Parité (mathématiques)

En mathématiques , la parité est la propriété d’un nombre entier d’être pair ou impair . Un entier est pair s’il est multiple de deux et impair s’il ne l’est pas. ^[1] Par exemple, −4, 0, 82 sont pairs car

Réglettes Cuisenaire : 5 (jaunes) ne peuvent pas être divisés en 2 (rouges) par 2 réglettes de même couleur/longueur, tandis que 6 (vert foncé) peuvent être divisés en 2 par 3 (). − 2 ⋅ 2 = − 4 0 ⋅ 2 = 0 41 ⋅ 2 = 82 {displaystyle {begin{aligné}-2cdot 2&=-4\0cdot 2&=0\41cdot 2&=82end{aligné}}}

En revanche, −3, 5, 7, 21 sont des nombres impairs. La définition ci-dessus de la parité s’applique uniquement aux nombres entiers, elle ne peut donc pas être appliquée à des nombres comme 1/2 ou 4.201. Voir la section “Mathématiques supérieures” ci-dessous pour certaines extensions de la notion de parité à une classe plus large de “nombres” ou dans d’autres contextes plus généraux.

Les nombres pairs et impairs ont des parités opposées, par exemple, 22 (nombre pair) et 13 (nombre impair) ont des parités opposées. En particulier, la parité de zéro est paire. ^[2] Deux nombres entiers consécutifs ont une parité opposée. Un nombre (c’est-à-dire un entier) exprimé dans le système numérique décimal est pair ou impair selon que son dernier chiffre est pair ou impair. Autrement dit, si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9, alors il est impair ; sinon, il est pair, car le dernier chiffre de tout nombre pair est 0, 2, 4, 6 ou 8. La même idée fonctionnera en utilisant n’importe quelle base paire. En particulier, un nombre exprimé dans le système numérique binaireest impair si son dernier chiffre est 1 ; et il est pair si son dernier chiffre est 0. Dans une base impaire, le nombre est pair selon la somme de ses chiffres – il est pair si et seulement si la somme de ses chiffres est paire. ^[3]

Définition

Un nombre pair est un entier de la forme

X = 2 k {displaystyle x=2k} où k est un entier ; ^[4] un nombre impair est un entier de la forme X = 2 k + 1. {displaystyle x=2k+1.}

Une définition équivalente est qu’un nombre pair est Divisible par 2 :

2 | X {displaystyle 2 |x} et un nombre impair n’est pas : 2 ⧸ | X {displaystyle 2non | x}

Les ensembles de nombres pairs et impairs peuvent être définis comme suit : ^[5]

{ 2 k : k ∈ Z } {displaystyle {2k:kin mathbb {Z} }} { 2 k + 1 : k ∈ Z } {displaystyle {2k+1:kin mathbb {Z} }}

L’ensemble des nombres pairs est un sous-groupe normal de Z {displaystyle Z} et créer le groupe de facteurs Z / 2 Z {displaystyle Z/2Z} . La parité peut alors être définie comme un homomorphisme de Z {displaystyle Z} pour Z / 2 Z {displaystyle Z/2Z} où les nombres impairs sont 1 et les nombres pairs sont 0. Les conséquences de cet homomorphisme sont décrites ci-dessous.

Propriétés

Les lois suivantes peuvent être vérifiées en utilisant les propriétés de Divisibilité . Ils sont un cas particulier de règles en arithmétique modulaire et sont couramment utilisés pour vérifier si une égalité est susceptible d’être correcte en testant la parité de chaque côté. Comme pour l’arithmétique ordinaire, la multiplication et l’addition sont commutatives et associatives dans l’arithmétique modulo 2, et la multiplication est distributive sur l’addition. Cependant, la soustraction en modulo 2 est identique à l’addition, donc la soustraction possède également ces propriétés, ce qui n’est pas vrai pour l’arithmétique entière normale.

Addition et soustraction

• pair ± pair = pair ; ^[1]
• pair ± impair = impair ; ^[1]
• impair ± impair = pair ; ^[1]

Multiplication

• pair × pair = pair ; ^[1]
• pair × impair = pair ; ^[1]
• impair × impair = impair ; ^[1]

La structure ({pair, impair}, +, ×) est en fait un corps à deux éléments .

Division

La division de deux nombres entiers ne donne pas nécessairement un nombre entier. Par exemple, 1 divisé par 4 est égal à 1/4, qui n’est ni pair ni impair, puisque les concepts de pair et d’impair ne s’appliquent qu’aux nombres entiers. Mais lorsque le quotient est un entier, il sera pair si et seulement si le dividende a plus de facteurs de deux que le diviseur. ^[6]

Histoire

Les anciens Grecs considéraient 1, la monade , comme n’étant ni totalement impaire ni totalement paire. ^[7] Une partie de ce sentiment a survécu jusqu’au 19ème siècle: L’éducation de l’homme de 1826 de Friedrich Wilhelm August Fröbel demande à l’enseignant de forer les élèves avec l’affirmation que 1 n’est ni pair ni impair, à laquelle Fröbel attache la réflexion philosophique après coup,

Il est bon d’attirer immédiatement l’attention de l’élève sur une grande loi de la nature et de la pensée. C’est qu’entre deux choses ou idées relativement différentes, il y en a toujours une troisième, dans une sorte d’équilibre, qui semble unir les deux. Ainsi, il y a ici entre les nombres pairs et impairs un nombre (un) qui n’est ni l’un ni l’autre. De même, dans la forme, l’angle droit se situe entre les angles aigu et obtus ; et dans le langage, les demi-voyelles ou aspirants entre les muets et les voyelles. Un professeur réfléchi et un élève qui a appris à penser par lui-même ne peuvent guère s’empêcher de remarquer ceci et d’autres lois importantes. ^[8]

Mathématiques supérieures

Dimensions supérieures et classes de nombres plus générales

un	b	c	ré	e	F	g	h
8		8
7	7
6	6
5	5
4	4
3	3
2	2
1	1
un	b	c	ré	e	F	g	h

Les deux fous blancs sont confinés dans des cases de parité opposée ; le chevalier noir ne peut sauter que sur des cases de parité alternée.

Les coordonnées entières des points dans les espaces euclidiens de deux dimensions ou plus ont également une parité, généralement définie comme la parité de la somme des coordonnées. Par exemple, le réseau cubique à faces centrées et ses généralisations de dimension supérieure, les réseaux D _n , sont constitués de tous les points entiers dont la somme des coordonnées est paire. ^[9] Cette caractéristique se manifeste aux échecs , où la parité d’une case est indiquée par sa couleur : les fous sont contraints à des cases de même parité ; les chevaliers alternent la parité entre les mouvements. ^[10] Cette forme de parité a été utilisée pour résoudre le problème de l’ échiquier mutilé: si deux cases de coins opposés sont retirées d’un échiquier, alors l’échiquier restant ne peut pas être recouvert de dominos, car chaque domino couvre une case de chaque parité et il y a deux cases de plus d’une parité que de l’autre. ^[11]

La parité d’un nombre ordinal peut être définie comme étant paire si le nombre est un ordinal limite, ou un ordinal limite plus un nombre pair fini, et impaire sinon. ^[12]

Soit R un anneau commutatif et soit I un idéal de R d’ indice 2. Eléments du coset 0 + I {displaystyle 0+I} peut être appelé pair , tandis que les éléments du coset 1 + I {displaystyle 1+I} peut être qualifié d’ impair . A titre d’exemple, soit R = Z ₍₂₎ la localisation de Z à l’ idéal premier (2). Alors un élément de R est pair ou impair si et seulement si son numérateur l’est dans Z .

La théorie du nombre

Les nombres pairs forment un idéal dans l’ anneau des nombres entiers, ^[13] mais les nombres impairs ne le font pas – cela ressort clairement du fait que l’ élément d’ identité pour l’addition, zéro, est un élément des nombres pairs uniquement. Un entier est pair s’il est congru à 0 modulo cet idéal, autrement dit s’il est congru à 0 modulo 2, et impair s’il est congru à 1 modulo 2.

Tous les nombres premiers sont impairs, à une exception près : le nombre premier 2. ^[14] Tous les nombres parfaits connus sont pairs ; on ne sait pas s’il existe des nombres parfaits impairs. ^[15]

La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre entier pair supérieur à 2 peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers. Les calculs informatiques modernes ont montré que cette conjecture est vraie pour des nombres entiers jusqu’à au moins 4 × 10 ¹⁸ , mais aucune preuve générale n’a encore été trouvée. ^[16]

Théorie des groupes

Rubik’s Revenge à l’état résolu

La parité d’une permutation (telle que définie en algèbre abstraite ) est la parité du nombre de transpositions dans lesquelles la permutation peut être décomposée. ^[17] Par exemple (ABC) à (BCA) est pair parce que cela peut être fait en échangeant A et B puis C et A (deux transpositions). On peut montrer qu’aucune permutation ne peut être décomposée à la fois en un nombre pair et en un nombre impair de transpositions. Par conséquent, ce qui précède est une définition appropriée. Dans Rubik’s Cube , Megaminx et d’autres puzzles tordus, les mouvements du puzzle ne permettent que des permutations paires des pièces du puzzle, la parité est donc importante pour comprendre l’ espace de configuration de ces puzzles. ^[18]

Le théorème de Feit-Thompson stipule qu’un groupe fini est toujours résoluble si son ordre est un nombre impair. Il s’agit d’un exemple de nombres impairs jouant un rôle dans un théorème mathématique avancé où la méthode d’application de l’hypothèse simple d'”ordre impair” est loin d’être évidente. ^[19]

Une analyse

La parité d’une fonction décrit comment ses valeurs changent lorsque ses arguments sont échangés avec leurs négations. Une fonction paire, telle qu’une puissance paire d’une variable, donne le même résultat pour tout argument que pour sa négation. Une fonction impaire, telle qu’une puissance impaire d’une variable, donne pour tout argument la négation de son résultat lorsqu’on lui donne la négation de cet argument. Il est possible qu’une fonction ne soit ni impaire ni paire, et pour le cas f ( x ) = 0, soit à la fois impaire et paire. ^[20] La série de Taylor d’une fonction paire ne contient que des termes dont l’exposant est un nombre pair, et la série de Taylor d’une fonction impaire ne contient que des termes dont l’exposant est un nombre impair. ^[21]

Théorie combinatoire des jeux

Dans la théorie combinatoire des jeux , un mauvais nombre est un nombre qui a un nombre pair de 1 dans sa Représentation binaire , et un nombre odieux est un nombre qui a un nombre impair de 1 dans sa Représentation binaire ; ces nombres jouent un rôle important dans la stratégie du jeu Kayles . ^[22] La fonction de parité fait correspondre un nombre au nombre de 1 dans sa Représentation binaire, modulo 2 , donc sa valeur est zéro pour les nombres mauvais et un pour les nombres odieux. La séquence Thue-Morse , une séquence infinie de 0 et de 1, a un 0 en position i quand iest mauvais, et un 1 dans cette position quand i est odieux. ^[23]

Demandes supplémentaires

En théorie de l’information , un bit de parité ajouté à un nombre binaire fournit la forme la plus simple de code de détection d’erreur . Si un seul bit de la valeur résultante est modifié, il n’aura plus la bonne parité : changer un bit dans le nombre d’origine lui donne une parité différente de celle enregistrée, et changer le bit de parité sans changer le nombre qu’il était dérivé de nouveau produit un résultat incorrect. De cette manière, toutes les erreurs de transmission à un seul bit peuvent être détectées de manière fiable. ^[24] Certains codes de détection d’erreurs plus sophistiqués sont également basés sur l’utilisation de plusieurs bits de parité pour des sous-ensembles de bits de la valeur codée d’origine. ^[25]

Dans les instruments à vent à perce cylindrique et en effet fermés à une extrémité, comme la clarinette au bec, les harmoniques produites sont des multiples impairs de la fréquence fondamentale . (Avec des tuyaux cylindriques ouverts aux deux bouts, utilisés par exemple dans certains jeux d’ orgue comme le diapason ouvert , les harmoniques sont des multiples pairs d’une même fréquence pour la longueur de perce donnée, mais cela a pour effet de doubler la fréquence fondamentale et tout des multiples de cette fréquence fondamentale sont produits.) Voir série harmonique (musique) . ^[26]

Dans certains pays, la numérotation des maisons est choisie de sorte que les maisons d’un côté d’une rue aient des numéros pairs et les maisons de l’autre côté des numéros impairs. ^[27] De même, parmi les Autoroutes numérotées des États-Unis , les nombres pairs indiquent principalement les autoroutes est-ouest tandis que les nombres impairs indiquent principalement les autoroutes nord-sud. ^[28] Parmi les numéros de vol des compagnies aériennes , les nombres pairs identifient généralement les vols en direction est ou nord, et les nombres impairs identifient généralement les vols en direction ouest ou sud. ^[29]

Voir également

• Diviseur
• Demi-entier

Références

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