Nombre réel

En mathématiques , un nombre réel est une valeur d’une quantité continue qui peut représenter une distance le long d’une ligne (ou alternativement, une quantité qui peut être représentée comme une expansion décimale infinie ). L’adjectif réel dans ce contexte a été introduit au 17ème siècle par René Descartes , qui distinguait les racines réelles et imaginaires des polynômes . Les nombres réels incluent tous les nombres rationnels , tels que l’ entier −5 et la fraction 4/3, et tous les nombres irrationnels , tels que 2 {displaystyle {sqrt {2}}} (1.41421356…, la racine carrée de 2 , un nombre algébrique irrationnel ). Inclus dans les irrationnels sont les nombres transcendantaux réels , tels que π (3,14159265…). ^[1] En plus de mesurer la distance, les nombres réels peuvent être utilisés pour mesurer des quantités telles que le temps , la masse , l’énergie , la vitesse et bien d’autres. L’ensemble des nombres réels est désigné par le symbole R ou R {displaystyle mathbb {R} } ^[2] et est parfois appelé “les réels”. ^[3]

Un symbole pour l’ensemble des nombres réels

Les nombres réels peuvent être considérés comme des points sur une ligne infiniment longue appelée ligne numérique ou ligne réelle , où les points correspondant aux nombres entiers sont équidistants. Tout nombre réel peut être déterminé par une représentation décimale éventuellement infinie , telle que celle de 8,632, où chaque chiffre consécutif est mesuré en unités d’un dixième de la taille du précédent. La ligne réelle peut être considérée comme faisant partie du plan complexe et les nombres réels peuvent être considérés comme faisant partie des nombres complexes .

Les nombres réels peuvent être considérés comme des points sur une droite numérique infiniment longue

Ces descriptions des nombres réels ne sont pas suffisamment rigoureuses selon les normes modernes des mathématiques pures. La découverte d’une définition suffisamment rigoureuse des nombres réels – en fait, la prise de conscience qu’une meilleure définition était nécessaire – a été l’un des développements les plus importants des mathématiques du XIXe siècle. La définition axiomatique standard actuelle est que les nombres réels forment le champ ordonné Dedekind-complet unique ( R {displaystyle mathbb {R} } ; + ; · ; <), jusqu’à un isomorphisme , ^[a] alors que les définitions constructives populaires des nombres réels incluent de les déclarer comme des classes d’équivalence de séquences de Cauchy (de nombres rationnels), des coupes de Dedekind ou des représentations décimales infinies , ainsi que des interprétations précises pour les opérations arithmétiques et la relation d’ordre. Toutes ces définitions satisfont à la définition axiomatique et sont donc équivalentes.

L’ensemble de tous les nombres réels est Indénombrable , en ce sens que si l’ensemble de tous les nombres naturels et l’ensemble de tous les nombres réels sont des ensembles infinis , il ne peut y avoir de fonction biunivoque entre les nombres réels et les nombres naturels. . En fait, la cardinalité de l’ensemble de tous les nombres réels, notée c {displaystyle {mathfrak {c}}} et appelée cardinalité du continu , est strictement supérieure à la cardinalité de l’ensemble de tous les nombres naturels (notée א 0 {displaystyle aleph _{0}} , ‘aleph-rien’ ).

L’affirmation selon laquelle il n’y a pas de sous-ensemble des réels de cardinalité strictement supérieure à א 0 {displaystyle aleph _{0}} et strictement inférieur à c {displaystyle {mathfrak {c}}} est connue sous le nom d’ hypothèse du continuum (CH). Il n’est ni prouvable ni réfutable en utilisant les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, y compris l’ axiome du choix (ZFC) – le fondement standard des mathématiques modernes. En fait, certains modèles de ZFC satisfont CH, tandis que d’autres le violent.

Histoire

Nombres réels ( R ) {displaystyle (mathbb {R} )} inclure les nombres rationnels ( Q ) {displaystyle (mathbb {Q})} , qui incluent les nombres entiers ( Z ) {displaystyle (mathbb {Z} )} , qui à leur tour incluent les nombres naturels ( N ) {displaystyle (mathbb {N} )}

Les fractions simples étaient utilisées par les Égyptiens vers 1000 av. les « Shulba Sutras » védiques (« Les règles des accords ») en c. 600 avant JC incluent ce qui pourrait être la première “utilisation” des nombres irrationnels. Le concept d’irrationalité a été implicitement accepté par les premiers mathématiciens indiens tels que Manava ( vers 750–690 avant JC) , qui étaient conscients que les racines carrées de certains nombres, tels que 2 et 61, ne pouvaient pas être déterminées avec précision. ^[4] Vers 500 av. J.-C., les mathématiciens grecs conduits par Pythagore réalisé le besoin de nombres irrationnels, en particulier l’irrationalité de la racine carrée de 2 .

Le Moyen Âge a entraîné l’acceptation du Zéro , des nombres négatifs, des nombres entiers et des nombres fractionnaires , d’abord par les mathématiciens indiens et chinois , puis par les mathématiciens arabes , qui ont également été les premiers à traiter les nombres irrationnels comme des objets algébriques (ce dernier étant rendu possible par le développement de l’algèbre). ^[5] Les mathématiciens arabes ont fusionné les concepts de « nombre » et de « grandeur » en une idée plus générale de nombres réels. ^[6] Le mathématicien égyptien Abū Kāmil Shujā ibn Aslam ( vers 850–930)a été le premier à accepter les nombres irrationnels comme solutions d’ équations quadratiques ou comme coefficients dans une équation (souvent sous la forme de racines carrées, de racines cubiques et de racines quatrièmes ). ^[7]

Au XVIe siècle, Simon Stevin a créé la base de la notation décimale moderne et a insisté sur le fait qu’il n’y a pas de différence entre les nombres rationnels et irrationnels à cet égard.

Au XVIIe siècle, Descartes a introduit le terme “réel” pour décrire les racines d’un polynôme, en les distinguant des racines “imaginaires”.

Aux 18e et 19e siècles, on a beaucoup travaillé sur les nombres irrationnels et transcendantaux. Johann Heinrich Lambert (1761) a donné la première preuve erronée que π ne peut pas être rationnel ; Adrien-Marie Legendre (1794) compléta la démonstration ^[8] et montra que π n’est pas la racine carrée d’un nombre rationnel. ^[9] Paolo Ruffini (1799) et Niels Henrik Abel (1842) ont tous deux construit des preuves du théorème d’ Abel-Ruffini : que les équations générales quintiques ou supérieures ne peuvent pas être résolues par une formule générale impliquant uniquement des opérations arithmétiques et des racines.

Évariste Galois (1832) a développé des techniques pour déterminer si une équation donnée pouvait être résolue par des radicaux, ce qui a donné naissance au domaine de la théorie de Galois . Joseph Liouville (1840) a montré que ni e ni e ² ne peuvent être racine d’une équation quadratique entière , puis a établi l’existence de nombres transcendants ; Georg Cantor (1873) a étendu et grandement simplifié cette preuve. ^[10] Charles Hermite (1873) a d’abord prouvé que e est transcendantal, et Ferdinand von Lindemann (1882), a montré que πest transcendantal. La preuve de Lindemann a été très simplifiée par Weierstrass (1885), encore plus loin par David Hilbert (1893), et a finalement été rendue élémentaire par Adolf Hurwitz ^[11] et Paul Gordan . ^[12]

Le développement du calcul au 18ème siècle a utilisé l’ensemble des nombres réels sans les avoir définis rigoureusement. La première définition rigoureuse a été publiée par Georg Cantor en 1871. En 1874, il a montré que l’ensemble de tous les nombres réels est infiniment Indénombrable , mais que l’ensemble de tous les nombres algébriques est infiniment Dénombrable . Contrairement aux croyances largement répandues, sa première méthode n’était pas son célèbre argument diagonal , qu’il publia en 1891. Pour en savoir plus, voir La première preuve d’indénombrabilité de Cantor .

Définition

Le système des nombres réels ( R ; + ; ⋅ ; < ) {displaystyle (mathbb {R} ;{}+{};{}cdot {};{}<{})} peut être défini axiomatiquement à un isomorphisme , qui est décrit ci-après. Il existe également de nombreuses façons de construire “le” système de nombres réels, et une approche populaire consiste à partir de nombres naturels, puis à définir les nombres rationnels algébriquement, et enfin à définir les nombres réels comme des classes d’équivalence de leurs séquences de Cauchy ou comme des coupes de Dedekind, qui sont certaines sous-ensembles de nombres rationnels. Une autre approche consiste à partir d’une axiomatisation rigoureuse de la géométrie euclidienne (disons de Hilbert ou de Tarski ), puis de définir géométriquement le système des nombres réels. Toutes ces constructions des nombres réels se sont avérées équivalentes, en ce sens que les systèmes de nombres résultants sont isomorphes .

Approche axiomatique

Laisser R {displaystyle mathbb {R} } désignent l’ ensemble de tous les nombres réels, alors :

• L’ensemble R {displaystyle mathbb {R} } est un champ , ce qui signifie que l’ addition et la multiplication sont définies et ont les propriétés habituelles.
• Le champ R {displaystyle mathbb {R} } est ordonné, c’est-à-dire qu’il existe un ordre total ≥ tel que pour tous les nombres réels x , y et z :
  • si x ≥ y , alors x + z ≥ y + z ;
  • si x ≥ 0 et y ≥ 0, alors xy ≥ 0.
• L’ordre est Dedekind-complet, ce qui signifie que tout sous- ensemble non vide S de R {displaystyle mathbb {R} } avec une borne supérieure dans R {displaystyle mathbb {R} } a une borne supérieure (aka, supremum) dans R {displaystyle mathbb {R} } .

La dernière propriété est ce qui différencie les nombres réels des nombres rationnels (et d’ autres corps ordonnés plus exotiques ). Par example, { x ∈ Q : x 2 < 2 } {displaystyle {xin mathbb {Q} :x^{2}<2}} a une Limite supérieure rationnelle (par exemple, 1,42), mais pas la moindre Limite supérieure rationnelle, car 2 {displaystyle {sqrt {2}}} n’est pas rationnel.

Ces propriétés impliquent la propriété d’Archimède (qui n’est pas impliquée par d’autres définitions de l’exhaustivité), qui stipule que l’ensemble des entiers n’a pas de Limite supérieure dans les réels. En fait, si c’était faux, alors les entiers auraient une borne supérieure N ; alors, N – 1 ne serait pas une borne supérieure, et il y aurait un entier n tel que n > N – 1 , et donc n + 1 > N , ce qui est une contradiction avec la propriété de borne supérieure de N .

Les nombres réels sont spécifiés de manière unique par les propriétés ci-dessus. Plus précisément, étant donné deux champs ordonnés Dedekind-complets R 1 {displaystyle mathbb {R} _{1}} et R 2 {displaystyle mathbb {R} _{2}} , il existe un unique isomorphisme de champ de R 1 {displaystyle mathbb {R} _{1}} pour R 2 {displaystyle mathbb {R_{2}} } . Cette unicité nous permet de les considérer comme essentiellement le même objet mathématique.

Pour une autre axiomatisation de R {displaystyle mathbb {R} } , voir l’axiomatisation des réels de Tarski .

Construction à partir des nombres rationnels

Les nombres réels peuvent être construits comme un complément des nombres rationnels, de telle sorte qu’une suite définie par un Développement décimal ou binaire comme (3 ; 3,1 ; 3,14 ; 3,141 ; 3,1415 ; …) converge vers un nombre réel unique —dans ce cas π . Pour plus de détails et d’autres constructions de nombres réels, voir construction des nombres réels .

Propriétés

Propriétés de base

• Tout nombre réel non nul est négatif ou positif .
• La somme et le produit de deux nombres réels non négatifs est à nouveau un nombre réel non négatif, c’est-à-dire qu’ils sont fermés sous ces opérations et forment un cône positif , donnant ainsi lieu à un Ordre linéaire des nombres réels le long d’un nombre doubler.
• Les nombres réels constituent un ensemble infini de nombres qui ne peuvent pas être mappés par injection à l’ensemble infini de nombres naturels, c’est-à-dire qu’il existe une infinité Indénombrable de nombres réels, alors que les nombres naturels sont appelés dénombrables infinis . Cela établit que, dans un certain sens, il y a plus de nombres réels qu’il n’y a d’éléments dans un ensemble Dénombrable.
• Il existe une hiérarchie de sous-ensembles infinis dénombrables des nombres réels, par exemple, les nombres entiers, les nombres rationnels, les nombres algébriques et les nombres calculables , chaque ensemble étant un sous-ensemble propre du suivant dans la séquence. Les compléments de tous ces ensembles (nombres réels irrationnels, transcendants et non calculables) dans les réels sont tous des ensembles indénombrables.
• Les nombres réels peuvent être utilisés pour exprimer des mesures de quantités continues . Ils peuvent être exprimés par des représentations décimales , la plupart d’entre elles ayant une suite infinie de chiffres à droite de la virgule décimale ; ceux-ci sont souvent représentés comme 324.823122147…, où les points de suspension (trois points) indiquent qu’il y aurait encore plus de chiffres à venir. Cela fait allusion au fait que nous ne pouvons désigner avec précision que quelques nombres réels sélectionnés avec un nombre fini de symboles.

Plus formellement, les nombres réels ont les deux propriétés de base d’être un champ ordonné et d’avoir la propriété de la plus petite borne supérieure . La première dit que les nombres réels comprennent un corps , avec addition et multiplication ainsi que division par des nombres non nuls, qui peuvent être totalement ordonnés sur une droite numérique d’une manière compatible avec l’addition et la multiplication. La seconde dit que, si un ensemble non vide de nombres réels a une borne supérieure , alors il a une borne supérieure réelle inférieure. La deuxième condition distingue les nombres réels des nombres rationnels : par exemple, l’ensemble des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 est un ensemble avec une borne supérieure (par exemple 1,5) mais pas de borne supérieure (rationnelle) : d’où les nombres rationnels ne satisfont pas la propriété de la plus petite borne supérieure.

Complétude

L’une des principales raisons d’utiliser des nombres réels est que de nombreuses séquences ont des limites . Plus formellement, les réels sont complets (au sens d’ espaces métriques ou d’espaces uniformes , ce qui est un sens différent de l’exhaustivité Dedekind de l’ordre dans la section précédente) :

Une suite ( x _n ) de nombres réels est dite une suite de Cauchy si pour tout ε > 0 il existe un entier N (éventuellement dépendant de ε) tel que la distance | X _n – X _m | est inférieur à ε pour tout n et m qui sont tous deux supérieurs à N . Cette définition, fournie à l’origine par Cauchy , formalise le fait que les x _n finissent par venir et rester arbitrairement proches les uns des autres.

Une suite ( x _n ) converge vers la limite x si ses éléments finissent par venir et rester arbitrairement proches de x , c’est-à-dire si pour tout ε > 0 il existe un entier N (éventuellement dépendant de ε) tel que la distance | x _n – x | est inférieur à ε pour n supérieur à N .

Toute suite convergente est une suite de Cauchy, et l’inverse est vrai pour les nombres réels, ce qui signifie que l’ espace topologique des nombres réels est complet.

L’ensemble des nombres rationnels n’est pas complet. Par exemple, la suite (1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,41421 ; …), où chaque terme ajoute un chiffre du Développement décimal de la racine carrée positive de 2, est de Cauchy mais ne converge pas vers un nombre rationnel (dans les nombres réels, en revanche, il converge vers la racine carrée positive de 2).

La propriété de complétude des réels est la base sur laquelle le calcul , et plus généralement l’analyse mathématique sont construits. En particulier, le test qu’une suite est une suite de Cauchy permet de prouver qu’une suite a une limite, sans la calculer, et même sans la connaître.

Par exemple, la série standard de la fonction exponentielle

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}}

converge vers un nombre réel pour chaque x , car les sommes

∑ n = N M x n n ! {displaystyle sum _{n=N}^{M}{frac {x^{n}}{n!}}}

peut être rendu arbitrairement petit (indépendamment de M ) en choisissant N suffisamment grand. Cela prouve que la suite est de Cauchy, et donc converge, montrant que e x {displaystyle e^{x}} est bien défini pour tout x .

“Le champ ordonné complet”

Les nombres réels sont souvent décrits comme “le champ ordonné complet”, une expression qui peut être interprétée de plusieurs manières.

Tout d’abord, un ordre peut être complet sur le réseau . Il est facile de voir qu’aucun champ ordonné ne peut être complet sur le réseau, car il ne peut avoir aucun élément le plus grand (étant donné que tout élément z , z + 1 est plus grand).

De plus, une commande peut être Dedekind-complete, voir § Approche axiomatique . Le résultat d’unicité à la fin de cette section justifie l’utilisation du mot “le” dans l’expression “champ ordonné complet” lorsque c’est le sens de “complet” qui est visé. Ce sentiment d’exhaustivité est le plus étroitement lié à la construction des réels à partir des coupes Dedekind, puisque cette construction part d’un champ ordonné (les rationnels) et en forme ensuite la complétion Dedekind de manière standard.

Ces deux notions de complétude ignorent la structure du champ. Or, un groupe ordonné (ici, le groupe additif du champ) définit une structure uniforme , et les structures uniformes ont une notion de complétude ; la description au § Complétude est un cas particulier. (Nous nous référons à la notion de complétude dans les espaces uniformes plutôt qu’à la notion connexe et mieux connue des espaces métriques , puisque la définition de l’espace métrique repose sur le fait d’avoir déjà une caractérisation des nombres réels.) Il n’est pas vrai que R {displaystyle mathbb {R} } est le seul champ ordonné uniformément complet, mais c’est le seul champ archimédien uniformément complet , et en effet on entend souvent l’expression « champ archimédien complet » au lieu de « champ ordonné complet ». Chaque champ archimédien uniformément complet doit également être Dedekind-complet (et vice versa), justifiant l’utilisation de «le» dans la phrase «le champ archimédien complet». Ce sentiment de complétude est le plus étroitement lié à la construction des réels à partir des séquences de Cauchy (la construction réalisée en entier dans cet article), puisqu’il part d’un corps d’Archimède (les rationnels) et en forme l’achèvement uniforme dans un standard. chemin.

Mais l’utilisation originale de l’expression “champ d’Archimède complet” était par David Hilbert , qui voulait dire encore autre chose par là. Il voulait dire que les nombres réels forment le plus grand champ d’Archimède en ce sens que tout autre champ d’Archimède est un sous-champ de R {displaystyle mathbb {R} } . Ainsi R {displaystyle mathbb {R} } est « complet » au sens où rien de plus ne peut lui être ajouté sans en faire plus un champ archimédien. Ce sentiment d’exhaustivité est le plus étroitement lié à la construction des réels à partir de nombres surréalistes , puisque cette construction commence par une classe appropriée qui contient chaque champ ordonné (les surréalistes) et en sélectionne ensuite le plus grand sous-champ d’Archimède.

Propriétés avancées

Les réels sont innombrables ; c’est-à-dire qu’il y a strictement plus de nombres réels que de nombres naturels, même si les deux ensembles sont infinis. En fait, la cardinalité des réels est égale à celle de l’ensemble des sous-ensembles (c’est-à-dire l’ensemble de puissance) des nombres naturels, et l’argument diagonal de Cantor stipule que la cardinalité de ce dernier ensemble est strictement supérieure à la cardinalité de N {displaystyle mathbb {N} } . Puisque l’ensemble des nombres algébriques est Dénombrable, presque tous les nombres réels sont transcendantaux. La non-existence d’un sous-ensemble des réels de cardinalité strictement entre celle des entiers et des réels est connue sous le nom d’ hypothèse du continuum . L’hypothèse du continu ne peut être ni prouvée ni réfutée ; elle est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles .

En tant qu’espace topologique, les nombres réels sont séparables . En effet, l’ensemble des rationnels, qui est Dénombrable, est dense en nombres réels. Les nombres irrationnels sont également denses dans les nombres réels, cependant ils sont indénombrables et ont la même cardinalité que les réels.

Les nombres réels forment un espace métrique : la distance entre x et y est définie comme la valeur absolue | x – y | . Du fait d’être un ensemble totalement ordonné, ils portent également une topologie d’ordre ; la topologie issue de la métrique et celle issue de l’ordre sont identiques, mais donnent des présentations différentes pour la topologie – dans la topologie d’ordre sous forme d’intervalles ordonnés, dans la topologie métrique sous forme de boules epsilon. La construction des coupes de Dedekind utilise la présentation de la topologie d’ordre, tandis que la construction des séquences de Cauchy utilise la présentation de la topologie métrique. Les réels forment un contractile (doncconnexe et simplement connexe ), espace métrique séparable et complet de dimension de Hausdorff 1. Les nombres réels sont localement compacts mais non compacts . Il existe diverses propriétés qui les spécifient de manière unique ; par exemple, toutes les topologies d’ordre illimitées, connectées et séparables sont nécessairement homéomorphes aux réels.

Tout nombre réel non négatif a une racine carrée dans R {displaystyle mathbb {R} } , bien qu’aucun nombre négatif ne le fasse. Cela montre que la commande sur R {displaystyle mathbb {R} } est déterminé par sa structure algébrique. Aussi, tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle : ces deux propriétés font R {displaystyle mathbb {R} } le premier exemple d’un véritable champ clos . Prouver cela est la première moitié d’une preuve du théorème fondamental de l’algèbre .

Les réels portent une mesure canonique , la mesure de Lebesgue , qui est la mesure de Haar sur leur structure en groupe topologique normalisée telle que l’ intervalle unitaire [0;1] soit de mesure 1. Il existe des ensembles de nombres réels non mesurables par Lebesgue, ex . ensembles Vitali .

L’axiome supremum des réels fait référence à des sous-ensembles des réels et est donc une déclaration logique de second ordre. Il n’est pas possible de caractériser les réels avec la seule logique du premier ordre : le théorème de Löwenheim-Skolem implique qu’il existe un sous-ensemble dense Dénombrable des nombres réels satisfaisant exactement les mêmes phrases en logique du premier ordre que les nombres réels eux-mêmes. L’ensemble des nombres hyperréels satisfait les mêmes phrases du premier ordre que R {displaystyle mathbb {R} } . Champs ordonnés qui satisfont les mêmes phrases de premier ordre que R {displaystyle mathbb {R} } sont appelés modèles non standard de R {displaystyle mathbb {R} } . C’est ce qui fait que l’analyse non standard fonctionne ; en prouvant une déclaration du premier ordre dans un modèle non standard (ce qui peut être plus facile que de le prouver dans R {displaystyle mathbb {R} } ), nous savons que la même affirmation doit également être vraie pour R {displaystyle mathbb {R} } .

Le champ R {displaystyle mathbb {R} } des nombres réels est un champ d’ extension du champ Q {displaystyle mathbb {Q}} de nombres rationnels, et R {displaystyle mathbb {R} } peut donc être vu comme un espace vectoriel sur Q {displaystyle mathbb {Q}} . La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l’ axiome du choix garantit l’existence d’une base de cet espace vectoriel : il existe un ensemble B de nombres réels tel que chaque nombre réel peut être écrit de manière unique comme une combinaison linéaire finie d’éléments de cet ensemble, en utilisant coefficients rationnels uniquement, et tels qu’aucun élément de B n’est une combinaison linéaire rationnelle des autres. Cependant, ce théorème d’existence est purement théorique, car une telle base n’a jamais été explicitement décrite.

Le théorème de bon ordre implique que les nombres réels peuvent être bien ordonnés si l’axiome de choix est supposé : il existe un ordre total sur R {displaystyle mathbb {R} } avec la propriété que tout sous- ensemble non vide de R {displaystyle mathbb {R} } a un moindre élément dans cet ordre. (L’ordre standard ≤ des nombres réels n’est pas un bon ordre puisque par exemple un intervalle ouvert ne contient pas de moindre élément dans cet ordre.) Encore une fois, l’existence d’un tel bon ordre est purement théorique, car il n’a pas été explicitement décrit. Si V = L est supposé en plus des axiomes de ZF, un bon ordre des nombres réels peut être montré comme étant explicitement définissable par une formule. ^[13]

Un nombre réel peut être calculable ou non calculable ; soit algorithmiquement aléatoire ou non ; et arithmétiquement aléatoire ou non.

Applications et connexions à d’autres domaines

Nombres réels et logique

Les nombres réels sont le plus souvent formalisés en utilisant l’ axiomatisation de Zermelo-Fraenkel de la théorie des ensembles, mais certains mathématiciens étudient les nombres réels avec d’autres fondements logiques des mathématiques. En particulier, les nombres réels sont aussi étudiés en mathématiques inversées et en mathématiques constructives . ^[14]

Les nombres hyperréels développés par Edwin Hewitt , Abraham Robinson et d’autres étendent l’ensemble des nombres réels en introduisant des nombres infinitésimaux et infinis, permettant de construire un calcul infinitésimal d’une manière plus proche des intuitions originales de Leibniz , Euler , Cauchy et autres.

La théorie interne des ensembles d’ Edward Nelson enrichit syntaxiquement la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel en introduisant un prédicat unaire “standard”. Dans cette approche, les infinitésimaux sont des éléments (non “standards”) de l’ensemble des nombres réels (plutôt que d’être des éléments d’une extension de celui-ci, comme dans la théorie de Robinson).

L’ hypothèse du continu postule que la cardinalité de l’ensemble des nombres réels est א 1 {displaystyle aleph _{1}} ; c’est-à-dire le plus petit nombre cardinal infini après א 0 {displaystyle aleph _{0}} , le cardinal des entiers. Paul Cohen a prouvé en 1963 que c’est un axiome indépendant des autres axiomes de la théorie des ensembles ; c’est-à-dire que l’on peut choisir soit l’hypothèse du continu, soit sa négation comme axiome de la théorie des ensembles, sans contradiction.

En physique

Dans les sciences physiques, la plupart des constantes physiques telles que la constante gravitationnelle universelle et les variables physiques telles que la position, la masse, la vitesse et la charge électrique sont modélisées à l’aide de nombres réels. En fait, les théories physiques fondamentales telles que la mécanique classique , l’électromagnétisme , la mécanique quantique , la relativité générale et le modèle standard sont décrites à l’aide de structures mathématiques, généralement des variétés lisses ou des espaces de Hilbert , qui sont basées sur les nombres réels, bien que les mesures réelles des quantités physiques sont d’ exactitude et de précision finies .

Les physiciens ont parfois suggéré qu’une théorie plus fondamentale remplacerait les nombres réels par des quantités qui ne forment pas un continuum, mais de telles propositions restent spéculatives. ^[15]

En calcul

À quelques exceptions près , la plupart des calculatrices ne fonctionnent pas sur des nombres réels. Au lieu de cela, ils travaillent avec des approximations de précision finie appelées nombres à virgule flottante . En fait, la plupart des calculs scientifiques utilisent l’arithmétique à virgule flottante. Les nombres réels satisfont aux règles habituelles de l’arithmétique , mais pas les nombres à virgule flottante .

Les ordinateurs ne peuvent pas stocker directement des nombres réels arbitraires avec une infinité de chiffres. La précision réalisable est limitée par le nombre de bits alloués pour stocker un nombre, qu’il s’agisse de nombres à virgule flottante ou de nombres à précision arbitraire . Cependant, les systèmes d’algèbre informatique peuvent fonctionner sur des quantités irrationnelles exactement en manipulant des formules pour celles-ci (telles que 2 , {displaystyle {sqrt {2}},} arcsin ⁡ ( 2 / 23 ) , { style d’affichage arcsin (2/23),} ou alors ∫ 0 1 x x d x {displaystyle textstyle int _{0}^{1}x^{x},dx} ) plutôt que leur approximation rationnelle ou décimale. ^[16] Il n’est en général pas possible de déterminer si deux telles expressions sont égales (le problème constant ).

Un nombre réel est dit calculable s’il existe un algorithme qui donne ses chiffres. Parce qu’il n’y a qu’un nombre Dénombrable d’algorithmes, ^[17] mais un nombre Indénombrable de réels, presque tous les nombres réels ne sont pas calculables. De plus, l’égalité de deux nombres calculables est un problème indécidable . Certains constructivistes n’acceptent l’existence que des réels calculables. L’ensemble des nombres définissables est plus large, mais toujours uniquement Dénombrable.

“Réels” dans la théorie des ensembles

En théorie des ensembles , plus précisément en théorie descriptive des ensembles , l’ espace de Baire est utilisé comme substitut des nombres réels puisque ces derniers ont certaines propriétés topologiques (connexité) qui sont un inconvénient technique. Les éléments de l’espace de Baire sont appelés “réels”.

Vocabulaire et notation

Les mathématiciens utilisent principalement le symbole R pour représenter l’ ensemble de tous les nombres réels. Alternativement, il peut être utilisé R {displaystyle mathbb {R} } , la lettre “R” en gras tableau noir , qui peut être encodée en Unicode (et HTML) comme U+211D R ( R, R ). Comme cet ensemble est naturellement doté de la structure d’un corps , l’expression corps de nombres réels est fréquemment utilisée lorsque ses propriétés algébriques sont envisagées.

Les ensembles de nombres réels positifs et de nombres réels négatifs sont souvent notés R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} et R − {displaystyle mathbb {R} ^{-}} , ^[18] respectivement ; R + {displaystyle mathbb {R} _{+}} et R − {displaystyle mathbb {R} _{-}} sont également utilisés. ^[19] Les nombres réels non négatifs peuvent être notés R ≥ 0 {displaystyle mathbb {R} _{geq 0}} mais on voit souvent cet ensemble noté R + ∪ { 0 } . {displaystyle mathbb {R} ^{+}cup {0}.} ^[18] En mathématiques françaises, les nombres réels positifs et les nombres réels négatifs comprennent couramment Zéro , et ces ensembles sont notés respectivement R + {displaystyle mathbb {R_{+}} } et R − . {displaystyle mathbb {R_{-}} .} ^[19] Dans cette compréhension, les ensembles respectifs sans Zéro sont appelés nombres réels strictement positifs et nombres réels strictement négatifs, et sont notés R + ∗ {displaystyle mathbb {R} _{+}^{*}} et R − ∗ . {displaystyle mathbb {R} _{-}^{*}.} ^[19]

La notation R n {displaystyle mathbb{R} ^{n}} fait référence à l’ensemble des n -uplets d’éléments de R {displaystyle mathbb {R} } ( espace de coordonnées réel ), qui peut être identifié au produit cartésien de n copies de R . {displaystyle mathbb{R} .} C’est un espace vectoriel à n dimensions sur le corps des nombres réels, souvent appelé espace de coordonnées de dimension n ; cet espace peut être identifié à l’ espace euclidien à n – dimensions dès lors qu’un repère cartésien a été choisi dans ce dernier. Dans cette identification, un point de l’espace euclidien est identifié au tuple de ses coordonnées cartésiennes .

En mathématiques, réel est utilisé comme adjectif, ce qui signifie que le champ sous-jacent est le champ des nombres réels (ou le champ réel ). Par exemple, matrice réelle , polynôme réel et algèbre de Lie réelle . Le mot est également utilisé comme nom , signifiant un nombre réel (comme dans “l’ensemble de tous les réels”).

Généralisations et extensions

Les nombres réels peuvent être généralisés et étendus dans plusieurs directions différentes :

• Les nombres complexes contiennent des solutions à toutes les équations polynomiales et sont donc un champ algébriquement fermé contrairement aux nombres réels. Cependant, les nombres complexes ne sont pas un champ ordonné.
• Le système de nombres réels affinement étendu ajoute deux éléments +∞ et −∞ . C’est un espace compact . Ce n’est plus un champ, ni même un groupe additif, mais il a toujours un ordre total ; de plus, c’est un treillis complet .
• La droite projective réelle ajoute une seule valeur ∞ . C’est aussi un espace compact. Encore une fois, ce n’est plus un champ, ni même un groupe additif. Cependant, il permet la division d’un élément non nul par Zéro. Il a un ordre cyclique décrit par une relation de séparation .
• La longue ligne réelle colle ensemble א ₁ * + א ₁ copies de la ligne réelle plus un seul point (ici א ₁ * désigne l’ordre inversé de א ₁ ) pour créer un ensemble ordonné qui est “localement” identique aux nombres réels, mais en quelque sorte plus longtemps; par exemple, il y a une intégration préservant l’ordre de א ₁ dans la longue ligne réelle mais pas dans les nombres réels. La longue ligne réelle est le plus grand ensemble ordonné complet et localement archimédien. Comme pour les deux exemples précédents, cet ensemble n’est plus un champ ou un groupe additif.
• Les corps ordonnés prolongeant les réels sont les nombres hyperréels et les nombres surréalistes ; les deux contiennent des nombres infinitésimaux et infiniment grands et sont donc des champs ordonnés non archimédiens .
• Les opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert (par exemple, les matrices complexes carrées auto-adjointes ) généralisent les réels à bien des égards : ils peuvent être ordonnés (mais pas totalement ordonnés), ils sont complets, toutes leurs valeurs propres sont réelles et ils forment un algèbre associative réelle . Les opérateurs définis positifs correspondent aux réels positifs et les opérateurs normaux correspondent aux nombres complexes.

Voir également

• Portail des mathématiques

• Complétude des nombres réels
• Fraction continue
• Nombres réels définissables
• Nombres réels positifs
• Analyse réelle

Systèmes de numération Complexe : C {displaystyle :;mathbb {C} } Réel : R {displaystyle :;mathbb {R} } Rationnel : Q {displaystyle :;mathbb {Q}} Entier : Z {displaystyle :;mathbb {Z} } Naturel : N {displaystyle :;mathbb {N} } Zéro : 0 Un : 1 nombres premiers Nombres composés Entiers négatifs Fraction Décimal fini Dyadique (binaire fini) Décimal répétitif Irrationnel Algébrique irrationnel Transcendantal Imaginaire

Remarques

1. ^ Plus précisément, étant donné deux champs complets totalement ordonnés, il existe unisomorphisme unique entre eux. Cela implique que l’identité est l’unique automorphisme de champ des réels compatible avec l’ordre.

Références

Citations

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Sources

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Liens externes

• “Nombre réel” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]