Entier

Le symbole à double frappe , souvent utilisé pour désigner l’ensemble de tous les entiers (voir Z )

Un entier (du latin entier signifiant “tout”) ^[a] est familièrement défini comme un nombre qui peut être écrit sans composante fractionnaire . Par exemple, 21, 4, 0 et −2048 sont des nombres entiers, tandis que 9,75, 5+1/2, et √ 2 ne le sont pas.

L’ ensemble des nombres entiers est constitué de Zéro ( 0 ), des Nombres naturels positifs ( 1 , 2 , 3 , … ), aussi appelés nombres entiers ou nombres à compter , ^{[2] [3]} et de leurs inverses additifs (les nombres entiers négatifs , c’est-à-dire, -1 , -2, -3, …). L’ensemble des nombres entiers est souvent désigné par le gras ( Z ) ou le gras du tableau noir ( Z ) {displaystyle (mathbb {Z} )} lettre “Z” – représentant à l’origine le mot allemand Zahlen (“chiffres”). ^{[4] [5] [6]}

Z {displaystyle mathbb {Z} } est un sous- ensemble de l’ensemble de tous les nombres rationnels Q {displaystyle mathbb {Q}} , qui à son tour est un sous-ensemble des nombres réels R {displaystyle mathbb {R} } . Comme les Nombres naturels, Z {displaystyle mathbb {Z} } est dénombrable infini .

Les nombres entiers forment le plus petit groupe et le plus petit anneau contenant les Nombres naturels . En théorie algébrique des nombres , les entiers sont parfois qualifiés d’ entiers rationnels pour les distinguer des entiers algébriques plus généraux . En fait, les entiers (rationnels) sont des entiers algébriques qui sont aussi des nombres rationnels .

Symbole

Le symbole Z {displaystyle mathbb {Z} } peut être annoté pour désigner divers ensembles, avec une utilisation variable selon les différents auteurs : Z + {displaystyle mathbb {Z} ^{+}} $mathbb {Z} ^{+}$ $mathbb {Z} ^{+}$ , Z + {displaystyle mathbb {Z} _{+}} ${mathbb {Z}}_{+}$ ${mathbb {Z}}_{+}$ ou alors Z > {displaystyle mathbb {Z} ^{>}} ${displaystyle mathbb {Z} ^{>}}$ ${displaystyle mathbb {Z} ^{>}}$ pour les entiers positifs, Z 0 + {displaystyle mathbb {Z} ^{0+}} ${displaystyle mathbb {Z} ^{0+}}$ ${displaystyle mathbb {Z} ^{0+}}$ ou alors Z ≥ {displaystyle mathbb {Z} ^{geq }} ${displaystyle mathbb {Z} ^{geq }}$ ${displaystyle mathbb {Z} ^{geq }}$ pour les entiers non négatifs, et Z ≠ {displaystyle mathbb {Z} ^{neq }} ${displaystyle mathbb {Z} ^{neq }}$ ${displaystyle mathbb {Z} ^{neq }}$ pour les entiers non nuls. Certains auteurs utilisent Z ∗ {displaystyle mathbb {Z} ^{*}} ${displaystyle mathbb {Z} ^{*}}$ ${displaystyle mathbb {Z} ^{*}}$ pour les entiers non nuls, tandis que d’autres l’utilisent pour les entiers non négatifs, ou pour {–1, 1} . En outre, Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ est utilisé pour désigner soit l’ensemble des entiers modulo p (ie, l’ensemble des classes de congruence des entiers), soit l’ensemble des entiers p -adiques . ^{[7] [8] [9]}

Propriétés algébriques

Les nombres entiers peuvent être considérés comme des points discrets, également espacés sur une droite numérique infiniment longue . Dans ce qui précède, les entiers non négatifs sont affichés en bleu et les entiers négatifs en rouge.

Comme les Nombres naturels , Z {displaystyle mathbb {Z} } est fermé sous les opérations d’addition et de multiplication , c’est-à-dire que la somme et le produit de deux entiers quelconques est un entier. Cependant, avec l’inclusion des Nombres naturels négatifs (et surtout, 0 ), Z {displaystyle mathbb {Z} } , contrairement aux Nombres naturels, est également fermé par soustraction . ^[dix]

Les entiers forment un Anneau unitaire qui est le plus basique, dans le sens suivant : pour tout Anneau unitaire, il existe un homomorphisme d’anneau unique des entiers dans cet anneau. Cette propriété universelle , à savoir d’ être un Objet initial dans la catégorie des anneaux , caractérise l’ anneau . Z {displaystyle mathbb {Z} } .

Z {displaystyle mathbb {Z} } n’est pas fermé sous division , puisque le quotient de deux nombres entiers (par exemple, 1 divisé par 2) n’a pas besoin d’être un nombre entier. Bien que les Nombres naturels soient fermés sous exponentiation , les nombres entiers ne le sont pas (puisque le résultat peut être une fraction lorsque l’exposant est négatif).

Le tableau suivant répertorie certaines des propriétés de base de l’addition et de la multiplication Pour tous les entiers a , b et c :

Propriétés de l’addition et de la multiplication sur les entiers

Une addition	Multiplication
Fermeture :	a + b est un entier	a × b est un entier
Associativité :	une + ( b + c ) = ( une + b ) + c	une × ( b × c ) = ( une × b ) × c
Commutativité :	une + b = b + une	une × b = b × une
Existence d’un élément d’identité :	un + 0 = un	un × 1 = un
Existence d’ éléments inverses :	une + (− une ) = 0	Les seuls entiers inversibles (appelés unités ) sont −1 et 1 .
Distributivité :	une × ( b + c ) = ( une × b ) + ( une × c ) et ( une + b ) × c = ( une × c ) + ( b × c )
Pas de diviseurs nuls :	Si a × b = 0 , alors a = 0 ou b = 0 (ou les deux)

Les cinq premières propriétés énumérées ci-dessus pour l’ajout disent que Z {displaystyle mathbb {Z} } , sous addition, est un groupe abélien . C’est aussi un groupe cyclique , puisque tout entier non nul peut s’écrire comme une somme finie 1 + 1 + … + 1 ou (−1) + (−1) + … + (−1) . En réalité, Z {displaystyle mathbb {Z} } sous addition est le seul groupe cyclique infini – dans le sens où tout groupe cyclique infini est isomorphe à Z {displaystyle mathbb {Z} } .

Les quatre premières propriétés énumérées ci-dessus pour la multiplication disent que Z {displaystyle mathbb {Z} } sous multiplication est un Monoïde commutatif . Cependant, tous les entiers n’ont pas d’inverse multiplicatif (comme c’est le cas du nombre 2), ce qui signifie que Z {displaystyle mathbb {Z} } sous multiplication n’est pas un groupe.

Toutes les règles du tableau des propriétés ci-dessus (à l’exception de la dernière), prises ensemble, disent que Z {displaystyle mathbb {Z} } avec l’addition et la multiplication est un anneau commutatif avec l’unité . C’est le prototype de tous les objets d’une telle structure algébrique . Seules ces égalités d’ expressions sont vraies dans Z {displaystyle mathbb {Z} } pour toutes les valeurs de variables, qui sont vraies dans tout anneau commutatif unitaire. Certains entiers non nuls correspondent à Zéro dans certains anneaux.

L’absence de diviseurs nuls dans les entiers (dernière propriété du tableau) signifie que l’anneau commutatif Z {displaystyle mathbb {Z} } est un domaine intégral .

L’absence d’inverses multiplicatifs, ce qui équivaut au fait que Z {displaystyle mathbb {Z} } n’est pas fermé sous division, signifie que Z {displaystyle mathbb {Z} } n’est pas un champ . Le plus petit champ contenant les nombres entiers en sous- anneau est le champ des nombres rationnels . Le processus de construction des rationnels à partir des nombres entiers peut être imité pour former le champ des fractions de n’importe quel domaine intégral. Et retour, à partir d’un champ de nombres algébriques (une extension des nombres rationnels), son anneau d’entiers peut être extrait, qui comprend Z {displaystyle mathbb {Z} } comme son sous- anneau .

Bien que la division ordinaire ne soit pas définie sur Z {displaystyle mathbb {Z} } , la division “avec reste” est définie sur eux. Elle est appelée division euclidienne , et possède la propriété importante suivante : étant donné deux entiers a et b avec b ≠ 0 , il existe des entiers uniques q et r tels que a = q × b + r et 0 ≤ r < | b | , où | b | désigne la valeur absolue de b . L’entier q est appelé le quotient etr est appelé le reste de la division de a par b . L’ algorithme euclidien de calcul des plus grands diviseurs communs fonctionne par une séquence de divisions euclidiennes.

Ce qui précède dit que Z {displaystyle mathbb {Z} } est un domaine euclidien . Cela implique que Z {displaystyle mathbb {Z} } est un domaine idéal principal , et tout entier positif peut être écrit comme les produits de nombres premiers d’une manière essentiellement unique . ^[11] C’est le théorème fondamental de l’arithmétique .

Propriétés théoriques de l’ordre

Z {displaystyle mathbb {Z} } est un ensemble totalement ordonné sans borne supérieure ou inférieure . La commande de Z {displaystyle mathbb {Z} } est donnée par : :… −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < … Un entier est positif s’il est supérieur à Zéro et négatif s’il est inférieur à Zéro. Zéro est défini comme ni négatif ni positif.

L’ordre des entiers est compatible avec les opérations algébriques de la manière suivante :

si a < b et c < d , alors a + c < b + d
si a < b et 0 < c , alors ac < bc .

Ainsi il s’ensuit que Z {displaystyle mathbb {Z} } avec l’ordre ci-dessus est un anneau ordonné .

Les entiers sont le seul groupe abélien totalement ordonné non trivial dont les éléments positifs sont bien ordonnés . ^[12] Cela équivaut à l’affirmation selon laquelle tout anneau d’ évaluation noethérien est soit un corps — soit un anneau d’évaluation discret .

Construction

Representation of equivalence classes for the numbers −5 to 5 Les points rouges représentent des paires ordonnées de Nombres naturels . Les points rouges liés sont des classes d’équivalence représentant les entiers bleus à la fin de la ligne.

Dans l’enseignement primaire, les nombres entiers sont souvent intuitivement définis comme les Nombres naturels (positifs), Zéro et les négations des Nombres naturels. Cependant, ce style de définition conduit à de nombreux cas différents (chaque opération arithmétique doit être définie sur chaque combinaison de types d’entiers) et rend fastidieux de prouver que les entiers obéissent aux différentes lois de l’arithmétique. ^[13] Par conséquent, dans les mathématiques modernes de la théorie des ensembles, une construction plus abstraite ^[14] permettant de définir des opérations arithmétiques sans aucune distinction de cas est souvent utilisée à la place. ^[15] Les nombres entiers peuvent ainsi être formellement construits comme les classes d’équivalence de paires ordonnées denombres naturels ( a , b ) . ^[16]

L’intuition est que ( a , b ) représente le résultat de la soustraction de b de a . ^[16] Pour confirmer notre attente que 1 − 2 et 4 − 5 dénotent le même nombre, nous définissons une relation d’équivalence ~ sur ces paires avec la règle suivante :

( a , b ) ∼ ( c , d ) {displaystyle (a,b)sim (c,d)}

précisément quand

a + d = b + c . {displaystyle a+d=b+c.}

L’addition et la multiplication d’entiers peuvent être définies en termes d’opérations équivalentes sur les Nombres naturels ; ^[16] en utilisant [( a , b )] pour désigner la classe d’équivalence ayant ( a , b ) comme membre, on a :

[ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] := [ ( a + c , b + d ) ] . {displaystyle [(a,b)]+[(c,d)] :=[(a+c,b+d)].} {displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].} [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c , d ) ] := [ ( a c + b d , a d + b c ) ] . {displaystyle [(a,b)]cdot [(c,d)] :=[(ac+bd,ad+bc)].}

La négation (ou inverse additif) d’un entier s’obtient en inversant l’ordre du couple :

− [ ( a , b ) ] := [ ( b , a ) ] . {displaystyle -[(a,b)] :=[(b,a)].} {displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}

Par conséquent, la soustraction peut être définie comme l’addition de l’inverse additif :

[ ( a , b ) ] − [ ( c , d ) ] := [ ( a + d , b + c ) ] . {displaystyle [(a,b)]-[(c,d)] :=[(a+d,b+c)].} {displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}

Learn more.

Isomorphisme

Jul 14, 2022

Ensemble dénombrable

Jul 13, 2022

Premier article sur la théorie des ensembles de Cantor

Jul 12, 2022

Nombre réel

Jul 11, 2022

L’ordre standard sur les entiers est donné par :

[ ( a , b ) ] < [ ( c , d ) ] {displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]} si et seulement si a + d < b + c . {displaystyle a+d<b+c.}

On vérifie aisément que ces définitions sont indépendantes du choix des représentants des classes d’équivalence.

Chaque classe d’équivalence a un membre unique qui est de la forme ( n ,0) ou (0, n ) (ou les deux à la fois). Le nombre naturel n est identifié avec la classe [( n ,0)] (c’est-à-dire que les Nombres naturels sont incorporés dans les entiers par map envoyant n à [( n ,0)] ), et la classe [(0, n ) ] est noté − n (ceci couvre toutes les classes restantes, et donne la classe [(0,0)] une seconde fois puisque −0 = 0.

Ainsi, [( a , b )] est noté

{ a − b , if a ≥ b − ( b − a ) , if a < b . {displaystyle {begin{cases}ab,&{mbox{if }}ageq b\-(ba),&{mbox{if }}a<b.end{cases}}} ${begin{cases}a-b,&{mbox{if }}ageq b\-(b-a),&{mbox{if }}a<b.end{cases}}$ ${begin{cases}a-b,&{mbox{if }}ageq b\-(b-a),&{mbox{if }}a<b.end{cases}}$

Si les Nombres naturels sont identifiés avec les entiers correspondants (en utilisant l’intégration mentionnée ci-dessus), cette convention ne crée aucune ambiguïté.

Cette notation récupère la représentation familière des entiers comme {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} .

Certains exemples sont:

0 = [ ( 0 , 0 ) ] = [ ( 1 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k , k ) ] 1 = [ ( 1 , 0 ) ] = [ ( 2 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k + 1 , k ) ] − 1 = [ ( 0 , 1 ) ] = [ ( 1 , 2 ) ] = ⋯ = [ ( k , k + 1 ) ] 2 = [ ( 2 , 0 ) ] = [ ( 3 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k + 2 , k ) ] − 2 = [ ( 0 , 2 ) ] = [ ( 1 , 3 ) ] = ⋯ = [ ( k , k + 2 ) ] . {displaystyle {begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=cdots &&=[(k,k)]\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=cdots &&=[(k+1,k)]\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=cdots &&=[(k,k+1)]\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=cdots &&=[(k+2,k)]\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=cdots &&=[(k,k+2)].end{aligned}}} ${begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=cdots &&=[(k,k)]\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=cdots &&=[(k+1,k)]\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=cdots &&=[(k,k+1)]\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=cdots &&=[(k+2,k)]\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=cdots &&=[(k,k+2)].end{aligned}}$ ${begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=cdots &&=[(k,k)]\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=cdots &&=[(k+1,k)]\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=cdots &&=[(k,k+1)]\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=cdots &&=[(k+2,k)]\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=cdots &&=[(k,k+2)].end{aligned}}$

En informatique théorique, d’autres approches pour la construction d’entiers sont utilisées par les démonstrateurs de théorèmes automatisés et les moteurs de réécriture de termes . Les nombres entiers sont représentés comme des termes algébriques construits en utilisant quelques opérations de base (par exemple, Zéro , succ , pred ) et, éventuellement, en utilisant des Nombres naturels , qui sont supposés être déjà construits (en utilisant, par exemple, l’ approche de Peano ).

Il existe au moins dix constructions de ce type d’entiers signés. ^[17] Ces constructions diffèrent de plusieurs manières : le nombre d’opérations de base utilisées pour la construction, le nombre (généralement, entre 0 et 2) et les types d’arguments acceptés par ces opérations ; la présence ou l’absence de Nombres naturels comme arguments de certaines de ces opérations, et le fait que ces opérations sont des constructeurs libres ou non, c’est-à-dire qu’un même entier peut être représenté par un ou plusieurs termes algébriques.

La technique de construction des nombres entiers présentée ci-dessus dans cette section correspond au cas particulier où il existe un seul couple d’opérations de base ( x , y ) {displaystyle (x,y)} (x,y) qui prend comme arguments deux Nombres naturels x {style d’affichage x} et y {displaystyle y} , et renvoie un entier (égal à x − y {displaystyle xy} x-y ). Cette opération n’est pas gratuite puisque l’entier 0 peut s’écrire couple (0,0), ou couple (1,1), ou couple (2,2), etc. Cette technique de construction est utilisée par l’ assistante de preuve Isabelle ; cependant, de nombreux autres outils utilisent des techniques de construction alternatives, notamment celles basées sur des constructeurs libres, qui sont plus simples et peuvent être implémentées plus efficacement dans les ordinateurs.

L’informatique

Un entier est souvent un type de données primitif dans les langages informatiques . Cependant, les types de données entiers ne peuvent représenter qu’un sous- ensemble de tous les entiers, car les ordinateurs pratiques ont une capacité finie. De plus, dans la représentation commune du complément à deux , la définition inhérente du signe fait la distinction entre “négatif” et “non négatif” plutôt que “négatif, positif et 0”. (Cependant, il est certainement possible pour un ordinateur de déterminer si une valeur entière est vraiment positive.) Les types de données d’approximation d’entier de longueur fixe (ou sous-ensembles) sont notés int ou Integer dans plusieurs langages de programmation (tels que Algol68 , C , Java, Delphes , etc.).

Les représentations de longueur variable d’entiers, telles que bignums , peuvent stocker n’importe quel entier pouvant tenir dans la mémoire de l’ordinateur. D’autres types de données entiers sont implémentés avec une taille fixe, généralement un nombre de bits qui est une puissance de 2 (4, 8, 16, etc.) ou un nombre mémorable de chiffres décimaux (par exemple, 9 ou 10).

Cardinalité

La cardinalité de l’ensemble des entiers est égale à א ₀ ( aleph-null ). Ceci est facilement démontré par la construction d’une bijection , c’est-à-dire une fonction injective et surjective à partir de Z {displaystyle mathbb {Z} } pour N = { 0 , 1 , 2 , . . . } . {displaystyle mathbb {N} ={0,1,2,…}.} Une telle fonction peut être définie comme

f ( x ) = { − 2 x , if x ≤ 0 2 x − 1 , if x > 0 , {displaystyle f(x)={begin{cases}-2x,&{mbox{if }}xleq 0\2x-1,&{mbox{if }}x>0,end{ cas}}} ${displaystyle f(x)={begin{cases}-2x,&{mbox{if }}xleq 0\2x-1,&{mbox{if }}x>0,end{cases}}}$ ${displaystyle f(x)={begin{cases}-2x,&{mbox{if }}xleq 0\2x-1,&{mbox{if }}x>0,end{cases}}}$

avec graphe (ensemble des couples ( x , f ( x ) ) {displaystyle (x,f(x))} (x, f(x)) est

{… (−4,8), (−3,6), (−2,4), (−1,2), (0,0), (1,1), (2,3), (3,5), …} .

Sa fonction inverse est définie par

{ g ( 2 x ) = − x g ( 2 x − 1 ) = x , {displaystyle {begin{cases}g(2x)=-x\g(2x-1)=x,end{cases}}} ${displaystyle {begin{cases}g(2x)=-x\g(2x-1)=x,end{cases}}}$ ${displaystyle {begin{cases}g(2x)=-x\g(2x-1)=x,end{cases}}}$

avec graphique

{(0, 0), (1, 1), (2, -1), (3, 2), (4, -2), (5, -3), …} .

Voir également

Portail des mathématiques

Factorisation canonique d’un entier positif
Hyperentier
Complexité entière
Réseau entier
Partie entière
Séquence d’entiers
Fonction à valeur entière
Symboles mathématiques
Parité (mathématiques)
Entier profini

Systèmes de numération

Complexe : C {displaystyle :;mathbb {C} }

Réel : R {displaystyle :;mathbb {R} }

Rationnel : Q {displaystyle :;mathbb {Q}} {displaystyle :;mathbb {Q} }

Entier : Z {displaystyle :;mathbb {Z} }

Naturel : N {displaystyle :;mathbb {N} }

Zéro : 0

Un : 1

nombres premiers

Nombres composés

Entiers négatifs

Fraction

Décimal fini

Dyadique (binaire fini)

Décimal répétitif

Irrationnel

Algébrique irrationnel

Transcendantal

Imaginaire

Notes de bas de page

↑ Le premier sens littéral d’ Integer en latin est “intact”, de in (“pas”) plus tangere (“toucher”). « Entier » dérive de la même origine via lemot français entier , qui signifie à la fois entier et entier . ^[1]

Références

^ Evans, Nick (1995). “A-quantificateurs et portée”. Dans Bach, Emmon W. (éd.). Quantification en langues naturelles . Dordrecht, Pays-Bas ; Boston, MA : Éditeurs académiques Kluwer. p. 262.ISBN _ 978-0-7923-3352-4.
^ Weisstein, Eric W. “Compter le nombre” . MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. “Nombre entier” . MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. “Entier” . mathworld.wolfram.com . Récupéré le 11 août 2020 .
^ Miller, Jeff (29 août 2010). “Les premières utilisations des symboles de la théorie des nombres” . Archivé de l’original le 31 janvier 2010 . Récupéré le 20 septembre 2010 .
^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction à l’algèbre . Presse universitaire d’Oxford. p. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Archivé de l’original le 8 décembre 2016 . Récupéré le 15 février 2016 .
^ Keith Pledger et Dave Wilkins, “Mathématiques modulaires Edexcel AS et A Level: Core Mathematics 1” Pearson 2008
^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, “Mathématiques avancées”, Livre 2, Longman 1975.
^ Weisstein, Eric W. “Z ^ *” . MathWorld .
^ “Entier | mathématiques” . Encyclopédie Britannica . Récupéré le 11 août 2020 .
^ Serge, Lang (1993). Algèbre (3e éd.). Addison-Wesley. p. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
^ Warner, Seth (2012). Algèbre moderne . Livres de Douvres sur les mathématiques. Société de messagerie. Théorème 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Archivé de l’original le 6 septembre 2015 . Récupéré le 29 avril 2015 ..
^ Mendelson, Elliott (2008). Systèmes de nombres et fondements de l’analyse . Livres de Douvres sur les mathématiques. Courrier Douvres Publications. p. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Archivé de l’original le 8 décembre 2016 . Récupéré le 15 février 2016 ..
^ Ivorra Castillo: Algèbre
^ Frobisher, Len (1999). Apprendre à enseigner le nombre : un manuel pour les élèves et les enseignants de l’école primaire . La série Stanley Thornes sur l’enseignement des mathématiques au primaire. Nelson Thornes. p. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Archivé de l’original le 8 décembre 2016 . Récupéré le 15 février 2016 ..
^ ^un ^bc ^Campbell , Howard E. (1970). La structure de l’arithmétique . Appleton-Century-Crofts. p. 83 . ISBN 978-0-390-16895-5.
^ Garavel, Hubert (2017). Sur l’axiomatisation la plus appropriée des entiers signés . Post-actes du 23e Atelier international sur les techniques de développement algébrique (WADT’2016). Notes de cours en informatique. Vol. 10644. Springer. p. 120–134. doi : 10.1007/978-3-319-72044-9_9 . Archivé de l’original le 26 janvier 2018 . Récupéré le 25 janvier 2018 .

Sources

Bell, ET , Hommes de Mathématiques . New York: Simon & Schuster, 1986. (Relié; ISBN 0-671-46400-0 )/(Broché; ISBN 0-671-62818-6 )
Herstein, IN, Sujets d’algèbre , Wiley ; 2 édition (20 juin 1975), ISBN 0-471-01090-1 .
Mac Lane, Saunders et Garrett Birkhoff ; Algèbre , Société mathématique américaine ; 3e édition (1999). ISBN 0-8218-1646-2 .

Liens externes

Recherchez un entier dans Wiktionary, le dictionnaire gratuit.

“Entier” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
Les entiers positifs – tableaux de diviseurs et outils de représentation numérique
Encyclopédie en ligne des séquences entières cf OEIS
Weisstein, Eric W. “Entier” . MathWorld .

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