Cylindre

Un cylindre (du grec : κύλινδρος , romanisé : kulindros , lit. ‘rouleau’, ‘gobelet’ ^[1] ) est traditionnellement un solide tridimensionnel , l’une des formes géométriques curvilignes les plus élémentaires . Géométriquement , il peut être considéré comme un prisme dont la base est un cercle .

Un cylindre de hauteur h et de diamètre d

Cette vue traditionnelle est toujours utilisée dans les traitements élémentaires de la géométrie, mais le point de vue mathématique avancé s’est déplacé vers la surface Curviligne infinie et c’est ainsi qu’un cylindre est maintenant défini dans diverses branches modernes de la géométrie et de la topologie .

Le changement de sens de base (solide versus surface) a créé une certaine ambiguïté avec la terminologie. On espère généralement que le contexte rend le sens clair. Les deux points de vue sont généralement présentés et distingués en se référant aux cylindres solides et aux surfaces cylindriques , mais dans la littérature, le terme cylindre sans fioritures pourrait faire référence à l’un ou à l’autre ou à un objet encore plus spécialisé, le cylindre circulaire droit .

Les types

Les définitions et les résultats de cette section sont tirés du texte de 1913 Plane and Solid Geometry de George Wentworth et David Eugene Smith ( Wentworth & Smith 1913 ).

Une surface cylindrique est une surface constituée de tous les points de toutes les droites qui sont parallèles à une droite donnée et qui passent par une courbe plane fixe dans un plan non parallèle à la droite donnée. Toute droite de cette famille de droites parallèles est appelée élément de la surface cylindrique. D’un point de vue cinématique , étant donné une courbe plane, appelée directrice , une surface cylindrique est cette surface tracée par une droite, appelée génératrice , non dans le plan de la directrice, se déplaçant parallèlement à elle-même et passant toujours par la directrice . Toute position particulière de la génératrice est un élément de la surface cylindrique.

Un cylindre circulaire droit et oblique

Un solide délimité par une surface cylindrique et deux Plans parallèles est appelé un cylindre (solide) . Les segments de droite déterminés par un élément de la surface cylindrique entre les deux Plans parallèles s’appellent un élément du cylindre . Tous les éléments d’un cylindre ont des longueurs égales. La région délimitée par la surface cylindrique dans l’un ou l’autre des Plans parallèles est appelée base du cylindre. Les deux bases d’un cylindre sont des figures congruentes . Si les éléments du cylindre sont perpendiculaires aux plans contenant les bases, le cylindre est un cylindre droit , sinon on l’appelle un cylindre oblique . Si les bases sontdisques (régions dont la limite est un cercle ) le cylindre est appelé un cylindre circulaire . Dans certains traitements élémentaires, un cylindre signifie toujours un cylindre circulaire. ^[2]

La hauteur (ou altitude) d’un cylindre est la distance perpendiculaire entre ses bases.

Le cylindre obtenu en faisant tourner un segment de droite autour d’une droite fixe à laquelle il est parallèle est un cylindre de révolution . Un cylindre de révolution est un cylindre droit circulaire. La hauteur d’un cylindre de révolution est la longueur du segment de génératrice. La ligne autour de laquelle tourne le segment s’appelle l’ axe du cylindre et passe par les centres des deux bases.

Un cylindre circulaire droit de rayon r et de hauteur h

Cylindres circulaires droits

Le terme cylindre nu fait souvent référence à un cylindre solide avec des extrémités circulaires perpendiculaires à l’axe, c’est-à-dire un cylindre circulaire droit, comme le montre la figure. La surface cylindrique sans les extrémités s’appelle un cylindre ouvert . Les formules de la surface et du volume d’un cylindre circulaire droit sont connues depuis la plus haute antiquité.

Un cylindre circulaire droit peut également être considéré comme le solide de révolution généré par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés. Ces cylindres sont utilisés dans une technique d’intégration (la “méthode des disques”) pour obtenir des volumes de solides de révolution. ^[3]

Propriétés

Sections cylindriques

Section cylindrique

Une section cylindrique est l’intersection de la surface d’un cylindre avec un plan . Ce sont, en général, des courbes et des types particuliers de sections planes . La section cylindrique par un plan qui contient deux éléments d’un cylindre est un parallélogramme . ^[4] Une telle section cylindrique d’un cylindre droit est un rectangle . ^[4]

Une section cylindrique dans laquelle le plan d’intersection se coupe et est perpendiculaire à tous les éléments du cylindre est appelée section droite . ^[5] Si une section droite d’un cylindre est un cercle alors le cylindre est un cylindre circulaire. De manière plus générale, si une section droite d’un cylindre est une section conique (parabole, ellipse, hyperbole) alors le cylindre solide est dit respectivement parabolique, elliptique et hyperbolique.

Sections cylindriques d’un cylindre circulaire droit

Pour un cylindre circulaire droit, il existe plusieurs façons dont les plans peuvent rencontrer un cylindre. Premièrement, les plans qui coupent une base en au plus un point. Un plan est tangent au cylindre s’il rencontre le cylindre en un seul élément. Les sections de droite sont des cercles et tous les autres plans coupent la surface cylindrique en une ellipse . ^[6] Si un plan coupe une base du cylindre en exactement deux points, alors le segment de droite joignant ces points fait partie de la section cylindrique. Si un tel plan contient deux éléments, il a un rectangle comme section cylindrique, sinon les côtés de la section cylindrique sont des portions d’ellipse. Enfin, si un plan contient plus de deux points d’une base, il contient toute la base et la section cylindrique est un cercle.

Dans le cas d’un cylindre droit circulaire de section cylindrique qui est une ellipse, l’ excentricité e de la section cylindrique et le Demi-grand axe a de la section cylindrique dépendent du rayon du cylindre r et de l’angle α entre le plan sécant et l’axe du cylindre, de la manière suivante :

e = cos ⁡ α , {displaystyle e=cos alpha ,} a = r sin ⁡ α . {displaystyle a={frac {r}{sin alpha }}.} ${displaystyle a={frac {r}{sin alpha }}.}$ ${displaystyle a={frac {r}{sin alpha }}.}$

Le volume

Si la base d’un cylindre circulaire a un rayon r et que le cylindre a une hauteur h , alors son volume est donné par

V = π r ²h .

Cette formule tient si oui ou non le cylindre est un cylindre droit. ^[7]

Cette formule peut être établie en utilisant le principe de Cavalieri .

Un cylindre elliptique solide avec les demi-axes a et b pour l’ellipse de base et la hauteur h

De manière plus générale, par le même principe, le volume de tout cylindre est le produit de l’aire d’une base par la hauteur. Par exemple, un cylindre elliptique avec une base ayant un Demi-grand axe a , un demi-petit axe b et une hauteur h a un volume V = Ah , où A est l’aire de l’ellipse de base (= π ab ). Ce résultat pour les cylindres elliptiques droits peut également être obtenu par intégration, où l’axe du cylindre est pris comme l’ axe x positif et A ( x ) = A l’aire de chaque section elliptique, ainsi :

V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {displaystyle V=int _{0}^{h}A(x)dx=int _{0}^{h}pi abdx=pi abint _{0}^{h}dx= pi abh.} ${displaystyle V=int _{0}^{h}A(x)dx=int _{0}^{h}pi abdx=pi abint _{0}^{h}dx=pi abh.}$ ${displaystyle V=int _{0}^{h}A(x)dx=int _{0}^{h}pi abdx=pi abint _{0}^{h}dx=pi abh.}$

En utilisant les Coordonnées cylindriques , le volume d’un cylindre circulaire droit peut être calculé par intégration sur

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d φ d z {displaystyle =int _{0}^{h}int _{0}^{2pi }int _{0}^{r}s,,ds,dphi ,dz } $=int_{0}^{h} int_{0}^{2pi} int_{0}^{r} s ,, ds , dphi , dz$ $=int_{0}^{h} int_{0}^{2pi} int_{0}^{r} s ,, ds , dphi , dz$ = π r 2 h . {displaystyle =pi ,r^{2},h.} ${displaystyle =pi ,r^{2},h.}$ ${displaystyle =pi ,r^{2},h.}$

Superficie

Ayant un rayon r et une altitude (hauteur) h , la surface d’un cylindre circulaire droit, orienté de sorte que son axe soit vertical, se compose de trois parties :

l’aire de la base supérieure : π r ²
l’aire de la base inférieure : π r ²
l’aire du côté : 2π rh

L’aire des bases supérieure et inférieure est la même et s’appelle l’ aire de base , B . L’aire du côté est appelée aire latérale , L .

Un cylindre ouvert ne comprend ni éléments supérieurs ni éléments inférieurs, et a donc une surface (zone latérale)

L = 2π rh .

La surface du cylindre circulaire droit solide est constituée de la somme des trois composants : haut, bas et côté. Sa superficie est donc de

UNE = L + 2 B = 2π rh + 2π r ² = 2π r ( h + r ) = π ré ( r + h ) ,

où d = 2 r est le diamètre du haut ou du bas circulaire.

Pour un volume donné, le cylindre circulaire droit avec la plus petite surface a h = 2 r . De manière équivalente, pour une surface donnée, le cylindre circulaire droit avec le plus grand volume a h = 2 r , c’est-à-dire que le cylindre s’insère parfaitement dans un cube de longueur de côté = altitude ( = diamètre du cercle de base). ^[8]

L’aire latérale, L , d’un cylindre circulaire, qui n’a pas besoin d’être un cylindre droit, est plus généralement donnée par :

L = e × p ,

où e est la longueur d’un élément et p est le périmètre d’une section droite du cylindre. ^[9] Cela produit la formule précédente pour l’aire latérale lorsque le cylindre est un cylindre circulaire droit.

Cylindre creux

Cylindre creux circulaire droit (coque cylindrique)

Un cylindre creux circulaire droit (ou coque cylindrique ) est une région tridimensionnelle délimitée par deux cylindres circulaires droits ayant le même axe et deux bases annulaires parallèles perpendiculaires à l’axe commun des cylindres, comme sur le schéma.

Soit la hauteur h , le rayon interne r et le rayon externe R . Le volume est donné par

V = π ( R 2 − r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R − r ) . {displaystyle V=pi (R^{2}-r^{2})h=2pi left({frac {R+r}{2}}right)h(Rr).} ${displaystyle V=pi (R^{2}-r^{2})h=2pi left({frac {R+r}{2}}right)h(R-r).}$ ${displaystyle V=pi (R^{2}-r^{2})h=2pi left({frac {R+r}{2}}right)h(R-r).}$ .

Ainsi, le volume d’une coque cylindrique vaut 2 π (rayon moyen)(altitude)(épaisseur). ^[dix]

La surface, y compris le haut et le bas, est donnée par

A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 − r 2 ) . {displaystyle A=2pi (R+r)h+2pi (R^{2}-r^{2}).} ${displaystyle A=2pi (R+r)h+2pi (R^{2}-r^{2}).}$ ${displaystyle A=2pi (R+r)h+2pi (R^{2}-r^{2}).}$ .

Les coques cylindriques sont utilisées dans une technique d’intégration courante pour trouver des volumes de solides de révolution. ^[11]

Sur la sphère et le cylindre

Une sphère a 2/3 du volume et de la surface de son cylindre circonscrit, y compris ses bases

Dans le traité de ce nom, écrit c. 225 avant notre ère, Archimède obtient le résultat dont il est le plus fier, à savoir obtenir les formules du volume et de la surface d’une sphère en exploitant la relation entre une sphère et son cylindre circulaire droit circonscrit de même hauteur et diamètre . La sphère a un volume égal aux deux tiers de celui du cylindre circonscrit et une surface égale aux deux tiers de celle du cylindre (y compris les bases). Les valeurs du cylindre étant déjà connues, il obtient pour la première fois les valeurs correspondantes de la sphère. Le volume d’une sphère de rayon r est4/3π r ³ = 2/3(2 π r ³ ) . La surface de cette sphère est de 4 π r ² = 2/3(6 π r ² ) . Une sphère et un cylindre sculptés ont été placés sur la tombe d’Archimède à sa demande.

Surfaces cylindriques

Dans certains domaines de la géométrie et de la topologie, le terme cylindre fait référence à ce qu’on a appelé une surface cylindrique . Un cylindre est défini comme une surface constituée de tous les points de toutes les droites qui sont parallèles à une droite donnée et qui passent par une courbe plane fixe dans un plan non parallèle à la droite donnée. ^[12] Ces cylindres ont parfois été appelés cylindres généralisés . Par chaque point d’un cylindre généralisé passe une ligne unique contenue dans le cylindre. ^[13] Ainsi, cette définition peut être reformulée pour dire qu’un cylindre est n’importe quelle surface réglée couverte par une famille à un paramètre de Lignes parallèles.

Un cylindre dont la section droite est une ellipse , une parabole ou une hyperbole est appelé respectivement cylindre elliptique , cylindre parabolique et cylindre hyperbolique . Ce sont des surfaces quadriques dégénérées . ^[14]

Cylindre parabolique

Lorsque les axes principaux d’un quadrique sont alignés avec le référentiel (toujours possible pour un quadrique), une équation générale du quadrique en trois dimensions est donnée par

f ( x , y , z ) = A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x + E y + G z + H = 0 , {displaystyle f(x,y,z)=Axe^{2}+Par^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,} ${displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$ ${displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$

avec les coefficients étant des nombres réels et non tous A , B et C étant 0. Si au moins une variable n’apparaît pas dans l’équation, alors la quadrique est dégénérée. Si une variable manque, on peut supposer par une rotation appropriée des axes que la variable z n’apparaît pas et l’équation générale de ce type de quadrique dégénérée peut s’écrire ^[15]

A ( x + D 2 A ) 2 + B ( y + E 2 B ) 2 = ρ , {displaystyle Aleft(x+{frac {D}{2A}}right)^{2}+Bleft(y+{frac {E}{2B}}right)^{2}= rho ,} ${displaystyle Aleft(x+{frac {D}{2A}}right)^{2}+Bleft(y+{frac {E}{2B}}right)^{2}=rho ,}$ ${displaystyle Aleft(x+{frac {D}{2A}}right)^{2}+Bleft(y+{frac {E}{2B}}right)^{2}=rho ,}$

où

ρ = − H + D 2 4 A + E 2 4 B . {displaystyle rho =-H+{frac {D^{2}}{4A}}+{frac {E^{2}}{4B}}.} ${displaystyle rho =-H+{frac {D^{2}}{4A}}+{frac {E^{2}}{4B}}.}$ ${displaystyle rho =-H+{frac {D^{2}}{4A}}+{frac {E^{2}}{4B}}.}$

Cylindre elliptique

Si AB > 0 c’est l’équation d’un cylindre elliptique . ^[15] Une simplification supplémentaire peut être obtenue par translation des axes et multiplication scalaire. Si ρ {style d’affichage rho} rho a le même signe que les coefficients A et B , alors l’équation d’un cylindre elliptique peut être réécrite en Coordonnées cartésiennes comme :

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}+left({frac {y}{b}}right)^{2}=1.} ${displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}+left({frac {y}{b}}right)^{2}=1.}$ ${displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}+left({frac {y}{b}}right)^{2}=1.}$

Cette équation d’un cylindre elliptique est une généralisation de l’équation du cylindre circulaire ordinaire ( a = b ). Les cylindres elliptiques sont également appelés cylindroïdes , mais ce nom est ambigu, car il peut également faire référence au conoïde de Plücker .

Si ρ {style d’affichage rho} rho a un signe différent des coefficients, on obtient les cylindres elliptiques imaginaires :

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = − 1 , {displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}+left({frac {y}{b}}right)^{2}=-1,} ${displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}+left({frac {y}{b}}right)^{2}=-1,}$ ${displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}+left({frac {y}{b}}right)^{2}=-1,}$

qui n’ont pas de points réels sur eux. ( ρ = 0 {displaystylerho =0} rho =0 donne un seul point réel.)

Cylindre hyperbolique

Si A et B ont des signes différents et ρ ≠ 0 {displaystyle rhoneq 0} rho neq 0 , on obtient les cylindres hyperboliques , dont les équations peuvent se réécrire sous la forme :

( x a ) 2 − ( y b ) 2 = 1. {displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}-left({frac {y}{b}}right)^{2}=1.} ${displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}-left({frac {y}{b}}right)^{2}=1.}$ ${displaystyle left({frac {x}{a}}right)^{2}-left({frac {y}{b}}right)^{2}=1.}$

Cylindre parabolique

Enfin, si AB = 0 supposons, sans perte de généralité , que B = 0 et A = 1 pour obtenir les cylindres paraboliques avec des équations qui peuvent s’écrire : ^[16]

x 2 + 2 a y = 0. {displaystyle{x}^{2}+2a{y}=0.} ${displaystyle {x}^{2}+2a{y}=0.}$ ${displaystyle {x}^{2}+2a{y}=0.}$ En géométrie projective , un cylindre est simplement un cône dont le sommet est à l’infini, ce qui correspond visuellement à un cylindre en perspective apparaissant comme un cône vers le ciel.

Géométrie projective

En géométrie projective , un cylindre est simplement un cône dont le sommet (vertex) se trouve sur le plan à l’infini . Si le cône est un cône quadratique, le plan à l’infini (qui passe par le sommet) peut couper le cône à deux lignes réelles, une seule ligne réelle (en fait une paire de lignes coïncidentes), ou seulement au sommet. Ces cas donnent respectivement naissance aux cylindres hyperboliques, paraboliques ou elliptiques. ^[17]

Ce concept est utile lorsque l’on considère les coniques dégénérées , qui peuvent inclure les coniques cylindriques.

Prismes

Le bâtiment du planétarium Tycho Brahe , à Copenhague, est un exemple de cylindre tronqué

Un cylindre circulaire solide peut être vu comme le cas limite d’un prisme n – gonal où n tend vers l’ infini . La connexion est très forte et de nombreux textes plus anciens traitent simultanément des prismes et des cylindres. Les formules pour la surface et le volume sont dérivées des formules correspondantes pour les prismes en utilisant des prismes inscrits et circonscrits, puis en laissant le nombre de côtés du prisme augmenter sans limite. ^[18]L’une des raisons de l’accent mis au début (et parfois du traitement exclusif) sur les cylindres circulaires est qu’une base circulaire est le seul type de figure géométrique pour laquelle cette technique fonctionne avec l’utilisation de considérations élémentaires uniquement (pas de recours au calcul ou aux mathématiques plus avancées). La terminologie concernant les prismes et les cylindres est identique. Ainsi, par exemple, puisqu’un prisme tronqué est un prisme dont les bases ne se trouvent pas dans des Plans parallèles, un cylindre solide dont les bases ne se trouvent pas dans des Plans parallèles serait appelé un cylindre tronqué .

D’un point de vue polyédrique, un cylindre peut également être vu comme un double d’un bicône comme une bipyramide à côtés infinis .

Famille de prismes n – gonaux uniformes

Nom du prisme	Prisme digonal	(Trigonal) Prisme triangulaire	(Tétragonal) Prisme carré	Prisme pentagonal	Prisme hexagonal	Prisme heptagonal	Prisme octogonal	Prisme ennéagonal	Prisme décagonal	Prisme hendécagonal	Prisme dodécagonal	…	Prisme apeirogonal
Image polyèdre												…
Image de carrelage sphérique									Image de pavage d’avion
Configuration vertex.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	…	∞.4.4
Diagramme de Coxeter												…

Voir également

Liste des formes
Solide de Steinmetz , intersection de deux ou trois cylindres perpendiculaires

Remarques

^ κύλινδρος Archivé le 30/07/2013 à la Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sur Persée
^ Jacobs, Harold R. (1974), Géométrie , WH Freeman and Co., p. 607, ISBN 0-7167-0456-0
^ Swokowski 1983 , p. 283
^ ^un ^b Wentworth & Smith 1913 , p. 354
^ Wentworth & Smith 1913 , p. 357
^ “MathWorld : section cylindrique” . Archivé de l’original le 2008-04-23.
^ Wentworth & Smith 1913 , p. 359
^ Lax, Peter D. ; Terrell, Maria Shea (2013), Calcul avec applications , Textes de premier cycle en mathématiques , Springer, p. 178, ISBN 9781461479468, archivé de l’original le 2018-02-06.
^ Wentworth & Smith 1913 , p. 358
^ Swokowski 1983 , p. 292
^ Swokowski 1983 , p. 291
^ Albert 2016 , p. 43
^ Albert 2016 , p. 49
^ Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Géométrie , Cambridge University Press, p. 34, ISBN 978-0-521-59787-6
^ ^un ^b Albert 2016 , p. 74
^ Albert 2016 , p. 75
^ Pedoe, Dan (1988) [1970], Géométrie un cours complet , Douvres, p. 398, ISBN 0-486-65812-0
^ Abattu, IL ; Lennes, NJ (1919), Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (édition révisée), Allyn et Bacon, pp. 79–81, archivé (PDF) de l’original le 06/03/2013

Références

Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Géométrie analytique solide , Douvres, ISBN 978-0-486-81026-3
Swokowski, Earl W. (1983), Calcul avec géométrie analytique (édition alternative), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry , Ginn and Co.

Liens externes

Wikimedia Commons a des médias liés au cylindre (géométrie) .

Wikisource contient le texte de l’ article de 1911 de l’ Encyclopædia Britannica ” Cylindre “.

Recherchez cylindre dans Wiktionary, le dictionnaire gratuit.

Weisstein, Eric W. “Cylindre” . MathWorld .
Surface d’un cylindre chez MATHguide
Volume d’un cylindre à MATHguide