nombre d’or

En mathématiques , deux quantités sont dans le nombre d’or si leur rapport est le même que le rapport de leur somme à la plus grande des deux quantités. Exprimé algébriquement, pour les quantités un {displaystyle a} et b {displaystyle b} avec un > b > 0 , {displaystyle a>b>0,}

nombre d’or

Représentations
Segments de ligne dans le nombre d’or
Décimal	1.618 033 988 749 894 … ^[1]
Forme algébrique	1 + 5 2 {displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} ${displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}$
Fraction continue	1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {displaystyle 1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots}}}}}}} }} $1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}}}$
Binaire	1.1001 1110 0011 0111 0111 …
Hexadécimal	1.9E37 79B9 7F4A 7C15 …

Un rectangle doré avec un côté long a et un côté court b adjacent à un carré avec des côtés de longueur a produit un rectangle doré similaire avec un côté long a + b et un côté court a . Ceci illustre la relation a + b a = a b ≡ φ . {displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}equiv varphi .} ${displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}equiv varphi .}$ a + b a = a b =: φ {displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}} {=:} varphi } ${displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}} {=:} varphi }$

où la lettre grecque phi ( φ {displaystylevarphi } varphi ou alors φ {displaystylephi} phi ) représente le nombre d’or. ^[a] C’est un nombre irrationnel qui est une solution de l’ équation quadratique x 2 − x − 1 = 0 , {displaystyle x^{2}-x-1=0,} ${displaystyle x^{2}-x-1=0,}$ avec une valeur de ^{[2] [1]}

φ = 1 + 5 2 = {displaystyle varphi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=} ${displaystyle varphi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=}$ 1.618 033 988 749 …. ( OEIS : A001622 )

Le nombre d’or est aussi appelé nombre d’or ou nombre d’or ( en latin : sectio aurea ). ^{[3] [4]} D’autres noms incluent le rapport extrême et moyen , ^[5] la section médiale , la proportion divine (latin : proportio divina ), ^[6] la section divine (latin : sectio divina ), la proportion dorée , la coupe dorée , ^[7] et nombre d’or . ^{[8] [9] [10]}

Les mathématiciens depuis Euclide ont étudié les propriétés du nombre d’or, y compris son apparition dans les dimensions d’un pentagone régulier et dans un rectangle d’or , qui peut être découpé en un carré et un rectangle plus petit avec le même rapport d’aspect . Le nombre d’or a également été utilisé pour analyser les proportions d’objets naturels ainsi que des systèmes créés par l’homme tels que les marchés financiers , dans certains cas basés sur des ajustements douteux aux données. ^[11] Le nombre d’or apparaît dans certains modèles dans la nature , y compris l’ arrangement en spirale des feuilles et d’autres parties de la végétation.

Certains artistes et architectes du XXe siècle , dont Le Corbusier et Salvador Dalí , ont proportionné leurs œuvres pour se rapprocher du nombre d’or, estimant que cela était esthétique . Ceux-ci apparaissent souvent sous la forme du rectangle d’or , dans lequel le rapport du côté le plus long au plus court est le nombre d’or.

Calcul

La lettre grecque phi symbolise le nombre d’or. Habituellement, la forme minuscule φ {displaystylevarphi } varphi ou alors φ {displaystylephi} phi est utilisé. Parfois la forme majuscule Φ {displaystyle Phi} Phi est utilisé pour l’ inverse du nombre d’or, 1 / φ . {displaystyle 1/varphi .} ^[12]

Deux quantités a {displaystyle a} et b {displaystyle b} on dit qu’ils sont dans le nombre d’or φ {displaystylevarphi } varphi si

a + b a = a b = φ . {displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}=varphi .} ${frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}=varphi .$ ${frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}=varphi .$

Une méthode pour trouver la valeur de φ {displaystylevarphi } varphi est de commencer par la fraction de gauche. En simplifiant la fraction et en remplaçant dans b / a = 1 / φ , {displaystyle b/a=1/varphi ,}

a + b a = a a + b a = 1 + b a = 1 + 1 φ . {displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{a}}+{frac {b}{a}}=1+{frac {b}{a}} =1+{frac {1}{varphi }}.} ${displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{a}}+{frac {b}{a}}=1+{frac {b}{a}}=1+{frac {1}{varphi }}.}$ ${displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{a}}+{frac {b}{a}}=1+{frac {b}{a}}=1+{frac {1}{varphi }}.}$

Donc,

1 + 1 φ = φ . {displaystyle 1+{frac {1}{varphi }}=varphi .} $1+{frac {1}{varphi }}=varphi .$ $1+{frac {1}{varphi }}=varphi .$

Multiplier par φ {displaystylevarphi } varphi donne

φ + 1 = φ 2 {displaystyle varphi +1=varphi ^{2}} $varphi +1=varphi ^{2}$ $varphi +1=varphi ^{2}$

qui peut être réorganisé en

φ 2 − φ − 1 = 0. {displaystyle {varphi}^{2}-varphi -1=0.} ${varphi }^{2}-varphi -1=0.$ ${varphi }^{2}-varphi -1=0.$

En utilisant la formule quadratique , deux solutions sont obtenues :

1 + 5 2 = 1.618033 … {displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=1.618033dots } ${displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=1.618033dots }$ ${displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=1.618033dots }$ et 1 − 5 2 = − 0.618033 … . {displaystyle {frac {1-{sqrt {5}}}{2}}=-0.618033dots .} ${displaystyle {frac {1-{sqrt {5}}}{2}}=-0.618033dots .}$ ${displaystyle {frac {1-{sqrt {5}}}{2}}=-0.618033dots .}$

Car φ {displaystylevarphi } varphi est le rapport entre les quantités positives, φ {displaystylevarphi } varphi est nécessairement le positif. Cependant, la racine négative, − 1 φ {displaystyle -{frac {1}{varphi}}} ${displaystyle -{frac {1}{varphi }}}$ ${displaystyle -{frac {1}{varphi }}}$ , partage de nombreuses propriétés avec le nombre d’or.

Histoire

Selon Mario Livio ,

Certains des plus grands esprits mathématiques de tous les âges, de Pythagore et Euclide dans la Grèce antique , en passant par le mathématicien italien médiéval Léonard de Pise et l’astronome de la Renaissance Johannes Kepler , jusqu’aux personnalités scientifiques actuelles telles que le physicien d’Oxford Roger Penrose , ont passé des heures interminables sur ce rapport simple et ses propriétés. … Des biologistes, des artistes, des musiciens, des historiens, des architectes, des psychologues et même des mystiques ont réfléchi et débattu sur la base de son omniprésence et de son attrait. En fait, il est probablement juste de dire que le nombre d’or a inspiré les penseurs de toutes les disciplines comme aucun autre nombre dans l’histoire des mathématiques. ^[13]

— Le nombre d’or : l’histoire de Phi, le nombre le plus étonnant du monde

Les mathématiciens de la Grèce antique ont d’ abord étudié le nombre d’or en raison de son apparition fréquente en géométrie ; ^[14] la division d’une ligne en “rapport extrême et moyen” (la section d’or) est importante dans la géométrie des pentagrammes et pentagones réguliers . ^[15] Selon une histoire, le mathématicien Hippase du Ve siècle av. J.-C. a découvert que le nombre d’or n’était ni un nombre entier ni une fraction (un nombre irrationnel ), surprenant les Pythagoriciens . ^{[16] Les} Éléments d’ Euclide ( vers 300 av. J.-C. ) fournissent plusieurs propositionset leurs preuves employant le nombre d’or, ^{[17] [b]} et contient sa première définition connue qui se déroule comme suit : ^[18]

On dit qu’une ligne droite a été coupée en rapport extrême et moyen lorsque, comme toute la ligne est au plus grand segment, le plus grand est au plus petit. ^{[19] [e]}

Michael Maestlin , le premier à écrire une approximation décimale du rapport

Le nombre d’or a été étudié de manière périphérique au cours du prochain millénaire. Abu Kamil (vers 850–930) l’employa dans ses calculs géométriques de pentagones et de décagones ; ses écrits ont influencé ceux de Fibonacci ( Léonard de Pise ) (vers 1170-1250), qui a utilisé le rapport dans des problèmes de géométrie connexes bien qu’il ne l’ait jamais relié à la série de nombres qui porte son nom . ^[21]

Luca Pacioli a nommé son livre Divina proportione ( 1509 ) d’après le rapport et a exploré ses propriétés, y compris son apparition dans certains des solides platoniciens . ^{[10] [22]} Léonard de Vinci , qui a illustré le livre susmentionné, a appelé le rapport la sectio aurea (“section dorée”). ^[23] Les mathématiciens du 16ème siècle tels que Rafael Bombelli ont résolu des problèmes géométriques en utilisant le rapport. ^[24]

Le mathématicien allemand Simon Jacob (décédé en 1564) a noté que les nombres consécutifs de Fibonacci convergent vers le nombre d’or ; ^[25] cela a été redécouvert par Johannes Kepler en 1608. ^[26] La première approximation décimale connue du nombre d’or (inverse) a été déclarée comme “environ 0.6180340 {displaystyle 0.6180340} » en 1597 par Michael Maestlin de l’ Université de Tübingen dans une lettre à Kepler, son ancien élève. ^[27] La même année, Kepler écrit à Maestlin du triangle de Kepler , qui combine le nombre d’or avec le théorème de Pythagore . celles-ci:

La géométrie a deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore, l’autre la division d’une droite en raison extrême et moyenne. On peut comparer le premier à une masse d’or, le second qu’on peut appeler un joyau précieux. ^[6]

Les mathématiciens du XVIIIe siècle Abraham de Moivre , Daniel Bernoulli et Leonhard Euler ont utilisé une formule basée sur le nombre d’or qui trouve la valeur d’un nombre de Fibonacci en fonction de son emplacement dans la séquence; en 1843, celle-ci fut redécouverte par Jacques Philippe Marie Binet , pour qui elle fut nommée “formule de Binet”. ^[28] Martin Ohm a utilisé pour la première fois le terme allemand goldener Schnitt (“section dorée”) pour décrire le rapport en 1835. ^[29] James Sully a utilisé le terme anglais équivalent en 1875. ^[30]

En 1910, le mathématicien Mark Barr a commencé à utiliser la lettre grecque Phi ( φ {displaystyle {boldsymbol {varphi}}} {boldsymbol {varphi }} ) comme symbole du nombre d’or. ^{[31] [d]} Il a également été représenté par tau ( τ {displaystyle {boldsymbol {tau}}} {boldsymbol {tau }} ), la première lettre du grec ancien τομή (‘couper’ ou ‘section’). ^{[34] [35]}

Dan Shechtman fait la démonstration des quasi -cristaux au NIST en 1985 en utilisant un modèle Zometoy .

Le système de construction zome , développé par Steve Baer à la fin des années 1960, est basé sur le système de symétrie de l’ icosaèdre/dodécaèdre , et utilise le nombre d’or de manière omniprésente. Entre 1973 et 1974, Roger Penrose a développé le carrelage Penrose , un motif lié au nombre d’or à la fois dans le rapport des aires de ses deux carreaux rhombiques et dans leur fréquence relative au sein du motif. ^[36] Cela a conduit à la découverte par Dan Shechtman au début des années 1980 de quasi- cristaux , ^{[37] [38]} dont certains présentent une symétrie icosaédrique . ^{[39] [40]}

Demandes et observations

Architecture

L’ architecte suisse Le Corbusier , célèbre pour ses contributions au style international moderne , a centré sa philosophie de conception sur des systèmes d’harmonie et de proportion. La foi de Le Corbusier dans l’ordre mathématique de l’univers était étroitement liée au nombre d’or et à la série de Fibonacci, qu’il décrivait comme « des rythmes apparents à l’œil et clairs dans leurs relations les uns avec les autres. Et ces rythmes sont à la racine même de activités humaines. Elles résonnent dans l’homme par une fatalité organique, la même belle fatalité qui fait tracer le nombre d’or par les enfants, les vieillards, les sauvages et les savants. ^{[41] [42]}

Le Corbusier a explicitement utilisé le nombre d’or dans son système Modulor pour l’ échelle des proportions architecturales . Il considérait ce système comme une continuation de la longue tradition de Vitruve , ” l’homme de Vitruve ” de Léonard de Vinci , l’œuvre de Leon Battista Alberti et d’autres qui utilisaient les proportions du corps humain pour améliorer l’apparence et la fonction de l’architecture .

En plus du nombre d’or, Le Corbusier a basé le système sur les mesures humaines , les Nombres de Fibonacci et l’unité double. Il a poussé la suggestion du nombre d’or dans les proportions humaines à l’extrême: il a sectionné la hauteur de son corps humain modèle au niveau du nombril avec les deux sections en nombre d’or, puis a subdivisé ces sections en nombre d’or aux genoux et à la gorge; il a utilisé ces proportions de nombre d’or dans le système Modulor . La Villa Stein de Le Corbusier de 1927 à Garches illustre l’application du système Modulor. Le plan au sol rectangulaire, l’élévation et la structure intérieure de la villa se rapprochent étroitement des rectangles dorés. ^[43]

Un autre architecte suisse, Mario Botta , fonde nombre de ses créations sur des figures géométriques. Plusieurs maisons privées qu’il a conçues en Suisse sont composées de carrés et de cercles, de cubes et de cylindres. Dans une maison qu’il a conçue à Origlio , le nombre d’or est la proportion entre la partie centrale et les parties latérales de la maison. ^[44]

De l’art

Illustration de Da Vinci d’un dodécaèdre de la Divina proportione de Pacioli ( 1509 )

Divina proportione ( Divine proportion ), un ouvrage en trois volumes de Luca Pacioli , a été publié en 1509. Pacioli, un frère franciscain , était surtout connu comme mathématicien, mais il était également formé et vivement intéressé par l’art. Divina proportione a exploré les mathématiques du nombre d’or. Bien qu’on dise souvent que Pacioli a préconisé l’application du nombre d’or pour obtenir des proportions agréables et harmonieuses, Livio souligne que l’interprétation a été attribuée à une erreur en 1799 et que Pacioli a en fait préconisé le système vitruvien de proportions rationnelles. ^[45] Pacioli a vu aussi la signification religieuse catholique dans le rapport, qui a mené au titre de son travail.

Les illustrations de Léonard de Vinci de Polyèdres dans Divina proportione ^[46] ont conduit certains à supposer qu’il a incorporé le nombre d’or dans ses peintures. Mais la suggestion que sa Joconde , par exemple, emploie des proportions de nombre d’or, n’est pas étayée par les propres écrits de Léonard. ^[47] De même, bien que l’ Homme de Vitruve soit souvent représenté en relation avec le nombre d’or, les proportions de la figure ne lui correspondent pas réellement, et le texte ne mentionne que des rapports de nombres entiers. ^{[48] [49]}

Salvador Dalí , influencé par les œuvres de Matila Ghyka , ^[50] a explicitement utilisé le nombre d’or dans son chef-d’œuvre, Le sacrement de la Cène . Les dimensions de la toile sont un rectangle doré. Un énorme dodécaèdre, en perspective pour que les bords apparaissent en nombre d’or les uns par rapport aux autres, est suspendu au-dessus et derrière Jésus et domine la composition. ^{[47] [51]}

Une étude statistique sur 565 œuvres d’art de différents grands peintres, réalisée en 1999, a révélé que ces artistes n’avaient pas utilisé le nombre d’or dans la taille de leurs toiles. L’étude a conclu que le rapport moyen des deux côtés des peintures étudiées est 1.34 , {displaystyle 1.34,} avec des moyennes pour les artistes individuels allant de 1.04 {displaystyle 1.04} (Goya) à 1.46 {displaystyle 1.46} (Bellini). ^[52] D’autre part, Pablo Tosto a répertorié plus de 350 œuvres d’artistes connus, dont plus de 100 qui ont des toiles avec rectangle doré et 5 {displaystyle {sqrt {5}}} proportions, et d’autres avec des proportions comme 2 , {displaystyle {sqrt {2}},} 3 , {displaystyle 3,} 4 , {displaystyle 4,} et 6. {displaystyle 6.} ^[53]

Représentation des proportions dans un manuscrit médiéval. Selon Jan Tschichold : “Proportion de page 2:3. Proportions de marge 1:1:2:3. Zone de texte proportionnée dans la Golden Section.” ^[54]

Livres et conception

Selon Jan Tschichold ,

Il fut un temps où les écarts par rapport aux proportions de pages vraiment belles 2 : 3 , {displaystyle 2mathbin {:} 3,} 1 : 3 , {displaystyle 1mathbin {:} {sqrt {3}},} et la section d’or étaient rares. De nombreux livres produits entre 1550 et 1770 montrent exactement ces proportions, au demi-millimètre près. ^[55]

Selon certaines sources, le nombre d’or est utilisé dans la conception de tous les jours, par exemple dans les proportions de cartes à jouer, de cartes postales, d’affiches, de plaques d’interrupteurs et de téléviseurs à écran large. ^{[56] [57] [58] [59]}

Drapeaux

Le drapeau du Togo , dont le rapport d’aspect utilise le nombre d’or

Le rapport d’ aspect (rapport hauteur sur largeur) du drapeau du Togo est dans le nombre d’or.

Musique

Ernő Lendvai analyse les œuvres de Béla Bartók comme étant basées sur deux systèmes opposés, celui du nombre d’or et celui de l’ échelle acoustique ^[60] , bien que d’autres spécialistes de la musique rejettent cette analyse. ^[61] Le compositeur français Erik Satie a utilisé le nombre d’or dans plusieurs de ses pièces, dont Sonneries de la Rose+Croix . Le nombre d’or se manifeste également dans l’organisation des sections de la musique des Reflets dans l’eau de Debussy , d’ après Images ( 1ère série, 1905), où « la suite des tonalités est marquée par les intervalles 34, 21, 13 et 8, et le point culminant principal se situe à la position phi”. ^[62]

Le musicologue Roy Howat a observé que les limites formelles de La Mer de Debussy correspondent exactement au nombre d’or. ^[63] Trezise trouve la preuve intrinsèque “remarquable”, mais met en garde qu’aucune preuve écrite ou rapportée ne suggère que Debussy a consciemment recherché de telles proportions. ^[64]

Bien que Heinz Bohlen ait proposé l’ échelle de 833 cents sans répétition d’octave basée sur des tons combinés , l’accordage présente des relations basées sur le nombre d’or. Comme intervalle musical, le rapport 1,618… est 833,090… cents ( Jouer ( aide · info ) ). ^[65]

Nature

Détail de l’usine de soucoupe, Aeonium tabuliforme , montrant l’arrangement en spirale multiple ( parastichy )

Johannes Kepler a écrit que “l’image de l’homme et de la femme découle de la proportion divine. À mon avis, la propagation des plantes et les actes progéniteurs des animaux sont dans le même rapport”. ^[66]

Le psychologue Adolf Zeising a noté que le nombre d’or est apparu dans la phyllotaxie et a soutenu à partir de ces modèles dans la nature que le nombre d’or était une loi universelle. ^{[67] [68]} Zeising a écrit en 1854 d’une loi orthogénétique universelle de “l’effort pour la beauté et l’exhaustivité dans les royaumes tant de la nature que de l’art”. ^[69]

Cependant, certains ont fait valoir que de nombreuses manifestations apparentes du nombre d’or dans la nature, en particulier en ce qui concerne les dimensions animales, sont fictives. ^[70]

Optimisation

Le nombre d’or est un élément essentiel de la recherche de nombre d’or .

Mathématiques

Irrationalité

Le nombre d’or est un nombre irrationnel . Voici deux courtes preuves de l’irrationalité :

Contradiction d’une expression dans les Termes les plus bas Si φ {displaystylevarphi } varphi étaient rationnels , alors ce serait le rapport des côtés d’un rectangle avec des côtés entiers (le rectangle comprenant le diagramme entier). Mais ce serait aussi un rapport des côtés entiers du plus petit rectangle (la partie la plus à droite du diagramme) obtenu en supprimant un carré. La séquence de longueurs de côtés entières décroissantes formées en supprimant des carrés ne peut pas être poursuivie indéfiniment car les entiers positifs ont une borne inférieure, donc φ {displaystylevarphi } varphi ne peut pas être rationnel.

Rappeler que:

le tout est la partie la plus longue plus la partie la plus courte ;
le tout est à la partie la plus longue comme la partie la plus longue est à la partie la plus courte.

Si on appelle l’ensemble n {displaystyle n} et la partie la plus longue m , {displaystyle m,} alors la deuxième déclaration ci-dessus devient

n {displaystyle n} est de m {displaystyle m} comme m {displaystyle m} est de n − m . {displaystyle nm.} {displaystyle n-m.}

Dire que le nombre d’or φ {displaystylevarphi } varphi est rationnel signifie que φ {displaystylevarphi } varphi est une fraction n / m {displaystyle n/m} n/m où n {displaystyle n} et m {displaystyle m} sont des entiers. Nous pouvons prendre n / m {displaystyle n/m} n/m être dans les Termes les plus bas et n {displaystyle n} et m {displaystyle m} être positif. Mais si n / m {displaystyle n/m} n/m est dans les Termes les plus bas, alors la valeur égale m / ( n − m ) {displaystyle m/(nm)} {displaystyle m/(n-m)} est en termes encore inférieurs. C’est une contradiction qui découle de l’hypothèse selon laquelle φ {displaystylevarphi } varphi est rationnel.

Par irrationalité de 5 {displaystyle {sqrt {5}}}

Une autre preuve courte – peut-être plus connue – de l’irrationalité du nombre d’or utilise la fermeture des nombres rationnels sous l’addition et la multiplication. Si φ = 1 2 ( 1 + 5 ) {displaystyle varphi ={tfrac {1}{2}}(1+{sqrt {5}})} ${displaystyle varphi ={tfrac {1}{2}}(1+{sqrt {5}})}$ ${displaystyle varphi ={tfrac {1}{2}}(1+{sqrt {5}})}$ est rationnel, alors 2 φ − 1 = 5 {displaystyle 2varphi -1={sqrt {5}}} est également rationnel, ce qui est une contradiction si l’on sait déjà que la racine carrée d’un nombre naturel non carré est irrationnelle.

Polynôme minimal

Le nombre d’or φ {displaystylevarphi } varphi et son inverse négatif − φ − 1 {displaystyle -varphi ^{-1}} ${displaystyle -varphi ^{-1}}$ ${displaystyle -varphi ^{-1}}$ sont les deux racines du polynôme quadratique x 2 − x − 1 {displaystyle x^{2}-x-1} $x^{2}-x-1$ . Le nombre d’or est négatif − φ {displaystyle -varphi } -varphi et réciproque φ − 1 {displaystyle varphi ^{-1}} $varphi ^{-1}$ $varphi ^{-1}$ sont les deux racines du polynôme quadratique x 2 + x − 1 {displaystyle x^{2}+x-1} ${displaystyle x^{2}+x-1}$ ${displaystyle x^{2}+x-1}$ .

Le nombre d’or est aussi un nombre algébrique et même un entier algébrique . Il a un polynôme minimal

x 2 − x − 1. {displaystyle x^{2}-x-1.} ${displaystyle x^{2}-x-1.}$ ${displaystyle x^{2}-x-1.}$

Ce polynôme quadratique a deux racines , φ {displaystylevarphi } varphi et − φ − 1 . {displaystyle -varphi ^{-1}.} ${displaystyle -varphi ^{-1}.}$ ${displaystyle -varphi ^{-1}.}$

Le nombre d’or est également étroitement lié au polynôme

x 2 + x − 1 , {displaystyle x^{2}+x-1,} ${displaystyle x^{2}+x-1,}$ ${displaystyle x^{2}+x-1,}$

qui a des racines − φ {displaystyle -varphi } -varphi et φ − 1 . {displaystylevarphi ^{-1}.} ${displaystyle varphi ^{-1}.}$ ${displaystyle varphi ^{-1}.}$

Nombre d’or conjugué

La racine conjuguée au polynôme minimal x 2 − x − 1 {displaystyle x^{2}-x-1} $x^{2}-x-1$ $x^{2}-x-1$ est

− 1 φ = 1 − φ = 1 − 5 2 = − 0.618033 … . {displaystyle -{frac {1}{varphi }}=1-varphi ={frac {1-{sqrt {5}}}{2}}=-0.618033dots .} ${displaystyle -{frac {1}{varphi }}=1-varphi ={frac {1-{sqrt {5}}}{2}}=-0.618033dots .}$ ${displaystyle -{frac {1}{varphi }}=1-varphi ={frac {1-{sqrt {5}}}{2}}=-0.618033dots .}$

La valeur absolue de cette quantité ( 0.618 … {displaystyle 0.618ldots} {displaystyle 0.618ldots } ) correspond au rapport de longueur pris dans l’ordre inverse (longueur du segment le plus court sur le segment le plus long, b / a {displaystyle b/a} b/a ), et est parfois appelé le conjugué du nombre d’or ^[12] ou le rapport d’argent . ^{[e] [71]} Il est désigné ici par la majuscule Phi ( Φ {displaystyle {boldsymbol {Phi}}} boldsymbol{Phi} ):

Φ = 1 φ = φ − 1 = φ − 1 = 0.618033 … . {displaystyle Phi ={frac {1}{varphi }}=varphi ^{-1}=varphi -1=0.618033ldots .} ${displaystyle Phi ={frac {1}{varphi }}=varphi ^{-1}=varphi -1=0.618033ldots .}$ ${displaystyle Phi ={frac {1}{varphi }}=varphi ^{-1}=varphi -1=0.618033ldots .}$

Cela illustre la propriété unique du nombre d’or parmi les nombres positifs, que

1 φ = φ − 1 , {displaystyle {frac {1}{varphi }}=varphi -1,} ${displaystyle {frac {1}{varphi }}=varphi -1,}$ ${displaystyle {frac {1}{varphi }}=varphi -1,}$

ou son inverse :

1 Φ = Φ + 1. {displaystyle {frac {1}{Phi }}=Phi +1.} ${displaystyle {frac {1}{Phi }}=Phi +1.}$ ${displaystyle {frac {1}{Phi }}=Phi +1.}$

Formes alternatives

Approximations du nombre d’or réciproque par des fractions continues finies ou des rapports de Nombres de Fibonacci

La formule φ = 1 + 1 / φ {displaystyle varphi =1+1/varphi } peut être étendu récursivement pour obtenir une fraction continue pour le nombre d’or : ^[72]

φ = [ 1 ; 1 , 1 , 1 , … ] = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {displaystyle varphi =[1;1,1,1,dots ]=1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}} $varphi =[1;1,1,1,dots ]=1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}$ $varphi =[1;1,1,1,dots ]=1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}$

et sa réciproque :

φ − 1 = [ 0 ; 1 , 1 , 1 , … ] = 0 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {displaystyle varphi ^{-1}=[0;1,1,1,dots ]=0+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1} {1+ddots }}}}}}} $varphi ^{-1}=[0;1,1,1,dots ]=0+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}$ $varphi ^{-1}=[0;1,1,1,dots ]=0+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}$

Les convergentes de ces fractions continues ( 1 / 1 , {displaystyle 1/1,} 2 / 1 , {displaystyle 2/1,} 2 / 1 , {displaystyle 2/1,} 3 / 2 , {displaystyle 3/2,} 5 / 3 , {displaystyle 5/3,} 8 / 5 , {displaystyle 8/5,} 13 / 8 , {displaystyle 13/8,} … ou alors 1 / 1 , {displaystyle 1/1,} 1 / 2 , {displaystyle 1/2,} 2 / 3 , {displaystyle 2/3,} 3 / 5 , {displaystyle 3/5,} 5 / 8 , {displaystyle 5/8,} 8 / 13 , {displaystyle 8/13,} …) sont des rapports de nombres successifs de Fibonacci .

L’équation φ 2 = 1 + φ {displaystyle varphi ^{2}=1+varphi } ${displaystyle varphi ^{2}=1+varphi }$ ${displaystyle varphi ^{2}=1+varphi }$ produit également la racine carrée continue :

φ = 1 + 1 + 1 + ⋯ . {displaystyle varphi ={sqrt {1+{sqrt {1+{sqrt {1+cdots}}}}}}.}

Une série infinie peut être dérivée pour exprimer φ {displaystylevarphi } varphi : ^[73]

φ = 13 8 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 4 2 n + 3 n ! ( n + 2 ) ! . {displaystyle varphi ={frac {13}{8}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}(2n+1) ! }{4^{2n+3}n!(n+2) !}}.} ${displaystyle varphi ={frac {13}{8}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}}.}$ ${displaystyle varphi ={frac {13}{8}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}}.}$

Aussi:

φ = 1 + 2 sin ⁡ ( π / 10 ) = 1 + 2 sin ⁡ 18 ∘ , φ = 1 2 csc ⁡ ( π / 10 ) = 1 2 csc ⁡ 18 ∘ , φ = 2 cos ⁡ ( π / 5 ) = 2 cos ⁡ 36 ∘ , φ = 2 sin ⁡ ( 3 π / 10 ) = 2 sin ⁡ 54 ∘ . {displaystyle {begin{aligned}varphi &=1+2sin(pi /10)=1+2sin 18^{circ },\[5mu]varphi &={tfrac { 1}{2}}csc(pi /10)={tfrac {1}{2}}csc 18^{circ },\[5mu]varphi &=2cos(pi / 5)=2cos 36^{circ },\[5mu]varphi &=2sin(3pi /10)=2sin 54^{circ }.end{aligned}}} ${displaystyle {begin{aligned}varphi &=1+2sin(pi /10)=1+2sin 18^{circ },\[5mu]varphi &={tfrac {1}{2}}csc(pi /10)={tfrac {1}{2}}csc 18^{circ },\[5mu]varphi &=2cos(pi /5)=2cos 36^{circ },\[5mu]varphi &=2sin(3pi /10)=2sin 54^{circ }.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}varphi &=1+2sin(pi /10)=1+2sin 18^{circ },\[5mu]varphi &={tfrac {1}{2}}csc(pi /10)={tfrac {1}{2}}csc 18^{circ },\[5mu]varphi &=2cos(pi /5)=2cos 36^{circ },\[5mu]varphi &=2sin(3pi /10)=2sin 54^{circ }.end{aligned}}}$

Celles-ci correspondent au fait que la longueur de la diagonale d’un pentagone régulier est φ {displaystylevarphi } varphi fois la longueur de son côté, et des relations similaires dans un pentagramme .

Géométrie

Spirales dorées approximatives et vraies . La spirale verte est constituée de quarts de cercles tangents à l’intérieur de chaque carré, tandis que la spirale rouge est une spirale dorée, un type particulier de spirale logarithmique . Les parties qui se chevauchent apparaissent en jaune . La longueur du côté d’un carré divisée par celle du carré plus petit suivant est le nombre d’or.

Le nombre φ {displaystylevarphi } varphi revient souvent en géométrie , notamment dans les figures à symétrie pentagonale . La longueur de la diagonale d’ un pentagone régulier est φ {displaystylevarphi } varphi fois son côté. Les sommets d’un icosaèdre régulier sont ceux de trois rectangles dorés mutuellement orthogonaux .

Il n’y a pas d’ algorithme général connu pour organiser un nombre donné de nœuds uniformément sur une sphère, pour l’une des nombreuses définitions de distribution paire (voir, par exemple, le problème de Thomson ou le problème de Tammes ). Cependant, une approximation utile résulte de la division de la sphère en bandes parallèles de surface égale et du placement d’un nœud dans chaque bande à des longitudes espacées par une section dorée du cercle, c’est-à-dire 360 ∘ / φ ≈ 222.5 ∘ . {displaystyle 360^{circ }/varphi approx 222.5^{circ }.} ${displaystyle 360^{circ }/varphi approx 222.5^{circ }.}$ ${displaystyle 360^{circ }/varphi approx 222.5^{circ }.}$ Cette méthode a été utilisée pour disposer les 1500 miroirs du satellite étudiant-participatif STARSHINE-3 . ^[74]

Division d’un segment de ligne par division intérieure Diviser un segment de ligne par division intérieure selon le nombre d’or

Avoir un segment de ligne A B , {displaystyle AB,} construire une perpendiculaire B C {displaystyle BC} au point B , { style d’affichage B,} avec B C {displaystyle BC} la moitié de la longueur de A B . {displaystyle AB.} Dessiner l’ hypoténuse A C . {displaystyle AC.}
Dessiner un arc avec centre C {displaystyle C} et rayon B C . {displaystyle BC.} Cet arc coupe l’hypoténuse A C {displaystyle CA} au point D . {displaystyle D.}
Dessiner un arc avec centre A {displaystyle A} et rayon A D . {displaystyle AD.} Cet arc coupe le segment de ligne d’origine A B {displaystyle AB} au point S . {displaystyle S.} Indiquer S {displaystyle S} divise le segment de ligne d’origine A B {displaystyle AB} en segments de ligne A S {displaystyle AS} et S B {displaystyle SB} avec des longueurs dans le nombre d’or.

Diviser un segment de ligne par une division extérieure Diviser un segment de ligne par une division extérieure selon le nombre d’or

Dessiner un segment de ligne A S {displaystyle AS} et construire à partir du point S {displaystyle S} un segment S C {displaystyle SC} perpendiculaire à A S {displaystyle AS} et de même longueur que A S . {displaystyle AS.}
Coupez le segment de ligne en deux A S {displaystyle AS} avec M . {displaystyle M.}
Un arc de cercle autour M {displaystyle M} avec rayon M C {displaystyleMC} se croise au point B {displaystyle B} la droite passant par des points A {displaystyle A} et S {displaystyle S} (également connu sous le nom d’extension de A S {displaystyle AS} ). Le rapport de A S {displaystyle AS} au segment construit S B {displaystyle SB} est le nombre d’or.

Des exemples d’application que vous pouvez voir dans les articles Pentagone avec une longueur de côté donnée , Decagon avec un cercle circonscrit donné et Decagon avec une longueur de côté donnée .

Les deux algorithmes différents affichés ci-dessus produisent des constructions géométriques qui déterminent deux segments de ligne alignés où le rapport du plus long au plus court est le nombre d’or.

Triangle d’or, pentagone et pentagramme Triangle d’or . L’angle à double arc rouge est 36 ∘ {displaystyle 36^{circ }} ${displaystyle 36^{circ }}$ ${displaystyle 36^{circ }}$ ou alors 1 5 π {displaystyle {tfrac {1}{5}}pi } ${displaystyle {tfrac {1}{5}}pi }$ ${displaystyle {tfrac {1}{5}}pi }$ radians. Triangle d’or

Le triangle d’or peut être caractérisé comme un triangle isocèle A B C {displaystyle ABC} ABC avec la propriété que la bissectrice de l’angle C {displaystyle C} produit un nouveau triangle C X B {displaystyle CXB} qui est un Triangle similaire à l’original.

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Si angle B C X = α , {displaystyle BCX=alpha ,} alors X C A = α {displaystyle XCA=alpha } à cause de la bissection, et C A B = α {displaystyle CAB=alpha } à cause des triangles semblables; A B C = 2 α {displaystyle ABC=2alpha } de la symétrie isocèle d’origine, et B X C = 2 α {displaystyle BXC=2alpha } par similitude. Les angles d’un triangle totalisent 180 ∘ , {displaystyle 180^{circ },} ${displaystyle 180^{circ },}$ ${displaystyle 180^{circ },}$ alors 5 α = 180 ∘ , {displaystyle 5alpha =180^{circ },} ${displaystyle 5alpha =180^{circ },}$ ${displaystyle 5alpha =180^{circ },}$ donnant α = 36 ∘ . {displaystyle alpha =36^{circ }.} ${displaystyle alpha =36^{circ }.}$ ${displaystyle alpha =36^{circ }.}$ Donc les angles du triangle d’or sont donc 36 ∘ {displaystyle 36^{circ }} ${displaystyle 36^{circ }}$ ${displaystyle 36^{circ }}$ – 72 ∘ {displaystyle 72^{circ }} ${displaystyle 72^{circ }}$ ${displaystyle 72^{circ }}$ – 72 ∘ . {displaystyle 72^{circ }.} ${displaystyle 72^{circ }.}$ ${displaystyle 72^{circ }.}$ Les angles du triangle isocèle obtus restant A X C {displaystyle AXC} (parfois appelé le gnomon doré) sont 36 ∘ {displaystyle 36^{circ }} ${displaystyle 36^{circ }}$ ${displaystyle 36^{circ }}$ – 36 ∘ {displaystyle 36^{circ }} ${displaystyle 36^{circ }}$ ${displaystyle 36^{circ }}$ – 108 ∘ . {displaystyle 108^{circ }.} ${displaystyle 108^{circ }.}$ ${displaystyle 108^{circ }.}$

Supposer X B {displaystyle XB} a de la longueur 1 , {displaystyle 1,} et nous appelons B C {displaystyle BC} longueur φ . {displaystylevarphi .} A cause des triangles isocèles X C = X A {displaystyle XC=XA} et B C = X C , {displaystyle BC=XC,} donc ce sont aussi des longueurs φ . {displaystylevarphi .} Longueur A C = A B , {displaystyle AC=AB,} est donc égal à φ + 1. {displaystylevarphi +1.} {displaystyle varphi +1.} Mais triangulaire A B C {displaystyle ABC} ABC est semblable au triangle C X B , {displaystyle CXB,} alors A C / B C = B C / B X , {displaystyle AC/BC=BC/BX,} A C / φ = φ / 1 , {displaystyle AC/varphi =varphi /1,} et donc A C {displaystyle CA} égale aussi φ 2 . {displaystylevarphi ^{2}.} ${displaystyle varphi ^{2}.}$ ${displaystyle varphi ^{2}.}$ Ainsi φ 2 = φ + 1 , {displaystyle varphi ^{2}=varphi +1,} ${displaystyle varphi ^{2}=varphi +1,}$ ${displaystyle varphi ^{2}=varphi +1,}$ confirmant que φ {displaystylevarphi } varphi est bien le nombre d’or.

De même, le rapport de l’aire du plus grand triangle A X C {displaystyle AXC} au plus petit C X B {displaystyle CXB} est égal à φ , {displaystyle varphi ,} tandis que le rapport inverse est φ − 1. {displaystylevarphi -1.} {displaystyle varphi -1.}

Pentagone

Dans un pentagone régulier , le rapport d’une diagonale à un côté est le nombre d’or, tandis que les diagonales qui se croisent se coupent dans le nombre d’or. ^[dix]

La construction d’Odom Laisser A {displaystyle A} et B {displaystyle B} être au milieu des côtés E F {displaystyle EF} et E D {displaystyle ED} d’un triangle équilatéral D E F . {displaystyle DÉF.} {displaystyle DEF.} Étendre A B {displaystyle AB} rencontrer le cercle circonscrit de D E F {displaystyle DEF} à C . {displaystyle C.}
| A B | | B C | = | A C | | A B | = φ {displaystyle {tfrac {|AB|}{|BC|}}={tfrac {|AC|}{|AB|}}=phi } ${tfrac {|AB|}{|BC|}}={tfrac {|AC|}{|AB|}}=phi$ ${tfrac {|AB|}{|BC|}}={tfrac {|AC|}{|AB|}}=phi$

George Odom a donné une construction remarquablement simple pour φ {displaystylevarphi } varphi impliquant un triangle équilatéral : si un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle et que le segment de ligne joignant les milieux de deux côtés est produit pour couper le cercle en l’un des deux points, alors ces trois points sont en proportion d’or. Ce résultat est une conséquence directe du théorème des accords d’intersection et peut être utilisé pour construire un pentagone régulier, une construction qui a attiré l’attention du célèbre géomètre canadien HSM Coxeter qui l’a publié au nom d’Odom sous forme de diagramme dans l’ American Mathematical Monthly accompagné de le seul mot “Voici!” ^[75]

Pentacle Un pentagramme coloré pour distinguer ses segments de ligne de différentes longueurs. Les quatre longueurs sont en nombre d’or les unes par rapport aux autres.

Le nombre d’or joue un rôle important dans la géométrie des pentagrammes . Chaque intersection d’arêtes sectionne d’autres arêtes dans le nombre d’or. De plus, le rapport de la longueur du segment le plus court au segment délimité par les deux arêtes qui se croisent (un côté du pentagone au centre du pentagramme) est φ , {displaystyle varphi ,} comme le montre l’illustration en quatre couleurs.

Le pentagramme comprend dix triangles isocèles : cinq triangles isocèles aigus et cinq obtus . Dans chacun d’eux, le rapport du côté le plus long au côté le plus court est φ . {displaystylevarphi .} Les triangles aigus sont des triangles d’or. Les triangles isocèles obtus sont des gnomons dorés.

Théorème de Ptolémée Le nombre d’or dans un pentagone régulier peut être calculé à l’aide du théorème de Ptolémée .

Les propriétés du nombre d’or d’un pentagone régulier peuvent être confirmées en appliquant le théorème de Ptolémée au quadrilatère formé en supprimant l’un de ses sommets. Si le bord long et les diagonales du quadrilatère sont b , {displaystyle b,} et les bords courts sont a , {displaystyle a,} alors le théorème de Ptolémée donne b 2 = a 2 + a b {displaystyle b^{2}=a^{2}+ab} ${displaystyle b^{2}=a^{2}+ab}$ ${displaystyle b^{2}=a^{2}+ab}$ qui donne

b a = 1 + 5 2 . {displaystyle {b over a}={{1+{sqrt {5}}} over 2}.} Scalenité des triangles

Considérons un triangle avec des côtés de longueurs a , {displaystyle a,} b , {displaystyle b,} et c {displaystyle c} par ordre décroissant. Définissez la “scalénité” du triangle comme étant le plus petit des deux rapports a / b {displaystyle a/b} a/b et b / c . {displaystyle b/c.} La scalénité est toujours inférieure à φ {displaystylevarphi } varphi et peut être fait aussi près que désiré de φ . {displaystylevarphi .} ^[76]

Triangle dont les côtés forment une progression géométrique

Si les longueurs des côtés d’un triangle forment une progression géométrique et sont dans le rapport 1 : r : r 2 , {displaystyle 1mathbin {:} rmathbin {:} r^{2},} ${displaystyle 1mathbin {:} rmathbin {:} r^{2},}$ ${displaystyle 1mathbin {:} rmathbin {:} r^{2},}$ où r {displaystyle r} est le rapport commun, alors r {displaystyle r} doit se situer dans la plage φ − 1 < r < φ , {displaystyle varphi -1<r<varphi ,} en conséquence de l’ inégalité du triangle (la somme de deux côtés d’un triangle doit être strictement supérieure à la longueur du troisième côté). Si r = φ {displaystyle r=varphi } alors les deux côtés les plus courts sont 1 {displaystyle 1} et φ {displaystylevarphi } varphi mais leur somme est φ 2 , {displaystyle varphi ^{2},} ${displaystyle varphi ^{2},}$ ${displaystyle varphi ^{2},}$ Donc r < φ . {displaystyle r<varphi .} Un calcul similaire montre que r > φ − 1. {displaystyle r>varphi -1.} Un triangle dont les côtés sont dans le rapport 1 : φ : φ {displaystyle 1mathbin {:} {sqrt {varphi }}mathbin {:} varphi } est un triangle rectangle (car 1 + φ = φ 2 {displaystyle 1+varphi =varphi ^{2}} ${displaystyle 1+varphi =varphi ^{2}}$ ${displaystyle 1+varphi =varphi ^{2}}$ ) connu sous le nom de triangle de Kepler . ^[77]

Triangle d’or, losange et triacontaèdre rhombique L’un des losanges du triacontaèdre rhombique Toutes les faces du triacontaèdre rhombique sont des losanges dorés

Un losange doré est un losange dont les diagonales sont dans le nombre d’or. Le triacontaèdre rhombique est un polytope convexe qui possède une propriété bien particulière : toutes ses faces sont des losanges dorés. Dans le triacontaèdre rhombique , l’ angle dièdre entre deux losanges adjacents est 144 ∘ , {displaystyle 144^{circ },} ${displaystyle 144^{circ },}$ ${displaystyle 144^{circ },}$ qui est deux fois l’angle isocèle d’un triangle d’or et quatre fois son angle le plus aigu. ^[78]

Relation avec la suite de Fibonacci

Les mathématiques du nombre d’or et de la suite de Fibonacci sont intimement liées. La suite de Fibonacci est :

1 , {displaystyle 1,} 1 , {displaystyle 1,} 2 , {displaystyle 2,} 3 , {displaystyle 3,} 5 , {displaystyle 5,} 8 , {displaystyle 8,} 13 , {displaystyle 13,} 21 , {displaystyle 21,} 34 , {displaystyle 34,} 55 , {displaystyle 55,} 89 , {displaystyle 89,} 144 , {displaystyle 144,} 233 , {displaystyle 233,} 377 , {displaystyle 377,} 610 , {displaystyle 610,} 987 , {displaystyle 987,} …

Une expression de forme fermée pour la séquence de Fibonacci implique le nombre d’or :

F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 = φ n − ( − φ ) − n 5 . {displaystyle Fleft(nright)={{varphi ^{n}-(1-varphi )^{n}} over {sqrt {5}}}={{varphi ^{n }-(-varphi )^{-n}} over {sqrt {5}}}.} ${displaystyle Fleft(nright)={{varphi ^{n}-(1-varphi )^{n}} over {sqrt {5}}}={{varphi ^{n}-(-varphi )^{-n}} over {sqrt {5}}}.}$ ${displaystyle Fleft(nright)={{varphi ^{n}-(1-varphi )^{n}} over {sqrt {5}}}={{varphi ^{n}-(-varphi )^{-n}} over {sqrt {5}}}.}$ Une spirale de Fibonacci qui se rapproche de la spirale dorée, en utilisant des tailles de carrés de séquence de Fibonacci jusqu’à 34. {displaystyle 34.} La spirale est dessinée à partir de l’intérieur 1 × 1 {displaystyle 1fois 1} 1 times 1 carré et continue vers l’extérieur vers des carrés de plus en plus grands.

Le nombre d’or est la limite des rapports des termes successifs de la suite de Fibonacci (ou de toute suite de type Fibonacci), comme le montre Kepler : ^[79]

lim n → ∞ F n + 1 F n = φ . {displaystyle lim _{nto infty }{frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=varphi .} ${displaystyle lim _{nto infty }{frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=varphi .}$ ${displaystyle lim _{nto infty }{frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=varphi .}$

En d’autres termes, si un nombre de Fibonacci est divisé par son prédécesseur immédiat dans la séquence, le quotient se rapproche φ ; {displaystylevarphi ;} {displaystyle varphi ;} par exemple, 987 / 610 ≈ 1.6180327868852. {displaystyle 987/610environ 1.6180327868852.} {displaystyle 987/610approx 1.6180327868852.} Ces approximations sont alternativement inférieures et supérieures à φ , {displaystyle varphi ,} et converger vers φ {displaystylevarphi } varphi à mesure que les Nombres de Fibonacci augmentent, et :

∑ n = 1 ∞ | F n φ − F n + 1 | = φ . {displaystyle sum _{n=1}^{infty}|F_{n}varphi -F_{n+1}|=varphi .} ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }|F_{n}varphi -F_{n+1}|=varphi .}$ ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }|F_{n}varphi -F_{n+1}|=varphi .}$

Plus généralement

lim n → ∞ F n + a F n = φ a , {displaystyle lim _{nto infty }{frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=varphi ^{a},} ${displaystyle lim _{nto infty }{frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=varphi ^{a},}$ ${displaystyle lim _{nto infty }{frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=varphi ^{a},}$

où ci-dessus, les rapports des termes consécutifs de la suite de Fibonacci, est un cas où a = 1. {displaystyle a=1.}

Par ailleurs, les pouvoirs successifs de φ {displaystylevarphi } varphi obéir à la récurrence de Fibonacci

φ n + 1 = φ n + φ n − 1 . {displaystyle varphi ^{n+1}=varphi ^{n}+varphi ^{n-1}.} ${displaystyle varphi ^{n+1}=varphi ^{n}+varphi ^{n-1}.}$ ${displaystyle varphi ^{n+1}=varphi ^{n}+varphi ^{n-1}.}$

Cette identité permet à tout polynôme de φ {displaystylevarphi } varphi être réduit à une expression linéaire. Par example:

3 φ 3 − 5 φ 2 + 4 = 3 ( φ 2 + φ ) − 5 φ 2 + 4 = 3 [ ( φ + 1 ) + φ ] − 5 ( φ + 1 ) + 4 = φ + 2 ≈ 3.618033. {displaystyle {begin{aligned}3varphi ^{3}-5varphi ^{2}+4&=3(varphi ^{2}+varphi )-5varphi ^{2}+4 &=3[(varphi +1)+varphi ]-5(varphi +1)+4\&=varphi +2environ 3,618033.end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}3varphi ^{3}-5varphi ^{2}+4&=3(varphi ^{2}+varphi )-5varphi ^{2}+4\&=3[(varphi +1)+varphi ]-5(varphi +1)+4\&=varphi +2approx 3.618033.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}3varphi ^{3}-5varphi ^{2}+4&=3(varphi ^{2}+varphi )-5varphi ^{2}+4\&=3[(varphi +1)+varphi ]-5(varphi +1)+4\&=varphi +2approx 3.618033.end{aligned}}}$

La réduction à une expression linéaire peut être accomplie en une seule étape en utilisant la relation

φ k = F k φ + F k − 1 , {displaystyle varphi ^{k}=F_{k}varphi +F_{k-1},} $varphi ^{k}=F_{k}varphi +F_{k-1},$ $varphi ^{k}=F_{k}varphi +F_{k-1},$

où F k {displaystyle F_{k}} $F_{k}$ $F_{k}$ est le k {displaystyle k} ème nombre de Fibonacci.

Cependant, ce n’est pas une propriété spéciale de φ , {displaystyle varphi ,} parce que les polynômes dans toute solution x {style d’affichage x} à une équation quadratique peut se réduire de manière analogue, en appliquant :

x 2 = a x + b {displaystyle x^{2}=ax+b} $x^{2}=ax+b$ $x^{2}=ax+b$

pour des coefficients donnés a , {displaystyle a,} b {displaystyle b} tel que x {style d’affichage x} satisfait l’équation. Plus généralement encore, toute fonction rationnelle (à coefficients rationnels) de la racine d’un irréductible n {displaystyle n} polynôme de ème degré sur les rationnels peut être réduit à un polynôme de degré n − 1. {displaystyle n-1.} n-1. En termes de théorie des champs , si α {displaystylealpha} alpha est racine d’un irréductible n {displaystyle n} polynôme du ème degré, alors Q ( α ) {displaystyle mathbb {Q} (alpha)} {mathbb {Q}}(alpha ) a un diplôme n {displaystyle n} terminé Q , {displaystyle mathbb {Q} ,} avec base { 1 , α , … , α n − 1 } . {displaystyle {1,alpha ,ldots ,alpha ^{n-1}}.} ${displaystyle {1,alpha ,ldots ,alpha ^{n-1}}.}$ ${displaystyle {1,alpha ,ldots ,alpha ^{n-1}}.}$

Symétries

Le nombre d’or et le nombre d’or inverse φ ± = 1 2 ( 1 ± 5 ) {displaystyle varphi _{pm }={tfrac {1}{2}}{bigl (}1pm {sqrt {5}}{bigr )}} ${displaystyle varphi _{pm }={tfrac {1}{2}}{bigl (}1pm {sqrt {5}}{bigr )}}$ ${displaystyle varphi _{pm }={tfrac {1}{2}}{bigl (}1pm {sqrt {5}}{bigr )}}$ ont un ensemble de symétries qui les préservent et les relient. Ils sont tous deux préservés par les transformations linéaires fractionnaires x , 1 / ( 1 − x ) , ( x − 1 ) / x {displaystyle x,1/(1-x),(x-1)/x} – ce fait correspond à l’identité et à la définition de l’équation quadratique. De plus, ils sont interchangés par les trois cartes 1 / x , 1 − x , x / ( x − 1 ) {displaystyle 1/x,1-x,x/(x-1)} – elles sont réciproques, symétriques par rapport à 1 2 , {displaystyle {tfrac {1}{2}},} ${displaystyle {tfrac {1}{2}},}$ ${displaystyle {tfrac {1}{2}},}$ et (projectivement) symétrique par rapport à 2. {displaystyle 2.}

Plus profondément, ces cartes forment un sous-groupe du groupe modulaire PSL ⁡ ( 2 , Z ) {displaystyle operatorname {PSL} (2,mathbb {Z} )} isomorphe au groupe symétrique sur 3 {displaystyle 3} des lettres, S 3 , {displaystyle S_{3},} $S_{3},$ $S_{3},$ correspondant au stabilisateur de l’ensemble { 0 , 1 , ∞ } {style d’affichage {0,1,infty }} {displaystyle {0,1,infty }} de 3 {displaystyle 3} points standard sur la ligne projective , et les symétries correspondent à la carte quotient S 3 → S 2 {displaystyle S_{3}à S_{2}} $S_{3}to S_{2}$ $S_{3}to S_{2}$ – le sous-groupe C 3 < S 3 {displaystyle C_{3}<S_{3}} $C_{3}<S_{3}$ $C_{3}<S_{3}$ composé de l’identité et de la 3 {displaystyle 3} -cycles, en notation cyclique { ( 1 ) , ( 0 1 ∞ ) , ( 0 ∞ 1 ) } , {displaystyle {(1),(0,1,infty ),(0,infty ,1)},} fixe les deux nombres, tandis que le 2 {displaystyle 2} -cycles { ( 0 1 ) , ( 0 ∞ ) , ( 1 ∞ ) } {displaystyle {(0,1),(0,infty ),(1,infty )}} échangez-les, réalisant ainsi la carte.

Autres propriétés

Le nombre d’or a l’expression la plus simple (et la convergence la plus lente) en tant qu’expansion de fraction continue de tout nombre irrationnel (voir Formes alternatives ci-dessus). C’est, pour cette raison, l’un des pires cas du théorème d’approximation de Lagrange et c’est un cas extrême de l’ inégalité de Hurwitz pour les approximations diophantiennes . C’est peut-être pour cette raison que des angles proches du nombre d’or apparaissent souvent dans la phyllotaxie . ^[80]

Le polynôme quadratique de définition et la relation conjuguée conduisent à des valeurs décimales qui ont leur partie fractionnaire en commun avec φ {displaystylevarphi } varphi :

φ 2 = φ + 1 = 2.618033 … , 1 φ = φ − 1 = 0.618033 … . {displaystyle {begin{aligned}varphi ^{2}&=varphi +1=2.618033dots ,\[5mu]{frac {1}{varphi }}&=varphi -1=0.618033 points .end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}varphi ^{2}&=varphi +1=2.618033dots ,\[5mu]{frac {1}{varphi }}&=varphi -1=0.618033dots .end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}varphi ^{2}&=varphi +1=2.618033dots ,\[5mu]{frac {1}{varphi }}&=varphi -1=0.618033dots .end{aligned}}}$

La suite des pouvoirs de φ {displaystylevarphi } varphi contient ces valeurs 0.618033 … , {displaystyle 0.618033ldots ,} 1.0 , {displaystyle 1.0,} 1.618033 … , {displaystyle 1.618033ldots ,} 2.618033 … ; {displaystyle 2.618033ldots ;} plus généralement, toute puissance de φ {displaystylevarphi } varphi est égal à la somme des deux puissances immédiatement précédentes :

φ n = φ n − 1 + φ n − 2 = φ ⋅ F n + F n − 1 . {displaystyle varphi ^{n}=varphi ^{n-1}+varphi ^{n-2}=varphi cdot operatorname {F} _{n}+operatorname {F} _{n -1}.} $varphi ^{n}=varphi ^{n-1}+varphi ^{n-2}=varphi cdot operatorname {F} _{n}+operatorname {F} _{n-1}.$ $varphi ^{n}=varphi ^{n-1}+varphi ^{n-2}=varphi cdot operatorname {F} _{n}+operatorname {F} _{n-1}.$

Par conséquent, on peut facilement décomposer n’importe quelle puissance de φ {displaystylevarphi } varphi en un multiple de φ {displaystylevarphi } varphi et une constante. Le multiple et la constante sont toujours des Nombres de Fibonacci adjacents. Cela conduit à une autre propriété des puissances positives de φ {displaystylevarphi } varphi :

Si ⌊ n / 2 − 1 ⌋ = m , {displaystyle lfloor n/2-1rfloor =m,} alors:

φ n = φ n − 1 + φ n − 3 + ⋯ + φ n − 1 − 2 m + φ n − 2 − 2 m φ n − φ n − 1 = φ n − 2 . {displaystyle {begin{aligned}varphi ^{n}&=varphi ^{n-1}+varphi ^{n-3}+cdots +varphi ^{n-1-2m}+ varphi ^{n-2-2m}\[5mu]varphi ^{n}-varphi ^{n-1}&=varphi ^{n-2}.end{aligné}}} ${displaystyle {begin{aligned}varphi ^{n}&=varphi ^{n-1}+varphi ^{n-3}+cdots +varphi ^{n-1-2m}+varphi ^{n-2-2m}\[5mu]varphi ^{n}-varphi ^{n-1}&=varphi ^{n-2}.end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}varphi ^{n}&=varphi ^{n-1}+varphi ^{n-3}+cdots +varphi ^{n-1-2m}+varphi ^{n-2-2m}\[5mu]varphi ^{n}-varphi ^{n-1}&=varphi ^{n-2}.end{aligned}}}$

Le nombre d’or est une unité fondamentale du corps des nombres algébriques Q ( 5 ) {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {5}})} et est un nombre Pisot-Vijayaraghavan . ^[81] Sur le terrain Q ( 5 ) {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {5}})} on a φ n = 1 2 ( L n + F n 5 ) , {displaystyle varphi ^{n}={tfrac {1}{2}}{bigl (}L_{n}+F_{n}{sqrt {5}}{bigr )},} ${displaystyle varphi ^{n}={tfrac {1}{2}}{bigl (}L_{n}+F_{n}{sqrt {5}}{bigr )},}$ ${displaystyle varphi ^{n}={tfrac {1}{2}}{bigl (}L_{n}+F_{n}{sqrt {5}}{bigr )},}$ où L n {displaystyle L_{n}} $L_{n}$ $L_{n}$ est le n {displaystyle n} -e numéro Lucas .

Lorsque le nombre d’or est utilisé comme base d’un système numérique (voir base du nombre d’or , parfois surnommé phinaire ou φ {displaystylevarphi } varphi -nary ), entiers quadratiques dans l’anneau Z [ φ ] {displaystyle mathbb {Z} [varphi ]} – c’est-à-dire des nombres de la forme a + b φ {displaystyle a+bvarphi } pour a , b ∈ Z {displaystyle a,bin mathbb {Z} } – ont des représentations terminales , mais les fractions rationnelles ont des représentations non terminales.

Le nombre d’or apparaît également en géométrie hyperbolique , comme la distance maximale d’un point d’un côté d’un triangle idéal au plus proche des deux autres côtés : cette distance, la longueur du côté du triangle équilatéral formé par les points de tangence d’un cercle inscrit dans le triangle idéal, est 4 : log ⁡ ( φ ) . {displaystyle 4mathbin {:} log(varphi ).} ^[82]

Le nombre d’or apparaît également dans la théorie des fonctions modulaires . Pour | q | < 1 {displaystyle left|qright|<1} , laisser

R ( q ) = q 1 / 5 1 + q 1 + q 2 1 + q 3 1 + ⋱ . {displaystyle R(q)={cfrac {q^{1/5}}{1+{cfrac {q}{1+{cfrac {q^{2}}{1+{cfrac {q ^{3}}{1+ddots }}}}}}}}.} ${displaystyle R(q)={cfrac {q^{1/5}}{1+{cfrac {q}{1+{cfrac {q^{2}}{1+{cfrac {q^{3}}{1+ddots }}}}}}}}.}$ ${displaystyle R(q)={cfrac {q^{1/5}}{1+{cfrac {q}{1+{cfrac {q^{2}}{1+{cfrac {q^{3}}{1+ddots }}}}}}}}.}$

Puis

R ( e − 2 π ) = φ 5 − φ , R ( − e − π ) = φ − 1 − 2 − φ − 1 {displaystyle R(e^{-2pi })={sqrt {varphi {sqrt {5}}}}-varphi ,quad R(-e^{-pi })=varphi ^{-1}-{sqrt {2-varphi ^{-1}}}} ${displaystyle R(e^{-2pi })={sqrt {varphi {sqrt {5}}}}-varphi ,quad R(-e^{-pi })=varphi ^{-1}-{sqrt {2-varphi ^{-1}}}}$ ${displaystyle R(e^{-2pi })={sqrt {varphi {sqrt {5}}}}-varphi ,quad R(-e^{-pi })=varphi ^{-1}-{sqrt {2-varphi ^{-1}}}}$

R ( e − 2 π i / τ ) = 1 − φ R ( e 2 π i τ ) φ + R ( e 2 π i τ ) {displaystyle R(e^{-2pi i/tau })={frac {1-varphi R(e^{2pi itau })}{varphi +R(e^{ 2pi itau })}}} ${displaystyle R(e^{-2pi i/tau })={frac {1-varphi R(e^{2pi itau })}{varphi +R(e^{2pi itau })}}}$ ${displaystyle R(e^{-2pi i/tau })={frac {1-varphi R(e^{2pi itau })}{varphi +R(e^{2pi itau })}}}$

où Im ⁡ τ > 0 {displaystyle operatorname {Je} tau >0} {displaystyle operatorname {Im} tau >0} et ( e z ) 1 / 5 {displaystyle (e^{z})^{1/5}} ${displaystyle (e^{z})^{1/5}}$ ${displaystyle (e^{z})^{1/5}}$ dans la fraction continue doit être évalué comme e z / 5 {displaystyle e^{z/5}} ${displaystyle e^{z/5}}$ ${displaystyle e^{z/5}}$ . La fonction τ ↦ R ( e 2 π i τ ) {displaystyle tau mapsto R(e^{2pi itau })} ${displaystyle tau mapsto R(e^{2pi itau })}$ ${displaystyle tau mapsto R(e^{2pi itau })}$ est invariant sous Γ ( 5 ) {displaystyleGamma (5)} {displaystyle Gamma (5)} , un sous-groupe de congruence du groupe modulaire . Aussi pour les nombres réels positifs a , b ∈ R + {displaystyle a,bin mathbb {R} ^{+}} ${displaystyle a,bin mathbb {R} ^{+}}$ ${displaystyle a,bin mathbb {R} ^{+}}$ et a b = π 2 , {displaystyle ab=pi ^{2},} ${displaystyle ab=pi ^{2},}$ ${displaystyle ab=pi ^{2},}$ puis ^[83]

( φ + R ( e − 2 a ) ) ( φ + R ( e − 2 b ) ) = φ 5 {displaystyle (varphi +R(e^{-2a}))(varphi +R(e^{-2b}))=varphi {sqrt {5}}} ${displaystyle (varphi +R(e^{-2a}))(varphi +R(e^{-2b}))=varphi {sqrt {5}}}$ ${displaystyle (varphi +R(e^{-2a}))(varphi +R(e^{-2b}))=varphi {sqrt {5}}}$

( φ − 1 − R ( − e − a ) ) ( φ − 1 − R ( − e − b ) ) = φ − 1 5 . {displaystyle (varphi ^{-1}-R(-e^{-a}))(varphi ^{-1}-R(-e^{-b}))=varphi ^{-1 }{sqrt {5}}.} ${displaystyle (varphi ^{-1}-R(-e^{-a}))(varphi ^{-1}-R(-e^{-b}))=varphi ^{-1}{sqrt {5}}.}$ ${displaystyle (varphi ^{-1}-R(-e^{-a}))(varphi ^{-1}-R(-e^{-b}))=varphi ^{-1}{sqrt {5}}.}$

Pour la fonction gamma , ^[f] les seules solutions de l’équation Γ( z − 1) = Γ( z + 1) sont z = φ et z = −1/ φ .

Développement décimal

L’expansion décimale du nombre d’or peut être calculée à partir de l’expression

φ = 1 + 5 2 {displaystyle varphi ={1+{sqrt {5}} over 2}}

avec 5 = {displaystyle {sqrt {5}}=} 2.236 067 977 …. OEIS : A002163 . La racine carrée de 5 {displaystyle 5} peut être calculé via la méthode babylonienne , en commençant par une estimation initiale telle que x 0 = 2 {style d’affichage x_{0}=2} ${displaystyle x_{0}=2}$ ${displaystyle x_{0}=2}$ et itérer

x n + 1 = 1 2 ( x n + 5 x n ) {displaystyle x_{n+1}={frac {1}{2}}left(x_{n}+{frac {5}{x_{n}}}right)} ${displaystyle x_{n+1}={frac {1}{2}}left(x_{n}+{frac {5}{x_{n}}}right)}$ ${displaystyle x_{n+1}={frac {1}{2}}left(x_{n}+{frac {5}{x_{n}}}right)}$

pour n = 0 , 1 , 2 , 3 , … , {displaystyle n=0,1,2,3,ldots ,} jusqu’à la différence entre x n {style d’affichage x_{n}} $x_{n}$ $x_{n}$ et x n − 1 {displaystyle x_{n-1}} $x_{n-1}$ $x_{n-1}$ devient zéro au nombre de chiffres souhaité. Puis φ ≈ 1 2 ( 1 + x n ) . {displaystyle varphi approx {tfrac {1}{2}}(1+x_{n}).} ${displaystyle varphi approx {tfrac {1}{2}}(1+x_{n}).}$ ${displaystyle varphi approx {tfrac {1}{2}}(1+x_{n}).}$

L’algorithme babylonien pour 5 {displaystyle {sqrt {5}}} est équivalent à la méthode de Newton pour résoudre l’équation x 2 − 5 = 0 , {displaystyle x^{2}-5=0,} ${displaystyle x^{2}-5=0,}$ ${displaystyle x^{2}-5=0,}$ et il converge quadratiquement , ce qui signifie que le nombre de chiffres corrects est à peu près doublé à chaque itération.

Pour éviter l’opération de division coûteuse en calcul, la méthode de Newton peut à la place être utilisée pour résoudre l’équation 5 x − 2 − 4 = 0 {displaystyle 5x^{-2}-4=0} ${displaystyle 5x^{-2}-4=0}$ ${displaystyle 5x^{-2}-4=0}$ pour la racine 1 2 5 . {textstyle {tfrac {1}{2}}{sqrt {5}}.} ${textstyle {tfrac {1}{2}}{sqrt {5}}.}$ ${textstyle {tfrac {1}{2}}{sqrt {5}}.}$ Puis φ ≈ 1 2 + x n {textstyle varphi approx {tfrac {1}{2}}+x_{n}} ${textstyle varphi approx {tfrac {1}{2}}+x_{n}}$ ${textstyle varphi approx {tfrac {1}{2}}+x_{n}}$ et l’étape de mise à jour est

x n + 1 = 3 2 x n − 2 5 x n 3 . {displaystyle x_{n+1}={tfrac {3}{2}}x_{n}-{tfrac {2}{5}}x_{n}^{3}.} ${displaystyle x_{n+1}={tfrac {3}{2}}x_{n}-{tfrac {2}{5}}x_{n}^{3}.}$ ${displaystyle x_{n+1}={tfrac {3}{2}}x_{n}-{tfrac {2}{5}}x_{n}^{3}.}$

Alternativement, la méthode de Newton peut être appliquée directement à toute équation qui a le nombre d’or comme solution, telle que x 2 − x − 1 = 0. {displaystyle x^{2}-x-1=0.} ${displaystyle x^{2}-x-1=0.}$ ${displaystyle x^{2}-x-1=0.}$ Dans ce cas, φ ≈ x n {textstyle varphi environ x_{n}} ${textstyle varphi approx x_{n}}$ ${textstyle varphi approx x_{n}}$ et l’étape de mise à jour est

x n + 1 = x n 2 + 1 2 x n − 1 . {displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},.} ${displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},.}$ ${displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},.}$

La méthode de Halley a une convergence cubique (triplant environ le nombre de chiffres corrects à chaque itération), mais peut être plus lente pour le calcul pratique car chaque étape demande plus de travail. Résoudre x 2 − x − 1 = 0 , {displaystyle x^{2}-x-1=0,} ${displaystyle x^{2}-x-1=0,}$ ${displaystyle x^{2}-x-1=0,}$ l’étape de mise à jour est

x n + 1 = x n 3 + 3 x n − 1 3 x n 2 − 3 x n + 2 . {displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}^{3}+3x_{n}-1}{3x_{n}^{2}-3x_{n}+2}}, .} ${displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}^{3}+3x_{n}-1}{3x_{n}^{2}-3x_{n}+2}},.}$ ${displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}^{3}+3x_{n}-1}{3x_{n}^{2}-3x_{n}+2}},.}$

Le nombre d’or est donc relativement facile à calculer avec une précision arbitraire . Le temps nécessaire pour calculer n {displaystyle n} chiffres du nombre d’or est proportionnel au temps nécessaire pour diviser deux n {displaystyle n} -nombres de chiffres. Ceci est considérablement plus rapide que les algorithmes connus pour les nombres transcendantaux π {style d’affichage pi} et e {displaystyle e} .

Une alternative facilement programmable utilisant uniquement l’arithmétique entière consiste à calculer deux grands Nombres de Fibonacci consécutifs et à les diviser. Le rapport des Nombres de Fibonacci F 25001 {displaystyle F_{25001}} ${displaystyle F_{25001}}$ ${displaystyle F_{25001}}$ et F 25000 , {displaystyle F_{25000},} ${displaystyle F_{25000},}$ ${displaystyle F_{25000},}$ chacun sur 5000 {displaystyle 5000} chiffres, donne plus de 10,000 {displaystyle 10{,}000} chiffres significatifs du nombre d’or.

L’expansion décimale du nombre d’or φ {displaystylevarphi } varphi ^[1] a été calculé avec une précision de dix billions ( 1 × 10 13 = 10,000,000,000,000 {displaystyle 1fois 10^{13}=10{,}000{,}000{,}000{,}000} ${displaystyle 1times 10^{13}=10{,}000{,}000{,}000{,}000}$ ${displaystyle 1times 10^{13}=10{,}000{,}000{,}000{,}000}$ ) chiffres. ^[84]

Pyramides

Une pyramide carrée régulière est déterminée par son triangle rectangle médial, dont les bords sont l’apothème de la pyramide ( a {displaystyle a} ), demi-base ( b {displaystyle b} ) et la hauteur ( h {displaystyle h} ); l’angle d’inclinaison du visage est également marqué. Proportions mathématiques b : h : a {displaystyle bmathbin {:} hmathbin {:} a} de 1 : φ : φ {displaystyle 1mathbin {:} {sqrt {varphi }}mathbin {:} varphi } et 3 : 4 : 5 {displaystyle 3mathbin {:} 4mathbin {:} 5} et 1 : 4 / π : 1.61899 {displaystyle 1mathbin {:} 4/pi mathbin {:} 1.61899} présentent un intérêt particulier en ce qui concerne les pyramides égyptiennes.

Les pyramides égyptiennes et les pyramides carrées régulières qui leur ressemblent peuvent être analysées en fonction du nombre d’or et d’autres rapports.

Pyramides mathématiques

Une pyramide dans laquelle l’apothème (hauteur oblique le long de la bissectrice d’une face) est égal à φ {displaystylevarphi } varphi fois la demi-base (la moitié de la largeur de la base) est parfois appelée une pyramide dorée . Le triangle isocèle qui est la face d’une telle pyramide peut être construit à partir des deux moitiés d’un rectangle doré divisé en diagonale (de taille demi-base par apothème), joignant les arêtes de longueur moyenne pour former l’apothème. La hauteur de cette pyramide est φ {displaystyle {sqrt {varphi}}} {sqrt varphi } fois la demi-base (c’est-à-dire que la pente de la face est φ {displaystyle {sqrt {varphi}}} ); le carré de la hauteur est égal à l’aire d’un visage, φ {displaystylevarphi } varphi fois le carré de la demi-base. Le triangle rectangle médian de cette pyramide “dorée” (voir schéma), avec des côtés 1 : φ : φ {displaystyle 1mathbin {:} {sqrt {varphi }}mathbin {:} varphi } est intéressant en soi, démontrant via le théorème de Pythagore la relation φ = φ 2 − 1 {textstyle {sqrt {varphi }}={sqrt {varphi ^{2}-1}}} ${textstyle {sqrt {varphi }}={sqrt {varphi ^{2}-1}}}$ ${textstyle {sqrt {varphi }}={sqrt {varphi ^{2}-1}}}$ ou alors φ = 1 + φ . {displaystyle varphi ={sqrt {1+varphi}}.} Ce triangle de Kepler ^[85] est le seul triangle rectangle avec des longueurs d’arêtes en progression géométrique , ^{[86] [77]} tout comme le 3 : 4 : 5 {displaystyle 3mathbin {:} 4mathbin {:} 5} triangle est la seule proportion de triangle rectangle avec des longueurs d’arête en progression arithmétique . L’angle avec la tangente φ {displaystyle {sqrt {varphi}}} {sqrt varphi } correspond à l’angle que fait le côté de la pyramide par rapport au sol, 51.827 ∘ {displaystyle 51.827^{circ }} ${displaystyle 51.827^{circ }}$ ${displaystyle 51.827^{circ }}$ ( 51 ∘ 49 ′ 38 ′′ {displaystyle 51^{circ };49′;38”} ${displaystyle 51^{circ };49';38''}$ ${displaystyle 51^{circ };49';38''}$ ). ^[87]

Une forme de pyramide presque similaire, mais avec des proportions rationnelles, est décrite dans le Rhind Mathematical Papyrus (la source d’une grande partie de la connaissance moderne des mathématiques égyptiennes antiques ), basée sur le 3 : 4 : 5 {displaystyle 3mathbin {:} 4mathbin {:} 5} Triangle; ^[88] la pente du front correspondant à l’angle avec la tangente 4 / 3 {displaystyle 4/3} 4/3 est, à deux décimales près, 53.13 ∘ {displaystyle 53.13^{circ }} ${displaystyle 53.13^{circ }}$ ${displaystyle 53.13^{circ }}$ ( 53 ∘ 8 ′ {displaystyle 53^{circ };8′} ${displaystyle 53^{circ };8'}$ ${displaystyle 53^{circ };8'}$ ). La hauteur oblique ou apothème est 5 / 3 = 1.666 … {displaystyle 5/3=1.666ldots} {displaystyle 5/3=1.666ldots } fois la demi-base. Le papyrus Rhind a également un autre problème de pyramide, encore une fois avec une pente rationnelle (exprimée en dépassement d’élévation). Les mathématiques égyptiennes n’incluaient pas la notion de nombres irrationnels, ^[89] et la pente inverse rationnelle (course/montée, multipliée par un facteur de 7 {displaystyle 7} convertir en leurs unités conventionnelles de palmiers par coudée) a été utilisé dans la construction de pyramides. ^[88]

Des pyramides égyptiennes très proches en proportion de ces pyramides mathématiques sont connues. ^{[90] [77]}

Pyramides égyptiennes

La Grande Pyramide de Gizeh

Une pyramide égyptienne proche d’une “pyramide dorée” est la Grande Pyramide de Gizeh (également connue sous le nom de Pyramide de Khéops ou Khufu). Sa pente de 51 ∘ 52 ′ {displaystyle 51^{circ };52′} ${displaystyle 51^{circ };52'}$ ${displaystyle 51^{circ };52'}$ est proche de l’inclinaison de la pyramide “dorée” de 51 ∘ 50 ′ {displaystyle 51^{circ };50′} ${displaystyle 51^{circ };50'}$ ${displaystyle 51^{circ };50'}$ – et encore plus près du π {style d’affichage pi} -basée sur l’inclinaison pyramidale de 51 ∘ 51 ′ . {displaystyle 51^{circ };51′.} ${displaystyle 51^{circ };51'.}$ ${displaystyle 51^{circ };51'.}$ Cependant, plusieurs autres théories mathématiques de la forme de la grande pyramide, basées sur des pentes rationnelles, se sont avérées à la fois des explications plus précises et plus plausibles de la 51 ∘ 52 ′ {displaystyle 51^{circ };52′} ${displaystyle 51^{circ };52'}$ ${displaystyle 51^{circ };52'}$ pente. ^[77]

Au milieu du XIXe siècle, Friedrich Röber a étudié diverses pyramides égyptiennes, notamment celles de Khafre , Menkaure et certains des groupes de Gizeh , Saqqarah et Abusir . Il n’a pas appliqué le nombre d’or à la Grande Pyramide de Gizeh, mais a plutôt convenu avec John Shae Perring que son rapport côté-hauteur est 8 : 5. {displaystyle 8mathbin {:} 5.} Pour toutes les autres pyramides, il a appliqué des mesures liées au triangle de Kepler et a affirmé que leurs longueurs entières ou à moitié latérales étaient liées à leurs hauteurs par le nombre d’or. ^[91]

En 1859, le pyramidologue John Taylor a mal interprété Hérodote ( vers 440 avant JC ) comme indiquant que la hauteur de la Grande Pyramide au carré est égale à l’aire de l’un de ses triangles faciaux. ^[g] Cela a conduit Taylor à affirmer que, dans la Grande Pyramide, le nombre d’or est représenté par le rapport de la longueur de la face (la hauteur de la pente, inclinée d’un angle θ {displaystyle thêta} theta au sol) à la moitié de la longueur du côté de la base carrée (équivalente à la sécante de l’angle θ {displaystyle thêta} theta ). ^[93] Les deux longueurs ci-dessus sont d’environ 186,4 mètres (612 pieds) et 115,2 mètres (378 pieds), respectivement. ^[92] Le rapport de ces longueurs est le nombre d’or, précis à plus de chiffres que l’une ou l’autre des mesures originales. De même, Howard Vyse a rapporté la hauteur de la grande pyramide de 148,2 mètres (486 pieds) et la demi-base de 116,4 mètres (382 pieds), ce qui donne 1.6189 {displaystyle 1.6189} pour le rapport de la hauteur oblique à la demi-base, encore une fois plus précis que la variabilité des données. ^[86]

Eric Temple Bell , mathématicien et historien, a affirmé en 1950 que les mathématiques égyptiennes n’auraient pas soutenu la capacité de calculer la hauteur oblique des pyramides, ou le rapport à la hauteur, sauf dans le cas de la 3 : 4 : 5 {displaystyle 3mathbin {:} 4mathbin {:} 5} pyramide, depuis le 3 : 4 : 5 {displaystyle 3mathbin {:} 4mathbin {:} 5} triangle était le seul triangle rectangle connu des Égyptiens et ils ne connaissaient pas le théorème de Pythagore, ni aucun moyen de raisonner sur les irrationnels tels que π {style d’affichage pi} ou alors φ . {displaystylevarphi .} ^[94] Des exemples de problèmes géométriques de conception pyramidale dans le papyrus Rhind correspondent à diverses pentes rationnelles. ^[77]

Michael Rice ^[95] affirme que les principales autorités sur l’histoire de l’architecture égyptienne ont soutenu que les Égyptiens connaissaient bien le nombre d’or et qu’il fait partie des mathématiques des pyramides, citant Giedon (1957). ^[96] Les historiens de la science ont longtemps débattu de la question de savoir si les Égyptiens possédaient une telle connaissance, affirmant que son apparition dans la Grande Pyramide est le résultat du hasard. ^[97]

Observations contestées

Voici des exemples d’observations contestées du nombre d’or :

On prétend souvent à tort que les coquilles de nautile sont aux proportions dorées.

Certaines proportions spécifiques dans le corps de nombreux animaux (y compris les humains) ^{[98] [99]} et des parties de coquilles de mollusques ^[4] sont souvent revendiquées comme étant dans le nombre d’or. Cependant, il existe une grande variation dans les mesures réelles de ces éléments chez des individus spécifiques, et la proportion en question est souvent significativement différente du nombre d’or. ^[98] On a dit que le rapport des os phalangiens successifs des chiffres et de l’os métacarpien se rapproche du nombre d’or. ^[99] La coquille de nautile , dont la construction se déroule dans un spirale logarithmique, est souvent cité, généralement avec l’idée que toute spirale logarithmique est liée au nombre d’or, mais parfois avec l’affirmation que chaque nouvelle chambre est proportionnée en or par rapport à la précédente. ^[100] Cependant, les mesures des coquilles de nautile ne soutiennent pas cette affirmation. ^[101]
L’historien John Man déclare que les pages et la zone de texte de la Bible de Gutenberg étaient “basées sur la forme de la section dorée”. Cependant, selon ses propres mesures, le rapport hauteur/largeur des pages est 1.45. {displaystyle 1.45.} ^[102]
Des études de psychologues, à commencer par Gustav Fechner c. 1876, ^[103] ont été conçues pour tester l’idée que le nombre d’or joue un rôle dans la perception humaine de la beauté . Alors que Fechner a trouvé une préférence pour les ratios rectangulaires centrés sur le nombre d’or, les tentatives ultérieures pour tester soigneusement une telle hypothèse ont été, au mieux, peu concluantes. ^{[104] [47]}
En investissement, certains praticiens de l’analyse technique utilisent le nombre d’or pour indiquer le soutien d’un niveau de prix, ou la résistance aux hausses de prix, d’une action ou d’une marchandise; après d’importants changements de prix à la hausse ou à la baisse, de nouveaux niveaux de support et de résistance sont censés être trouvés à ou près des prix liés au prix de départ via le nombre d’or. ^[105] L’utilisation du nombre d’or dans l’investissement est également liée à des schémas plus compliqués décrits par les Nombres de Fibonacci (par exemple , le principe d’onde d’Elliott et le retracement de Fibonacci ). Cependant, d’autres analystes du marché ont publié des analyses suggérant que ces pourcentages et modèles ne sont pas étayés par les données. ^[106]

Le Parthénon

On prétend que de nombreuses proportions du Parthénon présentent le nombre d’or, mais cela a été largement discrédité. ^[107]

La façade du Parthénon (vers 432 av. J.-C.) ainsi que des éléments de sa façade et d’ailleurs sont, selon certains, circonscrits par des rectangles dorés. ^[108] D’autres érudits nient que les Grecs aient eu une association esthétique avec le nombre d’or. Par exemple, Keith Devlin dit : « Certes, l’affirmation souvent répétée selon laquelle le Parthénon d’Athènes est basé sur le nombre d’or n’est pas étayée par des mesures réelles. En fait, toute l’histoire sur les Grecs et le nombre d’or semble être sans fondement. ” ^[109] Midhat J. Gazalé affirme que “Il a fallu attendre Euclide … que les propriétés mathématiques du nombre d’or ont été étudiées.” ^[110]

À partir des mesures de 15 temples, 18 tombes monumentales, 8 sarcophages et 58 stèles funéraires du cinquième siècle avant JC au deuxième siècle après JC, un chercheur a conclu que le nombre d’or était totalement absent de l’architecture grecque du cinquième siècle classique avant JC, et presque absent pendant les six siècles suivants. ^[111] Les sources postérieures comme Vitruve (le premier siècle BC) discutent exclusivement des proportions qui peuvent être exprimées dans les nombres entiers, c’est-à-dire proportionnés par opposition aux proportions irrationnelles.

Art moderne

Albert Gleizes , Les Baigneuses (1912)

La Section d’Or (‘Golden Section’) était un collectif de peintres , sculpteurs, poètes et critiques associés au cubisme et à l’orphisme . ^[112] Actifs de 1911 à 1914 environ, ils ont adopté le nom à la fois pour souligner que le cubisme représentait la continuation d’une grande tradition, plutôt que d’être un mouvement isolé, et en hommage à l’harmonie mathématique associée à Georges Seurat . ^[113] Les cubistes ont observé dans ses harmonies, la structuration géométrique du mouvement et de la forme, la primauté de l’idée sur la nature, une clarté scientifique absolue de la conception. ^[114]Cependant, malgré cet intérêt général pour l’harmonie mathématique, il est plus difficile de déterminer si les peintures présentées dans la célèbre exposition du Salon de la Section d’Or de 1912 utilisaient le nombre d’or dans certaines compositions. Livio, par exemple, prétend que non, ^[115] et Marcel Duchamp l’a dit dans une interview. ^[116] D’autre part, une analyse suggère que Juan Gris a utilisé le nombre d’or dans la composition d’œuvres qui ont été vraisemblablement, mais pas définitivement, montrées à l’exposition. ^{[116] [117] [118]} L’historien de l’art Daniel Robbins a fait valoir qu’en plus de faire référence au terme mathématique, le nom de l’exposition fait également référence au premierGroupe des Bandeaux d’Or , auquel avaient participé Albert Gleizes et d’autres anciens membres de l’ Abbaye de Créteil . ^[119]

Piet Mondrian aurait largement utilisé la section dorée dans ses peintures géométriques, ^[120] bien que d’autres experts (dont le critique Yve-Alain Bois ) aient discrédité ces affirmations. ^{[47] [121]}

Voir également

Angle d’or
Liste des œuvres conçues avec le nombre d’or
Moyenne métallique
Numéro en plastique
Géométrie sacrée
Nombre de super-or

Références

Notes de bas de page explicatives

^ Si la contrainte sur a {displaystyle a} et b {displaystyle b} chacun étant supérieur à zéro est levé, alors il y a en fait deux solutions, une positive et une négative, à cette équation. φ {displaystylevarphi } est défini comme la solution positive. La solution négative est − φ − 1 = 1 2 ( 1 − 5 ) . {displaystyle -varphi ^{-1}={tfrac {1}{2}}{bigl (}1-{sqrt {5}}{bigr )}.} ${displaystyle -varphi ^{-1}={tfrac {1}{2}}{bigl (}1-{sqrt {5}}{bigr )}.}$ ${displaystyle -varphi ^{-1}={tfrac {1}{2}}{bigl (}1-{sqrt {5}}{bigr )}.}$ La somme des deux solutions est 1 , {displaystyle 1,} et le produit des deux solutions est − 1. {displaystyle -1.}
^ Euclide, Éléments , Livre II, Proposition 11 ; livre IV, propositions 10-11 ; livre VI, proposition 30 ; Livre XIII, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.
^ ” ̓́ακρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, ὕλα τὸ μεῖζον πρὸ ἔ. Ἔ. Ἔ. Ἔλα ὸλα..”. ^[20]
^ D’après le sculpteur grec classique Phidias (vers 490–430 avant JC); ^[32] Barr a écrit plus tard qu’il pensait qu’il était peu probable que Phidias ait effectivement utilisé le nombre d’or. ^[33]
^ À ne pas confondre avec la moyenne d’argent , également connue sous le nom de ratio d’argent .
^ À ne pas confondre avec le sous-groupe de congruence Γ ( 5 ) . {displaystyleGamma (5).}
↑ Taylor a traduit Hérodote : “cette pyramide, qui est à quatre côtés, chaque face est, de chaque côté, 8 plethra , et la hauteur est égale.” Il a interprété cela de manière imaginative et, en 1860, John Herschel a été le premier de nombreux auteurs à répéter sa fausse affirmation. En 2000, Roger Herz-Fischler a retracé l’erreur jusqu’à Taylor. ^[92]

Citations

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Ouvrages cités

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Lectures complémentaires

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Liens externes

Wikimedia Commons a des médias liés au nombre d’or .

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Le mythe qui ne disparaîtra pas , de Keith Devlin , traitant de multiples allégations sur l’utilisation du nombre d’or dans la culture.
Fausses spirales dorées collectées par Randall Munroe
Conférence YouTube sur le problème des souris de Zeno et les spirales logarithmiques