]

L’influence de Weierstrass et Kronecker sur l’article de Cantor

Karl Weierstrass Léopold Kronecker, 1865

Les historiens des mathématiques ont découvert les faits suivants à propos de l’article de Cantor “Sur une propriété de la collection de tous les Nombres algébriques réels”:

• Le théorème d’uncountability de Cantor a été omis de l’article qu’il a soumis. Il l’a ajouté lors de la relecture . ^[43]
• Le titre de l’article fait référence à l’ensemble des Nombres algébriques réels. Le sujet principal de la correspondance de Cantor était l’ensemble des nombres réels. ^[44]
• La preuve du deuxième théorème de Cantor est venue de Dedekind. Cependant, il omet l’explication de Dedekind sur la raison pour laquelle les limites a _∞ et b _∞ existent. ^[45]
• Cantor a limité son premier théorème à l’ensemble des Nombres algébriques réels. La preuve qu’il utilisait démontre la dénombrabilité de l’ensemble de tous les Nombres algébriques. ^[20]

Pour expliquer ces faits, les historiens ont pointé l’influence des anciens professeurs de Cantor, Karl Weierstrass et Leopold Kronecker. Cantor a discuté de ses résultats avec Weierstrass le 23 décembre 1873. ^[46] Weierstrass a d’abord été étonné par le concept de dénombrabilité, mais a ensuite trouvé utile la dénombrabilité de l’ensemble des Nombres algébriques réels. ^[47] Cantor ne voulait pas encore publier, mais Weierstrass estimait qu’il devait publier au moins ses résultats concernant les Nombres algébriques. ^[46]

De sa correspondance, il ressort que Cantor n’a discuté de son article qu’avec Weierstrass. Cependant, Cantor a déclaré à Dedekind : “La restriction que j’ai imposée à la version publiée de mes enquêtes est causée en partie par des circonstances locales…” ^[46] Le biographe de Cantor, Joseph Dauben , estime que les “circonstances locales” font référence à Kronecker qui, en tant que membre du comité de rédaction du Crelle’s Journal , avait retardé la publication d’un article de 1870 d’ Eduard Heine , l’un des collègues de Cantor. Cantor soumettrait son article au Crelle’s Journal . ^[48]

Weierstrass a conseillé à Cantor de laisser son théorème d’indénombrabilité hors de l’article qu’il a soumis, mais Weierstrass a également dit à Cantor qu’il pouvait l’ajouter comme note marginale lors de la relecture, ce qu’il a fait. ^[43] Il apparaît dans une remarque à la fin de l’introduction de l’article . Les opinions de Kronecker et de Weierstrass ont toutes deux joué un rôle ici. Kronecker n’acceptait pas les ensembles infinis, et il semble que Weierstrass n’acceptait pas que deux ensembles infinis puissent être si différents, l’un étant dénombrable et l’autre non. ^[49] Weierstrass a changé d’avis plus tard. ^[50]Sans le théorème d’indénombrabilité, l’article avait besoin d’un titre qui ne fasse pas référence à ce théorème. Cantor a choisi “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (“Sur une propriété de la collection de tous les Nombres algébriques réels”), qui fait référence à la dénombrabilité de l’ensemble des Nombres algébriques réels, le résultat que Weierstrass a trouvé utile. ^[51]

L’influence de Kronecker apparaît dans la preuve du deuxième théorème de Cantor. Cantor a utilisé la version de Dedekind de la preuve sauf qu’il a omis pourquoi les limites a _∞ = lim _{n → ∞} a _n et b _∞ = lim _{n → ∞} b _n existent. Dedekind avait utilisé son “principe de continuité” pour prouver leur existence. Ce principe (qui équivaut à la propriété de moindre borne supérieure des nombres réels) vient de la construction des nombres réels de Dedekind, une construction que Kronecker n’a pas acceptée. ^[52]

Cantor a limité son premier théorème à l’ensemble des Nombres algébriques réels même si Dedekind lui avait envoyé une preuve qui traitait de tous les Nombres algébriques. ^[20] Cantor l’a fait pour des raisons explicatives et à cause des “circonstances locales”. ^[53] Cette restriction simplifie l’article car le deuxième théorème fonctionne avec des séquences réelles. Par conséquent, la construction du deuxième théorème peut être appliquée directement à l’énumération des Nombres algébriques réels pour produire “une procédure efficace pour le calcul des nombres transcendants”. Cette procédure serait acceptable pour Weierstrass. ^[54]

Les contributions de Dedekind à l’article de Cantor

Richard Dedekind, v. 1870

Depuis 1856, Dedekind avait développé des théories impliquant une infinité d’ensembles infinis, par exemple : les idéaux , qu’il utilisait dans la théorie algébrique des nombres , et les coupes de Dedekind , qu’il utilisait pour construire les nombres réels. Ce travail lui a permis de comprendre et de contribuer à l’œuvre de Cantor. ^[55]

La première contribution de Dedekind concerne le théorème selon lequel l’ensemble des Nombres algébriques réels est dénombrable. Cantor est généralement crédité pour ce théorème, mais l’historien des mathématiques José Ferreirós l’appelle “le théorème de Dedekind”. Leur correspondance révèle ce que chaque mathématicien a apporté au théorème. ^[56]

Dans sa lettre introduisant le concept de dénombrabilité, Cantor déclare sans preuve que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable, tout comme les ensembles de la forme ( a _{n 1 , n 2 , …, n ν} ) où n ₁ , n ₂ , …, n _ν , et ν sont des entiers positifs. ^[57] Le second résultat de Cantor utilise une famille de nombres indexés : un ensemble de la forme ( a _{n 1 , n 2 , …, n ν} ) est l’intervalle d’une fonction à partir des νindices à l’ensemble des nombres réels. Son second résultat implique son premier : soit ν = 2 et a _{n 1 , n 2} = n ₁/n ₂. La fonction peut être assez générale—par exemple, a _{n 1 , n 2 , n 3 , n 4 , n 5} = ( n ₁/n ₂) ^{1/n ₃} + bronzage ( n ₄/n ₅).

Dedekind a répondu avec une preuve du théorème que l’ensemble de tous les Nombres algébriques est dénombrable. ^[20] Dans sa réponse à Dedekind, Cantor n’a pas prétendu avoir prouvé le résultat de Dedekind. Il a indiqué comment il a prouvé son théorème sur les familles de nombres indexés : “Votre preuve que ( n ) [l’ensemble des entiers positifs] peut être corrélé un à un avec le corps de tous les Nombres algébriques est approximativement la même que la façon Je prouve mon affirmation dans la dernière lettre. Je prends n ₁ ² + n ₂ ² + ··· + n _ν ² = N {displaystyle {mathfrak {N}}} et ordonner les éléments en conséquence.” ^[58] Cependant, l’ordre de Cantor est plus faible que celui de Dedekind et ne peut pas être étendu à n {displaystyle n} -tuples d’entiers qui incluent des zéros. ^[59]

La deuxième contribution de Dedekind est sa preuve du deuxième théorème de Cantor. Dedekind a envoyé cette preuve en réponse à la lettre de Cantor qui contenait le théorème d’indénombrabilité, que Cantor a prouvé en utilisant une infinité de séquences. Cantor a ensuite écrit qu’il avait trouvé une preuve plus simple qui n’utilisait pas une infinité de séquences. ^[60] Ainsi Cantor avait un choix de preuves et a choisi de publier Dedekind. ^[61]

Cantor a remercié Dedekind en privé pour son aide : “… vos commentaires (que j’apprécie beaucoup) et votre manière de présenter certains points m’ont été d’une grande aide.” ^[46] Cependant, il n’a pas mentionné l’aide de Dedekind dans son article. Dans des articles précédents, il avait reconnu l’aide reçue de Kronecker, Weierstrass, Heine et Hermann Schwarz . Le fait que Cantor n’ait pas mentionné les contributions de Dedekind a endommagé sa relation avec Dedekind. Dedekind cessa de répondre à ses lettres et ne reprit la correspondance qu’en octobre 1876. ^{[62] [N]}

L’héritage de l’article de Cantor

L’article de Cantor a introduit le théorème d’indénombrabilité et le concept de dénombrabilité. Les deux conduiraient à des développements significatifs en mathématiques. Le théorème d’indénombrabilité a démontré que les correspondances biunivoques peuvent être utilisées pour analyser des ensembles infinis. En 1878, Cantor les utilisa pour définir et comparer les cardinalités. Il a également construit des correspondances biunivoques pour prouver que les espaces à n dimensions R ⁿ (où R est l’ensemble des nombres réels) et l’ensemble des nombres irrationnels ont la même cardinalité que R . ^{[63] [F]}

En 1883, Cantor a étendu les entiers positifs avec ses ordinaux infinis . Cette extension était nécessaire pour son travail sur le théorème de Cantor-Bendixson . Cantor a découvert d’autres utilisations pour les ordinaux – par exemple, il a utilisé des ensembles d’ordinaux pour produire une infinité d’ensembles ayant différentes cardinalités infinies. ^[65] Son travail sur les ensembles infinis avec le travail théorique des ensembles de Dedekind a créé la théorie des ensembles. ^[66]

Le concept de dénombrabilité a conduit à des opérations dénombrables et à des objets qui sont utilisés dans divers domaines des mathématiques. Par exemple, en 1878, Cantor a introduit des unions dénombrables d’ensembles. ^[67] Dans les années 1890, Émile Borel utilise les unions dénombrables dans sa Théorie de la mesure , et René Baire utilise les ordinaux dénombrables pour définir ses classes de fonctions . ^[68] S’appuyant sur les travaux de Borel et Baire, Henri Lebesgue crée ses théories de la mesure et de l’intégration , qui seront publiées de 1899 à 1901. ^[69]

Les modèles dénombrables sont utilisés en théorie des ensembles. En 1922, Thoralf Skolem a prouvé que si les axiomes conventionnels de la théorie des ensembles sont cohérents , alors ils ont un modèle dénombrable. Puisque ce modèle est dénombrable, son ensemble de nombres réels est dénombrable. Cette conséquence est appelée paradoxe de Skolem , et Skolem a expliqué pourquoi elle ne contredit pas le théorème d’indénombrabilité de Cantor : bien qu’il existe une correspondance biunivoque entre cet ensemble et l’ensemble des entiers positifs, aucune correspondance biunivoque n’est membre du modèle. Ainsi, le modèle considère que son ensemble de nombres réels est indénombrable, ou plus précisément, la phrase du premier ordre qui dit que l’ensemble des nombres réels est indénombrable est vrai dans le modèle. ^[70] En 1963, Paul Cohen a utilisé des modèles dénombrables pour prouver ses théorèmes d’ indépendance . ^[71]

Voir également

• Théorème de Cantor

Remarques

1. ^ Dans une lettre à Dedekind datée du 25 décembre 1873, Cantor déclare qu’il a écrit et soumis “un court article” intitulé Sur une propriété de l’ensemble de tous les Nombres algébriques réels . ( Noether & Cavaillès 1937 , p. 17 ; traduction anglaise : Ewald 1996 , p. 847.)
2. ^ Cela implique le reste du théorème – à savoir, il y a une infinité de nombres dans [ a , b ] qui ne sont pas contenus dans la séquence donnée. Par exemple, laissez [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} être l’intervalle et considérer ses sous-intervalles [ 0 , 1 2 ] , {displaystyle [0,{tfrac {1}{2}}],} [ 3 4 , 7 8 ] , {displaystyle [{tfrac {3}{4}},{tfrac {7}{8}}],} [ 15 16 , 31 32 ] , {displaystyle [{tfrac {15}{16}},{tfrac {31}{32}}],} … . {displaystyle ldots .} Puisque ces sous-intervalles sont disjoints deux à deux , l’application de la première partie du théorème à chaque sous-intervalle produit une infinité de nombres dans [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} qui ne sont pas contenus dans la séquence donnée. En général, pour l’intervalle [ a , b ] , {displaystyle [a,b],} appliquer la première partie du théorème aux sous-intervalles [ a , a + 1 2 ( b − a ) ] , {displaystyle [a,a+{tfrac {1}{2}}(ba)],} [ a + 3 4 ( b − a ) , a + 7 8 ( b − a ) ] , {displaystyle [a+{tfrac {3}{4}}(ba),a+{tfrac {7}{8}}(ba)],} [ a + 15 16 ( b − a ) , a + 31 32 ( b − a ) ] , {displaystyle [a+{tfrac {15}{16}}(ba),a+{tfrac {31}{32}}(ba)],} … . {displaystyle ldots .}
3. ↑ Cantor ne prouve pas ce lemme. Dans une note de bas de page pour le cas 2, il déclare que x _n ne se situe pas à l’intérieur de l’intervalle [ a _n , b _n ]. ^[11] Cette preuve provient de sa preuve de 1879 , qui contient une preuve inductive plus complexe qui démontre plusieurs propriétés des intervalles générés, dont la propriété démontrée ici.
4. ^ La principale différence entre la preuve de Cantor et la preuve ci-dessus est qu’il génère la séquence d’intervalles fermés [ a _n , b _n ]. Pour trouver a _{n + 1} et b _{n + 1} , il utilise l’ intérieur de l’intervalle [ a _n , b _n ], qui est l’intervalle ouvert ( a _n , b _n ). La génération d’intervalles ouverts combine l’utilisation par Cantor des intervalles fermés et de leurs intérieurs, ce qui permet aux diagrammes de cas de décrire tous les détails de la preuve.
5. ↑ Cantor n’a pas été le premier à définir « partout dense » mais sa terminologie a été adoptée avec ou sans le « partout » (partout dense : Arkhangel’skii & Fedorchuk 1990 , p. 15 ; dense : Kelley 1991 , p. 49). En 1870, Hermann Hankel avait défini ce concept en utilisant une terminologie différente : “une multitude de points… remplit le segment si aucun intervalle, aussi petit soit-il, ne peut être donné à l’intérieur du segment dans lequel on ne trouve pas au moins un point de cette multitude” ( Ferreirós 2007 , p. 155). Hankel s’appuyait sur l’article de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1829 qui contient la fonction de Dirichlet , une non-( Riemann )fonction intégrable dont la valeur est 0 pour les nombres rationnels et 1 pour les nombres irrationnels . ( Ferreiros 2007 , p. 149.)
6. ↑ Traduit de Cantor 1879 , p. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α . . . β), so kann der bemerkenswerthe Fall eintreten, dass jedes noch so kleine in (α . . . β) enthaltene Intervall (γ . . . δ) Punkte von P enthält . In einem solchen Falle wollen wir sagen, dass P im Intervalle (α . . . β) überall-dicht sei.
7. ^ Ceci est prouvé en générant une séquence de points appartenant à la fois à P et à ( c , d ). Puisque P est dense dans [ a , b ], le sous-intervalle ( c , d ) contient au moins un point x ₁ de P . Par hypothèse, le sous-intervalle ( x ₁ , d ) contient au moins un point x ₂ de P et x ₂ > x ₁ puisque x ₂appartient à ce sous-intervalle. En général, après avoir généré x _n , le sous-intervalle (x _n , d ) est utilisé pour générer un point x _{n + 1} satisfaisant x _{n + 1} > x _n . L’infinité de points x _n appartiennent à la fois à P et à ( c , d ).
8. ^ Le début de cette preuve est dérivé de la preuve ci-dessous en limitant ses nombres à l’intervalle [ a , b ] et en utilisant une sous-séquence puisque Cantor utilisait des séquences dans son travail de 1873 sur la dénombrabilité.
   Texte allemand : Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen.
   Gäbe es nämlich keine transzendenten Zahlen, so wären alle Zahlen algebraisch, das Kontinuum also identisch mit der Menge aller algebraischen Zahlen. Das ist aber unmöglich, weil die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist, das Kontinuum aber nicht. ^[28]
   Traduction : Théorème 68. Il existe des nombres transcendants.
   S’il n’y avait pas de nombres transcendantaux, alors tous les nombres seraient algébriques. D’où le continuumserait identique à l’ensemble de tous les Nombres algébriques. Cependant, cela est impossible car l’ensemble de tous les Nombres algébriques est dénombrable, mais le continuum ne l’est pas.
9. ↑ Par « preuve de Cantor », Perron ne veut pas dire qu’il s’agit d’une preuve publiée par Cantor. Il veut plutôt dire que la preuve n’utilise que des arguments publiés par Cantor. Par exemple, pour obtenir un réel non dans une séquence donnée, Perron suit la preuve de Cantor de 1874 à une exception près : il utilise l’argument diagonal de Cantor de 1891 au lieu de son argument d’intervalles imbriqués de 1874 pour obtenir un réel. Cantor n’a jamais utilisé son argument diagonal pour réprouver son théorème. Dans ce cas, la preuve de Cantor et la preuve de Perron sont constructives, donc aucune idée fausse ne peut survenir ici. Ensuite, Perron modifie la preuve de Cantor de l’existence d’un transcendantal en donnant la preuve d’ordre inverse. Cela convertit la preuve constructive de Cantor de 1874 en une preuve non constructive qui conduit à une idée fausse sur le travail de Cantor.
10. ↑ Cette preuve est la même que la preuve de Cantor de 1874 à une exception près : elle utilise son argument diagonal de 1891 au lieu de son argument d’intervalles imbriqués de 1874 pour obtenir un réel.
11. ^ Le programme utilisant la méthode diagonale produit n {displaystyle n} chiffres dans O ( n 2 log 2 ⁡ n log ⁡ log ⁡ n ) {displaystyle {color {Bleu}O}(n^{2}log ^{2}nlog log n)} étapes, alors que le programme utilisant la méthode 1874 nécessite au moins O ( 2 n 3 ) {displaystyle O(2^{sqrt[{3}]{n}})} étapes pour produire n {displaystyle n} chiffres. ( Gray 1994 , p. 822–823.)
12. ↑ À partir du livre de Hardy et Wright, ces livres sont liés au livre de Perron via leurs bibliographies : le livre de Perron est mentionné dans la bibliographie du livre de Hardy et Wright, qui à son tour est mentionné dans la bibliographie du livre de Birkhoff et Mac Lane et dans la bibliographie du livre de Spivak. ( Hardy & Wright 1938 , p. 400; Birkhoff & Mac Lane 1941 , p. 441; Spivak 1967 , p. 515.)
13. ↑ L’opinion de Kronecker était : “Les définitions doivent contenir les moyens de parvenir à une décision en un nombre fini d’étapes, et les preuves d’existence doivent être effectuées de manière à ce que la quantité en question puisse être calculée avec n’importe quel degré de précision requis.” ^[40] Donc Kronecker accepterait l’argument de Cantor comme une preuve d’existence valide, mais il n’accepterait pas sa conclusion que les nombres transcendantaux existent. Pour Kronecker, ils n’existent pas parce que leur définition ne contient aucun moyen de décider en un nombre fini d’étapes si un nombre donné est ou non transcendantal. ^[41] La construction de Cantor de 1874 calcule les nombres avec n’importe quel degré de précision requis parce que : étant donné a k , an n peut être calculé de telle sorte que b _n– un _n ≤ 1/koù ( a _n , b _n ) est le n – ième intervalle de la construction de Cantor. Un exemple de la façon de prouver cela est donné dans Gray 1994 , p. 822. L’argument diagonal de Cantor fournit une précision de 10 ^{− n} après que n Nombres algébriques réels ont été calculés parce que chacun de ces nombres génère un chiffre du nombre transcendantal. ^[42]
14. ↑ Ferreirós a analysé les relations entre Cantor et Dedekind. Il explique pourquoi « les relations entre les deux mathématiciens furent difficiles après 1874, lorsqu’elles subirent une interruption… » ( Ferreirós 1993 , pp. 344, 348-352.)
15. ^ La méthode de Cantor consistant à construire une correspondance biunivoque entre l’ensemble de nombres irrationnels et R peut être utilisée pour en construire une entre l’ensemble de nombres transcendantaux et R . ^[64] La construction commence par l’ensemble des nombres transcendants T et supprime un sous-ensemble dénombrable { t n _} (par exemple, t _n = e/n). Soit cet ensemble T ₀ . Alors T = T ₀ ∪ { t _n } = T ₀ ∪ { t _{2 n – 1} } ∪ { t _{2 n} }, et R = T ∪ { une _n } = T ₀ ∪ { t _n } ∪ { une _n } où a _n est la suite de Nombres algébriques réels. Donc T et R sont l’union de trois ensembles disjoints deux à deux : T ₀et deux ensembles dénombrables. Une correspondance bijective entre T et R est donnée par la fonction : g ( t ) = t si t ∈ T ₀ , g ( t _{2 n – 1} ) = t _n , et g ( t _{2 n} ) = a _n .

Note sur l’épreuve de 1879 de Cantor

1. ^ ^{un bcdef Puisque la preuve de Cantor} n’a pas été publiée en anglais, une traduction anglaise est donnée à côté du texte allemand original, qui est de Cantor 1879 , pp. 5–7. La traduction commence une phrase avant la preuve car cette phrase mentionne la preuve de Cantor de 1874. Cantor déclare qu’il a été imprimé dans le Journal de Borchardt. Le Journal de Crelle était également appelé Journal de Borchardt de 1856 à 1880 lorsque Carl Wilhelm Borchardt a édité le journal ( Audin 2011 , p. 80). Les crochets sont utilisés pour identifier cette mention de la preuve antérieure de Cantor, pour clarifier la traduction et pour fournir des numéros de page. Aussi, ” Mannichfaltigkeit” (variété) a été traduit en “ensemble” et la notation de Cantor pour les ensembles fermés (α . . . β) a été traduite en [α, β]. Cantor a changé sa terminologie de Mannichfaltigkeit en Menge (ensemble) dans son article de 1883, qui a introduit des ensembles de nombres ordinaux ( Kanamori 2012 , p. 5) Actuellement en mathématiques, une variété est un type d’ espace Topologique .
   

   traduction anglaise	Texte allemand
   [Page 5] . . . Mais ceci contredit un théorème très général, que nous avons démontré avec toute la rigueur dans Borchardt’s Journal, Vol. 77, page 260; à savoir, le théorème suivant : “Si l’on a une suite simplement [dénombrable] infinie ω 1 , ω 2 , . . . , ω ν , . . . de nombres réels inégaux qui procèdent selon une certaine règle, alors dans chaque intervalle donné [α, β] un nombre η (et donc un nombre infini d’entre eux) peut être spécifié qui n’apparaît pas dans cette séquence (en tant que membre de celle-ci).” Compte tenu du grand intérêt de ce théorème, non seulement dans la discussion actuelle, mais aussi dans de nombreuses autres relations arithmétiques aussi bien qu’analytiques, il ne serait peut-être pas superflu de développer plus clairement ici l’argument suivi [la preuve de Cantor de 1874] par en utilisant des modifications simplificatrices. En partant de la suite : ω 1 , ω 2 , . . . , ω ν , . . . (que nous donnons [désigner par] le symbole (ω)) et un intervalle arbitraire [α, β], où α < β, nous allons maintenant démontrer que dans cet intervalle on peut trouver un nombre réel η qui n’appartient pas à ( ω). I. Remarquons d’abord que si notre ensemble (ω) n’est pas partout dense dans l’intervalle [α, β], alors dans cet intervalle un autre intervalle [γ, δ] doit être présent, dont tous les nombres n’appartiennent pas à (ω ). Dans l’intervalle [γ, δ], on peut alors choisir n’importe quel nombre pour η. Il se situe dans l’intervalle [α, β] et n’apparaît certainement pas dans notre suite (ω). Ainsi, ce cas ne présente pas de considérations particulières et nous pouvons passer au cas le plus difficile . II. Soit l’ensemble (ω) dense partout dans l’intervalle [α, β]. Dans ce cas, tout intervalle [γ,δ] situé dans [α,β], aussi petit soit-il, contient des nombres de notre suite (ω). Pour montrer que, néanmoins, il existe des nombres η dans l’intervalle [α, β] qui n’apparaissent pas dans (ω), nous utilisons l’observation suivante. Puisque certains nombres de notre suite : ω 1 , ω 2 , . . . , ω ν , . . .	[Page 5] . . . Dem widespricht aber ein sehr allgemeiner Satz, welchen wir dans Borchardt’s Journal, Bd. 77, p. 260, mit aller Strenge bewiesen haben, nämlich der folgende Satz : “Hat man eine einfach unendliche Reihe ω 1 , ω 2 , . . . , ω ν , . . . von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α . . . β ) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt.” In Anbetracht des grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflüssig sein, wenn wir die dort befolgte Beweisführung [Chantres 1874] , unter Anwendung vereinfachender Modificationen, hier deutlicher entwickeln. Unter Zugrundelegung der Reihe: ω1, ω2, . . . , ων, . . . (welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α . . . β), wo α < β ist, soll also nun gezeigt werden, dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann, welche in (ω) nicht vorkommt. I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α . . . β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ . . . δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich nicht zu (ω) gehören ; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ . . . δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α . . . β) und kommt sicher in unsrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände ; und wir können zu dem schwierigeren übergehen. II. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α . . . β) überall-dicht . In diesem Falle enthält jedes, noch so kleine in (α . . . β) gelegene Intervall (γ . . . δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen, dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α . . . β) existentiren, welche in (ω) nicht vorkommen, stellen wir die folgende Betrachtung an. Da in unserer Reihe: ω 1 , ω 2 , . . . , ω ν , . . .
   [Page 6] se produisent certainement dans l’intervalle [α, β], l’un de ces nombres doit avoir le plus petit indice, soit ω κ 1 , et un autre : ω κ 2 avec le prochain plus grand indice. Notons le plus petit des deux nombres ω κ 1 , ω κ 2 par α’, le plus grand par β’. (Leur égalité est impossible parce que nous avons supposé que notre séquence n’était composée que de nombres inégaux.) Alors selon la définition : α < α’ < β’ < β , de plus : κ 1 < κ 2 ; et tous les nombres ω μ de notre suite, pour lesquels μ ≤ κ 2 , ne sont pas à l’intérieur de l’intervalle [α’, β’], comme il ressort immédiatement de la définition des nombres κ 1 , κ 2 . De même, soit ω κ 3 et ω κ 4 les deux nombres de notre suite avec les plus petits indices qui tombent à l’ intérieur de l’intervalle [α’, β’] et soit le plus petit des nombres ω κ 3 , ω κ 4être noté α”, le plus grand par β”. Alors on a : α’ < α” < β” < β’ , κ 2 < κ 3 < κ 4 ; et on voit que tous les nombres ω μ de notre suite, pour lesquels μ ≤ κ 4 , ne tombent pas à l’ intérieur de l’intervalle [α”, β”]. After one has followed this rule to reach an interval [α(ν – 1), β(ν – 1)], the next interval is produced by selecting the first two (i. e. with lowest indices) numbers of our sequence (ω) (let them be ωκ2ν – 1 and ωκ2ν) that fall into the interior of [α(ν – 1), β(ν – 1)]. Let the smaller of these two numbers be denoted by α(ν), the larger by β(ν). The interval [α(ν), β(ν)] then lies in the interior of all preceding intervals and has the specific relation with our sequence (ω) that all numbers ωμ, for which μ ≤ κ2ν, definitely do not lie in its interior. Since obviously: κ1 < κ2 < κ3 < . . . , ωκ2ν – 2 < ωκ2ν – 1 < ωκ2ν , . . . and these numbers, as indices, are whole numbers, so: κ2ν ≥ 2ν , and hence: ν < κ2ν ; thus, we can certainly say (and this is sufficient for the following): That if ν is an arbitrary whole number, the [real] quantity ων lies outside the interval [α(ν) . . . β(ν)].	[Seite 6] sicher Zahlen innerhalb des Intervalls (α . . . β) vorkommen, so muss eine von diesen Zahlen den kleinsten Index haben, sie sei ωκ1, und eine andere: ωκ2 mit dem nächst grösseren Index behaftet sein. Die kleinere der beiden Zahlen ωκ1, ωκ2 werde mit α’, die grössere mit β’ bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.) Es ist alsdann der Definition nach: α < α’ < β’ < β , ferner: κ1 < κ2 ; und ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ωμ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ2, nicht im Innern des Intervalls (α’ . . . β’) liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ1, κ2 sofort erhellt. Ganz ebenso mögen ωκ3, ωκ4 die beiden mit den kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [see note 1 below] sein, welche in das Innere des Intervalls (α’ . . . β’) fallen und die kleinere der Zahlen ωκ3, ωκ4 werde mit α”, die grössere mit β” bezeichnet. Man hat alsdann: α’ < α” < β” < β’ , κ2 < κ3 < κ4 ; und man erkennt, dass alle Zahlen ωμ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ4 nicht in das Innere des Intervalls (α” . . . β”) fallen. Nachdem man unter Befolgung des gleichen Gesetzes zu einem Intervall (α(ν – 1), . . . β(ν – 1)) gelangt ist, ergiebt sich das folgende Intervall dadurch aus demselben, dass man die beiden ersten (d. h. mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ωκ2ν – 1 und ωκ2ν), welche in das Innere von (α(ν – 1) . . . β(ν – 1)) fallen; die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α(ν), die grössere mit β(ν) bezeichnet. Das Intervall (α(ν) . . . β(ν)) liegt alsdann im Innern aller vorangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ωμ, für welche μ ≤ κ2ν sicher nicht in seinem Innern liegen. Da offenbar: κ1 < κ2 < κ3 < . . . , ωκ2ν – 2 < ωκ2ν – 1 < ωκ2ν , . . . und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, so ist: κ2ν ≥ 2ν , und daher: ν < κ2ν ; wir können daher, und dies ist für das Folgende ausreichend, gewiss sagen: Dass, wenn ν eine beliebige ganze Zahl ist, die Grösse ων ausserhalb des Intervalls (α(ν) . . . β(ν)) liegt.
   [Page 7] Since the numbers α’, α”, α”’, . . ., α(ν), . . . are continually increasing by value while simultaneously being enclosed in the interval [α, β], they have, by a well-known fundamental theorem of the theory of magnitudes [see note 2 below], a limit that we denote by A, so that: A = Lim α(ν) for ν = ∞. The same applies to the numbers β’, β”, β”’, . . ., β(ν), . . ., which are continually decreasing and likewise lying in the interval [α, β]. We call their limit B, so that: B = Lim β(ν) for ν = ∞. Obviously, one has: α(ν) < A ≤ B < β(ν). But it is easy to see that the case A < B can not occur here since otherwise every number ων of our sequence would lie outside of the interval [A, B] by lying outside the interval [α(ν), β(ν)]. So our sequence (ω) would not be everywhere dense in the interval [α, β], contrary to the assumption. Thus, there only remains the case A = B and now it is demonstrated that the number: η = A = B does not occur in our sequence (ω). If it were a member of our sequence, such as the νth, then one would have: η = ων. But the latter equation is not possible for any value of ν because η is in the interior of the interval [α(ν), β(ν)], but ων lies outside of it.	[Seite 7] Da die Zahlen α’, α”, α”’, . . ., α(ν), . . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α . . . β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass: A = Lim α(ν) für ν = ∞. Ein Gleiches gilt für die Zahlen β’, β”, β”’, . . ., β(ν), . . . welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α . . . β) liegen; wir nennen ihre Grenze B, so dass: B = Lim β(ν) für ν = ∞. Man hat offenbar: α(ν) < A ≤ B < β(ν). Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A < B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ων, unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A . . . B) liegen würde, indem ων, ausserhalb des Intervalls (α(ν) . . . β(ν)) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α . . . β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung. Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl: η = A = B in unserer Reihe (ω) nicht vorkommt. Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das νte, so hätte man: η = ων. Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α(ν), β(ν)], ων aber ausserhalb desselben liegt.
   Note 1: This is the only occurrence of “unserer Reihen” (“our sequences”) in the proof. There is only one sequence involved in Cantor’s proof and everywhere else “Reihe” (“sequence”) is used, so it is most likely a typographical error and should be “unserer Reihe” (“our sequence”), which is how it has been translated. Note 2: Grössenlehre, which has been translated as “the theory of magnitudes”, is a term used by 19th century German mathematicians that refers to the theory of discrete and continuous magnitudes. (Ferreirós 2007, pp. 41–42, 202.)

References

1. ^ Dauben 1993, p. 4.
2. ^ Gray 1994, pp. 819–821.
3. ^ ^{a b} Cantor 1874. English translation: Ewald 1996, pp. 840–843.
4. ^ ^{a b} Gray 1994, p. 828.
5. ^ ^{a b c d e} Cantor 1874, p. 259. English translation: Ewald 1996, pp. 840–841.
6. ^ Cantor 1874, p. 259. English translation: Gray 1994, p. 820.
7. ^ Cantor 1878, p. 242.
8. ^ Gray 1994, p. 820.
9. ^ Cantor 1874, pp. 259–260. English translation: Ewald 1996, p. 841.
10. ^ Cantor 1874, pp. 260–261. English translation: Ewald 1996, pp. 841–842.
11. ^ ^{a b} Cantor 1874, p. 261. English translation: Ewald 1996, p. 842.
12. ^ Gray 1994, p. 822.
13. ^ Havil 2012, pp. 208–209.
14. ^ Havil 2012, p. 209.
15. ^ LeVeque 1956, pp. 154–155.
16. ^ LeVeque 1956, p. 174.
17. ^ Weisstein 2003, p. 541.
18. ^ Arkhangel’skii & Fedorchuk 1990, p. 16.
19. ^ Noether & Cavaillès 1937, pp. 12–13. English translation: Gray 1994, p. 827; Ewald 1996, p. 844.
20. ^ ^{a b c d} Noether & Cavaillès 1937, p. 18. English translation: Ewald 1996, p. 848.
21. ^ Noether & Cavaillès 1937, p. 13. English translation: Gray 1994, p. 827.
22. ^ ^{a b c d e f g} Noether & Cavaillès 1937, pp. 14–15. English translation: Ewald 1996, pp. 845–846.
23. ^ Gray 1994, p. 827
24. ^ Dauben 1979, p. 51.
25. ^ Noether & Cavaillès 1937, p. 19. English translation: Ewald 1996, p. 849.
26. ^ Ewald 1996, p. 843.
27. ^ Noether & Cavaillès 1937, p. 16. English translation: Gray 1994, p. 827.
28. ^ Perron 1921, p. 162.
29. ^ ^{a b} Kanamori 2012, p. 4.
30. ^ Gray 1994, pp. 827–828.
31. ^ Perron 1921, p. 162
32. ^ Fraenkel 1930, p. 237. English translation: Gray 1994, p. 823.
33. ^ Kaplansky 1972, p. 25.
34. ^ Gray 1994, pp. 829–830.
35. ^ Gray 1994, pp. 821–824.
36. ^ Bell 1937, pp. 568–569; Hardy & Wright 1938, p. 159 (6th ed., pp. 205–206); Birkhoff & Mac Lane 1941, p. 392, (5th ed., pp. 436–437); Spivak 1967, pp. 369–370 (4th ed., pp. 448–449).
37. ^ Dasgupta 2014, p. 107; Sheppard 2014, pp. 131–132.
38. ^ Jarvis 2014, p. 18; Chowdhary 2015, p. 19; Stewart 2015, p. 285; Stewart & Tall 2015, p. 333.
39. ^ Birkhoff & Mac Lane 1941, p. 392, (5th ed., pp. 436–437).
40. ^ Burton 1995, p. 595.
41. ^ Dauben 1979, p. 69.
42. ^ Gray 1994, p. 824.
43. ^ ^{a b} Ferreirós 2007, p. 184.
44. ^ Noether & Cavaillès 1937, pp. 12–16. English translation: Ewald 1996, pp. 843–846.
45. ^ Dauben 1979, p. 67.
46. ^ ^{a b c d} Noether & Cavaillès 1937, pp. 16–17. English translation: Ewald 1996, p. 847.
47. ^ Grattan-Guinness 1971, p. 124.
48. ^ Dauben 1979, pp. 67, 308–309.
49. ^ Ferreirós 2007, pp. 184–185, 245.
50. ^ Ferreirós 2007, p. 185: It is unclear when his attitude changed, but there is evidence that by the mid-1880s he was accepting the conclusion that infinite sets are of different powers [cardinalities].
51. ^ Ferreirós 2007, p. 177.
52. ^ Dauben 1979, pp. 67–68.
53. ^ Ferreirós 2007, p. 183.
54. ^ Ferreirós 2007, p. 185.
55. ^ Ferreirós 2007, pp. 109–111, 172–174.
56. ^ Ferreirós 1993, pp. 349–350.
57. ^ Noether & Cavaillès 1937, pp. 12–13. English translation: Ewald 1996, pp. 844–845.
58. ^ Noether & Cavaillès 1937, p. 13. English translation: Ewald 1996, p. 845.
59. ^ Ferreirós 2007, p. 179.
60. ^ Noether & Cavaillès 1937, pp. 14–16, 19. English translation: Ewald 1996, pp. 845–847, 849.
61. ^ Ferreirós 1993, pp. 358–359.
62. ^ Ferreirós 1993, p. 350.
63. ^ Cantor 1878, pp. 245–254.
64. ^ Cantor 1879, p. 4.
65. ^ Ferreirós 2007, pp. 267–273.
66. ^ Ferreirós 2007, pp. xvi, 320–321, 324.
67. ^ Cantor 1878, p. 243.
68. ^ Hawkins 1970, pp. 103–106, 127.
69. ^ Hawkins 1970, pp. 118, 120–124, 127.
70. ^ Ferreirós 2007, pp. 362–363.
71. ^ Cohen 1963, pp. 1143–1144.

Bibliography

• Arkhangel’skii, A. V.; Fedorchuk, V. V. (1990), “The basic concepts and constructions of general topology”, in Arkhangel’skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (eds.), General Topology I, New York, Berlin: Springer-Verlag, pp. 1–90, ISBN 978-0-387-18178-3.
• Audin, Michèle (2011), Remembering Sofya Kovalevskaya, London: Springer, ISBN 978-0-85729-928-4.
• Bell, Eric Temple (1937), Men of Mathematics, New York: Simon & Schuster, ISBN 978-0-671-62818-5.
• Birkhoff, Garrett; Mac Lane, Saunders (1941), A Survey of Modern Algebra, New York: Macmillan, ISBN 978-1-56881-068-3.
• Burton, David M. (1995), Burton’s History of Mathematics (3rd ed.), Dubuque, Iowa: William C. Brown, ISBN 978-0-697-16089-8.
• Cantor, Georg (1874), “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, S2CID 199545885.
• Cantor, Georg (1878), “Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 1878 (84): 242–258, doi:10.1515/crll.1878.84.242.
• Cantor, Georg (1879), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 1.”, Mathematische Annalen (in German), 15: 1–7, doi:10.1007/bf01444101, S2CID 179177510.
• Chowdhary, K. R. (2015), Fundamentals of Discrete Mathematical Structures (3rd ed.), Delhi, India: PHI Learning, ISBN 978-81-203-5074-8.
• Cohen, Paul J. (1963), “The Independence of the Continuum Hypothesis”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 50 (6): 1143–1148, Bibcode:1963PNAS…50.1143C, doi:10.1073/pnas.50.6.1143, PMC 221287, PMID 16578557.
• Dasgupta, Abhijit (2014), Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets, New York: Springer, ISBN 978-1-4614-8853-8.
• Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, ISBN 978-0-674-34871-4.
• Dauben, Joseph (1993), “Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory” (PDF), 9th ACMS Conference Proceedings.
• Edwards, Harold M. (1989), “Kronecker’s Views on the Foundations of Mathematics”, in Rowe, David E.; McCleary, John (eds.), The History of Modern Mathematics, Volume 1, New York: Academic Press, pp. 67–77, ISBN 978-0-12-599662-4.
• Ewald, William B., ed. (1996), From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850536-5.
• Ferreirós, José (1993), “On the relations between Georg Cantor and Richard Dedekind”, Historia Mathematica, 20 (4): 343–363, doi:10.1006/hmat.1993.1030.
• Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2nd revised ed.), Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Fraenkel, Abraham (1930), “Georg Cantor”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (in German), 39: 189–266.
• Grattan-Guinness, Ivor (1971), “The Correspondence between Georg Cantor and Philip Jourdain”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 73: 111–130.
• Gray, Robert (1994), “Georg Cantor and Transcendental Numbers” (PDF), American Mathematical Monthly, 101 (9): 819–832, doi:10.2307/2975129, JSTOR 2975129, MR 1300488, Zbl 0827.01004.
• Hardy, Godfrey; Wright, E. M. (1938), An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921985-8.
• Havil, Julian (2012), The Irrationals, Princeton, Oxford: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-16353-6.
• Hawkins, Thomas (1970), Lebesgue’s Theory of Integration, Madison, Wisconsin: University of Wisconsin Press, ISBN 978-0-299-05550-9.
• Jarvis, Frazer (2014), Algebraic Number Theory, New York: Springer, ISBN 978-3-319-07544-0.
• Kanamori, Akihiro (2012), “Set Theory from Cantor to Cohen” (PDF), in Gabbay, Dov M.; Kanamori, Akihiro; Woods, John H. (eds.), Sets and Extensions in the Twentieth Century, Amsterdam, Boston: Cambridge University Press, pp. 1–71, ISBN 978-0-444-51621-3.
• Kaplansky, Irving (1972), Set Theory and Metric Spaces, Boston: Allyn and Bacon, ISBN 978-0-8284-0298-9.
• Kelley, John L. (1991), General Topology, New York: Springer, ISBN 978-3-540-90125-9.
• LeVeque, William J. (1956), Topics in Number Theory, vol. I, Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-486-42539-9. (Reprinted by Dover Publications, 2002.)
• Noether, Emmy; Cavaillès, Jean, eds. (1937), Briefwechsel Cantor-Dedekind (in German), Paris: Hermann.
• Perron, Oskar (1921), Irrationalzahlen (in German), Leipzig, Berlin: W. de Gruyter, OCLC 4636376.
• Sheppard, Barnaby (2014), La logique de l’infini , Cambridge : Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-67866-8.
• Spivak, Michael (1967), Calculus , Londres : WA Benjamin, ISBN 978-0914098911.
• Stewart, Ian (2015), Galois Theory (4e éd.), Boca Raton, Floride: CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0.
• Stewart, Ian; Tall, David (2015), The Foundations of Mathematics (2e éd.), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-870644-1.
• Weisstein, Eric W. , éd. (2003), ” Fraction continue “, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , Boca Raton, Floride: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-347-0.