Infimum et supremum

En mathématiques , l’ infimum (en abrégé inf ; pluriel infima ) d’un sous- ensemble S {displaystyle S} d’un ensemble partiellement ordonné P {displaystyle P} est un élément majeur dans P {displaystyle P} qui est inférieur ou égal à chaque élément de S , {displaystyle S,} si un tel élément existe. ^[1] Par conséquent, le terme plus grande limite inférieure (en abrégé GLB ) est également couramment utilisé. ^[1]

Un ensemble P {displaystyle P} de Nombres réels (cercles creux et pleins), un sous-ensemble S {displaystyle S} de P {displaystyle P} (cercles pleins), et l’infimum de S . {displaystyle S.} Notez que pour les ensembles finis et totalement ordonnés, l’infimum et Le minimum sont égaux. Un ensemble A {displaystyle A} de Nombres réels (cercles bleus), un ensemble de bornes supérieures de A {displaystyle A} (losange rouge et cercles), et la plus petite de ces limites supérieures, c’est-à-dire le supremum de A {displaystyle A} (losange rouge).

Le supremum (en abrégé sup ; suprema au pluriel ) d’un sous-ensemble S {displaystyle S} d’un ensemble partiellement ordonné P {displaystyle P} est Le moindre élément de P {displaystyle P} supérieur ou égal à chaque élément de S , {displaystyle S,} si un tel élément existe. ^[1] Par conséquent, le supremum est également appelé la borne supérieure la moins élevée (ou LUB ). ^[1]

L’infimum est en un sens précis duel au concept de supremum. Infima et suprema des Nombres réels sont des cas particuliers courants qui sont importants dans l’analyse , et en particulier dans l’intégration de Lebesgue . Cependant, les définitions générales restent valables dans le cadre plus abstrait de la théorie de l’ordre où des ensembles partiellement ordonnés arbitraires sont considérés.

Les concepts d’ infimum et de supremum sont proches de Minimum et de Maximum , mais sont plus utiles en analyse car ils caractérisent mieux des ensembles spéciaux qui peuvent ne pas avoir de Minimum ou de Maximum . Par exemple, l’ensemble des Nombres réels positifs R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} $mathbb{R} ^{+}$ (non compris 0 {displaystyle 0} ) n’a pas de Minimum, car tout élément donné de R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} $mathbb{R} ^{+}$ pourrait simplement être divisé en deux, ce qui donnerait un nombre plus petit qui est toujours en R + . {displaystyle mathbb {R} ^{+}.} ${displaystyle mathbb {R} ^{+}.}$ Il existe cependant exactement un infimum des Nombres réels positifs : 0 , {displaystyle 0,} qui est plus petit que tous les Nombres réels positifs et plus grand que tout autre nombre réel qui pourrait être utilisé comme borne inférieure.

Définition formelle

supremum = moindre borne supérieure

Une borne inférieure d’un sous-ensemble S {displaystyle S} d’un ensemble partiellement ordonné ( P , ≤ ) {displaystyle (P,leq)} {displaystyle (P,leq )} est un élément a {displaystyle a} de P {displaystyle P} tel que

a ≤ x {displaystyle aleq x} pour tous x ∈ S . {displaystyle xin S.}

Une borne inférieure a {displaystyle a} de S {displaystyle S} est appelé un infimum (ou plus grande borne inférieure , ou rencontre ) de S {displaystyle S} si

pour toutes les bornes inférieures y {displaystyle y} de S {displaystyle S} dans P , {style d’affichage P,} y ≤ a {displaystyle yleq a} ( a {displaystyle a} est supérieur ou égal à toute autre borne inférieure).

De même, une borne supérieure d’un sous-ensemble S {displaystyle S} d’un ensemble partiellement ordonné ( P , ≤ ) {displaystyle (P,leq)} {displaystyle (P,leq )} est un élément b {displaystyle b} de P {displaystyle P} tel que

b ≥ x {displaystyle bgeq x} pour tous x ∈ S . {displaystyle xin S.}

Une borne supérieure b {displaystyle b} de S {displaystyle S} est appelé un supremum (ou moindre borne supérieure , ou jointure ) de S {displaystyle S} si

pour toutes les bornes supérieures z {displaystyle z} de S {displaystyle S} dans P , {style d’affichage P,} z ≥ b {displaystyle zgeq b} ( b {displaystyle b} est inférieur ou égal à toute autre borne supérieure).

Existence et unicité

Infima et suprema n’existent pas nécessairement. Existence d’un infimum d’un sous-ensemble S {displaystyle S} de P {displaystyle P} peut échouer si S {displaystyle S} n’a pas de borne inférieure du tout, ou si l’ensemble des bornes inférieures ne contient pas de plus grand élément. Cependant, si un infimum ou un supremum existe, il est unique.

Par conséquent, les ensembles partiellement ordonnés pour lesquels certains infima sont connus deviennent particulièrement intéressants. Par exemple, un treillis est un ensemble partiellement ordonné dans lequel tous les sous-ensembles finis non vides ont à la fois un supremum et un infimum, et un treillis complet est un ensemble partiellement ordonné dans lequel tous les sous-ensembles ont à la fois un supremum et un infimum. Plus d’informations sur les différentes classes d’ensembles partiellement ordonnés qui découlent de telles considérations se trouvent dans l’article sur les propriétés de complétude .

Si le supremum d’un sous-ensemble S {displaystyle S} existe, il est unique. Si S {displaystyle S} contient un plus grand élément, alors cet élément est le supremum ; sinon, le supremum n’appartient pas à S {displaystyle S} (ou n’existe pas). De même, si l’infimum existe, il est unique. Si S {displaystyle S} contient un plus petit élément, alors cet élément est l’infimum ; sinon, l’infimum n’appartient pas à S {displaystyle S} (ou n’existe pas).

Relation avec les éléments Maximum et Minimum

L’infimum d’un sous-ensemble S {displaystyle S} d’un ensemble partiellement ordonné P , {style d’affichage P,} à supposer qu’il existe, n’appartient pas nécessairement à S . {displaystyle S.} Si c’est le cas, il s’agit d’un élément Minimum ou moindre de S . {displaystyle S.} De même, si le supremum de S {displaystyle S} appartient à S , {displaystyle S,} c’est un élément Maximum ou plus grand de S . {displaystyle S.}

Par exemple, considérons l’ensemble des Nombres réels négatifs (hors zéro). Cet ensemble n’a pas d’élément le plus grand, car pour chaque élément de l’ensemble, il existe un autre élément plus grand. Par exemple, pour tout nombre réel négatif x , {displaystyle x,} il existe un autre nombre réel négatif x 2 , {displaystyle {tfrac {x}{2}},} ${displaystyle {tfrac {x}{2}},}$ ${displaystyle {tfrac {x}{2}},}$ qui est plus grand. D’autre part, tout nombre réel supérieur ou égal à zéro est certainement une borne supérieure sur cet ensemble. Ainsi, 0 {displaystyle 0} est la plus petite borne supérieure des réels négatifs, donc le supremum est 0. Cet ensemble a un supremum mais pas de plus grand élément.

Cependant, la définition des éléments maximaux et minimaux est plus générale. En particulier, un ensemble peut avoir de nombreux éléments maximaux et minimaux, alors que infima et suprema sont uniques.

Alors que les maxima et les minima doivent être membres du sous-ensemble considéré, l’infimum et le supremum d’un sous-ensemble n’ont pas besoin d’être eux-mêmes membres de ce sous-ensemble.

Limites supérieures minimales

Enfin, un ensemble partiellement ordonné peut avoir de nombreuses bornes supérieures minimales sans avoir de borne supérieure minimale. Les bornes supérieures minimales sont les bornes supérieures pour lesquelles il n’y a pas d’élément strictement plus petit qui soit également une borne supérieure. Cela ne signifie pas que chaque borne supérieure minimale est plus petite que toutes les autres bornes supérieures, elle n’est simplement pas supérieure. La distinction entre “minimal” et “le moins” n’est possible que lorsque l’ordre donné n’est pas total . Dans un ensemble totalement ordonné, comme les Nombres réels, les concepts sont les mêmes.

A titre d’exemple, laissons S {displaystyle S} Soit l’ensemble de tous les sous-ensembles finis de nombres naturels et considère l’ensemble partiellement ordonné obtenu en prenant tous les ensembles de S {displaystyle S} avec l’ensemble des nombres entiers Z {displaystyle mathbb {Z} } et l’ensemble des Nombres réels positifs R + , {displaystyle mathbb {R} ^{+},} ${displaystyle mathbb {R} ^{+},}$ ${displaystyle mathbb {R} ^{+},}$ classés par inclusion de sous-ensemble comme ci-dessus. Alors clairement les deux Z {displaystyle mathbb {Z} } et R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} $mathbb{R} ^{+}$ $mathbb{R} ^{+}$ sont plus grands que tous les ensembles finis de nombres naturels. Pourtant, ni l’un ni l’autre R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} $mathbb{R} ^{+}$ $mathbb{R} ^{+}$ plus petit que Z {displaystyle mathbb {Z} } l’inverse n’est pas non plus vrai : les deux ensembles sont des bornes supérieures minimales, mais aucun n’est un supremum.

Propriété de la plus petite borne supérieure

La propriété de borne supérieure est un exemple des propriétés d’exhaustivité susmentionnées qui sont typiques pour l’ensemble des Nombres réels. Cette propriété est parfois appelée complétude de Dedekind .

Si un ensemble ordonné S {displaystyle S} a la propriété que tout sous-ensemble non vide de S {displaystyle S} ayant une borne supérieure a également une borne supérieure inférieure, alors S {displaystyle S} est dit avoir la propriété de moindre borne supérieure. Comme indiqué ci-dessus, l’ensemble R {displaystyle mathbb {R} } de tous les Nombres réels a la propriété de borne supérieure. De même, l’ensemble Z {displaystyle mathbb {Z} } des nombres entiers a la propriété de moindre limite supérieure ; si S {displaystyle S} est un sous-ensemble non vide de Z {displaystyle mathbb {Z} } et il y a un certain nombre n {displaystyle n} telle que chaque élément s {displaystyle s} de S {displaystyle S} est inférieur ou égal à n , {displaystyle n,} alors il existe une borne supérieure u {displaystyle u} pour S , {displaystyle S,} un entier qui est une borne supérieure pour S {displaystyle S} et est inférieur ou égal à toute autre borne supérieure pour S . {displaystyle S.} Un ensemble bien ordonné a également la propriété de borne supérieure, et le sous-ensemble vide a également une borne supérieure : Le minimum de l’ensemble.

Un exemple d’un ensemble qui n’a pas la propriété la plus petite limite supérieure est Q , {displaystyle mathbb {Q} ,} l’ensemble des nombres rationnels. Laisser S {displaystyle S} être l’ensemble de tous les nombres rationnels q {displaystyle q} tel que q 2 < 2. {displaystyle q^{2}<2.} ${displaystyle q^{2}<2.}$ ${displaystyle q^{2}<2.}$ Puis S {displaystyle S} a une borne supérieure ( 1000 , {displaystyle 1000,} par exemple, ou 6 {displaystyle 6} ) mais pas la moindre limite supérieure dans Q {displaystyle mathbb {Q}} : Si l’on suppose p ∈ Q {displaystyle pin mathbb {Q}} {displaystyle pin mathbb {Q} } est la plus petite borne supérieure, on en déduit immédiatement une contradiction car entre deux réels quelconques x {style d’affichage x} et y {displaystyle y} (y compris 2 {displaystyle {sqrt {2}}} et p {displaystyle p} ) il existe un rationnel r , {displaystyle r,} qui lui-même devrait être la plus petite borne supérieure (si p > 2 {displaystyle p>{sqrt {2}}} ) ou un membre de S {displaystyle S} plus grand que p {displaystyle p} (si p < 2 {displaystyle p<{sqrt {2}}} ). Un autre exemple est les Hyperréels ; il n’y a pas de borne supérieure de l’ensemble des infinitésimaux positifs.

Il existe une propriété de plus grande borne inférieure correspondante ; un ensemble ordonné possède la propriété de la plus grande borne inférieure si et seulement s’il possède également la propriété de la plus petite borne supérieure ; la plus petite borne supérieure de l’ensemble des bornes inférieures d’un ensemble est la plus grande borne inférieure, et la plus grande borne inférieure de l’ensemble des bornes supérieures d’un ensemble est la plus petite borne supérieure de l’ensemble.

Si dans un ensemble partiellement ordonné P {displaystyle P} chaque sous-ensemble borné a un supremum, cela s’applique également, pour tout ensemble X , {displaystyle X,} dans l’espace des fonctions contenant toutes les fonctions de X {displaystyle X} pour P , {style d’affichage P,} où f ≤ g {displaystyle fleq g} si et seulement si f ( x ) ≤ g ( x ) {displaystyle f(x)leq g(x)} pour tous x ∈ X . {displaystyle xdans X.} {displaystyle xin X.} Par exemple, cela s’applique aux fonctions réelles, et, puisque celles-ci peuvent être considérées comme des cas particuliers de fonctions, pour les fonctions réelles n {displaystyle n} -tuples et suites de Nombres réels.

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La propriété la moins supérieure est un indicateur du suprema.

Infima et suprema des Nombres réels

En analyse , infima et suprema des sous-ensembles S {displaystyle S} des Nombres réels sont particulièrement importants. Par exemple, les Nombres réels négatifs n’ont pas de plus grand élément, et leur supremum est 0 {displaystyle 0} (qui n’est pas un nombre réel négatif). ^[1] L’ exhaustivité des Nombres réels implique (et équivaut à) que tout sous-ensemble borné non vide S {displaystyle S} des Nombres réels a un infimum et un supremum. Si S {displaystyle S} n’est pas borné en dessous, on écrit souvent formellement inf S = − ∞ . {displaystyle inf _{}S=-infty .} ${displaystyle inf _{}S=-infty .}$ ${displaystyle inf _{}S=-infty .}$ Si S {displaystyle S} est vide , on écrit inf S = + ∞ . {displaystyle inf _{}S=+infty .} ${displaystyle inf _{}S=+infty .}$ ${displaystyle inf _{}S=+infty .}$

Propriétés

Les formules suivantes dépendent d’une notation qui généralise commodément les opérations arithmétiques sur les ensembles : Soit les ensembles A , B ⊆ R , {displaystyle A,Bsubseteq mathbb {R} ,} et scalaire r ∈ R . {displaystyle rin mathbb {R} .} Définir

A ≠ ∅ {displaystyle Aneq varnothing} si et seulement si sup A ≥ inf A , {displaystyle sup Ageq inf A,} et sinon − ∞ = sup ∅ < inf ∅ = ∞ . {displaystyle -infty =sup varnothing <inf varnothing =infty .} ^[2]
r A = { r ⋅ a : a ∈ A } {displaystyle rA={rcdot a:ain A}} ; le produit scalaire d’un ensemble est simplement le scalaire multiplié par chaque élément de l’ensemble.
A + B = { a + b : a ∈ A , b ∈ B } {displaystyle A+B={a+b:ain A,bin B}} ; appelée la somme de Minkowski , c’est la somme arithmétique de deux ensembles est la somme de toutes les paires de nombres possibles, une de chaque ensemble.
A ⋅ B = { a ⋅ b : a ∈ A , b ∈ B } {displaystyle Acdot B={acdot b:ain A,bin B}} ; le produit arithmétique de deux ensembles est tous les produits de paires d’éléments, un de chaque ensemble.
Si ∅ ≠ S ⊆ R {displaystyle varnothing neq Ssubseteq mathbb {R} } alors il existe une suite s ∙ = ( s n ) n = 1 ∞ {displaystyle s_{bullet}=left(s_{n}right)_{n=1}^{infty}} ${displaystyle s_{bullet }=left(s_{n}right)_{n=1}^{infty }}$ ${displaystyle s_{bullet }=left(s_{n}right)_{n=1}^{infty }}$ dans S {displaystyle S} tel que lim n → ∞ s n = sup S . {displaystyle lim _{nto infty}s_{n}=sup S.} ${displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=sup S.}$ ${displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=sup S.}$ De même, il existera une séquence (éventuellement différente) s ∙ {displaystyle s_{bullet}} ${displaystyle s_{bullet }}$ ${displaystyle s_{bullet }}$ dans S {displaystyle S} tel que lim n → ∞ s n = inf S . {displaystyle lim _{nto infty}s_{n}=inf S.} ${displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=inf S.}$ ${displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=inf S.}$ Par conséquent, si la limite lim n → ∞ s n = sup S {displaystyle lim _{nto infty}s_{n}=sup S} ${displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=sup S}$ ${displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=sup S}$ est un nombre réel et si f : R → X {displaystyle f:mathbb {R} à X} est une fonction continue, alors f ( sup S ) {displaystyle fleft(sup Sright)} est nécessairement un point adhérent de f ( S ) . {displaystyle f(S).}

Dans les cas où l’infima et le suprema des ensembles A {displaystyle A} et B {displaystyle B} existent, les identités suivantes tiennent :

p = inf A {displaystyle p=inf A} si et seulement p {displaystyle p} est une borne inférieure et pour tout ε > 0 {displaystyle epsilon >0} il y a un a ε ∈ A {displaystyle a_{epsilon }in A} ${displaystyle a_{epsilon }in A}$ ${displaystyle a_{epsilon }in A}$ avec a ε < p + ε . {displaystyle a_{epsilon }<p+epsilon .} ${displaystyle a_{epsilon }<p+epsilon .}$ ${displaystyle a_{epsilon }<p+epsilon .}$
p = sup A {displaystyle p=sup A} si et seulement p {displaystyle p} est une borne supérieure et si pour tout ε > 0 {displaystyle epsilon >0} il y a un a ε ∈ A {displaystyle a_{epsilon }in A} ${displaystyle a_{epsilon }in A}$ ${displaystyle a_{epsilon }in A}$ avec a ε > p − ε {displaystyle a_{epsilon }>p-epsilon } ${displaystyle a_{epsilon }>p-epsilon }$ ${displaystyle a_{epsilon }>p-epsilon }$
Si A ⊆ B {displaystyle Asubsetq B} et puis inf A ≥ inf B {displaystyle inf Ageq inf B} et sup A ≤ sup B . {displaystyle sup Aleq sup B.}
Si r > 0 {displaystyle r>0} alors inf ( r ⋅ A ) = r ( inf A ) {displaystyle inf(rcdot A)=rleft(inf Aright)} et sup ( r ⋅ A ) = r ( sup A ) . {displaystyle sup(rcdot A)=rleft(sup Aright).}
Si r ≤ 0 {displaystyle rleq 0} alors inf ( r ⋅ A ) = r ( sup A ) {displaystyle inf(rcdot A)=rleft(sup Aright)} et sup ( r ⋅ A ) = r ( inf A ) . {displaystyle sup(rcdot A)=rleft(inf Aright).}
inf ( A + B ) = ( inf A ) + ( inf B ) {displaystyle inf(A+B)=left(inf Aright)+left(inf Bright)} et sup ( A + B ) = ( sup A ) + ( sup B ) . {displaystyle sup(A+B)=left(sup Aright)+left(sup Bright).}
Si A {displaystyle A} et B {displaystyle B} sont des ensembles non vides de Nombres réels positifs alors inf ( A ⋅ B ) = ( inf A ) ⋅ ( inf B ) {displaystyle inf(Acdot B)=left(inf Aright)cdot left(inf Bright)} et de même pour suprema sup ( A ⋅ B ) = ( sup A ) ⋅ ( sup B ) . {displaystyle sup(Acdot B)=left(sup Aright)cdot left(sup Bright).} ^[3]
Si S ⊆ ( 0 , ∞ ) {displaystyle Ssubseteq (0,infty)} est non vide et si 1 S := { 1 s : s ∈ S } , {displaystyle {frac {1}{S}} :=left{{frac {1}{s}}:sin Sright},} ${displaystyle {frac {1}{S}}:=left{{frac {1}{s}}:sin Sright},}$ ${displaystyle {frac {1}{S}}:=left{{frac {1}{s}}:sin Sright},}$ alors 1 sup S = inf 1 S {displaystyle {frac {1}{sup _{}S}}=inf _{}{frac {1}{S}}} ${displaystyle {frac {1}{sup _{}S}}=inf _{}{frac {1}{S}}}$ ${displaystyle {frac {1}{sup _{}S}}=inf _{}{frac {1}{S}}}$ où cette équation est également valable lorsque sup S = ∞ {displaystyle sup _{}S=infty} ${displaystyle sup _{}S=infty }$ ${displaystyle sup _{}S=infty }$ si la définition 1 ∞ := 0 {displaystyle {frac {1}{infty}} :=0} ${displaystyle {frac {1}{infty }}:=0}$ ${displaystyle {frac {1}{infty }}:=0}$ est utilisé. ^{[note 1]} Cette égalité peut alternativement être écrite comme 1 sup s ∈ S s = inf s ∈ S 1 s . {displaystyle {frac {1}{displaystyle sup _{sin S}s}}=inf _{sin S}{frac {1}{s}}.} ${displaystyle {frac {1}{displaystyle sup _{sin S}s}}=inf _{sin S}{frac {1}{s}}.}$ ${displaystyle {frac {1}{displaystyle sup _{sin S}s}}=inf _{sin S}{frac {1}{s}}.}$ En outre, inf S = 0 {displaystyle inf _{}S=0} ${displaystyle inf _{}S=0}$ ${displaystyle inf _{}S=0}$ si et seulement si sup 1 S = ∞ , {displaystyle sup _{}{frac {1}{S}}=infty ,} ${displaystyle sup _{}{frac {1}{S}}=infty ,}$ ${displaystyle sup _{}{frac {1}{S}}=infty ,}$ où si ^{[note 1]} inf S > 0 , {displaystyle inf _{}S>0,} ${displaystyle inf _{}S>0,}$ ${displaystyle inf _{}S>0,}$ alors 1 inf S = sup 1 S . {displaystyle {frac {1}{inf _{}S}}=sup _{}{frac {1}{S}}.} ${displaystyle {frac {1}{inf _{}S}}=sup _{}{frac {1}{S}}.}$ ${displaystyle {frac {1}{inf _{}S}}=sup _{}{frac {1}{S}}.}$

Dualité

Si l’on désigne par P op {displaystyle P^{operatorname {op} }} ${displaystyle P^{operatorname {op} }}$ ${displaystyle P^{operatorname {op} }}$ l’ensemble partiellement ordonné P {displaystyle P} avec la relation d’ordre inverse ; c’est-à-dire pour tout x and y , {displaystyle x{text{ et }}y,} {displaystyle x{text{ and }}y,} déclarer:

x ≤ y in P op if and only if x ≥ y in P , {displaystyle xleq y{text{ in}}P^{operatorname {op} }quad {text{if and only if }}quad xgeq y{text{in}}P, } ${displaystyle xleq y{text{ in }}P^{operatorname {op} }quad {text{ if and only if }}quad xgeq y{text{ in }}P,}$ ${displaystyle xleq y{text{ in }}P^{operatorname {op} }quad {text{ if and only if }}quad xgeq y{text{ in }}P,}$ alors infimum d’un sous-ensemble S {displaystyle S} dans P {displaystyle P} est égal au Maximum de S {displaystyle S} dans P op {displaystyle P^{operatorname {op} }} ${displaystyle P^{operatorname {op} }}$ ${displaystyle P^{operatorname {op} }}$ et vice versa.

Pour les sous-ensembles des Nombres réels, un autre type de dualité est valable : inf S = − sup ( − S ) , {displaystyle inf S=-sup(-S),} où − S := { − s : s ∈ S } . {displaystyle -S :={-s~:~sin S}.} {displaystyle -S:={-s~:~sin S}.}

Exemples

Infima

L’infimum de l’ensemble des nombres { 2 , 3 , 4 } {style d’affichage {2,3,4}} est 2. {displaystyle 2.} Le nombre 1 {displaystyle 1} est une borne inférieure, mais pas la plus grande borne inférieure, et donc pas l’infimum.
Plus généralement, si un ensemble a un plus petit élément, alors le plus petit élément est l’infimum de l’ensemble. Dans ce cas, on l’appelle aussi Le minimum de l’ensemble.
inf { 1 , 2 , 3 , … } = 1. {displaystyle inf{1,2,3,ldots }=1.}
inf { x ∈ R : 0 < x < 1 } = 0. {displaystyle inf{xin mathbb {R} :0<x<1}=0.}
inf { x ∈ Q : x 3 > 2 } = 2 3 . {displaystyle inf left{xin mathbb {Q} :x^{3}>2right}={sqrt[{3}]{2}}.} ${displaystyle inf left{xin mathbb {Q} :x^{3}>2right}={sqrt[{3}]{2}}.}$ ${displaystyle inf left{xin mathbb {Q} :x^{3}>2right}={sqrt[{3}]{2}}.}$
inf { ( − 1 ) n + 1 n : n = 1 , 2 , 3 , … } = − 1. {displaystyle inf left{(-1)^{n}+{tfrac {1}{n}} :n=1,2,3,ldots right}=-1.} ${displaystyle inf left{(-1)^{n}+{tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,ldots right}=-1.}$ ${displaystyle inf left{(-1)^{n}+{tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,ldots right}=-1.}$
Si ( x n ) n = 1 ∞ {displaystyle left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }} ${displaystyle left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }}$ ${displaystyle left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }}$ is a decreasing sequence with limit x , {displaystyle x,} then inf x n = x . {displaystyle inf x_{n}=x.} ${displaystyle inf x_{n}=x.}$ ${displaystyle inf x_{n}=x.}$

Suprema

The supremum of the set of numbers { 1 , 2 , 3 } {displaystyle {1,2,3}} is 3. {displaystyle 3.} The number 4 {displaystyle 4} is an upper bound, but it is not the least upper bound, and hence is not the supremum.
sup { x ∈ R : 0 < x < 1 } = sup { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 } = 1. {displaystyle sup{xin mathbb {R} :0<x<1}=sup{xin mathbb {R} :0leq xleq 1}=1.}
sup { ( − 1 ) n − 1 n : n = 1 , 2 , 3 , … } = 1. {displaystyle sup left{(-1)^{n}-{tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,ldots right}=1.} ${displaystyle sup left{(-1)^{n}-{tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,ldots right}=1.}$ ${displaystyle sup left{(-1)^{n}-{tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,ldots right}=1.}$
sup { a + b : a ∈ A , b ∈ B } = sup A + sup B . {displaystyle sup{a+b:ain A,bin B}=sup A+sup B.}
sup { x ∈ Q : x 2 < 2 } = 2 . {displaystyle sup left{xin mathbb {Q} :x^{2}<2right}={sqrt {2}}.} ${displaystyle sup left{xin mathbb {Q} :x^{2}<2right}={sqrt {2}}.}$ ${displaystyle sup left{xin mathbb {Q} :x^{2}<2right}={sqrt {2}}.}$

In the last example, the supremum of a set of rationals is irrational, which means that the rationals are incomplete.

One basic property of the supremum is

sup { f ( t ) + g ( t ) : t ∈ A } ≤ sup { f ( t ) : t ∈ A } + sup { g ( t ) : t ∈ A } {displaystyle sup{f(t)+g(t):tin A}~leq ~sup{f(t):tin A}+sup{g(t):tin A}} for any functionals f {displaystyle f} and g . {displaystyle g.}

The supremum of a subset S {displaystyle S} of ( N , ∣ ) {displaystyle (mathbb {N} ,mid ,)} where ∣ {displaystyle ,mid ,} denotes “divides”, is the Lowest common multiple of the elements of S . {displaystyle S.}

The supremum of a subset S {displaystyle S} of ( P , ⊆ ) , {displaystyle (P,subseteq ),} where P {displaystyle P} is the power set of some set, is the supremum with respect to ⊆ {displaystyle ,subseteq ,} (subset) of a subset S {displaystyle S} of P {displaystyle P} is the union of the elements of S . {displaystyle S.}

Notes

^ ^a ^b The definition 1 ∞ := 0 {displaystyle {frac {1}{infty }}:=0} ${displaystyle {frac {1}{infty }}:=0}$ is commonly used with the extended real numbers; in fact, with this definition the equality 1 sup S = inf 1 S {displaystyle {frac {1}{sup _{}S}}=inf _{}{frac {1}{S}}} ${displaystyle {frac {1}{sup _{}S}}=inf _{}{frac {1}{S}}}$ ${displaystyle {frac {1}{sup _{}S}}=inf _{}{frac {1}{S}}}$ will also hold for any non-empty subset S ⊆ ( 0 , ∞ ] . {displaystyle Ssubseteq (0,infty ].} However, the notation 1 0 {displaystyle {frac {1}{0}}} ${frac {1}{0}}$ ${frac {1}{0}}$ is usually left undefined, which is why the equality 1 inf S = sup 1 S {displaystyle {frac {1}{inf _{}S}}=sup _{}{frac {1}{S}}} ${displaystyle {frac {1}{inf _{}S}}=sup _{}{frac {1}{S}}}$ ${displaystyle {frac {1}{inf _{}S}}=sup _{}{frac {1}{S}}}$ is given only for when inf S > 0. {displaystyle inf _{}S>0.} ${displaystyle inf _{}S>0.}$ ${displaystyle inf _{}S>0.}$

References

^ ^un ^bc ^_ ^d ^e Rudin, Walter (1976). “”Chapter 1 The Real and Complex Number Systems””.Principles of Mathematical Analysis (print) (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.
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^ Zakon, Elias (2004). Analyse mathématique I . Trillia Group. pp. 39–42.

Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 juin 2009). Analyse variationnelle . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 .

Liens externes

“Limites supérieures et inférieures” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. “Infimum et supremum” . MathWorld .