Infini réel

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Dans la philosophie des mathématiques , l’ abstraction de l’ infini réel implique l’acceptation (si l’ axiome de l’infini est inclus) d’entités infinies comme des objets donnés, réels et achevés. Ceux-ci peuvent inclure l’ensemble des Nombres naturels , des Nombres réels étendus, des nombres transfinis ou même une suite infinie de Nombres rationnels . L’infini réel doit être mis en contraste avec l’infini potentiel, dans lequel un processus sans fin (tel que “ajouter 1 au nombre précédent”) produit une séquence sans dernier élément, et où chaque résultat individuel est fini et est obtenu en un nombre fini d’étapes. Par conséquent, l’infini potentiel est souvent formalisé à l’aide du concept de limite . ^[1]

Anaximandre

Le terme grec ancien pour l’infini potentiel ou impropre était apeiron (illimité ou indéfini), contrairement à l’ aphorismenon infini réel ou propre . ^[2] Apeiron s’oppose à ce qui a un peras (limite). Ces notions sont aujourd’hui notées respectivement potentiellement infini et réellement infini .

Anaximandre (610–546 avant JC) a soutenu que l’ apeiron était le principe ou l’élément principal composant toutes choses. De toute évidence, le « apeiron » était une sorte de substance de base. La notion de Platon de l’ apeiron est plus abstraite, ayant à voir avec la variabilité indéfinie. Les principaux dialogues où Platon parle de l’« apeiron » sont les derniers dialogues de Parménide et de Philebus .

Aristote

Aristote résume ainsi les vues de ses prédécesseurs sur l’infini :

“Seuls les Pythagoriciens placent l’infini parmi les objets des sens (ils ne considèrent pas le nombre comme séparable de ceux-ci), et affirment que ce qui est en dehors du ciel est infini. Platon, d’autre part, soutient qu’il n’y a pas de corps à l’extérieur ( les Formes ne sont pas dehors parce qu’elles ne sont nulle part), mais que l’infini est présent non seulement dans les objets des sens mais aussi dans les Formes.” (Aristote) ^[3]

Le thème a été mis en avant par la considération d’Aristote sur l’apeiron – dans le contexte des mathématiques et de la physique (l’étude de la nature):

“L’infini s’avère être le contraire de ce que les gens disent qu’il est. Ce n’est pas ‘ce qui n’a rien au-delà de lui-même’ qui est infini, mais ‘ce qui a toujours quelque chose au-delà de lui-même’.” (Aristote) ^[4]

La croyance en l’existence de l’infini vient principalement de cinq considérations : ^[5]

1. De la nature du temps – car il est infini.
2. De la division des grandeurs – car les mathématiciens utilisent aussi la notion d’infini.
3. Si advenir et disparaître ne donnent pas, c’est uniquement parce que ce dont les choses adviennent est infini.
4. Parce que le limité trouve toujours sa limite dans quelque chose, de sorte qu’il ne doit pas y avoir de limite, si tout est toujours limité par autre chose que soi.
5. Surtout, une raison qui est particulièrement appropriée et présente la difficulté ressentie par tout le monde – non seulement le nombre mais aussi les grandeurs mathématiques et ce qui est en dehors du ciel sont censés être infinis parce qu’ils ne cèdent jamais dans notre pensée. (Aristote)

Aristote a postulé qu’un infini réel était impossible, car si c’était possible, alors quelque chose aurait atteint une magnitude infinie et serait “plus grand que les cieux”. Cependant, a-t-il dit, les mathématiques relatives à l’infini n’étaient pas privées de leur applicabilité par cette impossibilité, car les mathématiciens n’avaient pas besoin de l’infini pour leurs théorèmes, juste d’une grandeur finie et arbitrairement grande. ^[6]

La distinction potentiel-réel d’Aristote

Aristote a traité le sujet de l’infini en Physique et en Métaphysique . Il a fait la distinction entre l’infini réel et l’ infini potentiel . L’infini réel est complet et défini, et se compose d’une infinité d’éléments. L’infini potentiel n’est jamais complet : les éléments peuvent toujours être ajoutés, mais jamais infiniment nombreux.

“Car généralement l’infini a ce mode d’existence : une chose est toujours prise après l’autre, et chaque chose qui est prise est toujours finie, mais toujours différente.”

— Aristote, Physique, livre 3, chapitre 6.

Aristote a distingué l’infini par rapport à l’addition et à la division.

Mais Platon a deux infinis, le Grand et le Petit.

— Physique, livre 3, chapitre 4.

“A titre d’exemple d’une série potentiellement infinie en ce qui concerne l’augmentation, un nombre peut toujours être ajouté après l’autre dans la série qui commence par 1, 2, 3, … mais le processus d’addition de plus en plus de nombres ne peut pas être épuisé ou terminé .” ^{[ citation nécessaire ]}

En ce qui concerne la division, une séquence potentiellement infinie de divisions peut commencer, par exemple, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, mais le processus de division ne peut pas être épuisé ou achevé.

“Car le fait que le processus de division ne se termine jamais assure que cette activité existe potentiellement, mais pas que l’infini existe séparément.”

— Métaphysique, livre 9, chapitre 6.

Aristote a également soutenu que les mathématiciens grecs connaissaient la différence entre l’infini réel et un potentiel, mais qu’ils “n’ont pas besoin de l’infini [réel] et ne l’utilisent pas” ( Phys. III 2079 29). ^[7]

Penseurs scolastiques, de la Renaissance et des Lumières

L’écrasante majorité des philosophes scolastiques a adhéré à la devise Infinitum actu non datur . Cela signifie qu’il n’y a qu’un infini potentiel (en développement, impropre, “syncategorematic”) mais pas un infini réel (fixe, propre, “categorematic”) . Il y avait cependant des exceptions, par exemple en Angleterre.

Il est bien connu qu’au Moyen Âge tous les philosophes scolastiques prônent l’« infinitum actu non datur » d’Aristote comme un principe irréfutable. ( G. Cantor ) ^[8]

L’infini réel existe en nombre, en temps et en quantité. (J. Baconthorpe [9, p. 96])

Pendant la Renaissance et au début des temps modernes, les voix en faveur de l’infini réel étaient plutôt rares.

Le continuum est en fait constitué d’une infinité d’indivisibles ( G. Galilei [9, p. 97])

Je suis tellement en faveur de l’infini réel. ( GW Leibniz [9, p. 97])

Cependant, la majorité des penseurs pré-modernes ^{[ la citation nécessaire ]} était d’accord avec la citation bien connue de Gauss :

Je proteste contre l’utilisation de la grandeur infinie comme quelque chose d’achevé, ce qui n’est jamais permis en mathématiques. L’infini n’est qu’une manière de parler, le vrai sens étant une limite dont certains rapports se rapprochent indéfiniment, tandis que d’autres sont autorisés à croître sans restriction. ^[9] ( CF Gauss [dans une lettre à Schumacher, 12 juillet 1831])

Ère moderne

L’infini réel est maintenant communément accepté. Le changement radical a été initié par Bolzano et Cantor au 19ème siècle.

Bernard Bolzano , qui a introduit la notion d’ ensemble (en allemand : Menge ), et Georg Cantor, qui a introduit la théorie des ensembles , se sont opposés à l’attitude générale. Cantor a distingué trois domaines de l’infini : (1) l’infini de Dieu (qu’il appelait « l’absolutum »), (2) l’infini de la réalité (qu’il appelait « la nature ») et (3) les nombres et ensembles transfinis des mathématiques. .

Une multitude qui est plus grande que n’importe quelle multitude finie, c’est-à-dire une multitude avec la propriété que chaque ensemble fini [de membres du genre en question] n’en est qu’une partie, j’appellerai une multitude infinie. (B. Bolzano [2, p. 6])

En conséquence, je distingue un infini incréé éternel ou absolutum, qui est dû à Dieu et à ses attributs, et un infini créé ou transfinium, qui doit être utilisé partout où dans la nature créée un infini réel doit être remarqué, par exemple, par rapport à , selon ma ferme conviction, le nombre réellement infini d’individus créés, dans l’univers aussi bien que sur notre terre et, très probablement, même dans chaque morceau d’espace étendu arbitrairement petit. (Georg Cantor) ^[10] (G. Cantor [8, p. 252])

Les nombres sont une création libre de l’esprit humain. ( R. Dedekind [3a, p. III])

Une preuve est basée sur la notion de Dieu. Premièrement, de la plus haute perfection de Dieu, nous déduisons la possibilité de la création du transfini, puis, de sa toute-grâce et de sa splendeur, nous déduisons la nécessité que la création du transfini ait effectivement eu lieu. (G. Cantor [3, p. 400])

Cantor distinguait deux types d’infini actuel : le transfini et l’absolu dont il affirmait :

Ces concepts sont à différencier strictement, dans la mesure où le premier est certes infini , mais susceptible d’ accroissement , tandis que le second est incapable d’accroissement et donc indéterminable en tant que concept mathématique. Cette erreur se retrouve, par exemple, dans le panthéisme . (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , pp. 375, 378) ^[11]

Pratique mathématique actuelle

L’infini réel est maintenant communément accepté, car les mathématiciens ont appris à construire des énoncés algébriques en l’utilisant. Par exemple, on peut écrire un symbole, ω {displaystyle oméga} , avec la description verbale que ” ω {displaystyle oméga} signifie l’infini complet ( dénombrable )”. Ce symbole peut être ajouté en tant qu’élément ur à n’importe quel ensemble. On peut également fournir des axiomes qui définissent l’addition, la multiplication et l’inégalité ; en particulier, l’arithmétique ordinale , telle que des expressions comme n < ω {displaystyle n<omega } peut être interprété comme “tout nombre naturel est inférieur à l’infini complet”. Même des déclarations de “bon sens” telles que ω < ω + 1 {displaystyle omega <omega +1} sont possibles et cohérents. La théorie est suffisamment bien développée, que des expressions algébriques assez complexes, telles que ω 2 {displaystyle oméga ^{2}} , ω ω {displaystyle omega ^{omega }} et même 2 ω {displaystyle 2^{omega }} peuvent être interprétées comme des expressions algébriques valides, peuvent recevoir une description verbale et peuvent être utilisées dans une grande variété de théorèmes et d’affirmations de manière cohérente et significative. La capacité de définir les nombres ordinaux de manière cohérente et significative rend une grande partie du débat sans objet; quelle que soit l’opinion personnelle que l’on puisse avoir sur l’infini ou la constructibilité, l’existence d’une théorie riche pour travailler avec les infinis en utilisant les outils de l’algèbre et de la logique est clairement en main.

Opposition de l’école intuitionniste

La signification mathématique du terme “réel” dans l’ infini réel est synonyme de défini , achevé , étendu ou existentiel , ^[12] mais à ne pas confondre avec existant physiquement . La question de savoir si les Nombres naturels ou réels forment des ensembles définis est donc indépendante de la question de savoir si des choses infinies existent physiquement dans la nature .

Les partisans de l’ intuitionnisme , à partir de Kronecker , rejettent l’affirmation selon laquelle il existe en réalité des objets ou des ensembles mathématiques infinis. Par conséquent, ils reconstruisent les fondements des mathématiques d’une manière qui ne suppose pas l’existence d’infinis réels. D’autre part, l’analyse constructive accepte l’existence de l’infinité complète des nombres entiers.

Pour les intuitionnistes, l’infini est qualifié de potentiel ; les termes synonymes de cette notion sont devenants ou constructifs . ^[12] Par exemple, Stephen Kleene décrit la notion d’une bande de machine de Turing comme “une ‘bande’ linéaire, (potentiellement) infinie dans les deux sens.” ^[13] Pour accéder à la mémoire de la bande, une machine de Turing déplace une tête de lecture le long de celle-ci en un nombre fini d’étapes : la bande n’est donc que “potentiellement” infinie, puisque s’il y a toujours la possibilité de faire un autre pas, l’infini lui-même n’est jamais effectivement atteint. ^[14]

Les mathématiciens acceptent généralement les infinis réels. ^[15] Georg Cantor est le mathématicien le plus important qui a défendu les infinis réels, assimilant l’ Infini Absolu à Dieu. Il a décidé qu’il est possible que les Nombres naturels et réels soient des ensembles définis, et que si l’on rejette l’axiome de finitude euclidienne (qui stipule que les actualités, individuellement et en agrégats, sont nécessairement finies), alors on n’est impliqué dans aucune contradiction . .

L’interprétation finitiste conventionnelle actuelle des nombres ordinaux et cardinaux est qu’ils consistent en une collection de symboles spéciaux et un langage formel associé , dans lequel des déclarations peuvent être faites. Toutes ces déclarations sont nécessairement de longueur finie. La justesse des manipulations n’est fondée que sur les principes de base d’un langage formel : algèbres de termes , réécriture de termes , etc. Plus abstraitement, la théorie des modèles (finis) et la théorie de la preuve offrent les outils nécessaires pour travailler avec les infinis. Il n’est pas nécessaire de “croire” à l’infini pour écrire des expressions algébriquement valides employant des symboles pour l’infini.

Théorie des ensembles classique

Le problème philosophique de l’infini réel concerne la question de savoir si la notion est cohérente et épistémiquement saine.

La théorie classique des ensembles accepte la notion d’infinis réels et achevés. Cependant, certains philosophes finitistes des mathématiques et constructivistes s’opposent à cette notion.

Si le nombre positif n devient infiniment grand, l’expression 1/ n devient nulle (ou devient infiniment petite). En ce sens on parle d’infini impropre ou potentiel. En contraste net et clair, l’ensemble que nous venons de considérer est un ensemble infini verrouillé, facilement fini, fixé en lui-même, contenant une infinité d’éléments exactement définis (les Nombres naturels) ni plus ni moins. ( A. Fraenkel [4, p. 6])

Ainsi la conquête de l’infini réel peut être considérée comme un élargissement de notre horizon scientifique non moins révolutionnaire que le système copernicien ou que la théorie de la relativité, ou même de la physique quantique et nucléaire. (A. Fraenkel [4, p. 245])

Considérer l’univers de tous les ensembles non pas comme une entité fixe mais comme une entité capable de « grandir », c’est-à-dire que nous sommes capables de « produire » des ensembles de plus en plus grands. (A. Fraenkel et al. [5, p. 118])

( Brouwer ) soutient qu’un véritable continuum qui n’est pas dénombrable peut être obtenu comme moyen de développement libre ; c’est-à-dire qu’outre les points qui existent (sont prêts) du fait de leur définition par des lois, telles que e, pi, etc., d’autres points du continuum ne sont pas prêts mais se développent comme des séquences dites de choix . (A. Fraenkel et al. [5, p. 255])

Les intuitionnistes rejettent la notion même d’une séquence arbitraire d’entiers, comme désignant quelque chose de fini et de défini comme illégitime. Une telle séquence est considérée comme un objet en croissance uniquement et non comme un objet fini. (A. Fraenkel et al. [5, p. 236])

Jusque-là, personne n’envisageait la possibilité que les infinis soient de tailles différentes, et de plus, les mathématiciens n’avaient aucune utilité pour “l’infini réel”. Les arguments utilisant l’infini, y compris le calcul différentiel de Newton et Leibniz , ne nécessitent pas l’utilisation d’ensembles infinis. (T. Jech [1] )

Grâce aux gigantesques efforts simultanés de Frege , Dedekind et Cantor, l’infini fut installé sur un trône et se délecta de son triomphe total. Dans son vol audacieux, l’infini a atteint des sommets vertigineux de succès. ( D. Hilbert [6, p. 169])

L’une des branches les plus vigoureuses et les plus fructueuses des mathématiques […] un paradis créé par Cantor dont personne ne nous expulsera jamais […] la fleur la plus admirable de l’esprit mathématique et tout à fait l’une des réalisations les plus remarquables de l’homme purement activité intellectuelle. (D. Hilbert sur la théorie des ensembles [6])

Enfin, revenons à notre sujet initial, et tirons la conclusion de toutes nos réflexions sur l’infini. Le résultat global est alors : L’infini n’est réalisé nulle part. Il n’est pas non plus présent dans la nature ni admissible comme fondement de notre pensée rationnelle – une remarquable harmonie entre l’être et la pensée. (D. Hilbert [6, 190])

Les totalités infinies n’existent dans aucun sens du terme (c’est-à-dire ni réellement ni idéalement). Plus précisément, toute mention, ou prétendue mention, de totalités infinies est, littéralement, dénuée de sens. ( A. Robinson [10, p. 507])

En effet, je pense qu’il y a un réel besoin, dans le formalisme et ailleurs, de lier notre compréhension des mathématiques à notre compréhension du monde physique. (A.Robinson)

Le grand méta-récit de Georg Cantor, Set Theory, créé par lui presque seul en l’espace d’une quinzaine d’années, ressemble plus à une œuvre d’art qu’à une théorie scientifique. ( Y. Manin [2] )

Ainsi, le minimalisme exquis des moyens expressifs est utilisé par Cantor pour atteindre un objectif sublime : comprendre l’infini, ou plutôt l’infini des infinis. (Y. Manin [3] )

Il n’y a pas d’infini réel, que les Cantoriens ont oublié et ont été piégés par des contradictions. ( H. Poincaré [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. morale 14 (1906) p. 316])

Lorsque les objets de discussion sont des entités linguistiques […] alors cet ensemble d’entités peut varier à la suite d’une discussion à leur sujet. Une conséquence de ceci est que les “Nombres naturels” d’aujourd’hui ne sont pas les mêmes que les “Nombres naturels” d’hier. (D. Îles [4] )

Il y a au moins deux manières différentes de regarder les nombres : comme un infini complet et comme un infini incomplet… considérer les nombres comme un infini incomplet offre une alternative viable et intéressante à considérer les nombres comme un infini complet, celui qui conduit à de grandes simplifications dans certains domaines des mathématiques et qui a des liens étroits avec des problèmes de complexité computationnelle. (E. Nelson [5] )

A la renaissance, notamment avec Bruno , l’infini réel se transfère de Dieu au monde. Les modèles du monde fini de la science contemporaine montrent clairement comment ce pouvoir de l’idée de l’infini réel a cessé avec la physique classique (moderne). Sous cet aspect, l’inclusion de l’infini réel dans les mathématiques, qui n’a commencé explicitement avec G. Cantor que vers la fin du siècle dernier, semble déplaisante. Dans le tableau d’ensemble intellectuel de notre siècle… l’infini réel donne une impression d’anachronisme. ( P. Lorenzen [6] )

Voir également

• Limite (mathématiques)
• Cardinalité du continuum

Références

1. ^ Schechter, Eric (5 décembre 2009). “Potentiel vs infini terminé” . math.vanderbilt.edu . Récupéré le 12/11/2019 .
2. ^ Fenves, Peter David (2001). Langage saisissant : de Leibniz à Benjamin . Presse universitaire de Stanford. p. 331.ISBN _ 9780804739603.
3. ^ Thomas, Kenneth W.; Thomas, Thomas, Thomas d’Aquin (2003-06-01). Commentaire sur la physique d’Aristote . A&C Noir. p. 163. ISBN 9781843715450.
4. ^ Padovan, Richard (2002-09-11). Proportion : Science, Philosophie, Architecture . Taylor et François. p. 123. ISBN 9781135811112.
5. ^ Thomas, Kenneth W.; Thomas, Thomas, Thomas d’Aquin (2003-06-01). Commentaire sur la physique d’Aristote . A&C Noir. ISBN 9781843715450.
6. ^ “Bibliothèque virtuelle Logos: Aristote: Physique, III, 7” . logoslibrary.org . Récupéré le 14/11/2017 .
7. ^ Allen, Reginald E. (1998). Le Parménide de Platon . Les Dialogues de Platon. Vol. 4. New Haven : presse universitaire de Yale. p. 256.ISBN _ 9780300138030. OCLC 47008500 .
8. ^ Chanteur, Georg (1966). Zermelo, Ernst (éd.). Gesammelte abhandlungen : Mathematischen und philosophischen inhalts . Georg Olms Verlag. p. 174.
9. ^ Stephen Kleene 1952 (édition 1971): 48 attribue la première phrase de cette citation à (Werke VIII p. 216).
10. ^ Chanteur, Georg (1966). Zermelo, Ernst (éd.). Gesammelte abhandlungen : Mathematischen und philosophischen inhalts . Georg Olms Verlag. p. 399.
11. ^ Kohanski, Alexander Sissel (6 juin 2021). Le mode de pensée grec dans la philosophie occidentale . Presse universitaire Fairleigh Dickinson. p. 271.ISBN _ 9780838631393. OCLC 230508222 .
12. ^ ^{un b} Kleene 1952/1971 : 48.
13. ^ Kleene 1952/1971 : 48 p. 357 ; aussi “la machine… est fournie avec une bande ayant une impression (potentiellement) infinie…” (p. 363).
14. ^ Ou, la “bande” peut être fixe et la “tête” de lecture peut bouger. Roger Penrose le suggère parce que : “Pour ma part, je me sens un peu mal à l’aise à l’idée que notre appareil fini déplace une bande potentiellement infinie d’avant en arrière. Peu importe la légèreté de son matériau, une bande infinie peut être difficile à déplacer !” Le dessin de Penrose montre une tête de bande fixe étiquetée “TM” lisant une bande molle à partir de boîtes s’étendant jusqu’au point de fuite visuel. (Cf page 36 in Roger Penrose, 1989, The Emperor’s New Mind , Oxford University Press, Oxford UK, ISBN 0-19-851973-7 ). D’autres auteurs résolvent ce problème en ajoutant plus de bande lorsque la machine est sur le point de s’épuiser.
15. ^ L’infini réel découle, par exemple, de l’acceptation de la notion d’entiers en tant qu’ensemble, voir JJ O’Connor et EF Robertson, [ “Infinity” .

Sources

• “Infinity” aux archives MacTutor History of Mathematics , traitant de l’histoire de la notion d’infini, y compris le problème de l’infini réel.
• Aristote , Physique [7]
• Bernard Bolzano , 1851, Paradoxien des Unendlichen , Reclam, Leipzig.
• Bernard Bolzano 1837, Wissenschaftslehre , Sulzbach.
• Georg Cantor dans E. Zermelo (ed.) 1966, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , Olms, Hildesheim.
• Richard Dedekind en 1960 Was sind und was sollen die Zahlen? , Vieweg, Braunschweig.
• Adolf Abraham Fraenkel 1923, Einleitung in die Mengenlehre , Springer, Berlin.
• Adolf Abraham Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy 1984, Foundations of Set Theory , 2e éd., Hollande du Nord, Amsterdam New York.
• Stephen C. Kleene 1952 (édition 1971, 10e impression), Introduction to Metamathematics , North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York. ISBN 0-444-10088-1 .
• H. Meschkowski 1981, Georg Cantor : Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
• H. Meschkowski, W. Nilson (Hrsg.) 1991, Georg Cantor – Briefe , Springer, Berlin.
• Abraham Robinson 1979, Documents sélectionnés , Vol. 2, WAJ Luxembourg, S. Koerner (Hrsg.), Hollande du Nord, Amsterdam.