Notation positionnelle

La notation positionnelle (ou notation de valeur de position , ou système numérique positionnel ) désigne généralement l’extension à n’importe quelle base du système numérique hindou-arabe (ou système décimal ). Plus généralement, un système positionnel est un système numérique dans lequel la contribution d’un chiffre à la valeur d’un nombre est la valeur du chiffre multipliée par un facteur déterminé par la position du chiffre. Dans les premiers systèmes numériques , tels que les chiffres romains , un chiffre n’a qu’une seule valeur : I signifie un, X signifie dix et C cent (cependant, la valeur peut être annulée si elle est placée avant un autre chiffre). Dans les systèmes de position modernes, tels que le système décimal, la position du chiffre signifie que sa valeur doit être multipliée par une certaine valeur : en 555, les trois symboles identiques représentent respectivement cinq centaines, cinq dizaines et cinq unités, en raison de leurs positions différentes dans la chaîne de chiffres.

Glossaire des termes utilisés dans les systèmes de numération positionnels

Le système numérique babylonien , base 60, a été le premier système de position à être développé, et son influence est présente aujourd’hui dans la façon dont le temps et les angles sont comptés dans les décomptes liés à 60, tels que 60 minutes dans une heure et 360 degrés dans un cercle. . Aujourd’hui, le système numérique hindou-arabe ( Base dix ) est le système le plus couramment utilisé dans le monde. Cependant, le Système numérique binaire (base deux) est utilisé dans presque tous les ordinateurs et appareils électroniques car il est plus facile à mettre en œuvre efficacement dans les circuits électroniques .

Des systèmes à base négative, à base complexe ou à chiffres négatifs ont été décrits. La plupart d’entre eux ne nécessitent pas de signe moins pour désigner les nombres négatifs.

L’utilisation d’un Point de base (point décimal en Base dix), s’étend pour inclure des fractions et permet de représenter n’importe quel nombre réel avec une précision arbitraire. Avec la notation positionnelle, les calculs arithmétiques sont beaucoup plus simples qu’avec n’importe quel système numérique plus ancien ; cela a conduit à la diffusion rapide de la notation lors de son introduction en Europe occidentale.

Histoire

Suanpan (le nombre représenté sur l’image est 6 302 715 408)

Aujourd’hui, le système de base 10 ( décimal ), qui est vraisemblablement motivé par le comptage avec les dix doigts , est omniprésent. D’autres bases ont été utilisées dans le passé, et certaines continuent d’être utilisées aujourd’hui. Par exemple, le système numérique babylonien , considéré comme le premier système numérique positionnel, était la base 60 . Cependant, il manquait un vrai Zéro . Initialement déduit uniquement du contexte, plus tard, vers 700 avant JC, le Zéro est devenu indiqué par un “espace” ou un “symbole de ponctuation” (comme deux coins inclinés) entre les chiffres. ^[1] C’était un espace réservéplutôt qu’un vrai Zéro car il n’était pas utilisé seul ou à la fin d’un nombre. Des nombres comme 2 et 120 (2 × 60) se ressemblaient car le plus grand nombre n’avait pas d’espace réservé final. Seul le contexte pouvait les différencier.

Le polymathe Archimède (vers 287-212 av. J.-C.) a inventé un système de position décimal dans son Sand Reckoner qui était basé sur 10 ^{8 [2]} et a ensuite conduit le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss à déplorer les sommets que la science aurait déjà atteints à son époque . si Archimède avait pleinement réalisé le potentiel de son ingénieuse découverte. ^[3]

Avant que la notation positionnelle ne devienne la norme, des systèmes additifs simples ( notation signe-valeur ) tels que les chiffres romains étaient utilisés, et les comptables de la Rome antique et du Moyen Âge utilisaient le boulier ou les compteurs de pierre pour faire de l’arithmétique. ^[4]

Chiffres chinois à tige ; Forme verticale de la rangée supérieure Forme
horizontale de la rangée inférieure

Les barres de comptage et la plupart des abaques ont été utilisés pour représenter des nombres dans un système de numération positionnel. Avec des réglettes à compter ou des abaques pour effectuer des opérations arithmétiques, l’écriture des valeurs de départ, intermédiaires et finales d’un calcul pourrait facilement se faire avec un simple système additif dans chaque position ou colonne. Cette approche ne nécessitait aucune mémorisation de tableaux (comme le fait la notation positionnelle) et pouvait produire rapidement des résultats pratiques.

Le système de notation de position existant le plus ancien est celui des chiffres à tige chinois , utilisés depuis au moins le début du 8ème siècle. Il n’est pas clair si ce système a été introduit depuis l’Inde ou s’il a été développé localement. Les Chiffres indiens proviennent des chiffres Brahmi d’environ le 3ème siècle avant JC, dont les symboles n’étaient, à l’époque, pas utilisés de manière positionnelle. Les Chiffres indiens médiévaux sont positionnels, tout comme les chiffres arabes dérivés , enregistrés à partir du 10ème siècle.

Après la Révolution française (1789-1799), le nouveau gouvernement français promeut l’extension du système décimal. ^[5] Certains de ces efforts pro-décimaux – tels que l’ heure décimale et le calendrier décimal – ont échoué. D’autres efforts français pro-décimaux – la décimalisation de la monnaie et la métrique des poids et mesures – se sont largement répandus hors de France dans presque le monde entier.

Histoire des fractions positionnelles

J. Lennart Berggren note que les fractions décimales positionnelles ont été utilisées pour la première fois par le mathématicien arabe Abu’l-Hasan al-Uqlidisi dès le 10ème siècle. ^[6] Le mathématicien juif Immanuel Bonfils a utilisé des fractions décimales vers 1350, mais n’a développé aucune notation pour les représenter. ^[7] Le mathématicien persan Jamshīd al-Kāshī a fait la même découverte des fractions décimales au XVe siècle. ^[6] Al Khwarizmi a introduit des fractions dans les pays islamiques au début du 9ème siècle ; sa présentation des fractions était similaire aux fractions mathématiques chinoises traditionnelles de Sunzi Suanjing . ^[8]Cette forme de fraction avec numérateur en haut et dénominateur en bas sans barre horizontale a également été utilisée par Abu’l-Hasan al-Uqlidisi du 10ème siècle et l’ouvrage “Clé arithmétique” de Jamshīd al-Kāshī du XVe siècle . ^{[8] [9]}

de la base b , qui peut aussi être négative. Par exemple, pour le système décimal, la base (et la base) est dix, car elle utilise les dix chiffres de 0 à 9. Lorsqu’un nombre « atteint » 9, le nombre suivant ne sera pas un autre symbole différent, mais un « 1 ». suivi d’un “0”. En binaire, la base est deux, car après avoir atteint “1”, au lieu de “2” ou d’un autre symbole écrit, elle saute directement à “10”, suivi de “11” et “100”.

Le symbole le plus élevé d’un système numérique positionnel a généralement la valeur un de moins que la valeur de la base de ce système numérique. Les systèmes numériques de position standard ne diffèrent les uns des autres que par la base qu’ils utilisent.

La base est un entier supérieur à 1, car une base de Zéro n’aurait aucun chiffre et une base de 1 n’aurait que le chiffre Zéro. Les bases négatives sont rarement utilisées. Dans un système avec plus de | b | {displaystyle |b|} chiffres uniques, les nombres peuvent avoir de nombreuses représentations possibles différentes.

Il est important que la base soit finie, d’où s’ensuit que le nombre de chiffres est assez faible. Sinon, la longueur d’un chiffre ne serait pas nécessairement logarithmique dans sa taille.

(Dans certains systèmes numériques positionnels non standard , y compris la numération bijective , la définition de la base ou des chiffres autorisés diffère de ce qui précède.)

Dans la notation positionnelle standard en Base dix (décimal), il y a dix chiffres décimaux et le nombre

5305 d e c = ( 5 × 10 3 ) + ( 3 × 10 2 ) + ( 0 × dix 1 ) + ( 5 × dix 0 ) {displaystyle 5305_{mathrm {déc}}=(5fois 10^{3})+(3fois 10^{2})+(0fois 10^{1})+(5fois 10 ^{0})} .

En base seize standard ( hexadécimal ), il y a les seize chiffres hexadécimaux (0–9 et A–F) et le nombre

14 B 9 h e x = ( 1 × 16 3 ) + ( 4 × 16 2 ) + ( B × 16 1 ) + ( 9 × 16 0 ) ( = 5305 d e c ) , {displaystyle 14mathrm {B} 9_{mathrm {hex}}=(1fois 16^{3})+(4fois 16^{2})+(mathrm {B} fois 16^ {1})+(9fois 16^{0})qquad (=5305_{mathrm {déc} }),}

où B représente le nombre onze sous la forme d’un seul symbole.

En général, en base – b , il y a b chiffres { d 1 , d 2 , ⋯ , d b } =: D {displaystyle {d_{1},d_{2},dotsb ,d_{b}}=:D} et le nombre

( a 3 a 2 a 1 a 0 ) b = ( a 3 × b 3 ) + ( a 2 × b 2 ) + ( a 1 × b 1 ) + ( a 0 × b 0 ) {displaystyle (a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}fois b^{3})+(a_{2}fois b^{ 2})+(a_{1}fois b^{1})+(a_{0}fois b^{0})}

possède ∀ k : a k ∈ D . {displaystyle forall kcolon a_{k}in D.} Noter que a 3 a 2 a 1 a 0 {displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}} représente une séquence de chiffres, pas une multiplication .

Notation

Lors de la description de la base en notation mathématique , la lettre b est généralement utilisée comme symbole pour ce concept, donc, pour un système binaire , b est égal à 2. Une autre façon courante d’exprimer la base est de l’écrire en indice décimal après le nombre qui est étant représenté (cette notation est utilisée dans cet article). 1111011 ₂ implique que le nombre 1111011 est un nombre en base 2, égal à 123 ₁₀ (une représentation en Notation décimale ), 173 ₈ ( octal ) et 7B ₁₆ ( hexadécimal). Dans les livres et les articles, lors de l’utilisation initiale des abréviations écrites des bases numériques, la base n’est pas imprimée par la suite : on suppose que le binaire 1111011 est le même que 1111011 ₂ .

La base b peut également être indiquée par la phrase « base- b ». Les nombres binaires sont donc “base-2” ; les nombres octaux sont “base-8” ; les nombres décimaux sont en “base 10” ; etc.

Pour une base b donnée , l’ensemble de chiffres {0, 1, …, b −2, b −1} est appelé l’ensemble standard de chiffres. Ainsi, les nombres binaires ont des chiffres {0, 1} ; les nombres décimaux ont des chiffres {0, 1, 2, …, 8, 9} ; etc. Par conséquent, les erreurs de notation suivantes sont : 52 ₂ , 2 ₂ , 1A ₉ . (Dans tous les cas, un ou plusieurs chiffres ne figurent pas dans l’ensemble des chiffres autorisés pour la base donnée.)

Exponentiation

Les systèmes numériques positionnels fonctionnent en utilisant l’exponentiation de la base. La valeur d’un chiffre est le chiffre multiplié par la valeur de sa place. Les valeurs de position sont le nombre de la base élevé à la puissance n, où n est le nombre d’autres chiffres entre un chiffre donné et le Point de base . Si un chiffre donné est du côté gauche du Point de base (c’est-à-dire que sa valeur est un entier ) alors n est positif ou nul ; si le chiffre est du côté droit du Point de base (c’est-à-dire que sa valeur est fractionnaire), alors n est négatif.

À titre d’exemple d’utilisation, le nombre 465 dans sa base b respective (qui doit être au moins en base 7 car le chiffre le plus élevé est 6) est égal à :

4 × b 2 + 6 × b 1 + 5 × b 0 {displaystyle 4fois b^{2}+6fois b^{1}+5fois b^{0}}

Si le nombre 465 était en base 10, alors il serait égal à :

4 × 10 2 + 6 × 10 1 + 5 × 10 0 = 4 × 100 + 6 × 10 + 5 × 1 = 465 {displaystyle 4fois 10^{2}+6fois 10^{1}+5fois 10^{0}=4fois 100+6fois 10+5fois 1=465}

(465 ₁₀ = 465 ₁₀ )

Si toutefois le nombre était en base 7, alors il serait égal à :

4 × 7 2 + 6 × 7 1 + 5 × 7 0 = 4 × 49 + 6 × 7 + 5 × 1 = 243 {displaystyle 4fois 7^{2}+6fois 7^{1}+5fois 7^{0}=4fois 49+6fois 7+5fois 1=243}

(465 ₇ = 243 ₁₀ )

10 _b = b pour toute base b , puisque 10 _b = 1× b ¹ + 0× b ⁰ . Par exemple, 10 ₂ = 2 ; 10 ₃ = 3 ; 10 ₁₆ = 16 ₁₀ . Notez que le dernier “16” est indiqué comme étant en base 10. La base ne fait aucune différence pour les chiffres à un chiffre.

Ce concept peut être illustré à l’aide d’un schéma. Un objet représente une unité. Lorsque le nombre d’objets est égal ou supérieur à la base b , alors un groupe d’objets est créé avec b objets. Lorsque le nombre de ces groupes dépasse b , alors un groupe de ces groupes d’objets est créé avec b groupes de b objets ; etc. Ainsi le même nombre dans différentes bases aura des valeurs différentes :

241 en base 5 : 2 groupes de 5 ² (25) 4 groupes de 5 1 groupe de 1 ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo + + o ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo 241 en base 8 : 2 groupes de 8 ² (64) 4 groupes de 8 1 groupe de 1 oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo + + o oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo

La notation peut être encore augmentée en autorisant un signe moins en tête. Cela permet la représentation des nombres négatifs. Pour une base donnée, chaque représentation correspond exactement à un nombre réel et chaque nombre réel a au moins une représentation. Les représentations des nombres rationnels sont les représentations qui sont finies, utilisent la notation à barres ou se terminent par un cycle de chiffres se répétant à l’infini.

Chiffres et chiffres

Un chiffre est un symbole utilisé pour la notation positionnelle, et un chiffre se compose d’un ou plusieurs chiffres utilisés pour représenter un nombre avec une notation positionnelle. Les chiffres les plus courants aujourd’hui sont les chiffres décimaux “0”, “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”, “7”, “8” et “9”. La distinction entre un chiffre et un chiffre est plus prononcée dans le contexte d’une base numérique.

Un chiffre différent de Zéro avec plus d’une position de chiffre signifiera un nombre différent dans une base numérique différente, mais en général, les chiffres signifieront la même chose. ^[12] Par exemple, le chiffre de base 8 23 ₈ contient deux chiffres, “2” et “3”, et avec un nombre de base (indice) “8”. Converti en base 10, le 23 ₈ équivaut à 19 ₁₀ , soit 23 ₈ = 19 ₁₀ . Dans notre notation ici, l’indice ” ₈ ” du chiffre 23 ₈ fait partie du chiffre, mais ce n’est pas toujours le cas.

Imaginez le chiffre “23” comme ayant un nombre de base ambigu . Alors “23” pourrait probablement être n’importe quelle base, à partir de la base 4. En base-4, le “23” signifie 11 ₁₀ , soit 23 ₄ = 11 ₁₀ . En base 60, le “23” désigne le nombre 123 ₁₀ , soit 23 ₆₀ = 123 ₁₀ . Le chiffre “23” correspond alors, dans ce cas, à l’ensemble des nombres en base 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , …, 121, 123} tandis que ses chiffres “2” et “3” conservent toujours leur sens d’origine : le “2” signifie “deux de”, et le “3” signifie “trois de”.

Dans certaines applications, lorsqu’un chiffre avec un nombre fixe de positions doit représenter un plus grand nombre, une base numérique plus élevée avec plus de chiffres par position peut être utilisée. Un nombre décimal à trois chiffres ne peut représenter que jusqu’à 999 . Mais si la base numérique est augmentée à 11, par exemple en ajoutant le chiffre “A”, alors les trois mêmes positions, maximisées à “AAA”, peuvent représenter un nombre aussi grand que 1330 . On pourrait encore augmenter la base numérique et attribuer “B” à 11, et ainsi de suite (mais il y a aussi un cryptage possible entre nombre et chiffre dans la hiérarchie nombre-chiffre-chiffre). Un chiffre à trois chiffres “ZZZ” en base 60 pourrait signifier215 999 . Si nous utilisons toute la collection de nos caractères Alphanumériques , nous pourrions finalement servir un système numérique en base 62 , mais nous supprimons deux chiffres, le “I” majuscule et le “O” majuscule, pour réduire la confusion avec les chiffres “1” et “0”. ^[13] Nous nous retrouvons avec un système numérique en base 60 ou sexagésimal utilisant 60 des 62 caractères Alphanumériques standard. (Mais voir Système sexagésimal ci-dessous.) En général, le nombre de valeurs possibles qui peuvent être représentées par un d {displaystyle d} nombre de chiffres en base r {displaystyle r} est r d {displaystyle r^{d}} .

Les systèmes numériques courants en informatique sont binaires (base 2), octaux (base 8) et hexadécimaux (base 16). En binaire, seuls les chiffres “0” et “1” sont dans les chiffres. Dans les chiffres octaux , sont les huit chiffres 0–7. Hex est 0–9 A–F, où les dix chiffres conservent leur sens habituel, et l’alphabet correspond aux valeurs 10–15, pour un total de seize chiffres. Le chiffre “10” est le chiffre binaire “2”, le chiffre octal “8” ou le chiffre hexadécimal “16”.

Point de base

La notation peut être étendue aux exposants négatifs de la base b . Ainsi, le soi-disant Point de base, principalement ».«, est utilisé comme séparateur des positions avec un non négatif de celles avec un exposant négatif.

Les nombres qui ne sont pas des entiers utilisent des emplacements au-delà du Point de base . Pour chaque position derrière ce point (et donc après le chiffre des unités), l’exposant n de la puissance b ⁿ diminue de 1 et la puissance tend vers 0. Par exemple, le nombre 2,35 est égal à :

2 × 10 0 + 3 × 10 − 1 + 5 × 10 − 2 {displaystyle 2fois 10^{0}+3fois 10^{-1}+5fois 10^{-2}}

Signe

Si la base et tous les chiffres de l’ensemble de chiffres sont non négatifs, les nombres négatifs ne peuvent pas être exprimés. Pour pallier à cela, un signe moins , ici »-«, est ajouté au système de numération. Dans la notation habituelle, il est ajouté au début de la chaîne de chiffres représentant le nombre autrement non négatif.

Conversion de base

Apprendre encore plus Cette section a besoin d’être agrandie . Vous pouvez aider en y ajoutant . ( mars 2017 )

La transformation en base b 2 {displaystyle b_{2}} d’un entier n représenté en base b 1 {displaystyle b_{1}} peut se faire par une succession de divisions euclidiennes par b 2 : {displaystyle b_{2} :} le chiffre le plus à droite dans la base b 2 {displaystyle b_{2}} est le reste de la division de n par b 2 ; {displaystyle b_{2};} le deuxième chiffre le plus à droite est le reste de la division du quotient par b 2 , {displaystyle b_{2},} etc. Le chiffre le plus à gauche est le dernier quotient. En général, le k ième chiffre à partir de la droite est le reste de la division par b 2 {displaystyle b_{2}} du ( k -1) ième quotient.

Par exemple : convertir A10B _Hex en décimal (41227) :

0xA10B/10 = 0x101A R : 7 (une place) 0x101A/10 = 0x19C R : 2 (dizaines) 0x19C/10 = 0x29 R : 2 (place des centaines) 0x29/10 = 0x4 R : 1 … 4

Lors de la conversion vers une base plus grande (comme du binaire au décimal), le reste représente b 2 {displaystyle b_{2}} comme un seul chiffre, en utilisant les chiffres de b 1 {displaystyle b_{1}} . Par exemple : conversion de 0b11111001 (binaire) en 249 (décimal) :

0b11111001/10 = 0b11000 R : 0b1001 (0b1001 = “9” pour une place) 0b11000/10 = 0b10 R : 0b100 (0b100 = “4” pour les dizaines) 0b10/10 = 0b0 R : 0b10 (0b10 = “2” pour les centaines)

Pour la partie fractionnaire , la conversion peut être effectuée en prenant des chiffres après le Point de base (le numérateur) et en le divisant par le dénominateur implicite dans la base cible. Une approximation peut être nécessaire en raison d’une possibilité de chiffres sans fin si le dénominateur de la fraction réduite a un facteur premier autre que l’un des facteurs premiers de la base à convertir. Par exemple, 0,1 en décimal (1/10) est 0b1/0b1010 en binaire, en divisant ceci dans cette base, le résultat est 0b0.0 0011 (car l’un des facteurs premiers de 10 est 5). Pour des fractions et des bases plus générales, voir l’ algorithme pour les bases positives .

En pratique, la méthode de Horner est plus efficace que la division répétée requise ci-dessus ^{[14] [ meilleure source nécessaire ]} . Un nombre en notation positionnelle peut être considéré comme un polynôme, où chaque chiffre est un coefficient. Les coefficients peuvent être supérieurs à un chiffre, donc un moyen efficace de convertir des bases consiste à convertir chaque chiffre, puis à évaluer le polynôme via la méthode de Horner dans la base cible. La conversion de chaque chiffre est une simple table de recherche , éliminant le besoin d’opérations coûteuses de division ou de module ; et la multiplication par x devient décalée vers la droite. Cependant, d’autres algorithmes d’évaluation polynomiale fonctionneraient également, comme la mise au carré répétée pour des chiffres uniques ou clairsemés. Exemple:

Convertir 0xA10B en 41227 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0) Tableau de recherche : 0x0 = 0 0x1 = 1 … 0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 Par conséquent, les chiffres décimaux de 0xA10B sont 10, 1, 0 et 11. Disposez les chiffres comme ceci. Le chiffre le plus significatif (10) est “supprimé”: 10 1 0 11 <- Chiffres de 0xA10B ————— dix Ensuite, nous multiplions le nombre inférieur de la base source (16), le produit est placé sous le chiffre suivant de la valeur source, puis ajoutons : 10 1 0 11 160 ————— 10 161 Répétez jusqu’à ce que l’ajout final soit effectué : 10 1 0 11 160 2576 41216 ————— 10 161 2576 41227 et c’est 41227 en décimal. Convertir 0b11111001 en 249 Tableau de recherche : 0b0 = 0 0b1 = 1 Résultat: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- Chiffres de 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ————————- 1 3 7 15 31 62 124 249

Fractions terminales

Les nombres qui ont une représentation finie forment le demi- anneau

N 0 b N 0 := { m b − ν ∣ m ∈ N 0 ∧ ν ∈ N 0 } . {displaystyle {frac {mathbb {N} _{0}}{b^{mathbb {N} _{0}}}} :=left{mb^{-nu }mid m dans mathbb {N} _{0}wedge nu in mathbb {N} _{0}right}.}

Plus explicitement, si p 1 ν 1 ⋅ … ⋅ p n ν n := b {displaystyle p_{1}^{nu _{1}}cdot ldots cdot p_{n}^{nu _{n}} :=b} est une factorisation de b {displaystyle b} dans les nombres premiers p 1 , … , p n ∈ P {displaystyle p_{1},ldots ,p_{n}in mathbb {P} } avec exposants ν 1 , … , ν n ∈ N {displaystyle nu _{1},ldots ,nu _{n}in mathbb {N} } , ^[15] puis avec l’ensemble non vide des dénominateurs S := { p 1 , … , p n } {displaystyle S :={p_{1},ldots ,p_{n}}} on a

Z S := { x ∈ Q | ∃ μ i ∈ Z : x ∏ i = 1 n p i μ i ∈ Z } = b Z Z = ⟨ S ⟩ − 1 Z {displaystyle mathbb {Z} _{S} :=left{xin mathbb {Q} left|,exists mu _{i}in mathbb {Z} :xprod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{mu _{i}}in mathbb {Z} right.right}=b^{mathbb {Z} } ,mathbb {Z} ={langle Srangle }^{-1}mathbb {Z} }

où ⟨ S ⟩ {displaystyle langle Srangle } est le groupe généré par le p ∈ S {displaystyle pin S} et ⟨ S ⟩ − 1 Z {displaystyle {langle Srangle }^{-1}mathbb {Z} } est la soi-disant localisation de Z {displaystyle mathbb {Z} } par rapport à S {displaystyle S} .

Le dénominateur d’un élément de Z S {displaystyle mathbb {Z} _{S}} contient, s’il est réduit aux termes les plus bas, uniquement des facteurs premiers parmi S {displaystyle S} . Cet anneau de toutes les fractions terminales à la base b {displaystyle b} est dense dans le domaine des nombres rationnels Q {displaystyle mathbb {Q}} . Sa complétion pour la métrique usuelle (d’Archimède) est la même que pour Q {displaystyle mathbb {Q}} , à savoir les nombres réels R {displaystyle mathbb {R} } . Donc si S = { p } {displaystyle S={p}} alors Z { p } {displaystyle mathbb {Z} _{{p}}} ne doit pas être confondu avec Z ( p ) {displaystyle mathbb {Z} _{(p)}} , l’ anneau de valorisation discret pour le nombre premier p {displaystyle p} , qui est égal à Z T {displaystyle mathbb {Z} _{T}} avec T = P ∖ { p } {displaystyle T=mathbb {P} setminus {p}} .

Si b {displaystyle b} divise c {displaystyle c} , on a b Z Z ⊆ c Z Z . {displaystyle b^{mathbb {Z} },mathbb {Z} subseteq c^{mathbb {Z} },mathbb {Z} .}

Représentations infinies

Apprendre encore plus Cette section ne cite aucune source . ( janvier 2013 ) Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (Learn how and when to remove this template message)

Nombres rationnels

La représentation des nombres non entiers peut être étendue pour permettre une chaîne infinie de chiffres au-delà du point. Par exemple, 1.12112111211112 … base-3 représente la somme de la série infinie :

1 × 3 0 + 1 × 3 − 1 + 2 × 3 − 2 + 1 × 3 − 3 + 1 × 3 − 4 + 2 × 3 − 5 + 1 × 3 − 6 + 1 × 3 − 7 + 1 × 3 − 8 + 2 × 3 − 9 + 1 × 3 − 10 + 1 × 3 − 11 + 1 × 3 − 12 + 1 × 3 − 13 + 2 × 3 − 14 + ⋯ {displaystyle {begin{array}{l}1fois 3^{0,,,}+{}\1fois 3^{-1,,}+2fois 3^ {-2,,,}+{}\1fois 3^{-3,,}+1fois 3^{-4,,,}+2fois 3^ {-5,,,}+{}\1fois 3^{-6,,}+1fois 3^{-7,,,}+1fois 3^ {-8,,,}+2fois 3^{-9,,,}+{}\1fois 3^{-10}+1fois 3^{-11} +1fois 3^{-12}+1fois 3^{-13}+2fois 3^{-14}+cdots end{tableau}}}

Puisqu’une chaîne infinie complète de chiffres ne peut pas être écrite explicitement, les points de suspension (…) désignent les chiffres omis, qui peuvent ou non suivre un modèle quelconque. Un modèle courant est lorsqu’une séquence finie de chiffres se répète à l’infini. Ceci est désigné en dessinant un vinculum sur le bloc répétitif :

2.42 314 ̄ 5 = 2.42314314314314314 … 5 {displaystyle 2.42{overline {314}}_{5}=2.42314314314314314points _{5}}

Il s’agit de la Notation décimale répétitive (pour laquelle il n’existe pas une seule notation ou formulation universellement acceptée). Pour la base 10, on parle de décimale répétitive ou de décimale récurrente.

Un nombre irrationnel a une représentation infinie non répétitive dans toutes les bases entières. Le fait qu’un nombre rationnel ait une représentation finie ou nécessite une représentation répétée infinie dépend de la base. Par exemple, un tiers peut être représenté par :

0.1 3 {displaystyle 0.1_{3}} 0. 3 ̄ 10 = 0.3333333 … 10 {displaystyle 0.{overline {3}}_{10}=0.3333333dots _{10}} ou, avec la base sous-entendue : 0. 3 ̄ = 0.3333333 … {displaystyle 0.{overline {3}}=0.3333333dots } (voir aussi 0.999… ) 0. 01 ̄ 2 = 0.010101 … 2 {displaystyle 0.{overline {01}}_{2}=0.010101dots _{2}} 0.2 6 {displaystyle 0.2_{6}}

Pour les entiers p et q avec pgcd ( p , q ) = 1, la fraction p / q a une représentation finie en base b si et seulement si chaque facteur premier de q est aussi un facteur premier de b .

Pour une base donnée, tout nombre pouvant être représenté par un nombre fini de chiffres (sans utiliser la notation barrée) aura plusieurs représentations, dont une ou deux représentations infinies :

1. Un nombre fini ou infini de zéros peut être ajouté : 3.46 7 = 3.460 7 = 3.460000 7 = 3.46 0 ̄ 7 {displaystyle 3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{overline {0}}_{7}} 2. Le dernier chiffre différent de Zéro peut être réduit de un et une chaîne infinie de chiffres, chacun correspondant à un de moins que la base, est ajouté (ou remplace tout chiffre Zéro suivant) : 3.46 7 = 3.45 6 ̄ 7 {displaystyle 3.46_{7}=3.45{overline {6}}_{7}} 1 10 = 0. 9 ̄ 10 {displaystyle 1_{10}=0.{overline {9}}_{10}qquad } (voir aussi 0.999… ) 220 5 = 214. 4 ̄ 5 {displaystyle 220_{5}=214.{overline {4}}_{5}} Nombres irrationnels

Un nombre irrationnel (réel) a une représentation infinie non répétitive dans toutes les bases entières.

Des exemples sont les n ièmes racines non résolubles

y = x n {displaystyle y={sqrt[{n}]{x}}}

avec y n = x {displaystyle y^{n}=x} et y ∉ Q , des nombres dits algébriques , ou des nombres comme

π , e {displaystyle pi ,e}

qui sont transcendants . Le nombre de transcendantaux est Indénombrable et la seule façon de les écrire avec un nombre fini de symboles est de leur donner un symbole ou une séquence finie de symboles.

Applications

Système décimal

Dans le système numérique décimal (base 10) hindou-arabe , chaque position en partant de la droite est une puissance supérieure de 10. La première position représente 10 ⁰ (1), la deuxième position 10 ¹ (10), la troisième position 10 ² ( 10 × 10 ou 100), la quatrième position 10 ³ ( 10 × 10 × 10 ou 1000), et ainsi de suite.

Les valeurs fractionnaires sont indiquées par un séparateur , qui peut varier selon les emplacements. Habituellement, ce séparateur est un point ou un point ou une virgule . Les chiffres à sa droite sont multipliés par 10 élevés à une puissance négative ou à un exposant. La première position à droite du séparateur indique ^10-1 ( 0,1), la deuxième position 10-2 ( ^0,01 ), et ainsi de suite pour chaque position successive.

Par exemple, le nombre 2674 dans un système de numération en base 10 est :

(2 × 10 ³ ) + (6 × 10 ² ) + (7 × 10 ¹ ) + (4 × 10 ⁰ )

ou alors

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

Système sexagésimal

Le système sexagésimal ou base 60 a été utilisé pour les parties intégrales et fractionnaires des Chiffres babyloniens et d’autres systèmes mésopotamiens, par les astronomes hellénistiques utilisant des chiffres grecs pour la partie fractionnaire uniquement, et est toujours utilisé pour l’heure et les angles modernes, mais seulement pour les minutes et secondes. Cependant, toutes ces utilisations n’étaient pas positionnelles.

L’époque moderne sépare chaque position par un deux-points ou un symbole premier . Par exemple, l’heure peut être 10:25:59 (10 heures 25 minutes 59 secondes). Les angles utilisent une notation similaire. Par exemple, un angle peut être de 10°25′59′′ (10 degrés 25 minutes 59 secondes ). Dans les deux cas, seules les minutes et les secondes utilisent la notation sexagésimale – les degrés angulaires peuvent être supérieurs à 59 (une rotation autour d’un cercle fait 360°, deux rotations font 720°, etc.), et le temps et les angles utilisent des fractions décimales de seconde . ^{[ citation nécessaire ]} Cela contraste avec les nombres utilisés par les astronomes hellénistiques et de la Renaissance , qui utilisaient des tiers ,quarts , etc. pour des incréments plus fins. Là où on aurait pu écrire 10°25′59.392′′ , ils auraient écrit 10°25 ′ {displaystyle scriptstyle {{}^{prime}}} 59 ′ ′ {displaystyle scriptstyle {{}^{prime prime}}} 23 ′ ′ ′ {displaystyle scriptstyle {{}^{prime prime prime}}} 31 ′ ′ ′ ′ {displaystyle scriptstyle {{}^{prime prime prime prime}}} 12 ′ ′ ′ ′ ′ {displaystyle scriptstyle {{}^{prime prime prime prime prime}}} ou 10°25 ⁱ 59 ⁱⁱ 23 ⁱⁱⁱ 31 ^iv 12 ^v .

L’utilisation d’un ensemble de chiffres avec des lettres majuscules et minuscules permet une notation courte pour les nombres sexagésimaux, par exemple 10:25:59 devient ‘ARz’ (en omettant I et O, mais pas i et o), ce qui est utile pour une utilisation dans les URL, etc., mais ce n’est pas très intelligible pour les humains.

Dans les années 1930, Otto Neugebauer a introduit un système de notation moderne pour les nombres babyloniens et hellénistiques qui remplace la Notation décimale moderne de 0 à 59 dans chaque position, tout en utilisant un point-virgule (;) pour séparer les parties intégrale et fractionnaire du nombre et en utilisant une virgule. (,) pour séparer les positions dans chaque portion. ^[16] Par exemple, le mois synodique moyen utilisé par les astronomes babyloniens et hellénistiques et toujours utilisé dans le calendrier hébreu est 29;31,50,8,20 jours, et l’angle utilisé dans l’exemple ci-dessus s’écrirait 10;25 ,59,23,31,12 degrés.

L’informatique

En informatique , les bases binaires (base 2), octales (base 8) et hexadécimales (base 16) sont les plus utilisées. Les ordinateurs, au niveau le plus élémentaire, ne traitent que des séquences de zéros et de uns conventionnels, il est donc plus facile dans ce sens de traiter des puissances de deux. Le système hexadécimal est utilisé comme “raccourci” pour le binaire – tous les 4 chiffres binaires (bits) se rapportent à un et un seul chiffre hexadécimal. En hexadécimal, les six chiffres après 9 sont désignés par A, B, C, D, E et F (et parfois a, b, c, d, e et f).

Le système de numérotation octal est également utilisé comme un autre moyen de représenter les nombres binaires. Dans ce cas, la base est 8 et donc seuls les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 sont utilisés. Lors de la conversion du binaire en octal, tous les 3 bits se rapportent à un et un seul chiffre octal.

L’hexadécimal, le décimal, l’octal et une grande variété d’autres bases ont été utilisées pour le codage binaire-texte , les implémentations de l’arithmétique à précision arbitraire et d’autres applications.

Pour une liste des bases et leurs applications, voir la liste des systèmes de numération .

Autres bases en langage humain

Les systèmes de base 12 ( duodécimal ou douzaine) ont été populaires parce que la multiplication et la division sont plus faciles qu’en base 10, l’addition et la soustraction étant tout aussi faciles. Douze est une base utile car elle comporte de nombreux facteurs . C’est le plus petit commun multiple de un, deux, trois, quatre et six. Il existe encore un mot spécial pour “douzaine” en anglais, et par analogie avec le mot pour 10 ² , cent , le commerce a développé un mot pour 12 ² , gross . L’horloge standard de 12 heures et l’utilisation courante de 12 en unités anglaises soulignent l’utilité de la base. De plus, avant sa conversion en décimal, l’ancienne monnaie britannique la livre sterling (GBP) était partiellementutilisé la base-12 ; il y avait 12 pence (d) dans un shilling (s), 20 shillings dans une livre (£), et donc 240 pence dans une livre. D’où le terme LSD ou, plus exactement, £sd .

La civilisation maya et d’autres civilisations de la Méso – Amérique précolombienne utilisaient la base 20 ( vigésimal ), tout comme plusieurs tribus nord-américaines (deux étant dans le sud de la Californie). On trouve également des preuves de systèmes de comptage en base 20 dans les langues d’ Afrique centrale et occidentale .

Des vestiges d’un système gaulois de base 20 existent également en français, comme on le voit aujourd’hui dans les noms des nombres de 60 à 99. Par exemple, soixante-cinq est soixante-cinq (littéralement, “soixante [et] cinq”), tandis que soixante-quinze est soixante-quinze (littéralement, “soixante [et] quinze”). De plus, pour tout nombre compris entre 80 et 99, le nombre “dizaines” est exprimé sous la forme d’un multiple de vingt. Par exemple, quatre-vingt-deux est quatre-vingt-deux (littéralement, quatre vingt [s] [et] deux), tandis que quatre-vingt-douze est quatre-vingt-douze (littéralement, quatre vingt [s] [et] douze). En ancien français, quarante était exprimé par deux vingt et soixante par trois vingt, de sorte que cinquante-trois était exprimé par deux vingt [et] treize, et ainsi de suite.

En anglais, le même comptage en base 20 apparaît dans l’utilisation des « scores ». Bien que principalement historique, il est parfois utilisé familièrement. Le verset 10 du Pslam 90 dans la version King James de la Bible commence: “Les jours de nos années sont soixante ans et dix; et si, en raison de leur force, ils durent quatre-vingts ans, leur force est travail et douleur”. L’adresse de Gettysburg commence : “Il y a quatre vingt ans et sept ans”.

La langue irlandaise utilisait également la base 20 dans le passé, vingt étant fichid , quarante dhá fhichid , soixante trí fhichid et quatre-vingts ceithre fhichid . Un vestige de ce système peut être vu dans le mot moderne pour 40, daoichead .

La langue galloise continue d’utiliser un système de comptage en base 20 , en particulier pour l’âge des personnes, les dates et les expressions courantes. 15 est également important, 16–19 étant “un sur 15”, “deux sur 15”, etc. 18 est normalement “deux neuf”. Un système décimal est couramment utilisé.

Les langues inuit utilisent un système de comptage en base 20 . Des étudiants de Kaktovik, en Alaska, ont inventé un système de numération en base 20 en 1994 ^[17]

Les chiffres danois affichent une structure similaire en base 20 .

La langue maorie de Nouvelle-Zélande a également des preuves d’un système de base 20 sous-jacent, comme le montrent les termes Te Hokowhitu a Tu faisant référence à un parti de guerre (littéralement “les sept 20 de Tu”) et Tama-hokotahi , faisant référence à un grand guerrier. (“le seul homme égal à 20”).

Le système binaire était utilisé dans l’Ancien Empire égyptien, de 3000 avant JC à 2050 avant JC. Il était cursif en arrondissant les nombres rationnels inférieurs à 1 à 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 , avec un terme 1/64 jeté (le système s’appelait le Oeil d’Horus ).

Un certain nombre de langues aborigènes australiennes utilisent des systèmes de comptage binaires ou de type binaire. Par exemple, dans Kala Lagaw Ya , les nombres un à six sont urapon , ukasar , ukasar-urapon , ukasar-ukasar , ukasar-ukasar-urapon , ukasar-ukasar-ukasar .

Les indigènes d’Amérique du Nord et d’Amérique centrale utilisaient la base 4 ( quaternaire ) pour représenter les quatre directions cardinales. Les mésoaméricains avaient tendance à ajouter un deuxième système de base 5 pour créer un système de base 20 modifié.

Un système de base 5 ( quinaire ) a été utilisé dans de nombreuses cultures pour compter. Il est simplement basé sur le nombre de chiffres sur une main humaine. Il peut également être considéré comme une sous-base d’autres bases, telles que la base-10, la base-20 et la Base-60.

Un système de base 8 ( octal ) a été conçu par la tribu Yuki du nord de la Californie, qui utilisait les espaces entre les doigts pour compter, correspondant aux chiffres un à huit. ^[18] Il existe également des preuves linguistiques qui suggèrent que les Européens proto-indo de l’âge du bronze (dont descendent la plupart des langues européennes et indiennes) auraient pu remplacer un système de base 8 (ou un système qui ne pouvait compter que jusqu’à 8) par un système base 10. La preuve est que le mot pour 9, newm , est suggéré par certains comme dérivé du mot pour “nouveau”, newo- , suggérant que le nombre 9 a été récemment inventé et appelé le “nouveau nombre”. ^[19]

De nombreux anciens systèmes de comptage utilisent cinq comme base principale, provenant presque certainement du nombre de doigts sur la main d’une personne. Souvent ces systèmes sont complétés par une base secondaire, parfois dix, parfois vingt. Dans certaines langues africaines, le mot pour cinq est le même que “main” ou “poing” ( langue Dyola de Guinée-Bissau , langue Banda d’ Afrique centrale ). Le comptage se poursuit en ajoutant 1, 2, 3 ou 4 aux combinaisons de 5, jusqu’à ce que la base secondaire soit atteinte. Dans le cas de vingt ans, ce mot signifie souvent “homme complet”. Ce système est appelé quinquavigésimal . On le trouve dans de nombreuses langues de la région du Soudan .

La langue Telefol , parlée en Papouasie-Nouvelle-Guinée , est remarquable pour posséder un système de numération en base 27.

Systèmes numériques de position non standard

Des propriétés intéressantes existent lorsque la base n’est pas fixe ou positive et lorsque les ensembles de symboles numériques indiquent des valeurs négatives. Il existe de nombreuses autres variantes. Ces systèmes ont une valeur pratique et théorique pour les informaticiens.

Le ternaire équilibré ^[20] utilise une base de 3 mais le jeu de chiffres est { 1 ,0,1} au lieu de {0,1,2}. Le ” 1 ” a une valeur équivalente de −1. La négation d’un nombre se forme facilement en inversant les 1. Ce système peut être utilisé pour résoudre le problème d’équilibre , qui nécessite de trouver un ensemble minimal de contrepoids connus pour déterminer un poids inconnu. Les poids de 1, 3, 9, … 3 ⁿ unités connues peuvent être utilisés pour déterminer tout poids inconnu jusqu’à 1 + 3 + … + 3 ⁿ unités. Un poids peut être utilisé de chaque côté de la balance ou pas du tout. Les poids utilisés sur le plateau de la balance avec le poids inconnu sont désignés par 1, avec 1 si utilisé sur le plateau vide, et avec 0 s’il n’est pas utilisé. Si un poids inconnu W est équilibré avec 3 (3 ¹ ) sur son plateau et 1 et 27 (3 ⁰ et 3 ³ ) sur l’autre, alors son poids en décimal est 25 ou 10 1 1 en base-3 équilibrée.

10 1 1 ₃ = 1 × 3 ³ + 0 × 3 ² − 1 × 3 ¹ + 1 × 3 ⁰ = 25.

Le système de numération factorielle utilise une base variable, donnant des factorielles comme valeurs de position ; ils sont liés au théorème des restes chinois et aux énumérations du système de numération des résidus . Ce système énumère efficacement les permutations. Un dérivé de celui-ci utilise la configuration du puzzle des tours de Hanoï comme système de comptage. La configuration des tours peut être mise en correspondance 1 pour 1 avec le nombre décimal de l’étape à laquelle la configuration se produit et vice versa.

Équivalents décimaux	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Assiette équilibrée 3	1 0	1 1	1	0	1	1 1	dix	11	1 1 1	1 1 0	1 1 1	10 1
Socle −2	1101	dix	11	0	1	110	111	100	101	11010	11011	11000
Factoroïde	0	dix	100	110	200	210	1000	1010	1100

Postes sans poste

Chaque position n’a pas besoin d’être positionnelle elle-même. Les chiffres sexagésimaux babyloniens étaient positionnels, mais dans chaque position se trouvaient des groupes de deux types de coins représentant des uns et des dizaines (un coin vertical étroit ( | ) et un coin ouvert pointant vers la gauche (<)) – jusqu’à 14 symboles par position (5 dizaines ( <<<<<) et 9 uns ( ||||||||| ) regroupés en un ou deux carrés proches contenant jusqu’à trois rangées de symboles, ou un espace réservé (\) en l’absence de position) .^[21] Les astronomes hellénistiques utilisaient un ou deux chiffres grecs alphabétiques pour chaque position (un choisi parmi 5 lettres représentant 10–50 et/ou un choisi parmi 9 lettres représentant 1–9, ou un symbole Zéro ). ^[22]

Voir également

Exemples:

• Liste des systèmes de numération
• Catégorie:Systèmes de numération positionnelle

Rubriques connexes:

• Algorisme
• Système numérique hindou-arabe
• Base mixte
• Systèmes numériques de position non standard
• Système numérique
• Notation scientifique

Autre:

• Chiffres significatifs

Remarques

1. ^ Kaplan, Robert (2000). Le rien qui est : une histoire naturelle du Zéro . Oxford : presse universitaire d’Oxford. pp. 11–12 – via archive.org.
2. ^ “Chiffres grecs” . Archivé de l’original le 26 novembre 2016 . Récupéré le 31 mai 2016 .
3. ^ Menninger, Karl : Zahlwort et Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl , Vandenhoeck et Ruprecht, 3e. éd., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , pp. 150–153
4. ^ Ifra, page 187
5. ^ LF Menabrea. Traduit par Ada Augusta, comtesse de Lovelace. “Esquisse du moteur analytique inventé par Charles Babbage” Archivé le 15 septembre 2008 à la Wayback Machine . 1842.
6. ^ ^{un b} Berggren, J. Lennart (2007). “Mathématiques dans l’islam médiéval”. Les mathématiques de l’Égypte, de la Mésopotamie, de la Chine, de l’Inde et de l’islam : un livre source . Presse universitaire de Princeton. p. 518.ISBN _ 978-0-691-11485-9.
7. ↑ Gandz, S. : L’invention des fractions décimales et l’application du calcul exponentiel par Immanuel Bonfils de Tarascon (vers 1350), Isis 25 (1936), 16–45.
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9. ^ Lay Yong, Lam . “Une genèse chinoise, réécrivant l’histoire de notre système numérique”. Archive pour l’histoire des sciences exactes . 38 : 101–108.
10. ^ BL van der Waerden (1985). Une histoire de l’algèbre. De Khwarizmi à Emmy Noether . Berlin : Springer Verlag.
11. ^ ^{un bc EJ} Dijksterhuis (1970) Simon Stevin: Science aux Pays-Bas vers 1600 , Martinus Nijhoff Publishers , original néerlandais 1943
12. ^ Le chiffre conservera sa signification dans d’autres bases de nombres, en général, car une base de nombres plus élevée serait normalement une extension notationnelle de la base de nombres inférieure dans toute organisation systématique. Dans les sciences mathématiques, il n’y a pratiquement qu’un seul système numérique de notation de position pour chaque base inférieure à 10, et cela s’étend avec peu de variations, bien qu’insignifiantes, sur le choix des chiffres alphabétiques pour les bases supérieures à 10.
13. ^ Nous negénéralement pas les chiffres minuscules “l” et “o” minuscules, car dans la plupart des polices, ils sont discernables à partir des chiffres “1” et “0”.
14. ^ Utilisateur ‘Parti’. “Systèmes de numération – Comment passer de la base $n$ à $m$” . Échange de pile de mathématiques . Récupéré le 6 août 2020 . {{cite web}}: |last1=a un nom générique ( aide )
15. ^ La taille exacte du ν 1 , … , ν n {displaystyle nu _{1},ldots ,nu _{n}} n’a pas d’importance. Ils doivent seulement être ≥ 1.
16. ^ Neugebauer, Otto ; Sachs, Abraham Joseph ; Götze, Albrecht (1945), Textes cunéiformes mathématiques , American Oriental Series, vol. 29, New Haven : American Oriental Society et les écoles américaines de recherche orientale, p. 2, archivé de l’original le 1er octobre 2016 , récupéré le 18 septembre 2019
17. ^ Bartley, Wm. Clark (janvier-février 1997). “Faire en sorte que l’ancienne méthode compte” (PDF) . Partageons nos parcours . 2 (1) : 12-13. Archivé (PDF) de l’original le 25 juin 2013 . Récupéré le 27 février 2017 .
18. ^ Barrow, John D. (1992), Pi dans le ciel : compter, penser et être , Clarendon Press, p. 38, ISBN 9780198539568.
19. ^ (Mallory & Adams 1997) Encyclopédie de la culture indo-européenne
20. ^ Knuth , pages 195-213
21. ^ Ifra, pages 326, 379
22. ^ Ifrah, pages 261-264

Références

• O’Connor, John; Robertson, Edmund (décembre 2000). “Chiffres babyloniens” . Archivé de l’original le 11 septembre 2014 . Récupéré le 21 août 2010 .
• Kadvany, John (décembre 2007). “Valeur positionnelle et récursivité linguistique”. Journal de philosophie indienne . 35 (5–6) : 487–520. doi : 10.1007/s10781-007-9025-5 . S2CID 52885600 .
• Knuth, Donald (1997). L’art de la programmation informatique . Vol. 2. Addison-Wesley. p. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
• Ifra, George (2000). L’histoire universelle des nombres : de la préhistoire à l’invention de l’ordinateur . Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
• Kroeber, Alfred (1976) [1925]. Manuel des Indiens de Californie . Courrier Douvres Publications. p. 176. ISBN 9780486233680.

Liens externes

Wikimedia Commons a des médias liés aux systèmes numériques positionnels .

• Conversion de base précise
• Le développement de l’arithmétique arabe hindoue et chinoise traditionnelle
• Mise en œuvre de la conversion de base au cut-the-knot
• Apprenez à compter d’autres bases sur vos doigts
• Convertisseur de base de précision arbitraire en ligne