Espace métrique complet

En analyse mathématique , un espace métrique M est dit complet (ou un espace de Cauchy ) si chaque séquence de Cauchy de points dans M a une limite qui est aussi dans M.

Intuitivement, un espace est complet s’il ne lui manque aucun “point” (à l’intérieur ou à la frontière). Par exemple, l’ensemble des nombres rationnels n’est pas complet, car par exemple 2 {displaystyle {sqrt {2}}} { sqrt {2}} lui “manque”, même si l’on peut construire une suite de Cauchy de nombres rationnels qui y converge (voir d’autres exemples ci-dessous). Il est toujours possible de “remplir tous les trous”, conduisant à la complétion d’un espace donné, comme expliqué ci-dessous.

Définition

Séquence de Cauchy

Une séquence X 1 , X 2 , X 3 , … {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots } x_1, x_2, x_3, ldots dans un espace métrique ( X , ré ) {displaystyle (X,d)} (X,d) s’appelle Cauchy si pour tout nombre réel positif r > 0 {displaystyle r>0} r > 0 il existe un entier positif N {displaystyle N} tel que pour tout entier positif m , n > N , {displaystyle m,n>N,}

d ( x m , x n ) < r . {displaystyle dleft(x_{m},x_{n}right)<r.} ${displaystyle dleft(x_{m},x_{n}right)<r.}$ ${displaystyle dleft(x_{m},x_{n}right)<r.}$

Constante de dilatation ^[1]

La constante d’expansion d’un espace métrique est l’ Infimum de toutes les constantes μ {textstylemu} {textstyle mu } de sorte que chaque fois que la famille { B ̄ ( x α , r α ) } {textstyle left{{overline {B}}(x_{alpha },,r_{alpha })right}} ${textstyle left{{overline {B}}(x_{alpha },,r_{alpha })right}}$ ${textstyle left{{overline {B}}(x_{alpha },,r_{alpha })right}}$ se coupe deux à deux, l’intersection ⋂ α B ̄ ( x α , μ r α ) {textstyle bigcap _{alpha }{overline {B}}(x_{alpha },mu r_{alpha })} ${textstyle bigcap _{alpha }{overline {B}}(x_{alpha },mu r_{alpha })}$ ${textstyle bigcap _{alpha }{overline {B}}(x_{alpha },mu r_{alpha })}$ est non vide.

Espace complet

Un espace métrique ( X , d ) {displaystyle (X,d)} (X,d) est complète si l’une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite :

Chaque séquence de Cauchy de points dans X {displaystyle X} a une limite qui est également dans X . {displaystyle X.}
Chaque séquence de Cauchy dans X {displaystyle X} converge en X {displaystyle X} (c’est-à-dire jusqu’à un certain point X {displaystyle X} ).
La constante d’expansion de ( X , d ) {displaystyle (X,d)} est ≤ 2. ^[1]
Toute séquence décroissante de sous- ensembles fermés non vides de X , {displaystyle X,} de diamètres tendant vers 0, a une intersection non vide : si F n {displaystyle F_{n}} $F_{n}$ $F_{n}$ est fermé et non vide, F n + 1 ⊆ F n {displaystyle F_{n+1}subsetq F_{n}} ${displaystyle F_{n+1}subseteq F_{n}}$ ${displaystyle F_{n+1}subsetq F_{n}}$ pour chaque n , {displaystyle n,} et diam ⁡ ( F n ) → 0 , {displaystyle operatorname {diam} left(F_{n}right)to 0,} ${displaystyle operatorname {diam} left(F_{n}right)to 0,}$ ${displaystyle operatorname {diam} left(F_{n}right)to 0,}$ alors il y a un point x ∈ X {displaystyle xdans X} commun à tous les ensembles F n . {displaystyle F_{n}.} ${displaystyle F_{n}.}$ ${displaystyle F_{n}.}$

Exemples

L’espace Q des nombres rationnels , avec la métrique standard donnée par la valeur absolue de la différence , n’est pas complet. Considérons par exemple la séquence définie par x 1 = 1 {style d’affichage x_{1}=1} ${displaystyle x_{1}=1}$ ${style d'affichage x_{1}=1}$ et x n + 1 = x n 2 + 1 x n . {displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}}{2}}+{frac {1}{x_{n}}}.} ${displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}}{2}}+{frac {1}{x_{n}}}.}$ ${displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}}{2}}+{frac {1}{x_{n}}}.}$ C’est une suite de Cauchy de nombres rationnels, mais elle ne converge vers aucune limite rationnelle : si la suite avait une limite x , {displaystyle x,} puis en résolvant x = x 2 + 1 x {displaystyle x={frac {x}{2}}+{frac {1}{x}}} ${displaystyle x={frac {x}{2}}+{frac {1}{x}}}$ ${displaystyle x={frac {x}{2}}+{frac {1}{x}}}$ nécessairement x 2 = 2 , {displaystyle x^{2}=2,} ${displaystyle x^{2}=2,}$ ${displaystyle x^{2}=2,}$ pourtant aucun nombre rationnel n’a cette propriété. Cependant, considéré comme une suite de nombres réels , il converge vers le nombre irrationnel 2 {displaystyle {sqrt {2}}} .

L’ intervalle ouvert (0,1) , toujours avec la métrique de valeur absolue, n’est pas complet non plus. La suite définie par x n = 1 n {displaystyle x_{n}={tfrac {1}{n}}} ${displaystyle x_{n}={tfrac {1}{n}}}$ ${displaystyle x_{n}={tfrac {1}{n}}}$ } est Cauchy, mais n’a pas de limite dans l’espace donné. Or l’ intervalle fermé [0,1] est complet ; par exemple, la séquence donnée a une limite dans cet intervalle et la limite est zéro.

L’espace R des nombres réels et l’espace C des nombres complexes (avec la métrique donnée par la valeur absolue) sont complets, ainsi que l’ espace euclidien R ⁿ , avec la métrique de distance usuelle . En revanche, les espaces vectoriels normés de dimension infinie peuvent ou non être complets; ceux qui sont complets sont des espaces de Banach . L’espace C [ a , b ] des fonctions continues à valeurs réelles sur un intervalle fermé et borné est un espace de Banach, donc un espace métrique complet, par rapport à la norme supremum. Cependant, la norme supremum ne donne pas de norme sur l’espace C ( a , b ) des fonctions continues sur ( a , b ) , car elle peut contenir des fonctions non bornées. Au lieu de cela, avec la topologie de convergence compacte , on peut donner à C ( a , b ) la structure d’un espace de Fréchet : un espace vectoriel topologique localement convexe dont la topologie peut être induite par une métrique complète invariante en translation.

L’espace Q _p des nombres p -adiques est complet pour tout nombre premier p . {displaystyle p.} Cet espace complète Q avec la métrique p -adique de la même façon que R complète Q avec la métrique usuelle.

Si S {displaystyle S} est un ensemble arbitraire, alors l’ensemble S ^N de toutes les suites de S {displaystyle S} devient un espace métrique complet si on définit la distance entre les séquences ( x n ) {displaystyle left(x_{n}right)} ${displaystyle left(x_{n}right)}$ ${displaystyle left(x_{n}right)}$ et ( y n ) {displaystyle left(y_{n}right)} ${displaystyle left(y_{n}right)}$ ${displaystyle left(y_{n}right)}$ être 1 N {displaystyle {tfrac {1}{N}}} ${tfrac {1}{N}}$ ${tfrac {1}{N}}$ où N {displaystyle N} est le plus petit indice pour lequel x N {displaystyle x_{N}} x_N est distinct de y N {displaystyle y_{N}} ${displaystyle y_{N}}$ ${displaystyle y_{N}}$ ou alors 0 {displaystyle 0} s’il n’y a pas un tel index. Cet espace est Homéomorphe au produit d’un nombre Dénombrable de copies de l’ espace discret S . {displaystyle S.}

Les variétés riemanniennes complètes sont appelées variétés géodésiques ; l’exhaustivité découle du théorème de Hopf-Rinow .

Quelques théorèmes

Chaque espace métrique compact est complet, bien que les espaces complets n’aient pas besoin d’être compacts. En effet, un espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et totalement borné . Il s’agit d’une généralisation du théorème de Heine-Borel , qui stipule que tout sous-espace fermé et borné S {displaystyle S} de R ⁿ est compact et donc complet. ^[2]

Laisser ( X , d ) {displaystyle (X,d)} (X,d) être un espace métrique complet. Si A ⊆ X {displaystyle Asubsetq X} Asubseteq X est un ensemble fermé, alors A {displaystyle A} est également complet. ^[3] Laissez ( X , d ) {displaystyle (X,d)} (X,d) être un espace métrique. Si A ⊆ X {displaystyle Asubsetq X} est un sous-espace complet, alors A {displaystyle A} est également fermé. ^[4]

Si X {displaystyle X} est un ensemble et M {displaystyle M} est un espace métrique complet, alors l’ensemble B ( X , M ) {displaystyle B(X,M)} de toutes les fonctions bornées f de X à M {displaystyle M} est un espace métrique complet. On définit ici la distance en B ( X , M ) {displaystyle B(X,M)} en termes de distance dans M {displaystyle M} avec la Norme suprême

d ( f , g ) ≡ sup { d [ f ( x ) , g ( x ) ] : x ∈ X } {displaystyle d(f,g)equiv sup{d[f(x),g(x)]:xin X}}

Si X {displaystyle X} est un espace topologique et M {displaystyle M} est un espace métrique complet, alors l’ensemble C b ( X , M ) {displaystyle C_{b}(X,M)} ${displaystyle C_{b}(X,M)}$ ${displaystyle C_{b}(X,M)}$ composé de toutes les fonctions bornées continues f : X → M {displaystyle f:Xà M} {displaystyle f:Xto M} est un sous-espace fermé de B ( X , M ) {displaystyle B(X,M)} et donc aussi complet.

Le théorème des catégories de Baire dit que tout espace métrique complet est un espace de Baire . C’est-à-dire que l’ union d’ innombrables sous-ensembles denses nulle part de l’espace a un intérieur vide .

Le théorème du point fixe de Banach stipule qu’une application de contraction sur un espace métrique complet admet un point fixe. Le théorème du point fixe est souvent utilisé pour prouver le théorème de la fonction inverse sur des espaces métriques complets tels que les espaces de Banach.

Learn more.

Isomorphisme

Jul 14, 2022

Premier article sur la théorie des ensembles de Cantor

Jul 12, 2022

Énergie gravitationnelle

Jul 9, 2022

Sphère de Riemann

Jul 8, 2022

Théorème ^[5] (C. Ursescu) — Soit X {displaystyle X} un espace métrique complet et soit S 1 , S 2 , … {displaystyle S_{1},S_{2},ldots } S_1, S_2, ldots être une séquence de sous-ensembles de X . {displaystyle X.}

Si chacun S i {displaystyle S_{i}} $S_{i}$ est fermé dans X {displaystyle X} alors cl ⁡ ( ⋃ i ∈ N int ⁡ S i ) = cl ⁡ int ⁡ ( ⋃ i ∈ N S i ) . {textstyle operatorname {cl} left(bigcup _{iin mathbb {N} }operatorname {int} S_{i}right)=operatorname {cl} operatorname {int} left( bigcup _{iin mathbb {N} }S_{i}right).} ${textstyle operatorname {cl} left(bigcup _{iin mathbb {N} }operatorname {int} S_{i}right)=operatorname {cl} operatorname {int} left(bigcup _{iin mathbb {N} }S_{i}right).}$ ${textstyle operatorname {cl} left(bigcup _{iin mathbb {N} }operatorname {int} S_{i}right)=operatorname {cl} operatorname {int} left( bigcup _{iin mathbb {N} }S_{i}right).}$
Si chacun S i {displaystyle S_{i}} $S_{i}$ est ouvert dans X {displaystyle X} alors int ⁡ ( ⋂ i ∈ N cl ⁡ S i ) = int ⁡ cl ⁡ ( ⋂ i ∈ N S i ) . {textstyle operatorname {int} left(bigcap _{iin mathbb {N} }operatorname {cl} S_{i}right)=operatorname {int} operatorname {cl} left( bigcap _{iin mathbb {N} }S_{i}right).} ${textstyle operatorname {int} left(bigcap _{iin mathbb {N} }operatorname {cl} S_{i}right)=operatorname {int} operatorname {cl} left(bigcap _{iin mathbb {N} }S_{i}right).}$ ${textstyle operatorname {int} left(bigcap _{iin mathbb {N} }operatorname {cl} S_{i}right)=operatorname {int} operatorname {cl} left( bigcap _{iin mathbb {N} }S_{i}right).}$

Achèvement

Pour tout espace métrique M , il est possible de construire un espace métrique complet M′ (que l’on note aussi M ̄ {displaystyle {overline {M}}} ), qui contient M comme Sous-espace dense . Il a la propriété universelle suivante : si N est tout espace métrique complet et f est toute Fonction uniformément continue de M vers N , alors il existe une unique Fonction uniformément continue f′ de M′ vers N qui prolonge f . L’espace M’ est déterminé à isométrie près par cette propriété (parmi tous les espaces métriques complets contenant isométriquement M ), et est appelé lel’ achèvement de M.

La complétion de M peut être construite comme un ensemble de classes d’équivalence de séquences de Cauchy dans M . Pour deux suites de Cauchy x ∙ = ( x n ) {displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)} ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)}$ ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)}$ et y ∙ = ( y n ) {displaystyle y_{bullet }=left(y_{n}right)} ${displaystyle y_{bullet }=left(y_{n}right)}$ ${displaystyle y_{bullet }=left(y_{n}right)}$ dans M , nous pouvons définir leur distance comme

d ( x ∙ , y ∙ ) = lim n d ( x n , y n ) {displaystyle dleft(x_{bullet },y_{bullet }right)=lim _{n}dleft(x_{n},y_{n}right)} ${displaystyle dleft(x_{bullet },y_{bullet }right)=lim _{n}dleft(x_{n},y_{n}right)}$ ${displaystyle dleft(x_{bullet },y_{bullet }right)=lim _{n}dleft(x_{n},y_{n}right)}$

(Cette limite existe car les nombres réels sont complets.) Ce n’est qu’une pseudométrique , pas encore une métrique, puisque deux séquences de Cauchy différentes peuvent avoir la distance 0. Mais “avoir une distance 0” est une relation d’équivalence sur l’ensemble de toutes les séquences de Cauchy séquences, et l’ensemble des classes d’équivalence est un espace métrique, la complétion de M . L’espace d’origine est plongé dans cet espace via l’identification d’un élément x de M’ avec la classe d’équivalence des suites dans M convergeant vers x (c’est-à-dire la classe d’équivalence contenant la suite de valeur constante x ). Ceci définit une isométriesur un Sous-espace dense, selon les besoins. Notez, cependant, que cette construction utilise explicitement l’exhaustivité des nombres réels, de sorte que l’achèvement des nombres rationnels nécessite un traitement légèrement différent.

La construction de Cantor des nombres réels est similaire à la construction ci-dessus ; les nombres réels sont l’achèvement des nombres rationnels en utilisant la valeur absolue ordinaire pour mesurer les distances. La subtilité supplémentaire à laquelle il faut faire face est qu’il n’est pas logiquement permis d’utiliser l’intégralité des nombres réels dans leur propre construction. Néanmoins, les classes d’équivalence des séquences de Cauchy sont définies comme ci-dessus, et l’ensemble des classes d’équivalence se révèle facilement être un champ qui a les nombres rationnels comme sous-champ. Ce corps est complet, admet un ordre total naturel , et est l’unique corps complet totalement ordonné (à isomorphisme près). Il est défini comme le corps des nombres réels (voir aussiConstruction des nombres réels pour plus de détails). Une façon de visualiser cette identification avec les nombres réels comme on le voit habituellement est que la classe d’équivalence constituée de ces séquences de Cauchy de nombres rationnels qui “devraient” avoir une limite réelle donnée est identifiée avec ce nombre réel. Les troncatures du développement décimal donnent un seul choix de séquence de Cauchy dans la classe d’équivalence concernée.

Pour un premier p , {displaystyle p,} la p {displaystyle p} -les nombres adiques surviennent en complétant les nombres rationnels par rapport à une métrique différente.

Si la procédure de complétion précédente est appliquée à un espace vectoriel normé , le résultat est un espace de Banach contenant l’espace d’origine en tant que Sous-espace dense, et si elle est appliquée à un espace de produit interne , le résultat est un espace de Hilbert contenant l’espace d’origine en tant que un Sous-espace dense.

Espaces topologiquement complets

La complétude est une propriété de la métrique et non de la topologie , ce qui signifie qu’un espace métrique complet peut être Homéomorphe à un espace non complet. Un exemple est donné par les nombres réels, qui sont complets mais homéomorphes à l’intervalle ouvert (0,1) , qui n’est pas complet.

En topologie on considère des espaces complètement métrisables , espaces pour lesquels il existe au moins une métrique complète induisant la topologie donnée. Les espaces complètement métrisables peuvent être caractérisés comme ces espaces qui peuvent être écrits comme une intersection d’innombrables sous-ensembles ouverts d’un espace métrique complet. Puisque la conclusion du théorème des catégories de Baire est purement topologique, elle s’applique également à ces espaces.

Les espaces complètement métrisables sont souvent appelés topologiquement complets . Cependant, ce dernier terme est quelque peu arbitraire puisque la métrique n’est pas la structure la plus générale sur un espace topologique pour laquelle on peut parler de complétude (voir la section Alternatives et généralisations ). En effet, certains auteurs utilisent le terme topologiquement complet pour une classe plus large d’espaces topologiques, les espaces complètement uniformisables . ^[6]

Un espace topologique Homéomorphe à un espace métrique complet séparable est appelé espace polonais .

Alternatives et généralisations

Étant donné que les séquences de Cauchy peuvent également être définies dans des groupes topologiques généraux , une alternative à l’utilisation d’une structure métrique pour définir l’exhaustivité et construire l’achèvement d’un espace consiste à utiliser une structure de groupe. Cela se voit le plus souvent dans le contexte des espaces vectoriels topologiques , mais ne nécessite que l’existence d’une opération de “soustraction” continue. Dans ce cadre, la distance entre deux points x {style d’affichage x} et y {displaystyle y} n’est pas mesuré par un nombre réel ε {displaystyle varepsilon} via la métrique d {displaystyle d} dans la comparaison d ( x , y ) < ε , {displaystyle ré(x,y)<varepsilon ,} {displaystyle d(x,y)<varepsilon ,} mais par un voisinage ouvert N {displaystyle N} de 0 {displaystyle 0} par soustraction dans la comparaison x − y ∈ N . {displaystyle xydans N.} {displaystyle x-yin N.}

Une généralisation courante de ces définitions peut être trouvée dans le contexte d’un espace uniforme , où un entourage est un ensemble de toutes les paires de points qui ne sont pas à plus d’une «distance» particulière les uns des autres.

Il est également possible de remplacer les séquences de Cauchy dans la définition de la complétude par des réseaux de Cauchy ou des filtres de Cauchy . Si chaque réseau de Cauchy (ou de manière équivalente chaque filtre de Cauchy) a une limite en X , {displaystyle X,} alors X {displaystyle X} est dit complet. On peut en outre construire une complétion pour un espace uniforme arbitraire similaire à la complétion des espaces métriques. La situation la plus générale dans laquelle les réseaux de Cauchy s’appliquent est celle des espaces de Cauchy ; ceux-ci ont aussi une notion de complétude et d’achèvement tout comme les espaces uniformes.

Voir également

Espace de Cauchy
Complétion (algèbre)
Espace uniforme complet
Espace vectoriel topologique complet – Un TVS où les points qui se rapprochent progressivement les uns des autres convergeront toujours vers un point
Le principe variationnel d’Ekeland
Théorème de Knaster-Tarski

Remarques

^ ^un ^b Grünbaum, B. (1960). “Quelques applications des constantes d’expansion” . Pacifique J. Math. 10 (1): 193-201. doi : 10.2140/pjm.1960.10.193 . Archivé de l’original le 2016-03-04.
^ Sutherland, Wilson A. (1975). Introduction aux espaces métriques et topologiques . ISBN 978-0-19-853161-6.
^ “Copie archivée” . Archivé de l’original le 2007-06-30 . Récupéré le 14/01/2007 . {{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ “Copie archivée” . Archivé de l’original le 2007-06-30 . Récupéré le 14/01/2007 . {{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Zalinescu, C. (2002). Analyse convexe dans les espaces vectoriels généraux . River Edge, NJ Londres: World Scientific. p. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112 .
^ Kelley, Problème 6.L, p. 208

Références

Kelley, John L. (1975). Topologie générale . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
Kreyszig, Erwin , Introduction à l’analyse fonctionnelle avec applications (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
Lang, Serge , “Analyse réelle et fonctionnelle” ISBN 0-387-94001-4
Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduction à l’analyse fonctionnelle . Ramanujan, MS (trad.). Oxford : Clarendon Press ; New York : presse universitaire d’Oxford. ISBN 0-19-851485-9.