Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange ^[a] (né Giuseppe Luigi Lagrangia ^{[5] [b]} ou Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier ; ^{[6] [c]} 25 janvier 1736 – 10 avril 1813), également rapporté comme Giuseppe Luigi Lagrange ^[7] ou Lagrangia , ^[8] était un mathématicien et astronome italien , plus tard naturalisé français. Il a apporté des contributions significatives aux domaines de l’ analyse , de la théorie des nombres et de la mécanique classique et céleste .

Joseph-Louis Lagrange
Joseph-Louis (Giuseppe Luigi), comte de Lagrange
Née	Giuseppe Lodovico Lagrangia ( 1736-01-25 )25 janvier 1736 Turin , Royaume de Sardaigne
Décédés	10 avril 1813 (10/04/1813)(77 ans) Paris , Premier Empire français
Citoyenneté	Sardaigne Empire français
mère nourricière	Université de Turin
Connu pour	(voir liste) Mécanique analytique Calcul des variations Mécanique céleste Analyse mathématique Théorie des nombres Théorie des équations
Carrière scientifique
Des champs	Mathématiques Astronomie Mécanique
Établissements	École Normale École Polytechnique
Conseillers pédagogiques	Leonhard Euler (correspondant épistolaire) Giovanni Battista Beccaria
Étudiants notables	Joseph Fourier Giovanni Plana Siméon Poisson
influence	Léonhard Euler
Influencé	Évariste Galois

En 1766, sur la recommandation du Suisse Leonhard Euler et du Français d’Alembert , Lagrange succède à Euler en tant que directeur des mathématiques à l’ Académie prussienne des sciences de Berlin, en Prusse , où il reste pendant plus de vingt ans, produisant des volumes de travail et remportant plusieurs prix de l’ Académie française des sciences . Le traité de Lagrange sur la mécanique analytique ( Mécanique analytique , 4. éd., 2 vol. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), écrit à Berlin et publié pour la première fois en 1788, offrait le traitement le plus complet de la mécanique classique depuis Newtonet a formé une base pour le développement de la physique mathématique au XIXe siècle.

En 1787, à 51 ans, il quitte Berlin pour Paris et devient membre de l’Académie française des sciences. Il est resté en France jusqu’à la fin de sa vie. Il a joué un rôle déterminant dans la décimalisation de la France révolutionnaire , est devenu le premier professeur d’analyse à l’ École polytechnique lors de son ouverture en 1794, a été membre fondateur du Bureau des longitudes et est devenu sénateur en 1799.

Apport scientifique

Lagrange a été l’un des créateurs du calcul des variations , dérivant les équations d’Euler-Lagrange pour les extrema des fonctionnelles . Il a étendu la méthode pour inclure des contraintes possibles, en arrivant à la méthode des Multiplicateurs de Lagrange . Lagrange invente la méthode de résolution des équations différentielles dite variation des paramètres , applique le calcul différentiel à la théorie des probabilités et travaille sur les solutions des Équations algébriques . Il a prouvé que tout nombre naturel est une somme de quatre carrés . Son traité Théorie des fonctions analytiquesposé quelques-uns des fondements de la théorie des groupes , anticipant Galois . En calcul , Lagrange a développé une nouvelle approche de l’ interpolation et du théorème de Taylor . Il a étudié le problème des trois corps pour la Terre, le Soleil et la Lune (1764) et le mouvement des satellites de Jupiter (1766), et en 1772 a trouvé les solutions de cas particuliers à ce problème qui donnent ce que l’on appelle maintenant les points de Lagrange . Lagrange est surtout connu pour avoir transformé la Mécanique newtonienne en une branche de l’analyse, la mécanique lagrangienne , et présenté les “principes” mécaniques comme de simples résultats du calcul variationnel.

Biographie

En apparence, il était de taille moyenne et légèrement formé, avec des yeux bleu pâle et un teint incolore. De caractère, il était nerveux et timide, il détestait la controverse et, pour l’éviter, laissait volontiers aux autres le mérite de ce qu’il avait lui-même fait.

Il réfléchissait toujours au sujet de ses articles avant de commencer à les composer, et les écrivait généralement d’emblée sans une seule rature ou correction.

Boule de réveil WW ^[9]

Portrait de Joseph-Louis Lagrange (XVIIIe siècle)

Premières années

Premier-né de onze enfants sous le nom de Giuseppe Lodovico Lagrangia , Lagrange était d’origine italienne et française. ^[7] Son arrière-grand-père paternel était un capitaine de cavalerie français , dont la famille est originaire de la région française de Tours . ^[7] Après avoir servi sous Louis XIV , il était entré au service de Charles Emmanuel II , duc de Savoie , et avait épousé une Conti issue de la noble famille romaine. ^[7] Le père de Lagrange, Giuseppe Francesco Lodovico, était docteur en droit à l’ Université de Turin , tandis que sa mère était l’enfant unique d’un riche médecin de Cambiano, dans la campagne turinoise . ^{[7] [10]} Il a été élevé en tant que catholique romain (mais est devenu plus tard un Agnostique ). ^[11]

Son père, qui avait la charge de la caisse militaire du roi et était trésorier de l’Office des travaux publics et des fortifications à Turin, aurait dû maintenir une bonne position sociale et une richesse, mais avant que son fils ne grandisse, il avait perdu la plupart de ses biens dans des spéculations. . Une carrière comme un avocat a été projetée dehors pour Lagrange par son père, ^[7] et certainement Lagrange semble avoir accepté cela volontairement. Il a étudié à l’ Université de Turin et sa matière préférée était le latin classique. Au début, il n’avait pas un grand enthousiasme pour les mathématiques, trouvant la géométrie grecque plutôt ennuyeuse.

Ce n’est qu’à l’âge de dix-sept ans qu’il manifeste un goût pour les mathématiques – son intérêt pour le sujet étant d’abord excité par un article d’ Edmond Halley de 1693 ^[12] qu’il découvre par hasard. Seul et sans aide, il se lance dans des études mathématiques ; au bout d’un an de labeur incessant, il était déjà un mathématicien accompli. Charles Emmanuel III a nommé Lagrange au poste de “Sostituto del Maestro di Matematica” (professeur adjoint de mathématiques) à l’Académie royale militaire de théorie et pratique de l’artillerie en 1755, où il a enseigné des cours de calcul et de mécanique pour soutenir les débuts de l’armée piémontaise. adoption des théories balistiques de Benjamin Robins et Leonhard Euler. À ce titre, Lagrange a été le premier à enseigner le calcul dans une école d’ingénieurs. Selon Alessandro Papacino D’Antoni , commandant militaire de l’académie et célèbre théoricien de l’artillerie, Lagrange s’est malheureusement avéré être un professeur problématique avec son style d’enseignement inconscient, son raisonnement abstrait et son impatience face aux applications d’artillerie et d’ingénierie de fortification. ^[13] Dans cette Académie un de ses élèves était François Daviet . ^[14]

Calcul variationnel

Lagrange est l’un des fondateurs du calcul des variations . À partir de 1754, il travaille sur le problème de la tautochrone , découvrant une méthode de maximisation et de minimisation des fonctionnelles d’une manière similaire à la recherche d’extrema de fonctions. Lagrange a écrit plusieurs lettres à Leonhard Euler entre 1754 et 1756 décrivant ses résultats. Il a décrit son « algorithme δ », conduisant aux équations d’ Euler-Lagrange du calcul variationnel et simplifiant considérablement l’analyse antérieure d’Euler. ^[15] Lagrange a également appliqué ses idées à des problèmes de mécanique classique, généralisant les résultats d’Euler et de Maupertuis .

Euler a été très impressionné par les résultats de Lagrange. Il a été déclaré qu ‘”avec une courtoisie caractéristique, il a retenu un article qu’il avait écrit précédemment, qui couvrait une partie du même sujet, afin que le jeune Italien puisse avoir le temps d’achever son travail et revendiquer l’invention incontestée du nouveau calcul” ; cependant, cette vision chevaleresque a été contestée. ^[16] Lagrange publie sa méthode dans deux mémoires de la Société de Turin en 1762 et 1773.

Divers Taurinensia

En 1758, avec l’aide de ses élèves (principalement avec Daviet), Lagrange créa une société, qui fut par la suite constituée sous le nom d’Académie des sciences de Turin , et la plupart de ses premiers écrits se trouvent dans les cinq volumes de ses transactions, généralement connue sous le nom de Miscellanea Taurinensia . Beaucoup d’entre eux sont des documents élaborés. Le premier volume contient un article sur la théorie de la propagation du son ; en cela il indique une erreur commise par Newton , obtient l’ équation différentielle générale du mouvement et l’intègre pour le mouvement en ligne droite. Ce volume contient également la solution complète du problème d’une corde vibrant transversalement; dans cet article, il souligne un manque de généralité dans les solutions précédemment données par Brook Taylor , D’Alembert et Euler, et arrive à la conclusion que la forme de la courbe à tout instant t est donnée par l’équation y = un péché ⁡ ( m X ) péché ⁡ ( n t ) {displaystyle y=asin(mx)sin(nt),} y = a sin (mx) sin (nt), . L’article se termine par une discussion magistrale sur les échos , les battements et les sons composés. D’autres articles de ce volume portent sur les séries récurrentes , les probabilités et le calcul des variations .

Le second volume contient un long article reprenant les résultats de plusieurs articles du premier volume sur la théorie et la notation du calcul des variations ; et il illustre son utilisation en déduisant le Principe de moindre action , et par des solutions de divers problèmes de dynamique .

Le troisième volume comprend la solution de plusieurs problèmes dynamiques au moyen du calcul des variations ; quelques articles sur le Calcul intégral ; une solution d’un problème de Fermat : étant donné un entier n qui n’est pas un carré parfait , trouver un nombre x tel que nx ² + 1 ^{[ vérification nécessaire ]} soit un carré parfait ; et les équations différentielles générales du mouvement pour trois corps se mouvant sous leurs attractions mutuelles.

L’ouvrage suivant qu’il produisit fut en 1764 sur la libration de la Lune, et une explication de la raison pour laquelle le même visage était toujours tourné vers la terre, problème qu’il traita à l’aide du travail virtuel . Sa solution est particulièrement intéressante car elle contient le germe de l’idée des équations généralisées du mouvement, équations qu’il a formellement prouvées pour la première fois en 1780.

Berlin

Déjà en 1756, Euler et Maupertuis , voyant le talent mathématique de Lagrange, essayèrent de persuader Lagrange de venir à Berlin, mais il refusa timidement l’offre. En 1765, d’Alembert intercéda en faveur de Lagrange auprès de Frédéric de Prusse et, par lettre, lui demanda de quitter Turin pour un poste considérablement plus prestigieux à Berlin. Il a de nouveau refusé l’offre, répondant que ^{[17] : 361}

Il me semble que Berlin ne me conviendrait pas du tout tant que M.Euler y est .

En 1766, après qu’Euler eut quitté Berlin pour Saint-Pétersbourg , Frédéric lui-même écrivit à Lagrange exprimant le souhait du “plus grand roi d’Europe” d’avoir “le plus grand mathématicien d’Europe” résidant à sa cour. Lagrange est finalement convaincu. Il passa les vingt années suivantes en Prusse , où il produisit une longue série d’articles publiés dans les transactions de Berlin et de Turin, et composa son œuvre monumentale, la Mécanique analytique . En 1767, il épouse sa cousine Vittoria Conti.

Lagrange était un favori du roi, qui le sermonnait fréquemment sur les avantages d’une parfaite régularité de vie. La leçon fut acceptée, et Lagrange étudia son esprit et son corps comme s’ils étaient des machines, et fit des expériences pour trouver la quantité exacte de travail qu’il pouvait faire avant l’épuisement. Chaque nuit, il se fixait une tâche précise pour le lendemain et, après avoir terminé n’importe quelle branche d’un sujet, il écrivait une courte analyse pour voir quels points des démonstrations ou du sujet étaient susceptibles d’amélioration. Il a soigneusement planifié ses papiers avant de les écrire, généralement sans un seul effacement ou correction.

Néanmoins, pendant ses années à Berlin, la santé de Lagrange était plutôt mauvaise, et celle de sa femme Vittoria était encore pire. Elle mourut en 1783 après des années de maladie et Lagrange était très déprimé. En 1786, Frédéric II meurt, et le climat de Berlin devient difficile pour Lagrange. ^[dix]

Paris

En 1786, après la mort de Frédéric, Lagrange reçut des invitations similaires d’États dont l’Espagne et Naples , et il accepta l’offre de Louis XVI de s’installer à Paris. En France, il fut reçu avec toutes les marques de distinction et des appartements spéciaux du Louvre furent préparés pour sa réception, et il devint membre de l’ Académie française des sciences , qui devint plus tard une partie de l’ Institut de France (1795). Au début de sa résidence à Paris, il fut pris d’un accès de mélancolie, et même l’exemplaire imprimé de sa Mécanique sur laquelle il avait travaillé pendant un quart de siècle resta plus de deux ans non ouvert sur son bureau. Curiosité quant aux résultats de la Révolution françaisele tira d’abord de sa léthargie, une curiosité qui tourna bientôt à l’alarme au fur et à mesure que la révolution se développait.

C’est vers la même époque, en 1792, que l’inexplicable tristesse de sa vie et sa timidité émeuvent la compassion de Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, 24 ans, fille de son ami l’astronome Pierre Charles Le Monnier . Elle a insisté pour l’épouser et s’est avérée une épouse dévouée à laquelle il s’est chaleureusement attaché.

En septembre 1793, le règne de la terreur a commencé. Sous l’intervention d’Antoine Lavoisier , qui lui-même était alors déjà expulsé de l’Académie avec de nombreux autres savants, Lagrange fut expressément exempté nommément dans le décret d’octobre 1793 qui ordonnait à tous les étrangers de quitter la France. Le 4 mai 1794, Lavoisier et 27 autres fermiers fiscaux sont arrêtés et condamnés à mort et guillotinés dans l’après-midi après le procès. Lagrange a dit à la mort de Lavoisier :

Il n’a fallu qu’un instant pour faire tomber cette tête et cent ans ne suffiront pas pour en produire une semblable. ^[dix]

Bien que Lagrange se soit préparé à s’échapper de France pendant qu’il en était encore temps, il n’a jamais été en danger; différents gouvernements révolutionnaires (et plus tard Napoléon ) lui décernent honneurs et distinctions. Cette chance ou cette sécurité peut être due dans une certaine mesure à son attitude de vie qu’il a exprimée de nombreuses années auparavant : « Je crois qu’en général, l’un des premiers principes de tout homme sage est de se conformer strictement aux lois du pays dans lequel il est vivant, même quand ils sont déraisonnables ». ^[dix]Un témoignage frappant du respect dans lequel il était tenu fut rendu en 1796 lorsque le commissaire français en Italie reçut l’ordre de se rendre en grand état sur le père de Lagrange et de lui présenter les félicitations de la république pour les réalisations de son fils, qui “avait fait honneur à toute l’humanité par son génie, et que c’était la gloire particulière du Piémont d’avoir produit.” On peut ajouter que Napoléon, lorsqu’il accéda au pouvoir, encouragea chaleureusement les études scientifiques en France, et en fut un libéral bienfaiteur. Nommé sénateur en 1799, il fut le premier signataire du Sénatus-consulte qui en 1802 annexa sa patrie le Piémont à la France. ^[7] Il a acquis la nationalité française en conséquence. ^[7]Les Français ont affirmé qu’il était un mathématicien français, mais les Italiens ont continué à le revendiquer comme Italien. ^[dix]

Unités de mesure

Lagrange a participé au développement du système de mesure métrique dans les années 1790. On lui propose la présidence de la Commission de réforme des poids et mesures ( la Commission des poids et mesures ) alors qu’il s’apprête à s’évader. Après la mort de Lavoisier en 1794, c’est en grande partie Lagrange qui influença le choix des unités mètre et kilogramme avec subdivision décimale , par la commission de 1799. ^[18] Lagrange fut aussi l’un des membres fondateurs du Bureau des Longitudes en 1795.

École Normale

En 1795, Lagrange est nommé à une chaire de mathématiques à la nouvelle École Normale , qui n’a connu qu’une courte existence de quatre mois. Ses conférences là-bas étaient élémentaires; ils ne contiennent rien d’important sur le plan mathématique, bien qu’ils fournissent un bref aperçu historique de sa raison de proposer l’ undécimal ou la base 11 comme nombre de base pour le système réformé des poids et mesures. ^{[19] : 23} Les cours ont été publiés parce que les professeurs devaient « s’engager envers les représentants du peuple et entre eux à ne pas lire ni répéter de mémoire » [« Les professeurs aux Écoles Normales ont pris, avec les Représentans du Peuple, et entre eux l’^{[20] : iii} ]. Les discours furent ordonnés sténographiés pour permettre aux députés de voir comment les professeurs s’en étaient acquittés. On pensait également que les conférences publiées intéresseraient une partie importante de la population [“Quoique des feuilles sténographiques seraient essentiellement destinées aux élèves de l’École Normale, on doit prévoir qu’elles seront lues par une grande partie de la Nation”^{[20] : v} ].

École polytechnique

En 1794, Lagrange est nommé professeur à l’ École polytechnique ; et ses conférences là-bas, décrites par des mathématiciens qui ont eu la chance de pouvoir y assister, étaient presque parfaites tant dans la forme que dans la matière. ^{[ citation nécessaire ]} Partant des éléments les plus élémentaires, il entraîne ses auditeurs jusqu’à ce qu’ils repoussent eux-mêmes, presque à leur insu, les limites du sujet : il imprime surtout à ses élèves l’avantage de toujours utiliser des méthodes générales exprimées de manière symétrique. notation.

Mais Lagrange ne semble pas avoir été un bon professeur. Fourier , qui assiste à ses cours en 1795, écrit :

sa voix est très faible, du moins en ce qu’il ne s’échauffe pas ; il a un accent italien très prononcé et prononce le s comme le z […] Les étudiants, dont la plupart sont incapables de l’apprécier, lui font peu de cas, mais les professeurs s’en rachètent. ^[21] Dernières années Tombeau de Lagrange dans la crypte du Panthéon

En 1810, Lagrange entreprit une révision approfondie de la Mécanique analytique , mais il ne put en achever qu’environ les deux tiers avant sa mort à Paris en 1813, au 128 rue du Faubourg Saint-Honoré . Napoléon l’a honoré de la Grand Croix de l’Ordre Impérial de la Réunion deux jours seulement avant sa mort. Il est inhumé la même année au Panthéon à Paris. L’inscription sur sa tombe se lit en traduction:

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE. Sénateur. Comte de l’Empire. Grand Officier de la Légion d’Honneur. Grand-Croix de l’ Ordre Impérial de la Réunion . Membre de l’Institut et du Bureau de Longitude. Né à Turin le 25 janvier 1736. Mort à Paris le 10 avril 1813.

Travailler à Berlin

Lagrange a été extrêmement actif scientifiquement pendant les vingt années qu’il a passées à Berlin. Non seulement il a produit sa Mécanique analytique , mais il a contribué entre cent et deux cents articles à l’Académie de Turin, à l’Académie de Berlin et à l’Académie française. Certains d’entre eux sont vraiment des traités, et tous sans exception sont d’un haut degré d’excellence. À l’exception d’une courte période où il était malade, il produisait en moyenne environ un journal par mois. Parmi ceux-ci, notez les suivants parmi les plus importants.

Premièrement, ses contributions aux quatrième et cinquième volumes, 1766-1773, des Miscellanea Taurinensia ; dont la plus importante fut celle de 1771, dans laquelle il expliqua comment de nombreuses observations astronomiques devaient être combinées pour donner le résultat le plus probable. Et plus tard, ses contributions aux deux premiers volumes, 1784-1785, des transactions de l’Académie de Turin ; au premier duquel il a contribué un article sur la pression exercée par les fluides en mouvement, et au second un article sur l’intégration par séries infinies , et le genre de problèmes auxquels elle se prête.

La plupart des articles envoyés à Paris portaient sur des questions astronomiques, parmi lesquels son article sur le système jovien en 1766, son essai sur le problème des trois corps en 1772, son travail sur l’ équation séculaire de la Lune en 1773, et son traité sur les perturbations cométaires en 1778. Ceux-ci ont tous été écrits sur des sujets proposés par l’ Académie française , et dans chaque cas le prix lui a été décerné.

Mécanique lagrangienne

Entre 1772 et 1788, Lagrange reformule la mécanique classique/newtonienne pour simplifier les formules et faciliter les calculs. Ces mécaniques sont appelées mécaniques lagrangiennes .

Algèbre

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Joseph-Louis Lagrange

Jun 20, 2022

Le plus grand nombre de ses articles pendant cette période ont cependant été contribués à l’ Académie prussienne des sciences . Plusieurs d’entre eux traitent de questions d’ algèbre .

Sa discussion des représentations des nombres entiers par des formes quadratiques (1769) et par des formes algébriques plus générales (1770).
Son traité sur la théorie de l’élimination , 1770.
Théorème de Lagrange selon lequel l’ordre d’un sous-groupe H d’un groupe G doit diviser l’ordre de G.
Ses articles de 1770 et 1771 sur le processus général de résolution d’une équation algébrique de degré quelconque via les résolvantes de Lagrange . Cette méthode ne parvient pas à donner une formule générale pour les solutions d’une équation de degré cinq et plus, car l’équation auxiliaire impliquée a un degré supérieur à celui d’origine. L’importance de cette méthode est qu’elle présente les formules déjà connues pour résoudre les équations des deuxième, troisième et quatrième degrés en tant que manifestations d’un principe unique, et était fondamentale dans la théorie de Galois . La solution complète d’une équation binomiale (à savoir une équation de la forme un x n {displaystyle hache^{n}} ${displaystyle ax^{n}}$ ${displaystyle hache^{n}}$ ± b = 0 {displaystyle b=0} ) est également traité dans ces articles.
En 1773, Lagrange considère un déterminant fonctionnel d’ordre 3, un cas particulier de jacobien . Il a également prouvé l’expression du volume d’un tétraèdre avec l’un des sommets à l’origine comme le sixième de la valeur absolue du déterminant formé par les coordonnées des trois autres sommets.

La théorie du nombre

Plusieurs de ses premiers articles traitent également de questions de théorie des nombres.

Lagrange (1766–1769) fut le premier Européen à prouver que l’équation de Pell x ² − ny ² = 1 a une solution non triviale dans les nombres entiers pour tout nombre naturel non carré n . ^[22]
Il a prouvé le théorème, énoncé par Bachet sans justification, que tout entier positif est la somme de quatre carrés , 1770.
Il a prouvé le théorème de Wilson selon lequel (pour tout entier n > 1 ) : n est premier si et seulement si ( n − 1) ! + 1 est un multiple de n , 1771.
Ses articles de 1773, 1775 et 1777 ont donné des démonstrations de plusieurs résultats énoncés par Fermat, et non prouvés auparavant.
Ses Recherches d’Arithmétique de 1775 ont développé une théorie générale des formes quadratiques binaires pour traiter le problème général de savoir quand un entier est représentable par la forme ax ² + par ² + cxy .
Il a apporté des contributions à la théorie des fractions continues .

Autre travail mathématique

Il existe également de nombreux articles sur divers points de géométrie analytique . Dans deux d’entre eux, écrits un peu plus tard, en 1792 et 1793, il réduit les équations des quadriques (ou conicoïdes) à leurs formes canoniques .

Au cours des années 1772 à 1785, il a contribué à une longue série d’articles qui ont créé la science des équations aux dérivées partielles . Une grande partie de ces résultats a été recueillie dans la deuxième édition du Calcul intégral d’Euler qui a été publiée en 1794.

Astronomie

Enfin, il existe de nombreux articles sur des problèmes d’ astronomie . Parmi ceux-ci, les plus importants sont les suivants :

Tentative de résolution du problème général à trois corps , avec la découverte conséquente des deux solutions à motif constant, colinéaire et équilatérale, 1772. Ces solutions ont ensuite été vues pour expliquer ce que l’on appelle maintenant les points de Lagrange .
De l’attraction des ellipsoïdes, 1773 : c’est fondé sur les travaux de Maclaurin .
Sur l’équation séculaire de la Lune, 1773 ; également perceptible pour l’introduction la plus précoce de l’idée de potentiel. Le potentiel d’un corps en tout point est la somme de la masse de chaque élément du corps divisée par sa distance au point. Lagrange a montré que si le potentiel d’un corps en un point extérieur était connu, l’attraction dans n’importe quelle direction pouvait être immédiatement trouvée. La théorie du potentiel a été élaborée dans un article envoyé à Berlin en 1777.
Sur le mouvement des nœuds de l’ orbite d’une planète , 1774.
Sur la stabilité des orbites planétaires, 1776.
Deux articles dans lesquels la méthode de détermination de l’orbite d’une comète à partir de trois observations est complètement élaborée, 1778 et 1783 : celle-ci ne s’est en effet pas avérée pratiquement disponible, mais son système de calcul des perturbations au moyen de quadratures mécaniques a formé la base de la plupart des recherches ultérieures sur le sujet.
Sa détermination des variations séculaires et périodiques des éléments des planètes, 1781-1784 : les limites supérieures assignées à celles-ci concordent étroitement avec celles obtenues plus tard par Le Verrier , et Lagrange va jusqu’à la connaissance alors possédée des masses des planètes autorisées.
Trois mémoires sur la méthode d’interpolation, 1783, 1792 et 1793 : la partie des différences finies qui s’en occupe est maintenant au même stade que celle où Lagrange l’a laissée.

Traité fondamental

Au-delà de ces divers écrits, il compose son traité fondamental, la Mécanique analytique .

Dans ce livre, il pose la loi du travail virtuel, et de ce seul principe fondamental, à l’aide du calcul des variations, déduit toute la mécanique , des solides comme des fluides.

L’objet du livre est de montrer que le sujet est implicitement inclus dans un principe unique, et de donner des formules générales à partir desquelles tout résultat particulier peut être obtenu. La méthode des coordonnées généralisées par laquelle il a obtenu ce résultat est peut-être le résultat le plus brillant de son analyse. Au lieu de suivre le mouvement de chaque partie individuelle d’un système matériel, comme l’avaient fait D’Alembert et Euler, il a montré que, si l’on détermine sa configuration par un nombre suffisant de variables x , appelées coordonnées généralisées, dont le nombre est le même que celui des degrés de liberté possédés par le système, alors les énergies cinétiques et potentielles du système peuvent être exprimées en fonction de ces variables, et les équations différentielles du mouvement en sont déduites par simple différenciation. Par exemple, en dynamique d’un système rigide, il remplace la considération du problème particulier par l’équation générale, qui est maintenant généralement écrite sous la forme

d d t ∂ T ∂ x ̇ − ∂ T ∂ x + ∂ V ∂ x = 0 , {displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {partial T}{partial {dot {x}}}}-{frac {partial T}{partial x}}+{ frac {partial V}{partial x}}=0,} ${displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {partial T}{partial {dot {x}}}}-{frac {partial T}{partial x}}+{frac {partial V}{partial x}}=0,}$ ${displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {partial T}{partial {dot {x}}}}-{frac {partial T}{partial x}}+{ frac {partial V}{partial x}}=0,}$

où T représente l’énergie cinétique et V représente l’énergie potentielle du système. Il a ensuite présenté ce que nous connaissons maintenant sous le nom de méthode des Multiplicateurs de Lagrange – bien que ce ne soit pas la première fois que cette méthode soit publiée – comme moyen de résoudre cette équation. ^[23] Parmi d’autres théorèmes mineurs ici donnés, il peut suffire de mentionner la proposition selon laquelle l’énergie cinétique communiquée par les impulsions données à un système matériel sous des contraintes données est un maximum, et le Principe de moindre action . Toute l’analyse est si élégante que Sir William Rowan Hamilton a déclaré que l’œuvre ne pouvait être décrite que comme un poème scientifique. Lagrange a fait remarquer que la mécanique était vraiment une branche demathématiques pures analogues à une géométrie à quatre dimensions, à savoir le temps et les trois coordonnées du point dans l’espace ; et l’on dit qu’il s’enorgueillit que du début à la fin de l’ouvrage il n’y ait pas eu un seul schéma. Au début, aucun imprimeur n’a pu être trouvé qui publierait le livre; mais Legendre persuada enfin une firme parisienne de l’entreprendre, et il fut publié sous la direction de Laplace, Cousin, Legendre (éditeur) et Condorcet en 1788. ^[10]

Travailler en France

Calcul différentiel et calcul des variations

Joseph-Louis Lagrange

Les cours de Lagrange sur le calcul différentiel à l’École polytechnique forment la base de son traité Théorie des fonctions analytiques , publié en 1797. Cet ouvrage est le prolongement d’une idée contenue dans un article qu’il avait envoyé aux journaux de Berlin en 1772, et son L’objet est de substituer au calcul différentiel un ensemble de théorèmes basés sur le développement de fonctions algébriques en série, s’appuyant notamment sur le principe de la généralité de l’algèbre .

Une méthode quelque peu similaire avait déjà été utilisée par John Landen dans l’ Analyse résiduelle , publiée à Londres en 1758. Lagrange croyait pouvoir ainsi se débarrasser de ces difficultés, liées à l’utilisation des quantités infiniment grandes et infiniment petites, auxquelles les philosophes s’opposaient. dans le traitement habituel du calcul différentiel. Le livre est divisé en trois parties : parmi celles-ci, la première traite de la théorie générale des fonctions, et donne une preuve algébrique du théorème de Taylor , dont la validité est cependant sujette à caution ; le second traite des applications à la géométrie ; et le troisième avec des applications à la mécanique.

Un autre traité dans le même sens est ses Leçons sur le calcul des fonctions , publié en 1804, avec la deuxième édition en 1806. C’est dans ce livre que Lagrange formule sa célèbre méthode des Multiplicateurs de Lagrange , dans le cadre de problèmes de calcul variationnel avec contraintes intégrales. Ces travaux consacrés au calcul différentiel et au calcul des variations peuvent être considérés comme le point de départ des recherches de Cauchy , Jacobi et Weierstrass .

Infinitésimaux

Plus tard, Lagrange embrassa pleinement l’usage des infinitésimaux de préférence à fonder le calcul différentiel sur l’étude des formes algébriques ; et dans la préface de la seconde édition de la Mécanique Analytique , parue en 1811, il justifie l’emploi des infinitésimaux, et conclut en disant que :

Quand on a saisi l’esprit de la méthode infinitésimale, et vérifié l’exactitude de ses résultats soit par la méthode géométrique des rapports premiers et ultimes, soit par la méthode analytique des fonctions dérivées, on peut employer des quantités infiniment petites comme une valeur sûre et valable. moyen d’abréger et de simplifier nos preuves.

La théorie du nombre

Sa Résolution des équations numériques , publiée en 1798, est également le fruit de ses cours à l’École polytechnique. Il y donne la méthode d’approximation des racines réelles d’une équation au moyen de fractions continues , et énonce plusieurs autres théorèmes. Dans une note à la fin, il montre comment le petit théorème de Fermat , c’est-à-dire

a p − 1 − 1 ≡ 0 ( mod p ) {displaystyle a^{p-1}-1equiv 0{pmod {p}}} $a^{p-1}-1 equiv 0pmod p$ $a^{p-1}-1 equiv 0pmod p$

où p est un nombre premier et a est premier à p , peut être appliquée pour donner la solution algébrique complète de toute équation binomiale. Il explique également ici comment l’équation dont les racines sont les carrés des différences des racines de l’équation originale peut être utilisée de manière à donner des informations considérables sur la position et la nature de ces racines.

Mécanique céleste

La théorie des mouvements planétaires avait fait l’objet de quelques-uns des plus remarquables écrits berlinois de Lagrange. En 1806, le sujet fut rouvert par Poisson qui, dans un article lu devant l’Académie française, montra que les formules de Lagrange conduisaient à certaines limites pour la stabilité des orbites. Lagrange, qui était présent, discuta à nouveau de tout le sujet et, dans une lettre communiquée à l’Académie en 1808, expliqua comment, par la variation de constantes arbitraires, les inégalités périodiques et séculaires de tout système de corps en interaction mutuelle pouvaient être déterminées.

Prix et distinctions

Euler proposa Lagrange pour l’élection à l’Académie de Berlin et il fut élu le 2 septembre 1756. Il fut élu membre de la Royal Society of Edinburgh en 1790, membre de la Royal Society et membre étranger de l’ Académie royale suédoise des sciences en 1806. En 1808, Napoléon fait de Lagrange grand officier de la Légion d’honneur et comte de l’Empire . Il a reçu la Grand Croix de l’ Ordre Impérial de la Réunion en 1813, une semaine avant sa mort à Paris, et a été enterré au Panthéon , un mausolée dédié au peuple français le plus honoré.

Lagrange a reçu le prix 1764 de l’ Académie française des sciences pour ses mémoires sur la libration de la Lune. En 1766, l’Académie proposa un problème du mouvement des satellites de Jupiter , et le prix fut de nouveau décerné à Lagrange. Il a également partagé ou remporté les prix de 1772, 1774 et 1778.

Lagrange est l’un des 72 éminents scientifiques français qui ont été commémorés sur des plaques au premier étage de la tour Eiffel lors de son ouverture. La rue Lagrange dans le 5e arrondissement de Paris porte son nom. A Turin, la rue où se dresse encore sa maison natale porte le nom de via Lagrange . Le cratère lunaire Lagrange et l’astéroïde 1006 Lagrangea portent également son nom.

Voir également

Liste des choses nommées d’après Joseph-Louis Lagrange
Espace à quatre dimensions
loi de Gauss
Histoire du compteur
Le rôle de Lagrange dans la réforme de la mesure
Pendule des secondes

Remarques

^ Royaume- Uni : / l æ ˈ ɡ r ɒ̃ ʒ / ,^{[1] États-} Unis : / l ə ɡ r eɪ n dʒ , l ə ˈ ɡ r ɑː n dʒ , l ə ˈ ɡ r ɒ̃ ʒ / ,^{[2] [ 3] [4]} Français : [ʒozɛf lwi laɡʁɑ̃ʒ] .
^ Italien: [dʒuˈzɛppe luˈiːdʒi laˈɡrandʒa] .
^ italien : [dʒuˈzɛppe ludoˈviːko de la ˈɡranʒ turˈnje] , français : [də la ɡʁɑ̃ʒ tuʁnje] .

Références

Citations

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Sources

La version initiale de cet article est tirée de la ressource du domaine public A Short Account of the History of Mathematics (4e édition, 1908) de WW Rouse Ball .

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Liens externes

Wikimedia Commons a des médias liés à Joseph-Louis Lagrange .

Wikiquote a des citations liées à Joseph-Louis Lagrange .

Wikisource contient le texte de l’ article de l’ Encyclopædia Britannica de 1911 ” Lagrange, Joseph Louis “.

O’Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , “Joseph-Louis Lagrange” , archives MacTutor History of Mathematics , Université de St Andrews
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Lagrange, Joseph Louis de: L’Encyclopédie d’Astrobiologie, d’Astronomie et de Vol Spatial
Joseph-Louis Lagrange au Projet Généalogie Mathématique
Les fondateurs de la mécanique classique : Joseph Louis Lagrange
Les pointes de Lagrange
Dérivation du résultat de Lagrange (pas la méthode de Lagrange)
Oeuvres de Lagrange (en français) Oeuvres de Lagrange, édité par Joseph Alfred Serret, Paris 1867, numérisé par Göttinger Digitalisierungszentrum (Mécanique analytique est dans les volumes 11 et 12.)
Joseph Louis de Lagrange – Œuvres complètes Gallica-Math
Inventaire chronologique de l’oeuvre de Lagrange Persée
Œuvres de Joseph-Louis Lagrange au Projet Gutenberg
Œuvres de ou sur Joseph-Louis Lagrange sur Internet Archive
Mécanique analytique (Paris, 1811-15)