Un ordre de grandeur est une approximation du logarithme d’une valeur par rapport à une valeur de référence comprise dans le contexte, généralement 10, interprétée comme la base du logarithme et le représentant des valeurs de grandeur un. Les distributions logarithmiques sont de nature courante et la prise en compte de l’ordre de grandeur des valeurs échantillonnées à partir d’une telle distribution peut être plus intuitive. Lorsque la valeur de référence est 10, l’ordre de grandeur peut être compris comme le nombre de chiffres dans la représentation en base 10 de la valeur. De même, SI la valeur de référence est l’une des puissances de 2, puisque les ordinateurs stockent les données dans un format binaire , l’amplitude peut être comprise en termes de quantité de mémoire informatique nécessaire pour stocker cette valeur.
Les différences d’ordre de grandeur peuvent être mesurées sur une échelle logarithmique de base 10 en « décades » (c’est-à-dire en facteurs de dix). [1] Des exemples de nombres de grandeurs différentes peuvent être trouvés sur Ordres de grandeur (nombres) .
Définition
Généralement, l’ordre de grandeur d’un nombre est la plus petite puissance de 10 utilisée pour représenter ce nombre. [2] Calculer l’ordre de grandeur d’un nombre N {displaystyle N}
N = a × 10 b {displaystyle N=afois 10^{b}}
où 1 10 ≤ a < 10 {displaystyle {frac {1}{sqrt {10}}}leq a<{sqrt {10}}}
| Numéro N {displaystyle N} |
Expression en N = a × 10 b {displaystyle N=afois 10^{b}} |
Ordre de grandeur b {displaystyle b} |
|---|---|---|
| 0,2 | 2 × 10 −1 | −1 |
| 1 | 1 × 10 0 | 0 |
| 5 | 0,5 × 10 1 | 1 |
| 6 | 0,6 × 10 1 | 1 |
| 31 | 3,1 × 10 1 | 1 |
| 32 | 0,32 × 10 2 | 2 |
| 999 | 0,999 × 10 3 | 3 |
| 1000 | 1 × 10 3 | 3 |
La moyenne géométrique de 10 b − 1 / 2 {displaystyle 10^{b-1/2}}
Certains utilisent une définition plus simple où 0.5 < a ≤ 5 {displaystyle 0.5<aleq 5}
| Numéro N {displaystyle N} |
Expression en N = a × 10 b {displaystyle N=afois 10^{b}} |
Ordre de grandeur b {displaystyle b} |
|---|---|---|
| 0,2 | 2 × 10 −1 | −1 |
| 1 | 1 × 10 0 | 0 |
| 5 | 5 × 10 0 | 0 |
| 6 | 0,6 × 10 1 | 1 |
| 31 | 3,1 × 10 1 | 1 |
| 32 | 3,2 × 10 1 | 1 |
| 999 | 0,999 × 10 3 | 3 |
| 1000 | 1 × 10 3 | 3 |
Pourtant, d’autres restreignent a {displaystyle a}
Les usages
Des ordres de grandeur sont utilisés pour faire des comparaisons approximatives. SI les nombres diffèrent d’un ordre de grandeur, x est environ dix fois différent en quantité de y . SI les valeurs diffèrent de deux ordres de grandeur, elles diffèrent d’un facteur d’environ 100. Deux nombres du même ordre de grandeur ont à peu près la même échelle : la plus grande valeur est moins de dix fois la plus petite valeur.
| En mots ( échelle longue ) |
En mots ( échelle courte ) |
Préfixe (Symbole) | Décimal | Puissance de dix |
Ordre de grandeur |
|---|---|---|---|---|---|
| quadrillionième | septillionième | yocto- (y) | 0,000 000 000 000 000 000 000 001 | 10 −24 | −24 |
| trilliardième | sextillionième | zepto- (z) | 0,000 000 000 000 000 000 001 | 10 −21 | −21 |
| milliardième | quintillionième | atto- (a) | 0,000 000 000 000 000 001 | 10 −18 | −18 |
| billard | quadrillionième | femto- (f) | 0,000 000 000 000 001 | 10 −15 | −15 |
| milliardième | milliardième | pico- (p) | 0,000 000 000 001 | 10 −12 | −12 |
| milliardième | milliardième | nano-(n) | 0,000 000 001 | 10 −9 | −9 |
| millionième | millionième | micro- ( μ ) | 0,000 001 | 10 −6 | −6 |
| millième | millième | milli- (m) | 0,001 | 10 −3 | −3 |
| centième | centième | centi- (c) | 0,01 | 10 −2 | −2 |
| dixième | dixième | déci- (d) | 0,1 | 10 −1 | −1 |
| une | une | 1 | 10 0 | 0 | |
| Dix | Dix | déca- (da) | dix | 10 1 | 1 |
| cent | cent | hecto- (h) | 100 | 10 2 | 2 |
| mille | mille | kilo- (k) | 1000 | 10 3 | 3 |
| million | million | méga- (M) | 1 000 000 | 10 6 | 6 |
| milliard | milliard | giga- (G) | 1 000 000 000 | 10 9 | 9 |
| milliard | mille milliards | téra- (T) | 1 000 000 000 000 | 10 12 | 12 |
| billard | quadrillion | péta- (P) | 1 000 000 000 000 000 | 10 15 | 15 |
| mille milliards | quintillion | exa- (E) | 1 000 000 000 000 000 000 | 10 18 | 18 |
| trilliard | sextillon | zetta- (Z) | 1 000 000 000 000 000 000 000 | 10 21 | 21 |
| quadrillion | septillion | yotta- (Y) | 1 000 000 000 000 000 000 000 000 | 10 24 | 24 |
| En mots ( échelle longue ) |
En mots ( échelle courte ) |
Préfixe (Symbole) | Décimal | Puissance de dix |
Ordre de grandeur |
Calcul de l’ordre de grandeur
L’ordre de grandeur d’un nombre est, intuitivement parlant, le nombre de puissances de 10 contenues dans le nombre. Plus précisément, l’ordre de grandeur d’un nombre peut être défini en termes de logarithme commun , généralement comme la partie entière du logarithme, obtenu par troncature . Par exemple, le nombre4 000 000 a un logarithme (en base 10) de 6,602 ; son ordre de grandeur est 6. En tronquant, un nombre de cet ordre de grandeur est compris entre 10 6 et 10 7 . Dans un exemple similaire, avec la phrase “Il avait un revenu à sept chiffres”, l’ordre de grandeur est le nombre de chiffres moins un, il est donc très facilement déterminé sans calculatrice à 6. Un ordre de grandeur est une position approximative sur une échelle logarithmique .
Estimation de l’ordre de grandeur
Une estimation d’ordre de grandeur d’une variable, dont la valeur précise est inconnue, est une estimation arrondie à la puissance de dix la plus proche. Par exemple, une estimation d’ordre de grandeur pour une variable entre environ 3 milliards et 30 milliards (comme la population humaine de la Terre ) est de 10 milliards . Pour arrondir un nombre à son ordre de grandeur le plus proche, on arrondit son logarithme à l’entier le plus proche. Ainsi4 000 000 , qui a un logarithme (en base 10) de 6,602, a 7 comme ordre de grandeur le plus proche, car “le plus proche” implique un arrondi plutôt qu’une troncature. Pour un nombre écrit en notation scientifique, cette échelle d’arrondi logarithmique nécessite un arrondi à la puissance dix supérieure lorsque le multiplicateur est supérieur à la racine carrée de dix (environ 3,162). Par exemple, l’ordre de grandeur le plus proche pour1,7 × 10 8 est 8, alors que l’ordre de grandeur le plus proche pour3,7 × 10 8 est égal à 9. Une estimation d’ordre de grandeur est parfois aussi appelée Approximation d’ordre zéro .
Différence d’ordre de grandeur
Une différence d’ordre de grandeur entre deux valeurs est un facteur de 10. Par exemple, la masse de la planète Saturne est 95 fois celle de la Terre , donc Saturne est deux ordres de grandeur plus massif que la Terre. Les différences d’ordre de grandeur sont appelées décennies lorsqu’elles sont mesurées sur une échelle logarithmique .
Ordres de grandeur non décimaux
D’autres ordres de grandeur peuvent être calculés en utilisant des bases autres que 10. Les anciens Grecs classaient la luminosité nocturne des corps célestes par 6 niveaux dans lesquels chaque niveau était la cinquième racine de cent (environ 2,512) aussi brillant que le niveau de luminosité le plus faible le plus proche. , et donc le niveau le plus brillant étant de 5 ordres de grandeur plus brillant que le plus faible indique qu’il est (100 1/5 ) 5 ou un facteur de 100 fois plus brillant.
Les différents systèmes de numération décimale du monde utilisent une base plus large pour mieux imaginer la taille du nombre, et ont créé des noms pour les puissances de cette base plus large. Le tableau montre à quel nombre l’ordre de grandeur vise pour la base 10 et pour la base1 000 000 . On peut voir que l’ordre de grandeur est inclus dans le nom du nombre dans cet exemple, car bi- signifie 2 et tri- signifie 3 (ceux-ci n’ont de sens qu’à longue échelle), et le suffixe -illion indique que la base est1 000 000 . Mais les nombres se nomment milliard, trillion eux-mêmes (ici avec un autre sens que dans le premier chapitre) ne sont pas des noms d’ ordres de grandeurs, ce sont des noms de “magnitudes”, c’est-à-dire des nombres 1 000 000 000 000 etc…
| Ordre de grandeur | Est le log 10 de | Est le journal1 000 000 de | Échelle courte | Longue échelle |
|---|---|---|---|---|
| 1 | dix | 1 000 000 | million | million |
| 2 | 100 | 1 000 000 000 000 | mille milliards | milliard |
| 3 | 1000 | 1 000 000 000 000 000 000 | quintillion | mille milliards |
Les unités SI dans le tableau de droite sont utilisées avec les préfixes SI , qui ont été conçus principalement avec des magnitudes de base 1000 à l’esprit. Les préfixes standard CEI avec base 1024 ont été inventés pour être utilisés dans la technologie électronique.
Les anciennes magnitudes apparentes de la luminosité des étoiles utilisent la base 100 5 ≈ 2.512 {displaystyle {sqrt[{5}]{100}}environ 2.512}
Des nombres extrêmement grands
Pour des nombres extrêmement grands , un ordre de grandeur généralisé peut être basé sur leur double logarithme ou super-logarithme . Arrondir ceux-ci vers le bas à un entier donne des catégories entre des “nombres ronds” très, les arrondir à l’entier le plus proche et appliquer la fonction inverse donne le nombre rond “le plus proche”.
Le double logarithme donne les catégories :
…, 1.0023–1.023, 1.023–1.26, 1.26–10, 10–10 10 , 10 10 –10 100 , 10 100 –10 1000 , …
(les deux premiers mentionnés, et l’extension vers la gauche, peuvent ne pas être très utiles, ils démontrent simplement comment la séquence continue mathématiquement vers la gauche).
Le super-logarithme donne les catégories :
0–1, 1–10, 10–10 10 , 10 10 –10 10 10 , 10 10 10 –10 10 10 10 , … ou 0– 0 10, 0 10– 1 10, 1 10– 2 10, 2 10– 3 10, 3 10– 4 10, …
Les “milieu” qui déterminent quel nombre rond est le plus proche sont dans le premier cas :
1.076, 2.071, 1453, 4,20 × 10 31 , 1,69 × 10 316 ,…
et, selon la méthode d’interpolation, dans le second cas
−0,301, 0,5, 3,162, 1453 , 1 × 10 1453 , ( 10 ↑ ) 1 10 1453 {displaystyle (10uparrow )^{1}10^{1453}}
Pour des nombres extrêmement petits (au sens proches de zéro), aucune des méthodes ne convient directement, mais l’ordre de grandeur généralisé de l’ inverse peut être considéré.
Semblable à l’ échelle logarithmique, on peut avoir une double échelle logarithmique (exemple fourni ici ) et une échelle super-logarithmique. Les intervalles ont surtout la même longueur, avec les “milieu” en fait à mi-chemin. Plus généralement, un point à mi-chemin entre deux points correspond à la f -moyenne généralisée avec f ( x ) la fonction correspondante log log x ou slog x . Dans le cas de log log x , cette moyenne de deux nombres (par exemple 2 et 16 donnant 4) ne dépend pas de la base du logarithme, tout comme dans le cas de log x ( moyenne géométrique, 2 et 8 donnant 4), mais contrairement au cas de log log log x (4 et65 536 donnant 16 SI la base est 2, mais pas autrement).
Voir également
- Notation grand O
- Décibel
- Opérateurs mathématiques et symboles en Unicode
- Noms de grands nombres
- Noms des petits nombres
- Le sens du nombre
- Ordres de grandeur (énergie)
- Ordres de grandeur (chiffres)
- Notation scientifique
- Les symboles Unicode pour la compatibilité CJC incluent les symboles d’unité SI
- Valuation (algèbre) , une généralisation algébrique de “l’ordre de grandeur”
- Échelle (outil d’analyse)
Références
- ^ Brians, Pause. “Ordres de grandeur” . Récupéré le 9 mai 2013 .
- ^ “Ordre de grandeur” . Wolfram MathWorld . Récupéré le 3 janvier 2017 . Les physiciens et les ingénieurs utilisent l’expression « ordre de grandeur » pour désigner la plus petite puissance de dix nécessaire pour représenter une quantité.
Lectures complémentaires
- Asimov, Isaac , La mesure de l’univers (1983).
Liens externes
- L’échelle de l’univers 2 Outil interactif de la longueur de Planck 10 −35 mètres à la taille de l’univers 10 27
- Cosmos – un voyage dimensionnel illustré du microcosme au macrocosme – de Digital Nature Agency
- Puissances de 10 , une illustration graphique animée qui commence par une vue de la Voie lactée à 10 23 mètres et se termine par des particules subatomiques à 10 −16 mètres.
- Qu’est-ce que l’ordre de grandeur ?