Chiffres significatifs

Les chiffres significatifs (également appelés chiffres significatifs , précision ou résolution ) d’un nombre en notation positionnelle sont des chiffres du nombre qui sont fiables et nécessaires pour indiquer la quantité de quelque chose.

Si un nombre exprimant le résultat d’une mesure (par exemple, la longueur, la pression, le volume ou la masse) comporte plus de chiffres que le nombre de chiffres autorisé par la Résolution de mesure , alors seuls le nombre de chiffres autorisé par la Résolution de mesure est fiable, et donc seuls ceux-ci peuvent être des chiffres significatifs.

Par exemple, si une mesure de longueur donne 114,8 mm alors que le plus petit intervalle entre les marques sur la règle utilisée dans la mesure est de 1 mm, alors les trois premiers chiffres (1, 1 et 4, indiquant 114 mm) sont certains et donc ils sont des chiffres significatifs. Les chiffres incertains mais fiables sont également considérés comme des chiffres significatifs. Dans cet exemple, le dernier chiffre (8, qui ajoute 0,8 mm) est également considéré comme un chiffre significatif même s’il comporte une incertitude. ^[1]

Un autre exemple est une mesure de volume de 2,98 L avec une incertitude de ± 0,05 L. Le volume réel se situe quelque part entre 2,93 L et 3,03 L. Même lorsque certains chiffres ne sont pas certains, tant qu’ils sont fiables, ils sont considérés comme significatifs. car ils indiquent le volume réel dans le degré d’incertitude acceptable. Dans cet exemple, le volume réel pourrait être de 2,94 L ou plutôt de 3,02 L. Et donc, les trois sont des chiffres significatifs. ^[2]

Les chiffres suivants ne sont pas des chiffres significatifs. ^[3]

• Tous les zéros non significatifs . Par exemple, 013 kg a deux chiffres significatifs, 1 et 3, et le zéro non significatif n’est pas significatif puisqu’il n’est pas nécessaire d’indiquer la masse ; 013 kg = 13 kg donc 0 n’est pas nécessaire. Dans le cas de 0,056 m, il y a deux zéros non significatifs puisque 0,056 m = 56 mm et donc les zéros non significatifs ne sont pas nécessaires pour indiquer la longueur.
• Des zéros de fin lorsqu’ils ne sont que des espaces réservés. Par exemple, les zéros à la fin de 1500 m comme mesure de longueur ne sont pas significatifs s’ils ne sont que des espaces réservés pour les unités et les dizaines car la Résolution de mesure est de 100 m. Dans ce cas, 1500 m signifie que la longueur à mesurer est proche de 1500 m plutôt que de dire que la longueur est exactement de 1500 m.
• Chiffres erronés , introduits par des calculs aboutissant à un nombre avec une précision supérieure à la précision des données utilisées dans les calculs, ou à une mesure rapportée avec une précision supérieure à la résolution de la mesure.

Parmi les chiffres significatifs d’un nombre, le plus significatif est le chiffre avec la valeur d’exposant la plus élevée (simplement le chiffre le plus significatif à gauche), et le moins significatif est le chiffre avec la valeur d’exposant la plus faible (simplement le chiffre le plus significatif à droite) . Par exemple, dans le nombre « 123 », le « 1 » est le chiffre le plus significatif car il compte des centaines (10 ² ), et le « 3 » est le chiffre le moins significatif car il compte les unités (10 ⁰ ).

L’arithmétique de signification est un ensemble de règles approximatives pour maintenir approximativement la signification tout au long d’un calcul. Les règles scientifiques les plus sophistiquées sont connues sous le nom de propagation de l’incertitude .

Les chiffres sont souvent arrondis pour éviter de rapporter des chiffres insignifiants. Par exemple, cela créerait une fausse précision pour exprimer une mesure comme 12,34525 kg si la balance n’était mesurée qu’au gramme le plus proche. Dans ce cas, les chiffres significatifs sont les 5 premiers chiffres à partir du chiffre le plus à gauche (1, 2, 3, 4 et 5), et le nombre doit être arrondi aux chiffres significatifs pour qu’il soit de 12,345 kg comme la valeur fiable. Les nombres peuvent également être arrondis simplement pour plus de simplicité plutôt que pour indiquer une précision de mesure, par exemple, afin de rendre les nombres plus rapides à prononcer dans les émissions de nouvelles.

La base 10 (base 10, nombres décimaux) est supposée dans ce qui suit.

Identifier les chiffres significatifs

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Règles pour identifier les chiffres significatifs dans un nombre

Les chiffres en bleu clair sont des chiffres significatifs ; ceux en noir ne le sont pas.

Notez que l’identification des chiffres significatifs dans un nombre nécessite de savoir quels chiffres sont fiables (par exemple, en connaissant la Résolution de mesure ou de rapport avec laquelle le nombre est obtenu ou traité) puisque seuls les chiffres fiables peuvent être significatifs ; par exemple, 3 et 4 dans 0,00234 g ne sont pas significatifs si le plus petit poids mesurable est de 0,001 g. ^[4]

• Les chiffres non nuls dans la Résolution de mesure ou de rapport donnée sont significatifs .
  • 91 a deux chiffres significatifs (9 et 1) s’il s’agit de chiffres autorisés pour la mesure.
  • 123,45 a cinq chiffres significatifs (1, 2, 3, 4 et 5) s’ils sont dans la Résolution de mesure. Si la résolution est de 0,1, le dernier chiffre 5 n’est pas significatif.
• Les zéros entre deux chiffres non nuls significatifs sont significatifs ( zéros significatifs piégés) .
  • 101,12003 se compose de huit chiffres significatifs si la résolution est de 0,00001.
  • 125,340006 a sept chiffres significatifs si la résolution est de 0,0001 : 1, 2, 5, 3, 4, 0 et 0.
• Les zéros à gauche du premier chiffre différent de zéro ( zéros de tête ) ne sont pas significatifs .
  • Si une mesure de longueur donne 0,052 km, alors 0,052 km = 52 m donc 5 et 2 sont seulement significatifs ; les zéros non significatifs apparaissent ou disparaissent, selon l’unité utilisée, ils ne sont donc pas nécessaires pour indiquer l’échelle de mesure.
  • 0,00034 a 4 zéros significatifs si la résolution est de 0,001. (3 et 4 sont au-delà de la résolution et ne sont donc pas significatifs.)
• Les zéros à droite du dernier chiffre différent de zéro ( zéros de fin ) dans un nombre avec le point décimal sont significatifs s’ils se situent dans la Résolution de mesure ou de rapport.
  • 1.200 a quatre chiffres significatifs (1, 2, 0 et 0) s’ils sont autorisés par la Résolution de mesure.
  • 0,0980 a trois chiffres significatifs (9, 8 et le dernier zéro) s’ils sont dans la Résolution de mesure.
  • 120.000 se compose de six chiffres significatifs (1, 2 et les 4 zéros suivants) à l’exception du dernier zéro Si la résolution est de 0,01.
• Les zéros à droite dans un nombre entier peuvent ou non être significatifs , selon la mesure ou la résolution du rapport.
  • 45 600 a 3, 4 ou 5 chiffres significatifs selon l’utilisation des derniers zéros. Par exemple, si la longueur d’une route est rapportée comme 45600 m sans informations sur la résolution de rapport ou de mesure, il n’est pas clair si la longueur de la route est mesurée avec précision comme 45600 m ou s’il s’agit d’une estimation approximative. S’il s’agit de l’estimation approximative, seuls les trois premiers chiffres non nuls sont significatifs puisque les zéros de fin ne sont ni fiables ni nécessaires ; 45600 m peut être exprimé comme 45,6 km ou comme 4,56 × 10 ⁴ m en notation scientifique , et aucune des deux expressions ne nécessite les zéros de fin.
• Un nombre exact a un nombre infini de chiffres significatifs.
  • Si le nombre de pommes dans un sac est 4 (nombre exact), alors ce nombre est 4,0000… (avec des zéros finaux infinis à droite de la virgule décimale). Par conséquent, 4 n’a pas d’incidence sur le nombre de chiffres ou de chiffres significatifs dans le résultat des calculs avec celui-ci.
• Une constante mathématique ou physique a des chiffres significatifs à ses chiffres connus.
  • π , comme le rapport de la circonférence au diamètre d’un cercle, est 3,14159265358979323… connu à 50 000 milliards de chiffres ^[5] calculé au 2020-01-29, et cette approximation ‘ π’ calculée a autant de chiffres significatifs, tandis que dans les applications pratiques, beaucoup moins sont utilisés (et π lui-même a des chiffres significatifs infinis , comme le font tous les nombres irrationnels). Souvent, 3,14 est utilisé dans les calculs numériques, c’est-à-dire 3 chiffres décimaux significatifs, avec 7 chiffres binaires corrects (alors que le 22/7 plus précis est également utilisé, même s’il ne correspond également qu’aux mêmes 3 chiffres décimaux corrects significatifs chiffres, il a 10 chiffres binaires corrects ), ce qui est une assez bonne approximation pour de nombreuses utilisations pratiques. La plupart des calculatrices et des programmes informatiques peuvent gérer 3,141592653589793, 16 chiffres décimaux, qui sont couramment utilisés dans les ordinateurs et utilisés par la NASA pour ” les calculs de la plus haute précision du JPL , qui sont destinés à la navigation interplanétaire”. ^[6] Pour « la plus grande taille qui soit : l’univers visible [..] il faudrait 39 ou 40 décimales ». ^[6]
  • La constante de Planck est h = 6.62607015 × 10 − 34 J ⋅ s {displaystyle h=6.62607015times 10^{-34}Jcdot s} et est défini comme une valeur exacte de sorte qu’il est plus correctement défini comme h = 6.62607015 ( 0 ) × 10 − 34 J ⋅ s {displaystyle h=6.62607015(0)times 10^{-34}Jcdot s} . ^[7]

Façons de désigner des chiffres significatifs dans un entier avec des zéros à la fin

La signification des zéros de fin dans un nombre ne contenant pas de point décimal peut être ambiguë. Par exemple, il n’est pas toujours clair si le nombre 1300 est précis à l’unité la plus proche (par coïncidence, il s’agit d’un multiple exact de cent) ou s’il n’est affiché qu’aux centaines les plus proches en raison d’arrondis ou d’incertitudes. De nombreuses conventions existent pour résoudre ce problème. Cependant, ceux-ci ne sont pas universellement utilisés et ne seraient efficaces que si le lecteur est familier avec la convention :

• Un overline , parfois aussi appelé overbar , ou moins précisément, un vinculum , peut être placé sur le dernier chiffre significatif; tous les zéros de fin qui suivent sont insignifiants. Par exemple, 13 0 0 a trois chiffres significatifs (et indique donc que le nombre est précis à la dizaine près).

• Moins souvent, en utilisant une convention étroitement liée, le dernier chiffre significatif d’un nombre peut être souligné ; par exemple, “1 3 00” a deux chiffres significatifs.

• Un point décimal peut être placé après le nombre; par exemple “1300.” indique spécifiquement que les zéros de fin sont censés être significatifs. ^[8]

Comme les conventions ci-dessus ne sont pas d’usage général, les options suivantes plus largement reconnues sont disponibles pour indiquer la signification du nombre avec des zéros à la fin :

• Éliminez les zéros ambigus ou non significatifs en changeant le préfixe d’unité dans un nombre avec une unité de mesure . Par exemple, la précision de mesure spécifiée à 1300 g est ambiguë, alors que si elle est indiquée à 1,30 kg, elle ne l’est pas. De même, 0,0123 L peut être réécrit en 12,3 mL

• Éliminez les zéros ambigus ou non significatifs en utilisant la notation scientifique : par exemple, 1300 avec trois chiffres significatifs devient1,30 × 10 ³ . De même, 0,0123 peut être réécrit comme1,23 × 10 ^-2 . La partie de la représentation qui contient les chiffres significatifs (1,30 ou 1,23) est connue sous le nom de significande ou mantisse. Les chiffres de la base et de l’exposant (10 ³ ou10 ⁻² ) sont considérés comme des nombres exacts donc pour ces chiffres, les chiffres significatifs ne sont pas pertinents.

• Indiquer explicitement le nombre de chiffres significatifs (l’abréviation sf est parfois utilisée) : Par exemple “20 000 à 2 sf” ou “20 000 (2 sf)”.

• Indiquez explicitement la variabilité attendue (précision) avec un signe plus–moins , comme dans 20 000 ± 1 %. Cela permet également de spécifier une plage de précision entre les puissances de dix.

Arrondir aux chiffres significatifs

L’arrondi aux chiffres significatifs est une technique plus polyvalente que l’arrondi à n chiffres, car il gère des nombres d’échelles différentes de manière uniforme. Par exemple, la population d’une ville peut n’être connue qu’au millier près et être indiquée comme 52 000, tandis que la population d’un pays peut n’être connue qu’au million près et être indiquée comme 52 000 000. Le premier peut être erroné par centaines, et le second peut être erroné par centaines de milliers, mais les deux ont deux chiffres significatifs (5 et 2). Cela reflète le fait que l’importance de l’erreur est la même dans les deux cas, par rapport à la taille de la quantité mesurée.

Pour arrondir un nombre à n chiffres significatifs : ^{[9] [10]}

1. Si le chiffre n + 1 est supérieur à 5 ou est 5 suivi d’autres chiffres non nuls, ajoutez 1 au chiffre n . Par exemple, si nous voulons arrondir 1,2459 à 3 chiffres significatifs, cette étape donne 1,25.
2. Si le chiffre n + 1 est 5 non suivi d’autres chiffres ou suivi uniquement de zéros, l’arrondi nécessite une règle de départage . Par exemple, pour arrondir 1,25 à 2 chiffres significatifs :
   • Arrondissez la moitié de zéro (également connu sous le nom de “5/4”) ^{[ citation nécessaire ]} arrondit à 1,3. Il s’agit de la méthode d’arrondi par défaut implicite dans de nombreuses disciplines ^{[ citation nécessaire ]} si la méthode d’arrondi requise n’est pas spécifiée.
   • Round half to even , qui arrondit au nombre pair le plus proche. Avec cette méthode, 1,25 est arrondi à 1,2. Si cette méthode s’applique à 1,35, elle est alors arrondie à 1,4. C’est la méthode préférée par de nombreuses disciplines scientifiques, car elle évite par exemple de biaiser vers le haut la valeur moyenne d’une longue liste de valeurs.
3. Pour un nombre entier arrondi, remplacez les chiffres après le chiffre n par des zéros. Par exemple, si 1254 est arrondi à 2 chiffres significatifs, alors 5 et 4 sont remplacés par 0 pour donner 1300. Pour un nombre avec la virgule décimale arrondie, supprimez les chiffres après le chiffre n . Par exemple, si 14,895 est arrondi à 3 chiffres significatifs, les chiffres après 8 sont supprimés pour donner 14,9.

Dans les calculs financiers, un nombre est souvent arrondi à un nombre de places donné. Par exemple, à deux endroits après le séparateur décimal pour de nombreuses devises mondiales. Ceci est fait parce qu’une plus grande précision n’a pas d’importance et qu’il n’est généralement pas possible de régler une dette inférieure à la plus petite unité monétaire.

Dans les déclarations de revenus des particuliers au Royaume-Uni, le revenu est arrondi à la livre la plus proche, tandis que l’impôt payé est calculé au centime le plus proche.

A titre d’illustration, la quantité décimale 12,345 peut être exprimée avec différents nombres de chiffres significatifs ou de décimales. Si la précision disponible est insuffisante, le nombre est arrondi d’une manière ou d’une autre pour s’adapter à la précision disponible. Le tableau suivant montre les résultats pour différentes précisions totales selon deux méthodes d’arrondi (N/A signifie Sans objet).

Précision	Arrondis aux chiffres significatifs	Arrondi à la décimale
6	12.3450	12.345000
5	12.345	12.34500
4	12h34 ou 12h35	12.3450
3	12.3	12.345
2	12	12h34 ou 12h35
1	dix	12.3
0	N / A	12

Un autre exemple pour 0.012345 . (N’oubliez pas que les zéros non significatifs ne sont pas significatifs.)

Précision	Arrondis aux chiffres significatifs	Arrondi à la décimale
7	0,01234500	0,0123450
6	0,0123450	0,012345
5	0,012345	0,01234 ou 0,01235
4	0,01234 ou 0,01235	0,0123
3	0,0123	0,012
2	0,012	0,01
1	0,01	0.0
0	N / A	0

La représentation d’un nombre x non nul avec une précision de p chiffres significatifs a une valeur numérique qui est donnée par la formule : ^{[ citation nécessaire ]}

10 n ⋅ round ⁡ ( x 10 n ) {displaystyle 10^{n}cdot operatorname {rond} left({frac {x}{10^{n}}}right)} où n = ⌊ log 10 ⁡ ( | x | ) ⌋ + 1 − p {displaystyle n=lfloor log _{10}(|x|)rfloor +1-p}

qui peut devoir être écrit avec un marquage spécifique comme détaillé ci- dessus pour spécifier le nombre de zéros significatifs à la fin.

Incertitude d’écriture et incertitude implicite

Chiffres significatifs de l’incertitude d’écriture

Il est recommandé pour un résultat de mesure d’inclure l’incertitude de mesure telle que x b e s t ± σ x {displaystyle x_{meilleur}pm sigma _{x}} , où x _best et σ _x sont respectivement la meilleure estimation et l’incertitude de la mesure. ^[11] x _best peut être la moyenne des valeurs mesurées et σ _x peut être l’écart type ou un multiple de l’écart de mesure. Les règles pour écrire x b e s t ± σ x {displaystyle x_{meilleur}pm sigma _{x}} sont : ^[12]

• σ _x n’a qu’un ou deux chiffres significatifs car une incertitude plus précise n’a pas de sens.
  • 1,79 ± 0,06 (correct), 1,79 ± 0,96 (correct), 1,79 ± 1,96 (incorrect).
• Les positions des chiffres des derniers chiffres significatifs dans x _best et σ _x sont les mêmes, sinon la cohérence est perdue. Par exemple, dans 1,79 ± 0,067 (incorrect), il n’est pas logique d’avoir une incertitude plus précise que la meilleure estimation. 1,79 ± 0,9 (incorrect) n’a pas non plus de sens puisque la directive d’arrondi pour l’addition et la soustraction ci-dessous indique que les bords de la plage de valeurs réelles sont 2,7 et 0,9, qui sont moins précis que la meilleure estimation.
  • 1,79 ± 0,06 (correct), 1,79 ± 0,96 (correct), 1,79 ± 0,067 (incorrect), 1,79 ± 0,9 (incorrect).

Incertitude implicite

En chimie (et peut-être aussi pour d’autres branches scientifiques), l’incertitude peut être impliquée par le dernier chiffre significatif s’il n’est pas explicitement exprimé. ^[2]L’incertitude implicite est de ± la moitié de l’échelle minimale à la position du dernier chiffre significatif. Par exemple, si le volume d’eau dans une bouteille est rapporté comme étant de 3,78 L sans mentionner l’incertitude, alors une incertitude de mesure de ± 0,005 L peut être impliquée. Si 2,97 ± 0,07 kg, donc le poids réel se situe quelque part entre 2,90 et 3,04 kg, est mesuré et que l’on souhaite le rapporter avec un seul chiffre, alors 3,0 kg est le meilleur nombre à rapporter puisque son incertitude implicite ± 0,05 kg indique au plage de poids de 2,95 à 3,05 kg proche de la plage de mesure. Si 2,97 ± 0,09 kg, alors 3,0 kg est toujours le meilleur car, si 3 kg est rapporté, son incertitude implicite ± 0,5 indique la plage de 2,5 à 3,5 kg qui est trop large par rapport à la plage de mesure.

S’il est nécessaire d’écrire l’incertitude implicite d’un nombre, alors il peut être écrit comme x ± σ x {displaystyle xpm sigma _{x}} en l’énonçant comme l’incertitude implicite (pour empêcher les lecteurs de la reconnaître comme l’incertitude de mesure), où x et σ _x sont le nombre avec un chiffre zéro supplémentaire (pour suivre les règles d’écriture de l’incertitude ci-dessus) et l’incertitude implicite de celui-ci respectivement . Par exemple, 6 kg avec l’incertitude implicite ± 0,5 kg peuvent être indiqués comme 6,0 ± 0,5 kg.

Arithmétique

Comme il existe des règles pour déterminer les chiffres significatifs des quantités directement mesurées , il existe également des lignes directrices (et non des règles) pour déterminer les chiffres significatifs des quantités calculées à partir de ces quantités mesurées .

Les chiffres significatifs en quantités mesurées sont les plus importants dans la détermination des chiffres significatifs en quantités calculées avec eux. Une constante mathématique ou physique (par exemple, π dans la formule de l’ aire d’un cercle de rayon r comme π r ² ) n’a aucun effet sur la détermination des chiffres significatifs dans le résultat d’un calcul avec elle si ses chiffres connus sont égaux égal ou supérieur aux chiffres significatifs des grandeurs mesurées utilisées dans le calcul. Un nombre exact tel que 1⁄2 dans la formule de l’ énergie cinétique d’une masse m avec une vitesse vcar 1⁄2 mv ² n’a aucune incidence sur les chiffres significatifs de l’énergie cinétique calculée puisque son nombre de chiffres significatifs est infini (0,500000…).

Les lignes directrices décrites ci-dessous visent à éviter un résultat de calcul plus précis que les grandeurs mesurées, mais elles ne garantissent pas une incertitude implicite résultante suffisamment proche des incertitudes mesurées. Ce problème peut être vu dans la conversion d’unité. Si les lignes directrices donnent une incertitude implicite trop éloignée de celles mesurées, il peut être nécessaire de choisir des chiffres significatifs qui donnent une incertitude comparable.

Multiplication et division

Pour les grandeurs créées à partir de grandeurs mesurées par multiplication et division , le résultat calculé doit avoir autant de chiffres significatifs que le plus petit nombre de chiffres significatifs parmi les grandeurs mesurées utilisées dans le calcul. ^[13] Par exemple,

• 1,234 × 2 = 2 ,468 ≈ 2
• 1,234 × 2,0 = 2, 4 68 ≈ 2,5
• 0,01234 × 2 = 0,0 2 468 ≈ 0,02

avec respectivement un , deux et un chiffres significatifs. (2 ici n’est pas un nombre exact.) Pour le premier exemple, le premier facteur de multiplication a quatre chiffres significatifs et le second a un chiffre significatif. Le facteur avec le moins de chiffres ou les chiffres les moins significatifs est le second avec un seul, donc le résultat final calculé doit également avoir un chiffre significatif.

Exception

Pour la conversion d’unités, l’incertitude implicite du résultat peut être insatisfaisante supérieure à celle de l’unité précédente si cette directive d’arrondi est suivie ; Par exemple, 8 pouces a une incertitude implicite de ± 0,5 pouce = ± 1,27 cm. Si elle est convertie à l’échelle centimétrique et que la directive d’arrondi pour la multiplication et la division est suivie, alors 2 0,32 cm ≈ 20 cm avec une incertitude implicite de ± 5 cm. Si cette incertitude implicite est considérée comme trop sous-estimée, alors des chiffres significatifs plus appropriés dans le résultat de la conversion d’unité peuvent être 2 0,32 cm ≈ 20, cm avec une incertitude implicite de ± 0,5 cm.

Une autre exception à l’application de la directive d’arrondi ci-dessus consiste à multiplier un nombre par un nombre entier, tel que 1,234 × 9. Si la directive ci-dessus est suivie, le résultat est arrondi à 1,234 × 9,000…. = 11,1 0 6 ≈ 11,11. Cependant, cette multiplication ajoute essentiellement 1,234 à elle-même 9 fois, comme 1,234 + 1,234 + … + 1,234, de sorte que la directive d’arrondi pour l’addition et la soustraction décrite ci-dessous est une approche d’arrondi plus appropriée. ^[14] En conséquence, la réponse finale est 1,234 + 1,234 + … + 1,234 = 11,10 6 = 11,106 (augmentation d’un chiffre significatif).

Addition et soustraction

Pour les quantités créées à partir de quantités mesurées par addition et soustraction , la position du dernier chiffre significatif (par exemple, des centaines, des dizaines, des unités, des dixièmes, des centièmes, etc.) dans le résultat calculé doit être la même que la position du chiffre le plus à gauche ou le plus grand parmi les derniers chiffres significatifs des grandeurs mesurées dans le calcul. Par example,

• 1,234 + 2 = 3 ,234 ≈ 3
• 1.234 + 2.0 = 3. 2 34 ≈ 3.2
• 0.01234 + 2 = 2 .01234 ≈ 2

avec les derniers chiffres significatifs à la place des uns , des dixièmes et des uns respectivement. (2 ici n’est pas supposé être un nombre exact.) Pour le premier exemple, le premier terme a son dernier chiffre significatif à la place des millièmes et le second terme a son dernier chiffre significatif à la place des unités . La position de chiffre la plus à gauche ou la plus grande parmi les derniers chiffres significatifs de ces termes est la place des unités, de sorte que le résultat calculé doit également avoir son dernier chiffre significatif à la place des unités.

La règle pour calculer les chiffres significatifs pour la multiplication et la division n’est pas la même que la règle pour l’addition et la soustraction. Pour la multiplication et la division, seul le nombre total de chiffres significatifs dans chacun des facteurs du calcul importe ; la position numérique du dernier chiffre significatif dans chaque facteur n’est pas pertinente. Pour l’addition et la soustraction, seule la position numérique du dernier chiffre significatif dans chacun des termes du calcul compte; le nombre total de chiffres significatifs dans chaque terme est sans importance. ^{[ citation nécessaire ]} Cependant, une plus grande précision sera souvent obtenue si certains chiffres non significatifs sont conservés dans les résultats intermédiaires qui sont utilisés dans les calculs ultérieurs. ^{[ citation nécessaire ]}

Logarithme et antilogarithme

Le logarithme en base -10 d’un nombre normalisé (c’est-à-dire a × 10 ^b avec 1 ≤ a < 10 et b comme un entier), est arrondi de sorte que sa partie décimale (appelée mantisse ) comporte autant de chiffres significatifs que de chiffres significatifs dans le nombre normalisé.

• log ₁₀ (3,000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3,000) = 4,000000… (nombre exact donc chiffres significatifs infinis) + 0,477 1 212547… = 4,477 1 212547 ≈ 4,4771.

Lors de la prise de l’antilogarithme d’un nombre normalisé, le résultat est arrondi pour avoir autant de chiffres significatifs que de chiffres significatifs dans la partie décimale du nombre à antiloger.

• 10 ^4,4771 = 299 9 8,5318119… = 30000 = 3,000 × 10 ⁴ .

Fonctions transcendantales

Si une fonction transcendantale f ( x ) {displaystyle f(x)} (par exemple, la fonction exponentielle , le logarithme et les fonctions trigonométriques ) est différentiable au niveau de son élément de domaine x , puis son nombre de chiffres significatifs (appelés “chiffres significatifs de f ( x ) {displaystyle f(x)} “) est approximativement lié au nombre de chiffres significatifs dans x (désignés par “chiffres significatifs de x “) par la formule

( s i g n i f i c a n t f i g u r e s o f f ( x ) ) ≈ ( s i g n i f i c a n t f i g u r e s o f x ) − log 10 ⁡ ( | d f ( x ) d x x f ( x ) | ) {displaystyle {rm {(significant~chiffres~of~f(x))}}approx {rm {(significant~chiffres~of~x)}}-log _{10}left(left vert {{frac {df(x)}{dx}}{frac {x}{f(x)}}}rightvert right)} ,

où | d f ( x ) d x x f ( x ) | {displaystyle leftvert {{frac {df(x)}{dx}}{frac {x}{f(x)}}}rightvert } est le numéro de condition . Voir l’ article sur l’ arithmétique de signification pour trouver sa dérivation.

Arrondir uniquement sur le résultat du calcul final

Lorsque vous effectuez des calculs en plusieurs étapes, n’arrondissez pas les résultats des calculs d’étapes intermédiaires ; conserver autant de chiffres que possible (au moins un chiffre de plus que la règle d’arrondi ne le permet par étape) jusqu’à la fin de tous les calculs pour éviter les erreurs d’arrondi cumulées lors du suivi ou de l’enregistrement des chiffres significatifs dans chaque résultat intermédiaire. Ensuite, arrondissez le résultat final, par exemple, au plus petit nombre de chiffres significatifs (pour la multiplication ou la division) ou à la position du dernier chiffre significatif le plus à gauche (pour l’addition ou la soustraction) parmi les entrées du calcul final. ^[15]

• (2,3494 + 1,345) × 1,2 = 3,69 4 4 × 1,2 = 4 , 4 3328 ≈ 4,4.
• (2,3494 × 1,345) + 1,2 = 3,15 9 943 + 1,2 = 4 , 3 59943 ≈ 4,4.

Estimation d’un chiffre supplémentaire

Lorsque vous utilisez une règle, utilisez d’abord la plus petite marque comme premier chiffre estimé. Par exemple, si la plus petite marque d’une règle est de 0,1 cm et que 4,5 cm sont lus, alors c’est 4,5 (± 0,1 cm) ou 4,4 cm à 4,6 cm pour le plus petit intervalle de marque. Cependant, en pratique, une mesure peut généralement être estimée à l’œil nu jusqu’à plus près que l’intervalle entre la plus petite marque de la règle, par exemple dans le cas ci-dessus, elle peut être estimée entre 4,51 cm et 4,53 cm.

Il est également possible que la longueur totale d’une règle ne soit pas précise au degré de la plus petite marque, et que les marques soient imparfaitement espacées dans chaque unité. Cependant, en supposant une règle normale de bonne qualité, il devrait être possible d’estimer les dixièmes entre les deux marques les plus proches pour obtenir une décimale supplémentaire de précision. ^[16] Ne pas le faire ajoute l’erreur de lecture de la règle à toute erreur d’étalonnage de la règle. ^[17]

Estimation en statistique

Lors de l’estimation de la proportion d’individus porteurs d’une caractéristique particulière dans une population, à partir d’un échantillon aléatoire de cette population, le nombre de chiffres significatifs ne doit pas dépasser la précision maximale autorisée par cette taille d’échantillon.

Relation avec l’exactitude et la précision de la mesure

Traditionnellement, dans divers domaines techniques, la “précision” fait référence à la proximité d’une mesure donnée à sa vraie valeur ; “précision” fait référence à la stabilité de cette mesure lorsqu’elle est répétée plusieurs fois. Espérant refléter la manière dont le terme « exactitude » est effectivement utilisé dans la communauté scientifique, il existe une norme récente, ISO 5725, qui conserve la même définition de la précision mais définit le terme « justesse » comme la proximité d’une mesure donnée à sa vraie valeur et utilise le terme “exactitude” comme la combinaison de la justesse et de la précision. (Voir l’article sur l’ exactitude et la précision pour une discussion complète.) Dans les deux cas, le nombre de chiffres significatifs correspond à peu près à la précision , et non à l’exactitude ou au nouveau concept de justesse.

En informatique

Les représentations informatiques des nombres à virgule flottante utilisent une forme d’arrondi aux chiffres significatifs (tout en ne gardant généralement pas une trace du nombre), en général avec des nombres binaires . Le nombre de chiffres significatifs corrects est étroitement lié à la notion d’ erreur relative (qui a l’avantage d’être une mesure plus précise de la précision, et est indépendante de la base , également appelée base, du système numérique utilisé).

Voir également

• Loi de Benford (loi du premier chiffre)
• Notation d’ingénierie
• Barre d’erreur
• Fausse précision
• IEEE 754 (norme à virgule flottante IEEE)
• Arithmétique d’intervalle
• Algorithme de sommation de Kahan
• Précision (informatique)
• Erreur d’arrondi

Références

1. ^ “Chiffres significatifs – Écrire des nombres pour refléter la précision” . Chimie – Libretextes . 2019-09-04.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
2. ^ ^{un b} inférieur, Stephen (2021-03-31). “Chiffres significatifs et arrondis” . Chimie – LibreTexts . {{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
3. ^ Chimie dans la Communauté ; Kendall-Hunt : Dubuque, IA 1988
4. ^ Donner une définition précise du nombre de chiffres significatifs corrects est étonnamment subtil, voir Higham, Nicholas (2002). Précision et stabilité des algorithmes numériques (PDF) (2e éd.). SIAM. p. 3–5.
5. ^ Valeur la plus précise de pi
6. ^ ^{un b} “De combien de décimales de Pi avons-nous vraiment besoin ? – Edu News” . NASA/JPL Edu . Récupéré le 25/10/2021 .
7. ^ “Résolutions de la 26e CGPM” (PDF) . BIPM . 2018-11-16. Archivé de l’original (PDF) le 2018-11-19 . Récupéré le 20/11/2018 .
8. ^ Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B.; Tocci, Salvatore (2000). Chimie . Austin, Texas : Holt Rinehart Winston. p. 59 . ISBN 0-03-052002-9.
9. ^ Engelbrecht, Nancy; et coll. (1990). “Arrondir les nombres décimaux à une précision désignée” (PDF) . Washington, DC : Département américain de l’éducation.
10. ^ Mathématiques numériques et informatique, par Cheney et Kincaid .
11. ^ Luna, Eduardo. “Incertitudes et chiffres significatifs” (PDF) . Collège DeAnza . {{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
12. ^ “Chiffres significatifs” . Université Purdue – Département de physique et d’astronomie . {{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
13. ^ “Règles des chiffres significatifs” . Université d’État de Penn.
14. ^ “L’incertitude dans la mesure – Chiffres significatifs” . Chimie – LibreTexts . 2017-06-16. {{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
15. ^ de Oliveira Sannibale, Virginio (2001). “Mesures et chiffres significatifs (ébauche)” (PDF) . Laboratoire de physique de première année . California Institute of Technology, Physics Mathematics And Astronomy Division. Archivé de l’original (PDF) le 18/06/2013.
16. ^ Essais électriques expérimentaux . Newark, NJ : Weston Electrical Instruments Co. 1914. p. 9 . Récupéré le 14/01/2019 . Essais électriques expérimentaux..
17. ^ “Mesures” . slc.umd.umich.edu . Université du Michigan . Récupéré le 03/07/2017 .

Liens externes

• Personnages significatifs Vidéo par Khan academy