Numéro hyperréel

En mathématiques , le système des nombres hyperréels est une manière de traiter des quantités infinies et infinitésimales (infiniment petites mais non nulles). Les hyperréels, ou réels non standard , * R , sont une extension des nombres réels R contenant des nombres supérieurs à tout ce qui se présente sous la forme

Infinitésimaux (ε) et infinis (ω) sur la droite numérique hyperréelle (1/ε = ω/1) 1 + 1 + ⋯ + 1 {displaystyle 1+1+cdots +1} (pour tout nombre fini de termes).

Ces nombres sont infinis et leurs réciproques sont infinitésimales . Le terme “hyper-réel” a été introduit par Edwin Hewitt en 1948. ^[1]

Les nombres hyperréels satisfont au principe de transfert , une version rigoureuse de la loi heuristique de continuité de Leibniz . Le principe de transfert stipule que les vraies déclarations du premier ordre sur R sont également valables dans * R . Par exemple, la Loi commutative de l’addition, x + y = y + x , vaut pour les hyperréels comme pour les réels ; puisque R est un corps fermé réel , il en va de même pour * R . Depuis péché ⁡ ( π n ) = 0 {displaystyle sin({pi n})=0} pour tout entier n , on a aussi péché ⁡ ( π H ) = 0 {displaystyle sin({pi H})=0} pour tout hyperentier H . Le principe de transfert pour les ultrapuissances est une conséquence du Théorème de Łoś de 1955.

Les préoccupations concernant la validité des arguments impliquant des infinitésimaux remontent aux mathématiques grecques anciennes, Archimède remplaçant ces preuves par celles utilisant d’autres techniques telles que la méthode d’épuisement . ^[2] Dans les années 1960, Abraham Robinson a prouvé que les hyperréels étaient logiquement cohérents si et seulement si les réels l’étaient. Cela a dissipé la crainte que toute preuve impliquant des infinitésimaux ne soit pas solide, à condition qu’ils soient manipulés selon les règles logiques définies par Robinson.

L’application des nombres hyperréels et en particulier du principe de transfert aux problèmes d’ analyse est appelée analyse non standard . Une application immédiate est la définition des concepts de base de l’analyse tels que la dérivée et l’ intégrale de façon directe, sans passer par des complications logiques de quantificateurs multiples. Ainsi, la dérivée de f ( x ) devient F ′ ( X ) = St ⁡ ( F ( X + Δ X ) − F ( X ) Δ X ) {displaystyle f'(x)=operatorname {st} left({frac {f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}}right)} pour un infinitésimal Δ X {displaystyle Delta x} , où st(·) désigne la fonction de partie standard , qui « arrondit » chaque hyperréel fini au réel le plus proche. De même, l’intégrale est définie comme la partie standard d’une Somme infinie appropriée .

Le principe du transfert

L’idée du système hyperréel est d’étendre les nombres réels R pour former un système * R qui comprend des nombres infinitésimaux et infinis, mais sans changer aucun des axiomes élémentaires de l’algèbre. Toute déclaration de la forme “pour tout nombre x…” qui est vraie pour les réels est également vraie pour les hyperréels. Par exemple, l’axiome qui dit “pour tout nombre x , x + 0 = x ” s’applique toujours. Il en va de même pour la quantification sur plusieurs nombres, par exemple “pour tous les nombres x et y , xy = yx “. Cette capacité à transférer des déclarations des réels aux hyperréels est appelée laprincipe de transfert . Cependant, les déclarations de la forme “pour tout ensemble de nombres S …” ne peuvent pas être reportées. Les seules propriétés qui diffèrent entre les réels et les hyperréels sont celles qui reposent sur la quantification sur des ensembles ou d’autres structures de niveau supérieur telles que des fonctions et des relations, qui sont généralement construites à partir d’ensembles. Chaque ensemble réel, fonction et relation a son extension hyperréelle naturelle, satisfaisant les mêmes propriétés de premier ordre. Les types de phrases logiques qui obéissent à cette restriction sur la quantification sont appelés déclarations en logique du premier ordre .

Le principe de transfert, cependant, ne signifie pas que R et * R ont un comportement identique. Par exemple, dans * R il existe un élément ω tel que

1 < ω , 1 + 1 < ω , 1 + 1 + 1 < ω , 1 + 1 + 1 + 1 < ω , … . {displaystyle 1<omega ,quad 1+1<omega ,quad 1+1+1<omega ,quad 1+1+1+1<omega ,ldots .}

mais il n’y a pas un tel nombre dans R . (En d’autres termes, * R n’est pas archimédien .) Ceci est possible car la non-existence de ω ne peut pas être exprimée comme une déclaration de premier ordre.

Utilisation en analyse

Calcul avec fonctions algébriques

Les notations informelles pour les quantités non réelles sont historiquement apparues en calcul dans deux contextes : comme infinitésimaux, comme dx , et comme symbole ∞, utilisé, par exemple, dans les limites d’intégration d’ intégrales impropres .

À titre d’exemple du principe de transfert, l’énoncé selon lequel pour tout nombre non nul x , 2x ≠ x , est vrai pour les nombres réels, et il est sous la forme requise par le principe de transfert, il est donc également vrai pour les nombres hyperréels. Cela montre qu’il n’est pas possible d’utiliser un symbole générique tel que ∞ pour toutes les quantités infinies du système hyperréel ; les quantités infinies diffèrent en grandeur des autres quantités infinies, et les infinitésimaux des autres infinitésimaux.

De même, l’utilisation occasionnelle de 1/0 = ∞ est invalide, puisque le principe de transfert s’applique à l’affirmation selon laquelle la division par zéro n’est pas définie. La contrepartie rigoureuse d’un tel calcul serait que si ε est un infinitésimal non nul, alors 1/ε est infini.

Pour tout nombre hyperréel fini x , sa partie standard , st( x ), est définie comme l’unique nombre réel qui n’en diffère que de façon infinitésimale. La dérivée d’une fonction y ( x ) n’est pas définie comme dy/dx mais comme la partie standard du quotient de différence correspondant.

Par exemple, pour trouver la dérivée f′ ( x ) de la fonction f ( x ) = x ² , soit dx un infinitésimal non nul. Puis,

f ′ ( x ) {displaystyle f'(x)}	= st ⁡ ( f ( x + d x ) − f ( x ) d x ) {displaystyle =operatorname {st} left({frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}right)}
= st ⁡ ( x 2 + 2 x ⋅ d x + ( d x ) 2 − x 2 d x ) {displaystyle =operatorname {st} left({frac {x^{2}+2xcdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}right)}
= st ⁡ ( 2 x ⋅ d x + ( d x ) 2 d x ) {displaystyle =operatorname {st} left({frac {2xcdot dx+(dx)^{2}}{dx}}right)}
= st ⁡ ( 2 x ⋅ d x d x + ( d x ) 2 d x ) {displaystyle =operatorname {st} left({frac {2xcdot dx}{dx}}+{frac {(dx)^{2}}{dx}}right)}
= st ⁡ ( 2 x + d x ) {displaystyle =operatorname {st} left(2x+dxright)}
= 2 x {displaystyle =2x}

L’utilisation de la partie standard dans la définition de la dérivée est une alternative rigoureuse à la pratique traditionnelle consistant à négliger le carré ^{[ citation nécessaire ]} d’une quantité infinitésimale. Les nombres doubles sont un système de numération basé sur cette idée. Après la troisième ligne de la différenciation ci-dessus, la méthode typique de Newton au 19e siècle aurait été simplement de rejeter le terme dx ² . Dans le système hyperréel, dx ² ≠ 0, puisque dx est non nul, et le principe de transfert peut être appliqué à l’énoncé selon lequel le carré de tout nombre non nul est non nul. Cependant, la quantité dx ² est infiniment petite par rapport àdx ; c’est-à-dire que le système hyperréel contient une hiérarchie de quantités infinitésimales.

L’intégration

Une façon de définir une intégrale définie dans le système hyperréel est comme la partie standard d’une Somme infinie sur un réseau hyperfini défini comme a , a + dx , a + 2dx , …, a + ndx , où dx est infinitésimal, n est un Hypernaturel infini , et les bornes inférieure et supérieure d’intégration sont a et b = a + n dx. ^[3]

Propriétés

Les hyperréels * R forment un champ ordonné contenant les réels R comme sous-champ . Contrairement aux réels, les hyperréels ne forment pas un espace métrique standard , mais en vertu de leur ordre, ils portent une topologie d’ordre .

L’utilisation de l’article défini le dans l’expression les nombres hyperréels est quelque peu trompeuse dans la mesure où il n’y a pas de champ ordonné unique auquel il est fait référence dans la plupart des traitements. Cependant, un article de 2003 de Vladimir Kanovei et Saharon Shelah ^[4] montre qu’il existe une extension élémentaire définissable et dénombrable (c’est-à-dire ω-saturée , mais pas, bien sûr, dénombrable) des réels, qui a donc une bonne prétention à le titre des nombres hyperréels. De plus, le champ obtenu par la construction Ultrapuissance à partir de l’espace de toutes les séquences réelles, est unique à isomorphisme près si l’on suppose lahypothèse du continu .

La condition d’être un corps hyperréel est plus forte que celle d’être un corps réel fermé contenant strictement R . C’est aussi plus fort que celui d’être un Champ superréel au sens de Dales et Woodin . ^[5]

Développement

Les hyperréels peuvent être développés de manière axiomatique ou par des méthodes plus constructives. L’essence de l’approche axiomatique est d’affirmer (1) l’existence d’au moins un nombre infinitésimal, et (2) la validité du principe de transfert. Dans la sous-section suivante, nous donnons un aperçu détaillé d’une approche plus constructive. Cette méthode permet de construire les hyperréels si on lui donne un objet théorique des ensembles appelé ultrafiltre , mais l’ultrafiltre lui-même ne peut pas être explicitement construit.

De Leibniz à Robinson

Lorsque Newton et (plus explicitement) Leibniz ont introduit les différentiels, ils ont utilisé des infinitésimaux et ceux-ci étaient toujours considérés comme utiles par des mathématiciens ultérieurs tels qu’Euler et Cauchy . Néanmoins, ces concepts ont été dès le début considérés comme suspects, notamment par George Berkeley . La critique de Berkeley était centrée sur un changement d’hypothèse perçu dans la définition de la dérivée en termes d’infinitésimaux (ou fluxions), où dx est supposé non nul au début du calcul et disparaît à sa conclusion (voir Fantômes de quantités disparues pour plus de détails). Quand dans le calcul des années 1800a été mis sur une base solide grâce au développement de la définition (ε, δ) de la limite par Bolzano , Cauchy, Weierstrass et d’autres, les infinitésimaux ont été largement abandonnés, bien que la recherche dans des domaines non archimédiens se soit poursuivie (Ehrlich 2006).

Cependant, dans les années 1960, Abraham Robinson a montré comment les nombres infiniment grands et infinitésimaux peuvent être rigoureusement définis et utilisés pour développer le domaine de l’ analyse non standard . ^[6] Robinson a développé sa théorie de manière non constructive , en utilisant la théorie des modèles ; cependant, il est possible de procéder en utilisant uniquement l’algèbre et la topologie , et de prouver le principe de transfert en conséquence des définitions. En d’autres termes, les nombres hyperréels en soi, mis à part leur utilisation dans l’analyse non standard, n’ont pas de relation nécessaire avec la théorie des modèles ou la logique du premier ordre, bien qu’ils aient été découverts par l’application de techniques théoriques des modèles à partir de la logique. Les champs hyper-réels ont en fait été introduits à l’origine par Hewitt (1948) par des techniques purement algébriques, en utilisant une construction Ultrapuissance.

La construction ultrapuissante

Nous allons construire un champ hyperréel via des séquences de réels. ^[7] En fait, nous pouvons additionner et multiplier des séquences par composants ; par exemple:

( a 0 , a 1 , a 2 , … ) + ( b 0 , b 1 , b 2 , … ) = ( a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … ) {displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},ldots )=(a_{0}+b_ {0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},ldots )}

et de manière analogue pour la multiplication. Ceci transforme l’ensemble de telles séquences en un anneau commutatif , qui est en fait une algèbre réelle A. On a un plongement naturel de R dans A en identifiant le nombre réel r avec la suite ( r , r , r, …) et cette identification préserve les opérations algébriques correspondantes des réels. La motivation intuitive est, par exemple, de représenter un nombre infinitésimal en utilisant une séquence qui se rapproche de zéro. L’inverse d’une telle séquence représenterait un nombre infini. Comme nous le verrons plus loin, les difficultés surgissent en raison de la nécessité de définir des règles pour comparer de telles séquences d’une manière qui, bien qu’inévitablement quelque peu arbitraire, doit être cohérente et bien définie. Par exemple, nous pouvons avoir deux séquences qui diffèrent par leurs n premiers membres, mais qui sont ensuite égales ; de telles séquences doivent clairement être considérées comme représentant le même nombre hyperréel. De même, la plupart des séquences oscillent de manière aléatoirepour toujours, et nous devons trouver un moyen de prendre une telle séquence et de l’interpréter comme, disons, 7 + ε {displaystyle 7+epsilon} , où ε {displaystyle epsilon} est un certain nombre infinitésimal.

Comparer des séquences est donc délicat. On pourrait, par exemple, essayer de définir une relation entre séquences de manière composante par composante :

( a 0 , a 1 , a 2 , … ) ≤ ( b 0 , b 1 , b 2 , … ) ⟺ ( a 0 ≤ b 0 ) ∧ ( a 1 ≤ b 1 ) ∧ ( a 2 ≤ b 2 ) … {displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},ldots )leq (b_{0},b_{1},b_{2},ldots )iff (a_{0} leq b_{0})coin (a_{1}leq b_{1})coin (a_{2}leq b_{2})ldots }

mais ici nous rencontrons des problèmes, car certaines entrées de la première séquence peuvent être plus grandes que les entrées correspondantes de la seconde séquence, et d’autres peuvent être plus petites. Il s’ensuit que la relation ainsi définie n’est qu’un ordre partiel . Pour contourner ce problème, nous devons préciser quelles positions comptent. Puisqu’il existe une infinité d’indices, nous ne voulons pas que des ensembles finis d’indices aient de l’importance. Un choix cohérent d’ensembles d’indices importants est donné par tout ultrafiltre libre U sur les nombres naturels ; ceux-ci peuvent être caractérisés comme des ultrafiltres qui ne contiennent aucun ensemble fini. (La bonne nouvelle est que le lemme de Zorn garantit l’existence de nombreux U; la mauvaise nouvelle est qu’ils ne peuvent pas être construits explicitement.) Nous pensons que U distingue les ensembles d’indices qui “ont de l’importance” : nous écrivons ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , …) ≤ ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , …) si et seulement si l’ensemble des entiers naturels { n : a _n ≤ b _n } est dans U .

C’est un préordre total et il se transforme en ordre total si l’on s’accorde à ne pas distinguer deux séquences a et b si a ≤ b et b ≤ a . Avec cette identification, le corps ordonné *R des hyperréels est construit. D’un point de vue algébrique, U nous permet de définir un idéal maximal I correspondant dans l’anneau commutatif A (c’est-à-dire l’ensemble des suites qui s’annulent dans un élément de U ), puis de définir *R comme A / I; comme quotient d’un anneau commutatif par un idéal maximal, *R est un corps. Celle-ci est également notée A / U , directement en fonction de l’ultrafiltre libre U ; les deux sont équivalents. La maximalité de I découle de la possibilité, étant donné une suite a , de construire une suite b en inversant les éléments non nuls de a et en ne modifiant pas ses entrées nulles. Si l’ensemble sur lequel a s’annule n’est pas dans U , le produit ab est identifié par le chiffre 1, et tout idéal contenant 1 doit être A . Dans le champ résultant, cesa et b sont inverses.

Le champ A / U est une Ultrapuissance de R . Puisque ce corps contient R , il a au moins pour cardinal celui du continuum . Puisque A est de cardinal

( 2 א 0 ) א 0 = 2 א 0 2 = 2 א 0 , {displaystyle (2^{aleph _{0}})^{aleph _{0}}=2^{aleph _{0}^{2}}=2^{aleph _{0}} ,}

il n’est pas non plus plus grand que 2 א 0 {displaystyle 2^{aleph _{0}}} , et a donc le même cardinal que R .

Une question que l’on peut se poser est de savoir si, si l’on avait choisi un autre ultrafiltre libre V , le champ quotient A / U serait isomorphe en champ ordonné à A / V . Cette question s’avère équivalente à l’ hypothèse du continu ; dans ZFC avec l’hypothèse du continu, nous pouvons prouver que ce champ est unique jusqu’à l’ isomorphisme d’ordre , et dans ZFC avec la négation de l’hypothèse du continu, nous pouvons prouver qu’il existe des paires de champs non isomorphes d’ordre qui sont tous deux des ultrapuissances des réels indexées de manière dénombrable .

Pour plus d’informations sur cette méthode de construction, voir ultraproduct .

Une approche intuitive de la construction ultrapuissante

Ce qui suit est une manière intuitive de comprendre les nombres hyperréels. L’approche adoptée ici est très proche de celle du livre de Goldblatt . ^[8] Rappelons que les suites convergeant vers zéro sont parfois appelées infiniment petites. Ce sont presque les infinitésimaux en un sens; les vrais infinitésimaux incluent certaines classes de séquences qui contiennent une séquence convergeant vers zéro.

Voyons d’où viennent ces classes. Considérons d’abord les suites de nombres réels. Ils forment un anneau , c’est-à-dire qu’on peut les multiplier, les additionner et les soustraire, mais pas nécessairement diviser par un élément non nul. Les nombres réels sont considérés comme des suites constantes, la suite est nulle si elle est identiquement nulle, c’est-à-dire a _n = 0 pour tout n .

Dans notre anneau de suites on peut obtenir ab = 0 sans a = 0 ni b = 0. Ainsi, si pour deux suites a , b {displaystyle a,b} on a ab = 0, au moins l’un d’entre eux doit être déclaré nul. Étonnamment, il existe une manière cohérente de le faire. En conséquence, les classes d’équivalence de séquences qui diffèrent par une séquence déclarée nulle formeront un champ, appelé champ hyperréel . Il contiendra les infinitésimaux en plus des nombres réels ordinaires, ainsi que des nombres infiniment grands (les réciproques des infinitésimaux, y compris ceux représentés par des suites divergentes à l’infini). Aussi tout hyperréel qui n’est pas infiniment grand sera infiniment proche d’un réel ordinaire, c’est-à-dire qu’il sera la somme d’un réel ordinaire et d’un infinitésimal.

Cette construction est parallèle à la construction des réels à partir des rationnels donnée par Cantor . Il a commencé avec l’anneau des séquences de Cauchy des rationnels et a déclaré que toutes les séquences qui convergent vers zéro sont nulles. Le résultat est les réels. Pour continuer la construction des hyperréels, considérons les ensembles nuls de nos suites, c’est-à-dire les z ( a ) = { i : a i = 0 } {displaystyle z(a)={i:a_{i}=0}} , C’est, z ( a ) {displaystyle z(a)} est l’ensemble des indices i {displaystyle i} Pour qui a i = 0 {displaystyle a_{i}=0} . Il est clair que si a b = 0 {displaystyle ab=0} , alors l’union de z ( a ) {displaystyle z(a)} et z ( b ) {displaystyle z(b)} est N (l’ensemble de tous les nombres naturels), donc :

1. L’une des séquences qui s’annulent sur deux ensembles complémentaires doit être déclarée nulle
2. Si a {displaystyle a} est déclaré nul, a b {displaystyle ab} devrait être déclaré zéro aussi, quoi qu’il arrive b {displaystyle b} est.
3. Si les deux a {displaystyle a} et b {displaystyle b} sont déclarés nuls, alors a 2 + b 2 {displaystyle a^{2}+b^{2}} doit également être déclaré nul.

Maintenant, l’idée est de distinguer un groupe U de sous- ensembles X de N et de déclarer que a = 0 {displaystyle a=0} si et seulement si z ( a ) {displaystyle z(a)} appartient à U. D’après les conditions ci-dessus, on peut voir que:

1. De deux ensembles complémentaires l’un appartient à U
2. Tout ensemble ayant un sous-ensemble qui appartient à U , appartient également à U .
3. Une intersection de deux ensembles quelconques appartenant à U appartient à U .
4. Enfin, nous ne voulons pas que l’ ensemble vide appartienne à U car alors tout appartiendrait à U , car chaque ensemble a l’ensemble vide comme sous-ensemble.

Toute famille d’ensembles qui satisfait (2–4) s’appelle un filtre (un exemple : les compléments aux ensembles finis, il s’appelle le filtre de Fréchet et il est utilisé dans la théorie usuelle des limites). Si (1) est également vrai, U est appelé un ultrafiltre (car vous ne pouvez plus lui ajouter d’ensembles sans le casser). Le seul exemple explicitement connu d’un ultrafiltre est la famille d’ensembles contenant un élément donné (dans notre cas, disons, le nombre 10). De tels ultrafiltres sont dits triviaux, et si nous l’utilisons dans notre construction, nous revenons aux nombres réels ordinaires. Tout ultrafiltre contenant un ensemble fini est trivial. On sait que tout filtre peut être étendu à un ultrafiltre, mais la preuve utilise l’ axiome de choix. L’existence d’un ultrafiltre non trivial (le lemme de l’ultrafiltre ) peut être ajoutée comme axiome supplémentaire, car il est plus faible que l’axiome de choix.

Maintenant, si nous prenons un ultrafiltre non trivial (qui est une extension du filtre de Fréchet) et faisons notre construction, nous obtenons les nombres hyperréels en conséquence.

Si f {displaystyle f} est une fonction réelle d’une variable réelle x {style d’affichage x} alors f {displaystyle f} s’étend naturellement à une fonction hyperréelle d’une variable hyperréelle par composition :

f ( { x n } ) = { f ( x n ) } {displaystyle f({x_{n}})={f(x_{n})}}

où { … } {style d’affichage {points }} signifie “la classe d’équivalence de la séquence … { style d’affichage points } par rapport à notre ultrafiltre”, deux séquences étant dans la même classe si et seulement si le zéro de leur différence appartient à notre ultrafiltre.

Toutes les expressions et formules arithmétiques ont un sens pour les hyperréels et sont vraies si elles sont vraies pour les réels ordinaires. Il s’avère que tout fini (c’est-à-dire tel que | x | < a {displaystyle |x|<a} pour un réel ordinaire a {displaystyle a} ) hyperréel x {style d’affichage x} sera de la forme y + d {displaystyle y+d} où y {displaystyle y} est un réel ordinaire (appelé standard) et d {displaystyle d} est un infinitésimal. Elle peut être prouvée par la méthode de bissection utilisée dans la preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass, la propriété (1) des ultrafiltres s’avère cruciale.

Propriétés des nombres infinitésimaux et infinis

Les éléments finis F de *R forment un anneau local , et en fait un anneau de valuation , l’unique idéal maximal S étant les infinitésimaux ; le quotient F / S est isomorphe aux réels. Nous avons donc une application homomorphe , st( x ), de F à R dont le noyau est constitué des infinitésimaux et qui envoie chaque élément x de F à un nombre réel unique dont la différence de x est dans S ; c’est-à-dire qu’il est infinitésimal. Autrement dit, chaque fininombre réel non standard est “très proche” d’un nombre réel unique, en ce sens que si x est un réel non standard fini, alors il existe un et un seul nombre réel st( x ) tel que x – st( x ) est infinitésimal. Ce nombre st( x ) est appelé la partie standard de x , conceptuellement identique à x au nombre réel le plus proche . Cette opération est un homomorphisme préservant l’ordre et se comporte donc bien à la fois algébriquement et théoriquement. Il préserve l’ordre mais n’est pas isotonique ; c’est à dire x ≤ y {displaystyle xleq y} implique st ⁡ ( x ) ≤ st ⁡ ( y ) {displaystyle operatorname {st} (x)leq operatorname {st} (y)} , mais x < y {displaystyle x<y} n’implique pas st ⁡ ( x ) < st ⁡ ( y ) {displaystyle operatorname {st} (x)<operatorname {st} (y)} .

• On a, si x et y sont finis, st ⁡ ( x + y ) = st ⁡ ( x ) + st ⁡ ( y ) {displaystyle operatorname {st} (x+y)=operatorname {st} (x)+operatorname {st} (y)} st ⁡ ( x y ) = st ⁡ ( x ) st ⁡ ( y ) {displaystyle operatorname {st} (xy)=operatorname {st} (x)operatorname {st} (y)}
• Si x est fini et non infinitésimal. st ⁡ ( 1 / x ) = 1 / st ⁡ ( x ) {displaystyle operatorname {st} (1/x)=1/operatorname {st} (x)}
• x est réel si et seulement si st ⁡ ( x ) = x {displaystyle operatorname {st} (x)=x}

L’application st est continue par rapport à la topologie d’ordre sur les hyperréels finis ; en fait elle est localement constante .

Champs hyperréels

Supposons que X soit un espace de Tychonoff , également appelé espace T _3,5 , et que C( X ) soit l’algèbre des fonctions continues à valeurs réelles sur X . Supposons que M soit un idéal maximal dans C( X ). Alors l’ algèbre factorielle A = C( X )/ M est un corps totalement ordonné F contenant les réels. Si F contient strictement R alors M est appelé un idéal hyperréel (terminologie due à Hewitt (1948)) et F achamp hyperréel . Notez qu’aucune hypothèse n’est faite que la cardinalité de F est supérieure à R ; il peut en effet avoir la même cardinalité.

Un cas particulier important est celui où la topologie sur X est la topologie discrète ; dans ce cas X peut être identifié avec un nombre cardinal κ et C( X ) avec l’algèbre réelle R ^κ des fonctions de κ dans R . Les champs hyperréels que nous obtenons dans ce cas sont appelés ultrapuissances de R et sont identiques aux ultrapuissances construites via des ultrafiltres libres en théorie des modèles.

Voir également

• Portail des mathématiques

• Analyse constructive non standard
• Hyperentier – Un nombre hyperréel égal à sa propre partie entière
• Influence de l’analyse non standard
• Calcul non standard – Application moderne des infinitésimaux
• Champ fermé réel – Champ non algébriquement fermé dont l’extension par sqrt (–1) est algébriquement fermée
• Ligne réelle – Ligne qui représente les nombres réels
• Nombre surréaliste – Une généralisation des nombres réels – Les nombres surréalistes sont une classe de nombres beaucoup plus large, qui contient les hyperréels ainsi que d’autres classes de nombres non réels.

Références

1. ^ Hewitt (1948), p. 74, tel que rapporté dans Keisler (1994)
2. ↑ Bal, p. 31
3. ^ Keisler
4. ^ Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), “A definable nonstandard model of the reals” (PDF) , Journal of Symbolic Logic , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834 , archivé à partir de l’original ( PDF) le 2004-08-05 , récupéré le 2004-10-13
5. ^ Woodin, WH; Dales, HG (1996), Champs super-réels : champs totalement ordonnés avec structure supplémentaire , Oxford : Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9
6. ^ Robinson, Abraham (1996), Analyse non standard , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3. L’introduction classique à l’analyse non standard.
7. ^ Loeb, Peter A. (2000), “Une introduction à l’analyse non standard”, Analyse non standard pour le mathématicien travaillant , Math. Appl., vol. 510, Dordrecht : Kluwer Acad. Éditions, p. 1–95
8. ^ Goldblatt, Robert (1998), Conférences sur les hyperréels : une introduction à l’analyse non standard , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98464-3

Lectures complémentaires

• Ball, WW Rouse (1960), A Short Account of the History of Mathematics (4e éd. [Réimpression. Publication originale : Londres : Macmillan & Co., 1908] éd.), New York : Dover Publications, pp. 50–62 , ISBN 0-486-20630-0
• Hatcher, William S. (1982) “Le calcul est l’algèbre”, American Mathematical Monthly 89 : 362–370.
• Hewitt, Edwin (1948) Anneaux de fonctions continues à valeurs réelles . I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
• Jerison, Meyer; Gillman, Leonard (1976), Anneaux de fonctions continues , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90198-5
• Keisler, H. Jerome (1994) La ligne hyperréelle. Nombres réels, généralisations des réels et théories des continus, 207-237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Éd., Dordrecht.
• Kleinberg, Eugene M.; Henle, James M. (2003), Calcul infinitésimal , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-42886-4

Liens externes

• Crowell, Tournesol . Un texte utilisant des infinitésimaux.
• Hermoso, L’analyse non standard et les hyperréels . Une introduction en douceur.
• Keisler, Calcul élémentaire : une approche utilisant des infinitésimaux . Inclut un traitement axiomatique des hyperréels et est disponible gratuitement sous une licence Creative Commons
• Stroyan, Une brève introduction au calcul infinitésimal Conférence 1 Conférence 2 Conférence 3 ^{[ lien mort permanent ]}