Nombre algébrique

Un nombre algébrique est un nombre qui est une racine d’un polynôme non nul dans une variable avec des coefficients entiers (ou, de manière équivalente, rationnels ). Par exemple, le nombre d’or , ( 1 + 5 ) / 2 {displaystyle (1+{sqrt {5}})/2} , est un nombre algébrique, car c’est une racine du polynôme x ² − x − 1 . C’est-à-dire qu’il s’agit d’une valeur pour x pour laquelle le polynôme est évalué à zéro. Comme autre exemple, le nombre complexe 1 + je {displaystyle 1+i} est algébrique car c’est une racine de x ⁴ + 4 .

La racine carrée de 2 est un nombre algébrique égal à la longueur de l’ hypoténuse d’un triangle rectangle avec des jambes de longueur 1.

Tous les entiers et les nombres rationnels sont algébriques, comme le sont toutes les racines d’entiers . Les nombres réels et complexes qui ne sont pas algébriques, tels que π et e , sont appelés nombres transcendants .

L’ ensemble des nombres algébriques est dénombrable infini et a la Mesure zéro dans la mesure de Lebesgue comme sous – ensemble des nombres complexes indénombrables . En ce sens, presque tous les nombres complexes sont transcendantaux .

Exemples

Tous les nombres rationnels sont algébriques. Tout nombre Rationnel, exprimé comme le quotient d’un entier a et d’un nombre naturel (non nul) b , satisfait la définition ci-dessus, car x =un/best la racine d’un polynôme non nul, à savoir bx − a . ^[1]
Les nombres irrationnels quadratiques , solutions irrationnelles d’un polynôme quadratique ax ² + bx + c à coefficients entiers a , b et c , sont des nombres algébriques. Si le polynôme quadratique est monique ( a = 1 ), les racines sont en outre qualifiées d’ entiers quadratiques .
- Les entiers gaussiens , les nombres complexes a + bi pour lesquels a et b sont des entiers, sont aussi des entiers quadratiques. En effet, a + bi et a – bi sont les deux racines du quadratique x ² – 2 ax + a ² + b ² .
Un nombre constructible peut être construit à partir d’une unité de longueur donnée à l’aide d’une règle et d’un compas. Il comprend toutes les racines quadratiques irrationnelles, tous les nombres rationnels et tous les nombres qui peuvent être formés à partir de ceux-ci en utilisant les opérations arithmétiques de base et l’extraction des racines carrées. (En désignant des directions cardinales pour 1, −1, i et − i , des nombres complexes tels que 3 + je 2 {displaystyle 3+i{sqrt {2}}} sont considérés comme constructibles.)
Toute expression formée à partir de nombres algébriques utilisant n’importe quelle combinaison des opérations arithmétiques de base et de l’extraction des n ièmes racines donne un autre nombre algébrique.
Racines polynomiales qui ne peuvent pas être exprimées en termes d’opérations arithmétiques de base et d’extraction de n ièmes racines (telles que les racines de x ⁵ − x + 1 ). Cela se produit avec de nombreux polynômes de degré 5 ou plus, mais pas tous.
Valeurs des fonctions trigonométriques des multiples rationnels de π (sauf lorsqu’elles ne sont pas définies) : par exemple, cos π/7, car 3 π/7, et cos 5 π/7satisfaire 8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1 = 0 . Ce polynôme est irréductible sur les rationnels et donc les trois cosinus sont des nombres algébriques conjugués . De même, bronzer 3 π/16, bronzer 7 π/16, bronzer 11 π/16, et bronzer 15 π/16satisfont le polynôme irréductible x ⁴ − 4 x ³ − 6 x ² + 4 x + 1 = 0 , ainsi que les entiers algébriques conjugués .
Certains nombres irrationnels, mais pas tous, sont algébriques :
- Les nombres 2 {displaystyle {sqrt {2}}} et 3 3 2 {displaystyle {frac {sqrt[{3}]{3}}{2}}} sont algébriques puisque ce sont des racines de polynômes x ² − 2 et 8 x ³ − 3 , respectivement.
- Le nombre d’or φ est algébrique puisque c’est une racine du polynôme x ² − x − 1 .
- Les nombres π et e ne sont pas des nombres algébriques (voir le théorème de Lindemann-Weierstrass ). ^[2]

Propriétés

Nombres algébriques sur le plan complexe coloré par degré (orange vif/rouge = 1, vert = 2, bleu = 3, jaune = 4)

Si un polynôme à coefficients rationnels est multiplié par Le plus petit dénominateur commun , le polynôme résultant à coefficients entiers a les mêmes racines. Cela montre qu’un nombre algébrique peut être défini de manière équivalente comme une racine d’un polynôme avec des coefficients entiers ou rationnels.
Étant donné un nombre algébrique, il existe un polynôme unitaire unique avec des coefficients rationnels de moindre degré qui a le nombre comme racine. Ce polynôme est appelé son polynôme minimal . Si son polynôme minimal est de degré n , alors le nombre algébrique est dit de degré n . Par exemple, tous les nombres rationnels sont de degré 1, et un nombre algébrique de degré 2 est un Irrationnel quadratique .
Les nombres algébriques sont denses dans les réels . Cela découle du fait qu’ils contiennent les nombres rationnels, qui sont denses dans les réels eux-mêmes.
L’ensemble des nombres algébriques est dénombrable (énumérable), ^{[3] [4]} et donc sa mesure de Lebesgue en tant que sous-ensemble des nombres complexes est 0 (essentiellement, les nombres algébriques ne prennent pas de place dans les nombres complexes). C’est-à-dire que “presque tous” les nombres réels et complexes sont transcendantaux.
Tous les nombres algébriques sont calculables et donc définissables et arithmétiques .
Pour les nombres réels a et b , le nombre complexe a + bi est algébrique si et seulement si a et b sont algébriques. ^[5]

Domaine

Nombres algébriques colorés par degré (bleu = 4, cyan = 3, rouge = 2, vert = 1). Le cercle unité est noir.

La somme, la différence, le produit et le quotient (si le dénominateur est différent de zéro) de deux nombres algébriques sont à nouveau algébriques, comme on peut le démontrer en utilisant la résultante , et les nombres algébriques forment ainsi un champ Q ̄ {displaystyle {overline {mathbb {Q}}}} (parfois désigné par UN {displaystyle mathbb {A}} , mais cela désigne généralement l’ anneau d’adele ). Chaque racine d’une équation polynomiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est à nouveau algébrique. Cela peut être reformulé en disant que le corps des nombres algébriques est algébriquement clos . En fait, c’est le plus petit corps algébriquement clos contenant les rationnels et on l’appelle donc la clôture algébrique des rationnels.

L’ensemble des nombres algébriques réels forme lui-même un corps. ^[6]

Domaines connexes

Nombres définis par des radicaux

Tout nombre qui peut être obtenu à partir des nombres entiers en utilisant un nombre fini d’ additions , de soustractions , de multiplications , de divisions et en prenant (éventuellement complexe) n ièmes racines où n est un entier positif est algébrique. L’inverse, cependant, n’est pas vrai : il existe des nombres algébriques qui ne peuvent pas être obtenus de cette manière. Ces nombres sont des racines de polynômes de degré 5 ou plus, résultat de la théorie de Galois (voir les équations de Quintic et le théorème d’Abel-Ruffini ). Par exemple, l’équation :

x 5 − x − 1 = 0 {displaystyle x^{5}-x-1=0}

a une racine réelle unique qui ne peut pas être exprimée uniquement en termes de radicaux et d’opérations arithmétiques.

Numéro de forme fermée

Les nombres algébriques sont tous les nombres qui peuvent être définis explicitement ou implicitement en termes de polynômes, à partir des nombres rationnels. On peut généraliser cela aux « nombres de forme fermée », qui peuvent être définis de diverses manières. Plus généralement, tous les nombres qui peuvent être définis explicitement ou implicitement en termes de polynômes, d’exponentiels et de logarithmes sont appelés ” nombres élémentaires “, et ceux-ci incluent les nombres algébriques, ainsi que certains nombres transcendants. Plus étroitement, on peut considérer des nombres explicitement définis en termes de polynômes, d’exponentiels et de logarithmes – cela n’inclut pas tous les nombres algébriques, mais inclut certains nombres transcendantaux simples tels que e ou ln 2 .

Entiers algébriques

Nombres algébriques colorés par coefficient de tête (le rouge signifie 1 pour un entier algébrique)

Un entier algébrique est un nombre algébrique qui est une racine d’un polynôme à coefficients entiers avec un coefficient de tête 1 (un polynôme monique ). Des exemples d’entiers algébriques sont 5 + 13 2 , {displaystyle 5+13{sqrt {2}},} 2 − 6 i , {displaystyle 2-6i,} et 1 2 ( 1 + i 3 ) . {textstyle {frac {1}{2}}(1+i{sqrt {3}}).} Par conséquent, les entiers algébriques constituent un sur- ensemble propre des entiers , car ces derniers sont les racines des polynômes moniques x − k pour tout k ∈ Z {displaystyle kin mathbb {Z} } . En ce sens, les entiers algébriques sont aux nombres algébriques ce que les entiers sont aux nombres rationnels .

La somme, la différence et le produit des entiers algébriques sont à nouveau des entiers algébriques, ce qui signifie que les entiers algébriques forment un anneau . Le nom entier algébrique vient du fait que les seuls nombres rationnels qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et parce que les entiers algébriques dans n’importe quel champ numérique sont à bien des égards analogues aux entiers. Si K est un corps de nombres, son anneau d’entiers est le sous-anneau d’entiers algébriques de K , et est souvent noté O _K . Ce sont les exemples prototypiques des domaines Dedekind .

Cours spéciaux

Solution algébrique
Entier gaussien
Entier d’Eisenstein
Nombre Irrationnel quadratique
Unité fondamentale
Racine d’unité
Période gaussienne
Numéro Pisot-Vijayaraghavan
Numéro de Salem

Remarques

↑ Certains des exemples suivants proviennent de Hardy et Wright 1972 : 159-160 et pp. 178-179
↑ Aussi, le théorème de Liouville peut être utilisé pour « produire autant d’exemples de nombres transcendantaux qu’il nous plaira », cf. Hardy et Wright p. 161ff
^ Hardy et Wright 1972 : 160 / 2008 : 205
^ Niven 1956, Théorème 7.5.
^ Niven 1956, Corollaire 7.3.
^ Niven (1956) p. 92.

Références

Artin, Michael (1991), Algèbre , Prentice Hall , ISBN 0-13-004763-5, M. 1129886
Hardy, GH et Wright, EM 1978, 2000 (avec index général) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition , Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
Irlande, Kenneth ; Rosen, Michael (1990), Une introduction classique à la théorie moderne des nombres , Textes d’études supérieures en mathématiques, vol. 84 (deuxième éd.), Berlin, New York : Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN 0-387-97329-X, M. 1070716
Lang, Serge (2002), Algèbre , Textes d’études supérieures en mathématiques , vol. 211 (troisième éd. révisée), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, M. 1878556
Niven, Ivan 1956. Nombres irrationnels , Carus Mathematical Monograph no. 11, Association mathématique d’Amérique .
Ore, Øystein 1948, 1988, La théorie des nombres et son histoire , Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)