Nombre négatif

In mathematics, a negative number represents an opposite.^[1] In the real number system, a negative number is a number that is less than zero. Negative numbers are often used to represent the magnitude of a loss or deficiency. A debt that is owed may be thought of as a negative asset. If a quantity, such as the charge on an electron, may have either of two opposite senses, then one may choose to distinguish between those senses—perhaps arbitrarily—as positive and negative. Negative numbers are used to describe values on a scale that goes below zero, such as the Celsius and Fahrenheit scales for temperature. The laws of arithmetic for negative numbers ensure that the common-sense idea of an opposite is reflected in arithmetic. For example, −(−3) = 3 because the opposite of an opposite is the original value.

This thermometer is indicating a negative Fahrenheit temperature (−4 °F).

Les nombres négatifs sont généralement écrits avec un Signe moins devant. Par exemple, −3 représente une quantité négative d’une magnitude de trois, et se prononce « moins trois » ou « moins trois ». Pour aider à faire la différence entre une opération de soustraction et un nombre négatif, le signe négatif est parfois placé légèrement plus haut que le Signe moins (en Exposant ). A l’inverse, un nombre supérieur à zéro est dit positif ; zéro est généralement ( mais pas toujours ) considéré comme ni positif ni négatif . ^[2]La positivité d’un nombre peut être soulignée en plaçant un Signe plus devant lui, par exemple +3. En général, la négativité ou la positivité d’un nombre est appelée son signe .

Tout nombre réel autre que zéro est positif ou négatif. Les nombres entiers non négatifs sont appelés nombres naturels (c’est-à-dire 0, 1, 2, 3…), tandis que les nombres entiers positifs et négatifs (avec zéro) sont appelés entiers . (Certaines définitions des nombres naturels excluent zéro.)

En comptabilité , les montants dus sont souvent représentés par des nombres rouges, ou un nombre entre parenthèses, comme notation alternative pour représenter les nombres négatifs.

Les nombres négatifs sont apparus pour la première fois dans l’histoire dans les Neuf chapitres sur l’art mathématique , qui, dans sa forme actuelle, datent de la période de la dynastie chinoise des Han (202 avant JC – 220 après JC), mais pourraient bien contenir des éléments beaucoup plus anciens. ^[3] Liu Hui (vers le IIIe siècle) a établi des règles pour additionner et soustraire des nombres négatifs. ^[4] Au 7ème siècle, des mathématiciens indiens tels que Brahmagupta décrivaient l’utilisation de nombres négatifs. Les Mathématiciens islamiques ont développé plus avant les règles de soustraction et de multiplication des nombres négatifs et ont résolu des problèmes avec des Coefficients négatifs . ^[5]Avant le concept de nombres négatifs, des mathématiciens tels que Diophante considéraient les solutions négatives aux problèmes comme “fausses” et les équations nécessitant des solutions négatives étaient décrites comme absurdes. ^[6] Les mathématiciens occidentaux comme Leibniz (1646–1716) ont soutenu que les nombres négatifs étaient invalides, mais les ont quand même utilisés dans les calculs. ^{[7] [8]}

Introduction

La ligne numérique

La relation entre les nombres négatifs, les nombres positifs et zéro est souvent exprimée sous la forme d’une droite numérique :

Les nombres apparaissant plus à droite sur cette ligne sont supérieurs, tandis que les nombres apparaissant plus à gauche sont inférieurs. Ainsi, zéro apparaît au milieu, avec les nombres positifs à droite et les nombres négatifs à gauche.

Notez qu’un nombre négatif avec une amplitude supérieure est considéré comme inférieur. Par exemple, même si (positif) 8 est supérieur à (positif) 5 , écrit

8 > 5

moins 8 est considéré comme inférieur à moins 5 :

−8 < −5.

(Parce que, par exemple, si vous avez – 8 £, une dette de 8 £, vous auriez moins après y avoir ajouté, disons 10 £, que si vous aviez – 5 £.) Il s’ensuit que tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif, donc

−8 < 5 et −5 < 8.

Numéros signés

Dans le contexte des nombres négatifs, un nombre supérieur à zéro est appelé positif . Ainsi, tout nombre réel autre que zéro est soit positif, soit négatif, tandis que zéro lui-même n’est pas considéré comme ayant un signe. Les nombres positifs sont parfois écrits avec un Signe plus devant, par exemple +3 indique un trois positif.

Étant donné que zéro n’est ni positif ni négatif, le terme non négatif est parfois utilisé pour désigner un nombre positif ou nul, tandis que non positif est utilisé pour désigner un nombre négatif ou nul. Zéro est un nombre neutre.

Comme résultat de la soustraction

Les nombres négatifs peuvent être considérés comme résultant de la soustraction d’un plus grand nombre à un plus petit. Par exemple, moins trois est le résultat de la soustraction de trois à zéro :

0 – 3 = -3.

En général, la soustraction d’un plus grand nombre à un plus petit donne un résultat négatif, la grandeur du résultat étant la différence entre les deux nombres. Par example,

5 – 8 = -3

puisque 8 − 5 = 3 .

Utilisations quotidiennes des nombres négatifs

sport

Scores de golf négatifs par rapport au par.

• Différence de buts en football associatif et en hockey ; différence de points au rugby à XV ; taux de course net au cricket ; scores de golf par rapport au par .
• Différentiel plus-moins au hockey sur glace : la différence entre le nombre total de buts marqués pour l’équipe (+) et contre l’équipe (−) lorsqu’un joueur particulier est sur la glace est la cote +/- du joueur. Les joueurs peuvent avoir une note négative (+/−).
• Différentiel de points au baseball : le différentiel de points est négatif si l’équipe accorde plus de points qu’elle n’en marque.
• Les clubs peuvent se voir déduire des points pour les infractions aux lois et avoir ainsi un total de points négatif jusqu’à ce qu’ils aient gagné au moins autant de points cette saison. ^{[9] [10]}
• Les temps au tour (ou secteur) en Formule 1 peuvent être donnés comme la différence par rapport à un tour (ou secteur) précédent (comme le record précédent, ou le tour qui vient d’être terminé par un pilote devant), et seront positifs s’ils sont plus lents et négatif si plus rapide. ^[11]
• Dans certaines épreuves d’athlétisme , telles que les courses de sprint , les haies , le triple saut et le saut en longueur , l’ assistance au vent est mesurée et enregistrée, ^[12] et est positive pour un Vent arrière et négative pour un vent de face. ^[13]

Science

• Températures inférieures à 0 °C ou 0 °F. ^{[14] [15]}
• Latitudes au sud de l’équateur et longitudes à l’ouest du premier méridien .
• Les caractéristiques topographiques de la surface terrestre se voient attribuer une hauteur au- dessus du niveau de la mer , qui peut être négative (par exemple, l’élévation de la surface de la mer Morte ou de la Vallée de la Mort , ou l’élévation du Thames Tideway Tunnel ).
• Circuits électriques . Lorsqu’une batterie est connectée en polarité inversée, la tension appliquée est dite opposée à sa tension nominale. Par exemple, une batterie de 6 volts connectée à l’envers applique une tension de -6 volts.
• Les ions ont une charge électrique positive ou négative.
• Impédance d’une tour de diffusion AM utilisée dans des réseaux d’antennes directionnelles multi-tours , qui peut être positive ou négative.

La finance

• Les états financiers peuvent inclure des soldes négatifs, indiqués soit par un Signe moins, soit en plaçant le solde entre parenthèses. ^[16] Les exemples incluent les découverts bancaires et les pertes commerciales ( gains négatifs ).
• Les remboursements sur une carte de crédit ou de débit sont une charge négative sur la carte. ^{[17] [18]}
• La croissance annuelle en pourcentage du PIB d’un pays peut être négative, ce qui est un indicateur d’une récession . ^[19]
• Occasionnellement, un taux d’ inflation peut être négatif ( déflation ), indiquant une baisse des prix moyens. ^[20]
• La variation quotidienne du prix d’une action ou d’un indice boursier , comme le FTSE 100 ou le Dow Jones .
• Un chiffre négatif en financement est synonyme de “dette” et de “déficit” qu’on appelle aussi “être dans le rouge”.
• Les Taux d’intérêt peuvent être négatifs, ^{[21] [22] [23]} lorsque le prêteur est chargé de déposer son argent.

Autre

Numéros d’étage négatifs dans un ascenseur.

• La numérotation des étages d’un bâtiment en dessous du rez-de-chaussée.
• Lors de la lecture d’un fichier audio sur un lecteur multimédia portable , tel qu’un iPod , l’affichage à l’écran peut indiquer le temps restant sous la forme d’un nombre négatif, ce qui augmente jusqu’à zéro le temps restant au même rythme que le temps déjà lu augmente à partir de zéro.
• Jeux télévisés :
  • Les participants au QI finissent souvent avec un score de points négatif.
  • Les équipes du défi universitaire ont un score négatif si leurs premières réponses sont incorrectes et interrompent la question.
  • Péril! a un score d’argent négatif – les candidats jouent pour une somme d’argent et toute réponse incorrecte qui leur coûte plus que ce qu’ils ont maintenant peut entraîner un score négatif.
  • Dans le jeu de tarification Buy or Sell de The Price Is Right , si une somme d’argent est perdue qui est supérieure au montant actuellement en banque, elle subit un score négatif.
• Le changement de soutien à un parti politique entre les élections, connu sous le nom de swing .
• La cote de popularité d’un politicien . ^[24]
• Dans les Jeux vidéo , un nombre négatif indique une perte de vie, des dégâts, une pénalité de score ou la consommation d’une ressource, selon le genre de la simulation.
• Les employés ayant des horaires de travail flexibles peuvent avoir un solde négatif sur leur feuille de temps s’ils ont travaillé moins d’heures au total que prévu à ce moment-là. Les employés peuvent être en mesure de prendre plus que leur indemnité de vacances annuelle au cours d’une année et de reporter un solde négatif à l’année suivante.
• Les notes de transposition sur un clavier électronique sont affichées sur l’écran avec des nombres positifs pour les augmentations et des nombres négatifs pour les diminutions, par exemple “-1” pour un demi- ton vers le bas.

Arithmétique impliquant des nombres négatifs

Le Signe moins “-” signifie l’ opérateur à la fois pour l’ opération binaire (à deux opérandes ) de soustraction (comme dans y − z ) et pour l’opération unaire (à un opérande) de négation (comme dans − x , ou deux fois dans −( −x ) ) . Un cas particulier de négation unaire se produit lorsqu’elle opère sur un nombre positif, auquel cas le résultat est un nombre négatif (comme dans −5 ).

L’ambiguïté du symbole “-” n’entraîne généralement pas d’ambiguïté dans les expressions arithmétiques, car l’ordre des opérations ne rend possible qu’une interprétation ou l’autre pour chaque “-“. Cependant, cela peut prêter à confusion et être difficile pour une personne de comprendre une expression lorsque des symboles d’opérateur apparaissent adjacents les uns aux autres. Une solution peut être de mettre entre parenthèses le “-” unaire avec son opérande.

Par exemple, l’expression 7 + −5 peut être plus claire si elle s’écrit 7 + (−5) (même si elles signifient exactement la même chose formellement). L’ expression de soustraction 7 – 5 est une expression différente qui ne représente pas les mêmes opérations, mais qui donne le même résultat.

Parfois, dans les écoles élémentaires, un nombre peut être préfixé par un Signe moins ou un Signe plus en Exposant pour distinguer explicitement les nombres négatifs et positifs comme dans ^[25]

⁻ 2 + ⁻ 5 donne ⁻ 7 .

Une addition

Une représentation visuelle de l’addition de nombres positifs et négatifs. Les grosses boules représentent des nombres avec une plus grande magnitude.

L’addition de deux nombres négatifs est très similaire à l’addition de deux nombres positifs. Par example,

(−3) + (−5) = −8 .

L’idée est que deux dettes peuvent être combinées en une seule dette de plus grande ampleur.

Lors de l’addition d’un mélange de nombres positifs et négatifs, on peut considérer les nombres négatifs comme des quantités positives soustraites. Par example:

8 + (−3) = 8 − 3 = 5 et (−2) + 7 = 7 − 2 = 5 .

Dans le premier exemple, un crédit de 8 est combiné avec une dette de 3 , ce qui donne un crédit total de 5 . Si le nombre négatif a une amplitude plus grande, alors le résultat est négatif :

(−8) + 3 = 3 − 8 = −5 et 2 + (−7) = 2 − 7 = −5 .

Ici, le crédit est inférieur à la dette, donc le résultat net est une dette.

Soustraction

Comme indiqué ci-dessus, il est possible que la soustraction de deux nombres non négatifs donne une réponse négative :

5 – 8 = -3

En général, la soustraction d’un nombre positif donne le même résultat que l’addition d’un nombre négatif de grandeur égale. Ainsi

5 – 8 = 5 + (-8) = -3

et

(−3) − 5 = (−3) + (−5) = −8

D’autre part, la soustraction d’un nombre négatif donne le même résultat que l’addition d’un nombre positif de grandeur égale. (L’idée est que perdre une dette est la même chose que gagner un crédit.) Ainsi

3 − (−5) = 3 + 5 = 8

et

(−5) − (−8) = (−5) + 8 = 3 .

Multiplication

Lors de la multiplication de nombres, la magnitude du produit est toujours juste le produit des deux magnitudes. Le signe du produit est déterminé par les règles suivantes :

• Le produit d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif.
• Le produit de deux nombres négatifs est positif.

Ainsi

(−2) × 3 = −6

et

(−2) × (−3) = 6 .

La raison derrière le premier exemple est simple : ajouter trois −2 ensemble donne −6 :

(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 .

Le raisonnement derrière le deuxième exemple est plus compliqué. L’idée est encore une fois que perdre une dette est la même chose que gagner un crédit. Dans ce cas, perdre deux dettes de trois équivaut à gagner un crédit de six :

(−2 dettes ) × (−3 chacun ) = +6 crédit.

La convention selon laquelle un produit de deux nombres négatifs est positif est également nécessaire pour que la multiplication suive la loi distributive . Dans ce cas, nous savons que

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0 .

Puisque 2 × (−3) = −6 , le produit (−2) × (−3) doit être égal à 6 .

Ces règles conduisent à une autre règle (équivalente) – le signe de tout produit a × b dépend du signe de a comme suit :

• si a est positif, alors le signe de a × b est le même que le signe de b , et
• si a est négatif, alors le signe de a × b est l’opposé du signe de b .

La justification de la raison pour laquelle le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif peut être observée dans l’analyse des nombres complexes .

Division

Les règles de signe pour la division sont les mêmes que pour la multiplication. Par example,

8 ÷ (−2) = −4 , (−8) ÷ 2 = −4 ,

et

(−8) ÷ (−2) = 4 .

Si le dividende et le diviseur ont le même signe, le résultat est positif, s’ils ont des signes différents, le résultat est négatif.

Négation

La version négative d’un nombre positif est appelée sa négation . Par exemple, −3 est la négation du nombre positif 3 . La somme d’un nombre et de sa négation est égale à zéro :

3 + (−3) = 0 .

Autrement dit, la négation d’un nombre positif est l’ inverse additif du nombre.

En utilisant l’algèbre , on peut écrire ce principe sous la forme d’une identité algébrique :

X + (− X ) = 0 .

Cette identité vaut pour tout nombre positif x . Il peut être fait pour tenir pour tous les nombres réels en étendant la définition de la négation pour inclure les nombres zéro et négatifs. Spécifiquement:

• La négation de 0 est 0, et
• La négation d’un nombre négatif est le nombre positif correspondant.

Par exemple, la négation de −3 est +3 . En général,

−(− X ) = X .

La valeur absolue d’un nombre est le nombre non négatif de même grandeur. Par exemple, la valeur absolue de −3 et la valeur absolue de 3 sont toutes deux égales à 3 , et la valeur absolue de 0 est 0 .

Construction formelle des entiers négatifs

De manière similaire aux nombres rationnels , nous pouvons étendre les nombres naturels N aux nombres entiers Z en définissant les nombres entiers comme une paire ordonnée de nombres naturels ( a , b ). On peut étendre l’addition et la multiplication à ces paires avec les règles suivantes :

( une , b ) + ( c , ré ) = ( une + c , b + ré ) ( une , b ) × ( c , ré ) = ( une × c + b × ré , une × ré + b × c )

On définit une relation d’équivalence ~ sur ces paires avec la règle suivante :

( une , b ) ~ ( c , ré ) si et seulement si a + ré = b + c .

Cette relation d’équivalence est compatible avec l’addition et la multiplication définies ci-dessus, et on peut définir Z comme l’ ensemble quotient N 2/~, c’est-à-dire qu’on identifie deux couples ( a , b ) et ( c , d ) s’ils sont équivalents dans le au-dessus du sens. A noter que Z , muni de ces opérations d’addition et de multiplication, est un anneau , et est en fait, l’exemple prototypique d’un anneau.

On peut aussi définir un ordre total sur Z en écrivant

( une , b ) ≤ ( c , ré ) si et seulement si a + ré ≤ b + c .

Cela conduira à un zéro additif de la forme ( a , a ), un inverse additif de ( a , b ) de la forme ( b , a ), une unité multiplicative de la forme ( a + 1, a ) et un définition de la soustraction

( une , b ) – ( c , ré ) = ( une + ré , b + c ) .

Cette construction est un cas particulier de la construction de Grothendieck .

Unicité

L’inverse additif d’un nombre est unique, comme le montre la preuve suivante. Comme mentionné ci-dessus, un inverse additif d’un nombre est défini comme une valeur qui, lorsqu’elle est ajoutée au nombre, donne zéro.

Soit x un nombre et soit y son inverse additif. Supposons que y′ est un autre inverse additif de x . Par définition,

x + y ′ = 0 , and x + y = 0. {displaystyle x+y’=0,quad {text{and}}quad x+y=0.}

Et donc, x + y′ = x + y . En utilisant la loi d’annulation pour l’addition, on voit que y′ = y . Ainsi y est égal à tout autre inverse additif de x . Autrement dit, y est l’unique inverse additif de x .

Histoire

Pendant longtemps, la compréhension des nombres négatifs a été retardée par l’impossibilité d’avoir une quantité négative d’un objet physique, par exemple “moins trois pommes”, et les solutions négatives aux problèmes étaient considérées comme “fausses”.

Dans l’Égypte hellénistique , le mathématicien grec Diophante au IIIe siècle a fait référence à une équation équivalente à 4 x + 20 = 4 {displaystyle 4x+20=4} (qui a une solution négative) dans Arithmetica , disant que l’équation était absurde. ^[26] Pour cette raison les géomètres grecs ont pu résoudre géométriquement toutes les formes de l’équation quadratique qui donnent des racines positives ; alors qu’ils ne pouvaient tenir compte des autres. ^[27]

Les nombres négatifs apparaissent pour la première fois dans l’histoire dans les Neuf chapitres sur l’art mathématique (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù ), qui dans sa forme actuelle date de la période de la dynastie des Han ( 202 avant JC – 220 après JC ), mais peut bien contenir du matériel beaucoup plus ancien. ^[3] Le mathématicien Liu Hui (vers le IIIe siècle) a établi des règles pour l’addition et la soustraction des nombres négatifs. L’historien Jean-Claude Martzloff a émis l’hypothèse que l’importance de la dualité dans la philosophie naturelle chinoise permettait aux Chinois d’accepter plus facilement l’idée des nombres négatifs. ^[4]Les Chinois étaient capables de résoudre des équations simultanées impliquant des nombres négatifs. Les neuf chapitres utilisaient des bâtonnets de comptage rouges pour indiquer les Coefficients positifs et des bâtonnets noirs pour les négatifs. ^{[4] [28]} Ce système est l’exact opposé de l’impression contemporaine de nombres positifs et négatifs dans les domaines de la banque, de la comptabilité et du commerce, où les nombres rouges indiquent des valeurs négatives et les nombres noirs signifient des valeurs positives. Liu Hui écrit :

Maintenant, il existe deux types opposés de barres de comptage pour les gains et les pertes, appelons-les positives et négatives. Les tiges de comptage rouges sont positives, les tiges de comptage noires sont négatives. ^[4]

L’ancien manuscrit indien Bakhshali effectuait des calculs avec des nombres négatifs, en utilisant “+” comme signe négatif. ^[29] La date du manuscrit est incertaine. LV Gurjar le date au plus tard du 4ème siècle, ^[30] Hoernle le date entre les troisième et quatrième siècles, Ayyangar et Pingree le datent du 8ème ou 9ème siècles, ^[31] et George Gheverghese Joseph le date d’environ 400 après JC et au plus tard au début du 7ème siècle, ^[32]

Au 7ème siècle après JC, des nombres négatifs étaient utilisés en Inde pour représenter les dettes. Le mathématicien indien Brahmagupta , dans Brahma-Sphuta-Siddhanta (écrit vers 630 après JC), a discuté de l’utilisation de nombres négatifs pour produire la formule quadratique de forme générale qui reste en usage aujourd’hui. ^[26] Il a également trouvé des solutions négatives d’ équations quadratiques et a donné des règles concernant les opérations impliquant des nombres négatifs et zéro , telles que “Une dette coupée du néant devient un crédit; un crédit coupé du néant devient une dette.” Il a appelé les nombres positifs “fortunes”, zéro “un chiffre” et les nombres négatifs “dettes”. ^{[33] [34]}

Au IXe siècle, les Mathématiciens islamiques connaissaient les nombres négatifs issus des travaux des mathématiciens indiens, mais la reconnaissance et l’utilisation des nombres négatifs durant cette période restaient timides. ^[5] Al-Khwarizmi dans son Al-jabr wa’l-muqabala (d’où nous obtenons le mot “algèbre”) n’a pas utilisé de nombres négatifs ou de Coefficients négatifs. ^[5] Mais en cinquante ans, Abu Kamil a illustré les règles des signes pour étendre la multiplication ( a ± b ) ( c ± d ) {displaystyle (apm b)(cpm d)} , ^[35] et al-Karaji a écrit dans son al-Fakhrī que “les quantités négatives doivent être comptées comme des termes”. ^[5] Au Xe siècle, Abū al-Wafā’ al-Būzjānī considérait les dettes comme des nombres négatifs dans A Book on What Is Necessary from the Science of Arithmetic for Scribes and Businessmen . ^[35]

Au 12ème siècle, les successeurs d’al-Karaji devaient énoncer les règles générales des signes et les utiliser pour résoudre les divisions polynomiales . ^[5] Comme l’ écrit al-Samaw’al :

le produit d’un nombre négatif – al-nāqiṣ (perte) – par un nombre positif – al-zāʾid (gain) – est négatif, et par un nombre négatif est positif. Si nous soustrayons un nombre négatif d’un nombre négatif plus élevé, le reste est leur différence négative. La différence reste positive si nous soustrayons un nombre négatif d’un nombre négatif inférieur. Si nous soustrayons un nombre négatif d’un nombre positif, le reste est leur somme positive. Si on soustrait un nombre positif d’une puissance vide ( martaba khāliyya ), le reste est le même négatif, et si l’on soustrait un nombre négatif d’une puissance vide, le reste est le même nombre positif. ^[5]

Au 12ème siècle en Inde, Bhāskara II a donné des racines négatives pour les équations quadratiques mais les a rejetées car elles étaient inappropriées dans le contexte du problème. Il a déclaré qu’une valeur négative est “dans ce cas à ne pas prendre, car elle est inadéquate; les gens n’approuvent pas les racines négatives”.

Fibonacci a permis des solutions négatives aux problèmes financiers où elles pouvaient être interprétées comme des débits (chapitre 13 du Liber Abaci , 1202 après JC) et plus tard comme des pertes (dans l’œuvre de Fibonacci Flos ).

Au XVe siècle, Nicolas Chuquet , un Français, utilisait des nombres négatifs comme exposants ^[36] mais les qualifiait de « nombres absurdes ». ^[37]

Michael Stifel a traité des nombres négatifs dans son 1544 AD Arithmetica Integra , où il les a également appelés numeri absurdi (nombres absurdes).

En 1545, Gerolamo Cardano , dans son Ars Magna , a fourni le premier traitement satisfaisant des nombres négatifs en Europe. ^[26] Il n’autorisait pas les nombres négatifs dans son examen des équations cubiques , il devait donc traiter, par exemple, x 3 + a x = b {displaystyle x^{3}+ax=b} séparément de x 3 = a x + b {displaystyle x^{3}=ax+b} (avec a , b > 0 {displaystyle a,b>0} dans les deux cas). En tout, Cardano a été conduit à l’étude de treize types d’équations cubiques, chacune avec tous les termes négatifs déplacés de l’autre côté du signe = pour les rendre positifs. (Cardano traitait également des nombres complexes , mais les aimait naturellement encore moins.)

En 1748 , Leonhard Euler , en manipulant formellement des séries de puissances complexes tout en utilisant la racine carrée de − 1 , {displaystyle -1,} a obtenu la formule d’ Euler de l’ analyse complexe : ^[38]

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ {displaystyle cos theta +isin theta =e^{itheta }} où i = − 1 . {displaystyle i={sqrt {-1}}.}

En 1797 après J.-C. , Carl Friedrich Gauss publie une preuve du théorème fondamental de l’algèbre mais exprime à l’époque ses doutes sur “la véritable métaphysique de la racine carrée de −1”. ^[39]

Cependant, les mathématiciens européens, pour la plupart, ont résisté au concept de nombres négatifs jusqu’au milieu du XIXe siècle. ^[40] Au 18e siècle, il était de pratique courante d’ignorer tout résultat négatif dérivé d’équations, en supposant qu’il n’avait pas de sens. ^[41] En 1759 après JC, le mathématicien anglais Francis Maseres écrivait que les nombres négatifs “obscurcissent la doctrine même des équations et obscurcissent les choses qui sont dans leur nature excessivement évidentes et simples”. Il est arrivé à la conclusion que les nombres négatifs étaient absurdes. ^[42]

Voir également

• Zéro signé
• Inverse additif
• Histoire de zéro
• Entiers
• Parties positives et négatives
• Nombres rationnels
• Nombres réels
• Fonction de signe
• Signe (mathématiques)
• Représentations numériques signées

Références

Citations

1. ^ “Les nombres entiers sont l’ensemble des nombres entiers et leurs contraires.”, Richard W. Fisher, No-Nonsense Algebra, 2e édition, Math Essentials, ISBN 978-0999443330
2. ↑ La convention selon laquelle zéro n’est ni positif ni négatif n’est pas universelle. Par exemple, dans la convention française, zéro est considéré à la fois positif et négatif. Les mots français positif et négatif signifient respectivement la même chose que l’anglais “positif ou zéro” et “négatif ou zéro”.
3. ^ ^{un b} Struik, pages 32–33. “Dans ces matrices, nous trouvons des nombres négatifs, qui apparaissent ici pour la première fois dans l’histoire.”
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Bibliographie

• Bourbaki, Nicolas (1998). Éléments d’histoire des mathématiques . Berlin, Heidelberg et New York : Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8 .
• En ligneStruik, Dirk J. (1987). Une histoire concise des mathématiques . New York : Publications de Douvres.

Liens externes

Wikiquote a des citations liées au nombre négatif .

• Informations biographiques de Maseres
• Série BBC Radio 4 In Our Time , sur “Negative Numbers”, 9 mars 2006
• Exemples et exercices sans fin : opérations avec des entiers signés
• Forum Mathématiques : Demandez au Dr. Math FAQ : Négatif fois négatif