Nombre transcendantal

En mathématiques , un nombre transcendantal est un nombre qui n’est pas algébrique , c’est-à-dire qui n’est pas la racine d’un polynôme non nul de degré fini à coefficients rationnels . Les nombres transcendantaux les plus connus sont π et e . ^{[1] [2]}

Bien que seules quelques classes de nombres transcendantaux soient connues – en partie parce qu’il peut être extrêmement difficile de montrer qu’un nombre donné est transcendantal – les nombres transcendantaux ne sont pas rares. En effet, presque tous les Nombres réels et complexes sont transcendants, puisque les nombres algébriques constituent un ensemble Dénombrable , tandis que l’ ensemble des Nombres réels et l’ensemble des nombres complexes sont tous deux des ensembles indénombrables , et donc plus grands que tout ensemble Dénombrable. Tous les Nombres réels transcendantaux (également appelés Nombres réels transcendantaux ou nombres irrationnels transcendantaux ) sont des nombres irrationnels, puisque tous les nombres rationnels sont algébriques. ^{[3] [4] [5] [6]} L’ inverse n’est pas vrai : tous les nombres irrationnels ne sont pas transcendantaux. Par conséquent, l’ensemble des Nombres réels se compose de Nombres réels rationnels, algébriques non rationnels et transcendantaux non superposés. ^[3] Par exemple, la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel, mais ce n’est pas un nombre transcendant car c’est Une racine de l’équation polynomiale x ² − 2 = 0 . Le nombre d’or (noté φ {displaystylevarphi } ou alors φ {displaystylephi } ) est un autre nombre irrationnel qui n’est pas transcendant, car c’est Une racine de l’équation polynomiale x ² − x − 1 = 0 . La qualité d’un nombre étant transcendantal s’appelle la transcendance .

Histoire

Le nom “transcendantal” vient du latin transcendĕre “monter au-dessus ou au-delà, surmonter”, ^[7] et a été utilisé pour la première fois pour le concept mathématique dans l’article de Leibniz de 1682 dans lequel il a prouvé que sin x n’est pas Une fonction algébrique de x . ^{[8] [9]} Euler , au 18ème siècle, était probablement la première personne à définir les nombres transcendants au sens moderne. ^[dix]

Johann Heinrich Lambert a conjecturé que e et π étaient tous deux des nombres transcendantaux dans son article de 1768 prouvant que le nombre π est irrationnel et a proposé Une esquisse provisoire d’Une preuve de la transcendance de π . ^[11]

Joseph Liouville a d’abord prouvé l’existence des nombres transcendantaux en 1844, ^[12] et en 1851 a donné les premiers exemples décimaux tels que la constante de Liouville

L b = ∑ n = 1 ∞ 10 − n ! = 10 − 1 + 10 − 2 + 10 − 6 + 10 − 24 + 10 − 120 + 10 − 720 + 10 − 5040 + 10 − 40320 + … = 0. 1 1 000 1 00000000000000000 1 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 … {displaystyle {begin{aligned}L_{b}&=sum _{n=1}^{infty }10^{-n!}\&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+ldots \&=0.{textbf {1}}{textbf {1}}000{textbf {1}}00000000000000000{textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000ldots \end{aligned}}}

dans laquelle le n ième chiffre après la virgule est 1 si n est égal à k ! ( k factorielle ) pour certains k et 0 sinon. ^[13] En d’autres termes, le n ième chiffre de ce nombre est 1 uniquement si n est l’un des nombres 1 ! = 1, 2 ! = 2, 3 ! = 6, 4 ! = 24 , etc. Liouville a montré que ce nombre appartient à Une classe de nombres transcendantaux qui peuvent être plus étroitement approximés par des nombres rationnels que n’importe quel nombre algébrique irrationnel, et cette classe de nombres est appelée nombres de Liouville, nommé en son honneur. Liouville a montré que tous les nombres de Liouville sont transcendantaux. ^[14]

Le premier nombre à être prouvé transcendantal sans avoir été spécifiquement construit dans le but de prouver l’existence des nombres transcendantaux fut e , par Charles Hermite en 1873.

En 1874, Georg Cantor a prouvé que les nombres algébriques sont dénombrables et que les Nombres réels sont indénombrables. Il a également donné Une nouvelle méthode pour construire des nombres transcendantaux. ^{[15] [16]} Bien que cela ait déjà été impliqué par sa preuve de la dénombrabilité des nombres algébriques, Cantor a également publié Une construction qui prouve qu’il y a autant de nombres transcendantaux qu’il y a de Nombres réels. ^[17] Le travail de Cantor a établi l’ubiquité des nombres transcendantaux.

En 1882, Ferdinand von Lindemann publie la première preuve complète de la transcendance de π . Il a d’abord prouvé que e ^a est transcendant si a est un nombre algébrique non nul. Alors, puisque e ^{i π} = −1 est algébrique (voir l’identité d’Euler ), i π doit être transcendant. Mais puisque i est algébrique, π doit donc être transcendantal. Cette approche a été généralisée par Karl Weierstrass à ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème de Lindemann-Weierstrass . La transcendance de πa permis de prouver l’impossibilité de plusieurs constructions géométriques anciennes faisant appel au compas et à la règle , dont la plus célèbre, la quadrature du cercle .

En 1900, David Hilbert a posé Une question influente sur les nombres transcendantaux, le septième problème de Hilbert : Si a est un nombre algébrique qui n’est ni Zéro ni un, et b est un nombre algébrique irrationnel , est -ce que a ^b est nécessairement transcendantal ? La réponse affirmative a été fournie en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider . Ce travail a été étendu par Alan Baker dans les années 1960 dans son travail sur les bornes inférieures pour les formes linéaires dans n’importe quel nombre de logarithmes (de nombres algébriques). ^[18]

Propriétés

Un nombre transcendantal est un nombre (éventuellement complexe) qui n’est la racine d’ aucun polynôme entier, ce qui signifie qu’il ne s’agit pas d’un nombre algébrique d’aucun degré. Tout nombre transcendantal réel doit aussi être irrationnel , puisqu’un nombre rationnel est, par définition, un nombre algébrique de degré un. L’ensemble des nombres transcendantaux est Indénombrable infini . Puisque les polynômes à coefficients rationnels sont dénombrables , et puisque chacun de ces polynômes a un nombre fini de zéros , les nombres algébriques doivent également être dénombrables. Cependant, l’argument diagonal de Cantor prouve que les Nombres réels (et donc aussi lesles nombres complexes ) sont indénombrables. Puisque les Nombres réels sont l’union des nombres algébriques et transcendants, il est impossible que les deux sous- ensembles soient dénombrables. Cela rend les nombres transcendantaux indénombrables.

Aucun nombre rationnel n’est transcendantal et tous les nombres transcendantaux réels sont irrationnels. Les nombres irrationnels contiennent tous les nombres transcendantaux réels et un sous-ensemble des nombres algébriques, y compris les irrationnels quadratiques et d’autres formes d’irrationnels algébriques.

Toute fonction algébrique non constante d’Une seule variable donne Une valeur transcendantale lorsqu’elle est appliquée à un argument transcendantal. Par exemple, sachant que π est transcendant, on en déduit immédiatement que des nombres tels que 5 π ,π -3/√ 2, ( √ π – √ 3 ) ⁸ , et ⁴ √ π ⁵ +7 sont également transcendants.

Cependant, Une fonction algébrique de plusieurs variables peut donner un nombre algébrique lorsqu’elle est appliquée à des nombres transcendants si ces nombres ne sont pas algébriquement indépendants . Par exemple, π et (1 − π ) sont tous deux transcendantaux, mais π + (1 − π ) = 1 ne l’est évidemment pas. On ne sait pas si e + π , par exemple, est transcendantal, bien qu’au moins l’un de e + π et eπ doive être transcendantal. Plus généralement, pour deux nombres transcendants a et b , au moins un parmi a +b et ab doivent être transcendants. Pour le voir, considérons le polynôme ( x − a )( x − b ) = x ² − ( a + b ) x + ab . Si ( a + b ) et ab étaient tous deux algébriques, alors ce serait un polynôme à coefficients algébriques. Parce que les nombres algébriques forment un champ algébriquement clos , cela impliquerait que les racines du polynôme, a et b, doit être algébrique. Mais c’est Une contradiction, et donc il faut qu’au moins un des coefficients soit transcendantal.

Les nombres non calculables sont un sous- ensemble strict des nombres transcendantaux.

Tous les nombres de Liouville sont transcendantaux, mais pas l’inverse. Tout nombre de Liouville doit avoir des quotients partiels illimités dans son développement en fraction continue . En utilisant un argument de comptage, on peut montrer qu’il existe des nombres transcendantaux qui ont des quotients partiels bornés et qui ne sont donc pas des nombres de Liouville.

En utilisant le développement en fraction continue explicite de e , on peut montrer que e n’est pas un nombre de Liouville (bien que les quotients partiels dans son développement en fraction continue soient illimités). Kurt Mahler a montré en 1953 que π n’est pas non plus un nombre de Liouville. On suppose que toutes les fractions continues infinies avec des termes bornés qui ne sont pas éventuellement périodiques sont transcendantales (les fractions continues éventuellement périodiques correspondent à des irrationnels quadratiques). ^[19]

Les nombres se sont révélés transcendantaux

Les nombres se sont avérés transcendantaux :

• e ^a siaestalgébriqueet non nul (par lethéorème de Lindemann–Weierstrass).
• π (par le théorème de Lindemann-Weierstrass ).
• e ^π , la constante de Gelfond , ainsi que e ^{− π /2} = i ⁱ (par le théorème de Gelfond–Schneider ).
• a ^b où a est algébrique mais pas 0 ou 1, et b est algébrique irrationnel (par le théorème de Gelfond-Schneider), en particulier :

2 ^{√ 2} , la constante de Gelfond–Schneider (ou nombre de Hilbert)

• sin a , cos a , tan a , csc a , sec a et cot a , et leurs homologues hyperboliques , pour tout nombre algébrique non nul a , exprimé en radians (par le théorème de Lindemann-Weierstrass).
• Le point fixe de la fonction cosinus (également appelé nombre de Dottie d ) – la solution réelle unique de l’équation cos x = x , où x est en radians (par le théorème de Lindemann-Weierstrass). ^[20]
• En a si a est algébrique et différent de 0 ou 1, pour toute branche de la fonction logarithme (par le théorème de Lindemann-Weierstrass).
• log _b a si a et b sont des entiers positifs et non les deux puissances du même entier (par le théorème de Gelfond-Schneider).
• La fonction de Bessel J _ν ( x ) , sa dérivée première et le quotient J’ _ν ( x )/J _ν ( x )sont transcendantes lorsque ν est rationnel et x est algébrique et non nul, ^[21] et toutes les racines non nulles de J _ν (x) et J ‘ _ν (x) sont transcendantes lorsque ν est rationnel. ^[22]
• W ( a )siaest algébrique et non nul, pour toute branche de la Fonction Lambert W (par le théorème de Lindemann–Weierstrass), en particulier :Ωlaconstante oméga
• √ x _s , la super-racine carrée de tout nombre naturel est soit un entier soit un transcendantal (par le théorème de Gelfond-Schneider)
• Γ (1/3) , ^[23] Γ(1/4) , ^[24] et Γ(1/6) . ^[24]
• 0,64341054629…, constante de Cahen . ^[25]
• Les constantes de Champernowne , les nombres irrationnels formés en concaténant des représentations de tous les entiers positifs. ^{[26] [27]}
• Ω , la constante de Chaitin (puisque c’est un nombre non calculable). ^[28]
• Les constantes dites de Fredholm, telles que ^{[12] [29] [30]} ∑ n = 0 ∞ 10 − 2 n = 0. 1 1 0 1 000 1 0000000 1 … {displaystyle sum _{n=0}^{infty}10^{-2^{n}}=0.{textbf {1}}{textbf {1}}0{textbf {1} }000{textbf {1}}0000000{textbf {1}}ldots }

qui tient aussi en remplaçant 10 par tout b algébrique > 1 . ^[31]

• La constante de Gauss .
• Les deux constantes de lemniscate L ₁ (parfois notées π ) et L ₂ .
• La constante de Liouville susmentionnée pour tout algébrique b ∈ (0, 1) .
• La constante de Prouhet–Thue–Morse . ^{[32] [33]}
• La constante de Komornik-Loreti .
• Tout nombre dont les chiffres par rapport à Une base fixe forment un mot sturmien . ^[34]
• Pour β > 1

∑ k = 0 ∞ 10 − ⌊ β k ⌋ ; {displaystyle sum _{k=0}^{infty }10^{-leftlfloor beta ^{k}rightrfloor };} où β ↦ ⌊ β ⌋ {displaystyle beta mapsto lfloor beta rfloor } est la fonction de plancher .

• 3,300330000000000330033… et son inverse 0,30300000303…, deux nombres avec seulement deux chiffres décimaux différents dont les positions de chiffres non nulles sont données par la séquence de Moser-de Bruijn et son double. ^[35]
• Le nombre π/2 Oui ₀ (2)/J ₀ (2)- γ , où Y _α ( x ) et J _α ( x ) sont des fonctions de Bessel et γ est la constante d’Euler–Mascheroni . ^{[36] [37]}

Nombres transcendantaux possibles

Nombres dont il reste à prouver qu’ils sont transcendantaux ou algébriques :

• La plupart des sommes, produits, puissances, etc. du nombre π et du nombre e , par exemple eπ , e + π , π − e , π / e , π ^π , e ^e , π ^e , π ^{√ 2} , e ^{π 2} sont pas connu pour être rationnel, algébrique, irrationnel ou transcendantal. Une exception notable est e ^{π √ n} (pour tout entier positif n ) qui s’est avéré transcendantal.^[38]
• La constante d’Euler–Mascheroni γ : En 2010, M. Ram Murty et N. Saradha ont trouvé Une liste infinie de nombres contenant γ/4de sorte que tous sauf au plus un d’entre eux sont transcendantaux. ^{[39] [40]} En 2012, il a été démontré qu’au moins l’un de γ et de la constante d’Euler-Gompertz δ est transcendantal. ^[41]
• La constante catalane , même pas prouvée irrationnelle.
• Constante de Khinchin , également non prouvée irrationnelle.
• La constante d’Apéry ζ (3) (dont Apéry a prouvé qu’elle est irrationnelle).
• La fonction zêta de Riemann à d’autres entiers impairs, ζ (5) , ζ (7) , … (non prouvé irrationnel).
• Les constantes de Feigenbaum δ et α , également non avérées irrationnelles.
• La constante de Mills , qui n’a pas non plus été prouvée irrationnelle.
• La constante de Copeland-Erdős , formée en concaténant les représentations décimales des nombres premiers.

Conjectures :

• la conjecture de Schanuel ,
• Conjecture des quatre exponentielles .

Esquisse d’Une preuve que e est transcendantal

La première preuve que la base des logarithmes naturels, e , est transcendantale date de 1873. Nous allons maintenant suivre la stratégie de David Hilbert (1862-1943) qui a donné Une simplification de la preuve originale de Charles Hermite . L’idée est la suivante :

Supposons, dans le but de trouver Une contradiction, que e soit algébrique. Alors il existe un ensemble fini de coefficients entiers c ₀ , c ₁ , …, c _n vérifiant l’équation :

c 0 + c 1 e + c 2 e 2 + ⋯ + c n e n = 0 , c 0 , c n ≠ 0. {displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+cdots +c_{n}e^{n}=0,qquad c_{0},c_{n} neq 0.}

Maintenant pour un entier positif k , on définit le polynôme suivant :

f k ( x ) = x k [ ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) ] k + 1 , {displaystyle f_{k}(x)=x^{k}left[(x-1)cdots (xn)right]^{k+1},}

et multiplier les deux côtés de l’équation ci-dessus par

∫ 0 ∞ f k e − x d x , {displaystyle int _{0}^{infty}f_{k}e^{-x},dx,}

pour arriver à l’équation :

c 0 ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + c 1 e ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) = 0. {displaystyle c_{0}left(int _{0}^{infty}f_{k}e^{-x},dxright)+c_{1}eleft(int _{ 0}^{infty}f_{k}e^{-x},dxright)+cdots +c_{n}e^{n}left(int _{0}^{infty } f_{k}e^{-x},dxright)=0.}

En divisant les domaines d’intégration respectifs, cette équation peut être écrite sous la forme

P + Q = 0 {displaystyle P+Q=0}

où

P = c 0 ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + c 1 e ( ∫ 1 ∞ f k e − x d x ) + c 2 e 2 ( ∫ 2 ∞ f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ n ∞ f k e − x d x ) Q = c 1 e ( ∫ 0 1 f k e − x d x ) + c 2 e 2 ( ∫ 0 2 f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ 0 n f k e − x d x ) {displaystyle {begin{aligned}P&=c_{0}left(int _{0}^{infty }f_{k}e^{-x},dxright)+c_{1} eleft(int _{1}^{infty}f_{k}e^{-x},dxright)+c_{2}e^{2}left(int _{2} ^{infty }f_{k}e^{-x},dxright)+cdots +c_{n}e^{n}left(int _{n}^{infty }f_{ k}e^{-x},dxright)\Q&=c_{1}eleft(int _{0}^{1}f_{k}e^{-x},dx droite)+c_{2}e^{2}left(int _{0}^{2}f_{k}e^{-x},dxright)+cdots +c_{n}e ^{n}left(int _{0}^{n}f_{k}e^{-x},dxright)end{aligned}}}

Lemme 1. Pour un choix approprié de k , P k ! {displaystyle {tfrac {P}{k!}}} est un entier non nul.

Preuve. Chaque terme de P est un nombre entier multiplié par Une somme de factorielles, qui résulte de la relation

∫ 0 ∞ x j e − x d x = j ! {displaystyle int _{0}^{infty}x^{j}e^{-x},dx=j !}

qui est valable pour tout entier positif j (considérez la Fonction gamma ).

Il est non nul car pour tout a satisfaisant 0< a ≤ n , l’intégrande dans

c a e a ∫ a ∞ f k e − x d x {displaystyle c_{a}e^{a}int _{a}^{infty}f_{k}e^{-x},dx}

est e ^−x fois Une somme de termes dont la puissance la plus faible de x est k +1 après substitution de x par x + a dans l’intégrale. Cela devient alors Une somme d’intégrales de la forme

A j − k ∫ 0 ∞ x j e − x d x {displaystyle A_{jk}int _{0}^{infty}x^{j}e^{-x},dx} Où A _j-k est un entier.

avec k +1 ≤ j , et c’est donc un entier divisible par ( k +1)!. Après avoir divisé par k! , on obtient Zéro modulo ( k +1). Cependant, nous pouvons écrire :

∫ 0 ∞ f k e − x d x = ∫ 0 ∞ ( [ ( − 1 ) n ( n ! ) ] k + 1 e − x x k + ⋯ ) d x {displaystyle int _{0}^{infty}f_{k}e^{-x},dx=int _{0}^{infty}left(left[(-1)^ {n}(n!)right]^{k+1}e^{-x}x^{k}+cdots right)dx}

Et ainsi

1 k ! c 0 ∫ 0 ∞ f k e − x d x ≡ c 0 [ ( − 1 ) n ( n ! ) ] k + 1 ≢ 0 ( mod k + 1 ) . {displaystyle {frac {1}{k!}}c_{0}int _{0}^{infty }f_{k}e^{-x},dxequiv c_{0}[( -1)^{n}(n !)]^{k+1}not equiv 0{pmod {k+1}}.}

Ainsi, en divisant chaque intégrale de P par k ! , le premier n’est pas divisible par k +1, mais tous les autres le sont, tant que k +1 est premier et plus grand que n et | c ₀ |. Il s’ensuit que P k ! {displaystyle {tfrac {P}{k!}}} lui-même n’est pas divisible par le nombre premier k +1 et ne peut donc pas être nul.

Lemme 2. | Q k ! | < 1 {displaystyle left|{tfrac {Q}{k!}}right|<1} pour suffisamment grand k {displaystyle k} .

Preuve. Noter que

f k e − x = x k [ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n ) ] k + 1 e − x = ( x ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) ) k ⋅ ( ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) e − x ) = u ( x ) k ⋅ v ( x ) {displaystyle {begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}[(x-1)(x-2)cdots (xn)]^{k+1}e ^{-x}\&=left(x(x-1)cdots (xn)right)^{k}cdot left((x-1)cdots (xn)e^{-x }right)\&=u(x)^{k}cdot v(x)end{aligned}}}

où u ( x ) {displaystyle u(x)} et v ( x ) {displaystyle v(x)} sont des fonctions continues de x {style d’affichage x} pour tous x {style d’affichage x} , donc sont bornés sur l’intervalle [ 0 , n ] {displaystyle [0,n]} . C’est-à-dire qu’il existe des constantes G , H > 0 {displaystyle G,H>0} tel que

| f k e − x | ≤ | u ( x ) | k ⋅ | v ( x ) | < G k H for 0 ≤ x ≤ n . {displaystyle left|f_{k}e^{-x}right|leq |u(x)|^{k}cdot |v(x)|<G^{k}Hquad { texte{ pour }}0leq xleq n.}

Donc chacune de ces intégrales composant Q {displaystyle Q} est borné, le pire des cas étant

| ∫ 0 n f k e − x d x | ≤ ∫ 0 n | f k e − x | d x ≤ ∫ 0 n G k H d x = n G k H . {displaystyle left|int _{0}^{n}f_{k}e^{-x},dxright|leq int _{0}^{n}left|f_{k }e^{-x}right|,dxleq int _{0}^{n}G^{k}H,dx=nG^{k}H.}

Il est maintenant possible de borner la somme Q {displaystyle Q} aussi bien:

| Q | < G k ⋅ n H ( | c 1 | e + | c 2 | e 2 + ⋯ + | c n | e n ) = G k ⋅ M , {displaystyle |Q|<G^{k}cdot nHleft(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+cdots +|c_{n}|e^{n }right)=G^{k}cdot M,}

où M {displaystyle M} est Une constante ne dépendant pas de k {displaystyle k} . Il s’ensuit que

| Q k ! | < M ⋅ G k k ! → 0 as k → ∞ , {displaystyle left|{frac {Q}{k!}}right|<Mcdot {frac {G^{k}}{k!}}to 0quad {text{ as } }kà infty ,}

terminer la preuve de ce lemme.

Choisir Une valeur de k {displaystyle k} la satisfaction des deux lemmes conduit à un entier non nul ( P / k ! {displaystyle P/k !} ) ajouté à Une quantité infime ( Q / k ! {displaystyle Q/k !} ) étant égal à Zéro, est Une impossibilité. Il s’ensuit que l’hypothèse originale, que e peut satisfaire Une équation polynomiale à coefficients entiers, est également impossible ; c’est-à-dire que e est transcendantal.

La transcendance de π

Une stratégie similaire, différente de l’approche originale de Lindemann , peut être utilisée pour montrer que le nombre π est transcendantal. Outre la Fonction gamma et certaines estimations comme dans la preuve de e , les faits concernant les polynômes symétriques jouent un rôle vital dans la preuve.

Pour des informations détaillées concernant les preuves de la transcendance de π et e , voir les références et liens externes.

Voir également

• Portail des mathématiques

• Théorie transcendantale des nombres , l’étude des questions liées aux nombres transcendantaux
• Théorème de Gelfond-Schneider
• Approximation diophantienne
• Périodes , un ensemble de nombres (comprenant à la fois des nombres transcendantaux et algébriques) qui peuvent être définis par des équations intégrales.

Systèmes de numération Complexe : C {displaystyle :;mathbb {C} } Réel : R {displaystyle :;mathbb {R} } Rationnel : Q {displaystyle :;mathbb {Q}} Entier : Z {displaystyle :;mathbb {Z} } Naturel : N {displaystyle :;mathbb {N} } Zéro : 0 Un : 1 nombres premiers Nombres composés Entiers négatifs Fraction Décimal fini Dyadique (binaire fini) Décimal répétitif Irrationnel Algébrique irrationnel Transcendantal Imaginaire

Remarques

1. ^ “Les 15 nombres transcendantaux les plus célèbres – Cliff Pickover” . sprott.physics.wisc.edu . Récupéré le 23/01/2020 .
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Liens externes

Wikisource a un texte original lié à cet article : Über die Transzendenz der Zahlen e und π. (en allemand)

602440|Nombre transcendantal (mathématiques)}

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• (en anglais) Preuve que la constante de Liouville est transcendantale
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• (en allemand) http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf Archivé le 16/07/2011 à la Wayback Machine