La conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach est l’un des problèmes non résolus les plus anciens et les plus connus de la théorie des nombres et de toutes les mathématiques . Il stipule que tout nombre naturel pair supérieur à deux est la somme de deux nombres premiers .

Lettre de Goldbach à Euler du 7 juin 1742 (latin-allemand) ^[1]
Domaine	La théorie du nombre
Conjecturé par	Christian Goldbach
Conjecturé dans	1742
Problème ouvert	Oui
Conséquences	Conjecture faible de Goldbach

Il a été démontré que la conjecture est valable pour tous les nombres entiers inférieurs à 4 × 10 ¹⁸ , ^[2] mais reste non prouvée malgré des efforts considérables.

Histoire

Le 7 juin 1742, le mathématicien allemand Christian Goldbach écrit une lettre à Leonhard Euler (lettre XLIII), ^[3] dans laquelle il propose la conjecture suivante :

Tout entier qui peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers peut également être écrit comme la somme d’autant de nombres premiers que l’on souhaite, jusqu’à ce que tous les termes soient des unités.

Goldbach suivait la convention désormais abandonnée de considérer 1 comme un nombre premier , ^[4] de sorte qu’une somme d’unités serait en effet une somme de nombres premiers. Il proposa alors une seconde conjecture en marge de sa lettre, qui implique la première : ^[5]

… eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
Tout entier supérieur à 2 peut s’écrire comme la somme de trois nombres premiers.

Euler répondit dans une lettre datée du 30 juin 1742 ^[6] et rappela à Goldbach une conversation antérieure qu’ils avaient eue ( “… so Ew vormals mit mir communicirt haben …” ), dans laquelle Goldbach avait fait remarquer que le premier de ces deux conjectures découleraient de l’énoncé

Tout entier pair positif peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers.

Ceci équivaut en fait à sa deuxième conjecture marginale. Dans la lettre datée du 30 juin 1742, Euler déclara : ^{[7] [8]}

Dass … ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.
Que … chaque entier pair est une somme de deux nombres premiers, je considère comme un théorème tout à fait certain, bien que je ne puisse pas le prouver.

Chacune des trois conjectures ci-dessus a un analogue naturel en termes de définition moderne d’un nombre premier, sous lequel 1 est exclu. Une version moderne de la première conjecture est :

Chaque entier qui peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers peut également être écrit comme la somme d’autant de nombres premiers que l’on souhaite, jusqu’à ce que tous les termes soient deux (si l’entier est pair) ou qu’un terme soit trois et tous les autres termes sont deux (si l’entier est impair).

Une version moderne de la conjecture marginale est :

Tout nombre entier supérieur à 5 peut être écrit comme la somme de trois nombres premiers.

Et une version moderne de l’ancienne conjecture de Goldbach qu’Euler lui a rappelée est :

Tout entier pair supérieur à 2 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.

Ces versions modernes peuvent ne pas être entièrement équivalentes aux déclarations originales correspondantes. Par exemple, s’il y avait un nombre entier pair N = p + 1 {displaystyle N=p+1} supérieur à 4, pour p {displaystyle p} un nombre premier, qui ne pourrait pas être exprimé comme la somme de deux nombres premiers au sens moderne, alors ce serait un contre-exemple à la version moderne de la troisième conjecture (sans être un contre-exemple à la version originale). La version moderne est donc probablement plus forte (mais pour le confirmer, il faudrait prouver que la première version, librement appliquée à tout entier pair positif n {displaystyle n} , ne pouvait exclure l’existence d’un tel contre-exemple spécifique N {displaystyle N} ). Dans tous les cas, les déclarations modernes ont les mêmes relations entre elles que les déclarations plus anciennes. C’est-à-dire que les deuxième et troisième déclarations modernes sont équivalentes et impliquent l’une ou l’autre la première déclaration moderne.

Le troisième énoncé moderne (équivalent du second) est la forme sous laquelle la conjecture est généralement exprimée aujourd’hui. Elle est également connue sous le nom de conjecture de Goldbach ” forte “, ” paire ” ou ” binaire “. Une forme plus faible du deuxième énoncé moderne, connue sous le nom de « Conjecture faible de Goldbach », « conjecture impaire de Goldbach », ou « conjecture ternaire de Goldbach », affirme que

Tout entier impair supérieur à 7 peut être écrit comme la somme de trois nombres premiers impairs.

Une preuve de la conjecture faible a été proposée en 2013 par Harald Helfgott . La preuve de Helfgott n’a pas encore paru dans une publication à comité de lecture, bien qu’elle ait été acceptée pour publication dans la série Annals of Mathematics Studies en 2015, et a fait l’objet d’un examen et d’une révision supplémentaires depuis. ^{[9] [10] [11]} La conjecture faible serait un corollaire de la conjecture forte : si n – 3 est une somme de deux nombres premiers, alors n est une somme de trois nombres premiers. Cependant, l’implication inverse et donc la forte conjecture de Goldbach restent non prouvées.

Résultats vérifiés

Pour de petites valeurs de n , la conjecture forte de Goldbach (et donc la Conjecture faible de Goldbach) peut être vérifiée directement. Par exemple, en 1938, Nils Pipping vérifia laborieusement la conjecture jusqu’à n ≤ 10 ⁵ . ^[12] Avec l’avènement des ordinateurs, beaucoup plus de valeurs de n ont été vérifiées ; T. Oliveira e Silva a effectué une recherche informatique distribuée qui a vérifié la conjecture pour n ≤ 4 × 10 ¹⁸ (et revérifié jusqu’à 4 × 10 ¹⁷ ) à partir de 2013. Un enregistrement de cette recherche est que3 325 581 707 333 960 528 est le plus petit nombre qui ne peut pas être écrit comme une somme de deux nombres premiers où l’un est plus petit que 9781. ^[13]

Justification heuristique

Les considérations statistiques qui se concentrent sur la distribution probabiliste des nombres premiers présentent des preuves informelles en faveur de la conjecture (sous les formes faible et forte) pour des entiers suffisamment grands : plus l’entier est grand, plus il y a de façons disponibles pour que ce nombre soit représenté comme la somme de deux ou trois autres nombres, et plus il devient “probable” qu’au moins une de ces représentations soit entièrement constituée de nombres premiers.

Nombre de façons d’écrire un nombre pair n comme la somme de deux nombres premiers (4 ≤ n ≤ 1 000), (séquence A002375 dans l ‘ OEIS ) Nombre de façons d’écrire un nombre pair n comme la somme de deux nombres premiers (4 ≤ n ≤ 1 000 000 )

Une version très grossière de l’ argument probabiliste heuristique (pour la forme forte de la conjecture de Goldbach) est la suivante. Le théorème des nombres premiers affirme qu’un entier m choisi au hasard a approximativement 1 / ln ⁡ m {displaystyle 1/ln m} chance d’être premier. Ainsi, si n est un grand entier pair et m est un nombre compris entre 3 et n /2, alors on pourrait s’attendre à ce que la probabilité que m et n – m soient simultanément premiers soit 1 / [ ln ⁡ m ln ⁡ ( n − m ) ] {displaystyle 1{big /}{big [}ln m,ln(nm){big ]}} . Si l’on poursuit cette heuristique, on pourrait s’attendre à ce que le nombre total de façons d’écrire un grand entier pair n comme la somme de deux nombres premiers impairs soit à peu près

∑ m = 3 n / 2 1 ln ⁡ m 1 ln ⁡ ( n − m ) ≈ n 2 ( ln ⁡ n ) 2 . {displaystyle sum _{m=3}^{n/2}{frac {1}{ln m}}{frac {1}{ln(nm)}}approx {frac {n }{2(ln n)^{2}}}.} ${displaystyle sum _{m=3}^{n/2}{frac {1}{ln m}}{frac {1}{ln(n-m)}}approx {frac {n}{2(ln n)^{2}}}.}$ ${displaystyle sum _{m=3}^{n/2}{frac {1}{ln m}}{frac {1}{ln(nm)}}approx {frac {n }{2(ln n)^{2}}}.}$

Depuis ln ⁡ n ≪ n {displaystyle ln nll {sqrt {n}}} , cette quantité va vers l’infini à mesure que n augmente, et nous nous attendrions à ce que chaque grand entier pair ait non seulement une représentation comme la somme de deux nombres premiers, mais en fait un très grand nombre de telles représentations.

Learn more.

Ensemble dénombrable

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Premier article sur la théorie des ensembles de Cantor

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Nombre réel

Jul 11, 2022

Nombre irrationnel

Jul 10, 2022

Cet argument heuristique est en fait quelque peu inexact, car il suppose que les événements où m et n − m sont premiers sont statistiquement indépendants l’un de l’autre. Par exemple, si m est impair, alors n − m est aussi impair, et si m est pair, alors n − m est pair, une relation non triviale car, à part le nombre 2, seuls les nombres impairs peuvent être premiers. De même, si n est divisible par 3, et m était déjà premier distinct de 3, alors n – m serait aussi premierà 3 et donc légèrement plus susceptible d’être premier qu’un nombre général. Poursuivant ce type d’analyse plus attentivement, GH Hardy et John Edensor Littlewood en 1923 ont conjecturé (dans le cadre de leur conjecture de tuple premier Hardy-Littlewood ) que pour tout c fixe ≥ 2, le nombre de représentations d’un grand entier n comme la somme de c premiers n = p 1 + ⋯ + p c {displaystyle n=p_{1}+cdots +p_{c}} ${displaystyle n=p_{1}+cdots +p_{c}}$ ${displaystyle n=p_{1}+cdots +p_{c}}$ avec p 1 ≤ ⋯ ≤ p c {displaystyle p_{1}leq cdots leq p_{c}} $p_{1}leq cdots leq p_{c}$ $p_{1}leq cdots leq p_{c}$ doit être asymptotiquement égal à

( ∏ p p γ c , p ( n ) ( p − 1 ) c ) ∫ 2 ≤ x 1 ≤ ⋯ ≤ x c : x 1 + ⋯ + x c = n d x 1 ⋯ d x c − 1 ln ⁡ x 1 ⋯ ln ⁡ x c , {displaystyle left(prod _{p}{frac {pgamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}right)int _{2 leq x_{1}leq cdots leq x_{c}:x_{1}+cdots +x_{c}=n}{frac {dx_{1}cdots dx_{c-1}}{ ln x_{1}cdots ln x_{c}}},} ${displaystyle left(prod _{p}{frac {pgamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}right)int _{2leq x_{1}leq cdots leq x_{c}:x_{1}+cdots +x_{c}=n}{frac {dx_{1}cdots dx_{c-1}}{ln x_{1}cdots ln x_{c}}},}$ ${displaystyle left(prod _{p}{frac {pgamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}right)int _{2 leq x_{1}leq cdots leq x_{c}:x_{1}+cdots +x_{c}=n}{frac {dx_{1}cdots dx_{c-1}}{ ln x_{1}cdots ln x_{c}}},}$

où le produit est sur tous les nombres premiers p , et γ c , p ( n ) {displaystyle gamma _{c,p}(n)} $gamma _{c,p}(n)$ $gamma _{c,p}(n)$ est le nombre de solutions de l’équation n = q 1 + ⋯ + q c mod p {displaystyle n=q_{1}+cdots +q_{c}mod p} $n=q_{1}+cdots +q_{c}mod p$ $n=q_{1}+cdots +q_{c}mod p$ en arithmétique modulaire , sous réserve des contraintes q 1 , … , q c ≠ 0 mod p {displaystyle q_{1},ldots ,q_{c}neq 0mod p} ${displaystyle q_{1},ldots ,q_{c}neq 0mod p}$ ${displaystyle q_{1},ldots ,q_{c}neq 0mod p}$ . Cette formule a été rigoureusement prouvée asymptotiquement valide pour c ≥ 3 à partir des travaux d ‘ Ivan Matveevich Vinogradov , mais n’est encore qu’une conjecture lorsque c = 2 {displaystyle c=2} c=2 . ^{[ citation nécessaire ]} Dans ce dernier cas, la formule ci-dessus se simplifie en 0 lorsque n est impair, et en

2 Π 2 ( ∏ p ∣ n ; p ≥ 3 p − 1 p − 2 ) ∫ 2 n d x ( ln ⁡ x ) 2 ≈ 2 Π 2 ( ∏ p ∣ n ; p ≥ 3 p − 1 p − 2 ) n ( ln ⁡ n ) 2 {displaystyle 2Pi _{2}left(prod _{pmid n;pgeq 3}{frac {p-1}{p-2}}right)int _{2} ^{n}{frac {dx}{(ln x)^{2}}}approx 2Pi _{2}left(prod _{pmid n;pgeq 3}{ frac {p-1}{p-2}}right){frac {n}{(ln n)^{2}}}} ${displaystyle 2Pi _{2}left(prod _{pmid n;pgeq 3}{frac {p-1}{p-2}}right)int _{2}^{n}{frac {dx}{(ln x)^{2}}}approx 2Pi _{2}left(prod _{pmid n;pgeq 3}{frac {p-1}{p-2}}right){frac {n}{(ln n)^{2}}}}$ ${displaystyle 2Pi _{2}left(prod _{pmid n;pgeq 3}{frac {p-1}{p-2}}right)int _{2} ^{n}{frac {dx}{(ln x)^{2}}}approx 2Pi _{2}left(prod _{pmid n;pgeq 3}{ frac {p-1}{p-2}}right){frac {n}{(ln n)^{2}}}}$

quand n est pair, où Π 2 {style d’affichage Pi _{2}} $Pi _{2}$ $Pi _{2}$ est la constante première jumelle de Hardy-Littlewood

Π 2 := ∏ p p r i m e p ≥ 3 ( 1 − 1 ( p − 1 ) 2 ) ≈ 0.660161815846869573927812110014 … {displaystyle Pi _{2} :=prod _{textstyle {p;{rm {prime}} atop pgeq 3}}left(1-{frac {1}{(p -1)^{2}}}right)environ 0.660161815846869573927812110014dots } ${displaystyle Pi _{2}:=prod _{textstyle {p;{rm {prime}} atop pgeq 3}}left(1-{frac {1}{(p-1)^{2}}}right)approx 0.660161815846869573927812110014dots }$ ${displaystyle Pi _{2} :=prod _{textstyle {p;{rm {prime}} atop pgeq 3}}left(1-{frac {1}{(p -1)^{2}}}right)environ 0.660161815846869573927812110014dots }$

Ceci est parfois connu sous le nom de conjecture de Goldbach étendue . La conjecture forte de Goldbach est en fait très similaire à la Conjecture première jumelle , et on pense que les deux conjectures sont de difficulté à peu près comparable.

Les fonctions de partition de Goldbach présentées ici peuvent être affichées sous forme d’histogrammes, qui illustrent les équations ci-dessus. Voir la comète de Goldbach ^[14] pour plus d’informations.

La comète de Goldbach suggère également qu’il existe des limites supérieures et inférieures étroites sur le nombre de représentants, et que le modulo 6 de 2n joue un rôle dans le nombre de représentations.

Le nombre de représentations est d’environ n ln ⁡ n {displaystyle nln n} nln n , depuis 2 n = p + c {displaystyle 2n=p+c} et le théorème des nombres premiers. Si chaque c est composé, alors il doit avoir un facteur premier inférieur ou égal à la racine carrée de 2 n {displaystyle 2n} , selon la méthode décrite dans la division de première instance .

Cela conduit à une attente de n ln ⁡ n 2 n = n 2 ln ⁡ n {displaystyle {frac {nln n}{sqrt {2n}}}={sqrt {frac {n}{2}}}ln n} ${displaystyle {frac {nln n}{sqrt {2n}}}={sqrt {frac {n}{2}}}ln n}$ ${displaystyle {frac {nln n}{sqrt {2n}}}={sqrt {frac {n}{2}}}ln n}$ représentations.

Des résultats rigoureux

La conjecture forte de Goldbach est beaucoup plus difficile que la Conjecture faible de Goldbach . En utilisant la méthode de Vinogradov, Nikolai Chudakov , ^[15] Johannes van der Corput , ^[16] et Theodor Estermann ^[17] ont montré que presque tous les nombres pairs peuvent être écrits comme la somme de deux nombres premiers (au sens où la fraction de nombres pairs qui peut s’écrire ainsi tend vers 1). En 1930, Lev Schnirelmann a prouvé que tout nombre naturel supérieur à 1 peut être écrit comme la somme de pas plus de C nombres premiers, où C est une constante effectivement calculable ; voirDensité de Schnirelmann . ^{[18] [19]} La constante de Schnirelmann est le plus petit nombre C avec cette propriété. Schnirelmann lui-même a obtenu C < 800 000 . Ce résultat a ensuite été enrichi par de nombreux auteurs, comme Olivier Ramaré , qui en 1995 a montré que tout nombre pair n ≥ 4 est en fait la somme d’au plus 6 nombres premiers. Le résultat le plus connu actuellement provient de la preuve de la faible conjecture de Goldbach par Harald Helfgott , ^[20] qui implique directement que tout nombre pair n ≥ 4 est la somme d’au plus 4 nombres premiers. ^{[21] [22]}

En 1924, Hardy et Littlewood ont montré sous l’hypothèse de l’hypothèse de Riemann généralisée que le nombre de nombres pairs jusqu’à X violant la conjecture de Goldbach est bien inférieur à X ( 1 / 2 ) + c {displaystyle X^{(1/2)+c}} ${displaystyle X^{(1/2)+c}}$ ${displaystyle X^{(1/2)+c}}$ pour petit c . ^[23]

Chen Jingrun a montré en 1973 en utilisant les méthodes de la théorie des cribles que tout nombre pair Suffisamment grand peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers, ou d’un nombre premier et d’un semi -premier (le produit de deux nombres premiers). ^[24] Voir le théorème de Chen pour plus d’informations.

En 1975, Hugh Montgomery et Robert Charles Vaughan ont montré que “la plupart” des nombres pairs sont exprimables comme la somme de deux nombres premiers. Plus précisément, ils ont montré qu’il existe des constantes positives c et C telles que pour tout nombre Suffisamment grand N , tout nombre pair inférieur à N est la somme de deux nombres premiers, avec au plus C N 1 − c {displaystyle CN^{1-c}} $CN^{1-c}$ $CN^{1-c}$ exceptions. En particulier, l’ensemble des entiers pairs qui ne sont pas la somme de deux nombres premiers a une densité nulle.

En 1951, Yuri Linnik a prouvé l’existence d’une constante K telle que tout nombre pair Suffisamment grand est la somme de deux nombres premiers et au plus K puissances de 2. Roger Heath-Brown et Jan-Christoph Schlage-Puchta ont découvert en 2002 que K = 13 œuvres. ^[25]

Problèmes connexes

Bien que la conjecture de Goldbach implique que tout entier positif supérieur à un peut être écrit comme une somme d’au plus trois nombres premiers, il n’est pas toujours possible de trouver une telle somme en utilisant un algorithme glouton qui utilise le plus grand nombre premier possible à chaque étape. La séquence de Pillai suit les nombres nécessitant le plus grand nombre de nombres premiers dans leurs représentations gourmandes. ^[26]

Des problèmes similaires à la conjecture de Goldbach existent dans lesquels les nombres premiers sont remplacés par d’autres ensembles particuliers de nombres, tels que les carrés :

Il a été prouvé par Lagrange que tout entier positif est la somme de quatre carrés . Voir le problème de Waring et le problème connexe de Waring-Goldbach sur les sommes des puissances des nombres premiers.
Hardy et Littlewood ont énuméré comme leur Conjecture I : « Tout grand nombre impair ( n > 5) est la somme d’un nombre premier et le double d’un nombre premier » ( Mathematics Magazine , 66.1 (1993) : 45–47). Cette conjecture est connue sous le nom de conjecture de Lemoine et est également appelée conjecture de Levy .
La conjecture de Goldbach pour les nombres pratiques , une suite d’entiers de type premier, a été énoncée par Margenstern en 1984, ^[27] et prouvée par Melfi en 1996 : ^[28] tout nombre pair est une somme de deux nombres pratiques.
Un renforcement de la conjecture de Goldbach proposé par Harvey Dubner ^[29] stipule que tout entier pair supérieur à 4 208 est la somme de deux nombres premiers jumeaux . Seuls 34 entiers pairs inférieurs à 4 208 ne sont pas la somme de deux nombres premiers jumeaux. ^[30] Dubner a vérifié par calcul que cette liste est complète jusqu’à 2×10 ¹⁰ . Une preuve de cette conjecture plus forte impliquerait non seulement la conjecture de Goldbach, mais aussi la conjecture prime jumelle .

Dans la culture populaire

La conjecture de Goldbach ( chinois :哥德巴赫猜想) est le titre de la biographie du mathématicien et théoricien des nombres chinois Chen Jingrun , écrite par Xu Chi .
La conjecture est un point central dans l’intrigue du roman de 1992 Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture de l’auteur grec Apostolos Doxiadis , dans la nouvelle ” Sixty Million Trillion Combinations ” d’ Isaac Asimov et aussi dans le roman policier de 2008 No One You Know de Michelle Richmond . ^[31]
La conjecture de Goldbach fait partie de l’intrigue du film espagnol de 2007 Fermat’s Room .

Références

↑ Correspondance mathématique et physique de quelques géomètres célèbres du XVIIIème siècle (Bande 1), St.-Pétersbourg 1843, pp. 125–129 .
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^ Weisstein, Eric W. “Conjecture de Goldbach” . MathWorld .
^ Dans la version imprimée publiée par PH Fuss [1] 2 est mal imprimé comme 1 dans la conjecture marginale.
^ http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0766.pdf ^{[ URL nue PDF ]}
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Lectures complémentaires

Deshouillers, J.-M. ; Effinger, G.; te Riele, H.; En ligneZinoviev, D. (1997). “Un théorème complet des 3 nombres premiers de Vinogradov sous l’hypothèse de Riemann” (PDF) . Annonces de recherche électroniques de l’American Mathematical Society . 3 (15): 99–104. doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 .
Montgomery, HL; Vaughan, RC (1975). “L’ensemble exceptionnel dans le problème de Goldbach” (PDF) . Acta Arithmetica . 27 : 353–370. doi : 10.4064/aa-27-1-353-370 .
Terence Tao a prouvé que tous les nombres impairs sont au plus la somme de cinq nombres premiers .
Conjecture de Goldbach à MathWorld .

Liens externes

Médias liés à la conjecture de Goldbach sur Wikimedia Commons
“Problème de Goldbach” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
Lettre originale de Goldbach à Euler – format PDF (en allemand et latin)
La conjecture de Goldbach , partie des Prime Pages de Chris Caldwell.
Vérification des conjectures de Goldbach , recherche informatique distribuée de Tomás Oliveira e Silva.