Exponentation

0

L’exponentiation est une opération mathématique , écrite sous la forme b n , impliquant deux nombres, la base b et l’ Exposant ou puissance n , et prononcée comme « b élevé à la puissance n ». [1] Lorsque n est un entier positif , l’exponentiation correspond à la multiplication répétée de la base : c’est-à-dire que b n est le produit de la multiplication de n bases : [1]

Graphiques de y = b x pour différentes bases b : base 10 , base e , base 2 , base 1/2. Chaque courbe passe par le point (0, 1) car tout nombre différent de zéro élevé à la puissance 0 est 1. À x = 1 , la valeur de y est égale à la base car tout nombre élevé à la puissance 1 est le nombre lui-même. b n = b × b × ⋯ × b × b ⏟ n times . {displaystyle b^{n}=underbrace {btimes btimes dots times btimes b} _{n{text{times}}}.} {displaystyle b^{n}=underbrace {btimes btimes dots times btimes b} _{n{text{times}}}.}

L’Exposant est généralement affiché en Exposant à droite de la base. Dans ce cas, b n est appelé « b élevé à la puissance n », « b élevé à la puissance n », « la puissance n de b », « b à la puissance n », [2] ou le plus brièvement comme ” b au n ème “.

On a b 1 = b , et, pour tout entier positif m et n , on a b nb m = b n + m . Pour étendre cette propriété aux exposants entiers non positifs, b 0 est défini comme étant 1 , et b n (avec n un entier positif et b non nul) est défini comme 1/b n. En particulier, b −1 est égal à 1/b, l’ inverse de b .

La définition de l’exponentiation peut être étendue pour autoriser n’importe quel Exposant réel ou complexe . L’exponentiation par des exposants entiers peut également être définie pour une grande variété de structures algébriques, y compris les matrices .

L’exponentiation est largement utilisée dans de nombreux domaines, notamment l’économie , la biologie , la chimie , la physique et l’informatique , avec des applications telles que l’ intérêt composé , la croissance démographique , la cinétique des réactions chimiques , le comportement des ondes et la cryptographie à clé publique .

Histoire de la notation

Le terme puissance ( latin : potentia, potestas, dignitas ) est une mauvaise traduction [3] [4] du grec ancien δύναμις ( dúnamis , ici : “amplification” [3] ) utilisé par le mathématicien grec Euclide pour le carré d’une droite , [5] suivant Hippocrate de Chios . [6] Dans The Sand Reckoner , Archimède a découvert et prouvé la loi des exposants, 10 a ⋅ 10 b = 10 a + b, nécessaire pour manipuler les puissances de 10 . [ citation nécessaire ] Au 9ème siècle, le mathématicien persan Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a utilisé les termes مَال ( māl , “possessions”, “propriété”) pour un carré – les musulmans, “comme la plupart des mathématiciens de cette époque et des temps antérieurs, pensé à un nombre au carré comme une représentation d’une zone, en particulier de la terre, d’où la propriété ” [7] – et كَعْبَة ( kaʿbah , ” cube “) pour un cube , que les mathématiciens islamiques plus tard ont représenté en notation mathématique comme les lettres Mīm ( m ) et kaf(k), respectivement, au XVe siècle, comme on le voit dans l’œuvre d’ Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī . [8]

À la fin du XVIe siècle, Jost Bürgi utilisait des chiffres romains pour les exposants. [9]

Nicolas Chuquet a utilisé une forme de notation exponentielle au XVe siècle, qui a ensuite été utilisée par Henricus Grammateus et Michael Stifel au XVIe siècle. Le mot Exposant a été inventé en 1544 par Michael Stifel. [10] [11] Samuel Jeake a introduit le terme indices en 1696. [5] Au XVIe siècle, Robert Recorde utilisait les termes carré, cube, zenzizenzique ( quatrième puissance ), sursolide (cinquième), zenzicube (sixième), deuxième sursolide (septième) et zenzizenzizenzic (huitième). [7] Biquadrate a également été utilisé pour désigner la quatrième puissance.

Au début du XVIIe siècle, la première forme de notre notation exponentielle moderne a été introduite par René Descartes dans son texte intitulé La Géométrie ; là, la notation est introduite dans le Livre I. [12]

Certains mathématiciens (comme Isaac Newton ) n’ont utilisé des exposants que pour des puissances supérieures à deux, préférant représenter les carrés comme des multiplications répétées. Ainsi, ils écriraient des polynômes , par exemple, sous la forme ax + bxx + cx 3 + d .

Un autre synonyme historique, [ clarification nécessaire ] involution , est désormais rare [13] et ne doit pas être confondu avec son sens plus courant .

En 1748, Leonhard Euler introduit les exposants variables, et, implicitement, les exposants non entiers en écrivant :

“considérez des exponentielles ou des puissances dans lesquelles l’Exposant lui-même est une variable. Il est clair que des quantités de ce genre ne sont pas des fonctions algébriques , puisque dans celles-ci les exposants doivent être constants.” [14]

Terminologie

L’expression b 2 = bb est appelée « le carré de b » ou « b au carré », car l’aire d’un carré de côté b est b 2 .

De même, l’expression b 3 = bbb est appelée « le cube de b » ou « b au cube », car le volume d’un cube de côté b est b 3 .

Lorsqu’il s’agit d’un entier positif , l’Exposant indique combien de copies de la base sont multipliées ensemble. Par exemple, 3 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243 . La base 3 apparaît 5 fois dans la multiplication, car l’Exposant est 5 . Ici, 243 est la 5e puissance de 3 , soit 3 élevé à la 5e puissance .

Le mot “élevé” est généralement omis, et parfois “puissance” également, donc 3 5 peut être simplement lu “3 au 5” ou “3 au 5”. Par conséquent, l’exponentiation b n peut être exprimée par ” b à la puissance n “, ” b à la n ième puissance “, ” b à la n ième “, ou plus brièvement par ” b à la n “.

Une formule avec exponentiation imbriquée, telle que 3 5 7 (qui signifie 3 (5 7 ) et non (3 5 ) 7 ), est appelée une tour de puissances, ou simplement une tour. [15]

Exposants entiers

L’opération d’exponentiation à exposants entiers peut être définie directement à partir d’ opérations arithmétiques élémentaires .

Exposants positifs

La définition de l’exponentiation comme une multiplication itérée peut être formalisée en utilisant l’induction , [16] et cette définition peut être utilisée dès qu’on a une multiplication Associative :

Le cas de base est

b 1 = b {displaystyle b^{1}=b} b^{1}=b b^{1}=b

et la récurrence est

b n + 1 = b n ⋅ b . {displaystyle b^{n+1}=b^{n}cdot b.} {displaystyle b^{n+1}=b^{n}cdot b.} {displaystyle b^{n+1}=b^{n}cdot b.}

L’associativité de la multiplication implique que pour tout entier positif m et n ,

b m + n = b m ⋅ b n , {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n},} {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n},} {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n},}

et

( b m ) n = b m n . {displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.} {displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.} {displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}

Exposant zéro

Par définition, tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est 1 : [17] [1]

b 0 = 1. {displaystyle b^{0}=1.} {displaystyle b^{0}=1.} {displaystyle b^{0}=1.}

Cette définition est la seule possible qui permette d’étendre la formule

b m + n = b m ⋅ b n {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n}} {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n}} {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n}}

aux exposants nuls. Il peut être utilisé dans chaque structure algébrique avec une multiplication qui a une identité .

Intuitivement, b 0 {displaystyle b^{0}} b^{0} b^{0}peut être interprété comme le produit vide de copies de b . Ainsi, l’égalité b 0 = 1 {displaystyle b^{0}=1} b^{0}=1 b^{0}=1est un cas particulier de la convention générale pour le produit vide.

Le cas de 0 0 est plus compliqué. Dans les contextes où seules les puissances entières sont considérées, la valeur 1 est généralement attribuée à 0 0 , {displaystyle 0^{0},} {displaystyle 0^{0},} {displaystyle 0^{0},}mais, sinon, le choix de lui attribuer une valeur et la valeur à attribuer peuvent dépendre du contexte. Pour plus de détails, consultez Zéro à la puissance zéro .

Exposants négatifs

L’exponentiation avec des exposants négatifs est définie par l’identité suivante, qui vaut pour tout entier n et b non nul :

b − n = 1 b n . {displaystyle b^{-n}={frac {1}{b^{n}}}.} {displaystyle b^{-n}={frac {1}{b^{n}}}.} {displaystyle b^{-n}={frac {1}{b^{n}}}.} [1]

Élever 0 à un Exposant négatif n’est pas défini mais, dans certaines circonstances, cela peut être interprété comme l’infini ( ∞ {displaystyle infty} infty infty ).

Cette définition de l’exponentiation à exposants négatifs est la seule qui permette d’étendre l’identité b m + n = b m ⋅ b n {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n}} {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n}} {displaystyle b^{m+n}=b^{m}cdot b^{n}}aux exposants négatifs (considérons le cas m = − n {displaystyle m=-n} {displaystyle m=-n} {displaystyle m=-n}).

La même définition s’applique aux éléments inversibles dans un monoïde multiplicatif , c’est-à-dire une structure algébrique , avec une multiplication Associative et une identité multiplicative notée 1 (par exemple, les matrices carrées d’une dimension donnée). En particulier, dans une telle structure, l’inverse d’un élément inversible x est classiquement noté x − 1 . {displaystyle x^{-1}.} x^{{-1}}. x^{{-1}}.

Identités et propriétés

Les identités suivantes , souvent appeléesrègles d’Exposant , valables pour tous les exposants entiers, à condition que la base soit non nulle : [1]

b m + n = b m ⋅ b n ( b m ) n = b m ⋅ n ( b ⋅ c ) n = b n ⋅ c n {displaystyle {begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}cdot b^{n}\left(b^{m}right)^{n}&=b ^{mcdot n}\(bcdot c)^{n}&=b^{n}cdot c^{n}end{aligned}}} {displaystyle {begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}cdot b^{n}\left(b^{m}right)^{n}&=b^{mcdot n}\(bcdot c)^{n}&=b^{n}cdot c^{n}end{aligned}}}

Contrairement à l’addition et à la multiplication, l’exponentiation n’est pas Commutative . Par exemple, 2 3 = 8 ≠ 3 2 = 9 . Contrairement à l’addition et à la multiplication, l’exponentiation n’est pas Associative . Par exemple, (2 3 ) 2 = 8 2 = 64 , tandis que 2 (3 2 ) = 2 9 = 512 . Sans parenthèses, l’ordre conventionnel des opérations pour l’exponentiation en série dans la notation en Exposant est descendant (ou associatif à droite ), et non ascendant [18] [19][20] [21] (ou gauche -associatif). C’est,

b p q = b ( p q ) , {displaystyle b^{p^{q}}=b^{left(p^{q}right)},} {displaystyle b^{p^{q}}=b^{left(p^{q}right)},} {displaystyle b^{p^{q}}=b^{left(p^{q}right)},}

qui, en général, est différent de

( b p ) q = b p q . {displaystyle left(b^{p}right)^{q}=b^{pq}.} {displaystyle left(b^{p}right)^{q}=b^{pq}.} {displaystyle left(b^{p}right)^{q}=b^{pq}.}

Puissances d’une somme

Les puissances d’une somme peuvent normalement être calculées à partir des puissances des sommations par la formule binomiale

( a + b ) n = ∑ i = 0 n ( n i ) a i b n − i = ∑ i = 0 n n ! i ! ( n − i ) ! a i b n − i . {displaystyle (a+b)^{n}=sum _{i=0}^{n}{binom {n}{i}}a^{i}b^{ni}=sum _{ i=0}^{n}{frac {n!}{i!(ni)!}}a^{i}b^{ni}.} {displaystyle (a+b)^{n}=sum _{i=0}^{n}{binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=sum _{i=0}^{n}{frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.} {displaystyle (a+b)^{n}=sum _{i=0}^{n}{binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=sum _{i=0}^{n}{frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}

Cependant, cette formule n’est vraie que si les sommations commutent (c’est-à-dire que ab = ba ), ce qui est sous-entendu s’ils appartiennent à une structure Commutative . Sinon, si a et b sont, par exemple, des matrices carrées de même taille, cette formule ne peut pas être utilisée. Il s’ensuit qu’en calcul formel , de nombreux algorithmes impliquant des exposants entiers doivent être modifiés lorsque les bases d’exponentiation ne commutent pas. Certains systèmes d’algèbre informatique à usage général utilisent une notation différente (parfois ^^ au lieu de ^) pour l’exponentiation avec des bases non commutatives, qui est alors appelée exponentiation non Commutative .

Interprétation combinatoire

Pour les entiers non négatifs n et m , la valeur de n m est le nombre de fonctions d’un ensemble de m éléments à un ensemble de n éléments (voir exponentiation cardinale ). De telles fonctions peuvent être représentées comme m – tuples d’un ensemble de n éléments (ou comme mots de m lettres d’un alphabet de n lettres). Quelques exemples de valeurs particulières de m et n sont donnés dans le tableau suivant :

nm _ Les n m m -uplets possibles d’éléments de l’ensemble {1, …, n }
0 5 = 0 rien
1 4 = 1 (1, 1, 1, 1)
2 3 = 8 (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2 , 2, 1), (2, 2, 2)
3 2 = 9 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3 , 3)
4 1 = 4 (1), (2), (3), (4)
5 0 = 1 ()

Bases particulières

Puissances de dix

Dans le système numérique de base dix ( décimal ), les puissances entières de 10 sont écrites comme le chiffre 1 suivi ou précédé d’un nombre de zéros déterminé par le signe et la grandeur de l’Exposant. Par example,10 3 =1000 et10 −4 =0,0001 .

L’exponentiation en base 10 est utilisée en notation scientifique pour désigner des nombres grands ou petits. Par exemple,299 792 458 m/s (la vitesse de la lumière dans le vide, en mètres par seconde ) peut s’écrire2,997 924 58 × 10 8 m/s puis approché comme2,998 × 10 8 m/s .

Les préfixes SI basés sur des puissances de 10 sont également utilisés pour décrire de petites ou de grandes quantités. Par exemple, le préfixe kilo signifie10 3 =1000 , donc un kilomètre est1000 m .

Puissances de deux

Les premières puissances négatives de 2 sont couramment utilisées, et ont des noms particuliers, par exemple : moitié et quart .

Les puissances de 2 apparaissent dans la théorie des ensembles , puisqu’un ensemble à n membres a un ensemble de puissance , l’ensemble de tous ses sous- ensembles , qui a 2 n membres.

Les puissances entières de 2 sont importantes en informatique . Les puissances entières positives 2 n donnent le nombre de valeurs possibles pour un nombre binaire entier de n bits ; par exemple, un octet peut prendre 2 8 = 256 valeurs différentes. Le système de numération binaire exprime tout nombre comme une somme de puissances de 2 , et le dénote comme une séquence de 0 et 1 , séparés par un point binaire , où 1 indique une puissance de 2qui apparaît dans la somme ; l’Exposant est déterminé par la place de ce 1 : les exposants non négatifs sont le rang du 1 à gauche du point (en partant de 0 ), et les exposants négatifs sont déterminés par le rang à droite du point.

Pouvoirs d’un

Les puissances de un sont toutes un : 1 n = 1 .

La première puissance d’un nombre est le nombre lui-même : n 1 = n . {displaystyle n^{1}=n.} {displaystyle n^{1}=n.} {displaystyle n^{1}=n.}

Puissances de zéro

Si l’Exposant n est positif ( n > 0 ), la n ième puissance de zéro est nulle : 0 n = 0 .

Si l’Exposant n est négatif ( n < 0 ), la n ième puissance de zéro 0 n est indéfinie, car elle doit être égale à 1 / 0 − n {displaystyle 1/0^{-n}} {displaystyle 1/0^{-n}} {displaystyle 1/0^{-n}}avec − n > 0 , et ce serait 1 / 0 {displaystyle 1/0} 1/0 1/0selon ci-dessus.

L’expression 0 0 est soit définie comme 1, soit laissée indéfinie.

Puissances du moins un

Si n est un entier pair, alors (−1) n = 1 .

Si n est un entier impair, alors (−1) n = −1 .

Pour cette raison, les puissances de -1 sont utiles pour exprimer des séquences alternées . Pour une discussion similaire sur les puissances du nombre complexe i , voir § Puissances des Nombres complexes .

Grands exposants

La limite d’une suite de puissances d’un nombre supérieur à un diverge ; en d’autres termes, la suite croît sans limite :

b n → ∞ lorsque n → ∞ quand b > 1

Cela peut être lu comme ” b à la puissance n tend vers +∞ lorsque n tend vers l’infini lorsque b est supérieur à un”.

Les puissances d’un nombre dont la valeur absolue est inférieure à un tendent vers zéro :

b n → 0 lorsque n → ∞ quand | b | < 1

Toute puissance d’un est toujours un :

b n = 1 pour tout n si b = 1

Les puissances de -1 alternent entre 1 et -1 lorsque n alterne entre pair et impair, et ne tendent donc vers aucune limite lorsque n augmente.

Si b < –1 , b n alterne entre des nombres positifs et négatifs de plus en plus grands lorsque n alterne entre pairs et impairs, et ne tend donc vers aucune limite lorsque n augmente.

Si le nombre exponentiel varie en tendant vers 1 alors que l’Exposant tend vers l’infini, alors la limite n’est pas nécessairement l’une de celles ci-dessus. Un cas particulièrement important est

(1 + 1/ n ) ne comme n → ∞

Voir § La fonction exponentielle ci-dessous.

D’autres limites, notamment celles des expressions qui prennent une forme indéterminée , sont décrites au § Limites de pouvoirs ci-dessous.

Fonctions de puissance

Fonctions de puissance pour n = 1 , 3 , 5 {displaystyle n=1,3,5} {displaystyle n=1,3,5} {displaystyle n=1,3,5} Fonctions de puissance pour n = 2 , 4 , 6 {displaystyle n=2,4,6} {displaystyle n=2,4,6} {displaystyle n=2,4,6}

Fonctions réelles du formulaire f ( x ) = c x n {displaystyle f(x)=cx^{n}} {displaystyle f(x)=cx^{n}} {displaystyle f(x)=cx^{n}}, où c ≠ 0 {displaystyle cneq 0} cneq 0 cneq 0, sont parfois appelées fonctions puissance. [22] Quand n {displaystyle n} n est un entier et n ≥ 1 {displaystyle ngeq 1} ngeq 1 ngeq 1, deux familles primaires existent : pour n {displaystyle n} n nmême, et pour n {displaystyle n} n nétrange. En général pour c > 0 {displaystyle c>0} c>0 c>0, lorsque n {displaystyle n} n nest même f ( x ) = c x n {displaystyle f(x)=cx^{n}} {displaystyle f(x)=cx^{n}} {displaystyle f(x)=cx^{n}}tendra vers l’ infini positif avec l’augmentation x {style d’affichage x} x x, et aussi vers l’infini positif avec la diminution x {style d’affichage x} x x. Tous les graphiques de la famille des fonctions puissances paires ont la forme générale de y = c x 2 {displaystyle y=cx^{2}} {displaystyle y=cx^{2}} {displaystyle y=cx^{2}}, s’aplatissant davantage au milieu comme n {displaystyle n} n naugmente. [23] Fonctions avec ce type de symétrie ( f ( − x ) = f ( x ) {displaystyle f(-x)=f(x)} {displaystyle f(-x)=f(x)} {displaystyle f(-x)=f(x)}) sont appelées fonctions paires .

Lorsque n {displaystyle n} n nest impair, f ( x ) {displaystyle f(x)} f(x) f(x)le comportement asymptotique de s’inverse de positif x {style d’affichage x} x xà négatif x {style d’affichage x} x x. Pour c > 0 {displaystyle c>0} c>0 c>0, f ( x ) = c x n {displaystyle f(x)=cx^{n}} {displaystyle f(x)=cx^{n}} {displaystyle f(x)=cx^{n}}tendra également vers l’ infini positif avec l’augmentation x {style d’affichage x} x x, mais vers moins l’infini en diminuant x {style d’affichage x} x x. Tous les graphiques de la famille des fonctions puissances impaires ont la forme générale de y = c x 3 {displaystyle y=cx^{3}} {displaystyle y=cx^{3}} {displaystyle y=cx^{3}}, s’aplatissant davantage au milieu comme n {displaystyle n} n naugmente et y perd toute planéité en ligne droite pour n = 1 {displaystyle n=1} n=1 n=1. Fonctions avec ce type de symétrie ( f ( − x ) = − f ( x ) {displaystyle f(-x)=-f(x)} {displaystyle f(-x)=-f(x)} {displaystyle f(-x)=-f(x)}) sont appelées fonctions impaires .

Pour c < 0 {style d’affichage c<0} c < 0 c < 0, le comportement asymptotique opposé est vrai dans chaque cas. [23]

Tableau des puissances des chiffres décimaux

n n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
dix 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Exposants rationnels

De haut en bas : x 1/8 , x 1/4 , x 1/2 , x 1 , x 2 , x 4 , x 8 .

Si x est un nombre réel non négatif et n est un entier positif, x 1 n {displaystyle x^{frac {1}{n}}} {displaystyle x^{frac {1}{n}}} {displaystyle x^{frac {1}{n}}}ou alors x n {displaystyle {sqrt[{n}]{x}}} {displaystyle {sqrt[{n}]{x}}} {displaystyle {sqrt[{n}]{x}}}désigne l’unique réel positif n ième racine de x , c’est-à-dire l’unique nombre réel positif y tel que y n = x . {displaystyle y^{n}=x.} {displaystyle y^{n}=x.} {displaystyle y^{n}=x.}

Si x est un nombre réel positif, et p q {displaystyle {frac {p}{q}}} {frac pq} {frac pq}est un nombre rationnel , avec p et q ≠ 0 entiers, alors x p q {textstyle x^{frac {p}{q}}} {textstyle x^{frac {p}{q}}} {textstyle x^{frac {p}{q}}}est défini comme

x p q = ( x p ) 1 q = ( x 1 q ) p . {displaystyle x^{frac {p}{q}}=left(x^{p}right)^{frac {1}{q}}=(x^{frac {1}{q }})^{p}.} {displaystyle x^{frac {p}{q}}=left(x^{p}right)^{frac {1}{q}}=(x^{frac {1}{q}})^{p}.} {displaystyle x^{frac {p}{q}}=left(x^{p}right)^{frac {1}{q}}=(x^{frac {1}{q}})^{p}.}

L’égalité à droite peut être dérivée en posant y = x 1 q , {displaystyle y=x^{frac {1}{q}},} {displaystyle y=x^{frac {1}{q}},} {displaystyle y=x^{frac {1}{q}},}et l’écriture ( x 1 q ) p = y p = ( ( y p ) q ) 1 q = ( ( y q ) p ) 1 q = ( x p ) 1 q . {displaystyle (x^{frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=left((y^{p})^{q}right)^{frac { 1}{q}}=left((y^{q})^{p}right)^{frac {1}{q}}=(x^{p})^{frac {1} {q}}.} {displaystyle (x^{frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=left((y^{p})^{q}right)^{frac {1}{q}}=left((y^{q})^{p}right)^{frac {1}{q}}=(x^{p})^{frac {1}{q}}.} {displaystyle (x^{frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=left((y^{p})^{q}right)^{frac {1}{q}}=left((y^{q})^{p}right)^{frac {1}{q}}=(x^{p})^{frac {1}{q}}.}

Si r est un nombre rationnel positif, 0 r = 0 , {displaystyle 0^{r}=0,} {displaystyle 0^{r}=0,} {displaystyle 0^{r}=0,}par définition.

Toutes ces définitions sont nécessaires pour étendre l’identité ( x r ) s = x r s {displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}} {displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}} {displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}}aux exposants rationnels.

D’un autre côté, il y a des problèmes avec l’extension de ces définitions à des bases qui ne sont pas des nombres réels positifs. Par exemple, un nombre réel négatif a une racine n ième réelle, qui est négative si n est impair et aucune racine réelle si n est pair. Dans ce dernier cas, quelle que soit la n ème racine complexe que l’on choisit pour x 1 n , {displaystyle x^{frac {1}{n}},} {displaystyle x^{frac {1}{n}},} {displaystyle x^{frac {1}{n}},}l’identité ( x a ) b = x a b {displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}} {displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}} {displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}ne peut être satisfait. Par example,

( ( − 1 ) 2 ) 1 2 = 1 1 2 = 1 ≠ ( − 1 ) 2 ⋅ 1 2 = ( − 1 ) 1 = − 1. {displaystyle left((-1)^{2}right)^{frac {1}{2}}=1^{frac {1}{2}}=1neq (-1)^ {2cdot {frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.} {displaystyle left((-1)^{2}right)^{frac {1}{2}}=1^{frac {1}{2}}=1neq (-1)^{2cdot {frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.} {displaystyle left((-1)^{2}right)^{frac {1}{2}}=1^{frac {1}{2}}=1neq (-1)^{2cdot {frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.}

Voir § Exposants réels et § Puissances non entières de Nombres complexes pour plus de détails sur la manière dont ces problèmes peuvent être traités.

Exposants réels

Pour les nombres réels positifs, l’exponentiation aux puissances réelles peut être définie de deux manières équivalentes, soit en étendant les puissances rationnelles aux réels par continuité ( § Limites des exposants rationnels , ci-dessous), soit en termes de logarithme de la base et de la fonction exponentielle ( § Puissances via les logarithmes , ci-dessous). Le résultat est toujours un nombre réel positif, et les identités et propriétés présentées ci-dessus pour les exposants entiers restent vraies avec ces définitions pour les exposants réels. La deuxième définition est plus couramment utilisée, car elle se généralise directement aux exposants complexes .

En revanche, l’exponentiation à une puissance réelle d’un nombre réel négatif est beaucoup plus difficile à définir de manière cohérente, car elle peut être non réelle et avoir plusieurs valeurs (voir § Exposants réels à bases négatives ). On peut choisir une de ces valeurs, dite valeur principale , mais il n’y a pas de choix de la valeur principale pour laquelle l’identité

( b r ) s = b r s {displaystyle left(b^{r}right)^{s}=b^{rs}} {displaystyle left(b^{r}right)^{s}=b^{rs}} {displaystyle left(b^{r}right)^{s}=b^{rs}}

est vrai; voir § Échec des identités de puissance et de logarithme . Par conséquent, l’exponentiation dont la base n’est pas un nombre réel positif est généralement considérée comme une fonction à valeurs multiples .

Limites des exposants rationnels

La limite de e 1/ n est e 0 = 1 lorsque n tend vers l’infini.

Puisque tout nombre irrationnel peut être exprimé comme la limite d’une suite de nombres rationnels, l’exponentiation d’un nombre réel positif b avec un Exposant réel arbitraire x peut être définie par continuité avec la règle [24]

b x = lim r ( ∈ Q ) → x b r ( b ∈ R + , x ∈ R ) , {displaystyle b^{x}=lim _{r(in mathbb {Q})to x}b^{r}quad (bin mathbb {R} ^{+},, xin mathbb {R} ),} {displaystyle b^{x}=lim _{r(in mathbb {Q} )to x}b^{r}quad (bin mathbb {R} ^{+},,xin mathbb {R} ),} {displaystyle b^{x}=lim _{r(in mathbb {Q} )to x}b^{r}quad (bin mathbb {R} ^{+},,xin mathbb {R} ),}

où la limite est prise sur les valeurs rationnelles de r uniquement. Cette limite existe pour tout b positif et tout réel x .

Par exemple, si x = π , la représentation décimale non terminale π = 3,14159… et la monotonie des puissances rationnelles peuvent être utilisées pour obtenir des intervalles délimités par des puissances rationnelles aussi petites que souhaitées, et doivent contenir b π : {displaystyle b^{pi } :} {displaystyle b^{pi }:}

[ b 3 , b 4 ] , [ b 3.1 , b 3.2 ] , [ b 3.14 , b 3.15 ] , [ b 3.141 , b 3.142 ] , [ b 3.1415 , b 3.1416 ] , [ b 3.14159 , b 3.14160 ] , … {displaystyle left[b^{3},b^{4}right],left[b^{3.1},b^{3.2}right],left[b^{3.14},b^ {3.15}droite],gauche[b^{3.141},b^{3.142}droite],gauche[b^{3.1415},b^{3.1416}droite],gauche[b^{3.14159 },b^{3.14160}right],ldots } {displaystyle left[b^{3},b^{4}right],left[b^{3.1},b^{3.2}right],left[b^{3.14},b^{3.15}right],left[b^{3.141},b^{3.142}right],left[b^{3.1415},b^{3.1416}right],left[b^{3.14159},b^{3.14160}right],ldots }

Ainsi, les bornes supérieures et les bornes inférieures des intervalles forment deux suites qui ont la même limite, notée b π . {displaystyle b^{pi }.} {displaystyle b^{pi }.} {displaystyle b^{pi }.}

Cela définit b x {displaystyle b^{x}} b^x b^xpour tout b positif et x réel en tant que fonction continue de b et x . Voir aussi Expression bien définie .

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est souvent définie comme x ↦ e x , {displaystyle xmapsto e^{x},} {displaystyle xmapsto e^{x},} {displaystyle xmapsto e^{x},}où e ≈ 2.718 {displaystyle eenviron 2.718} {displaystyle eapprox 2.718} {displaystyle eapprox 2.718}est le nombre d’Euler . Pour éviter les raisonnements circulaires , cette définition ne peut pas être utilisée ici. Ainsi, une définition de la fonction exponentielle, notée exp ⁡ ( x ) , {displaystyle exp(x),} {displaystyle exp(x),} {displaystyle exp(x),}et du nombre d’Euler sont donnés, qui reposent uniquement sur l’exponentiation avec des exposants entiers positifs. Ensuite, une preuve est esquissée que, si l’on utilise la définition de l’exponentiation donnée dans les sections précédentes, on a

exp ⁡ ( x ) = e x . {displaystyle exp(x)=e^{x}.} {displaystyle exp(x)=e^{x}.} {displaystyle exp(x)=e^{x}.}

Il existe de nombreuses façons équivalentes de définir la fonction exponentielle , l’une d’entre elles étant

exp ⁡ ( x ) = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n . {displaystyle exp(x)=lim _{nrightarrow infty}left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}.} {displaystyle exp(x)=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}.} {displaystyle exp(x)=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}.}

L’un a exp ⁡ ( 0 ) = 1 , {displaystyle exp(0)=1,} {displaystyle exp(0)=1,} {displaystyle exp(0)=1,}et l’ identité exponentielle exp ⁡ ( x + y ) = exp ⁡ ( x ) exp ⁡ ( y ) {displaystyle exp(x+y)=exp(x)exp(y)} {displaystyle exp(x+y)=exp(x)exp(y)} {displaystyle exp(x+y)=exp(x)exp(y)}tient aussi, puisque

exp ⁡ ( x ) exp ⁡ ( y ) = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n ( 1 + y n ) n = lim n → ∞ ( 1 + x + y n + x y n 2 ) n , {displaystyle exp(x)exp(y)=lim _{nrightarrow infty}left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}left(1 +{frac {y}{n}}right)^{n}=lim _{nrightarrow infty}left(1+{frac {x+y}{n}}+{frac {xy}{n^{2}}}right)^{n},} {displaystyle exp(x)exp(y)=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}left(1+{frac {y}{n}}right)^{n}=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x+y}{n}}+{frac {xy}{n^{2}}}right)^{n},} {displaystyle exp(x)exp(y)=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}left(1+{frac {y}{n}}right)^{n}=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x+y}{n}}+{frac {xy}{n^{2}}}right)^{n},}

et le terme du second ordre x y n 2 {displaystyle {frac {xy}{n^{2}}}} {displaystyle {frac {xy}{n^{2}}}} {displaystyle {frac {xy}{n^{2}}}}n’affecte pas la limite, ce qui donne exp ⁡ ( x ) exp ⁡ ( y ) = exp ⁡ ( x + y ) {displaystyle exp(x)exp(y)=exp(x+y)} {displaystyle exp(x)exp(y)=exp(x+y)} {displaystyle exp(x)exp(y)=exp(x+y)}.

Le nombre d’Euler peut être défini comme e = exp ⁡ ( 1 ) {displaystyle e=exp(1)} {displaystyle e=exp(1)} {displaystyle e=exp(1)}. Il résulte des équations précédentes que exp ⁡ ( x ) = e x {displaystyle exp(x)=e^{x}} {displaystyle exp(x)=e^{x}} {displaystyle exp(x)=e^{x}}lorsque x est un entier (cela résulte de la définition de la multiplication répétée de l’exponentiation). Si x est réel, exp ⁡ ( x ) = e x {displaystyle exp(x)=e^{x}} {displaystyle exp(x)=e^{x}} {displaystyle exp(x)=e^{x}}résulte des définitions données dans les sections précédentes, en utilisant l’identité exponentielle si x est rationnel, et la continuité de la fonction exponentielle sinon.

La limite qui définit la fonction exponentielle converge pour chaque valeur complexe de x et peut donc être utilisée pour étendre la définition de exp ⁡ ( z ) {displaystyle exp(z)} {displaystyle exp(z)} , Et ainsi e z , {displaystyle e^{z},} {displaystyle e^{z},} {displaystyle e^{z},}des nombres réels à n’importe quel argument complexe z . Cette fonction exponentielle étendue satisfait toujours l’identité exponentielle et est couramment utilisée pour définir l’exponentiation d’une base complexe et d’un Exposant.

Puissances via les logarithmes

La définition de e x comme fonction exponentielle permet de définir b x pour tout nombre réel positif b , en termes de fonction exponentielle et logarithmique . Plus précisément, le fait que le logarithme naturel ln( x ) soit l’ inverse de la fonction exponentielle e x signifie que l’on a

b = exp ⁡ ( ln ⁡ b ) = e ln ⁡ b {displaystyle b=exp(ln b)=e^{ln b}} {displaystyle b=exp(ln b)=e^{ln b}} {displaystyle b=exp(ln b)=e^{ln b}}

pour tout b > 0 . Pour préserver l’identité ( e x ) y = e x y , {displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},} {displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},} {displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}on doit avoir

b x = ( e ln ⁡ b ) x = e x ln ⁡ b {displaystyle b^{x}=left(e^{ln b}right)^{x}=e^{xln b}} {displaystyle b^{x}=left(e^{ln b}right)^{x}=e^{xln b}} {displaystyle b^{x}=left(e^{ln b}right)^{x}=e^{xln b}}

Alors, e x ln ⁡ b {displaystyle e^{xln b}} {displaystyle e^{xln b}} {displaystyle e^{xln b}}peut être utilisé comme définition alternative de b x pour tout réel positif b . Cela est conforme à la définition donnée ci-dessus en utilisant des exposants rationnels et la continuité, avec l’avantage de s’étendre directement à tout Exposant complexe.

Exposants complexes avec une base réelle positive

Si b est un nombre réel positif, l’exponentiation de base b et d’ Exposant complexe z est définie au moyen de la fonction exponentielle d’argument complexe (voir la fin du § La fonction exponentielle , ci-dessus) comme

b z = e ( z ln ⁡ b ) , {displaystyle b^{z}=e^{(zln b)},} {displaystyle b^{z}=e^{(zln b)},} {displaystyle b^{z}=e^{(zln b)},}

où ln ⁡ b {displaystyleln b} ln b ln bdésigne le logarithme naturel de b .

Cela satisfait l’identité

b z + t = b z b t , {displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},} {displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},} {displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},}

En général, ( b z ) t {textstyle left(b^{z}right)^{t}} {textstyle left(b^{z}right)^{t}} {textstyle left(b^{z}right)^{t}}n’est pas défini, car b z n’est pas un nombre réel. Si un sens est donné à l’exponentiation d’un nombre complexe (voir § Puissances non entières des Nombres complexes , ci-dessous), on a, en général,

( b z ) t ≠ b z t , {displaystyle left(b^{z}right)^{t}neq b^{zt},} {displaystyle left(b^{z}right)^{t}neq b^{zt},}

sauf si z est réel ou t est un entier.

la formule d’Euler ,

e i y = cos ⁡ y + i sin ⁡ y , {displaystyle e^{iy}=cos y+isin y,} {displaystyle e^{iy}=cos y+isin y,} {displaystyle e^{iy}=cos y+isin y,}

permet d’exprimer la forme polaire de b z {displaystyle b^{z}} {displaystyle b^{z}} {displaystyle b^{z}}en termes de parties réelles et imaginaires de z , à savoir

b x + i y = b x ( cos ⁡ ( y ln ⁡ b ) + i sin ⁡ ( y ln ⁡ b ) ) , {displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(cos(yln b)+isin(yln b)),} {displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(cos(yln b)+isin(yln b)),} {displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(cos(yln b)+isin(yln b)),}

où la valeur absolue du facteur trigonométrique est un. Cela résulte de

b x + i y = b x b i y = b x e i y ln ⁡ b = b x ( cos ⁡ ( y ln ⁡ b ) + i sin ⁡ ( y ln ⁡ b ) ) . {displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iyln b}=b^{x}(cos(yln b) +isin(yln b)).} {displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iyln b}=b^{x}(cos(yln b)+isin(yln b)).} {displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iyln b}=b^{x}(cos(yln b)+isin(yln b)).}

Puissances non entières de Nombres complexes

Dans les sections précédentes, l’exponentiation avec des exposants non entiers a été définie pour les bases réelles positives uniquement. Pour d’autres bases, des difficultés apparaissent déjà avec le cas apparemment simple des racines n ièmes, c’est-à-dire des exposants 1 / n , {displaystyle 1/n,} {displaystyle 1/n,} {displaystyle 1/n,}n est un entier positif. Bien que la théorie générale de l’exponentiation avec des exposants non entiers s’applique aux racines n ièmes, ce cas mérite d’être considéré en premier, car il n’a pas besoin d’utiliser des logarithmes complexes , et est donc plus facile à comprendre.

Racine nième d’un nombre complexe

Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous forme polaire comme

z = ρ e i θ = ρ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) , {displaystyle z=rho e^{itheta }=rho (cos theta +isin theta ),} {displaystyle z=rho e^{itheta }=rho (cos theta +isin theta ),} {displaystyle z=rho e^{itheta }=rho (cos theta +isin theta ),}

où ρ {style d’affichage rho} rho rho est la valeur absolue de z , et θ {displaystyle thêta} theta theta est son argument . L’argument est défini à un multiple entier près de 2 π ; cela signifie que, si θ {displaystyle thêta} theta theta est l’argument d’un nombre complexe, alors θ + 2 k π {displaystyle theta +2kpi } {displaystyle theta +2kpi } {displaystyle theta +2kpi }est aussi un argument du même nombre complexe.

La forme polaire du produit de deux Nombres complexes s’obtient en multipliant les valeurs absolues et en ajoutant les arguments. Il s’ensuit que la forme polaire d’une racine n ième d’un nombre complexe peut être obtenue en prenant la racine n ième de la valeur absolue et en divisant son argument par n :

( ρ e i θ ) 1 n = ρ n e i θ n . {displaystyle left(rho e^{itheta }right)^{frac {1}{n}}={sqrt[{n}]{rho }},e^{frac {itheta }{n}}.} {displaystyle left(rho e^{itheta }right)^{frac {1}{n}}={sqrt[{n}]{rho }},e^{frac {itheta }{n}}.}

Si 2 i π {displaystyle 2ipi } {displaystyle 2ipi } {displaystyle 2ipi }est ajouté à θ , {displaystyle thêta ,} theta , theta ,le nombre complexe n’a pas changé, mais cela ajoute 2 i π / n {displaystyle 2ipi /n} {displaystyle 2ipi /n} {displaystyle 2ipi /n}à l’argument de la n ième racine, et fournit une nouvelle n ième racine. Cela peut être fait n fois et fournit les n n ièmes racines du nombre complexe.

Il est habituel de choisir l’une des racines n n ième comme racine principale . Le choix courant est de choisir la n ième racine pour laquelle − π < θ ≤ π , {displaystyle -pi <theta leq pi ,} {displaystyle -pi <theta leq pi ,} {displaystyle -pi <theta leq pi ,}c’est-à-dire la n ième racine qui a la plus grande partie réelle et, s’il y en a deux, celle dont la partie imaginaire est positive. Cela fait de la n ième racine principale une fonction continue dans tout le plan complexe, sauf pour les valeurs réelles négatives du radicande . Cette fonction est égale à la racine n ième habituelle pour les radicandes réels positifs. Pour les radicandes réels négatifs et les exposants impairs, la racine n ième principale n’est pas réelle, bien que la racine n ième habituelle soit réelle. La suite analytique montre que la racine n ième principale est l’unique fonction différentiable complexe qui étend l’habituel nème racine au plan complexe sans les nombres réels non positifs.

Si le nombre complexe est déplacé autour de zéro en augmentant son argument, après un incrément de 2 π , {displaystyle 2pi ,} 2pi , 2pi ,le nombre complexe revient à sa position initiale, et ses n ièmes racines sont permutées circulairement (elles sont multipliées par e 2 i π / n e^{2ipi /n} e^{2ipi /n} e^{2ipi /n}). Cela montre qu’il n’est pas possible de définir une n ième fonction racine qui ne soit pas continue dans tout le plan complexe.

Racines de l’unité Les trois racines tierces de 1

Les n ièmes racines de l’unité sont les n Nombres complexes tels que w n = 1 , où n est un entier positif. Ils surviennent dans divers domaines des mathématiques, comme dans la transformée de Fourier discrète ou les solutions algébriques d’équations algébriques ( résolvante de Lagrange ).

Les n n ièmes racines de l’unité sont les n premières puissances de ω = e 2 π i n {displaystyle omega =e^{frac {2pi i}{n}}} {displaystyle omega =e^{frac {2pi i}{n}}} {displaystyle omega =e^{frac {2pi i}{n}}}, C’est 1 = ω 0 = ω n , ω = ω 1 , ω 2 , ω n − 1 . {displaystyle 1=omega ^{0}=omega ^{n},omega =omega ^{1},omega ^{2},omega ^{n-1}.} {displaystyle 1=omega ^{0}=omega ^{n},omega =omega ^{1},omega ^{2},omega ^{n-1}.} {displaystyle 1=omega ^{0}=omega ^{n},omega =omega ^{1},omega ^{2},omega ^{n-1}.}Les racines n ièmes de l’unité qui ont cette propriété génératrice sont appelées racines n ièmes primitives de l’unité ; ils ont la forme ω k = e 2 k π i n , {displaystyle omega ^{k}=e^{frac {2kpi i}{n}},} {displaystyle omega ^{k}=e^{frac {2kpi i}{n}},} {displaystyle omega ^{k}=e^{frac {2kpi i}{n}},}avec k premier avec n . L’unique racine carrée primitive de l’unité est − 1 ; {displaystyle -1;} {displaystyle -1;} les quatrièmes racines primitives de l’unité sont i {displaystyle i} i et − i . {displaystyle -i.} -i.

Les racines n ièmes de l’unité permettent d’exprimer toutes les racines n ièmes d’un nombre complexe z comme les n produits d’une racine n ième donnée de z avec une racine n ième de l’unité.

Géométriquement, les n ièmes racines de l’unité se trouvent sur le cercle unitaire du plan complexe aux sommets d’un n -gone régulier avec un sommet sur le nombre réel 1.

Comme le nombre e 2 k π i n {displaystyle e^{frac {2kpi i}{n}}} {displaystyle e^{frac {2kpi i}{n}}} {displaystyle e^{frac {2kpi i}{n}}}est la n ième racine primitive de l’ unité avec le plus petit argument positif , elle est appelée racine n ième primitive principale de l’ unité , parfois abrégée en n ième racine principale de l’ unité , bien que cette terminologie puisse être confondue avec la valeur principale de 1 1 / n {displaystyle 1^{1/n}} {displaystyle 1^{1/n}} {displaystyle 1^{1/n}}qui est 1. [25] [26] [27]

Exponentation complexe

Définir l’exponentiation avec des bases complexes conduit à des difficultés similaires à celles décrites dans la section précédente, sauf qu’il existe, en général, une infinité de valeurs possibles pour z w z^{w} z^{w} z^{w}. Ainsi, soit une valeur principale est définie, qui n’est pas continue pour les valeurs de z qui sont réelles et non positives, soit z w z^{w} z^{w} z^{w}est définie comme une fonction multivaluée .

Dans tous les cas, le logarithme complexe est utilisé pour définir l’exponentiation complexe comme

z w = e w log ⁡ z , {displaystyle z^{w}=e^{wlog z},} {displaystyle z^{w}=e^{wlog z},} {displaystyle z^{w}=e^{wlog z},}

où log ⁡ z {displaystylejournal z} log z log zest la variante du logarithme complexe qui est utilisée, c’est-à-dire une fonction ou une fonction multivaluée telle que

e log ⁡ z = z {displaystyle e^{log z}=z} {displaystyle e^{log z}=z} {displaystyle e^{log z}=z}

pour tout z dans son domaine de définition .

Valeur principale

La valeur principale du logarithme complexe est la fonction unique, communément notée log , { style d’affichage journal ,} {displaystyle log ,} {displaystyle log ,}tel que, pour tout nombre complexe non nul z ,

e log ⁡ z = z , {displaystyle e^{log z}=z,} {displaystyle e^{log z}=z,} {displaystyle e^{log z}=z,}

et la partie imaginaire de z satisfait

− π < I m ≤ π . {displaystyle -pi <mathrm {Im} leq pi .} {displaystyle -pi <mathrm {Im} leq pi .} {displaystyle -pi <mathrm {Im} leq pi .}

La valeur principale du logarithme complexe n’est pas définie pour z = 0 , {displaystyle z=0,} {displaystyle z=0,} {displaystyle z=0,}il est discontinu aux valeurs réelles négatives de z , et il est holomorphe (c’est-à-dire différentiable complexe) ailleurs. Si z est réel et positif, la valeur principale du logarithme complexe est le logarithme naturel : log ⁡ z = ln ⁡ z . {displaystyle log z=ln z.} {displaystyle log z=ln z.} {displaystyle log z=ln z.}

La valeur principale de z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}est défini comme z w = e w log ⁡ z , {displaystyle z^{w}=e^{wlog z},} {displaystyle z^{w}=e^{wlog z},} {displaystyle z^{w}=e^{wlog z},}où log ⁡ z {displaystylejournal z} log z log zest la valeur principale du logarithme.

La fonction ( z , w ) → z w {displaystyle (z,w)to z^{w}} {displaystyle (z,w)to z^{w}} {displaystyle (z,w)to z^{w}}est holomorphe sauf au voisinage des points où z est réel et non positif.

Si z est réel et positif, la valeur principale de z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}est égal à sa valeur usuelle définie ci-dessus. Si w = 1 / n , {displaystyle w=1/n,} {displaystyle w=1/n,} {displaystyle w=1/n,}n est un entier, cette valeur principale est la même que celle définie ci-dessus.

Fonction multivaluée

Dans certains contextes, il y a un problème avec la discontinuité des principales valeurs de log ⁡ z {displaystylejournal z} log z log zet z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}aux valeurs réelles négatives de z . Dans ce cas, il est utile de considérer ces fonctions comme des fonctions multivaluées .

Si log ⁡ z {displaystylejournal z} log z log zdésigne une des valeurs du logarithme multivalué (typiquement sa valeur principale), les autres valeurs sont 2 i k π + log ⁡ z , {displaystyle 2ikpi +log z,} {displaystyle 2ikpi +log z,} {displaystyle 2ikpi +log z,}k est un entier quelconque. De même, si z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}est une valeur de l’exponentiation, alors les autres valeurs sont données par

e w ( 2 i k π + log ⁡ z ) = z w e 2 i k π w , {displaystyle e^{w(2ikpi +log z)}=z^{w}e^{2ikpi w},} {displaystyle e^{w(2ikpi +log z)}=z^{w}e^{2ikpi w},} {displaystyle e^{w(2ikpi +log z)}=z^{w}e^{2ikpi w},}

k est un entier quelconque.

Différentes valeurs de k donnent différentes valeurs de z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}sauf si w est un nombre rationnel , c’est-à-dire qu’il existe un entier d tel que dw soit un entier. Cela résulte de la périodicité de la fonction exponentielle, plus précisément, que e a = e b {displaystyle e^{a}=e^{b}} {displaystyle e^{a}=e^{b}} {displaystyle e^{a}=e^{b}}si et seulement si a − b {displaystyle ab} a-b a-best un multiple entier de 2 π i . {displaystyle 2pi i.} 2pi i. 2pi i.

Si w = m n {displaystyle w={frac {m}{n}}} {displaystyle w={frac {m}{n}}} {displaystyle w={frac {m}{n}}}est un nombre rationnel avec m et n entiers premiers avec n > 0 , {displaystyle n>0,} {displaystyle n>0,} {displaystyle n>0,}alors z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}a exactement n valeurs. Dans le cas m = 1 , {displaystyle m=1,} m=1, ces valeurs sont les mêmes que celles décrites dans les § n ièmes racines d’un nombre complexe . Si w est un entier, il n’y a qu’une seule valeur qui concorde avec celle de § Exposants entiers .

L’exponentiation multivaluée est holomorphe pour z ≠ 0 , {displaystyle zneq 0,} {displaystyle zneq 0,} {displaystyle zneq 0,}au sens où son graphe est constitué de plusieurs feuillets qui définissent chacun une fonction holomorphe au voisinage de chaque point. Si z varie continûment le long d’un cercle autour de 0 , alors, après un tour, la valeur de z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}a changé de feuille.

Calcul

La forme canonique x + i y {displaystyle x+iy} {displaystyle x+iy} {displaystyle x+iy}de z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}peut être calculé à partir de la forme canonique de z et w . Bien que cela puisse être décrit par une seule formule, il est plus clair de scinder le calcul en plusieurs étapes.

  • Forme polaire de z . Si z = a + i b {displaystyle z=a+ib} {displaystyle z=a+ib} {displaystyle z=a+ib}est la forme canonique de z ( a et b étant réels), alors sa forme polaire est z = ρ e i θ = ρ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) , {displaystyle z=rho e^{itheta }=rho (cos theta +isin theta ),} {displaystyle z=rho e^{itheta }=rho (cos theta +isin theta ),} {displaystyle z=rho e^{itheta }=rho (cos theta +isin theta ),} où ρ = a 2 + b 2 {displaystyle rho ={sqrt {a^{2}+b^{2}}}} {displaystyle rho ={sqrt {a^{2}+b^{2}}}} {displaystyle rho ={sqrt {a^{2}+b^{2}}}}et θ = atan2 ⁡ ( a , b ) {displaystyle theta =operatorname {atan2} (a,b)} {displaystyle theta =operatorname {atan2} (a,b)} {displaystyle theta =operatorname {atan2} (a,b)}(voir atan2 pour la définition de cette fonction).
  • Logarithme de z . La valeur principale de ce logarithme est log ⁡ z = ln ⁡ ρ + i θ , {displaystyle log z=ln rho +itheta ,} {displaystyle log z=ln rho +itheta ,} {displaystyle log z=ln rho +itheta ,}où ln {displaystyleln} ln ln désigne le logarithme naturel . Les autres valeurs du logarithme sont obtenues en ajoutant 2 i k π {displaystyle 2ikpi } {displaystyle 2ikpi } {displaystyle 2ikpi }pour tout entier k .
  • Forme canonique de w log ⁡ z . {displaystyle wjournal z.} {displaystyle wlog z.} {displaystyle wlog z.}Si w = c + d i {displaystyle w=c+di} {displaystyle w=c+di} {displaystyle w=c+di}avec c et d réels, les valeurs de w log ⁡ z {displaystyle wjournal z} {displaystyle wlog z} {displaystyle wlog z}sont w log ⁡ z = ( c ln ⁡ ρ − d θ − 2 d k π ) + i ( d ln ⁡ ρ + c θ + 2 c k π ) , {displaystyle wlog z=(cln rho -dtheta -2dkpi )+i(dln rho +ctheta +2ckpi ),} {displaystyle wlog z=(cln rho -dtheta -2dkpi )+i(dln rho +ctheta +2ckpi ),} {displaystyle wlog z=(cln rho -dtheta -2dkpi )+i(dln rho +ctheta +2ckpi ),} la valeur principale correspondant à k = 0. {displaystyle k=0.} {displaystyle k=0.} {displaystyle k=0.}
  • Résultat final. Utilisation des identités e x + y = e x e y {displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}} {displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}} {displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}et e y ln ⁡ x = x y , {displaystyle e^{yln x}=x^{y},} {displaystyle e^{yln x}=x^{y},} {displaystyle e^{yln x}=x^{y},}on obtient z w = ρ c e − d ( θ + 2 k π ) ( cos ⁡ ( d ln ⁡ ρ + c θ + 2 c k π ) + i sin ⁡ ( d ln ⁡ ρ + c θ + 2 c k π ) ) , {displaystyle z^{w}=rho ^{c}e^{-d(theta +2kpi )}left(cos(dln rho +ctheta +2ckpi )+ isin(dln rho +ctheta +2ckpi )right),} {displaystyle z^{w}=rho ^{c}e^{-d(theta +2kpi )}left(cos(dln rho +ctheta +2ckpi )+isin(dln rho +ctheta +2ckpi )right),} {displaystyle z^{w}=rho ^{c}e^{-d(theta +2kpi )}left(cos(dln rho +ctheta +2ckpi )+isin(dln rho +ctheta +2ckpi )right),} avec k = 0 {displaystyle k=0} k=0 k=0pour la valeur principale.

Exemples

  • i i {displaystyle je^{i}} i^{i} i^{i}
    La forme polaire de i est i = e i π / 2 , {displaystyle i=e^{ipi /2},} {displaystyle i=e^{ipi /2},} {displaystyle i=e^{ipi /2},}et les valeurs de log ⁡ i {displaystylelog i} {displaystyle log i} {displaystyle log i}sont donc log ⁡ i = i ( π 2 + 2 k π ) . {displaystyle log i=ileft({frac {pi }{2}}+2kpi right).} {displaystyle log i=ileft({frac {pi }{2}}+2kpi right).} {displaystyle log i=ileft({frac {pi }{2}}+2kpi right).} Il s’ensuit que i i = e i log ⁡ i = e − π 2 e − 2 k π . {displaystyle i^{i}=e^{ilog i}=e^{-{frac {pi }{2}}}e^{-2kpi }.} {displaystyle i^{i}=e^{ilog i}=e^{-{frac {pi }{2}}}e^{-2kpi }.} Ainsi, toutes les valeurs de i i {displaystyle je^{i}} i^{i} sont réels, le principal étant e − π 2 ≈ 0.2079. {displaystyle e^{-{frac {pi }{2}}}environ 0,2079.} {displaystyle e^{-{frac {pi }{2}}}approx 0.2079.}
  • ( − 2 ) 3 + 4 i {displaystyle (-2)^{3+4i}} {displaystyle (-2)^{3+4i}}
    De même, la forme polaire de −2 est − 2 = 2 e i π . {displaystyle -2=2e^{ipi}.} {displaystyle -2=2e^{ipi }.} {displaystyle -2=2e^{ipi }.}Ainsi, la méthode décrite ci-dessus donne les valeurs ( − 2 ) 3 + 4 i = 2 3 e − 4 ( π + 2 k π ) ( cos ⁡ ( 4 ln ⁡ 2 + 3 ( π + 2 k π ) ) + i sin ⁡ ( 4 ln ⁡ 2 + 3 ( π + 2 k π ) ) ) = − 2 3 e − 4 ( π + 2 k π ) ( cos ⁡ ( 4 ln ⁡ 2 ) + i sin ⁡ ( 4 ln ⁡ 2 ) ) . {displaystyle {begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(pi +2kpi )}(cos(4ln 2+3 (pi +2kpi ))+isin(4ln 2+3(pi +2kpi )))\&=-2^{3}e^{-4(pi +2k pi )}(cos(4ln 2)+isin(4ln 2)).end{aligné}}} {displaystyle {begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(pi +2kpi )}(cos(4ln 2+3(pi +2kpi ))+isin(4ln 2+3(pi +2kpi )))\&=-2^{3}e^{-4(pi +2kpi )}(cos(4ln 2)+isin(4ln 2)).end{aligned}}} {displaystyle {begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(pi +2kpi )}(cos(4ln 2+3(pi +2kpi ))+isin(4ln 2+3(pi +2kpi )))\&=-2^{3}e^{-4(pi +2kpi )}(cos(4ln 2)+isin(4ln 2)).end{aligned}}} Dans ce cas, toutes les valeurs ont le même argument 4 ln ⁡ 2 , {displaystyle 4ln 2,} {displaystyle 4ln 2,} {displaystyle 4ln 2,}et différentes valeurs absolues.

Dans les deux exemples, toutes les valeurs de z w {displaystyle z^{w}} z^{w} z^{w}ont le même argument. Plus généralement, cela est vrai si et seulement si la partie réelle de w est un entier.

Échec des identités de puissance et de logarithme

Certaines identités pour les puissances et les logarithmes des nombres réels positifs échoueront pour les Nombres complexes, peu importe la façon dont les puissances complexes et les logarithmes complexes sont définis comme des fonctions à valeur unique . Par example:

  • L’identité log( b x ) = x ⋅ log b est valable chaque fois que b est un nombre réel positif et x est un nombre réel. Mais pour la branche principale du logarithme complexe on a log ⁡ ( ( − i ) 2 ) = log ⁡ ( − 1 ) = i π ≠ 2 log ⁡ ( − i ) = 2 log ⁡ ( e − i π / 2 ) = 2 − i π 2 = − i π {displaystyle log((-i)^{2})=log(-1)=ipi neq 2log(-i)=2log(e^{-ipi /2} )=2,{frac {-ipi }{2}}=-ipi } {displaystyle log((-i)^{2})=log(-1)=ipi neq 2log(-i)=2log(e^{-ipi /2})=2,{frac {-ipi }{2}}=-ipi } {displaystyle log((-i)^{2})=log(-1)=ipi neq 2log(-i)=2log(e^{-ipi /2})=2,{frac {-ipi }{2}}=-ipi } Quelle que soit la branche du logarithme utilisée, un échec similaire de l’identité existera. Le mieux que l’on puisse dire (si seulement en utilisant ce résultat) est que : log ⁡ w z ≡ z log ⁡ w ( mod 2 π i ) {displaystyle log w^{z}equiv zlog w{pmod {2pi i}}} {displaystyle log w^{z}equiv zlog w{pmod {2pi i}}} {displaystyle log w^{z}equiv zlog w{pmod {2pi i}}} Cette identité ne tient pas même si l’on considère log comme une fonction à valeurs multiples. Les valeurs possibles de log( w z ) contiennent celles de z ⋅ log w en tant que sous- ensemble propre . En utilisant Log( w ) pour la valeur principale de log( w ) et m , n comme entiers, les valeurs possibles des deux côtés sont : { log ⁡ w z } = { z ⋅ Log ⁡ w + z ⋅ 2 π i n + 2 π i m ∣ m , n ∈ Z } { z log ⁡ w } = { z Log ⁡ w + z ⋅ 2 π i n ∣ n ∈ Z } {displaystyle {begin{aligned}left{log w^{z}right}&=left{zcdot operatorname {Log} w+zcdot 2pi in+2 pi immid m,nin mathbb {Z} right}\left{zlog wright}&=left{zoperatorname {Log} w+zcdot 2 pi inmid nin mathbb {Z} right}end{aligned}}} {displaystyle {begin{aligned}left{log w^{z}right}&=left{zcdot operatorname {Log} w+zcdot 2pi in+2pi immid m,nin mathbb {Z} right}\left{zlog wright}&=left{zoperatorname {Log} w+zcdot 2pi inmid nin mathbb {Z} right}end{aligned}}} {displaystyle {begin{aligned}left{log w^{z}right}&=left{zcdot operatorname {Log} w+zcdot 2pi in+2pi immid m,nin mathbb {Z} right}\left{zlog wright}&=left{zoperatorname {Log} w+zcdot 2pi inmid nin mathbb {Z} right}end{aligned}}}
  • Les identités ( bc ) x = b x c x et ( b / c ) x = b x / c x sont valides lorsque b et c sont des nombres réels positifs et x est un nombre réel. Mais, pour les valeurs principales, on a ( − 1 ⋅ − 1 ) 1 2 = 1 ≠ ( − 1 ) 1 2 ( − 1 ) 1 2 = − 1 {displaystyle (-1cdot -1)^{frac {1}{2}}=1neq (-1)^{frac {1}{2}}(-1)^{frac { 1}{2}}=-1} {displaystyle (-1cdot -1)^{frac {1}{2}}=1neq (-1)^{frac {1}{2}}(-1)^{frac {1}{2}}=-1} {displaystyle (-1cdot -1)^{frac {1}{2}}=1neq (-1)^{frac {1}{2}}(-1)^{frac {1}{2}}=-1} et ( 1 − 1 ) 1 2 = ( − 1 ) 1 2 = i ≠ 1 1 2 ( − 1 ) 1 2 = 1 i = − i {displaystyle left({frac {1}{-1}}right)^{frac {1}{2}}=(-1)^{frac {1}{2}}=i neq {frac {1^{frac {1}{2}}}{(-1)^{frac {1}{2}}}}={frac {1}{i}}=-i } {displaystyle left({frac {1}{-1}}right)^{frac {1}{2}}=(-1)^{frac {1}{2}}=ineq {frac {1^{frac {1}{2}}}{(-1)^{frac {1}{2}}}}={frac {1}{i}}=-i} {displaystyle left({frac {1}{-1}}right)^{frac {1}{2}}=(-1)^{frac {1}{2}}=ineq {frac {1^{frac {1}{2}}}{(-1)^{frac {1}{2}}}}={frac {1}{i}}=-i} D’autre part, lorsque x est un entier, les identités sont valables pour tous les Nombres complexes non nuls. Si l’exponentiation est considérée comme une fonction multivaluée alors les valeurs possibles de (−1 ⋅ −1) 1/2 sont {1, −1 }. L’identité tient, mais dire {1} = {(−1 ⋅ −1) 1/2 } est faux.
  • L’identité ( e x ) y = e xy vaut pour les nombres réels x et y , mais supposer sa vérité pour les Nombres complexes conduit au paradoxe suivant , découvert en 1827 par Clausen : [28] Pour tout entier n , on a :
    1. e 1 + 2 π i n = e 1 e 2 π i n = e ⋅ 1 = e {displaystyle e^{1+2pi in}=e^{1}e^{2pi in}=ecdot 1=e} {displaystyle e^{1+2pi in}=e^{1}e^{2pi in}=ecdot 1=e} {displaystyle e^{1+2pi in}=e^{1}e^{2pi in}=ecdot 1=e}
    2. ( e 1 + 2 π i n ) 1 + 2 π i n = e {displaystyle left(e^{1+2pi in}right)^{1+2pi in}=eqquad } {displaystyle left(e^{1+2pi in}right)^{1+2pi in}=eqquad } {displaystyle left(e^{1+2pi in}right)^{1+2pi in}=eqquad }(Prenant le ( 1 + 2 π i n ) {displaystyle (1+2pi in)} {displaystyle (1+2pi in)} {displaystyle (1+2pi in)}-ième puissance des deux côtés)
    3. e 1 + 4 π i n − 4 π 2 n 2 = e {displaystyle e^{1+4pi in-4pi ^{2}n^{2}}=eqquad } {displaystyle e^{1+4pi in-4pi ^{2}n^{2}}=eqquad } {displaystyle e^{1+4pi in-4pi ^{2}n^{2}}=eqquad }(en utilisant ( e x ) y = e x y {displaystyle left(e^{x}right)^{y}=e^{xy}} {displaystyle left(e^{x}right)^{y}=e^{xy}} {displaystyle left(e^{x}right)^{y}=e^{xy}}et en développant l’Exposant)
    4. e 1 e 4 π i n e − 4 π 2 n 2 = e {displaystyle e^{1}e^{4pi in}e^{-4pi ^{2}n^{2}}=eqquad } {displaystyle e^{1}e^{4pi in}e^{-4pi ^{2}n^{2}}=eqquad } {displaystyle e^{1}e^{4pi in}e^{-4pi ^{2}n^{2}}=eqquad }(en utilisant e x + y = e x e y {displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}} {displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}} {displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}})
    5. e − 4 π 2 n 2 = 1 {displaystyle e^{-4pi ^{2}n^{2}}=1qquad } {displaystyle e^{-4pi ^{2}n^{2}}=1qquad } {displaystyle e^{-4pi ^{2}n^{2}}=1qquad }(en divisant par e )

    mais ceci est faux lorsque l’entier n est différent de zéro. L’erreur est la suivante : par définition, e y {displaystyle e^{y}} e^{y} e^{y}est une notation pour exp ⁡ ( y ) , {displaystyle exp(y),} {displaystyle exp(y),} {displaystyle exp(y),}une vraie fonction, et x y {displaystyle x^{y}} x^y x^yest une notation pour exp ⁡ ( y log ⁡ x ) , {displaystyle exp(ylog x),} {displaystyle exp(ylog x),} {displaystyle exp(ylog x),}qui est une fonction multivaluée. Ainsi la notation est ambiguë lorsque x = e . Ici, avant de développer l’Exposant, la deuxième ligne doit être exp ⁡ ( ( 1 + 2 π i n ) log ⁡ exp ⁡ ( 1 + 2 π i n ) ) = exp ⁡ ( 1 + 2 π i n ) . {displaystyle exp left((1+2pi in)log exp(1+2pi in)right)=exp(1+2pi in).} {displaystyle exp left((1+2pi in)log exp(1+2pi in)right)=exp(1+2pi in).} {displaystyle exp left((1+2pi in)log exp(1+2pi in)right)=exp(1+2pi in).} Par conséquent, en développant l’Exposant, on a implicitement supposé que log ⁡ exp ⁡ z = z {displaystyle log exp z=z} {displaystyle log exp z=z} {displaystyle log exp z=z}pour les valeurs complexes de z , ce qui est faux, car le logarithme complexe est multivalué. En d’autres termes, la mauvaise identité ( e x ) y = e xy doit être remplacée par l’identité ( e x ) y = e y log ⁡ e x , {displaystyle left(e^{x}right)^{y}=e^{ylog e^{x}},} {displaystyle left(e^{x}right)^{y}=e^{ylog e^{x}},} {displaystyle left(e^{x}right)^{y}=e^{ylog e^{x}},} qui est une véritable identité entre fonctions multivaluées.

Irrationalité et transcendance

Si b est un nombre algébrique réel positif et x est un nombre rationnel, alors b x est un nombre algébrique. Ceci résulte de la théorie des extensions algébriques . Cela reste vrai si b est un nombre algébrique quelconque, auquel cas toutes les valeurs de b x (en tant que fonction multivaluée ) sont algébriques. Si x est irrationnel (c’est-à-dire non rationnel ) et que b et x sont algébriques, le théorème de Gelfond-Schneider affirme que toutes les valeurs de b x sont transcendantales(c’est-à-dire non algébrique), sauf si b vaut 0 ou 1 .

Autrement dit, si x est irrationnel et b ∉ { 0 , 1 } , {displaystyle bnot in {0,1},} {displaystyle bnot in {0,1},} {displaystyle bnot in {0,1},}alors au moins l’un de b , x et b x est transcendantal.

Puissances entières en algèbre

La définition de l’exponentiation avec des exposants entiers positifs en tant que multiplication répétée peut s’appliquer à toute opération Associative désignée comme une multiplication. [nb 1] La définition de x 0 {displaystyle x^{0}} x^{0} x^{0}requiert en outre l’existence d’une identité multiplicative . [29]

Une structure algébrique consistant en un ensemble avec une opération Associative notée multiplicativement et une identité multiplicative notée 1 est un monoïde . Dans un tel monoïde, l’exponentiation d’un élément x est définie inductivement par

  • x 0 = 1 , {displaystyle x^{0}=1,} {displaystyle x^{0}=1,} {displaystyle x^{0}=1,}
  • x n + 1 = x x n {displaystyle x^{n+1}=xx^{n}} {displaystyle x^{n+1}=xx^{n}} {displaystyle x^{n+1}=xx^{n}}pour tout entier non négatif n .

Si n est un entier négatif, x n {displaystyle x^{n}} x^{n} x^{n}n’est défini que si x a un inverse multiplicatif . [30] Dans ce cas, l’inverse de x est noté x − 1 , {displaystyle x^{-1},} {displaystyle x^{-1},} {displaystyle x^{-1},}et x n {displaystyle x^{n}} x^{n} x^{n}est défini comme ( x − 1 ) − n . {displaystyle left(x^{-1}right)^{-n}.} {displaystyle left(x^{-1}right)^{-n}.} {displaystyle left(x^{-1}right)^{-n}.}

L’exponentiation à exposants entiers obéit aux lois suivantes, pour x et y dans la structure algébrique, et m et n entiers :

x 0 = 1 x m + n = x m x n ( x m ) n = x m n ( x y ) n = x n y n if x y = y x , and, in particular, if the multiplication is Commutative. {displaystyle {begin{aligned}x^{0}&=1\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\(x^{m})^{n }&=x^{mn}\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}quad {text{if }}xy=yx,{text{et, en particulier , si la multiplication est Commutative.}}end{aligned}}} {displaystyle {begin{aligned}x^{0}&=1\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}quad {text{if }}xy=yx,{text{and, in particular, if the multiplication is <a href='/?s=Commutative'>Commutative</a>.}}end{aligned}}}”  src=”” data-src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575c4faf2d2345f7d329b2ff309981fd92e79359″> <img alt=Commutative.}}end{aligned}}}” height=”0″ src=”” data-src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575c4faf2d2345f7d329b2ff309981fd92e79359″ width=”0″>

Ces définitions sont largement utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment pour les groupes , les anneaux , les corps , les matrices carrées (qui forment un anneau). Ils s’appliquent également aux fonctions d’un ensemble à lui-même, qui forment un monoïde sous composition de fonctions . Cela inclut, en tant qu’instances spécifiques, les transformations géométriques et les endomorphismes de toute structure mathématique .

Lorsqu’il y a plusieurs opérations qui peuvent être répétées, il est courant d’indiquer l’opération répétée en plaçant son symbole en Exposant, avant l’Exposant. Par exemple, si f est une fonction réelle dont la valeur peut être multipliée, f n {displaystyle f^{n}} f^{n} f^{n}désigne l’exponentiation par rapport à la multiplication, et f ∘ n {displaystyle f^{circ n}} {displaystyle f^{circ n}} {displaystyle f^{circ n}}peut désigner l’exponentiation par rapport à la composition de la fonction . C’est,

( f n ) ( x ) = ( f ( x ) ) n = f ( x ) f ( x ) ⋯ f ( x ) , {displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x),f(x)cdots f(x),} {displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x),f(x)cdots f(x),} {displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x),f(x)cdots f(x),}

et

( f ∘ n ) ( x ) = f ( f ( ⋯ f ( f ( x ) ) ⋯ ) ) . {displaystyle (f^{circ n})(x)=f(f(cdots f(f(x))cdots )).} {displaystyle (f^{circ n})(x)=f(f(cdots f(f(x))cdots )).} {displaystyle (f^{circ n})(x)=f(f(cdots f(f(x))cdots )).}

Communément, ( f n ) ( x ) {displaystyle (f^{n})(x)} {displaystyle (f^{n})(x)} {displaystyle (f^{n})(x)}est noté f ( x ) n , {displaystyle f(x)^{n},} {displaystyle f(x)^{n},} {displaystyle f(x)^{n},}pendant que ( f ∘ n ) ( x ) {displaystyle (f^{circ n})(x)} {displaystyle (f^{circ n})(x)} {displaystyle (f^{circ n})(x)}est noté f n ( x ) . {displaystyle f^{n}(x).} {displaystyle f^{n}(x).} {displaystyle f^{n}(x).}

Dans un groupe

Un groupe multiplicatif est un ensemble ayant comme opération Associative notée multiplication, qui a un élément d’identité , et tel que chaque élément a un inverse.

Donc, si G est un groupe, x n {displaystyle x^{n}} x^{n} x^{n}est défini pour chaque x ∈ G {displaystyle xin G} xin G xin Get tout entier n .

L’ensemble de toutes les puissances d’un élément d’un groupe forme un sous- groupe . Un groupe (ou sous-groupe) composé de toutes les puissances d’un élément spécifique x est le groupe cyclique généré par x . Si toutes les puissances de x sont distinctes, le groupe est isomorphe au groupe additif Z {displaystyle mathbb {Z} } mathbb {Z} mathbb {Z} des entiers. Sinon, le groupe cyclique est fini (il a un nombre fini d’éléments), et son nombre d’éléments est de l’ ordre de x . Si l’ordre de x est n , alors x n = x 0 = 1 , {displaystyle x^{n}=x^{0}=1,} {displaystyle x^{n}=x^{0}=1,} {displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}et le groupe cyclique engendré par x est constitué des n premières puissances de x (en partant indifféremment de l’Exposant 0 ou 1 ).

L’ordre des éléments joue un rôle fondamental dans la théorie des groupes . Par exemple, l’ordre d’un élément dans un groupe fini est toujours un diviseur du nombre d’éléments du groupe (l’ ordre du groupe). Les ordres possibles d’éléments de groupe sont importants dans l’étude de la structure d’un groupe (voir théorèmes de Sylow ), et dans la classification des groupes simples finis .

La notation en Exposant est également utilisée pour la conjugaison ; c’est-à-dire que g h = h −1 gh , où g et h sont des éléments d’un groupe. Cette notation ne peut pas être confondue avec l’exponentiation, car l’Exposant n’est pas un entier. La motivation de cette notation est que la conjugaison obéit à certaines des lois de l’exponentiation, à savoir ( g h ) k = g h k {displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}} {displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}} {displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}et ( g h ) k = g k h k . {displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.} {displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.} {displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}

Dans un anneau

Dans un anneau , il peut arriver que certains éléments non nuls satisfassent x n = 0 {displaystyle x^{n}=0} {displaystyle x^{n}=0} {displaystyle x^{n}=0}pour un entier n . Un tel élément est dit nilpotent . Dans un anneau commutatif , les éléments nilpotents forment un idéal , appelé nilradical de l’anneau.

Si le nilradical est réduit à l’ idéal zéro (c’est-à-dire si x ≠ 0 {displaystyle xneq 0} xneq 0 xneq 0implique x n ≠ 0 {displaystyle x^{n}neq 0} {displaystyle x^{n}neq 0} {displaystyle x^{n}neq 0}pour tout entier positif n ), l’anneau commutatif est dit réduit . Anneaux réduits importants en géométrie algébrique , puisque l’ anneau de coordonnées d’un ensemble algébrique affine est toujours un anneau réduit.

Plus généralement, étant donné un idéal I dans un anneau commutatif R , l’ensemble des éléments de R qui ont une puissance dans I est un idéal, appelé radical de I . Le nilradical est le radical de l’ idéal zéro . Un idéal radical est un idéal égal à son propre radical. Dans un anneau de polynômes k [ x 1 , … , x n ] {displaystyle k[x_{1},ldots ,x_{n}]} {displaystyle k[x_{1},ldots ,x_{n}]} {displaystyle k[x_{1},ldots ,x_{n}]}sur un corps k , un idéal est radical si et seulement si c’est l’ensemble de tous les polynômes qui sont nuls sur un ensemble algébrique affine (c’est une conséquence du Nullstellensatz de Hilbert ).

Matrices et opérateurs linéaires

Si A est une matrice carrée, alors le produit de A avec lui-même n fois est appelé puissance matricielle . Aussi A 0 {displaystyle A^{0}} A^{0} A^{0}est définie comme étant la matrice identité, [31] et si A est inversible, alors A − n = ( A − 1 ) n {displaystyle A^{-n}=left(A^{-1}right)^{n}} {displaystyle A^{-n}=left(A^{-1}right)^{n}} {displaystyle A^{-n}=left(A^{-1}right)^{n}}.

Les puissances matricielles apparaissent souvent dans le contexte des systèmes dynamiques discrets , où la matrice A exprime une transition d’un vecteur d’état x d’un système à l’état suivant Ax du système. [32] C’est l’interprétation standard d’une chaîne de Markov , par exemple. Puis A 2 x {displaystyle A^{2}x} A^{2}x A^{2}xest l’état du système après deux pas de temps, et ainsi de suite : A n x {displaystyle A^{n}x} A^{n}x est l’état du système après n pas de temps. La puissance matricielle A n {displaystyle A^{n}} A^{n} est la matrice de transition entre l’état actuel et l’état à un instant n pas dans le futur. Ainsi, calculer les puissances matricielles revient à résoudre l’évolution du système dynamique. Dans de nombreux cas, les puissances matricielles peuvent être calculées rapidement en utilisant des valeurs propres et des vecteurs propres .

Outre les matrices, des opérateurs linéaires plus généraux peuvent également être exponentiels. Un exemple est l’ opérateur dérivé du calcul, d / d x {displaystyle d/dx} d/dx d/dx, qui est un opérateur linéaire agissant sur les fonctions f ( x ) {displaystyle f(x)} f(x) f(x)donner une nouvelle fonction ( d / d x ) f ( x ) = f ′ ( x ) {displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)} {displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)} {displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}. La n -ième puissance de l’opérateur de différenciation est la n -ième dérivée :

( d d x ) n f ( x ) = d n d x n f ( x ) = f ( n ) ( x ) . {displaystyle left({frac {d}{dx}}right)^{n}f(x)={frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x) =f^{(n)}(x).} left({frac {d}{dx}}right)^{n}f(x)={frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x). left({frac {d}{dx}}right)^{n}f(x)={frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).

Ces exemples concernent des exposants discrets d’opérateurs linéaires, mais dans de nombreuses circonstances, il est également souhaitable de définir les puissances de ces opérateurs avec des exposants continus. C’est le point de départ de la théorie mathématique des semi -groupes . [33] Tout comme le calcul des puissances matricielles avec des exposants discrets résout des systèmes dynamiques discrets, le calcul des puissances matricielles avec des exposants continus résout des systèmes à dynamique continue. Les exemples incluent des approches pour résoudre l’équation de la chaleur , l’équation de Schrödinger , l’équation des ondes et d’autres équations aux dérivées partielles, y compris une évolution temporelle. Le cas particulier de l’exponentiation de l’opérateur dérivé à une puissance non entière est appelé le la dérivée fractionnaire qui, avec l’ intégrale fractionnaire , est l’une des opérations de base du calcul fractionnaire ..

Champs finis

Un champ est une structure algébrique dans laquelle la multiplication, l’addition, la soustraction et la division sont définies et satisfont aux propriétés selon lesquelles la multiplication est Associative et chaque élément non nul a un inverse multiplicatif . Cela implique que l’exponentiation avec des exposants entiers est bien définie, sauf pour les puissances non positives de 0 . Des exemples courants sont les Nombres complexes et leurs sous- champs , les nombres rationnels et les nombres réels , qui ont été considérés plus tôt dans cet article, et sont tous infinis .

Un corps fini est un corps avec un nombre fini d’éléments. Ce nombre d’éléments est soit un nombre premier , soit une puissance première ; c’est-à-dire qu’il a la forme q = p k , {displaystyle q=p^{k},} {displaystyle q=p^{k},} {displaystyle q=p^{k},}p est un nombre premier et k est un entier positif. Pour chaque tel q , il existe des champs avec q éléments. Les champs à q éléments sont tous isomorphes , ce qui permet, en général, de travailler comme s’il n’y avait qu’un seul champ à q éléments, noté F q . {displaystyle mathbb {F} _{q}.} {displaystyle mathbb {F} _{q}.} {displaystyle mathbb {F} _{q}.}

L’un a

x q = x {displaystyle x^{q}=x} {displaystyle x^{q}=x} {displaystyle x^{q}=x}

pour chaque x ∈ F q . {displaystyle xin mathbb {F} _{q}.} {displaystyle xin mathbb {F} _{q}.} {displaystyle xin mathbb {F} _{q}.}

Un élément primitif dans F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} mathbb {F} _{q} mathbb {F} _{q}est un élément g tel que l’ensemble des q − 1 premières puissances de g (c’est-à-dire { g 1 = g , g 2 , … , g p − 1 = g 0 = 1 } {displaystyle {g^{1}=g,g^{2},ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1}} {displaystyle {g^{1}=g,g^{2},ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1}} {displaystyle {g^{1}=g,g^{2},ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1}}) est égal à l’ensemble des éléments non nuls de F q . {displaystyle mathbb {F} _{q}.} {displaystyle mathbb {F} _{q}.} {displaystyle mathbb {F} _{q}.}Il y a φ ( p − 1 ) { displaystyle varphi (p-1)} {displaystyle varphi (p-1)} {displaystyle varphi (p-1)}éléments primitifs dans F q , {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},}où φ {displaystylevarphi } varphi varphi est la fonction indicatrice d’Euler .

Dans F q , {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},}l’ identité de rêve du Freshman

( x + y ) p = x p + y p {displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}} (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p} (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}

est vrai pour l’Exposant p . Comme x p = x {displaystyle x^{p}=x} x^{p}=x x^{p}=xdans F q , {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},}Il en résulte que la carte

F : F q → F q x ↦ x p {displaystyle {begin{aligned}Fcolon {}&mathbb {F} _{q}to mathbb {F} _{q}\&xmapsto x^{p}end{aligned} }} {displaystyle {begin{aligned}Fcolon {}&mathbb {F} _{q}to mathbb {F} _{q}\&xmapsto x^{p}end{aligned}}} {displaystyle {begin{aligned}Fcolon {}&mathbb {F} _{q}to mathbb {F} _{q}\&xmapsto x^{p}end{aligned}}}

est linéaire sur F q , {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},}et est un automorphisme de champ , appelé automorphisme de Frobenius . Si q = p k , {displaystyle q=p^{k},} {displaystyle q=p^{k},} {displaystyle q=p^{k},}le champ F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} mathbb {F} _{q} mathbb {F} _{q}a k automorphismes, qui sont les k premières puissances (sous la composition ) de F . Autrement dit, le groupe de Galois de F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} mathbb {F} _{q} mathbb {F} _{q}est cyclique d’ordre k , engendré par l’automorphisme de Frobenius.

L’ échange de clés Diffie-Hellman est une application de l’exponentiation dans des champs finis qui est largement utilisée pour les communications sécurisées . Il utilise le fait que l’exponentiation est peu coûteuse en calcul, alors que l’opération inverse, le logarithme discret , est coûteuse en calcul. Plus précisément, si g est un élément primitif de F q , {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},} {displaystyle mathbb {F} _{q},}alors g e {displaystyle g^{e}} {displaystyle g^{e}} {displaystyle g^{e}}peut être efficacement calculé avec l’exponentiation en mettant au carré pour tout e , même si q est grand, alors qu’il n’y a pas d’algorithme connu permettant de récupérer e à partir de g e {displaystyle g^{e}} {displaystyle g^{e}} {displaystyle g^{e}}si q est suffisamment grand.

Pouvoirs des ensembles

Le produit cartésien de deux ensembles S et T est l’ensemble des couples ordonnés ( x , y ) {displaystyle (x,y)} (x,y) (x,y)tel que x ∈ S {displaystyle xin S} xin S xin Set y ∈ T . {displaystyle yin T.} {displaystyle yin T.} {displaystyle yin T.}Cette opération n’est pas proprement Commutative ni Associative , mais possède ces propriétés jusqu’aux isomorphismes canoniques , qui permettent d’identifier, par exemple, ( x , ( y , z ) ) , {displaystyle (x,(y,z)),} {displaystyle (x,(y,z)),} {displaystyle (x,(y,z)),} ( ( x , y ) , z ) , {displaystyle ((x,y),z),} {displaystyle ((x,y),z),} {displaystyle ((x,y),z),}et ( x , y , z ) . {displaystyle (x, y, z).} {displaystyle (x,y,z).} {displaystyle (x,y,z).}

Ceci permet de définir la n ième puissance S n {displaystyle S^{n}} S^{n} S^{n}d’un ensemble S comme l’ensemble de tous les n – tuples ( x 1 , … , x n ) {displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})} (x_1, ldots, x_n) (x_1, ldots, x_n)d’éléments de S .

Lorsque S est doté d’une certaine structure, il est fréquent que S n {displaystyle S^{n}} S^{n} S^{n}est naturellement doté d’une structure similaire. Dans ce cas, le terme « produit direct » est généralement utilisé à la place de « produit cartésien », et l’exponentiation désigne la structure du produit. Par example R n {displaystyle mathbb{R} ^{n}} mathbb {R} ^{n} mathbb {R} ^{n}(où R {displaystyle mathbb {R} } mathbb {R} mathbb {R} désigne les nombres réels) désigne le produit cartésien de n copies de R , { displaystyle mathbb {R} ,} {displaystyle mathbb {R} ,} {displaystyle mathbb {R} ,}ainsi que leur produit direct comme espace vectoriel , espaces topologiques , anneaux , etc.

Ensembles comme exposants

Un n -uplet ( x 1 , … , x n ) {displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})} (x_1, ldots, x_n) (x_1, ldots, x_n)des éléments de S peut être considéré comme une fonction de { 1 , … , n } . {displaystyle {1,ldots ,n}.} {displaystyle {1,ldots ,n}.} {displaystyle {1,ldots ,n}.}Cela se généralise à la notation suivante.

Étant donné deux ensembles S et T , l’ensemble de toutes les fonctions de T à S est noté S T {displaystyle S^{T}} {displaystyle S^{T}} {displaystyle S^{T}}. Cette notation exponentielle est justifiée par les isomorphismes canoniques suivants (pour le premier, voir Currying ) :

( S T ) U ≅ S T × U , {displaystyle (S^{T})^{U}cong S^{Tfois U},} {displaystyle (S^{T})^{U}cong S^{Ttimes U},} {displaystyle (S^{T})^{U}cong S^{Ttimes U},} S T ⊔ U ≅ S T × S U , { displaystyle S ^ {T sqcup U} cong S ^ {T} fois S ^ {U},} {displaystyle S^{Tsqcup U}cong S^{T}times S^{U},} {displaystyle S^{Tsqcup U}cong S^{T}times S^{U},}

où × { style d’affichage fois } times times désigne le produit cartésien, et ⊔ {displaystyle sqcup } sqcup sqcup l’ union disjointe .

On peut utiliser des ensembles comme exposants pour d’autres opérations sur des ensembles, généralement pour des sommes directes de groupes abéliens , d’ espaces vectoriels ou de modules . Pour distinguer les sommes directes des produits directs, l’Exposant d’une somme directe est placé entre parenthèses. Par example, R N {displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }} {displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }} {displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}désigne l’espace vectoriel des suites infinies de nombres réels, et R ( N ) {displaystyle mathbb {R} ^{(mathbb {N} )}} {displaystyle mathbb {R} ^{(mathbb {N} )}} {displaystyle mathbb {R} ^{(mathbb {N} )}}l’espace vectoriel de ces séquences qui ont un nombre fini d’éléments non nuls. Ce dernier a une base constituée des séquences avec exactement un élément non nul égal à 1 , tandis que les bases de Hamel du premier ne peuvent pas être décrites explicitement (car leur existence implique le lemme de Zorn ).

Dans ce contexte, 2 peut représente l’ensemble { 0 , 1 } . {displaystyle{0,1}.} {displaystyle {0,1}.} Alors, 2 S {displaystyle 2^{S}} 2^{S} désigne l’ ensemble de puissance de S , c’est-à-dire l’ensemble des fonctions de S à { 0 , 1 } , {displaystyle{0,1},} {displaystyle {0,1},} {displaystyle {0,1},}qui peut être identifié à l’ensemble des sous- ensembles de S , en associant chaque fonction à l’ image inverse de 1 .

Cela correspond à l ‘ exponentiation des nombres cardinaux , en ce sens que | S T | = | S | | T | , où | X | est le cardinal de X .

Dans la théorie des catégories

Dans la catégorie des ensembles , les morphismes entre ensembles X et Y sont les fonctions de X dans Y . Il en résulte que l’ensemble des fonctions de X à Y que l’on note Y X {displaystyle Y^{X}} Y^X Y^Xdans la section précédente peut également être noté hom ⁡ ( X , Y ) . {displaystyle hom(X,Y).} {displaystyle hom(X,Y).} {displaystyle hom(X,Y).}L’isomorphisme ( S T ) U ≅ S T × U {displaystyle (S^{T})^{U}cong S^{Tfois U}} {displaystyle (S^{T})^{U}cong S^{Ttimes U}} {displaystyle (S^{T})^{U}cong S^{Ttimes U}}peut être réécrit

hom ⁡ ( U , S T ) ≅ hom ⁡ ( T × U , S ) . {displaystyle hom(U,S^{T})cong hom(Ttimes U,S).} {displaystyle hom(U,S^{T})cong hom(Ttimes U,S).} {displaystyle hom(U,S^{T})cong hom(Ttimes U,S).}

Cela signifie que le foncteur « exponentiation à la puissance T » est un adjoint à droite du foncteur « produit direct avec T ».

Cela se généralise à la définition de l’exponentiation dans une catégorie dans laquelle existent des produits directs finis : dans une telle catégorie, le foncteur X → X T {displaystyle Xà X^{T}} {displaystyle Xto X^{T}} {displaystyle Xto X^{T}}est, s’il existe, un adjoint à droite du foncteur Y → T × Y . {displaystyle Yà Tfois Y.} {displaystyle Yto Ttimes Y.} {displaystyle Yto Ttimes Y.}Une catégorie est dite une catégorie fermée cartésienne , si des produits directs existent, et le foncteur Y → X × Y {displaystyle Yà Xfois Y} {displaystyle Yto Xtimes Y} {displaystyle Yto Xtimes Y}a un adjoint à droite pour tout T .

Exponentiation répétée

Tout comme l’exponentiation des nombres naturels est motivée par la multiplication répétée, il est possible de définir une opération basée sur l’exponentiation répétée ; cette opération est parfois appelée hyper-4 ou tétration . L’itération de la tétration conduit à une autre opération, et ainsi de suite, un concept nommé hyperopération . Cette séquence d’opérations est exprimée par la fonction d’Ackermann et la notation flèche vers le haut de Knuth . Tout comme l’exponentiation croît plus vite que la multiplication, qui croît plus vite que l’addition, la tétration croît plus vite que l’exponentiation. Évaluées à (3, 3) , les fonctions addition, multiplication, exponentiation et tétration donnent 6, 9, 27 et7 625 597 484 987 ( = 3 27 = 3 3 3 = 3 3 ) respectivement.

Limites de pouvoirs

Zéro à la puissance zéro donne un certain nombre d’exemples de limites qui sont de la forme indéterminée 0 0 . Les limites dans ces exemples existent, mais ont des valeurs différentes, montrant que la fonction à deux variables x y n’a pas de limite au point (0, 0) . On peut considérer à quels points cette fonction a une limite.

Plus précisément, considérons la fonction f ( x , y ) = x y définie sur D = {( x , y ) ∈ R 2 : x > 0}. Alors D peut être vu comme un sous-ensemble de R 2 (c’est-à-dire l’ensemble de toutes les paires ( x , y ) avec x , y appartenant à la ligne de nombres réels étendue R = [−∞, +∞] , doté du produit topologie), qui contiendra les points auxquels la fonction f a une limite.

En fait, f a une limite à tous les points d’accumulation de D , sauf pour (0, 0) , (+∞, 0) , (1, +∞) et (1, −∞) . [34] Cela permet donc de définir les puissances x y par continuité dès que 0 ≤ x ≤ +∞ , −∞ ≤ y ≤ +∞ , sauf pour 0 0 , (+∞) 0 , 1 +∞ et 1 −∞ , qui restent des formes indéterminées.

Sous cette définition par continuité, on obtient :

  • x +∞ = +∞ et x −∞ = 0 , quand 1 < x ≤ +∞ .
  • x +∞ = 0 et x −∞ = +∞ , quand 0 ≤ x < 1 .
  • 0 y = 0 et (+∞) y = +∞ , quand 0 < y ≤ +∞ .
  • 0 y = +∞ et (+∞) y = 0 , quand −∞ ≤ y < 0 .

Ces puissances sont obtenues en prenant des bornes de x y pour des valeurs positives de x . Cette méthode ne permet pas de définir x y lorsque x < 0 , puisque les couples ( x , y ) avec x < 0 ne sont pas des points d’accumulation de D .

D’autre part, lorsque n est un entier, la puissance x n est déjà significative pour toutes les valeurs de x , y compris les valeurs négatives. Cela peut rendre problématique la définition 0 n = +∞ obtenue ci-dessus pour n négatif lorsque n est impair, puisque dans ce cas x n → +∞ lorsque x tend vers 0 via des valeurs positives, mais pas négatives.

Calcul efficace avec des exposants entiers

Le calcul de b n à l’aide de la multiplication itérée nécessite n – 1 opérations de multiplication, mais il peut être calculé plus efficacement que cela, comme illustré par l’exemple suivant. Pour calculer 2 100 , appliquez la règle de Horner à l’Exposant 100 écrit en binaire :

100 = 2 2 + 2 5 + 2 6 = 2 2 ( 1 + 2 3 ( 1 + 2 ) ) {displaystyle 100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))} {displaystyle 100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))} {displaystyle 100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))}.

Calculez ensuite les termes suivants dans l’ordre, en lisant la règle de Horner de droite à gauche.

2 2 = 4
2 (2 2 ) = 2 3 = 8
(2 3 ) 2 = 2 6 = 64
(2 6 ) 2 = 2 12 =4096
(2 12 ) 2 = 2 24 =16 777 216
2 (2 24 ) = 2 25 =33 554 432
(2 25 ) 2 = 2 50 =1 125 899 906 842 624
(2 50 ) 2 = 2 100 =1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376

Cette série d’étapes ne nécessite que 8 multiplications au lieu de 99.

En général, le nombre d’opérations de multiplication nécessaires pour calculer b n peut être réduit à ♯ n + ⌊ log 2 ⁡ n ⌋ − 1 , {displaystyle sharp n+lfloor log _{2}nrfloor -1,} {displaystyle sharp n+lfloor log _{2}nrfloor -1,} {displaystyle sharp n+lfloor log _{2}nrfloor -1,}en utilisant l’exponentiation au carré , où ♯ n {displaystyle sharp n} {displaystyle sharp n} {displaystyle sharp n}désigne le nombre de 1 dans la représentation binaire de n . Pour certains exposants (100 n’en fait pas partie), le nombre de multiplications peut être encore réduit en calculant et en utilisant l’ exponentiation minimale de la chaîne d’addition . Trouver la séquence minimale de multiplications (la chaîne d’addition de longueur minimale pour l’Exposant) pour b n est un problème difficile, pour lequel aucun algorithme efficace n’est actuellement connu (voir Problème de somme de sous-ensemble ), mais de nombreux algorithmes heuristiques raisonnablement efficaces sont disponibles. [35] Cependant, dans les calculs pratiques, l’exponentiation par élévation au carré est assez efficace, et beaucoup plus facile à mettre en œuvre.

Fonctions itérées

La composition de fonctions est une opération binaire qui est définie sur des fonctions telles que le codomaine de la fonction écrite à droite est inclus dans le domaine de la fonction écrite à gauche. Il est noté g ∘ f , {displaystyle gcirc f,} {displaystyle gcirc f,} {displaystyle gcirc f,}et défini comme

( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) {displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))} {displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))} {displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))}

pour tout x dans le domaine de f .

Si le domaine d’une fonction f est égal à son codomaine, on peut composer la fonction avec elle-même un nombre arbitraire de fois, ce qui définit la n ième puissance de la fonction sous composition, communément appelée le n ième itéré de la fonction. Ainsi f n {displaystyle f^{n}} f^{n} f^{n}désigne généralement le n ième itéré de f ; par exemple, f 3 ( x ) {displaystyle f^{3}(x)} {displaystyle f^{3}(x)} {displaystyle f^{3}(x)}moyens f ( f ( f ( x ) ) ) . {displaystyle f(f(f(x))).} {displaystyle f(f(f(x))).} {displaystyle f(f(f(x))).}[36]

Lorsqu’une multiplication est définie sur le codomaine de la fonction, cela définit une multiplication sur les fonctions, la multiplication ponctuelle , qui induit une autre exponentiation. Lors de l’utilisation de la notation fonctionnelle , les deux types d’exponentiation sont généralement distingués en plaçant l’Exposant de l’itération fonctionnelle avant les parenthèses entourant les arguments de la fonction, et en plaçant l’Exposant de la multiplication ponctuelle après les parenthèses. Ainsi f 2 ( x ) = f ( f ( x ) ) , {displaystyle f^{2}(x)=f(f(x)),} {displaystyle f^{2}(x)=f(f(x)),} {displaystyle f^{2}(x)=f(f(x)),}et f ( x ) 2 = f ( x ) ⋅ f ( x ) . {displaystyle f(x)^{2}=f(x)cdot f(x).} {displaystyle f(x)^{2}=f(x)cdot f(x).} {displaystyle f(x)^{2}=f(x)cdot f(x).}Lorsque la notation fonctionnelle n’est pas utilisée, la désambiguïsation est souvent effectuée en plaçant le symbole de composition avant l’Exposant; par exemple f ∘ 3 = f ∘ f ∘ f , {displaystyle f^{circ 3}=fcirc fcirc f,} {displaystyle f^{circ 3}=fcirc fcirc f,} {displaystyle f^{circ 3}=fcirc fcirc f,}et f 3 = f ⋅ f ⋅ f . {displaystyle f^{3}=fcdot fcdot f.} {displaystyle f^{3}=fcdot fcdot f.} {displaystyle f^{3}=fcdot fcdot f.}Pour des raisons historiques, l’Exposant d’une multiplication répétée est placé avant l’argument pour certaines fonctions spécifiques, généralement les fonctions trigonométriques . Alors, sin 2 ⁡ x {displaystyle sin ^{2}x} sin ^{2}x sin ^{2}xet sin 2 ⁡ ( x ) {displaystyle sin ^{2}(x)} sin^2(x) sin^2(x)signifie les deux sin ⁡ ( x ) ⋅ sin ⁡ ( x ) {displaystyle sin(x)cdot sin(x)} {displaystyle sin(x)cdot sin(x)} {displaystyle sin(x)cdot sin(x)}et pas sin ⁡ ( sin ⁡ ( x ) ) , {displaystyle sin(sin(x)),} {displaystyle sin(sin(x)),} {displaystyle sin(sin(x)),}ce qui, de toute façon, est rarement pris en compte. Historiquement, plusieurs variantes de ces notations ont été utilisées par différents auteurs. [37] [38] [39]

Dans ce contexte, l’Exposant − 1 {displaystyle -1} -1 -1désigne toujours la fonction inverse , si elle existe. Alors sin − 1 ⁡ x = sin − 1 ⁡ ( x ) = arcsin ⁡ x . {displaystyle sin ^{-1}x=sin ^{-1}(x)=arcsin x.} {displaystyle sin ^{-1}x=sin ^{-1}(x)=arcsin x.} {displaystyle sin ^{-1}x=sin ^{-1}(x)=arcsin x.}Pour les fractions inverses multiplicatives sont généralement utilisées comme dans 1 / sin ⁡ ( x ) = 1 sin ⁡ x . {displaystyle 1/sin(x)={frac {1}{sin x}}.} {displaystyle 1/sin(x)={frac {1}{sin x}}.}

Dans les langages de programmation

Les langages de programmation expriment généralement l’exponentiation sous forme d’ opérateur infixe ou d’application de fonction, car ils ne prennent pas en charge les exposants. Le symbole d’opérateur le plus courant pour l’exponentiation est le caret ( ^). La version originale d’ASCII comprenait un symbole de flèche vers le haut ( ↑), destiné à l’exponentiation, mais cela a été remplacé par le caret en 1967, de sorte que le caret est devenu habituel dans les langages de programmation. [40] Les annotations incluent :

  • x ^ y: AWK , BASIC , J , MATLAB , Wolfram Language ( Mathematica ), R , Microsoft Excel , Analytica , TeX (et ses dérivés), TI-BASIC , bc (pour les exposants entiers), Haskell (pour les exposants entiers non négatifs), Lua et la plupart des systèmes d’algèbre informatique .
  • x ** y. Le jeu de caractères Fortran n’incluait pas de caractères minuscules ou de symboles de ponctuation autres que +-*/()&=.,’et donc utilisés **pour l’exponentiation. [41] De nombreux autres langages ont emboîté le pas : Ada , Z shell , KornShell , Bash , COBOL , CoffeeScript , Fortran , FoxPro , Gnuplot , Groovy , JavaScript , OCaml , F# , Perl , PHP , PL/I , Python , Rexx, Ruby , SAS , Seed7 , Tcl , ABAP , Mercury , Haskell (pour les exposants à virgule flottante), Turing , VHDL .
  • x ↑ y: Langage de référence Algol , Commodore BASIC , TRS-80 Niveau II/III BASIC . [42] [43]
  • x ^^ y: Haskell (pour base fractionnaire, exposants entiers), D .
  • x⋆y: APL .

Dans la plupart des langages de programmation avec un opérateur d’exponentiation infixe, il est associatif à droite , c’est-à- dire qu’il a^b^cest interprété comme a^(b^c). [44] C’est parce que (a^b)^cest égal à a^(b*c)et donc pas aussi utile. Dans certains langages, il est associatif à gauche, notamment dans Algol , Matlab et le langage de formule Microsoft Excel .

D’autres langages de programmation utilisent la notation fonctionnelle :

  • (expt x y): Lisp commun .
  • pown x y: F# (pour base entière, Exposant entier).

D’autres encore ne fournissent l’exponentiation que dans le cadre de bibliothèques standard :

  • pow(x, y): C , C++ (en mathbibliothèque).
  • Math.Pow(x, y): C# .
  • math:pow(X, Y): Erlang .
  • Math.pow(x, y): Java .
  • [Math]::Pow(x, y): PowerShell .

Voir également

  • icon iconPortail des mathématiques
  • Fonction exponentielle double
  • Décroissance exponentielle
  • Champ exponentiel
  • Croissance exponentielle
  • Liste des sujets exponentiels
  • Exponentiation modulaire
  • Notation scientifique
  • Indices et exposants Unicode
  • x y = y x
  • Zéro à la puissance zéro

Remarques

  1. ^ Plus généralement, l’associativité de puissance est suffisante pour la définition.

Références

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  12. Descartes, René (1637). « La Géométrie ». Discours de la méthode […] . Leyde : Jan Maire. p. 299. Et aa , ou a 2 , pour multiplicateur a par soy mesme; Et a 3 , pour le multiplicateur encore une fois par a , & ainsi a l’infini (Et aa , ou a 2 , pour multiplier a par lui-même; et a 3 , pour le multiplier encore une fois par a , et ainsi à l’infini).
  13. L’usage le plus récent dans ce sens cité par l’OED date de 1806 ( « involution » . Oxford English Dictionary (éd. en ligne). Oxford University Press . (Abonnement ou adhésion à une institution participante requise.) ).
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