Géométrie

La géométrie (du grec ancien γεωμετρία ( geōmetría ) « mesure de terrain » ; de γῆ ( gê ) « terre, terre », et μέτρον ( métron ) « une mesure ») est, avec l’arithmétique , l’une des branches les plus anciennes des mathématiques . Il s’intéresse aux propriétés de l’espace liées à la distance, à la forme, à la taille et à la position relative des figures. ^[1] Un mathématicien qui travaille dans le domaine de la géométrie est appelé géomètre .

Une illustration du Théorème de Desargues , résultat en géométrie euclidienne et projective

Jusqu’au XIXe siècle, la géométrie était presque exclusivement consacrée à la géométrie euclidienne , ^[a] qui inclut les notions de point , de ligne , de plan , de distance , d’ angle , de surface et de courbe , comme concepts fondamentaux. ^[2]

Au cours du XIXe siècle, plusieurs découvertes ont considérablement élargi le champ de la géométrie. L’une des plus anciennes découvertes de ce type est le théorème Egregium de Gauss ( ” théorème remarquable”) qui affirme en gros que la courbure gaussienne d’une surface est indépendante de toute intégration spécifique dans un espace euclidien . Cela implique que les surfaces peuvent être étudiées de manière intrinsèque , c’est-à-dire en tant qu’espaces autonomes, et a été étendue à la théorie des variétés et à la géométrie riemannienne .

Plus tard au XIXe siècle, il est apparu que des géométries sans postulat parallèle ( Géométries non euclidiennes ) pouvaient être développées sans introduire de contradiction. La géométrie qui sous-tend la relativité générale est une célèbre application de la géométrie non euclidienne.

Depuis lors, la portée de la géométrie s’est considérablement élargie et le domaine a été divisé en de nombreux sous-domaines qui dépendent des méthodes sous-jacentes – géométrie différentielle , géométrie algébrique , géométrie computationnelle , topologie algébrique , géométrie discrète (également connue sous le nom de géométrie combinatoire ), etc. – ou sur les propriétés des espaces euclidiens qui sont ignorées – la géométrie projective qui ne considère que l’alignement des points mais pas la distance et le parallélisme, la géométrie affine qui omet le concept d’angle et de distance, la géométrie finie qui omet la continuité , et d’autres.

Développée à l’origine pour modéliser le monde physique, la géométrie a des applications dans presque toutes les sciences , ainsi que dans l’art , l’ architecture et d’autres activités liées au graphisme . ^[3] La géométrie a également des applications dans des domaines des mathématiques apparemment sans rapport. Par exemple, les méthodes de géométrie algébrique sont fondamentales dans la preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat , un problème qui a été énoncé en termes d’ arithmétique élémentaire et est resté non résolu pendant plusieurs siècles.

Histoire

Un Européen et un arabe pratiquant la géométrie au XVe siècle

Les premiers débuts enregistrés de la géométrie remontent à l’ancienne Mésopotamie et à l’ Égypte au IIe millénaire av. ^{[4] [5]} La géométrie primitive était une collection de principes découverts empiriquement concernant les longueurs, les angles, les aires et les volumes, qui ont été développés pour répondre à certains besoins pratiques dans l’arpentage , la construction , l’astronomie et divers métiers. Les premiers textes connus sur la géométrie sont le papyrus égyptien Rhind (2000-1800 avant JC) et le papyrus de Moscou (vers 1890 avant JC), et les tablettes d’argile babyloniennes , telles que Plimpton 322(1900 avant JC). Par exemple, le papyrus de Moscou donne une formule pour calculer le volume d’une pyramide tronquée, ou tronc . ^[6] Plus tard, des tablettes d’argile (350–50 av. J.-C.) démontrent que les astronomes babyloniens ont mis en œuvre des procédures trapézoïdales pour calculer la position et le mouvement de Jupiter dans l’ espace temps-vitesse. Ces procédures géométriques ont anticipé les calculatrices d’Oxford , y compris le théorème de la vitesse moyenne , de 14 siècles. ^[7] Au sud de l’Égypte, les anciens Nubiens ont établi un système de géométrie comprenant les premières versions d’horloges solaires. ^{[8] [9]}

Au 7ème siècle avant JC, le mathématicien grec Thales de Milet a utilisé la géométrie pour résoudre des problèmes tels que le calcul de la hauteur des pyramides et la distance des navires du rivage. On lui attribue la première utilisation du raisonnement déductif appliqué à la géométrie, en dérivant quatre corollaires du Théorème de Thales . ^[10] Pythagore a établi l’ école pythagoricienne , qui est créditée de la première preuve du théorème pythagoricien , ^[11] bien que l’énoncé du théorème ait une longue histoire. ^{[12] [13]} Eudoxe (408-c. 355 av. J.-C.) a développé la méthode d’épuisement, qui a permis le calcul des aires et des volumes de figures curvilignes, ^[14] ainsi qu’une théorie des rapports qui a évité le problème Des grandeurs incommensurables , ce qui a permis aux géomètres ultérieurs de faire des progrès significatifs. Vers 300 av. J.-C., la géométrie a été révolutionnée par Euclide, dont les Éléments , largement considérés comme le manuel le plus réussi et le plus influent de tous les temps, ^[15] ont introduit la Rigueur mathématique à travers la Méthode axiomatique et sont le premier exemple du format encore utilisé en mathématiques aujourd’hui, qui de définition, d’axiome, de théorème et de preuve. Bien que la plupart du contenu des élémentsétaient déjà connus, Euclide les a organisés en un cadre logique unique et cohérent. ^[16] Les Éléments étaient connus de toutes les personnes instruites en Occident jusqu’au milieu du 20e siècle et son contenu est encore enseigné dans les cours de géométrie aujourd’hui. ^[17] Archimède (vers 287-212 av. J.-C.) de Syracuse a utilisé la méthode d’épuisement pour calculer l’ aire sous l’arc d’une parabole avec la sommation d’une série infinie et a donné des approximations remarquablement précises de pi . ^[18] Il étudia également la spirale portant son nom et obtint des formules pour lavolumes des surfaces de révolution .

Femme enseignant la géométrie . Illustration au début d’une traduction médiévale des Éléments d’ Euclide , (vers 1310).

Les mathématiciens indiens ont également apporté de nombreuses contributions importantes à la géométrie. Le Satapatha Brahmana (3ème siècle avant JC) contient des règles pour les constructions géométriques rituelles similaires aux Sulba Sutras . ^[19] Selon ( Hayashi 2005 , p. 363), les Śulba Sūtras contiennent “la plus ancienne expression verbale existante du théorème de Pythagore dans le monde, bien qu’elle ait déjà été connue des anciens Babyloniens. Ils contiennent des listes de triplets de Pythagore , ^[20] qui sont des cas particuliers d’ Équations diophantiennes ^[21] Dans le manuscrit de Bakhshali, il existe une poignée de problèmes géométriques (y compris des problèmes de volumes de solides irréguliers). Le manuscrit Bakhshali “utilise également un système de valeur de position décimale avec un point pour zéro”. ^[22] L’ Aryabhatiya d’ Aryabhata (499) inclut le calcul des surfaces et des volumes. Brahmagupta a écrit son ouvrage astronomique Brāhma Sphuṭa Siddhānta en 628. Le chapitre 12, contenant 66 versets sanskrits , était divisé en deux sections: “opérations de base” (y compris racines cubiques, fractions, rapport et proportion, et troc) et “mathématiques pratiques” (y compris mélange, séries mathématiques, figures planes, empilement de briques, sciage de bois et empilement de grain). ^[23]Dans cette dernière section, il énonce son célèbre théorème sur les diagonales d’un quadrilatère cyclique . Le chapitre 12 comprenait également une formule pour l’aire d’un quadrilatère cyclique (une généralisation de la formule de Heron ), ainsi qu’une description complète des triangles rationnels ( c’est-à- dire des triangles avec des côtés rationnels et des aires rationnelles). ^[23]

Au Moyen Âge , les mathématiques dans l’islam médiéval ont contribué au développement de la géométrie, en particulier de la géométrie algébrique . ^{[24] [25]} Al-Mahani (né en 853) a conçu l’idée de réduire les problèmes géométriques tels que la duplication du cube à des problèmes d’algèbre. ^[26] Thābit ibn Qurra (connu sous le nom de Thebit en latin ) (836–901) traitait des opérations arithmétiques appliquées aux rapports de grandeurs géométriques et contribua au développement de la géométrie analytique . ^[27] Omar Khayyám (1048-1131) a trouvé des solutions géométriques aux équations cubiques. ^[28] Les théorèmes d’ Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam et Nasir al-Din al-Tusi sur les quadrilatères , y compris le quadrilatère Lambert et le quadrilatère Saccheri , ont été les premiers résultats en géométrie hyperbolique , et avec leurs postulats alternatifs, tels en tant qu’axiome de Playfair , ces travaux ont eu une influence considérable sur le développement de la géométrie non euclidienne parmi les géomètres européens ultérieurs, notamment Witelo (vers 1230–vers 1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso , John Wallis et Giovanni Girolamo . Saccheri. ^{[ douteux – discuter ] [29]}

Au début du 17ème siècle, il y avait deux développements importants en géométrie. La première est la création de la géométrie analytique, ou géométrie à coordonnées et équations , par René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601-1665). ^[30] C’était un précurseur nécessaire au développement du calcul et d’une science quantitative précise de la physique . ^[31] Le deuxième développement géométrique de cette période est l’étude systématique de la géométrie projective par Girard Desargues (1591-1661). ^[32] La géométrie projective étudie les propriétés des formes qui sont inchangées sousprojections et sections , notamment en ce qui concerne la perspective artistique . ^[33]

Deux développements de la géométrie au XIXe siècle ont changé la façon dont elle avait été étudiée auparavant. ^[34] Il s’agit de la découverte des Géométries non euclidiennes par Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai et Carl Friedrich Gauss et de la formulation de la symétrie comme considération centrale dans le programme d’Erlangen de Felix Klein (qui généralise les géométries euclidiennes et non euclidiennes ). Deux des maîtres géomètres de l’époque étaient Bernhard Riemann (1826–1866), travaillant principalement avec des outils d’ analyse mathématique , et introduisant la surface de Riemann , et Henri Poincaré , le fondateur detopologie algébrique et théorie géométrique des systèmes dynamiques . À la suite de ces changements majeurs dans la conception de la géométrie, le concept d ‘«espace» est devenu quelque chose de riche et varié, et l’arrière-plan naturel de théories aussi différentes que l’analyse complexe et la mécanique classique . ^[35]

Notions principales

Voici quelques-uns des concepts les plus importants en géométrie. ^{[2] [36] [37]}

Axiomes

Une illustration du postulat parallèle d’Euclide

Euclide a adopté une approche abstraite de la géométrie dans ses Éléments , ^[38] l’un des livres les plus influents jamais écrits. ^[39] Euclide a introduit certains axiomes , ou postulats , exprimant les propriétés primaires ou évidentes des points, des lignes et des plans. ^[40] Il a procédé à déduire rigoureusement d’autres propriétés par un raisonnement mathématique. Le trait caractéristique de l’approche d’Euclide de la géométrie était sa rigueur, et elle est devenue connue sous le nom de géométrie axiomatique ou synthétique . ^[41] Au début du XIXe siècle, la découverte des Géométries non euclidiennes parNikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) et d’autres ^[42] ont suscité un regain d’intérêt pour cette discipline, et au XXe siècle, David Hilbert (1862 –1943) a utilisé le raisonnement axiomatique pour tenter de fournir une base moderne de la géométrie. ^[43]

Objets

Points

Les points sont généralement considérés comme des objets fondamentaux pour la construction de la géométrie. Ils peuvent être définis par les propriétés qu’ils doivent avoir, comme dans la définition d’Euclide comme “ce qui n’a pas de partie”, ^[44] ou dans la géométrie synthétique . En mathématiques modernes, ils sont généralement définis comme des éléments d’un ensemble appelé espace , lui-même défini axiomatiquement .

Avec ces définitions modernes, chaque forme géométrique est définie comme un ensemble de points ; ce n’est pas le cas en géométrie synthétique, où une ligne est un autre objet fondamental qui n’est pas considéré comme l’ensemble des points par lesquels elle passe.

Cependant, il existe des géométries modernes, dans lesquelles les points ne sont pas des objets primitifs, ou même sans points. ^{[45] [46]} L’une des plus anciennes de ces géométries est la géométrie sans point de Whitehead , formulée par Alfred North Whitehead en 1919–1920.

Lignes

Euclide a décrit une ligne comme “une longueur sans largeur” qui “se situe également par rapport aux points sur elle-même”. ^[44] En mathématiques modernes, compte tenu de la multitude de géométries, le concept de ligne est étroitement lié à la manière dont la géométrie est décrite. Par exemple, en géométrie analytique , une ligne dans le plan est souvent définie comme l’ensemble des points dont les coordonnées satisfont une équation linéaire donnée , ^[47] mais dans un cadre plus abstrait, comme la géométrie d’incidence , une ligne peut être un objet indépendant , distinct de l’ensemble des points qui s’y trouvent. ^[48] En géométrie différentielle, une géodésique est une généralisation de la notion de droite àespaces courbes . ^[49]

Avions

En géométrie euclidienne, un plan est une surface plane à deux dimensions qui s’étend à l’infini ; ^[44] les définitions pour d’autres types de géométries sont des généralisations de cela. Les plans sont utilisés dans de nombreux domaines de la géométrie. Par exemple, les plans peuvent être étudiés comme une surface topologique sans référence aux distances ou aux angles ; ^[50] il peut être étudié comme un espace affine , où la colinéarité et les rapports peuvent être étudiés mais pas les distances ; ^[51] il peut être étudié comme le plan complexe en utilisant des techniques d’ analyse complexe ; ^[52] et ainsi de suite.

Angles

Euclide définit un angle plan comme l’inclinaison l’une par rapport à l’autre, dans un plan, de deux lignes qui se rencontrent et ne sont pas droites l’une par rapport à l’autre. ^[44] En termes modernes, un angle est la figure formée par deux rayons , appelés les côtés de l’angle, partageant une extrémité commune, appelée le sommet de l’angle. ^[53]

Angles aigus (a), obtus (b) et droits (c). Les angles aigus et obtus sont également appelés angles obliques.

En géométrie euclidienne , les angles sont utilisés pour étudier les polygones et les triangles , tout en constituant un objet d’étude à part entière. ^[44] L’étude des angles d’un triangle ou des angles d’un cercle unité forme la base de la trigonométrie . ^[54]

En géométrie différentielle et en calcul , les angles entre les courbes planes ou les courbes spatiales ou les surfaces peuvent être calculés à l’aide de la dérivée . ^{[55] [56]}

Courbes

Une courbe est un objet unidimensionnel qui peut être droit (comme une ligne) ou non ; les courbes dans l’espace à 2 dimensions sont appelées courbes planes et celles dans l’espace à 3 dimensions sont appelées courbes spatiales . ^[57]

En topologie, une courbe est définie par une fonction allant d’un intervalle de nombres réels à un autre espace. ^[50] En géométrie différentielle, la même définition est utilisée, mais la fonction de définition doit être différentiable ^[58] La géométrie algébrique étudie les courbes algébriques , qui sont définies comme des variétés algébriques de dimension un. ^[59]

Surfaces Une sphère est une surface qui peut être définie paramétriquement (par x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) ou implicitement (par x ² + y ² + z ² − r ² = 0 .)

Une surface est un objet bidimensionnel, tel qu’une sphère ou un paraboloïde. ^[60] Dans la géométrie différentielle ^[58] et la topologie , ^[50] les surfaces sont décrites par des ‘pièces’ bidimensionnelles (ou voisinages ) qui sont assemblées par des difféomorphismes ou des homéomorphismes , respectivement. En géométrie algébrique, les surfaces sont décrites par des équations polynomiales . ^[59]

Collecteurs

Une variété est une généralisation des concepts de courbe et de surface. En topologie , une variété est un espace topologique où chaque point a un voisinage homéomorphe à l’espace euclidien. ^[50] En géométrie différentielle , une variété différentiable est un espace où chaque voisinage est difféomorphe à l’espace euclidien. ^[58]

Les variétés sont largement utilisées en physique, y compris en relativité générale et en théorie des cordes . ^[61]

Longueur, surface et volume

La longueur , la surface et le volume décrivent respectivement la taille ou l’étendue d’un objet dans une dimension, deux dimensions et trois dimensions. ^[62]

En géométrie euclidienne et en géométrie analytique , la longueur d’un segment de droite peut souvent être calculée par le théorème de Pythagore . ^[63]

L’aire et le volume peuvent être définis comme des quantités fondamentales distinctes de la longueur, ou ils peuvent être décrits et calculés en termes de longueurs dans un espace plan ou tridimensionnel. ^[62] Les mathématiciens ont trouvé de nombreuses formules explicites pour l’aire et des formules pour le volume de divers objets géométriques. En calcul , l’aire et le volume peuvent être définis en termes d’ intégrales , telles que l’ intégrale de Riemann ^[64] ou l’ intégrale de Lebesgue . ^[65]

Métriques et mesures Vérification visuelle du théorème de Pythagore pour le triangle (3, 4, 5) comme dans le Zhoubi Suanjing 500–200 av. Le théorème de Pythagore est une conséquence de la métrique euclidienne .

Le concept de longueur ou de distance peut être généralisé, conduisant à l’idée de métrique . ^[66] Par exemple, la métrique euclidienne mesure la distance entre les points dans le plan euclidien , tandis que la métrique hyperbolique mesure la distance dans le plan hyperbolique . D’autres exemples importants de métriques incluent la métrique de Lorentz de la relativité restreinte et la métrique semi- riemannienne de la relativité générale . ^[67]

Dans un autre sens, les concepts de longueur, d’aire et de volume sont prolongés par la théorie de la mesure , qui étudie les méthodes d’attribution d’une taille ou d’une mesure à des ensembles , où les mesures suivent des règles similaires à celles de l’aire et du volume classiques. ^[68]

Congruence et similarité

La congruence et la similarité sont des concepts qui décrivent quand deux formes ont des caractéristiques similaires. ^[69] Dans la géométrie euclidienne, la similitude est utilisée pour décrire des objets qui ont la même forme, tandis que la congruence est utilisée pour décrire des objets qui sont identiques en taille et en forme. ^[70] Hilbert , dans son travail sur la création d’une base plus rigoureuse pour la géométrie, a traité la congruence comme un terme indéfini dont les propriétés sont définies par des axiomes .

La congruence et la similarité sont généralisées dans la géométrie des transformations , qui étudie les propriétés des objets géométriques qui sont préservés par différents types de transformations. ^[71]

Constructions de boussole et de règle

Les géomètres classiques accordaient une attention particulière à la construction d’objets géométriques qui avaient été décrits d’une autre manière. Classiquement, les seuls instruments utilisés dans la plupart des constructions géométriques sont le compas et la règle . ^[b] En outre, chaque construction devait être achevée en un nombre fini d’étapes. Cependant, certains problèmes se sont avérés difficiles ou impossibles à résoudre par ces seuls moyens, et des constructions ingénieuses utilisant des neusis , des paraboles et d’autres courbes, ou des dispositifs mécaniques, ont été trouvées.

Dimension

Le flocon de Koch , de dimension fractale =log4/log3 et de dimension topologique =1

Là où la géométrie traditionnelle autorisait les dimensions 1 (une ligne ), 2 (un plan ) et 3 (notre monde ambiant conçu comme un espace tridimensionnel ), mathématiciens et physiciens ont utilisé des dimensions supérieures pendant près de deux siècles. ^[72] Un exemple d’une utilisation mathématique pour des dimensions plus élevées est l’ espace de configuration d’un système physique, qui a une dimension égale aux degrés de liberté du système . Par exemple, la configuration d’une vis peut être décrite par cinq coordonnées. ^[73]

En topologie générale , la notion de dimension a été étendue des nombres naturels , à la dimension infinie ( espaces de Hilbert , par exemple) et aux nombres réels positifs (en géométrie fractale ). ^[74] En géométrie algébrique , la dimension d’une variété algébrique a reçu un certain nombre de définitions apparemment différentes, qui sont toutes équivalentes dans les cas les plus courants. ^[75]

Symétrie

Un pavage du plan hyperbolique

Le thème de la symétrie en géométrie est presque aussi ancien que la science de la géométrie elle-même. ^[76] Les formes symétriques telles que le cercle , les polygones réguliers et les solides platoniques avaient une signification profonde pour de nombreux philosophes anciens ^[77] et ont été étudiées en détail avant l’époque d’Euclide. ^[40] Les modèles symétriques se produisent en nature et ont été rendus artistiquement dans une multitude de formes, y compris les graphiques de Leonardo da Vinci , MC Escher , et d’autres. ^[78] Dans la seconde moitié du XIXe siècle, la relation entre la symétrie et la géométrie a fait l’objet d’un examen approfondi.Le programme Erlangen de Felix Klein proclamait que, dans un sens très précis, la symétrie, exprimée via la notion de groupe de transformation, détermine ce qu’est la géométrie . ^[79] La symétrie dans la géométrie euclidienne classique est représentée par des congruences et des mouvements rigides, alors qu’en géométrie projective un rôle analogue est joué par les colinéations , transformations géométriques qui transforment des lignes droites en lignes droites. ^[80] Cependant, c’est dans les nouvelles géométries de Bolyai et Lobachevsky, Riemann, Clifford et Klein, et Sophus Lieque l’idée de Klein de « définir une géométrie via son groupe de symétrie » a trouvé son inspiration. ^[81] Les symétries discrètes et continues jouent des rôles de premier plan en géométrie, la première dans la topologie et la théorie géométrique des groupes , ^{[82] [83]} la dernière dans la théorie de Lie et la géométrie riemannienne . ^{[84] [85]}

Un autre type de symétrie est le principe de dualité en géométrie projective , entre autres domaines. Ce méta-phénomène peut être grossièrement décrit comme suit : dans tout théorème , point d’ échange avec plan , jointure avec rencontre , réside dans avec contient , et le résultat est un théorème également vrai. ^[86] Une forme de dualité similaire et étroitement liée existe entre un espace vectoriel et son espace dual . ^[87]

Géométrie contemporaine

Géométrie euclidienne

La géométrie euclidienne est la géométrie dans son sens classique. ^[88] Comme il modélise l’espace du monde physique, il est utilisé dans de nombreux domaines scientifiques, tels que la mécanique , l’astronomie , la cristallographie , ^[89] et de nombreux domaines techniques, tels que l’ingénierie , ^[90] l’architecture , ^[91] la géodésie , ^[92] aérodynamique , ^[93] et navigation . ^[94] Le programme éducatif obligatoire de la majorité des nations comprend l’étude des concepts euclidiens tels que les points , les lignes, plans , angles , triangles , congruence , similitude , figures solides , cercles et géométrie analytique . ^[36]

Géométrie différentielle

La géométrie différentielle utilise des outils de calcul pour étudier les problèmes impliquant la courbure.

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La géométrie différentielle utilise des techniques de calcul et d’algèbre linéaire pour étudier les problèmes de géométrie. ^[95] Il a des applications en physique , ^[96] en économétrie , ^[97] et en bioinformatique , ^[98] entre autres.

En particulier, la géométrie différentielle est importante pour la physique mathématique en raison de la postulation de la relativité générale d’ Albert Einstein selon laquelle l’ univers est courbe . ^[99] La géométrie différentielle peut être soit intrinsèque (ce qui signifie que les espaces qu’elle considère sont des variétés lisses dont la structure géométrique est régie par une métrique riemannienne , qui détermine comment les distances sont mesurées près de chaque point) ou extrinsèque (où l’objet à l’étude est une partie d’un espace euclidien plat ambiant). ^[100]

Géométrie non euclidienne

La géométrie euclidienne n’était pas la seule forme historique de géométrie étudiée. La géométrie sphérique est utilisée depuis longtemps par les astronomes, les astrologues et les navigateurs. ^[101]

Immanuel Kant a soutenu qu’il n’y a qu’une seule géométrie, absolue , qui est connue pour être vraie a priori par une faculté intérieure de l’esprit : la géométrie euclidienne était synthétique a priori . ^[102] Ce point de vue a d’abord été quelque peu contesté par des penseurs tels que Saccheri , puis finalement renversé par la découverte révolutionnaire de la géométrie non euclidienne dans les travaux de Bolyai, Lobachevsky et Gauss (qui n’a jamais publié sa théorie). ^[103] Ils ont démontré que l’ espace euclidien ordinaire n’est qu’une possibilité pour le développement de la géométrie. Une large vision du sujet de la géométrie a ensuite été exprimée par Riemanndans sa conférence d’inauguration de 1867 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ( Sur les hypothèses sur lesquelles la géométrie est basée ), ^[104] publié seulement après sa mort. La nouvelle idée de Riemann sur l’espace s’est avérée cruciale dans la théorie de la relativité générale d’ Albert Einstein . La géométrie riemannienne , qui considère des espaces très généraux dans lesquels la notion de longueur est définie, est un pilier de la géométrie moderne. ^[81]

Topologie

Un épaississement du nœud de trèfle

La topologie est le domaine concerné par les propriétés des applications continues , ^[105] et peut être considérée comme une généralisation de la géométrie euclidienne. ^[106] En pratique, la topologie signifie souvent traiter des propriétés à grande échelle des espaces, telles que la connexité et la compacité . ^[50]

Le domaine de la topologie, qui a connu un développement massif au XXe siècle, est au sens technique un type de géométrie de transformation , dans laquelle les transformations sont des homéomorphismes . ^[107] Cela a souvent été exprimé sous la forme du dicton « la topologie est la géométrie de la feuille de caoutchouc ». Les sous-domaines de la topologie comprennent la topologie géométrique , la topologie différentielle , la topologie algébrique et la topologie générale . ^[108]

Géométrie algébrique

Quintic Calabi–Yau triplé

Le domaine de la géométrie algébrique s’est développé à partir de la géométrie cartésienne des coordonnées . ^[109] Il a subi des périodes de croissance périodiques, accompagnées de la création et de l’étude de la géométrie projective , de la géométrie birationnelle , des variétés algébriques et de l’algèbre commutative , entre autres sujets. ^[110] De la fin des années 1950 au milieu des années 1970, il avait subi un développement fondamental majeur, en grande partie grâce aux travaux de Jean-Pierre Serre et Alexander Grothendieck . ^[110] Cela a conduit à l’introduction de régimeset un plus grand accent sur les méthodes topologiques , y compris diverses théories de cohomologie . L’un des sept problèmes du Millennium Prize , la conjecture de Hodge , est une question de géométrie algébrique. ^[111] La preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat utilise des méthodes avancées de géométrie algébrique pour résoudre un problème de longue date de la théorie des nombres .

En général, la géométrie algébrique étudie la géométrie à travers l’utilisation de concepts d’ algèbre commutative tels que les polynômes multivariés . ^[112] Il a des applications dans de nombreux domaines, y compris la cryptographie ^[113] et la théorie des cordes . ^[114]

Géométrie complexe

La géométrie complexe étudie la nature des structures géométriques modélisées sur le plan complexe ou issues de celui-ci . ^{[115] [116] [117]} La géométrie complexe se situe à l’intersection de la géométrie différentielle, de la géométrie algébrique et de l’analyse de plusieurs variables complexes , et a trouvé des applications à la théorie des cordes et à la symétrie miroir . ^[118]

La géométrie complexe est apparue pour la première fois comme un domaine d’étude distinct dans les travaux de Bernhard Riemann dans son étude des surfaces de Riemann . ^{[119] [120] [121]} Des travaux dans l’esprit de Riemann ont été réalisés par l’ école italienne de géométrie algébrique au début des années 1900. Le traitement contemporain de la géométrie complexe a commencé avec les travaux de Jean-Pierre Serre , qui a introduit le concept de faisceaux au sujet, et a éclairé les relations entre la géométrie complexe et la géométrie algébrique. ^{[122] [123]} Les principaux objets d’étude en géométrie complexe sont les variétés complexes , les variétés algébriques complexes, et des variétés analytiques complexes , et des fibrés vectoriels holomorphes et des faisceaux cohérents sur ces espaces. Des exemples particuliers d’espaces étudiés en géométrie complexe incluent les surfaces de Riemann et les variétés de Calabi-Yau , et ces espaces trouvent des utilisations dans la théorie des cordes. En particulier, les feuilles du monde des cordes sont modélisées par les surfaces de Riemann, et la théorie des supercordes prédit que les 6 dimensions supplémentaires de l’ espace -temps à 10 dimensions peuvent être modélisées par les variétés de Calabi – Yau.

Géométrie discrète

La géométrie discrète comprend l’étude de divers garnissages de sphères .

La géométrie discrète est un sujet étroitement lié à la géométrie convexe . ^{[124] [125] [126]} Il s’intéresse principalement aux questions de position relative d’objets géométriques simples, tels que des points, des lignes et des cercles. Les exemples incluent l’étude des emballages de sphères , les triangulations , la conjecture de Kneser-Poulsen, etc. ^{[127] [128]} Il partage de nombreuses méthodes et principes avec la combinatoire .

Géométrie computationnelle

La géométrie computationnelle traite des algorithmes et de leurs implémentations pour manipuler des objets géométriques. Les problèmes importants ont historiquement inclus le problème du voyageur de commerce , les arbres couvrants minimum , la suppression des lignes cachées et la programmation linéaire . ^[129]

Bien qu’étant un domaine jeune de la géométrie, il a de nombreuses applications en vision par ordinateur , traitement d’images , conception assistée par ordinateur , imagerie médicale , etc. ^[130]

Théorie géométrique des groupes

Le graphe de Cayley du groupe libre sur deux générateurs a et b

La théorie géométrique des groupes utilise des techniques géométriques à grande échelle pour étudier les groupes de génération finie . ^[131] Il est étroitement lié à la topologie de basse dimension , comme dans la preuve de Grigori Perelman de la conjecture de géométrisation , qui comprenait la preuve de la conjecture de Poincaré , un problème du prix du millénaire . ^[132]

La théorie géométrique des groupes tourne souvent autour du graphe de Cayley , qui est une représentation géométrique d’un groupe. D’autres sujets importants incluent les quasi-isométries , les groupes Gromov-hyperboliques et les groupes d’Artin à angle droit . ^{[131] [133]}

Géométrie convexe

La géométrie convexe étudie les formes convexes dans l’espace euclidien et ses analogues plus abstraits, en utilisant souvent des techniques d’ analyse réelle et de mathématiques discrètes . ^[134] Il a des liens étroits avec l’analyse convexe , l’ optimisation et l’analyse fonctionnelle et des applications importantes en théorie des nombres .

La géométrie convexe remonte à l’Antiquité. ^[134] Archimède a donné la première définition précise connue de la convexité. Le problème isopérimétrique , concept récurrent en géométrie convexe, a également été étudié par les Grecs, dont Zenodorus . Archimède, Platon , Euclide et plus tard Kepler et Coxeter ont tous étudié les polytopes convexes et leurs propriétés. À partir du XIXe siècle, les mathématiciens ont étudié d’autres domaines des mathématiques convexes, notamment les polytopes de dimension supérieure, le volume et la surface des corps convexes, la courbure gaussienne , les algorithmes , les pavages .et treillis .

Applications

La géométrie a trouvé des applications dans de nombreux domaines, dont certains sont décrits ci-dessous.

De l’art

Bou Inania Madrasa, Fes, Maroc, carreaux de mosaïque de zellige formant des pavages géométriques élaborés

Les mathématiques et l’art sont liés de diverses manières. Par exemple, la théorie de la perspective a montré qu’il n’y a pas que les propriétés métriques des figures dans la géométrie : la perspective est à l’origine de la géométrie projective . ^[135]

Les artistes utilisent depuis longtemps les concepts de proportion dans le design. Vitruve a développé une théorie compliquée des proportions idéales pour la figure humaine. ^[136] Ces concepts ont été utilisés et adaptés par des artistes de Michel- Ange aux artistes de bande dessinée modernes. ^[137]

Le nombre d’or est une proportion particulière qui a eu un rôle controversé dans l’art. Souvent revendiqué comme étant le rapport de longueur le plus esthétique, il est souvent déclaré qu’il est incorporé dans des œuvres d’art célèbres, bien que les exemples les plus fiables et sans ambiguïté aient été délibérément réalisés par des artistes conscients de cette légende. ^[138]

Les pavages , ou pavages, ont été utilisés dans l’art à travers l’histoire. L’art islamique utilise fréquemment les pavages, tout comme l’art de MC Escher . ^[139] Le travail d’Escher a également fait usage de la géométrie hyperbolique .

Cézanne a avancé la théorie selon laquelle toutes les images peuvent être construites à partir de la sphère , du cône et du cylindre . Ceci est encore utilisé dans la théorie de l’art aujourd’hui, bien que la liste exacte des formes varie d’un auteur à l’autre. ^{[140] [141]}

Architecture

La géométrie a de nombreuses applications en architecture. En fait, il a été dit que la géométrie est au cœur de la conception architecturale. ^{[142] [143]} Les applications de la géométrie à l’architecture incluent l’utilisation de la géométrie projective pour créer une perspective forcée , ^[144] l’utilisation de sections coniques dans la construction de dômes et d’objets similaires, ^[91] l’utilisation de pavages , ^[91] et le utilisation de la symétrie. ^[91]

La physique

Le domaine de l’astronomie , en particulier en ce qui concerne la cartographie des positions des étoiles et des planètes sur la sphère céleste et la description de la relation entre les mouvements des corps célestes, a été une source importante de problèmes géométriques à travers l’histoire. ^[145]

La géométrie riemannienne et la géométrie pseudo-riemannienne sont utilisées en relativité générale . ^[146] La théorie des cordes utilise plusieurs variantes de la géométrie, ^[147] comme le fait la théorie de l’information quantique . ^[148]

Autres domaines des mathématiques

Les Pythagoriciens ont découvert que les côtés d’un triangle pouvaient avoir des longueurs incommensurables .

Le calcul était fortement influencé par la géométrie. ^[30] Par exemple, l’introduction des coordonnées par René Descartes et les développements concomitants de l’ algèbre ont marqué une nouvelle étape pour la géométrie, puisque les figures géométriques telles que les courbes planes pouvaient désormais être représentées analytiquement sous forme de fonctions et d’équations. Cela a joué un rôle clé dans l’émergence du calcul infinitésimal au 17ème siècle. La géométrie analytique continue d’être un pilier du programme de pré-calcul et de calcul. ^{[149] [150]}

Un autre domaine d’application important est la théorie des nombres . ^[151] Dans la Grèce antique , les Pythagoriciens considéraient le rôle des nombres dans la géométrie. Cependant, la découverte de longueurs incommensurables contredit leurs vues philosophiques. ^[152] Depuis le XIXe siècle, la géométrie est utilisée pour résoudre des problèmes de théorie des nombres, par exemple à travers la géométrie des nombres ou, plus récemment, la théorie des schémas , qui est utilisée dans la preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat . ^[153]

Voir également

Portail des mathématiques

Listes

Liste des géomètres
- Catégorie: Géomètres algébriques
- Catégorie : Géomètres différentiels
- Catégorie : Géomètres
- Catégorie:Topologues
Liste des formules en géométrie élémentaire
Liste des sujets de géométrie
Liste des publications importantes en géométrie
Listes de sujets mathématiques

Rubriques connexes

Géométrie descriptive
Géométrie finie
Flatland , un livre écrit par Edwin Abbott Abbott sur l’espace à deux et trois dimensions , pour comprendre le concept de quatre dimensions
Liste des logiciels de géométrie interactifs

Autres champs

Géométrie moléculaire

Remarques

↑ Jusqu’au XIXe siècle, la géométrie était dominée par l’hypothèse que toutes les constructions géométriques étaient euclidiennes. Au 19ème siècle et plus tard, cela a été remis en question par le développement de la géométrie hyperbolique par Lobachevsky et d’autres Géométries non euclidiennes par Gauss et d’autres. On s’est alors rendu compte que la géométrie implicitement non euclidienne était apparue à travers l’histoire, y compris les travaux de Desargues au XVIIe siècle, jusqu’à l’utilisation implicite de la géométrie sphérique pour comprendre la géodésie terrestre et naviguer dans les océans depuis l’Antiquité.
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Lectures complémentaires

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Wikibooks a plus sur le thème de: Géométrie

“Géométrie” . Encyclopædia Britannica . Vol. 11 (11e éd.). 1911. pp. 675–736.

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Problèmes de géométrie inhabituels
Le Forum Mathématique – Géométrie
- Le forum mathématique – Géométrie K–12
- Le Forum Mathématique – Géométrie universitaire
- Le Forum Mathématique – Géométrie Avancée
Nature Precedings – Géométrie des piquets et des cordes à Stonehenge
L’Atlas mathématique – Domaines géométriques des mathématiques
“4000 Years of Geometry” , conférence de Robin Wilson donnée au Gresham College , 3 octobre 2007 (disponible en téléchargement MP3 et MP4 ainsi qu’en fichier texte)
- Finitisme en géométrie à l’Encyclopédie de philosophie de Stanford
La casse de la géométrie
Référence de géométrie interactive avec des centaines d’applets
Esquisses de géométrie dynamique (avec quelques explorations d’étudiants)
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