Champ cyclotomique

En théorie des nombres , un champ cyclotomique est un champ de nombres obtenu en adjoignant une racine complexe de l’unité à Q , le champ des nombres rationnels .

Les champs cyclotomiques ont joué un rôle crucial dans le développement de l’algèbre moderne et de la théorie des nombres en raison de leur relation avec le dernier théorème de Fermat . C’est au cours de ses recherches approfondies sur l’arithmétique de ces corps (pour n premier ) – et plus précisément, à cause de l’échec de la Factorisation unique dans leurs anneaux d’entiers – qu’Ernst Kummer a introduit pour la première fois le concept de nombre idéal et prouvé ses congruences célèbres .

Définition

Pour n ≥ 1 , soit ζ _n = e ^{2π i / n} ∈ C ; c’est une n ième racine primitive de l’unité. Alors le n ième champ cyclotomique est l’extension Q (ζ _n ) de Q engendrée par ζ _n .

Propriétés

Le n ième polynôme cyclotomique

Φ n ( X ) = ∏ pgcd ( k , n ) = 1 1 ≤ k ≤ n ( x − e 2 π i k / n ) = ∏ gcd ( k , n ) = 1 1 ≤ k ≤ n ( x − ζ n k ) {displaystyle Phi _{n}(x)=!!!prod _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}}!! !left(xe^{2pi ik/n}right)=!!!prod _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1 }}!!!(x-{zeta _{n}}^{k})} ${displaystyle Phi _{n}(x)=!!!prod _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}}!!!left(x-e^{2pi ik/n}right)=!!!prod _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}}!!!(x-{zeta _{n}}^{k})}$ ${displaystyle Phi _{n}(x)=!!!prod _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}}!! !left(xe^{2pi ik/n}right)=!!!prod _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1 }}!!!(x-{zeta _{n}}^{k})}$

est irréductible , donc c’est le Polynôme minimal de ζ _n sur Q .

Les conjugués de ζ _n dans C sont donc les autres racines n ièmes primitives de l’unité : ζ _n^k pour 1 ≤ k ≤ n avec pgcd( k , n ) = 1 .
Le degré de Q (ζ _n ) est donc [ Q (ζ _n ): Q ] = deg Φ _n = φ ( n ) , où φ est la fonction indicatrice d’Euler .
Les racines de x ⁿ − 1 sont les puissances de ζ _n , donc Q (ζ _n ) est le champ de séparation de x ⁿ − 1 (ou de Φ( x ) ) sur Q .
Donc Q (ζ _n ) est une extension galoisienne de Q .
Le groupe Galois Gal ⁡ ( Q ( ζ n ) / Q ) {displaystyle operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q})} ${displaystyle operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q} )}$ ${displaystyle operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q})}$ est naturellement isomorphe au groupe multiplicatif ( Z / n Z ) × {displaystyle (mathbf {Z} /nmathbf {Z} )^{fois }} ${displaystyle (mathbf {Z} /nmathbf {Z} )^{times }}$ ${displaystyle (mathbf {Z} /nmathbf {Z} )^{fois }}$ , qui se compose des résidus inversibles modulo n , qui sont les résidus a mod n avec 1 ≤ a ≤ n et pgcd( a , n ) = 1 . L’isomorphisme envoie chaque σ ∈ Gal ⁡ ( Q ( ζ n ) / Q ) {displaystyle sigma in operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q})} ${displaystyle sigma in operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q} )}$ ${displaystyle sigma in operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q})}$ à a mod n , où a est un entier tel que σ(ζ _n ) = ζ _n^a .
L’ anneau des entiers de Q (ζ _n ) est Z [ζ _n ] .
Pour n > 2 , le discriminant de l’extension Q (ζ _n )/ Q est ^[1]

( − 1 ) φ ( n ) / 2 n φ ( n ) ∏ p | n p φ ( n ) / ( p − 1 ) . {displaystyle (-1)^{varphi (n)/2}{frac {n^{varphi (n)}}{displaystyle prod _{p|n}p^{varphi (n) /(p-1)}}}.} ${displaystyle (-1)^{varphi (n)/2}{frac {n^{varphi (n)}}{displaystyle prod _{p|n}p^{varphi (n)/(p-1)}}}.}$ ${displaystyle (-1)^{varphi (n)/2}{frac {n^{varphi (n)}}{displaystyle prod _{p|n}p^{varphi (n) /(p-1)}}}.}$

En particulier, Q (ζ _n )/ Q est Non ramifié au-dessus de tout nombre premier ne divisant pas n .
Si n est une puissance d’un nombre premier p , alors Q (ζ _n )/ Q est totalement ramifié au-dessus de p .
Si q est un nombre premier ne divisant pas n , alors l’ Élément de Frobenius Frob q ∈ Gal ⁡ ( Q ( ζ n ) / Q ) {displaystyle operatorname {Frob} _{q}in operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q})} ${displaystyle operatorname {Frob} _{q}in operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q} )}$ ${displaystyle operatorname {Frob} _{q}in operatorname {Gal} (mathbf {Q} (zeta _{n})/mathbf {Q})}$ correspond au résidu de q dans ( Z / n Z ) × {displaystyle (mathbf {Z} /nmathbf {Z} )^{fois }} ${displaystyle (mathbf {Z} /nmathbf {Z} )^{times }}$ ${displaystyle (mathbf {Z} /nmathbf {Z} )^{fois }}$ .
Le groupe des racines de l’unité dans Q (ζ _n ) est d’ordre n ou 2 n , selon que n est pair ou impair.
Le groupe unitaire Z [ζ _n ] ^× est un groupe abélien de type fini de rang φ ( n )/2 – 1 , pour tout n > 2 , par le théorème unitaire de Dirichlet . En particulier, Z [ζ _n ] ^× n’est fini que pour n ∈ {1,2,3,4,6 }. Le sous- groupe de torsion de Z [ζ _n ] ^× est le groupe des racines de l’unité dans Q (ζ _n ) , qui a été décrit à l’item précédent.Les unités cyclotomiques forment un sous-groupe explicite à indice fini de Z [ζ _n ] ^× .
Le théorème de Kronecker–Weber stipule que toute extension abélienne finie de Q dans C est contenue dans Q (ζ _n ) pour un certain n . De manière équivalente, la réunion de tous les champs cyclotomiques Q (ζ _n ) est l’ Extension abélienne maximale Q ^ab de Q .

Relation avec les polygones réguliers

Gauss a fait des percées précoces dans la théorie des champs cyclotomiques, en relation avec le problème de la construction d’ un n -gon régulier avec un compas et une règle . Son résultat surprenant qui avait échappé à ses prédécesseurs était qu’un 17-gon régulier pouvait être ainsi construit. Plus généralement, pour tout entier n ≥ 3 , les éléments suivants sont équivalents :

un n -gon régulier est constructible ;
il existe une séquence de champs, commençant par Q et se terminant par Q (ζ _n ) , tels que chacun est une Extension quadratique du champ précédent ;
φ ( n ) est une Puissance de 2 ;
n = 2 a p 1 ⋯ p r {displaystyle n=2^{a}p_{1}cdots p_{r}} ${displaystyle n=2^{a}p_{1}cdots p_{r}}$ ${displaystyle n=2^{a}p_{1}cdots p_{r}}$ pour certains entiers a , r ≥ 0 et nombres premiers de Fermat p 1 , … , p r {displaystyle p_{1},ldots ,p_{r}} ${displaystyle p_{1},ldots ,p_{r}}$ ${displaystyle p_{1},ldots ,p_{r}}$ . (Un nombre premier de Fermat est un nombre premier impair p tel que p − 1 est une Puissance de 2. Les nombres premiers de Fermat connus sont 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , et il est probable qu’il n’y en ait pas d’autres.)

Petits exemples

n = 3 et n = 6 : Les équations ζ 3 = − 1 + − 3 2 {displaystyle zeta _{3}={tfrac {-1+{sqrt {-3}}}{2}}} ${displaystyle zeta _{3}={tfrac {-1+{sqrt {-3}}}{2}}}$ ${displaystyle zeta _{3}={tfrac {-1+{sqrt {-3}}}{2}}}$ et ζ 6 = 1 + − 3 2 {displaystyle zeta _{6}={tfrac {1+{sqrt {-3}}}{2}}} ${displaystyle zeta _{6}={tfrac {1+{sqrt {-3}}}{2}}}$ ${displaystyle zeta _{6}={tfrac {1+{sqrt {-3}}}{2}}}$ montrer que Q (ζ ₃ ) = Q (ζ ₆ ) = Q ( √ -3 ) , qui est une Extension quadratique de Q . En conséquence, un 3-gon régulier et un 6-gon régulier sont constructibles.
n = 4 : De même, ζ ₄ = i , donc Q (ζ ₄ ) = Q ( i ) , et un 4-gone régulier est constructible.
n = 5 : Le corps Q (ζ ₅ ) n’est pas une Extension quadratique de Q , mais c’est une Extension quadratique de l’Extension quadratique Q ( √ 5 ) , donc un 5-gone régulier est constructible.

Relation avec le dernier théorème de Fermat

Une approche naturelle pour prouver le dernier théorème de Fermat est de factoriser le binôme x ⁿ + y ⁿ , où n est un nombre premier impair , apparaissant dans un côté de l’équation de Fermat

x n + y n = z n {displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} ${displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

comme suit:

x n + y n = ( x + y ) ( x + ζ y ) ⋯ ( x + ζ n − 1 y ) {displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+zeta y)cdots (x+zeta ^{n-1}y)} ${displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+zeta y)cdots (x+zeta ^{n-1}y)}$ ${displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+zeta y)cdots (x+zeta ^{n-1}y)}$

Ici x et y sont des entiers ordinaires, alors que les facteurs sont des entiers algébriques dans le corps cyclotomique Q ( ζ _n ) . Si la Factorisation unique tient dans les entiers cyclotomiques Z [ ζ _n ] , alors elle peut être utilisée pour exclure l’existence de solutions non triviales à l’équation de Fermat.

Plusieurs tentatives pour aborder le dernier théorème de Fermat se sont déroulées dans ce sens, et la preuve de Fermat pour n = 4 et la preuve d’Euler pour n = 3 peuvent être refondues en ces termes. La liste complète de n pour lesquels Q ( ζ _n ) a une Factorisation unique est ^[2]

1 à 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Kummer a trouvé un moyen de faire face à l’échec de la Factorisation unique. Il a introduit un remplacement des nombres premiers dans les entiers cyclotomiques Z [ ζ _n ] , a mesuré l’échec de la Factorisation unique via le nombre de classe h _n et a prouvé que si h _p n’est pas divisible par un nombre premier p (de tels p sont appelés nombres premiers réguliers ) alors le théorème de Fermat est vrai pour l’exposant n = p . De plus, il a donné un critère pour déterminer quels nombres premiers sont réguliers et a établi le théorème de Fermat pour tous les exposants premiers pinférieur à 100, sauf pour les nombres premiers irréguliers 37 , 59 et 67 . Les travaux de Kummer sur les congruences pour les nombres de classes des champs cyclotomiques ont été généralisés au XXe siècle par Iwasawa dans la théorie d’Iwasawa et par Kubota et Leopoldt dans leur théorie des fonctions zêta p-adiques .

Liste des numéros de classe des champs cyclotomiques

(séquence A061653 dans le OEIS ), ou OEIS : A055513 ou OEIS : A000927 pour le h {displaystyle h} -partie (pour premier n )

1-22 : 1
23: 3
24-28 : 1
29: 8
30 : 1
31: 9
32-36 : 1
37: 37
38 : 1
39 : 2
40 : 1
41 : 121
42 : 1
43 : 211
44 : 1
45 : 1
46 : 3
47 : 695
48 : 1
49 : 43
50 : 1
51 : 5
52 : 3
53 : 4889
54 : 1
55:10
56 : 2
57 : 9
58: 8
59 : 41241
60 : 1
61 : 76301
62 : 9
63 : 7
64 : 17
65 : 64
66 : 1
67 : 853513
68: 8
69: 69
70 : 1
71 : 3882809
72 : 3
73 : 11957417
74 : 37
75 : 11
76 : 19
77 : 1280
78 : 2
79 : 100146415
80 : 5
81 : 2593
82 : 121
83 : 838216959
84 : 1
85 : 6205
86 : 211
87 : 1536
88 : 55
89 : 13379363737
90 : 1
91 : 53872
92 : 201
93 : 6795
94 : 695
95 : 107692
96 : 9
97 : 411322824001
98 : 43
99 : 2883
100 : 55
101 : 3547404378125
102 : 5
103 : 9069094643165
104 : 351
105 : 13
106 : 4889
107 : 63434933542623
108 : 19
109 : 161784800122409
110 : 10
111 : 480852
112 : 468
113 : 1612072001362952
114 : 9
115 : 44697909
116 : 10752
117 : 132678
118 : 41241
119 : 1238459625
120 : 4
121 : 12188792628211
122 : 76301
123 : 8425472
124 : 45756
125 : 57708445601
126 : 7
127 : 2604529186263992195
128 : 359057
129 : 37821539
130 : 64
131 : 28496379729272136525
132 : 11
133 : 157577452812
134 : 853513
135 : 75961
136 : 111744
137 : 646901570175200968153
138 : 69
139 : 1753848916484925681747
140 : 39
141 : 1257700495
142 : 3882809
143 : 36027143124175
144 : 507
145 : 1467250393088
146 : 11957417
147 : 5874617
148 : 4827501
149 : 687887859687174720123201
150 : 11
151 : 2333546653547742584439257
152 : 1666737
153 : 2416282880
154 : 1280
155 : 84473643916800
156 : 156
157 : 56234327700401832767069245
158 : 100146415
159 : 223233182255
160 : 31365

Voir également

Théorème de Kronecker-Weber
Polynôme cyclotomique

Références

^ Washington 1997 , Proposition 2.7.
^ Washington 1997 , Théorème 11.1.

Sources

Bryan Birch , “Champs cyclotomiques et extensions de Kummer”, dans JWS Cassels et A. Frohlich (edd), Théorie algébrique des nombres , Academic Press , 1973. Chap.III, pp. 45–93.
Daniel A. Marcus, Number Fields , première édition, Springer-Verlag, 1977
Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields , Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2 éd.), New York : Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-1934-7 , ISBN 0-387-94762-0, M. 1421575
Serge Lang , Champs cyclotomiques I et II , Deuxième édition combinée. Avec une annexe par Karl Rubin . Textes d’études supérieures en mathématiques , 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Lectures complémentaires

Coates, John ; En ligneSujatha, R. (2006). Champs cyclotomiques et valeurs Zeta . Monographies de Springer en mathématiques. Springer-Verlag . ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002 .
Weisstein, Eric W. “Champ cyclotomique” . MathWorld .
“Champ cyclotomique” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Sur l’Anneau des Entiers des Champs Cyclotomiques Réels. Koji Yamagata et Masakazu Yamagishi : Proc, Japan Academy, 92 ans. Sera (2016)